Ajuste de curvas Y Mtodos de resolucin para sistemas de ecuaciones como: Cramer, Gauss, Gauss Jordn

AJUSTE DE CURVASAjuste de curvas se usa para encontrar una funcin que responda a una muestra de datos obtenidas de alguna medicin, sampleo etc.

La aplicacin ms elemental es para dibujar una curva en una computadora en base a algunos puntos (datos) de manera que se vea bien.

Otra aplicacin ms interesante es la obtener una funcin que en base a algunos puntos obtenidos de medicin se pueda estimar otros puntos que no fueron medidos empricamente.

Para lograr este objetivo se utilizan, entre otros, interpolacin y aproximacin por el mtodo de mnimos cuadrados; en los mtodos por interpolacin la funcin pasa exactamente por los puntos observados, en cambio en el mtodo de aproximacin se busca que una funcin pase lo mas cercanamente posible por los puntos observados.

Interpolacin polinomial:

Este es un mtodo que dados los puntos x1,x2,..,xn con sus correspondientes valores f(x1),f(x2),..,f/(xn) obtiene un nico polinomio que pasa por todos los puntos.

Este mtodo trae aparejados dos problemas uno computacional y otro matemtico.

Problema computacional: La frmula clsica que se utiliza es la de interpolacin de Lagrange:

Figura 1

Por ejemplo un polinomio de grado 2 donde p(1) = 3, p(2) = 7 y p(3) = 13 ; utilizando la frmula de la figura 1, sera el siguiente:

Figura 2

En la frmula de la figura 2 se ve que cuando x = 1 se anulan el segundo y tercer trmino, cuando x = 2 se anulan el primero y el tercero y cuando x = 3 se anulan el primero y el segundo; pudindose extender este ejemplo hasta N puntos, vemos que para N puntos nos queda un polinomio de grado N-1.

La frmula expresada en la figura 2 se simplifica y se llega a la siguiente:

Figura 3

Y es ac donde se ve el problema computacional; para pasar de la frmula de la figura 2 a la de la figura 3, que es la forma estndar de expresin del polinomio con sus coeficientes, se necesitan por lo menos N2 operaciones, dado que la sumatoria tiene N trminos y cada termino tiene un producto de N factores, y esto para varios puntos crece muy rpido.

Por el otro lado el problema matemtico viene dado debido a que al crecer el grado del polinomio siempre logro que el mismo pase por todos los puntos que le exig, pero a medida que crece el grado del mismo curva entre los puntos no exigidos tiende a fluctuar, provocando que no sirva para estimar valores no medidos (el cual es uno de los principales objetivos).

En la siguiente figura se ve un caso tpico; hacemos de cuenta que conocemos la funcin f a aproximar y la aproximamos con este mtodo con el polinomio P:

Figura 4

Se ve claramente que en los puntos medidos el polinomio vale igual que la funcin, pero entre los puntos difiere mucho.

Por estas razones se considera inapropiado el mtodo de interpolacin de polinomios para hacer un ajuste de curva.

Interpolacin Spline:

Mediante este mtodo se usan polinomios de grado 3 para unir dos puntos de la funcin entre si, es decir en vez de utilizar un polinomio de alto grado se usan varios de grado 3 , esto implica que para N puntos tenemos N-1 polinomios diferentes de grado 3.

Figura 5

Si(x) es el polinomio que une el punto i con el i + 1, es decir S1(x1) = y1 , S1(x2) = y2 , S2(x2) = y2 (

S1(x2) = S2(x2) ; por otro lado adems de coincidir los diferentes polinomios en los puntos que los unen pedimos que coincidan la primer y segunda derivada, de esta forma vamos a lograr una unin natural entre los puntos, que es hacia lo que apuntamos.

Teniendo en cuenta que :

Figura 6

y que en un mismo punto coinciden los valores de sus derivadas primeras y de sus derivadas segundas es decir:

Figura 7

Nos queda un sistema de ecuaciones de 4N-6 ecuaciones con 4(N-1) = 4N-4 incgnitas, es decir nos faltan 2 condiciones para poder armar un sistema de ecuaciones con solucin nica.

Una solucin para esto es saber el valor de y de y para un spline llamado natural estas derivadas valen cero, completando con estas dos condiciones un sistema de ecuaciones de 4N-4 ecuaciones con 4N-4 incgnitas (que son los coeficientes de los N-1 polinomios de grado 3 que unen los N puntos).

Este sistema se resuelve aplicando eliminacin de Gauss.

