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Dos ejercicios explicados, paso a paso, para resolver problemas usando el método de las dos fases (símplex),para ramos relacionados con investigación de operaciones.
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Investigacin de operaciones:Viernes, 05 de Agosto de 2011
Smplex - Mtodo de -las dos fases. Investigacin de Operaciones Tarea n2:Mtodo de las 2 Fases.
Alumno: Gorki Andrs Gonzlez Canales.EJERCICIO 1Minimizar S. a
Desarrollo. Primero, pasar la funcin objetivo de minimizar a maximizar. Ello se logra, multiplicando la funcin objetivo por menos uno (-1), lo cual deja a la funcin objetivo as
A continuacin, se procede a dejar en forma de igualdad las restricciones del problema y a modificar la funcin objetivo, segn corresponda.
Ahora, se procede a eliminar el trmino M de la funcin objetivo o ecuacin cero (0) Para ello, se realiza la siguiente operacin: Ello genera una nueva Ahora, a la la cual logra que el trmino sea cero.
se le aplicar la siguiente operacin: que ya no cuenta con el trmino logrando as, eliminar todos los trminos M en la funcin objetivo o
Ello genera una nueva Ahora, a la ecuacin cero.
se le multiplica por
Entonces, nuestro sistema queda as
Ahora, se est en condiciones de aplicar Smplex.Iteracin Variable Bsica Nmero de Ecuacin Coeficientes Lado Derecho Cociente Mnimo?
Z
0 1 2
Z -1 0 0
-7
-4 1 3
1 -1 0
0 1 0
1 0 -1
0 0 1
-9 3 6
0
34
11,5
MIN
1
Solucin Bsica Factible Inicial. Z -9
0
0
0
3
0
6
Variable bsica entrante:
Variable bsica saliente:
(1)*(1/3) = N(1) (2)-(N(1)*4) = N(2) (0)+(N(1)*7) = N(0)
Z 0 0 -1
1 0 0
1/3 5/3 -5/3
-1/3 4/3 -4/3
1/3 -4/3 7/3
0 -1 1
0 1 0
LD 1 2 -2
Iteracin
Variable Bsica
Nmero de Ecuacin
Coeficientes
Z
1Solucin Bsica Factible.
0 1 2
Z -1 0 0
Lado Derecho
Cociente
Mnimo?
0 1 0
-5/3 -4/3 1/3 -1/3
7/3 1/3 -4/3
1 0 -1
0 0 1
-2 1 2
5/3
4/3
3 1,2
MIN
Z -2
1
0
0
0
0
2
Variable bsica entrante:
Variable bsica saliente: Z 0 0 -1 LD 6/5 3/5 0
(2)*(3/5) = N(2) (1)-[N(2)*(1/3)] = N(1) (0)+[N(2)*(5/3)] = N(0)
0 1 0
1 0 0
4/5 -3/5 0
-4/5 3/5 1
-3/5 1/5 0
3/5 -1/5 1
Iteracin
Variable Bsica
Nmero de Ecuacin
Coeficientes
Z -1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 -3/5 3/5 1/5 -1/5 4/5 -4/5 -3/5 3/5
Lado Derecho
Cociente
Mnimo?
Z
0 1 2
2
03/5 6/5
Regln cero, no hay ms coeficientes negativos. Fin de iteracin.1 Solucin Bsica Factible. Z
0
3/5
6/5
0
0
0
0
Ahora, se quitan las columnas de las variables artificialesIteracin Variable Bsica Nmero de Ecuacin
y
.Lado Derecho
Coeficientes
1
Z
0 1 2
Z -1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 -3/5 4/5
0 1/5 -3/5
0 0,6 6/5
Si el valor de la Z ptima es cero, se puede continuar, de lo contrario el problema no tiene solucin y no se contina.
