1METODE NUMERICEMETODE NUMERICESI PROGRAMRE LINIARA SI PROGRAMRE LINIARA 0404

FACULTATEA DE INGINERIE FACULTATEA DE INGINERIE AEROSPATIALAAEROSPATIALA

APROXIMAREA APROXIMAREA FUNCTIILORFUNCTIILOR

Aproximarea functiilor de o variabila Aproximarea functiilor de o variabila realareala

1.1. InterpolareaInterpolarea2.2. Aproximarea miniAproximarea mini--maxmax3.3. Aproximarea Aproximarea n sensul celor mai mici n sensul celor mai mici

ptrateptrate

APROXIMAREA APROXIMAREA FUNCTIILORFUNCTIILOR Pentru anumite funcPentru anumite funcii interpolarea ii interpolarea

polinomial duce la crepolinomial duce la creterea erorilor terea erorilor de aproximare chiar la marirea de aproximare chiar la marirea numrului de puncte din renumrului de puncte din reea.ea.

De exemplu : De exemplu : f(x) = 1/ (1+x f(x) = 1/ (1+x 22))

APROXIMAREA APROXIMAREA FUNCTIILORFUNCTIILOR

CreCreterea nr. de puncte terea nr. de puncte n ren reea pentru ea pentru f(x) = 1/ (1+x f(x) = 1/ (1+x 22))

APROXIMAREA APROXIMAREA FUNCTIILORFUNCTIILOR Interpolarea folosind funcInterpolarea folosind funcii polinomiale spline pentru ii polinomiale spline pentru

f(x) = 1/ (1+x f(x) = 1/ (1+x 22))

Interpolarea cu funcInterpolarea cu funcii ii polinomiale splinepolinomiale spline Interpoarea cu funcInterpoarea cu funcii polinomiale spline:ii polinomiale spline:

DefiniDefiniie:ie:Fie [a, b] Fie [a, b] RR un interval pe dreapta real un interval pe dreapta real i i xxii , , ii1,2,3, 1,2,3, .. .. NN o reo reea de puncte de diviziune ea de puncte de diviziune (d) = a = x(d) = a = x11 < x< x22

2Interpolarea cu funcInterpolarea cu funcii ii polinomiale splinepolinomiale spline Subintervalele de definire a funcSubintervalele de definire a funciei iei spline spline ::

Interpolarea cu funcInterpolarea cu funcii ii polinomiale splinepolinomiale spline FuncFuncia ia splinespline de ordinul 1 (de ordinul 1 (m=m=1):1):

n acest caz funcn acest caz funcia polinomial splineia polinomial spline este o linie poligonal format din segmentele este o linie poligonal format din segmentele de ecuade ecuaie:ie:

mmii reprezentnd panta pe intervalul reprezentnd panta pe intervalul IIi i . . FuncFuncia spline de ordinul 1 ia spline de ordinul 1 este simpl dar nu este simpl dar nu furnizeaz derivata funcfurnizeaz derivata funciei interpolate.iei interpolate.

1, , 1, 1,i i i ip x y m x x i N

1 x

11, , 1, 1,i ii i i i

i

y ym h x x i Nh

Interpolarea cu funcInterpolarea cu funcii ii polinomiale splinepolinomiale spline FuncFuncia ia splinespline de ordinul 2 ( de ordinul 2 ( m=m=2):2):

n acest caz funcn acest caz funcia spline este format din ia spline este format din segmente de parabol racordate segmente de parabol racordate n noduri pn n noduri pn la derivata de ordinul 1.la derivata de ordinul 1.

Acest form satisface automat condiAcest form satisface automat condiiile de iile de interpolare chiar prin modul de scriere.interpolare chiar prin modul de scriere.CoeficienCoeficienii ii mmii i i aaii se determin din condise determin din condiii de ii de interpolare interpolare i continuitate.i continuitate.

2 x

22, ( ) , 1, 1i i i i i ip x y m x x a x x i N

2,i i ip x y

Interpolarea cu funcInterpolarea cu funcii ii polinomiale splinepolinomiale spline

Pentru a calcula coeficienPentru a calcula coeficienii necunoscuii necunoscui i mmii i i aaii scriem derivatele de odinul 1:scriem derivatele de odinul 1:

RelaRelaii ce dau pantele ii ce dau pantele mmii n punctele n punctele x=xx=xii '2, 2 , 1, 1,i i i ip x m a x x i N

Interpolarea cu funcInterpolarea cu funcii ii polinomiale splinepolinomiale spline CondiCondiiile de continuitate si racordare ne conduc la iile de continuitate si racordare ne conduc la

urmtoarele relaurmtoarele relaii pentru funcii pentru funcii ii i derivatele lor:i derivatele lor:

ObObinem:inem:

Se poate observa c doar Se poate observa c doar n punctele ren punctele reelei elei se pot impune asfel de condise pot impune asfel de condiii de continuitate.ii de continuitate.

