METODE ELEKTROMANGNETIK

Metode elektromangnetik adalah metoda pendugaan bawah permukaan

dengan memanfaatkan sifat fisis bumi. Metoda elektromangnetik merupakan salah

satu metoda geofisika yang dapat digunakan dalam eksplorasi bahan tambang,

terutama logam. Kepekaan magnetik (susceptibility) yang dimiliki batuan merupakan

karaketristik batuan yang menggambarkan jumlah dari materi batuan yang dapat

dirubah menjadi magnet.

Pemodelan data elektromagnetik (EM) dilakukan melalui perhitungan medan

EM yang merupakan respons medium dengan distribusi konduktivitas tertentu hingga

diperoleh kesesuaian antara respons model dengan data lapangan. Kondisi geologi

bawah permukaan dapat diperkirakan dari model konduktivitas tersebut. Untuk

merepresentasikan distribusi konduktivitas yang cukup kompleks mutlak diperlukan

model 3-dimensi (3-D).

Metoda elektromagnet didasarkan atas persamaan Maxwell yang merupakan

perumusan matematis untuk hukum-hukum alam yang melandasi semua fenomena

elektromagnetik. Persamaan Maxwell terdiri dari empat persamaan medan, yang

masing-masing dapat dipandang sebagai hubungan antara medan dan distribusu

sumber (muatan atau arus) yang bersangkutan. Persamaan-persamaan tersebut adalah:

1.

dimana :

2.

3.

4.

Persamaan yang menghubungkan sifat fisik medium dengan medan yang

timbul diasumsikan tidak bervariasi terhadap waktu dan posisi (homogen tropis)

sehingga persamaan Maxwell dapat ditulis sebagai berikut :

1. 3.

2. 4.

dengan konduktivitas ; H = intensitas medan magnet

.

“Persamaan Maxwell yang pada dasarnya adalah persamaan diferensial yang

dapat diselesaikan dengan menggunakan metoda beda-hingga atau elemen-hingga”.

Persamaan Maxwell ini merupakan landasan berfikir dari perambatan gelombang

elektromagnet. Pada material dielektrik murni, suseptibilitas magnetik dan

permitivitas listrik adalah konstan dan tidak terdapat atenuasi dalam perambatan

gelombang. Sifat-sifat material bumi bergantung dari komposisi dan kandungan air

mineral tersebut. Keduanya mempengaruhi cepat rambat gelombang dan atenuasi

gelombang elektromagnet.

Dalam hal ini diperlukan diskretisasi domain perhitungan yang mencakup daerah

yang cukup luas untuk memasukkan syarat batas. Metoda persamaan integral lebih

cocok untuk pemodelan data EM pada medium 3-D karena persamaan Maxwell

cukup didefinisikan dan diselesaikan pada daerah heterogen dimana terdapat anomali

atau variasi konduktivitas. Pada kasus dimana dimensi vertikal struktur lebih kecil

dari pada dimensi horisontalnya maka heterogenitas 3-D dapat direpresentasikan oleh

suatu "lapisan tipis" dengan konduktansi (konduktivitas terintegrasi terhadap

ketebalan lapisan) yang bervariasi. Pendekatan struktur 3-D oleh lapisan tipis yang

terdapat dalam suatu medium homogen atau medium dengan konduktivitas hanya

bervariasi terhadap kedalaman (medium 1-D) dapat menyederhanakan permasalahan

mengingat persamaan yang harus diselesaikan adalah integral permukaan. Hal ini

dapat mempercepat perhitungan dan menghemat penggunaan memori komputer

sehingga perhitungan dapat dilakukan pada komputer pribadi (PC).

Membahas implementasi algoritma yang efisien untuk menghitung medan

EM pada medium 3-D menggunakan pendekatan lapisan tipis dan metoda persamaan

integral berdasarkan teori yang telah dikemukakan oleh Vasseur dan Weidelt.

Program komputer yang dihasilkan digunakan untuk mengidentifikasi karakteristik

respons elektromagnetik dua model konduktivitas bawah permukaan masing-masing

mengandung heterogenitas resistif dan konduktif.

