2.Secara nu"erik (untuk pers. sulit!
UMUMUMUM
per"asalaan&per"asalaan yang di'$r"ulasikan
secara "ate"atis dengan cara $perasi itungan
(arithmetic !.
Persa"aan
#ate"atis
Page  +
Terdapat kesalaan (Terdapat kesalaan (error error ! teradap! teradap
nilai eksaknilai eksak
pendekatan dari penyelesaian analitis atau eksak.
METODEMETODE
 Analitis (eksak! Analitis (eksak!
dilakukan dengan iterasi dala" -u"ladilakukan dengan iterasi dala" -u"la
yang sangat anyak dan erulang&ulangyang sangat anyak dan erulang&ulang   * O  #
  P  U   T  E
#et$de nu"erik anyak digunakan di eragai idang0 seperti idang
teknik (sipil0 elektr$0 ki"ia0 ds!0 ked$kteran0 ek$n$"i0 s$sial0 dan
idang il"u lainnya.
eragai "asala yang ada di eragai displin il"u dapat
diga"arkan dala" entuk "ate"atik dari eragai 'en$"ena yang
erpengaru. #isalnya gerak air dan p$lutan di saluran0 sungai dan
laut0aliran udara0 pera"atan panas0 ds dapat diga"arkan dala"
entuk "ate"atik.
persa"aan per"asalaan di atas.
 
Terdapat tiga "aca" kesalaan:
1.Kesalahan bawaan: "erupakan kesalaan dari nilai data.
#isal kekeliruan dala" "enyalin data0 sala "e"aca skala
atau kesalaan karena kurangnya pengertian "engenai uku"&uku"
'isik dari data yang diukur.
2.Kesalahan pembulaan: ter-adi karena tidak diperitungkannya
eerapa angka terakir dari suatu ilangan0 artinya nilai perkiraan
digunakan untuk "enggantikan ilangan eksak.
c$nt$0 nilai:
+01/1623 dapat diulatkan "en-adi +01/
 
sesuai dengan pr$sedur "ate"atik yang enar. Seagai c$nt$
suatu pr$ses tak eringga diganti dengan pr$ses eringga.
7$nt$ 'ungsi dala" "ate"atika yang dapat direpresentasikan
dala" entuk deret tak teringga yaitu:
.......... !4!3!2
1
432
%ilai eksak dari diper$le apaila se"ua suku dari deret
terseut diperitungkan. %a"un dala" prakteknya0sulit untuk
"engitung se"ua suku sa"pai tak teringga. Apaila anya
diperitungkan eerapa suku perta"a sa-a0 "aka asilnya tidak
sa"a dengan nilai eksak. *esalaan karena anya
"e"peritungkan eerapa suku perta"a diseut dengan
kesalaan pe"$t$ngan.
KESALAHAN A$SOLUT DAN RELATI%KESALAHAN A$SOLUT DAN RELATI%
,uungan antara nilai eksak0 nilai perkiraan dan kesalaan dapat
diru"uskan seagai erikut:
p 8 p9 Ee
Ee : kesalaan teradap nilai eksak
Seingga dapat dicari esarnya kesalaan adala seagai peredaan
antara nilai eksak dan nilai perkiraan0 yaitu:
 Ee 8 p ; p9
*esalaan As$lut
cara "e"andingkan kesalaan yang ter-adi dengan nilai eksak.
 p
%100×=
 p
%100×
Dala" "et$de nu"erik0 esarnya kesalaan dinyatakan erdasarkan
nilai perkiraan teraik dari nilai eksak0seingga kesalaan "e"punyai
entuk seagai erikut:
p9 : nilai perkiraan teraik
)ndeks a "enun-ukkan a<a kesalaan diandingkan teradap nilai
perkiraan (approximate value!.
Dalam metode numerik, sering dilakukan pendekatan secara iteraktif, dimana pada pendekatan tersebut perkiraan sekarang dibuat berdasarkan perkiraan sebelumnya. Dalam hal ini, kesalahan adalah perbedaan antara perkiraan sebelumnya dan perkiraan sekarang.
%100 1
n  p
SOALSOAL
1. Pengukuran panjang jembatan dan pensil memberikan hasil 9999 cm dan 9 cm. Apabila panjang yang benar eksak!berturut"turut adalah 1#.### cm dan 1# cm, hitung kesalahan absolut dan relatif.
 