21 ,i i i i i im h a h y y

12 ; 1, 1 ( )i i i im a h m i N continuitatea pantei 1

2 , 1, 1;i i i

ii i

y y ma i Nh h

1 12 , 1, 1.i i i ii

m m y y i Nh

, 2, 1ix i N

Interpolarea cu funcInterpolarea cu funcii ii polinomiale splinepolinomiale spline Mai este de nevoie de Mai este de nevoie de nc o condinc o condiie pentru a ie pentru a

determina todetermina toi coeficieni coeficieniiii . . De fapt, De fapt, mm11 sau sau mmNN pot fi dapot fi dai ca valori inii ca valori iniiale.iale. Astfel avem sistemul urmtor care este Astfel avem sistemul urmtor care este

rezolvabil explicit:rezolvabil explicit:

, 1,im i N

1 11

2 , 1, 1

,

i i i ii

N

m m y y i Nh

m m

3Interpolarea cu funcInterpolarea cu funcii ii polinomiale splinepolinomiale spline n ambele cazuri sitemul devine determinat: n ambele cazuri sitemul devine determinat: mm11 dat duce la substituirea:dat duce la substituirea:

mmNN dat duce la retrosubstituirea:dat duce la retrosubstituirea:

1 12 , 1, 1i i i ii

m y y m i Nh

1 12 , 1,1i i i ii

m y y m i Nh

Interpolarea cu funcInterpolarea cu funcii ii polinomiale splinepolinomiale spline FuncFuncia ia splinespline de ordinul de ordinul 3 s3 sau cubic au cubic ( ( m=m=3):3):

Este una dintre cele mai utilizate funcEste una dintre cele mai utilizate funcii ii spline, avndspline, avnd derivate continue pan la derivate continue pan la ordinul 2 incluordinul 2 inclusiv, cesiv, ceea ce permite ea ce permite calculul razei de curburcalculul razei de curbur..

Interpolarea cu funcInterpolarea cu funcii ii polinomiale splinepolinomiale spline Din condiDin condiiile de continuitate pe noduri pn la derivata iile de continuitate pe noduri pn la derivata

de ordinul 2 inclusiv:de ordinul 2 inclusiv:

se deduc coeficiense deduc coeficienii polinomului de gradul 3:ii polinomului de gradul 3:

care reprezint comportarea funccare reprezint comportarea funciei spline pe fiecare iei spline pe fiecare subinterval subinterval (x(xii , x, xi+1i+1))

3, 1 1

3, 1 3, 1 1

3, 1 3, 1 1

,

' ' , 1, 2

'' ''

i i i

i i i i

i i i i

p x y

p x p x i N

p x p x

2 33, 1 ( ) ( ) ( )i i i i i i i i ip x y m x x b x x a x x

Interpolarea cu funcInterpolarea cu funcii ii polinomiale splinepolinomiale spline ObObinem:inem:

Pantele pe noduri Pantele pe noduri mmii fiind date fiind date n acest caz de sistemul:n acest caz de sistemul:

ce trebuie completat cu 2 relace trebuie completat cu 2 relaii, pentru a suplini ii, pentru a suplini condicondiiile la capetele intervalului.iile la capetele intervalului.

112 3

1 12

2,

3 2 , 1, 1

i ii ii

i i

i i i ii

i i

y ym mah hy y m mb i Nh h

1 12 , 2, 2i i i i i im m m d i N

Interpolarea cu funcInterpolarea cu funcii ii polinomiale splinepolinomiale spline SS--au introdus notaau introdus notaiile:iile:

Sistemul de condiSistemul de condiii de racordare impuse permite 2 ii de racordare impuse permite 2 grade de libertate care sunt precizarea pantelor la grade de libertate care sunt precizarea pantelor la capete, capete, mm11 i i mmNN sau indicarea unei relasau indicarea unei relaii, dii, de e regul liniarregul liniar, , ntre aceste pante ntre aceste pante i pantele vecine, i pantele vecine, de forma:de forma:

11

1 1

1

, 1 , ,

3

ii i i i i i

i i

i i i ii i i

i i

h h x xh h

y y y ydh h

1 1 2 1

1

22N N N N

m m dm m d

Interpolarea cu funcInterpolarea cu funcii ii polinomiale splinepolinomiale spline Reunind relaReunind relaiile anterioare siile anterioare s--a oba obinut sistemul inut sistemul

de de NN ecuaecuaii cu ii cu NN necunoscute:necunoscute:

Acest sistem de forma Acest sistem de forma Am=dAm=d are matricea are matricea AA tridiagonal fapt ce ne permite o rezolvare tridiagonal fapt ce ne permite o rezolvare foarte eficient prin descompunerea matricei foarte eficient prin descompunerea matricei AAntrntr--un produs de 2 matrici bidiagonale.un produs de 2 matrici bidiagonale.

1 12 , 2, 2i i i i i im m m d i N 1 1 2 1

1

22N N N N

m m dm m d

4Interpolarea cu funcInterpolarea cu funcii ii polinomiale splinepolinomiale spline Aplicatie grafica:Aplicatie grafica: