XIV SEMINÁRIO NACIONAL DE DISTRIBUIÇÃO DE ENERGIA E LÉTRICA

MÉTODO “CROSS SECTION” – UMA ALTERNATIVA AO CÁLCULO DOS CUSTOS MARGINAIS DE DISTRIBUIÇÃO

ALEXANDRE GOMES AMENDOLA MAURO CESAR DA ROCHA

CENTRAIS ELETRICAS BRASILEIRAS S.A. - ELETROBRÁS

Palavras-chave: repartição de áreas, leis de obras, custo marginal, Distribuição

Foz do Iguaçu, 19 a 23 de novembro de 2000

2

MÉTODO “CROSS SECTION” – UMA ALTERNATIVA AO CÁLCULO DOS CUSTOS MARGINAIS DE DISTRIBUIÇÃO

ÍNDICE 1. ANTECEDENTES 3 2. ESTUDOS DE “CROSS SECTION” (ou “REPARTIÇÃO DE ÁREAS) 3

2.1 1a Lei de Juricic 3

2.2 Lei De Desenvolvimento Das Quantidades De Obras. 3

3. RESTRIÇÕES RELATIVAS À FORMA GEOMÉTRICA DA ÁREA SER VIDA E LOCALIZAÇÃO DO POSTO DE TRANSFORMAÇÃO. 8

4. METODOLOGIA UTILIZADA PARA CÁLCULO DAS ÁREAS DE INF LUÊNCIA – Si e VOLUMES - Qi 8

5. FATORES QUE INFLUENCIAM NA OBTENÇÃO DA LEI DE DESENVOLVIMENTO DAS QUANTIDADES DE OBRAS PARA VOLUME - Q/S = K . ( P/S ) β 10

6. EXEMPLO DE CÁLCULO 11 6.1 Dados da Cia Energética de Alagoas – CEAL 11

6.2 Resultados da Regressão 11

7. CONCLUSÕES 13

BIBLIOGRAFIA 13

ANEXO I --- ÁREA DE INFLUÊNCIA TOTAL DE UM ALIMENT ADOR SE TRAPICHE 14

ANEXO II --- DIAGRAMA UNIFILAR DE UM ALIMENTADOR

SE TABULEIRO 15

3

1. ANTECEDENTES

A origem dos estudos de custo marginal para redes de distribuição, no que tange ao estabelecimento das leis físicas de obras, tem lugar em importantes estudos realizados em fins do século passado. Tais teorias deram subsídios ao estabelecimento de relações envolvendo o volume de condutores, número de postos de transformação e demanda de ponta de uma determinada parte do sistema de distribuição. Estas relações resultaram na determinação das chamadas “leis de desenvolvimento das quantidades de obra”, que constituem parte fundamental da metodologia de cálculo de Custo Marginal para Redes de Distribuição 2. ESTUDOS DE “CROSS SECTION” (ou “REPARTIÇÃO DE ÁREAS)

2.1 1a Lei de Juricic

No final do século passado, GEORGES SANTARELLI enunciou um importante teorema relacionando a corrente que circula em um condutor e o diâmetro de sua seção reta. Mais tarde, utilizando-se destes estudos, BOCHET enunciou uma lei que ficou conhecida como “lei da raiz quadrada” :

“Numa linha sem ramificações, o volume mínimo de condutores ocorre, quando em cada ponto da linha, a seção reta S é proporcional à raiz quadrada da corrente que atravessa a referida seção”. (1) . Ou seja.

iks .= (5) Seja agora uma corrente I, expressa em ampéres, atendendo a uma determinada superfície S. Considere-se ainda, que tal superfície seja circular com o posto de transformação (SE ou trafo de distribuição) localizado no centro, conforme a Figura 1, abaixo: .

'2

ki

s =

iks '2 =

iks .'=

'kk =

(1)

(2)

(3)

(4)

4

Figura 1 --- Superfície Circular A área da coroa circular entre os círculos (1) e (2) em função de r é dada por: .

)( 2222 rRrRs −=−= πππ (6).

Na hipótese da densidade de carga a = I ( r ) / s se mantiver constante em todo domínio atendido e levando-se em conta o seguinte conjunto de hipóteses: .

a) A área atendida seja circular com o posto situado no centro.

b) Cada carga seja atendida por um alimentador radial; .

c) Ocorrência de volume mínimo de condutores, ou seja, que a Lei da Raiz Quadrada é valida (equação 5); .

