Metodo di Holt-WintersM. Romito

7 dicembre 2016

Smorzamento esponenziale (SE) e smorzamento esponenziale contrend (SET)

auto.data<-read.csv("Scheda11.csv",header=FALSE)auto=ts(auto.data,frequency=12,start=c(1995,1))moto.data<-read.csv("Scheda12.csv",header=FALSE)moto=ts(moto.data,frequency=12,start=c(2000,1))

Smorzamento esponenziale

Proviamo il metodo di smorzamento esponenziale su una serie con forte trend creata artificiosamente.st=ts((1:100)+10*rnorm(100),frequency=10)se=HoltWinters(st,beta=F,gamma=F)se

## Holt-Winters exponential smoothing without trend and without seasonal component.#### Call:## HoltWinters(x = st, beta = F, gamma = F)#### Smoothing parameters:## alpha: 0.3088877## beta : FALSE## gamma: FALSE#### Coefficients:## [,1]## a 105.0639

plot(se)

1

Holt−Winters filtering

Time

Obs

erve

d / F

itted

2 4 6 8 10

−20

020

4060

8010

0

predict(se,1)

## Time Series:## Start = c(11, 1)## End = c(11, 1)## Frequency = 10## fit## [1,] 105.0639

Passiamo a esaminare la serie esempio (esportazione accessori auto), che contiene dati con trend dominante.auto.se=HoltWinters(auto,beta=F,gamma=F)auto.se

## Holt-Winters exponential smoothing without trend and without seasonal component.#### Call:## HoltWinters(x = auto, beta = F, gamma = F)#### Smoothing parameters:## alpha: 0.1610812## beta : FALSE## gamma: FALSE#### Coefficients:## [,1]## a 45292.56

2

plot(auto.se)

Holt−Winters filtering

Time

Obs

erve

d / F

itted

1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008

020

000

4000

060

000

Proviamo a variare il valore del parametro α.plot(auto.se);points(HoltWinters(auto,alpha=0.2,beta=F,gamma=F)$fitted,col="blue",type="l")

Holt−Winters filtering

Time

Obs

erve

d / F

itted

1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008

020

000

4000

060

000

3

plot(auto.se);points(HoltWinters(auto,alpha=0.4,beta=F,gamma=F)$fitted,col="blue",type="l")

Holt−Winters filtering

Time

Obs

erve

d / F

itted

1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008

020

000

4000

060

000

plot(auto.se);points(HoltWinters(auto,alpha=0.6,beta=F,gamma=F)$fitted,col="blue",type="l")

Holt−Winters filtering

Time

Obs

erve

d / F

itted

1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008

020

000

4000

060

000

4

plot(auto.se);points(HoltWinters(auto,alpha=0.8,beta=F,gamma=F)$fitted,col="blue",type="l")

Holt−Winters filtering

Time

Obs

erve

d / F

itted

1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008

020

000

4000

060

000

plot(auto.se);points(HoltWinters(auto,alpha=1,beta=F,gamma=F)$fitted,col="blue",type="l")

Holt−Winters filtering

Time

Obs

erve

d / F

itted

1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008

020

000

4000

060

000

5

plot(auto.se);points(HoltWinters(auto,alpha=0.01,beta=F,gamma=F)$fitted,col="blue",type="l")

Holt−Winters filtering

Time

Obs

erve

d / F

itted

1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008

020

000

4000

060

000

plot(auto.se);points(HoltWinters(auto,alpha=0.05,beta=F,gamma=F)$fitted,col="blue",type="l")

Holt−Winters filtering

Time

Obs

erve

d / F

itted

1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008

020

000

4000

060

000

6

plot(auto.se);points(HoltWinters(auto,alpha=0.10,beta=F,gamma=F)$fitted,col="blue",type="l")

Holt−Winters filtering

Time

Obs

erve

d / F

itted

1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008

020

000

4000

060

000

plot(auto.se);points(HoltWinters(auto,alpha=0.15,beta=F,gamma=F)$fitted,col="blue",type="l")

Holt−Winters filtering

Time

Obs

erve

d / F

itted

1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008

020

000

4000

060

000

Predizione con smorzamento esponenziale.

