METODE MUMERICE 02

1METODE NUMERICEMETODE NUMERICESI PROGRAMRE LINIARA SI PROGRAMRE LINIARA 0202

FACULTATEA DE INGINERIE FACULTATEA DE INGINERIE AEROSPATIALAAEROSPATIALA

APROXIMAREA APROXIMAREA FUNCTIILORFUNCTIILOR

Aproximarea functiilor de o variabila Aproximarea functiilor de o variabila realareala

1.1. InterpolareaInterpolarea2.2. Aproximarea miniAproximarea mini--maxmax3.3. Aproximarea Aproximarea n sensul celor mai mici n sensul celor mai mici

ptrateptrate

Aproximarea funcAproximarea funciilor de iilor de o variabilo variabil

2.2. Aproximarea miniAproximarea mini--maxmax.. Se Se impune condiimpune condiia de abatere maxim ia de abatere maxim pe [pe [aa,,bb] a func] a funciei iei gg ((xx), sub forma:), sub forma:

,max minx a b f x g x

Aproximarea miniAproximarea mini--maxmax

Vom aplica criteriul de aproximare Vom aplica criteriul de aproximare 2. 2. pentru pentru cazul unui polinom cazul unui polinom ((g(x)g(x) = = ppnn((xx)) de gradul )) de gradul nn ::

Polinomul care, pentru Polinomul care, pentru nn fixat, satisface fixat, satisface condicondiia ia de mai susde mai sus se numese numete te polinom polinom mini mini -- maxmax. .

,max minnx a b f x p x


Pentru gsirea luiPentru gsirea lui, vom transforma, la , vom transforma, la nceput, intervalul [a,b] nceput, intervalul [a,b] n intervalul n intervalul [[--1,1], prin rela1,1], prin relaia:ia:

i vom lucra cu variabila i vom lucra cu variabila , , definit prindefinit prin:: ; , ; 1,1

2 2b a b ax z x a b z

cos , arccos , 0,z z


Se genereaz apoi polinoamele Se genereaz apoi polinoamele TTnn(z)(z), denumite , denumite polinoame Cebpolinoame Cebevev, , prin relaprin relaia:ia:

Astfel, obAstfel, obinem: inem: cos , 0,1, 2,...nT z n n

20 1 21, , 2 1T z T z z T z z

2Aproximarea miniAproximarea mini--maxmax

Pentru calculul polinoamelor Pentru calculul polinoamelor TTnn(z)(z)vom stabili o relavom stabili o relaie de recurenie de recuren. . ObservndObservnd cc::

se obse obine relaine relaia de recurenia de recuren:: 2 cos cos 2 2cos cos 1n nT z T z n n n

1 22n n nT z zT z T z


Din relaDin relaiile iile de mai susde mai sus, r, rezult ezult urmtoarele proprieturmtoarele proprieti ale polinoamelor i ale polinoamelor CebCebev:ev:

1. 1. TTnn(z)(z) are toate rdcinile reale are toate rdcinile reale, situate , situate n n intervalul (intervalul (--1,11,1). ). ntrntr--adevradevr, din , din TTnn(z)(z) = = 0, 0, rezultrezult::

2 1cos 0, , 1, , 0, ;22 1cos cos 1,1 .2

i i

i i

in i nnizn


2.2. Polinomul Polinomul definit dedefinit de::

este este monicmonic ((are coeficientul lui are coeficientul lui zz nn egal cu 1egal cu 1). ). El se numeEl se numete te polinomul monic Cebpolinomul monic Cebevev..

,nT z

12 ...n nn nT z T z z


3. 3. Polinoamele Polinoamele i i i ating i ating maximele maximele n modul, n modul, i i , , n (n (nn + 1) puncte situate + 1) puncte situate n [n [--1,1].1,1].Aceste puncte sunt: capetele Aceste puncte sunt: capetele intervalului intervalului i i la la care se adaug punctelecare se adaug punctele::

nT z nT z 1nT z 12 nnT z

max 1,oz max 1,nz

max cos , 1, 1iiz i nn


Teorema de baz a aproximrii Teorema de baz a aproximrii miniminimaxmax

Dintre toate polinoamele monice cu Dintre toate polinoamele monice cu nn fixat, polinomul monic Cebfixat, polinomul monic Cebev, ev,

atinge cea mai mic margine atinge cea mai mic margine n modul pe intervalul [n modul pe intervalul [--1,1], 1,1], adicadic::

,nT z

1max max

, , 2 , 1,1 .nnn np z monic avem p z T z z


DemonstraDemonstraieie::Vom demonstra teorema Vom demonstra teorema anterioaranterioar prin prin reducere la absurd.reducere la absurd.

Presupunem c Presupunem c , monic, astfel , monic, astfel nct:nct:

DiferenDiferena celor dou polinoamea celor dou polinoame, , ddnn--11(z)(z), d, dat at de relade relaia:ia:

este un polinom de grad cel mult (este un polinom de grad cel mult (nn --1).1).

np z 1

max max2 , 1,1nn np z T z z

11 1 ...,nn n n nd z T z p z a z


Verificm ipoteza Verificm ipoteza teoremeiteoremei n punctele n punctele zzii max, max, date dedate de proprietatea 3 (a polinoamelor proprietatea 3 (a polinoamelor CebCebevev)), precum , precum i la capetele intervalului i la capetele intervalului [[--1,1], a1,1], adic dic n (n (nn+1) puncte.+1) puncte.

