UntitledWprowadzenie Przeczytaj Animacja Sprawd si Dla
nauczyciela
Pierwsze ukady równa rozwizywali ju kilka tysicy lat
temu matematycy yjcy w staroytnym Babilonie. Na
znalezionych glinianych tabliczkach, archeolodzy odkryli ukady
równa zapisane pismem klinowym. Nie przypominaj uywanych przez nas
symboli matematycznych, jednak metody ich rozwizywania, uywane
przez staroytnych Babiloczyków, s bardzo zblione do tych, które
stosujemy obecnie.
Twoje cele
Przeksztacisz ukad równa tak, aby otrzyma ukad równowany. Rozwiesz
ukad równa liniowych metod podstawiania.
ródo: Antoine Dautry, dostpny w internecie: www.unsplash.com.
Metoda podstawiania rozwizywania ukadów równa z dwiema
niewiadomymi
Ukadem równa liniowych z dwiema (tymi samymi) niewiadomymi
nazywamy koniunkcj dwóch równa pierwszego stopnia z dwiema
niewiadomymi.
Ukad taki przyjmuje posta:
gdzie: oraz – niewiadome, , , oraz – wspóczynniki przy
niewiadomych odpowiednio oraz , i – wyrazy
wolne.
przy czym przynajmniej jedna liczba z pary liczb i
oraz i jest róna od zera.
Definicja: Rozwizanie ukadu równa
Rozwizaniem takiego ukadu równa jest kada para liczb
speniajcych jednoczenie kade równanie danego ukadu
równa.
Przy czym taki ukad równa moe mie jedno rozwizanie, nieskoczenie
wiele rozwiza lub nie mie rozwizania.
Definicja: Równowane ukady równa
Dwa ukady równa liniowych z tymi samymi
niewiadomymi nazywamy równowanymi, gdy maj ten sam zbiór
rozwiza.
Twierdzenie: Równowany ukad równa
Jeli z jednego ukadu równa wyznaczymy jedn niewiadom
i otrzymane wyraenie podstawimy do drugiego równania, to ukad
równa zoony z pierwszego równania i tak przeksztaconego
drugiego równania jest równowany danemu.
Aby otrzyma równanie równowane, moemy wykona kade
z przeksztace:
uproszczenie wyraenia znajdujcych si po kadej stronie
równania;
{ ,
c
1
c
2
a
1
a
2
b
1
b
2
javascript:void(0);
dodanie do obu stron danego równania takiej samej liczby (tego
samego wyraenia).
Przykad 1
Rozwiemy równanie .
Mnoymy obie strony równania przez .
Przenosimy niewiadome na lew stron równania, a wyrazy wolne na
praw stron (dodajemy do obu stron równania tak sam liczb/takie samo
wyraenie).
Dzielimy obie strony równania przez liczb znajdujc si przy
niewiadomej.
Otrzymalimy rozwizanie równania.
Przykad 2
Aby wyznaczy z równania jedn z kilku niewiadomych,
postpujemy podobnie jak podczas rozwizywania równa z jedn
niewiadom. Moemy zatem mnoy lub dzieli obie strony równania przez
to samo niezerowe wyraenie, czy te przenosi wyraenia na drug stron
równania. Chcemy, aby wyznaczana zmienna znajdowaa si po jednej
stronie równania, a wszystkie pozostae zmienne oraz liczby –
po drugiej stronie.
Przeksztacimy równanie liniowe z dwiema niewiadomymi tak, aby
wyznaczy z niego wskazan niewiadom.
Wyznaczymy niewiadom .
2 ⋅ (3 + x) + 4 =
x
Dzielimy obie strony równania przez .
Wyznaczylimy z równania niewiadom .
Dodajemy do obu stron równania wyraenie .
Dodajemy do obu stron równania wyraenie .
Dzielimy obie strony równania przez .
Wyznaczylimy z równania niewiadom .
wyznaczeniu dowolnej niewiadomej z jednego z równa
ukadu,
podstawieniu tak uzyskanego wyraenia do drugiego z równa
w miejsce wyznaczonej niewiadomej,
rozwizaniu otrzymanego równania z jedn niewiadom,
podstawieniu otrzymanej wartoci niewiadomej do pierwszego
równania.
3x+ 2y = 5x+ 5y+ 4
(−2y)
(−5y)
(−3)
y
y = −
2
3
x−
4
3
javascript:void(0);
Warto zastanowi si, któr z niewiadomych wyznaczy. Ma to wpyw
na stopie trudnoci rozwizywanego równania z jedn
niewiadom.
Przykad 3
Wyznaczymy niewiadom z pierwszego równania.
Wyznaczymy z pierwszego równania niewiadom .
Wyznaczymy teraz niewiadom z drugiego równania.
Wyznaczymy z drugiego równania niewiadom .
Moemy atwo zauway, e najlepszym wyborem jest wyznaczenie
niewiadomej z drugiego równania. W pozostaych pojawiy si
uamki, co bdzie podnosi stopie trudnoci rozwizania równania
otrzymanego po podstawieniu tego wyraenia.
Przykad 4
{
Podstawiamy wyznaczone wyraenie do pierwszego równania
w miejsce niewiadomej .
Rozwizujemy pierwsze równanie.
Otrzymalimy par liczb, bdc rozwizaniem ukadu równa
.
