Métodos de Demonstração

Método de Redução ao Absurdo

Método de Indução Matemática

Método de Redução ao Absurdo

Um saco contém bolas do mesmo tamanho e do mesmo material,

mas de três cores diferentes (brancas, pretas e vermelhas).

Sabe-se que:

- Existe, pelo menos, uma bola de cada cor;

- O número de bolas brancas é 5;

- O número de bolas pretas é par.

Extraindo ao acaso uma bola do saco, a probabilidade de ela ser branca é .

Utilizando o método de redução ao absurdo, prove que, no saco, há, pelo menos, duas bolas vermelhas.

3

1

Comecemos por indicar a hipótese e a tese.

Hipótese:- Um saco contém bolas do mesmo tamanho e do mesmo

material, mas de três cores diferentes (brancas, pretas e vermelhas).

- Existe, pelo menos, uma bola de cada cor ;

- O número de bolas brancas é 5;

- O número de bolas pretas é par.

- Extraindo ao acaso uma bola do saco, a probabilidade de ela ser branca é

Tese:

No saco, há, pelo menos, duas bolas vermelhas.

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Método de Redução ao Absurdo

Queremos provar que: se a hipótese é verdadeira então verifica-se a tese.

Vamos ver o que acontece se a tese for falsa, ou seja: “não existem pelo menos duas bolas vermelhas”.

Isso significa que existe uma bola vermelha (porque sabemos, por hipótese, que é uma das cores das bolas do saco).

Suponhamos então que existe uma única bola vermelha.

Método de Redução ao Absurdo

Por hipótese, sabemos que:

- O número de bolas brancas é 5;

- Extraindo ao acaso uma bola do saco, a probabilidade de ela ser branca

é

Com estas duas informações podemos afirmar que o número de bolas no

saco é 15 e que o número de bolas vermelhas e bolas pretas é 10.

Sabemos que o número de bolas pretas é par (por hipótese). Se o número

de bolas vermelhas for 1 então o número de bolas pretas seria 9, o que

contradiz a hipótese.

Assim, nas condições da hipótese, nunca poderíamos ter apenas uma

bola vermelha no saco.

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Método de Redução ao Absurdo

Num Teorema (propriedade que queremos demonstrar) temos

Hipótese Tese(o que admitimos ser verdade) (o que queremos provar)

Demonstrar um teorema é demonstrar que esta implicação é válida.

O método de redução ao absurdo consiste em admitir que a tese é falsa e que a hipótese é verdadeira e, através de um raciocínio lógico, chegar a uma contradição (absurdo) com a hipótese, concluindo, então que a tese só pode ser verdadeira.

Método de Redução ao Absurdo

Método de Indução Matemática

http://www.e-escola.pt/topico.asp?topico=5&ordem=6&canal=4

Mostrar que: A propriedade se verifica para n=1 Que a propriedade é hereditária.

Método de Indução Matemática

Mostre por indução matemática que

Para n=1 temos que

Vamos provar agora que é hereditária:

Admitindo que a propriedade se verifica para um certo nº natural igual a p, ou seja

Vamos mostrar que a propriedade também se verifica para p+1, ou seja

1!1)!11(

!11

1

C

n1C n, n

pCp 1

111 pCp

Método de Indução Matemática

pCCC ppp 11011

Queremos mostrar que

Então:

111 pCp