Pode-se, a partir disto, obter as equações:

)()( rIKrs = (pela hipótese c) (7)

Como s

rIa

)(= , então .

.

)(

)(22 rR

rIa

−=

π . (8)

).()( 22 rRarI −= π (9)

Substituindo (9) em (7),

5

)()( 2 rRaKrs −= π (10) .

Pela 2a lei de Ohm : .

s

LR

ρ= (11)

onde ρ é a resisitividade, . .

Assim como e = RI, tem-se, . .

Is

Le .

ρ= (12)

E a queda de tensão no elemento dr será.

.).(..

)(...)(

22

22

rRa

rRa

K

drrde

−

−=π

πρ (15)

drK

rRarde .

)(.)(

22 −=

πρ (16) .

drrRK

arde ).

..)( 22 −= πρ .

Integrando a equação (17) entre 0 e R, será obtido o valor da queda de tensão máxima eM (que ocorre na periferia do domínio atendido) : .

drrRK

adrree

RR

M .)...

)(0

22

0∫∫ −== πρ

(18)

)(.)(

.)( rIrs

drrde ρ=

)(..).(..

.)( 22

22rRa

rRaK

drrde −

−= π

πρ

(13)

(14)

(17)

6

R

M R

rRrRr

K

ae

0

222

arcsen.22

...

+−= πρ

(19)

−+−= 0arcsen.

22.

.. 222

R

RRRRR

K

aeM

πρ (20)

2

.2

... 2 ππρ R

K

aeM = (21)

2.4

..R

e

aK

M

ππρ=

Substituindo-se este valor na equação (10), tem-se : .

222 ....

4

..)( rRaR

e

ars

M

−= πππρ

22

22

.4

...)( rR

e

Rars

M

−=πρ

e o volume total de condutores será :

∫ ==R

M

R

e

adrrsq

0

43

16

...)(

πρ (22)

Como 2RS π= , então 422 RS π= e substituindo-se na expressão (22), resulta : .

2.

16

..S

e

aq

M

πρ= (23).

Ou seja, o volume de condutores no domínio de um certo posto de transformação é inversamente proporcional à queda de tensão máxima, proporcional ao quadrado da área atendida e proporcional à densidade de carga, suposta uniforme ao longo de toda área S.

A partir daí, pode-se obter a expressão do volume total de condutores numa área S supondo-se que a mesma possua N postos de transformação:

7

∑∑==

==N

iM

N

ii iS

e

aqQ

1

2

1

..16

.. πρ (24)

Usando-se a técnica dos multiplicadores de Lagrange a fim de determinar-se o extremo (mínimo) da

expressão (24) sujeito à restrição que SiSN

i

=∑=1

2. , obtém-se

Me

SaNQ

.16

....

2ρπ= (25)

Dividindo-se por S2 ,

Me

a

S

N

S

Q

.16

....

. ρπ= (26)

Mas S

Ia = , logo :

MeS

I

S

N

S

Q

..16

...

. ρπ= (27)

Multiplicando-se o numerador e o denominador por V, (tensão de alimentação da rede), teremos : .

V

IV

eSS

N

S

Q

M

...16

..

. ρπ= (28)

Mas VIP = . Logo :

S

P

eVS

N

S

Q

M

...16

..

. ρπ=

S

PK

S

N

S

Q..

.= (29)

onde MeV

K..16

.ρπ= .

8

A equação (29) é conhecida como a 1a Lei de Juricic, na qual a constante K (coeficiente de eficácia) depende : a) da tensão de alimentação (V) b) da forma geométrica da área servida c) do caminhamento e disposição da rede d) da queda de tensão máxima (eM) e) da resistividade do condutor )(ρ

2.2 Lei De Desenvolvimento Das Quantidades De Obras.

Da expressão (29) é possível desagregar-se as variáveis Q (volume) e N (número de postos de transformação).

Assim pode-se chegar às equações abaixo : .

β

=S

PK

S

NN (30)

β

=S

PK

S

Qa (31)

onde : .

β - Coeficiente de rendimento de escala. Seu valor teórico para redes aéreas (onde a queda de tensáo

máxima é o fator limitante) é igual a 0,5. .

As expressões (30) e (31) são chamadas “leis de desenvolvimento da quantidades de obras” . Nos presentes estudos, dar-se-á atenção à expressão (31). .