Page  12
DERET TALORDERET TALOR (*e&samaan De&e Ta+l"&)(*e&samaan De&e Ta+l"&)
Deret aylor merupakan dasar untuk menyelesaikan masalah dalam metode numerik,terutama penyelesaian persamaan diferensial.
Bentuk umum deret TaylorBentuk umum deret Taylor:
 /ika suatu fungsi  f(x) diketahui di titik  xi dan semua turunan  f  
terhadap  x diketahui pada titik tersebut, maka dengan deret  aylor dapat dinyatakan nilai f   pada titik xi+1 yang terletak pada
 jarak  x dari titik xi  .
n
n
++
+
+
+=
+ !
 f (  xi+1  ) : fungsi di titik xi+1
 f’ , f’’,..., f n : turunan pertama, kedua, ...., ke n dari fungsi
 x  : jarak antara  xi  dan 
 xi+1
 R   : kesalahan
Page  1+
Dalam praktek sulit memperhitungkan semua suku pada deret  aylor tersebut dan biasanya hanya diperhitungkan beberapa suku pertama saja.
1.0emperhitungkan satu suku pertama order nol!
Artinya nilai  f  pada titik  xi+1 sama dengan nilai pada  xi  .
Perkiraan tersebut benar jika fungsi yang dierkirakan knstan. "ika fungsi
tidak knstan# $aka %arus dier%itungkan suku&suku berikutnya dari deret
ayr.
 
 
+≈
+
+=
+ Perkiraan order dua
 
ContohContoh
Diketahui suatu fungsi  f(x)  &2 x3  * 12 x2  + 20 x  * ,#-. Dengan menggunakan deret aylor order nol, satu, dua dan tiga, perkirakan fungsi tersebut pada titik  xi+1 ' #,( berdasar
nilai fungsi pada titik  xi ' #.2olusi:
1.0emperhitungkan satu suku pertama order nol!
$.0emperhitungkan dua suku pertama order satu!
 
-#1
10-#,
)-#0)(20)0(24)0((-#,
!1
 x  x f   x f   f   x f   iii
 
DERET TALORDERET TALOR (Kesalahan *em""n#an)(Kesalahan *em""n#an)
Deret aylor akan memberikan perkiraan suatu fungsi yang benar jika semua suku dari deret tersebut diperhitungkan. Dalam prakteknya hanya beberapa suku pertama saja yang diperhitungkan sehingga hasilnya tidak tepat seperti pada penyelesaian analitik. 2ehingga terdapat kesalahan error ! yang disebut dengan kesalahan pemotongan truncation error,
3n!, yang ditulis: ..... !)2(
n
O( xn*1! berarti kesalahan pemotongan mempunyai order  xn*1 
atau kesalahan adalah sebanding dengan langkah ruang pangkat n*1.
4esalahan pemotongan tersebut adalah kecil apabila:
1.5nter6al 7 x adalah kecil.
$.0emperhitungkan lebih banyak suku dari deret aylor
 
Page  13
DI%ERENSIAL NUMERIKDI%ERENSIAL NUMERIK (D'e&ens'al Tu&unan *e&ama)(D'e&ens'al Tu&unan *e&ama)
Diferensial numerik digunakan untuk memperkirakan bentuk diferensial kontinyu menjadi bentuk diskret.
8ntuk menghitung diferensial turunan pertama dapat diturunkan berdasar deret aylor, yang dapat dituliskan dalam bentuk:
)( !1
+=
+
)( )()(
 x
titik  xi  didekati $le ke"iringan
garis yang "elalui titik ( xi0 f ( xi!!
dan titik 7( xi+10 f ( xi+1!!.
 
di'erensial "a-u $rder satu.
"a-u
terpusat
"undur 
 n g  g u
 n g   d  i
 x
 y
Page  14
DI%ERENSIAL NUMERIKDI%ERENSIAL NUMERIK (D'e&ens'al Tu&unan *e&ama)(D'e&ens'al Tu&unan *e&ama)
 /ika data yang digunakan adalah titik  xi dan  xi-1 maka disebut
diferensial mundur, dan deret aylor menjadi:
Atau
..... !3
)(''' !2
)('' !1
)(')()( 32
1   +
)( !1
−=
−
)( )()(
 x
"a-u
terpusat
"undur 
 n g  g u
 n g   d  i
 x
 y
Page  1
 
"a-u
terpusat
"undur 
 n g  g u
 n g   d  i
 x
 y
 /ika data yang digunakan adalah titik  xi-1 dan  xi+1 maka disebut
diferensial terpusat. Apabila pers. deretaylor dikurangi pers. Deret aylor untuk diferensial mundur! didapat :
atau
atau
..... !3
)('''
 x
 x
Page  16
 
"a-u
terpusat
"undur 
 n g  g u
 n g   d  i
 x
 y