BAB I

PENDAHULUAN

1. Latar Belakang

Metode numerik teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan

matematik sehingga dapat dipecahkan dengan operasi hitungan atau aritmatika biasa.

Solusi yang didapatkan dari metode numerik adalah solusi yang mendekati nilai

sebenarnya atau solusi pendekatan (approximation) dengan tingkat ketelitian yang kita

inginkan. Karena tidak tepat sama dengan solusi sebenarnya, ada selisih diantara

keduanya yang kemudian disebut galat atau error. Metode numerik dapat menyelesaikan

persoalan di dunia nyata yang sering kali non linear, dalam bentuk dan proses yang sulit

diselesaikan dengan metode analitik. Tidak semua permasalahan matematis atau

perhitungan dapat diselesaikan dengan mudah.

Dibutuhkan metode yang menggunakan analisis-analisis pendekatan persoalan-

persoalan non linear untuk menghasilkan nilai yang diharapkan. Kesulitan

menggunakan metode analitik untuk mencari solusi exact dengan jumlah data yang

besar, diperlukan perhitungan komputer, metode numerik menjadi penting untuk

menyelesaikan permasalahan ini. Pemakaian metode analitik terkadang sulit

diterjemahkan kedalam algoritma yang dapat dimengerti oleh komputer. Metode

numerik yang memang berangkat dari pemakaian alat bantu hitung merupakan alternatif

yang baik dalam menyelesaian persoalan-persoalan perhitungan yang rumit.

Metode numerik ini disajikan dalam bentuk algoritma-algoritma yang dapat

dihitung secara cepat dan mudah. Pendekatan yang digunakan dalam metode numerik

merupakan pendekatan analisis matematis, dengan tambahan grafis dan teknik

perhitungan yang mudah. Algoritma pada metode numerik adalah algoritma pendekatan

maka dalam algoritma tersebut akan muncul istilah iterasi yaitu pengulangan proses

perhitungan.

Dengan metode pendekatan, tentunya setiap nilai hasil perhitungan akan

mempunya inilai error (nilai kesalahan). Metode Secant ini dibentuk untuk melengkapi

kekurangan metode Newton Raphson.

Pada metode Newton Raphson, tidak semua fungsi dapat diturunkan dengan

mudah, terutama fungsi-fungsi yang rumit. Pada metode Secant, turunan fungsi dapat

dihilangkan dengan cara menggantinya dengan bentuk lain yang ekuivalen. Salah satu

program yang telah banyak digunakan adalah program Matlab. Program Matlab

menyediakan sejumlah fasilitas, salah satunya adalah kemudahan untuk merancang

sendiri program yang singkat, sederhana, dan dapat dikembangkan sesuai kebutuhan,

yang nantinya dapat digunakan untuk menghitung.

Berdasarkan latar belakang diatas muncul gagasan untuk membuat program

aplikasi untuk mempermudah perhitungan akar persamaan non linear menggunakan

metode Secant.

2. Rumusan Masalah

Bagaimana membuat program aplikasi menggunakan MATLAB untuk

perhitungan non linear dengan motode Secant ?

3. Tujuan

a. Mempelajari metode Secant dengan modifikasi tabel untuk penyelesaian

persamaan non linear.

b. Tujuan dari tugas akhir ini adalah membuat program aplikasi untuk

menghitung akar persamaan nonlinear dengan metode Secant dalam

program MATLAB.

4. Manfaat

a. Penelitian ini dapat menambah pengetahuan tentang perhitungan akar

persamaan non linear dengan metode Secant menggunakan program MATLAB.

b. Hasil program ini dapat digunakan untuk membantu menganalisa

perhitungan akar persamaan non linear.

c. Metode Secant ini dibentuk untuk melengkapi kekurangan metode Newton

Raphson.

d. Metode numerik dapat menyelesaikan persoalan didunia nyata yang

sering kali non linear, dalam bentuk dan proses yang sulit diselesaikan

dengan metode analitik.

DASAR TEORI

Metode Secant merupakan perbaikan dari metode regula-falsi dan newton

raphson dimana kemiringan dua titik dinyatakan sacara diskrit, dengan mengambil

bentuk garis lurus yang melalui satu titik. Sehingga untuk menggunakan metode Secant

ini diperlukan dua titik pendekatan x0 dan x1. Kedua titik pendekatan ini diambil pada

titik-titik yang dekat agar konvergensinya dapat dijamin.

BAB II

PEMBAHASAN

A. Algoritma Metode Secant :

1. Definisikan fungsi F(x)

2. Ambil range nilai x =[a,b] dengan jumlah pembagi p

3. Masukkan torelansi error (e) dan masukkan iterasi n

4. Gunakan algoritma tabel diperoleh titik pendekatan awal x0 dan x1 untuk setiap

range yang diperkirakan terdapat akar dari : F(Xk) * F(Xk+1)<0 maka x0 = Xk dan

x1=x0+(b-a)/p . Sebaiknya gunakan metode tabel atau grafis untuk menjamin

titik pendakatannya adalah titik pendekatan yang konvergensinya pada akar

persamaan yang diharapkan.

5. Hitung F(x0) dan F(x1) sebagai y0 dan y1

6. Untuk iterasi I = 1 s/d n atau |F(Xi)|≥ e

Hitung Yi+1 = F(Xi+1)

7. Akar persamaan adalah nilai x yang terakhir.

B. Flowchart Metode Secant:

START

Definisi Fungsi F(x)

Input:

Pendekatan Awal (x0) dan (x1)Toleransi Error (e)Iterasi Maksimum (N)

F

T

C. Listing Program Metode Secant pada MATLAB :

Hitung Akar persamaan non linear berikut ini :

Dapatkan y1=F(x0) dan y2=F(x1)

Inisialisasi:• Iterasi=0

|F(x)|>=e or iterasi <=N

Interasi=interasi+1Dapatkan:

(xn+1=x0,xn=x1,yn-1=F(x0),yn=F(x1))x0=x1,x1=xn+1,yn-1=F(x0),yn=F(x1)

Tampilkan:Akar x dan F(x)

Akar terletak di xDengan nilai F(x)

END

dengan ε = n 0.00001. Tebakan nilai awal akar x0 = 0.5 dan x1 = 1.

Penyelesaian :

Implementasi program ke Matlab :

function metodeSecant;

clc;

clear;

disp('Program Metode Secant');

disp('=============================');

E=0.0001;

x0=input('Masukkan X0 :');

xb=input('Masukkan X1 :');

i=0;

M=9;

disp('_______________________________________________');

disp(' i xi f(xi) epsilon');

disp('_______________________________________________');

while (E <M)

fx=exp(x0)-5*x0^2;

fxb=exp(xb)-5*xb^2;

d = xb - (fxb*(xb-x0)/(fxb-fx));

M=abs(x0-xb);

x0 = xb;

xb = d;

i=i+1;

fprintf('%3.0f %12.6f %12.6f %12.6f\n',i,xb,fx,M);

end;

disp('_______________________________________________');

fprintf('Akarnya Adalah = %10.8f\n',xb);

end

D. Hasil Listing Program:

Program Metode Secant

=============================

Masukkan x0 : 0.5

Masukkan x1 :1

_______________________________________________

i xi f(xi) epsilon

_______________________________________________

1 0.574376 0.398721 0.500000

2 0.596731 -2.281718 0.425624

3 0.605533 0.126483 0.022354

4 0.605265 0.035734 0.008803

5 0.605267 -0.001123 0.000268

6 0.605267 0.000009 0.000002

_______________________________________________

Akarnya Adalah = 0.60526712