3. RESTRIÇÕES RELATIVAS À FORMA GEOMÉTRICA DA ÁREA SER VIDA E LOCALIZAÇÃO DO POSTO DE TRANSFORMAÇÃO.

Na dedução da equação (23) do item 3 do presente trabalho foi citada a necessidade da área atendida ser circular a fim de que o volume resultante de condutores seja mínimo. No entanto, em termos de alimentadores de Distribuição no Brasil, grande parte dos mesmos é radial com o posto de transformação (neste caso, o trafo da subestação) localizado na periferia do domínio atendido. Tal domínio, devido a distribuição de cargas ao longo do alimentador, pode ser considerado retangular. . Assim, será demonstrado o que ocorre com a equação (23) quando a área atendida passa a ser retangular com o posto de transformação localizado, respectivamente, no centro da figura e na base menor do retângulo. Em ambos os casos, é respeitada a condição da área do retângulo ser igual a área do círculo de raio R.

1a hipótese : Área retangular com o posto localizado no centro

9

A Figura 2, a seguir, ilustra a situação que se deseja analisar .

Figura 2 --- Área Retangular – Posto no Centro

Pode-se provar que , para esta situação, a expressão (23) passa a ser : .

( )Men

nSaq

..64

1.... 222 +=

πρ (32) .

2a hipótese : Área retangular com o posto localizado na base menor do retângulo .

A Figura 3, a seguir, ilustra a situação que se deseja analisar .

Figura 3 --- Área Retangular – Posto na Base Menor

De forma análoga, para este caso, a expressão (23) passa a ser : .

( )

Men

nSaq

..64

41....'

222 += πρ (33)

Comparando-se as expressões (32) e (33) , tem-se . .

n.l

n.l

10

+

+=2

2

1

41'

n

n

q

q

2

2

1

41'

n

nqq

++=

e como o termo ( )241 n+ ( )21 n+> , 0≠∀n , conclui-se que o volume, com o posto localizado na base

menor é sempre maior do que aquele encontrado se o posto estivesse no centro do retângulo ( )qq >' ..

Assim, não é difícil inferir que, no caso de um domínio atendido de forma retangular em relação à disposição espacial das cargas, deslocando-se do centro do retângulo para uma de suas bases menores, o valor do fator multiplicativo do volume ( relativamente ao +posto localizado no centro ) varia de 1 a (1+4n2)/(1+n2), onde n representa a razão entre o comprimento e a largura desta área . Observa-se, também, que à medida que n aumenta a partir do valor 1 ( retângulos de larguras cada vez menores se comparadas aos comprimentos ), para as 2 hipóteses citadas, o volume tende a crescer, uma vez que a presença do termo quadrático nos numeradores das expressões (31) e (32) supera o termo de primeiro grau dos denominadores das mesmas . 4. METODOLOGIA UTILIZADA PARA CÁLCULO DAS ÁREAS DE INF LUÊNCIA – Si e

VOLUMES - Q i Inicialmente, deve-se levantar os circuitos secundários típicos que estão compreendidos na área de atendimento de cada alimentador da Empresa . Conhecidas as configurações típicas, procura-se determinar os diversos valores de raios de círculos que circunscrevem tais circuitos . De posse desses valores e após tratamento estatístico adequado, chega-se a um valor médio de raio de círculo que irá representar todos os cicuitos secundários da área em estudo . No caso do transformador atender a consumidores agrupados (prédios, condomínios, etc ) ou a um único grande consumidor ( indústrias, grandes lojas, shoppings, etc ), então o raio do círculo representativo, de acordo com o parágrafo anterior, deve ser reduzido a um percentual cujo valor adotado no presente trabalho é de 50 % . Assim, com os mapas eletrogeográficos dos alimentadores, é possível realizar o traçado dos diversos círculos que têm como centro os transformadores alocados em cada alimentador . Com a utilização de um planímetro, determina-se os valores das áreas de atendimento Si de cada alimentador “ i ” . Para o volume, através de valores de bitola x comprimento para cada alimentador, é possível, através da expressão Q = π .R2.l , onde R = raio e l = comprimento, obter-se os diversos valores de volume Qi . Os valores de demanda de ponta “ Pi ” dos alimentadores, são obtidos através de registros de medições efetuados pelo setor de operação da Empresa e a ponta considerada é aquela correspondente ao valor máximo das pontas ocorridas nos meses do ano em consideração . Deve-se ressaltar que os dados dos mapas eletrogeográficos, bitola x comprimento e demanda de ponta, devem estar referidos a um mesmo ano, para evitar distorções, no que tange, principalmente, a modificações que possam ser introduzidas na rede de um ano para outro . 5. FATORES QUE INFLUENCIAM NA OBTENÇÃO DA LEI DE DESEN VOLVIEMNTO DAS

