Upload
others
View
27
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Метод Крамера как способ решения практических задач
Выполнил:
Ученик 9 З класса
Зайцев Михаил
Руководитель:
Учитель математики
Комарова Е.А.
Актуальность Многие задачи приводят к необходимости решать системы линейных
уравнений. При конструировании инженерных сооружений,
обработке результатов измерений, решении задач планирования
производственного процесса и ряда других задач техники,
экономики, научного эксперимента приходится решать системы
линейных уравнений.
Способов решения систем уравнений существует много: сложения,
подстановки, графический, методом исключения неизвестных, метод
Крамера. При решении систем линейных уравнений в школе на
уроках алгебры, мы использовали такие способы, как сложение,
подстановка и графический. Каждый способ удобен дляопределенной системы.
Актуальность
К примеру, систему ቊy = 2x + 3,y = 3x + 1.
можно решить графическим
способом;
Систему: ቊ2x + 4y = 9,
−2x + 5y = −3.без труда решим способом сложения.
Система: ቊx = 6 − 2у,x + 8y = 3.
проще всего решается подстановкой.
Мне бы хотелось научиться решать системы, состоящие из 3-х уравнений с тремя неизвестными, что может помочь в решении более сложных задач не только в математике, но и в экономике.
Поэтому я решил изучить метод Крамера для решения систем уравнений с большим количеством неизвестных.
Цель и задачи
Цель: исследование методов решения систем линейных алгебраических уравнений с помощью метода Крамера.
Задачи:
1. Изучить историю метода Крамера;
2. Научиться решать системы линейных уравнений методом Крамера.
3. Научиться применять метод Крамера для решения систем уравнений с параметром.
4. Разработать и провести занятия с одноклассниками по знакомству с методом Крамера и определить уровень усвоения темы.
Гипотеза: Метод Крамера является наиболее оптимальным и эффективным способом решения задач. Его можно изучать на уроках алгебры в 8-9 классах как дополнительный метод решения систем уравнений.
Исторические сведения
Габриэль Крамер родился 31 июля 1704 года в Женеве (Швейцария).Уже в детстве он опережал своих сверстников в интеллектуальномразвитии и демонстрировал завидные способности в областиматематики.
В 18 лет он успешно защитил диссертацию. Через 2 года Крамервыставил свою кандидатуру на должность преподавателя в Женевскомуниверситете. Юноша так понравился магистрату, что специально длянего и ещё одного кандидата на место преподавателя былаучреждена отдельная кафедра математики, где Крамер и работал впоследующие годы.
Крамер является одним из создателей линейной алгебры. Одной изсамых известных его работ является «Введение в анализалгебраических кривых», опубликованный на французском языке в1750 году. В ней Крамер строит систему линейных уравнений и решаетеё с помощью алгоритма, названного позже его именем – методКрамера.
Определители n-ого порядка
Определителем n-го порядка называется число n, составленное по
определенному правилу и записываемое в виде квадратной таблицы
Где а11, а12, а13, … - числовые коэффициенты
Значение определителя n находится по следующему правилу.Для n = 2
Определители n-ого порядка
Пример 1.
Вычислить определитель:
Ответ: -20
Ответ: -2
Пример 2.
Вычислить определитель:
Вычисление определителей третьего порядка.
Для вычисления определителей третьего порядка существует правило треугольника.
Схематически это правило можно изобразить следующим образом:
Произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми, берется со
знаком "плюс"; аналогично, для второго определителя - соответствующие произведения
берутся со знаком "минус", т.е.
Пример 3. Вычислить определитель методом треугольников.
Решение.
=3∙1∙(-2)+3∙3∙1+4∙(-2)∙(-1)-3∙3∙(-2)-3∙4∙(-2)-1∙1∙(-1)=
=-6+9+8+18+24+1=54
Решение систем линейных уравнений методом Крамера
Рассмотрю систему уравнений
На первом шаге вычислим определитель , его называют главным определителем системы.
В случае если правило Крамера не поможет. Если
решение, и для нахождения корней мы должны вычислить еще два определителя:
, то система имеет единственное
Корни уравнения находим по формулам:
Пример 1.
Решить систему линейных уравнений ቊх − 2у = 1,3х − 4у = 7.
∆ = 1 −23 −4
= 1∙ (-4) – (-2)∙3 = -4+6 = 2 ≠ 0
∆х=1 −27 −4
= 1∙(-4)-(-2)∙7 = -4+14 =10
∆у =1 13 7 = 1∙7 - 1∙3 = 7-3 = 4
Далее по формулам Крамера находим неизвестные переменные:
Х= =10:2=5 У= =4:2=2
Решение системы трех уравнений с тремя неизвестными по формулам Крамера
Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя
неизвестными:
Находим главный определитель системы:
Если , то система имеет единственное решение и для нахождения корней мы должны вычислить
еще три определителя:
И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:
Решение систем уравнений с параметром
1. Найдите все значения параметра а, при которых система
имеет единственное решение.
Решение: Данная система имеет единственное решение при условии
Так как = -40 – 6а , то система имеет единственное решение при
a
Ответ: при система имеет единственное решение.
2. Найдите все значения параметра в, при которых система не имеет решений.
Решение: = -184+120 = -64 ≠ 0
данная система не будет иметь решений, если = -8в + 24 = 0 , то есть при в = 3.
Ответ: при в = 3 система не имеет решений.
Заключение В результате выполнения работы я:
1. Изучил историю метода Крамера;
2. Научился решать системы линейных уравнений методом Крамера.
3. Научился применять метод Крамера для решения систем уравнений с
параметром.
4. Разработал и провел занятия с 8 классом по знакомству с методом
Крамера и определил уровень усвоения новой темы.
Большинство учащихся, воспользовавшись методом Крамера, решили
системы уравнений правильно. Метод Крамера позволяет существенно
сократить время нахождения решений систем линейных уравнений, а
также уравнений, содержащих параметр. В ходе работы над моим
проектом я доказал справедливость моей гипотезы, что эффективность
решения систем уравнения повышается, если использовать метод
Крамера. Метод Крамера доступен для его изучения учащимся 8 и 9
классов при решении систем линейных уравнений и может быть
предложен ученикам как дополнительный метод.
Список используемой литературы
1. Ляпин А.A, Родионов Е.М, Синякова С.Л, Математика. Сборник задач.
Москва. Ориентир 2006г.
2.Кулагин Е.Д., Норин В.П , Федин С.Н., Шевченко Ю.А. 3000 конкурсных
задач по математике. 5-е издание. Айрес-пресс.2003г.
3. Юшкевич А.П. Математика XVIII столетия. Москва. Наука.1972г.
4.Шипачёв В.С. Высшая математика. М. «Высшая школа». 1985г.
5.Кострикина Н.П. Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7-9
классов. Москва. Просвещение 1991.
6.Севрюков П.Ф. Смоляков А.Н. Школа решения задач с параметрами.
Москва. Ставрополь. 2007
7.Метод Крамера решения систем линейных уравнений
https://studopedia.ru/7_16089_metod-kramera-resheniya-sistem-lineynih-
uravneniy.html