7

plot(auto.se,predict(auto.se,12))

Holt−Winters filtering

Time

Obs

erve

d / F

itted

1995 2000 2005 2010

020

000

4000

060

000

predict(auto.se,1)

## Jan## 2009 45292.56

Smorzamento esponenziale con trend

auto.set=HoltWinters(auto,gamma=F)auto.set

## Holt-Winters exponential smoothing with trend and without seasonal component.#### Call:## HoltWinters(x = auto, gamma = F)#### Smoothing parameters:## alpha: 0.3078436## beta : 0.2922033## gamma: FALSE#### Coefficients:## [,1]## a 41215.437## b -2734.826

plot(auto.set)

8

Holt−Winters filtering

Time

Obs

erve

d / F

itted

1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008

−20

000

020

000

6000

0

Proviamo a variare direttamente i valori dei parametri. Primaalpha,plot(auto.set);points(HoltWinters(auto,alpha=0.1,beta=0.3,gamma=F)$fitted,col="blue",type="l")

Holt−Winters filtering

Time

Obs

erve

d / F

itted

1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008

−20

000

020

000

6000

0

9

plot(auto.set);points(HoltWinters(auto,alpha=0.2,beta=0.3,gamma=F)$fitted,col="blue",type="l")

Holt−Winters filtering

Time

Obs

erve

d / F

itted

1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008

−20

000

020

000

6000

0

plot(auto.set);points(HoltWinters(auto,alpha=0.3,beta=0.3,gamma=F)$fitted,col="blue",type="l")

Holt−Winters filtering

Time

Obs

erve

d / F

itted

1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008

−20

000

020

000

6000

0

10

plot(auto.set);points(HoltWinters(auto,alpha=0.4,beta=0.3,gamma=F)$fitted,col="blue",type="l")

Holt−Winters filtering

Time

Obs

erve

d / F

itted

1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008

−20

000

020

000

6000

0

plot(auto.set);points(HoltWinters(auto,alpha=0.5,beta=0.3,gamma=F)$fitted,col="blue",type="l")

Holt−Winters filtering

Time

Obs

erve

d / F

itted

1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008

−20

000

020

000

6000

0

poi β,

11

plot(auto.set);points(HoltWinters(auto,alpha=0.3,beta=0.1,gamma=F)$fitted,col="blue",type="l")

Holt−Winters filtering

Time

Obs

erve

d / F

itted

1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008

−20

000

020

000

6000

0

plot(auto.set);points(HoltWinters(auto,alpha=0.3,beta=0.2,gamma=F)$fitted,col="blue",type="l")

Holt−Winters filtering

Time

Obs

erve

d / F

itted

1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008

−20

000

020

000

6000

0

12

plot(auto.set);points(HoltWinters(auto,alpha=0.3,beta=0.3,gamma=F)$fitted,col="blue",type="l")

Holt−Winters filtering

Time

Obs

erve

d / F

itted

1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008

−20

000

020

000

6000

0

plot(auto.set);points(HoltWinters(auto,alpha=0.3,beta=0.4,gamma=F)$fitted,col="blue",type="l")

Holt−Winters filtering

Time

Obs

erve

d / F

itted

1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008

−20

000

020

000

6000

0

13

plot(auto.set);points(HoltWinters(auto,alpha=0.3,beta=0.5,gamma=F)$fitted,col="blue",type="l")

Holt−Winters filtering

Time

Obs

erve

d / F

itted

1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008

−20

000

020

000

6000

0

Riaggiustiamo la condizione iniziale. Ricordiamo che l.start è la intercetta iniziale, e b.start è la pendenzainiziale.plot(HoltWinters(auto,gamma=F,l.start=auto[1,1]))

14

Holt−Winters filtering

Time

Obs

erve

d / F

itted

1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008−20

000

020

000

6000

0

plot(HoltWinters(auto,gamma=F,l.start=auto[1,1],b.start=0))

Holt−Winters filtering

Time

Obs

erve

d / F

itted

1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008

020

000

4000

060

000

plot(HoltWinters(auto,gamma=F,l.start=auto[2,1],b.start=100))

15

Holt−Winters filtering

Time

Obs

erve

d / F

itted

1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008

020

000

4000

060

000

plot(HoltWinters(auto,gamma=F,l.start=6500,b.start=2))

Holt−Winters filtering

Time

Obs

erve

d / F

itted

1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008

020

000

4000

060

000

Calcoliamo la predizione

16

plot(auto.set,predict(auto.set,12))

Holt−Winters filtering

Time

Obs

erve

d / F

itted

1995 2000 2005 2010

−20

000

020

000

6000

0

predict(auto.set,3)

