PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL ECUADOR

SEDE IBARRA “PUCE-SI”.

Datos Informativos:

Carrera: Arquitectura.

Nivel: Primero

Nombre: Alex Cáceres.

Materia: Lógica Matemática.

Tema: Métodos de demostración.

Fecha: 19 de octubre del 2010.

Contenido:

Métodos de demostración

Demostración por medio del razonamiento deductivo.

• El razonamiento deductivo es una forma de demostración.

El razonamiento deductivo nos pone en capacidad de obtener conclusiones verdaderas, o aceptables como tales, supuesto que las proposiciones de las cuales se deducen son verdaderas o se aceptan como verdaderas. Tiene las tres etapas siguientes:

a. Se elabora una proposición universal o general, que abarque la totalidad de un conjunto o clase de objetos, por ejemplo, la clase de los perros:

b. Todos los perros son cuadrúpedos (tiene cuatro patas).Se enuncia una proposición particular sobre uno o algunos de los elementos del conjunto o de la clase a que se refiere la proposición universal:

c. Todos los galgos son perros. Se llega a una deducción, que no es sino una proposición que se infiere lógicamente al aplicar la proposición universal a la particular:

d. Todos los galgos son cuadrúpedos.

El razonamiento deductivo se denomina también razonamiento silogístico porque los tres tipos de proposiciones aludidas constituyen un silogismo. En un silogismo, la proposición

universal se llama premisa mayor, la proposición particular se denomina premisa menor, y la deducción se llama conclusión. De esta suerte, en el silogismo anterior:

• La premisa mayor es: Todos los perros son cuadrúpedos.

• La premisa menor es: Todos los galgos son perros.

• La conclusión es: Todos los galgos son cuadrúpedos.

El empleo de círculos, para representar los conjuntos o clases, como se muestra en el dibujo adjunto, ayudará a comprender mejor las relaciones implícitas en el razonamiento deductivo o silogístico.

• Como quiera que la premisa mayor enuncia que todos los perros son cuadrúpedos, el círculo que representa los perros debe ser interior al que representa los cuadrúpedos.

• Como quiera que la premisa menor o proposición particular enuncia que todos los galgos son perros, el círculo que representa los galgos debe ser interior al que representa los perros.

• La conclusión es inmediata. Puesto que el círculo que representa los galgos debe ser interior al que representa los cuadrúpedos, la única conclusión posible es que los galgos son cuadrúpedos.

La observación, la medición y la experimentación no constituyen una demostración.

• La observación no puede servir como una demostración o prueba lógica. Las apariencias suelen ser engañosas. Así, en el caso de una persona ciega para algunos colores, la vista puede ser un recurso defectuoso. Por ejemplo, en las figuras siguientes, no aparece que AB sea igual a CD, cuando en realidad lo es.

• La medición no puede servir de prueba matemática. La medición sólo se aplica en un limitado número de casos en que tiene cabida. Las conclusiones que de ella se derivan no son exactas sino simplemente aproximadas; esta aproximación depende de la precisión del instrumento y del esmero del observador. Al hacer una medición, se suele aceptar errores que equivalgan a la mitad de la menor unidad de medida que se emplee. Por ejemplo, si un ángulo se mide con relación al grado más cercano, se puede aceptar errores de medio grado.

• La experimentación no puede servir la prueba matemática. Las conclusiones que se deducen de la experimentación son apenas probables. El grado de esa probabilidad depende de las situaciones o casos particulares que se examinen durante el proceso del experimento. Por ejemplo, el juego del dado es probable que éstos estén cargados si durante diez veces consecutivas salen 7 puntos con los dos dados; la probabilidad es mucho mayor si salen 7 puntos en veinte tiros consecutivos; pero, ninguna de esas dos probabilidades constituye la plena certeza.

• EMPLEO DE CIRCULOS PARA DETERMINAR RELACIONES ENTRE GRUPOS.