Wyznaczamy niewiadom z pierwszego równania. (Moglibymy te
wyznaczy z drugiego równania. Spróbuj samodzielnie rozwiza
ukad w ten sposób).
Podstawiamy wyznaczone wyraenie do drugiego równania w miejsce
niewiadomej .
Rozwizujemy drugie równanie.
y = −2x+ 4
Otrzyman warto podstawiamy do pierwszego równania i obliczmy
warto niewiadomej .
Otrzymalimy par liczb, bdc rozwizaniem ukadu równa
.
Rozwiemy metod podstawiania ukad równa .
Wyznaczamy wyraenie z pierwszego równania.
Podstawiamy wyznaczone wyraenie do drugiego równania w miejsce
wyraenia .
Rozwizujemy drugie równanie.
{
Otrzymalimy par liczb, bdc rozwizaniem ukadu równa
.
ukad równa postaci:
równowane ukady równa
ukady równa liniowych - ukady z tymi samymi
niewiadomymi, które maj ten sam zbiór rozwiza
metoda podstawiania
metoda polegajca na wyznaczeniu dowolnej niewiadomej
z dowolnego równania i podstawieniu tak uzyskanego
wyraenia do drugiego z równa w miejsce wyznaczonej
niewiadomej
y
x
Film dostpny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D5gXbKsrv
Film nawizujcy do treci lekcji dotyczcy rozwizywania ukadów równa
liniowych metod podstawiania.
Polecenie 2
{
Rozwizujc ukad równa metod podstawiania moemy wyznaczy niewiadom
tylko z pierwszego równania.
Rozwizujc ukad równa metod podstawiania moemy wyznaczy niewiadom
tylko z drugiego równania.
x
y
3x+ y = 2 ⇒ y = ⋅x+
5x+ 15y = 5 ⇒ x = ⋅y+
−10x+ 2y = 12 ⇒ y = ⋅x+
1
2
{
1
3
x+
2
3
{
.{
{
2y = 7x+ 3
wiczenie 7
4x− 2y = 12
x+ y = m
2x− y = 3
Grupa docelowa:
Podstawa programowa:
Ucze:
Ksztatowane kompetencje kluczowe:
Cele operacyjne:
przeksztaca ukad równa tak, aby otrzyma ukad równowany rozwizuje
ukady równa liniowych z dwiema niewidomymi metod podstawiania
tworzy algorytmy rozwizywania ukadów równa liniowych
Strategie nauczania:
Formy pracy:
praca caego zespou klasowego praca w grupach praca
w parach
rodki dydaktyczne:
komputery z gonikami i dostpem do Internetu, suchawki
zasoby multimedialne zawarte w e–materiale tablica
interaktywna/tablica, pisak/kreda
Przebieg lekcji
Faza wstpna:
1. Nauczyciel podaje temat i cele zaj oraz wspólnie
z uczniami ustala kryteria sukcesu. 2. Uczniowie bd pracowa
metod stacji eksperckich. 3. Omiu uczniów tworzy cztery grupy
eksperckie, które przygotowuj informacje na
temat metod rozwizywania równa. 4. Eksperci prezentuj
w dowolnie wybranej formie, przygotowane przez siebie
wiadomoci. Przygotowuj cztery stacje eksperckie.
Faza realizacyjna:
I. Równowane przeksztacanie równa. Uczniowie mog wykorzysta Przykad
1 z czci „Przeczytaj”.
II. Wyznaczanie z równania wskazanej zmiennej. Uczniowie mog
wykorzysta Przykad 2 z czci „Przeczytaj”.
III. Równowane przeksztacanie ukadów równa liniowych. Uczniowie mog
wykorzysta Przykad 3 z czci „Przeczytaj”.
IV. Rozwizywanie ukadów równa liniowych z dwiema niewiadomymi
metod postawiania. Uczniowie mog wykorzysta Przykad 4
i Przykad 5 z czci „Przeczytaj”.
2. Pracujc w parach, uczniowie zapoznaj si animacj
i wykonuj polecenie 2. 3. Nauczyciel dzieli uczniów na cztery
grupy, które podchodz do stacji informacyjnych.
Kada z grup zadaniowych, rozwizuje przygotowane przez
ekspertów zadania.
4. Eksperci wspieraj pozostaych uczniów, wyjaniaj wtpliwoci.
Nauczyciel nadzoruje prac grup.
5. Po wykonaniu zada z danego zakresu, grupy zadaniowe
przechodz do kolejnej stacji. 6. Uczniowie w parach rozwizuj
zadania z wicze 14. Rozwizania zada uczniowie
zapisuj w zeszycie, sprawdzajc w materiale ich
poprawno.
Faza podsumowujca:
1. Jako podsumowanie nauczyciel zadaje uczniom pytania dotyczce
wicze. Nauczyciel i uczniowie – eksperci wyjaniaj
wtpliwoci.
2. Nauczyciel omawia przebieg zaj, omawia prac ekspertów oraz
wskazuje mocne i sabe strony pracy uczniów, udzielajc im tym
samym informacji zwrotnej.
Praca domowa:
Materiay pomocnicze:
Wskazówki metodyczne:
Animacja moe by wykorzystana przez uczniów do utrwalenia wiadomoci
z lekcji oraz podczas lekcji powtórzeniowych z dziau
„Ukady równa liniowych”.