Pendekatan Lapisan Tipis

Metoda EM dalam geofisika didasarkan pada fenomena listrik - magnet dalam

bumi yang dianggap sebagai konduktor tak-homogen. Hukum-hukum fisika

mengenai elektromagnetisme yang terangkum dalam persamaan Maxwell membentuk

dasar teori metoda EM. Penyelesaian persamaan Maxwell pada medium 3-D

menggunakan metoda persamaan integral telah banyak dibahas.

Pada studi EM berskala regional, studi daerah sedimen dan sebagainya,

dimensi vertikal struktur biasanya lebih kecil dari pada dimensi horisontalnya. Dalam

hal ini kontras konduktivitas lateral terdapat hanya pada suatu lapisan tlpis sehingga

heterogenitas medium dapat direpresentasikan oleh suatu lapisan dengan konduktansi

bervariasi. Pendekatan tersebut berlaku jika ketebalan lapisan jauh lebih kecil

dibandingkan dengan kedalaman penetrasi gelombang EM yang didefinisikan oleh

skin depth. Dengan pendekatan lapisan tipis, permasalahan induksi EM pada medium

3-D menjadi lebih sederhana karena hanya diperlukan perhitungan integral

permukaan dengan tensor Green (2 x 2) yang didefinisikan oleh distribusi sumber

pada suatu permukaan horisontal.

Perhitungan medan EM pada lapisan tipis dilakukan melalui integrasi

persamaan Maxwell yang mengandung curl medan magnet sepanjang ketebalan

lapisan tipis yang terietak di permukaan bumi (antara z = 0- dan z = 0+). Dalam hal ini

vektor medan listrik dianggap konstan pada lapisan tersebut atau atenuasi medan

listrik dalam arah vertikal pada lapisan heterogen dapat diabaikan. Konduktansi τ

dapat dianggap sebagai jumlah konduktansi medium homogen (normal) dan medium

tak-homogen sehingga medan EM total dapat pula diuraikan menjadi medan normal

dan medan anomali (anomalous field). Medan normal merupakan respons medium

homogen atau medium berlapis horisontal (medium 1 -D), sedangkan medan anomali

timbul sebagai akibat adanya heterogenitas medium.

Medan listrik total pada permukaan lapisan tipis (S) yang merupakan

penjumlahan medan listrik normal dan medan listrik anomali pada lapisan tipis dapat

ditulis sebagai berikut :

dimana (ω = 2π/T adalah frekuensi sudut dengan T adalah periode, μ0 = 4π x 10-7 H/m

adalah permeabilitas magnetik di ruang hampa, r dan r0 menyatakan posisi dalam

sistem koordinat kartesian, sedangkan indeks a menyatakan besaran anomali. G(r0,r)

adalah tensor Green yang elemen-elemennya Gij(r0,r) ; i, j = 1,2 didefinisikan sebagai

komponen dari medan listrik yang teramati di r akibat suatu dipol listrik berarah pada

medium normal di rixˆjxˆ0. Tampak bahwa integral permukaan yang mendefinisikan

medan listrik anomali hanya perlu dihitung pada lapisan tipis yang mengandung

heterogenitas mengingat konduktansi anomali berharga nol di luar daerah tersebut.

Implementasi Numerik

Penyelesaian numerik persamaan integral (1) dilakukan dengan membagi

daerah heterogen pada lapisan tipis menjadi elemen-elemen berbentuk bujur-sangkar

seragam. Integrasi fungsi Green dilakukan untuk setiap elemen dengan konduktansi

dianggap konstan (Gambar 1), sehingga persamaan (1) dapat ditulis sebagai :

dimana Γ(s0,s) adalah tensor Green G yang telah diintegrasi pada elemen s0 dan N

adalah jumlah elemen. Tensor G (2 x 2) menyatakan komponen medan listrik pada

elemen s0 akibat adanya sumber satuan (dipol) pada elemen s (s, s0 = 1, 2, 3,..., N)

dengan konduktasi τn.

Gambar 1. Diskretisasi model lapisan tipis heterogen menjadi elemen-elemen bujur-

sangkar yang masing-masing berkonduktansi konstan.

