9. predavanje OE 1

1

8.1.6. Metoda superpozicije

Svi linearni sustavi imaju svojstvo aditivnosti, koje dopušta parcijalno zbrajanje nekih

veličina. To svojstvo se zove princip superpozicije (pridodavanja), a primjenjivo je u

linearnim električnim mrežama. Struja u nekoj grani linearne mreže može se izračunati tako

da se računa doprinos struje svakog izvora posebno, a rezultirajuća struja te grane dobije se

zbrajanjem doprinosa svih izvora te mreže.

1) Pri tom postupku u mreži se ostavi samo jedan izvor, sve ostale EMS se kratko spoje,

a strujni izvori se prekinu (odspoje).

2) Zatim se izabere drugi izvor i provede isti postupak sve dok se ne dođe do zadnjeg

izvora.

3) Sve parcijalne vrijednosti struje se zbrajaju, pri čemu treba voditi računa o smjeru

pojedinih parcijalnih struja.

Taj postupak pokazat ćemo na primjeru, tako da ćemo izračunati struju I3 u mreži na

sl. 8.19. Mreža ima dvije EMS pa ćemo izračunati dvije parcijalne struje kroz treću granu,

sl. 9.19.b i c.

a) b) c)

Sl. 8.19. Princip superpozicije:

a) zadana mreža sa svim EMS; b) parcijalne struje EMS E1; c) parcijalne struje EMS E2.

1. EMS E1 stvara parcijalnu struju I3(1) u trećoj grani, sl. 8.19.b. Tu struju ćemo izračunati

tako da prvo izračunamo parcijalnu struju toga izvora. Ukupni otpor koji osjeća EMS E1 je

2 31u 1

2 3

R RR R

R R= +

+ ,

pa je struja tog izvora ( )

32

321

11 1

RR

RRR

EI

++

= .

Sada se primjenom formule za djelitelj struje dobije tražena struja

( ) ( )323121

21

32

213 11

RRRRRR

RE

RR

RII

++=

+=

2. Na isti način prvo ćemo izračunati struju izvora EMS E2 , sl. 8.19.c.

( )

31

312

22 2

RR

RRR

EI

++

= .

Parcijalna struja treće grane je ( ) ( )323121

12

31

123 22

RRRRRR

RE

RR

RII

++=

+= .

Konačno se dobije tražena struja kao zbroj struja

( ) ( )323121

1221333 21

RRRRRR

REREIII

++

+=+= .

U dobiveni izraz uvrstite brojčane vrijednosti iz primjera 8.3. i provjerite rezultat.

9. predavanje OE 1

2

Primjer 8.12. Izračunajte struju I u otporu R mreže na sl. 8.20.a.

Zadano je: E1 = 10 V, I0 = 1 A, R1 = 4 Ω i R = 6 Ω.

a) b) c)

Sl. 8.20.

Rješenje. Prvo ćemo izračunati struju EMS E1, pri čemu se strujni krug mora

prekinuti, sl.8.20.b., pa je

( ) ARR

EI 11

1

1 =+

= .

Zatim se računa doprinos strujnog izvora, pri čemu se EMS kratko spoji, sl. 8.20.c., pa je

tražena struja

( ) ARR

RII 4,02

1

10 =

+= .

Konačno se dobije tražena struja AIII 4,1)2()1( =+= .

8.2. Teoremi linearnih električnih mreža

Teoremi mreža su nedvosmisleni i jasni iskazi o nekim svojstvima mreža koja se

podrazumijevaju i sadržana su u jednadžbama I i II Kirchhoffovog zakona analizirane mreže.

Ponekad su problemi takvog karaktera da ne treba računati struje u svim granama

mreže, već samo u jednoj ili dvije grane. Za takve slučajeve pogodni su teoremi električnih

mreža. Pomoću njih u mnogim se takvim slučajevima složena mreža može svesti na bitno

jednostavniju mrežu. Pokazat ćemo neke od teorema linearnih električnih mreža.

8.2.1. Teorem zamjene (supstitucije, kompenzacije)

Teorem. Svaki linearni otpor R neke mreže kojim teče struja I moguće je zamijeniti

ekvivalentnom protuelektromotornom silom E = IR, i obratno, svaku EMS možemo

zamijeniti otporom na kojem vlada pad napona jednak iznosu EMS.