2
Se reemplaza los coeficientes del regln cero por los coeficientes de la funcin objetivo, pero maximizada. Las restricciones quedan tal cual.Iteracin Variable Bsica Nmero de Ecuacin Coeficientes
-
Z
0 1 2
Z -1 0 0
Lado Derecho
1 1 0
2 0 1
0 -3/5 4/5
0 1/5 -3/5
0 3/5 6/5
Ahora, se deben de hacer cero las variables de decisin
y
, y las restricciones quedan igual.2
(0)-(1) =
N(0)
Z -1
0
2
3/5
-1/5
LD -3/5
Iteracin
Variable Bsica
Nmero de Ecuacin
Coeficientes
-
Z
0 1 2
Z -1 0 0
Lado Derecho
0 1 0
2 0 1
3/5 -3/5 4/5
-1/5 1/5 -3/5
-3/5 3/5 6/5
N(0)-[(2)*2] = N(0)*
Z -1
0
0
-1
1
LD -3
Iteracin
Variable Bsica
Nmero de Ecuacin
Coeficientes
-
Z
0 1 2
Z -1 0 0
Lado Derecho
0 1 0
0 0 1
-1 -3/5 4/5
1 1/5 -3/5
-3 3/5 6/5
Ahora, se hace Smplex, con el fin de dejar los coeficientes positivos en el regln cero o ecuacin cero.Iteracin Variable Bsica Nmero de Ecuacin Coeficientes Lado Derecho Cociente Mnimo?
0
Z
0 1 2
Z -1 0 0
0 1 0
0 0 1
-1 -3/5
4/5
1 1/5 -3/5
-3 3/5 6/5
1,5
MIN
Variable bsica entrante:
Variable bsica saliente: Z 0 0 -1 LD 3/2 3/2 -3/2
(2)*(1/0,8) = N(2) (1)+[N(2)*0,6)] = N(1) (0)+N(2) = N(0)
0 1 0
5/4 3/ 4 5/4
1 0 0
-3/4 -1/4 1/4
2
El paso de hacer cero las variables de decisin, slo se hace cuando la funcin objetivo inicial es minimizar. Si es maximizar, este paso no se realiza.
3
Iteracin
Variable Bsica
Nmero de Ecuacin
Coeficientes
Z -1 0 0 0 1 0 5/4 3/ 4 5/4 0 0 1 1/4 -1/4 -3/4
Lado Derecho
Cociente
Mnimo?
Z
0 1 2
-3/2 3/2 3/2
1
Ya no hay ms coeficientes negativos en regln cero. Fin de iteracin. La solucin bsica factible FINAL para este problema es: Z 3/2 3/2 0 3/2 0 0 0
EJERCICIO 2Resolver el siguiente problema usando el Mtodo de Dos Fases. Maximizar S. a
Desarrollo. Primero, se transforman las restricciones de desigualdad a igualdad, y se modifica la funcin objetivo, segn corresponda. (0) (1) (2) (3) A continuacin, se debe de eliminar las variables artificiales funcin objetivo. (0)-[M*(2)] => (0)*-[(3)*M] => (0)** => y , para luego eliminar el trmino M de la
=> Nueva ecuacin (0)* => Nueva ecuacin (0)** => Nueva FUNCIN OBJETIVO.
Ahora, se pasa a Smplex.
4
Iteracin
Variable Bsica
Nmero de Ecuacin
Coeficientes
Z
0
0 1 2 3
Z 1 0 0 0
Lado Derecho
Cociente
Mnimo?
-4 1 2
-4 2 3 1
0 1 0 0
0 0 1 0
1 0 0 -1
0 0 0 0
-20 12 12 8
12 6
2
4
MIN
Solucin Bsica Factible Inicial. Z -20
0
0
12
12
0
8
Variable bsica entrante:
Variable bsica saliente: Z 0 0 0 1 LD 4 4 8 -4
Ec(3)*1/2 Ec(2)-[NEC(3)*2] Ec(1)-NEC(3) Ec(0)+[NEC(3)*4]
NEC(3) NEC(2) NEC(1) NEC(0)
1 0 0 0
1/2 2 3/2 -2
0 0 1 0
0 1 0 0
-1/2 1 1/2 -1
0 0 0 0
Iteracin
Variable Bsica
Nmero de Ecuacin
Coeficientes
Z
1Solucin Bsica Factible.