Dengan menuliskan persamaan (2) untuk semua elemen maka diperoleh 2N

persamaan dengan variabel yang tidak diketahui berupa dua komponen horisontal

medan listrik total pada setiap elemen. Dalam bentuk matriks, sistem persamaan linier

tersebut dapat ditulis menjadi

x = A x + b (3)

dimana A adalah matriks yang mengandung fungsi kernel Green dikalikan dengan

konduktansi anomali, b adalah vektor medan listtik normal dan x adalah medan listrik

total. Persamaan (3) merupakan sistem persamaan linier dengan variabel yang tidak

diketahui (medan listrik total x) berada pada ruas kiri dan kanan persamaan tersebut.

Mengingat bentuk yang agak khusus dari sistem persamaan linier (3) dan jumlah

elemen N pada umumnya cukup besar maka digunakan metoda iteratif Gauss-Seidel,

dimana solusi diperoleh dari suatu estimasi awal yang dimodifikasi secara iteratif

hingga konvergen. Penggabungan komponen variabel yang dicari menghasilkan

persamaan untuk menghitung xi pada iterasi ke k + 1:

Tampak bahwa untuk menghitung elemen solusi xi pada iterasi ke k+1 selain

digunakan hasil iterasi sebelumnya (k) juga digunakan elemen solusi lainnya yang

telah dimodifikasi pada iterasi yang sama (k+1).

Konvergensi dapat dipercepat dengan menggunakan faktor relaksasi w ≥ 1

sedemikian hingga estimasi solusi pada iterasi ke k+1 dinyatakan oleh :

dimana didefinisikan oleh persamaan (4). Sebagai estimasi awal solusi (medan listrik

total) dapat digunakan harga medan listrik normal atau respons medium berlapis

horisontal (tanpa heterogenitas lateral). Dengan memanfaatkan persamaan Maxwell

yang menghubungkan medan magnet dengan medan listrik maka kedua komponen

horisontal medan listrik pada lapisan tipis yang dihitung menggunakan persamaan (5)

dapat digunakan untuk menentukan komponen horisontal dan komponen vertikal

medan magnet di permukaan bumi.

Penerapan Algoritma

Model Sintetik

Gambar 2a memperlihatkan konfigurasi model lapisan tipis di permukaan

dengan ketebalan 500 meter. Pada model-1 tahanan-jenis daerah heterogen adalah

500 Ohm.m terletak pada lapisan tipis 10 Ohm.m, sedangkan model-2 mengandung

heterogenitas konduktif (10 Ohm.m) pada lapisan tipis resistif (500 Ohm.m). Kedua

model sintetik tersebut terletak pada suatu medium 1-D dengan parameter model

(tahanan-jenis dan ketebalan lapisan) dianggap telah mewakill kondisi yang sering

dijumpai pada penyelidikan berskala lokal maupun regional (Gambar 2b).

Gambar 2. Model sintetik : (a) distribusi lateral tahanan-jenis dan diskretisasi lapisan

tipis, (b) medium berlapis horisontal (1 -D).

Lapisan tipis dibagi menjadi 10 x 10 elemen bujur-sangkar masing-masing

berukuran 2500 x 2500 meter dengan tahanan-jenis homogen. Geometri daerah

heterogen dipilih sedemikian hingga mengandung batas yang sejajar dengan sumbu-x

(positif ke utara) dan sumbu-y (positif ke timur) serta diagonal atau miring. Ukuran

elemen dan periode gelombang EM (1 dan 10 detik) dipilih sedemikian hingga

pendekatan lapisan tipis berlaku. Respons EM dari kedua model sintetik dihitung

pada titik tengah tiap elemen bujur-sangkar.

Konvergensi Iterasi Gauss-Secidel

Konvergensi perhitungan medan listrik di permukaan lapisan tipis dicapai jika

perbedaan antara medan listrik pada dua iterasi berturut-turut mendekati nol.