Sl. 8.21. Dokaz teorema zamjene: a) osnovna mreža; b) ekvivalentna mreža; c) ekvivalentna mreža.

9. predavanje OE 1

3

Dokaz. Iz mreže se izdvoji jedna grana s otporom R i strujom I, a preostali aktivni dio

mreže označi se s A, sl. 8.21.a. Ako se u promatranu granu unesu dvije jednake i protusmjerne

EMS čiji je iznos jednak padu napona na otporu R, raspored struja u mreži se neće

promijeniti, sl. 8.21.b. Točke a i c su na istim potencijalima, što je vidljivo iz izraza:

a c c cU U IR E U IR IR U= + − = + − = .

Zbog toga se točke a i c mogu zajedno spojiti u jednu točku (crtkano). Tako se dobije

sl. 8.21.c., u kojoj umjesto otpora R stoji protuelektromotorna sila E = IR. Raspored struja u

ostalim elementima mreže se nije promijenio. Obrat teorema je očit.

8.2.2. Theveninov teorem

Struju kroz bilo koji otpor R, grane a - b električne mreže, može se odrediti, a da se pri

tome ne računaju sve granske struje. Tu granu možemo izdvojiti, a ostali dio mreže prikažemo

jednim pravokutnikom kojeg ćemo zvati aktivnom mrežom, sl. 8.22.a. Aktivna mreža, u

općem slučaju, osim RLC elemenata sadrži naponske i strujne izvore. Theveninov teorem

kaže da se ta aktivna mreža smije zamijeniti ekvivalentnim realnim naponskim izvorom EMS ET unutarnjeg otpora RT, sl. 8.22.b.

a) b) c) d)

Sl. 8.22. Uz Theveninov teorem: a) aktivna mreža; b) ekvivalentni realni naponski izvor;

c) određivanje EMS ET = Uab ; d) određivanje unutarnjeg otpora RT = Rab .

EMS ekvivalentnog izvora ET jednaka je naponu praznog hoda phab

U = ET koji

vlada na priključnicama (a-b) aktivne mreže kada se isključi otpor R, sl. 8.22.c.

Unutarnji otpor izvora RT jednak je otporu pasivizirane mreže Rab = RT ,

sl. 8.22.d. Pasivizirana mreža se dobije tako da se sve EMS kratko spoje, a strujni izvori

prekinu. Kada se sve to obavi, tada iz sheme na sl. 8.22.b. slijedi da je tražena struja

.

a) b)

Sl. 8.23. Nadomještanje po dijelovima mreže: a) aktivna mreža; b) odgovarajuća nadomjesna shema.

T

T

EI

R R=

+

9. predavanje OE 1

4

Mreža se smije nadomještati po dijelovima. Tako je ponekad neku mrežu zgodno

nadomjestiti u dva dijela, slike 8.23. a i b, a možda i više. U takvom slučaju treba strogo

voditi računa o smjerovima Theveninovih EMS.

Primjer 8.13. Odredite struju I3 u mreži na sl. 8.24.a.

a) b) c)

Sl. 8.24.

Rješenje. Mreža ima samo dva čvora. Zadatak ćemo riješiti primjenom

Theveninovog teorema. Prvo ćemo naći EMS ET , sl. 8.24.b. Taj napon ćemo najlakše naći

metodom potencijala čvora

ph

1 2ab

1 2 1 2

1 1 E EU

R R R R

+ = +

,

pa je tražena EMS

ph

1 2

1 2T ab

1 2

1 1

E E

R RE U

R R

+

= =

+

.

Unutarnji otpor RT odredit ćemo iz pasivizirane mreže, sl. 8.24.c.

T 1 2

1 1 1

R R R= + ,

odnosno

1 2T

1 2

R RR

R R=

+ .

Sada se napravi nadomjesna shema, sl. 8.22.b., pa je tražena struja

T 1 2 2 13

T 3 1 2 1 3 2 3

E E R E RI

R R R R R R R R

+= =

+ + +.

Dobili smo isti rezultat kao i metodom superpozicije.

