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Metodi di pricing e definizione strategie finanziarie in presenza di flussi informativi continui e
crescente instabilità finanziaria
30.3.2000Dipartimento di Metodi Quantitativi
Università degli Studi di Pavia
Giorgio Consigli
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• Introduzione
• Flussi informativi e data providers
• Problemi decisionali in condizioni di incertezza
• Modelli di ottimo statico ad aggiustamento continuo --ShockGen
• Post-optimality e feed-back in tempo continuo
• Risk management per portafogli esposti a rischi estremi
• Conclusioni
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1. Introduzione
• Formazione dei prezzi e flussi informativi
• Trade-off tra espansione dell’ informazione di natura finanziaria e capacità di “assorbimento” dei sistemi decisionali (modelli statici, biperiodali, dinamici, ricorsivi, etc.)
• Idea: dall’analisi dei mercati alle strategie ottime e ritorno!
• Gestione di database finanziari e rappresentazione stocastica dei mercati
• Ingegneria finanziaria e sistemi decisionali complessi
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2. Flussi informativi e data providers
• Si consideri la seguente sequenza
• In (1):– rappresenta un campione discreto di un
processo stocastico vettoriale in tempo continuo definito in un dato spazio di probabilità
– descrive un campione discreto di unprocesso stocastico anch’esso continuo, rilevante ai fini della definizione della sequenza di decisioni
–
• Il modello (1) racchiude molte delle proprietà di unprocesso decisionale di natura finanziaria in condizioni di incertezza
(1) ),...(,...,),(),(,),(),(, 32222211111 TTxxx ξωξωξωξωξω
),,,(: 1ωωωωω PFT
tt ΞΩ∈= =
),,,(: 1ξξξξξξ PFT
tt ΞΩ∈= =
misurabilexxx ttT
tt −Ξ= =ξ è |: 1
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• Il processo può essere associato ad un insiemecontinuo -- in real time -- di valori finanziari su un vasto spettro di mercato finanziari
• Il processo a sua volta definisce tipicamente una trasformazione nonlineare deterministica del vettore dei prezzi di mercato
• La struttura informativa del problema stocastico è definitadalle filtrazioni
• Da cui l’insieme di decisioni in forma di ricomposizioni di portafoglio (questa può risultare o meno dalla soluzione di un problema di ottimo, statico o dinamico): la funzione di controllo del sistema stocastico
• Perchè è importante? Paradossalmente è ciò che nel mondo finanziario andiamo cercando e non si sa bene dove trovarlo! Inoltre pone in nuova luce recenti sviluppi informatici.
ω
ξ
tx
ωξξωξωξω ξωσ ttssttt tsTtF Ξ⊇Ξ≤≤=Ξ∈Ξ= ),0:,(,:: ,,,
ξω,F
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Dal punto di vista metodologico la realizzazione della sequenza (1) richiede (la direzione in cui ci stiamomuovendo):-
1. la connessione in tempo reale con un datafeed (e.g. Reuters, Bloomberg, Telerate, etc.)
• un filtro per la validazione delle quotazioni
• una famiglia di modelli analitici adeguati alla descrizione dell’associato processo aleatorio delle quotazioni di mercato
2. la definizione di un esteso insieme di operatori e funzionali rilevanti in applicazioni finanziarie
• la costruzione di un sistema di accesso e gestione di tali modelli
3. la generazione degli spazi probabilistici per quest’insieme di dati (i modelli di pricing e la struttura informativa)
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4. la definizione di un esteso insieme di criteri decisionali
• la formalizzazione in termini matematici del problema decisionale (statico o dinamico)
• la realizzazione di un feedback continuo tra soluzione delproblema di ottimo ed evoluzione in tempo continuo dei mercati.
Attualmente:• un grosso sforzo industriale è diretto al potenziamento ed espansione
dei sistemi per le tasks 1. e 2.
• Il punto 3. è raramente considerato.
• Quasi nulla si fa per quanto riguarda 4.
• L’inclusione esplicita del problema decisionale induce tipicamente una significativa perdita di efficienza informativa. Legata all’esigenza di una rappresentazione stocastica dei mercati.
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• Paradosso (lo stesso! rifrasato, a cui si vuole porre rimedio):– ricchezza informativa dei sistemi integrati di raccolta dati
finanziari accompagnata dall’ incapacità di definire spazi probabilistici rispetto ai quali sia possibile identificare strategie ottime
– Definizione accurata degli spazi probabilistici e delle associate strategie ottime penalizzata dall’ incapacità di incorporare flussi informativi in tempo continuo
• Nel primo caso lo spazio delle decisioni rimane indefinito (ovvero implicito).
• Nel secondo caso si indirizza la decisione dell’investitore ma viene meno la ricchezza informativa tipica del primocaso.
• Soluzione (una delle possibili ...): sviluppare interfaccia basati su modelli decisionali dinamici.
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3. Problemi decisionali in condizioni di incertezza
• Vogliamo indirizzarci verso un sistema decisionale integrato a feedback continuo in grado di congiungere flussi informativi in tempo reale a strategie finanziarie ottime.
