I. Método de Gauss

El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro equivalente

de forma que éste sea escalonado.

Obtenemos sistemas equivalentes por eliminación de ecuaciones dependientes. Si:

Todos los coeficientes son ceros.

Dos filas son iguales.

Una fila es proporcional a otra.

Una fila es combinación lineal de otras.

Criterios de equivalencia de sistemas de ecuaciones

Si a ambos miembros de una ecuación de un sistema se les suma o se les resta

una misma expresión, el sistemaresultante es equivalente.

Si multiplicamos o dividimos ambos miembros de las ecuaciones de un

sistema por un número distinto de cero, el sistemaresultante es equivalente.

Si sumamos o restamos a una ecuación de un sistema otra ecuación del mismo

sistema, el sistema resultante esequivalente al dado.

Sin en un sistema se sustituye una ecuación por otra que resulte de sumar las dos

ecuaciones del sistema previamente multiplicadas o divididas por números no

nulos, resulta otro sistema equivalente al primero.

Si en un sistema se cambia el orden de las ecuaciones o el orden de las

incógnitas, resulta otro sistema equivalente.

Ejemplo

El método de Gauss consiste en utilizar el método de reducción de manera que en cada

ecuación tengamos una incógnita menos que en la ecuación precedente.

a) Ponemos como primera ecuación la que tenga el como coeficiente de x: 1 ó -1, en

caso de que no fuera posible lo haremos con y o z, cambiando el orden de las

incógnitas.

b) Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación, para eliminar el término en x de la 2ª

ecuación. Después ponemos como segunda ecuación el resultado de la operación:

E'2 = E2 − 3E1

c) Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª ecuación, para eliminar el término en x.

E'3 = E3 − 5E1

d) Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª, trasformadas, para hacer reducción y eliminar el

término en y.

E''3 = E'3 − 2E'2

e) Obtenemos el sistema equivalente escalonado.

f) Encontrar las soluciones.

z = 1

− y + 4 · 1 = −2 y = 6

x + 6 −1 = 1 x = −4

III. Metodo de Gauss Seidel

El metodo de Gauss-Seidel es muy semejante al metodo de Jacobi. En metodo de Gauss-

Seidel se va utilizando los valores de las incognitasrecien calculados en la misma iteración.

Aunque este método puede aplicarse a cualquier sistema de ecuaciones lineales que

produzca una matriz (cuadrada, naturalmente pues para que exista solución única, el

sistema debe tener tantas ecuaciones como incógnitas) de coeficientes con los elementos de

su diagonal no-nulos, la convergencia del método solo se garantiza si la matriz es

diagonalmente dominante o si es simétrica y, a la vez, definida positiva.

Es un método iterativo, lo que significa que se parte de una aproximación inicial y se repite

el proceso hasta llegar a una solución con un margen de error tan pequeño como se quiera.

Buscamos la solución a un sistema de ecuaciones lineales, en notación matricial:

El método de iteración Gauss-Seidel se computa, para la iteración :

Ejemplo#1

Partiendo de (x = 1, y = 2) aplique dos iteraciones del m´etodo de Gauss-Seidel para

resolver el sistema:

5 x + 2y = 1

x − 4y = 0

Solución

a) Debemos primeramente despejar de la ecuacion la incognita correspondiente.

x = 0.20 + 0.00 x − 0.40y

y = 0.00 + 0.25 x + 0.00y

b) Aplicamos la primera iteracion partiendo de x0 = 1.00 y y0 = 2.00:

x1 = 0.20 + 0.00 (+1.000) − 0.40 (2.00) = −0.600

y1 = 0.00 + 0.25 (−0.600) + 0.00 (2.00) = −0.15

c) Aplicamos la segunda iteracion partiendo de x1 = −0.600 y y1 = −0.15:

x2 = 0.20 + 0.00 (−0.600) − 0.40 (−0.15) = 0.26

y2 = 0.00 + 0.25 (0.26) + 0.00 (−0.15) = 0.065

d) Aplicamos la tercera iteracion partiendo de x2 = 0.26 y y2 = 0.065:

x2 = 0.20 + 0.00 (0.26) − 0.40 (0.065) = 0.174

y2 = 0.00 + 0.25 (0.174) + 0.00 (0.174) = 0.0435

Ejemplo#2

Partiendo de (x = 1, y = 2, z = 0) aplique dos iteraciones del metodo de Gauss-Seidel para

resolver el sistema:

10 x + 0y − z = −1

4 x + 12y − 4z = 8

4 x + 4y + 10z = 4

Solucion

a) Debemos primeramente despejar de la ecuacion la incognita correspondiente.

x = −0.10 + 0.00 x + 0.00y + 0.10z

y = 0.66 − 0.33 x + 0.00y + 0.33z

z = 0.40 − 0.40 x − 0.40y + 0.00z

b) Aplicamos la primera iteracion partiendo de x0 = 1.00, y0 = 2.00, y z = 0.00:

x1 = −0.10 + 0.00(1.00) + 0.00 (2.00) + 0.10 (0.00) = −0.1

y1 = 0.66 − 0.33(−0.10) + 0.00 (2.00) + 0.33 (0.00) = 0.70

z1 = 0.40 − 0.40(−0.10) − 0.40 (0.70) + 0.00 (0.00) = 0.16

c) Aplicamos la segunda iteracion partiendo de x1 = −0.10 y y1 = 0.70 y z1 = 0.16:

x1 = −0.10 + 0.00(−0.10) + 0.00 (0.70) + 0.10 (0.16) = −0.084

y1 = 0.66 − 0.33(−0.084) + 0.00 (0.70) + 0.33 (0.16) = 0.748

z1 = 0.40 − 0.40(−0.084) − 0.40 (0.748) + 0.00 (0.16) = 0.134

d) Aplicamos la tercera iteracion partiendo de x1 = −0.084 y y1 = 0.748 y z1 = 0.134:

x1 = −0.10 + 0.00(−0.084) + 0.00 (0.748) + 0.10 (0.134) = −0.086

y1 = 0.66 − 0.33(−0.086) + 0.00 (0.748) + 0.33 (0.134) = 0.740

z1 = 0.40 − 0.40(−0.086) − 0.40 (0.740) + 0.00 (0.134) = 0.138