Existe una forma de calcular ms eficientemente estas curvas; supongamos que conocemos los valores de Si(xi) y los llamamos pi , podemos expresar el valor de los coeficientes de cada curva en funcin de esos pi utilizando el siguiente sistema de ecuaciones:

Figura 8

Una vez resuelto esto el problema se reduce a N-2 pi incgnitas, que se resuelven con las N-2 ecuaciones

que salen de que

Figura 9

Haciendo un cambio de variables

Figura 10

nos queda la siguiente ecuacin de la curva Si(t) entre el punto xi y xi+1 en funcin de pi y pi+1

Figura 11

en la ecuacin anterior cuando x = xi ( t = 0 y cuando x = xi+1 ( t = 1por lo tanto quedando Si-1(1) = Si(0) para i = 2, . . . , N-1 y llamando

Figura 12

Nos queda la siguiente ecuacin, completando el sistema de ecuaciones para averiguar pi

Figura 13

Finalmente llamando

Figura 14

Y para un caso en que N = 7 nos queda el siguiente sistema de ecuaciones

Figura 15

El sistema de ecuaciones anterior se resuelve de la siguiente manera dado que es una matriz tridiagonal y adems simtrica con respecto a la diagonal.

Usamos el siguiente mtodo:

Figura 16

Y una vez obtenidos los valores pi se los utiliza en el siguiente mtodo que devuelve el valor de la funcin interpolante para un x dado:

Figura17

El mtodo anterior primero ubica en que intervalo [xi,xi+1] se encuentra la x ingresada y luego hace todos los clculos con esa curva interpolante.

DEFINICIN Y CLASIFICACIN DE ECUACIONES LINEALES

Se denomina ecuacin lineal a aquella que tiene la forma de un polinomio de primer grado, es decir, las incgnitas no estn elevadas a potencias, ni multiplicadas entre s, ni en el denominador.Por ejemplo, 3x + 2y + 6z = 6 es una ecuacin lineal con tres incgnitas. Como es bien sabido, las ecuaciones lineales con 2 incgnitas representan una recta en el plano.

Si la ecuacin lineal tiene 3 incgnitas, su representacin grfica es un plano en el espacio.

Un ejemplo de ambas representaciones puede observarse en la figura:

Representacin grfica de la recta x + 2y = 3 en el plano y del plano x + y + z = 1 en el espacio

UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES ES UN CONJUNTO DE ECUACIONES LINEALES DE LA FORMA:

En este caso tenemos m ecuaciones y n incgnitas.

Los nmeros reales aij se denominan coeficientes y los se denominan incgnitas (o nmeros a determinar) y bj se denominan trminos independientes.

En el caso de que las incgnitas sean 2 se suelen designar simplemente por x e y en vez de x1 y x2, y en el caso de tres, x, y, z en lugar de x1, x2 y x3 pero esto es indiferente a la hora de resolver el sistema.

Resolver el sistema consiste en calcular las incgnitas para que se cumplan TODAS las ecuaciones del sistema simultneamente.

Diremos que dos sistemas son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones.REPRESENTACIN MATRICIAL DE UN SISTEMA DE ECUACIONESCualquier sistema de ecuaciones lineales se puede expresar en forma matricial del modo:

La matriz formada por A y B conjuntamente, es decir:

se llama matriz ampliada del sistema y se representara por (A|B)SISTEMAS EQUIVALENTES

11-1

2-11

1-3-1

-1-31

X

Y

Z

2

1

0

0

=

Los sistemas equivalentes, se aplican a sistemas de ecuaciones lineales que tienen las mismas soluciones y que resultan de aplicar sobre la matriz original operaciones elementales de fila

11-12

2-111

1-3-10

-1-310

CLASIFICACION DE SISTEMAS DE ECUACIONES

Sistemas homogneos (2 tipos de soluciones)

La solucin trivial, es decir, cuando las incgnitas valen cero cada una.

Infinitas soluciones, cuando algunas de las incgnitas quedan en funcin de otras y valen cero.

Sistemas no homogneos (3 tipos de soluciones)

nica solucin, cuando para todas las incgnitas del sistema existe con un solo valor real.

Infinitas soluciones, cuando algunas de las incgnitas estn en funcin de otras y tienen un valor real.

No existe solucin, cuando los valores de las incgnitas no existen.

En sistemaNo homogneoHomogneo

a)SiSi (Trivial)

b)SiSi

c)SiNo

MTODOS DE RESOLUCIN Mtodo de Gauss

El mtodo de Gauss, conocido tambin como de triangulacin o de cascada, nos permite resolver sistemas de ecuaciones lineales con cualquier nmero de ecuaciones y de incgnitas.