Perbedaan tersebut dinyatakan sebagai selisih relatif kuadratik yang dirata-ratakan

untuk semua elemen atau titik perhitungan yang pada iterasi ke - k dirumuskan oleh :

dimana i adalah indeks elemen untuk kedua komponen horlsontal medan listrik Ex dan

Ey. Konvergensi perhitungan medan listrik terutama dipengaruhi oleh kontras

tahanan-jenis antara medium normal dan anomali, geometri daerah heterogen serta

konfigurasi medium berlapis horisontal. Mengingat kemungkinan adanya kopel

antara faktor-faktor tersebut maka pengaruh masing-masing faktor terhadap

konvergensi dan kecepatan konvergensi perhitungan medan listrik tidak dapat

dipelajari secara terpisah. Namun demikian, secara umum konvergensi dapat dicapai

sebelum iterasi ke-20 dengan syarat bahwa kontras tahanan-jenis antara medium

normal dan anomali tidak terlalu besar.

Gambar 3 memperlihatkan perbedaan antara medan listrik dua iterasi berturut-

turut sebagai fungsi dari iterasi Gauss-Seidel. Untuk model-1 dimana heterogenitas

lebih resistif dari pada medium normal, harga Δk secara monoton menurun dan

konvergensi dapat dianggap telah tercapai pada iterasi ke-14. Untuk model yang

mengandung heterogenitas konduktif (model-2), tampak bahwa pada awal iterasi

harga Δk berfluktuasi atau berosilasi secara tajam sebelum menurun secara monoton

mulai iterasi ke-4. Meskipun demikian, konvergensi tercapai pada iterasi yang hampir

sama dengan perhitungan medan listrik untuk model-1 (iterasi ke-14). Gambar 3 juga

menunjukkan bahwa tidak terdapat perbedaan konvergensi yang berarti antara

perhitungan medan listrik pada periode 1 detik dan 10 detik.

Gambar 3. Konvergensi perhitungan medan listrik menggunakan metoda iteratif

Gauss-Seidel untuk model-1 (heterogenitas resistif dalam lapisan tipis konduktif, dan

model-2 (heterogenitas konduktif dalam lapisan tipis resistif, - - - (a) periode I detik

(b) periode 10 detik.

Fungsi Transfer EM

Hasil perhitungan medan listrik komponen horisontal Ex dan Ey digunakan

untuk medan magnet komponen horisontal dan vertikal Hx, Hy dan Hz. Dalam metoda

EM, respons model didefinisikan oleh suatu fungsi transfer yang menghubungkan

medan listrik dengan medan magnet atau antara komponen-komponen medan

magnet. Salah satu fungsi transfer tersebut dikenal sebagai impedansi yang

merupakan perbandingan (ratio) antara medan listrik terhadap medan magnet. Dalam

domain frekuensi hubungan antara medan listrik dan medan magnet dinyatakan oleh

persamaan berikut :

Ex = Zxx Hx + Zxy Hy (6a)

Ey = Zyx Hx + Zyy Hy (6b)

Impedansi adalah bilangan kompleks, namun untuk keperluan praktis besaran

tersebut biasanya dinyatakan dalam bentuk yang lebih sesuai untuk interpretasi.

Berdasarkan analogi dengan hubungan antara impedansi dan tahanan-jenis medium

homogen maka impedansi secara umum dapat dinyatakan sebagai tahanan-jenis semu

dan fasa sebagai berikut:

Disamping impedansi dikenal pula fungsi transfer yang menghubungkan

komponen vertikal medan magnet dengan komponen-komponen horisontalnya.

Fungsi transfer magnetik didefinisikan oleh :

Hz = Zzx Hx + Zzy Hy (8)

Fungsi transfer magnetik biasanya dinyatakan dalam bentuk vektor induksi8), namun

untuk keperluan interpretasi kualitatif maka Zzx, dan Zzy dapat dinyatakan oleh

amplitudonya. Untuk struktur 2-D dengan jurus searah dengan sumbu-x maka

amplitudo fungsi transfer Zzy menggambarkan medan magnet vertikal yang timbul

akibat adanya kontras konduktivitas dalam arah tegak lurus dari medan magnet

horisontal Hy.

DAFTAR PUSTAKA

1. Weidelt, P., "Electromagnetic induction in three-dimensional structures", J

Geophys., 41, 85-109 (1975).

2. hppt//: www.google.com/search : Elektromagnetik Geofisika.