Upload
laurabasalic
View
235
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
METODE NUMERICE PENTRU APROXIMAREA SOLUTIEI UNICE A UNEI
PROBLEME CAUCHY
METODE NUMERICE DE APROXIMARE
Viteza, temperatura, densitate timp
Ecuatia diferentiala de ordin I = model matematic
Solutia = valabilitatea modelului ales
PROBLEMA CAUCHY
x(0) = 0 D = {(t,x) ∈ R2 : |t |≤ 2, |x|≤ 2} ⇒ D= [-2,2] x [-2,2]
Studiul existentei solutiei problemei Cauchy
x' = 2t + x
PROBLEMA CAUCHY
unde = min {a, } = min {2, } =
M = (t,x)| = 6
= [0,]
h =
(∃!) Solutia x=x(t,0,0) : I = [-δ, +δ] → R
D: 𝑡0 =0 < 𝑡1= 115 < 𝑡2= 215 < 𝑡3 = 315 < 𝑡4 = 415 < 𝑡5 = 13
METODA EULER (METODA LINIILOR POLIGONALE)
Metoda dezvoltarii in serie Taylor
Formula de calcul:
= + (∀) j = 0,4തതതത , 𝑓𝑗 =𝑓(𝑡𝑗,𝑥𝑗)
GRAFIC 1 – METODA EULER
t 0
x 0 0 0,008 0,027 0,055 0,095
x 0,095 𝑀5 0,055 𝑀4
0,027 𝑀3 0,008 𝑀2 𝑀0 𝑀1 t
0 115 215 315 415 13
GRAFIC 1 Metoda Euler
METODA EULER MODIFICATA
Formula de calcul:
= + 𝑓𝑗 =𝑓(𝑡𝑗,𝑥𝑗) , 𝑡𝑖+12 = 𝑡𝑖 + ℎ2 , (∀) j = 0,4തതതത
GRAFIC 2 – METODA EULER MODIFICATA
t 0
x 0 0 0,004444 0,0090369 0,01838 0,027881 0,042461 0,0572099 0,0773863 0,0977436
METODA EULER-CAUCHY
Algoritmul de calcul:
= + h
= + h
=
= = + ( + )
ALGORITMUL DE CALCUL PENTRU METODA EULER-CAUCHY
Fie f : D→ , 𝑓(𝑡,𝑥) = 2t + x , D = [-2,2] x [-2,2] , 𝑥(0) = 0
= + dt Pas 2: Aproximam prin metoda dreptunghiului
Pas 3: Aproximam prin metoda trapezuluiPas 4: Alegem aproximația inițială dată de relația: = + h
GRAFIC 3 – METODA EULER-CAUCHYt 0
x 0 0,004 0,018 0,042 0,077 0,123
x 𝑀4 0,077 𝑀3 0,042 𝑀2 0,018 𝑀1 0,004 t
𝑀0 0 115 215 315 415
GRAFIC 3 Metoda Euler - Cauchy
METODA RUNGE-KUTTA
Formula de calcul:
=
𝒙 𝒊+𝟏=𝒙𝒊+∆ 𝒙 𝒊
GRAFIC 4 – METODA RUNGE-KUTTA
t 0
x 0 0,004 0,019 0,043 0,078
x
0,078 M4
0,043 M3
0,019 M2
0,004 M1 M0 t 0,0666 0,1333 0,2 0,2666
GRAFIC 4 Metoda Runge - Kutta
SOLUTIA EXACTA A PROBLEMEI CAUCHY
Ecuația diferențială x'=2t+x este de tip liniar Soluția generală are reprezentarea explicită:
x=x(t,c)=c X
0,078
0,043
0,018 M
0,004 t
0 115
215 315 415
GRAFIC 5 Solutia exacta
CONCLUZIE
tSolutie Euler
Erori EulerSolutie Euler-
Cauchy
Erori Euler-
Cauchy
Solutie Runge-Kutta
Erori Runge-Kutta
Solutia exacta
=0 0 0 0 0 0 0 0
= 0 0,004 0,004 0 0.004 0 0,004
= 0,008 0,01 0,018 0 0,019 0,001 0,018
= 0,027 0,016 0,042 0,001 0,043 0 0,043
= 0,055 0,023 0,077 0,001 0,078 0 0,078