• Approccio proposto e sviluppato internamente ad UBM (in modo sperimentale):– definire il problema finanziario e la relativa base dati
– interfacciare con un sistema di alimentazione in tempo reale
– introdurre e risolvere un modello di ottimo con i relativi funzionali
– sviluppare sistema di updating continuo al rilevarsi dell’incertezza nel dato spazio probabilistico
• Consideriamo un caso concreto introducendo un problema di scelte di portafoglio.
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Il problema: individuare in t=0 e mantenere un allocazione ottima di portafoglio x in presenza di mercati finanziari soggetti a turbulenze (crescente volatilità, shocks finanziari)
• In (2):
[ ]
.. 0
(2) .. ),(
min|),( Es.t. | 0P
0
sax
saQxg
xfxXxfind
≥∈
=Ξ∈ξ
ξ ξ
vincolidi convesso insieme un è
lineare operatore un è )(:
perdita di funzionedata una è )(:
rendimenti di stocastico vettoreun è :
0 tempoalalgebra -la è
à Pprobabilit dimisura alla rispetto atteso valoreoperatorel' è E
problema del edecisional spazio lo definisce
0
P
Q
g
f
X
mn
n
d
ℜ→Ω×ℜℜ→Ω×ℜ
ℜ→Ω
Ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
σ
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• Caratteristiche del problema (2):– si tratta di un problema di ottimo vincolato di natura stocastica
– la definizione della strategia ottima richiede la generazione dello spazio di probabilità del vettore dei rendimenti,
– questo viene caratterizzato in forma analitica (vedi esempio a seguire) attraverso la definizione di un processo stocastico dei rendimenti di tipo RCLL
– un insieme di vincoli (generalmente lineari) definisce l’insieme delle decisioni ammissibili
– il problema è generato e risolto in t=0 ed induce un vettore ottimo di allocazioni strategiche
– poichè il problema è risolto assumendo possibili forti instabilità dei mercati la decisione “ottima” richiede un monitoraggio continuo
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• Soluzione attuale:– definiamo a priori il modello analitico dei rendimenti
– stimiamo i coefficienti del modello attraverso ML
– introduciamo una possbile dipendenza da un peggioramento delle condizioni di stabilità sul mercato dei capitali ed
– un modello di interdipendenza dei mercati
– costruiamo un algoritmo per la generazione di uno spazio 3-D di rendimenti
– definiamo un insieme di portafogli ottimi secondo un dato criterio
– monitoriamo l’evoluzione di questi portafogli all’evolversi delmercato
– ripetiamo la procedura periodicamente
• Consideriamo il caso di un investitore su tre mercati obbligazionari: US, Euro ed emergenti
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• Il modello di pricing:
• Si presuppone un processo stocastico sottostante del tipo
(5) )(exp),0(),(
(4) )(exp),0(),(
(3) )(exp),0(),(
:
0 2,1 0
3
03
33,3
33
3
0 2,1 0
2
0
2
2
2,2
22
2
0 2,1 0
1
0
11,1
11
1
33
22
111
∫ ∑ ∫+Θ++=
∫ ∑ ∫+Θ++=
∫ ∑ ∫+Θ++=
=
=
=
=
∫
∫
∫
t
j
tj
sj
T
t
sTTss
t
j
tj
sj
T
t
sTTss
t
j
tj
sj
T
t
sTTss
t
dWadqdsbrTPTtP
dWadqdsbrTPTtP
dWadqdsbrTPTtP
ξ
(6) )()(),(),0(),(:2,1 00 0
∑∫∫ ∫=
+++==j
tj
sj
t t
simplied
t dWTdqTdsTsTfTtf σϑαω
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• L’equazione (6) descrive l’evoluzione stocastica di una curva dei rendimenti f(0,T) del tipo (stato iniziale del sistema).
• La curva dei rendimenti rischiosi per scadenza (t=0:= 29.2) è soggetta continuamente nel tempo ad un insieme di disturbi stocastici
)( 15, =+ Tss br
),,( ωω PΞΩ
areadefault
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4. Un modello di ottimo statico ad aggiustamento continuo
• L’equazione (6) definisce la dinamica aleatoria della curva: la funzione di drift ed i coefficienti di volatilità sono stimati attraverso tecniche econometriche e di simulazione
• Le traiettorie di prezzo (3), (4) e (5) sono ricavate attraverso un’applicazione di calcolo stocastico ed introdotte in un simulatore multivariato
• La generazione di un insieme finito di possibili combinazioni dei diversi mercati definisce lo spazio dei portafogli possibili
• Tra questi venegono isolati i portafogli dominanti distinti per profilo di rischio
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ShockGen System
Stima proc.stocastico
Marketscreening
def tω
tt qW ,2,1
ShockGen
),,)(,,)(),,(,( ,0, tj
ttijii
TiTt qWTTaTtPPP Θ= λα
Reutersdatafeed
Profili dirischio
Asset allocationRisk management
Trading rules
Modellifinanziari
Software statistici
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Pseudo-code dell’algoritmoINPUT current forward curve;
INPUT initial conditions for the coefficient vector;
INPUT Poisson process compensator;
INPUT drift and credit spread function;
INPUT correlation matrix;
for s=1,2,…,S /* no.of simulations */
for t=1,2,…,T /* time periods */
for n=1,2….,N /*time sub-periods */
if t=1 && n=1 set initial conditions;
derive hazard rate
generate stopping time
if
update coefficients;
else
update coefficients;
./. ./.