La idea es muy simple; por ejemplo, para el caso de un sistema de tres ecuaciones con tres incgnitas se trata de obtener un sistema equivalente cuya primera ecuacin tenga tres incgnitas, la segunda dos y la tercera una. Se obtiene as unsistema triangularo en cascada de la forma:

Ax+ By+ Cz= D Ey+ Fz= G Hz= I

Ejemplo:

Realizamos operaciones de fila

La ultima matriz esta en forma escalonada por filas, (mtodo de gauss), lo cual significa que:

.

Mtodo de Gauss-Jordan

Este mtodo, que constituye una variacin del mtodo de eliminacin de Gauss, permite resolver hasta 15 o 20 ecuaciones simultneas, con 8 o 10 dgitos significativos en las operaciones aritmticas de la computadora. Este procedimiento se distingue del mtodo Gaussiano en que cuando se elimina una incgnita, se elimina de todas las ecuaciones restantes, es decir, las que preceden a la ecuacin pivote as como de las que la siguen.

El mtodo se ilustra mejor con un ejemplo. Resolvamos el siguiente conjunto de ecuaciones

3.0 X1 - 0.1 X2 - 0.2 X3 = 7.8500

0.1 X1 + 7.0 X2 - 0.3 X3 = - 19.3

0.3 X1 - 0.2 X2 + 10 X3 = 71.4000

Primero expresemos los coeficientes y el vector de trminos independientes como una matriz aumentada.

Se normaliza el primer rengln dividiendo entre 3 para obtener:

El trmino X1 se puede eliminar del segundo rengln restando 0.1 veces el primero del segundo rengln. De una manera similar, restando 0.3 veces el primero del tercer rengln se elimina el trmino con X1 del tercer rengln.

En seguida, se normaliza el segundo rengln dividiendo entre 7.00333:

Reduciendo los trminos en X2 de la primera y la tercera ecuacin se obtiene:

El tercer rengln se normaliza dividiendolo entre 10.010:

Finalmente, los trminos con X3 se pueden reducir de la primera y segunda ecuacin para obtener:

Ntese que no se necesita sustitucin hacia atrs para obtener la solucin.

Las ventajas y desventajas de la eliminacin gaussiana se aplican tambin al mtodo de Gauss-Jordan.

Aunque los mtodos de Gauss-Jordan y de eliminacin de Gauss pueden parecer casi idnticos, el primero requiere aproximadamente 50% menos operaciones. Por lo tanto, la eliminacin gaussiana es el m todo simple por excelencia en la obtencin de soluciones exactas a las ecuaciones lineales simultneas. Una de las principales razones para incluir el mtodo de Gauss-Jordan, es la de proporcionar un mtodo directo para obtener la matriz inversa. Mtodo de Cramer

Laregla de Cramersirve para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Se aplica a sistemas que cumplan las dos condiciones siguientes:

-Elnmero de ecuacioneses igual alnmero de incgnitas.

-Eldeterminantede la matriz de los coeficientes esdistinto de cero.

Talessistemasse denominansistemas de Cramer.

Seael determinante de la matriz de coeficientes.

Y sean: 1, 2, 3... , nLos determinantes que se obtiene al sustituir los coeficientes del 2 miembro (los trminos independientes) en la 1 columna, en la 2 columna, en la 3 columna y en la ensima columna respectivamente.Unsistema de Cramertieneunasolasolucinque viene dada por las siguientes expresiones:

CRITERIO PARA HALLAR SOLUCIONES

Una vez aplicado Gauss o Gauss-Jordn

Tiene solucin nica si el nmero de ecuaciones validas es igual al nmero de incgnitas.

Tiene infinitas soluciones si el nmero de ecuaciones validas es menor al nmero de incgnitas.

No tiene solucin si el nmero de filas no nulas de la matriz ampliada y el de la matriz de coeficientes son diferentes.

Aplicamos Gauss Jordn

Como se escriben las infinitas soluciones

Ejemplo:

Resolucin por Gauss- Jordan

Ejercicios tipo examen:

Determinar para que valores de existe:

a) b) c)

Determinar los valores de a para que el sistema

a) Tenga solucin nica. Hallarlas

b) Tenga ms de una solucin. Hallarlas

c) No tenga soluciones

+2+22

C.S.= C.S.=Determinar los valores de m para que el siguiente sistema

a) Tenga solucin nica. Hallarlas

b) Tenga ms de una solucin. Hallarlas

c) No tenga soluciones

C.S.= C.S.=

C.S.= C.S.=

SEMESTRE: 5 B

2015

Ajuste de curvas Y Mtodos de resolucin para sistemas de ecuaciones como: Cramer, Gauss, Gauss Jordn

Mtodos numricos

Vanessa Alexandra vila Domnguez

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO

FACULTAD DE INGENIERA

INGENIERA CIVIL

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