Nadomještanje mreže s dvama čvorovima zove se Millmanov teorem. Vidimo da je on

specijalan slučaj Theveninovog teorema, pa nema potrebe da se posebno obrađuje. Ako se u

mreži s dvama čvorovima traži struja u nekoj grani, onda je najkraći put do rezultata primjena

metode potencijala čvorova. Za nadomještanje takve mreže ekvivalentnim izvorom dovoljno

je znati Theveninov teorem, a EMS ET najlakše se odredi metodom potencijala čvorova.

Primjer 8.14. U shemi na sl. 8.25. odredite struju u otporu R5 . Zadano je: E1 = 20 V,

E2 = 10 V, E3 = 10 V, R1 = 4 Ω, R2 = 6 Ω, R3 = R4 = 5 Ω i R5 = 4,1 Ω.

9. predavanje OE 1

5

Rješenje. Prvo ćemo odrediti EMS ET , sl.8.25.b. Isključenjem otpora R5 mreža se

raspada na dvije odvojene konture u kojima teku struje

1 21

1 2

1 AE E

IR R

−= =

+ ; 3

2

3 4

1 AE

IR R

= =+

.

Sada se može odrediti tražena EMS

T ab 1 2 2 2 4 11 VE U I R E I R= = + − = .

Sl. 8.25.

Do istog rezultata došli bismo tako da izračunamo potencijale φa i φb , pa dobijemo

Uab = φa - φb . Probajte to napraviti metodom potencijala čvorova.

Otpor RT dobijemo ako mrežu pasiviziramo, sl. 8.25.c., pa dobijemo da je

3 41 2T

1 2 3 4

4,9R RR R

RR R R R

= + = Ω+ +

.

Tražena struja na otporu R5 je

T5

T 5

1,2 2 AE

IR R

•

= =+

.

Primjer U mreži na sl. 8.25'. nađite struju I, napon U i snagu koja se troši na

nelinearnom elementu N, te snagu koju izvor predaje u mrežu. Nelinearni element zadan je

U – I karakteristikom.

Sl. 8.25'.

9. predavanje OE 1

6

Rješenje. S obzirom na stezaljke nelinearnog elementa nadomjestimo ostatak

sheme po Theveninovom teoremu:

2T

1 2

136 VR

E ER R

= =+

, 1 2T

1 2

40R R

RR R

= = Ω+

.

U – I karakteristiku nelinearnog elementa možemo za U > 60 V prikazati pravcem

60150 += IU .

Sl. 8.25''.

Sada možemo za nadomjesnu shemu napisati jednadžbu II

Kirchhoffovog zakona

T T150 60E I IR= + + ,

a odatle izrazimo struju u krugu

136 600,4 A

190I

−= = .

Uvrštavanjem vrijednosti struje u izraz za napon

nelinearnog elementa dobivamo

120 VU = .

Snaga koja se troši na nelinearnom elementu je N 48 WP UI= = .

Struja izvora je E

2

1 AU

I IR

= + = .

Snaga koju izvor predaje u mrežu je E E 170 WP I E= = .

8.2.3. Nortonov teorem

Nortonov teorem kaže da se aktivni dio mreže, sl. 8.26.a., smije zamijeniti

ekvivalentnim realnim strujnim izvorom, prema sl. 8.26.b.

Struja nadomjesnog strujnog izvora IN jednaka je struji koja teče između priključnica

a – b kada se one kratko spoje, sl. 8.27.a.

Unutarnji otpor RN = RT određuje se na isti način kao Theveninov otpor, sl. 8.27.b.

Primjenom djelitelja struje na nadomjesnu shemu, sl. 8.26.b., tražena struja je

NN

N

RI I

R R=

+.

a) b)

Sl. 8.26. Nadomjesna shema aktivne mreže po Nortonovom teoremu: a) aktivna mreža; b) nadomjesna shema.

a) b)

Sl. 8.27. Određivanje parametara strujnog izvora: a) struje IN ; b) unutarnjeg otpora RN.

9. predavanje OE 1

7

Primjer 8.15. Odredite struju I3 kroz otpor R3 u shemi na sl. 8.24.a. primjenom

Nortonovog teorema.

Sl. 8.24.a.