Deoarece punctele extreme ale lui Deoarece punctele extreme ale lui alterneaz alterneaz ntre ntre de de nn oriori, diferen, diferena a ddnn--11((zzi maxi max) s) schimb de semn de chimb de semn de acelasi nr.acelasi nr. nn dedeoriori (polinomul (polinomul pp ales avand marginea mai mica)ales avand marginea mai mica) , a, adic polinomul de gradul dic polinomul de gradul ((nn --1), d1), dnn--11((zz), ar ), ar avea avea nn rdcini reale pe rdcini reale pe ((--1,1), ceea ce e1,1), ceea ce estesteabsurd.absurd.

nT z12 n


Pentru construirea polinomului miniPentru construirea polinomului mini--max max se utilizeaz o dezvoltare se utilizeaz o dezvoltare n serie a n serie a funcfunciei iei f(x)f(x), , n funcn funcie de polinoamele ie de polinoamele TTnn(z)(z)..

Aceast serie este unicAceast serie este unic, deoarece , deoarece polinoamele polinoamele TTnn(z)(z) sunt ortogonale pe sunt ortogonale pe [[--1,1] cu ponderea 1,1] cu ponderea . . 21/ 1 z


Presupunem deci c exist dezvoltareaPresupunem deci c exist dezvoltarea::

Prin limitarea seriei la un numr Prin limitarea seriei la un numr nn, finit, , finit, de termeni:de termeni:

se obse obine un ine un polinompolinom aproape miniaproape mini--max.max.

02 2

i ii

b a b af x f z F z aT z

0

n

i ii

F z a T z


Polinoame Polinoame CebCebevev::


Din punct de vedere practic, eDin punct de vedere practic, este util ste util o exprimare a puterilor o exprimare a puterilor zz nn n funcn funcie ie de de TTnn(z)(z) i invers. Relai invers. Relaiile de legtur iile de legtur sunt date sunt date n Tabeluln Tabelul urmurmtor:tor:


128z8-256z6+160z4-32z2+1(35T0+56T2+28T4+8T6+T8)/1288

64z7-112z5+56z3-7z(35T1+21T3+7T5+T7)/647

32z6-48z4+18z2-1(10T0+15T2+6T4+T6)/326

16z5-20z3+5z(10T1+5T3+T5)/165

8z4-8z2+1(3T0+4T2+T4)/84

4z3-3z(3T1+T3)/43

2z2-1(T0+T2)/22

zT11

1T00TTnn((zz))z z nnn

Polinoamele Cebev


ExempluExemplu::

S se aproximeze miniS se aproximeze mini--max funcmax funcia ia pepeintervalulintervalul , c, cu o eroare maximu o eroare maxim

cos ,f x x,

2 2

510 .


RezolvareRezolvare::Se trece din Se trece din nn cu transformarea:cu transformarea:

Se aproximeaz apoi funcSe aproximeaz apoi funcia ia subsubformaforma (Taylor)(Taylor)::

,2 2 1,1

2x z

cos2

F z z

2 4 101 1 1cos 1 ... ...2 2! 2 4! 2 10! 2

F z z z z z g z


Primul termen neglijat din seria Taylor Primul termen neglijat din seria Taylor a funca funciei iei F(z)F(z) este:este:

sub eroarea impussub eroarea impus..

125 51 0.0471 10 10

12! 2z


Se Se nlocuiesc puterile nlocuiesc puterile zz 22, z, z 44,...z,...z 1010 din din aproximarea lui aproximarea lui F(z)F(z) prin polinoame prin polinoame TTnn(z)(z) (folosind tabelul)(folosind tabelul), sub forma:, sub forma:

0 2 2 4 4 6 6 8 8 10 10g z a a T a T a T a T a T


CoeficienCoeficienii ii aa88 i i aa1010 pot fi neglijapot fi neglijai, i, deoarece:deoarece:

108

10 10 10

10 85

8 8 8

1 1 4.92 10 ; ;10! 2 512

1 10 1 1 0,669 10 ; .10! 2 512 8! 2 128

a a T

a a T


Se trece apoi aproximanta Se trece apoi aproximanta g(z)g(z) n n variabila variabila zz, folosind Tabelul , folosind Tabelul pentru pentru polinoame polinoame CebCebevev::

n variabila n variabila xx, se ob, se obine:ine: 2 4 60 2 2 4 4 6 6 0 2 4 6g z a a T a T a T b b z b z b z

2 4 3 6cos 0.999993 0.4999122 0.0414874 1.2712 10 .x g x x x x


Pentru verificare,Pentru verificare, calculm calculm cu cu ajutorul aproximantei ajutorul aproximantei g(x)g(x). Se ob. Se obine: ine:

, a, adic o eroare mai mic dic o eroare mai mic dect dect fafa de valoarea exact de valoarea exact::

cos2

5cos 0,2856 102

510

cos 02

Documents

METODE MUMERICE 02