En los casos siguientes, del (a) al (e), cada letra, como A,B Y R, representa un conjunto o grupo de entes. Complétese cada uno de los enunciados o proposiciones. Muéstrese en qué forma se puede utilizar los círculos para representar cada conjunto o grupo.

• Si A es B Y B es C, entonces (¿) (d) Si C es D y E es C, entonces (¿)

• Si A es B y B es E y E es R, entonces (¿) (e) Si todos los cuadrados (S) son rectángulos

• Si X es Y y (¿), entonces X es M. (R) y todos los rectángulos son

Paralelogramos (P), entonces (¿).

• COMPLETAR SILOGISMO

Escríbase la proposición necesaria para completar cada silogismo.

Premisa Mayor Premisa Menor Conclusión

(Proposición Universal) (Proposición Particular) (Proposición Deducida)

Solución:

• Micifuz es un animal doméstico, (b) Juan es un hombre, (c)<c = <d, (d) . Un rectángulo tiene las diagonales, (e) el ABC es obtusángulo

• Un gato es un animal doméstico.

• Todos los hombres son mortales.

• Los ángulos opuestos por el verti

Ce son iguales.

a. (¿)

b. Un triángulo obtusángulo tiene

Sólo un ángulo obtuso.

Micifuz es un gato

(¿)El <c y el <d son opuestos por

El vértice.

Un cuadrado es un rectángulo

(¿)

(¿)

Juan es mortal.

(¿)

Un cuadrado Tiene las

Diagonales iguales.

ABC tiene sólo Ángulo obtuso

OTROS SIGNIFICADOS

La demostración es un razonamiento o serie de razonamiento que prueba la validez de un nuevo conocimiento estableciendo sus conexiones necesarias con otros conocimientos. Cuando un conocimiento queda demostrado, entonces se le reconoce como válido y es admitido dentro de la disciplina correspondiente. La demostración es el enlace, entre los conocimientos recién adquiridos y el conjunto de los conocimientos anteriores. El enlace entre los conocimientos recién adquiridos y los anteriores está constituido por una sucesión finita de proposiciones que o bien son postulados o bien son conocimientos cuya validez

se ha inferido de otras proposiciones, mediante operaciones lógicas perfectamente coordinadas.

La demostración permite explicar unos conocimientos por otros y por tanto es una prueba rigurosamente racional. Sabemos que todas las proposiciones de una teoría matemática se clasifican en dos tipos: las aceptadas sin demostración que son las definiciones (donde no hay nada por demostrar) y los o (que se toman como proposiciones de partida) y las deducidas, llamadas (que son proposiciones cuya validez ha sido probada). No siempre tenemos evidencia directa de la validez de un teorema. Eso depende en parte su grado de complejidad y de nuestra mayor o menor familiaridad con su contenido. Un teorema requiere demostración cuando no hay evidencia de su validez. Estructura de la demostración La demostración consta de tres partes: a) El conocimiento que se trata de demostrar, es decir la proposición (teorema)cuya validez se trata de probar.

b) Los fundamentos empleados como base de la demostración.

c) El procedimiento usado para lograr que el conocimiento quede demostrado.

Los procedimientos de demostración permiten establecer la conexión lógica entre los fundamentos y sus consecuencias sucesivas, hasta llegar como conclusión final a la tesis que así se demuestra. Una tesis puede ser demostrada mediante distintos procedimientos. Tipos de demostración Consideremos una demostración como un argumento que nos muestra que una proposición condicional de la forma es lógicamente verdadera (es decir, verdadera en todos los cosos posibles) donde es la o conjunción de las premisas y es la conclusión del argumento. Luego, si en el enunciado de un teorema se incluyen explícitamente las proposiciones de partida, éste afirma que partiendo de cierta hipótesis se puede demostrar otra proposición llamada. Los procedimientos utilizados en la demostración están constituidos por distintas formas de deducción o inferencia y se puede clasificar en varios tipos los cuales serán estudiados