Rješenje. Za određivanje struje IN potrebno je priključnice a – b kratko spojiti,

sl. 8.28.a. Pritom otpor R3 ne igra više nikakvu ulogu pa vrijedi da je

1

11

R

EI = ;

2

22

R

EI = .

a) b) c)

Sl. 8.28.

Tražena struja izvora je

1 2N 1 2

1 2

E EI I I

R R= + = + .

Unutarnji otpor dobije se sa sl. 8.28.b.

1 2N

1 2

R RR

R R=

+.

Iz nadomjesne sheme, sl. 8.28.c., dobije se tražena struja

N 1 2 2 13 N

N 3 1 2 1 3 2 3

R E R E RI I

R R R R R R R R

+= =

+ + +.

Primjer 8.16. Pomoću Nortonovog teorema odredite struju I5 na shemi na sl. 8.25.a.

iz primjera 8.14.

Rješenje. Ako priključnice a i b spojimo, tada otpor R5 ne igra nikakvu ulogu, a

potencijal je φa = φb , sl. 8.29.a. Ako se točka c uzme kao referentna (φc = 0), tada vrijedi da je

31 2a

1 2 3 4 1 2 3

1 1 1 1 EE E

R R R R R R Rϕ

+ + + = + +

,

Odnosno

9. predavanje OE 1

8

31 2

1 2 3a b

1 2 3 4

10,6122449 V1 1 1 1

EE E

R R R

R R R R

ϕ ϕ

+ +

= = =

+ + +

a) b)

Sl. 8.29.

Sada ćemo izračunati struje

c b 33

3

0,122449 AE

IR

ϕ ϕ− += = − ,

i

a c4

4

2,122449 AIR

ϕ ϕ−= = .

Primjenom I Kirchhoffovog zakona za čvor b dobije se da je struja

N 4 3 2, 2449 AI I I= − = .

Unutarnji otpor je jednak kao i u primjeru 8.14., tj.

N T 4,9R R= = Ω .

Iz sheme na sl. 8.29.b. slijedi da je tražena struja

N5 N

N 5

1, 2 2 AR

I IR R

•

= =+

.

Isti rezultat dobili smo pomoću Theveninovog teorema u primjeru 8.14.

Primjer 8.17. U primjeru 8.14. odredite sve granske struje kombiniranom metodom.

Rješenje. Kombinirana metoda se sastoji u tome da se dio mreže može nadomjestiti

Theveninovim, odnosno Nortonovim teoremom, pa se preostali dio mreže lako riješi. Pokazat

ćemo dva načina rješavanja navedenog primjera.

a) Budući da je struja I5 određena u primjerima 8.14. i 8.16. sada preostale struje možemo

odrediti primjenom metode napona čvorova, sl. 8.30.a.

Za čvor (1) vrijedi relacija

5

2

2

1

1

21

10

11I

R

E

R

E

RRU −+=

+ ,

pa je

1 25

1 210

1 2

20 101, 2 2

4 6 13,06 V1 1 1 1

4 6

E EI

R RU

R R

•

•+ − + −

== = =

+ +

.

9. predavanje OE 1

9

Sl. 8.30.a.

Sada se mogu izračunati struje I1 i I2, sl. 8.30.a.

1 101

1

20 13,061,73 A

4

E UI

R

••− −

= = = ,

2 102

2

10 13,060,51 A

4

E UI

R

••− + − +

= = = .

Na isti način ćemo naći napon čvora (2):

5

3

3

43

20

11I

R

E

RRU +=

+ .

Traženi napon

35

320

3 4

101, 22

10 5 1, 225 8,05 V1 1 1 1 2

5 5

EI

RU

R R

••

•+ +

+ ⋅= = = =

+ +

.

Sada se lako mogu izračunati struje I3 i I4, sl. 8.30.a.

204

4

1,61 AU

IR

•

= = , 3 203

3

0,38 AE U

IR

•−= = .

b) Do rješenja se može doći i tako da lijevi i desni dio mreže prema sl. 8.30.a. nadomjestimo

pomoću Theveninovog teorema kako je pokazano na sl. 8.30.b.

Na već dobro poznati način dobije se da je

Sl. 8.30.b.