0 1 2 3
Z 1 0 0 0
Lado Derecho
Cociente
Mnimo?
0 0 0 1
-2 3/2
0 1 0 0
0 0 1 0
-1 1 -1/2
0 0 0 0
-4 8 4 4
5
21/2
28
MIN
Z -4
4
0
8
4
0
0
Variable bsica entrante:
Variable bsica saliente: Z 0 1 0 0 LD 2 0 5 3
Ec(2)*(1/2) Ec(0)+[NEC(2)*2] Ec(1)-[NEC(2)*(3/2)] EC(3)-[NEC(2)*(1/2)]
NEC(2) NEC(0) NEC(1) NEC(3)
0 0 0 1
1 0 0 0
0 0 1 0
0,5 1 -0,75 -0,25
0,5 0 -0,25 -0,75
0 0 0 0
Iteracin
Variable Bsica
Nmero de Ecuacin
Coeficientes
Z
2
0 1 2 3
Z 1 0 0 0
Lado Derecho
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 -3/4 -1/4 1/2 1/2 -1/4 -3/4
0 0 0 0
0 5 2 3
Regln cero, no hay ms coeficientes negativos. Fin de iteracin. Solucin Bsica Factible. Z 0
3
2
5 5
0
0
0
Ahora, se eliminan las columnas de las variables artificialesIteracin Variable Bsica Nmero de Ecuacin
y
.Lado Derecho
Coeficientes
Z
-
0 1 2 3
Z 1 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
0 -1/4 1/2 -3/4
0 5 2 3
Ahora, se reemplazan los coeficientes del regln cero, por los coeficientes de la funcin objetivo original.Iteracin Variable Bsica Nmero de Ecuacin Coeficientes Lado Derecho
Z
Z
Ahora, se utiliza smplex.Iteracin Variable Bsica Nmero de Ecuacin
0 1 2 3
10 0 0
-30 0 1
-20 1 0
01 0 0
0-1/4 1/2 -3/4
05 2 3
Coeficientes
Z
0Variable bsica entrante:
0 1 2 3
Z 1 0 0 0
Lado Derecho
Cociente
Mnimo?
-3 0 0
1
-2 0 1 0
0 1 0 0
0 -1/4 1/2 -3/4
0 5 2 3
3
MIN
Variable bsica saliente: Z 1LD
Ec(0)+[Ec(3)*3]
NEC(0)
0
-2
0
-9/4
9
Iteracin
Variable Bsica
Nmero de Ecuacin
Coeficientes
Z
1Variable bsica entrante:
0 1 2 3
Z 1 0 0 0
Lado Derecho
Cociente
Mnimo?
0 0 0 1
-2 0
10
0 1 0 0
-9/4 -1/4 1/2 -3/4
9 5 2 3
2
MIN
Variable bsica saliente:
Ec(0)+[Ec(2)*2]
NEC(0)
Z 1
0
0
0
-5/4
LD 13
Iteracin
Variable Bsica
Nmero de Ecuacin
Coeficientes
Z
2
0 1 2 3
Z 1 0 0 0
Lado Derecho
Cociente
Mnimo?
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
-5/4 -1/4
1/2-3/4
13 5 2 3
4
MIN
6
Variable bsica entrante:
Variable bsica saliente: Z 0 1 0 0 LD 4 18 6 6
Ec(2)*2 Ec(0)+[NEC(2*(5/4)] Ec(1)+[NEC(2)*(1/4)] Ec(3)+[NEC(2)+(3/4)]
NEC(2) NEC(0) NEC(1) NEC(3)
0 0 0 1
2 5/2 1/2 3/2
0 0 1 0
1 0 0 0
Iteracin
Variable Bsica
Nmero de Ecuacin
Coeficientes
Z
3
0 1 2 3
Z 1 0 0 0
Lado Derecho
0 0 0 1
5/2 1/2 2 3/2
0 1 0 0
0 0 1 0
18 6 4 6
Ya no hay ms coeficientes negativos en regln cero. Fin de iteracin. La solucin bsica factible FINAL para este problema es: Z 18 6 0 6 0 4 0
7