λλ =nt
ττ=nt
∆+Θ∆+∆=
∆+∆+∆=
∑
∑
∆−∆−
∆−∆−
∆−∆−
∆−∆−
j
jt
jttntnn
j
jt
jttntnn
tntn
tntn
WaqtTtTtPTtP
WqtTtTtfTtf
),(exp),(),(
),(exp),(),(
µ
σϑα
∆+∆=
∆+∆=
∑
∑
∆−
∆−
∆−∆−
∆−∆−
j
jt
jtntnn
j
jt
jtntnn
tn
tn
WatTtTtPTtP
WtTtTtfTtf
),(exp),(),(
),(exp),(),(
µ
σα
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Portafogli efficienti
• L’algoritmo genera uno spazio di probabilità misto
• L’insieme dei portafogli efficienti è derivabile in uno spazio 3-D di media-volatilità-valori estremi
• La presenza del processo di Poisson -- o dei tempi di arrivo degli shocks sul mercato -- favorisce un ordine parziale di preferenza basato sul Value-at-Risk
• L’esatta definizione delle sorgenti di rischio (legate alla definizione della curva forward) consente la scomposizione dei fattori di rischio del portafoglio
• A seguire un esempio di frontiera simulata sulla quale l’investitore può definire la propria scelta allocativa
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• Al 29.2.2000 è stata generato il seguente spazio dei portafogli:
Spazio dei portafogli globali a T=31.3.2000
Alcuni portafogliefficienti
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5. Post-optimality e feed-back in tempo continuo
• L’output del modello precedente
• Avremo tante funzioni valore quanti portafogli efficienti
• Questi entrano ora a far parte del modello statistico interfacciato ai datafeed
• La caratterizzazione dei processi aleatori dei rendimenti consente un feed-back diretto sulla curva forward
• Il sistema statistico è ora aperto a forme di stress-testing e back-testing
• Possiamo espandere i modelli finanziari sulla base della soluzione di un problema di ottimo definito analiticamente
),(,0 VaRfxXx optoptt µ=∈=
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• Consideriamo una semplice trading rule ampiamente utilizzata in ambito finanziario: la cd regola del fix-mix
• In cui
• L’investitore è chiamato a ribilanciare continuamente nel tempo al fine di mantenere proporzioni di portafoglio costanti
• Introduciamo anche segnali di uscita da un mercato rischioso sulla base dell’andamento osservato della curva dei rendimenti
constX
Xx
i
it
itopt
t ==∑= :0
iPPTtfTtfX iTt
iTt
it ii
some ),( ),(),( if 0 ,*,,
* ≤⇔≥≡
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• Ex-post: trading e monitoraggio in tempo continuo (le freccie indicano stopping times generati dalle variazionidelle curve forward)
Andamento portafoglio ottimo in tempo continuo
0.00
20.00
40.00
60.00
80.00
100.00
120.00
tempo continuo: 1.1--30.3.2000
valo
re p
orta
fogl
io
ξt
optt Fx |
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6. Risk management per portafogli esposti a rischi estremi
• Il risk management rappresenta una tecnica di controllo della funzione valore del portafoglio attuata generalmente attraverso un ampliamento dello spazio X
• Primariamente tramite l’introduzione di strumenti finanziari i quali introducano una direzionalità nell’andamento delportafoglio (eliminandone la componente stocastica)
• I derivati creditizi ad esempio rappresentano forme di trasferimento del rischio legati a possibili fenomeni di default: crescono di valore al crescere della probabilità di default ed al diminuire del valore del titolo soggetto a rischio
• In genere ahimè tanto maggiore è tale rischio tanto più illiquido il mercato e tanto più introvabili i titoli derivati!
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• Le librerie statistiche per uso finanziario ed il software per il risk management (es.RiskWatch) formano parte integrante dei sistemi di supporto decisionale
• Nella modellistica interna ci sforziamo di integrare questi packages con modelli di ottimo
• Moderne tecniche di controllo del rischio estremo includono il design di strumenti portfolio-specific in cui si risolve un problema di ottimo nei parametri di uno strumento finanziario (tipicamente funzione dell’andamento della probabilità di uno shock e della sua gravità).
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7. Conclusioni
• Recente sviluppo in ambito finanziario
• Auspicabile direzione di sviluppo ed arricchimento dei moderni packages statistici
• Estensione dei modelli di ottimo nell’ambito di sistemi di simulazione
• Strutture informative interne ai problemi decisionali
• Sistemi decisionali integrati
• Coniugare complessità e user-friendliness
• Quanto sopra vale per problemi ad orizzonte temporale fisso [T-t=cost], se [T-t 0] l’analisi si semplifica
• Cosa imparare? Finanza, statistica, teoria della probabilità, finanza matematica, ricerca operativa, programmazione, teoria delle decisioni, etc.
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