## Jan Feb Mar## 2009 38480.61 35745.79 33010.96

Previsione con SE, SET

Quale metodo prevede meglio? Confrontiamo le predizioni dei metodi di smorzamento esponenziale senza/contrend.auto.end=window(auto,2007)auto.se.pt=predict(auto.se,6)auto.set.pt=predict(auto.set,6)plot(c(auto.end,auto.se.pt),col="red")points(c(auto.end,auto.set.pt),type="b",col="blue")

17

0 5 10 15 20 25 30

2000

040

000

6000

0

Index

c(au

to.e

nd, a

uto.

se.p

t)

Possiamo applicare i due metodi di smorzamento al trend ottenuto attraverso la decomposizione della serie.auto.d=decompose(auto)auto.se.t=HoltWinters(na.exclude(auto.d$trend),beta=F,gamma=F)auto.set.t=HoltWinters(na.exclude(auto.d$trend),gamma=F)plot(auto.se.t)

Holt−Winters filtering

Time

Obs

erve

d / F

itted

0 50 100 150

1000

030

000

5000

0

18

plot(auto.set.t)

Holt−Winters filtering

Time

Obs

erve

d / F

itted

0 50 100 150

1000

030

000

5000

0

Esercizio: migliorare SET variando α, β a mano

Confrontiamo le previsioni.auto.d.end=na.exclude(auto.d$trend)[140:156]pt.se.t=predict(auto.se.t,6)pt.set.t=predict(auto.set.t,6)plot(c(auto.d.end,pt.se.t),type="b",col="red")points(c(auto.d.end,pt.set.t),type="b",col="blue")points(auto.d.end,type="b")

19

5 10 15 20

4900

051

000

5300

0

Index

c(au

to.d

.end

, pt.s

e.t)

Serie stagionali con SE, SET

Passiamo ad esaminare serie con carattere stagionale. Con SE.st=ts(sin(1:100)+0.2*rnorm(100),frequency=10)se=HoltWinters(st,beta=F,gamma=F)plot(se)

Holt−Winters filtering

Time

Obs

erve

d / F

itted

2 4 6 8 10

−1.

5−

0.5

0.0

0.5

1.0

20

predict(se,1)

## Time Series:## Start = c(11, 1)## End = c(11, 1)## Frequency = 10## fit## [1,] -0.2735261

sin(101)

## [1] 0.4520258

Con SET.set=HoltWinters(st,gamma=F)plot(set)

Holt−Winters filtering

Time

Obs

erve

d / F

itted

2 4 6 8 10

−2

−1

01

2

predict(set,1)

## Time Series:## Start = c(11, 1)## End = c(11, 1)## Frequency = 10## fit## [1,] 0.26984

sin(101)

## [1] 0.4520258

Esercizio: esempio artificioso con trend e stagionalità

21

Esaminiamo la serie delle esportazioni moto (serie con carattere stagionale) Sia SE che SET sono fedeli allaserie senza catturare il trend.moto.se=HoltWinters(moto,beta=F,gamma=F)plot(moto.se)

Holt−Winters filtering

Time

Obs

erve

d / F

itted

2000 2002 2004 2006 2008 2010

5010

015

020

0

moto.set=HoltWinters(moto,gamma=F)plot(moto.set)

22

Holt−Winters filtering

Time

Obs

erve

d / F

itted

2000 2002 2004 2006 2008 2010

5010

015

020

025

0

Per catturare il trend, proviamo ad aggiustare la condizione iniziale.plot(HoltWinters(moto,gamma=F,l.start=moto[1,1]))

Holt−Winters filtering

Time

Obs

erve

d / F

itted

2000 2002 2004 2006 2008 2010

050

100

150

200

250

23

plot(HoltWinters(moto,gamma=F,l.start=moto[2,1]))

Holt−Winters filtering

Time

Obs

erve

d / F

itted

2000 2002 2004 2006 2008 2010

5010

015

020

025

0

plot(HoltWinters(moto,gamma=F,b.start=-51))

Holt−Winters filtering

Time

Obs

erve

d / F

itted

2000 2002 2004 2006 2008 2010

5010

015

020

0

24

plot(HoltWinters(moto,gamma=F,b.start=-4,l.start=120))

Holt−Winters filtering

Time

Obs

erve

d / F

itted

2000 2002 2004 2006 2008 2010

5010

015

020

0

Esercizio: trovare parametri α, β più opportuni per catturare il trend.

25