1

1 2

1 2T

1 2

20 10

4 6 16 V1 1 1 1

4 6

E E

R RE

R R

+ +

== = =

+ +

, 1

1 2T

1 2

4 62,4

4 6

R RR

R R

⋅= = = Ω

+ +,

9. predavanje OE 1

10

2

3

3T

3 4

10

5 5 V1 1 1 1

5 5

E

RE

R R

== = =

+ +

, 2

3 4T

3 4

4 62,5

4 6

R RR

R R

⋅= = = Ω

+ +.

Sada se može izračunati struja

1 2

1 2

T T

5

T 5 T

16 51, 22 A

2, 4 4,1 2,5

E EI

R R R

•− −= = =

+ + + +.

Za preostale struje potrebno je naći U10 i U20 pomoću

1 110 T 5 TU E I R= − ,

2 220 T 5 TU E I R= + .

Sada se struje I1, I2, I3 i I4 mogu izračunati kao u a).

8.2.4. Teorem recipročnosti

Ako EMS E, djelujući u grani k pasivne linearne mreže, izaziva struju I u grani i iste

mreže, onda će ta ista EMS E, djelujući u grani i izazvati u grani k također struju I.

IIIi

k

k

i == )()(

a) b)

Sl. 8.31. Teorem recipročnosti: a) djeluje samo Ek ; b) djeluje samo Ei .

Primjer 8.18. Pri uključenoj sklopci S, struja izvora jednaka je I'1= 5 A, a struja u

galvanometru I'2 = 6 mA. Treba odrediti struju I2 kroz galvanometar pri isključenoj sklopci S,

sl. 8.32.

Sl. 8.32.

Rješenje. Pasivni dio mreže čini mreža otpora. Pri zatvorenoj sklopci S napon na

priključnicama a – b pasivnog dijela mreže iznosi U'ab = E = 100 V. Treba naći ulazni i

prijenosni otpor s obzirom na priključnice a – b :

- ulazni otpor pasivne mreže je

abul

1

' 10020

' 5

UR

I= = = Ω ,

- prijenosni otpor grana između ulaznih i izlaznih priključnica pasivne mreže je

9. predavanje OE 1

11

abpr 3

2

' 10016,6 k

' 6 10

UR

I

•

−= = = Ω

⋅ .

Pri isključenoj sklopci S teče struja izvora I1:

1

ul

1004 A

5 20

EI

R R= = =

+ +.

Napon na priključnicama a – b iznosi:

ab 1 100 4 5 80 VU E I R= − = − ⋅ = ,

a struja kroz galvanometar:

ab2

3pr

804,8 mA

16,6 10

UI

R•

= = =

⋅

.

Primjer 8.18. Dva nelinearna elementa i otpornik R = 100 Ω spojeni su prema

sl. 8.33.a. na strujni izvor I = 1 A. Nelinearni elementi su jednaki i njihova je U – I

karakteristika prikazana sl. 8.33.b. Kolika je struja kroz elemente R, N1 i N2 i kolika se snaga

troši na otporniku R? Koliku snagu predaje izvor?

a) b)

Sl. 8.33.

Rješenje. Nelinearni elementi su spojeni u seriju i struja im je ista N N1 N2I I I= = .

Na osnovu I Kirchhoffova zakona vrijedi

N RI I I= + .

U – I karakteristiku jednog nelinearnog elementa možemo za UN > 20 V prikazati

jednadžbom pravca

NN1 N2

20

50

UI I

−= = ,

gdje je N1 N2 0I I= = za N 20 VU ≤ .

Sl. 8.33.

U – I karakteristika serijskog spoja dvaju

jednakih nelinearnih elemenata može se

prikazati jednadžbom pravca

N

40

100

UI

−= .

9. predavanje OE 1

12

Kako je struja omskog otpornika

R

UI

R= ,

možemo izraziti ukupnu struju izvora

100100

40 UUI +

−= .

Odatle dobivamo

UUI +−= 40100 ,

odnosno 1402 =U .

Napon na stezaljkama strujnog izvora je U = 70 V.

Slijedi da je struja omskog otpora

R 0,7 A

UI

R= = ,

a struja nelinearnih elemenata

N 0,3 AI = .

Tražene snage su:

2

R R 49 WP I R= = , I 70 WP UI= = .