QUANTIDADES DE OBRAS PARA VOLUME - Q/S = K . ( P/S ) β

11

Pela 1a Lei de Juricic, observa-se que o valor de K é influenciado pelos seguintes fatores: a) tensão de alimentação b) forma geométrica da área servida c) caminhamento e disposição da rede em relação ao centro de carga d) densidade de carga e) queda de tensão máxima f) resistividade do condutor Relativamente à tensão de alimentação, em grande parte dos casos, os alimentadores de uma mesma área possuem a mesma tensão de alimentação . Quanto à forma geométrica e disposição em relação ao centro de carga, há que se considerar as restrições citadas nos itens anteriores, sob pena do volume de condutores não ser exatamenmte o mínimo (“minimorum”) para aquela determinada sub-área de atendimento . No entanto, mesma com tasi restrições, consideramos que os resultados apresentados podem ser considerados extremamente válidos, como será visto a seguir . Os valores de densidade de carga não devem apresentar grandes dispersões mantendo-se em faixas, aproximadamente iguais em magnitude, parta um mesmo grupo de sub-áreas que se escolha para verificação da lei de desenvolvimento das quantidades de obras . Quanto à queda de de extensão máxima, uma vez que se tenha uma base cadastral dos alimentadores em estudo ( como é o caso ), é possível, através de software especialista para determinação de fluxo de carga para sistemas de Distribuição, obter-se o ponto mais desfavorável em termos de tensão para os diversos alimentadores em estudo . 6. EXEMPLO DE CÁLCULO 6.1 Dados da Cia Energética de Alagoas – CEAL A CEAL possuía na área da Grande Maceió, 4 subestações de Distribuição . Os alimentadores cadastrados estão discriminados na Figura 4, abaixo .são os seguintes :

Figura 4 - Alimentadores Cadastrados – Grande Maceió

De acordo com o procedimento descrito anteriormente, com a utilização de mapas eletrogeográficos da região em estudo e respectivos unifilares, levantou-se os dados de Q (volume) e S (área de influência) . A demanda de ponta P(kW) também, foi fornecida pelo setor de operações da capital . A Figura 5, abaixo, resume os dados obtidos para o presente trabalho .

12

Figura 5.- Dados de Operação e Levantamento de Volume e Área Com base nos dados da Figura 5 e após a execução de um programa de fluxo de carga adaptado para Distribuição, é possível obter os pontos mais desfavoráveis de cada alimentador em termos de queda de tensão . Desta forma, estabeleceu-se uma tabela, conforme a Figura 6, a seguir .

Figura 6. Outras Resultados Obtidos Com Auxílio do Fluxo de Carga

6.2 Resultados da Regressão A partir dos dados da Figura 6, obteve-se, inicialmente, a regressão linear, por transformação, para todos os alimentadores cadastrados na área da Grande Maceió .

13

Utilizando-se a equação β

=S

PK

S

Qa , foram alcançados os seguintes resultados ::

* Lei Obtida (inicialmente) : Ka = 40,97 r2 = 51,3 %

β = 0,47

Desprezando-se os pontos que estão fora da tendência, obtemos a seguinte lei (considerada definitiva) : Ka = 36,98 r2 = 93,0 %

β = 0,48 7. CONCLUSÕES Pelo valor do coeficiente de determinação encontrado por último, pode-se concluir que os dados obtidos estão muito relacionados através da relação proposta . Também há que se considerar que o valor de β = 0,48, muito se aproxima do valor teórico esperado, de acordo com o demonstrado pela 1a Lei de Juricic ( 0,5 ) BIBLIOGRAFIA [ 1 ] --- Busse, Adolpho Gomes, Nota Técnica 15 – DEME/ELETROBRÁS, 1979 [ 2 ] --- M. C. Rocha, “Custo Marginal de Distribuição – Relatório 2”, ELETROBRÁS, Rio de Janeiro, 1983 [ 3 ] --- Fabres, J. e alli., “Les Systèmes de Distribution de L´énergie Electrique – Developppment des Consommations et des Reseaux , Paris, france, 1986 ANEXO I --- ÁREA DE INFLUÊNCIA TOTAL DE UM ALIMANT ADOR --- SE TRAPICHE

14

ANEXO II --- DIAGRAMA UNIFILAR DE UM ALIMENTADOR -- - SE TABULEIRO

15