UNIVERSIDAD FERMÍN TORO FACTULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y SOCIALES

ANÁLISIS DE PROBLEMAS Y TOMA DE DECISIONES

MÉTODOS DE INVESTIGACIÓN OPERATIVA

Y LA TOMA DE DECISIONES

Autora: Marianne Colmenares

Agosto del 2012

Investigación de Operaciones y la toma de decisiones

a Investigación de Operaciones o Investigación Operativa, es una

rama de las Matemáticas consistente en el uso de modelos matemáticos, estadística y algoritmos con objeto de realizar un proceso de toma de decisiones

La investigación de Operaciones es importante ya que abarca en muchos

aspectos para maximizar los beneficios y minimizar los distintos elementos como costos, recursos, tiempo, personal, etc. Para lo cual se hace valer de modelos analíticos del mundo real y aplicado mediante métodos científicos.

Métodos De Investigación Operativa

Métodos

determinísticos: Programac

ión lineal, programación

entera, probabilidad de transporte, teoría de la localización o redes, programación multi-criterio, teoría de inventarios, etc. Métodos probabilísticos:

Cadenas de markov, teoría de juegos, líneas de espera, teoría de inventarios, etc. Métodos híbridos:

Conjugan métodos determinísticos y probabilísticos. Métodos heurísticos:

Soluciones basadas en la experiencia como la programación heurística.

Métodos determinísticos

n modelo determinístico es

un modelo matemático donde las

mismas entradas producirán

invariablemente las mismas salidas,

no contemplándose la existencia

del azar ni el principio de

incertidumbre. Está estrechamente

relacionado con la creación de

entornos simulados a través

de simuladores para el estudio de

situaciones hipotéticas, o para

crear sistemas de gestión que

permitan disminuir la incertidumbre.

La inclusión de mayor complejidad

en las relaciones con una cantidad

mayor de variables y elementos

ajenos al modelo determinístico hará

posible que éste se aproxime a

un modelo probabilístico o de

enfoque estocástico.

Así pues en este método, todos los

datos relevantes (es decir, los datos

que los modelos utilizarán o

evaluarán) se dan por conocidos.

L

U

Programación lineal

La programación lineal muchas veces es uno de los temas preferidos tanto de profesores como de alumnos. La capacidad de introducir la PL utilizando un abordaje gráfico, la facilidad relativa del método de solución, la gran disponibilidad de paquetes de software de PL y la amplia gama de aplicaciones hacen que la PL sea accesible incluso para estudiantes con poco conocimiento de matemática. Además, la PL brinda una excelente oportunidad para presentar la idea del análisis what-if o análisis de hipótesis ya que se han desarrollado herramientas poderosas para el análisis de post optimalidad para el modelo de PL. La Programación Lineal (PL) es un procedimiento matemático para determinar la asignación óptima de recursos escasos. La PL es un procedimiento que encuentra su aplicación práctica en casi todas las facetas de los negocios, desde la publicidad hasta la planificación de la producción. Problemas de transporte, distribución, y planificación global de la producción son los objetos más comunes del análisis de

PL. La industria petrolera parece ser el usuario más frecuente de la PL. Un gerente de procesamiento de datos de una importante empresa petrolera recientemente calculó que del 5% al 10% del tiempo de procesamiento informático de la empresa es destinado al procesamiento de modelos de PL y similares. La programación lineal aborda una clase de problemas de programación donde tanto la función objetivo a optimizar como todas las relaciones entre las variables correspondientes a los recursos son lineales. Este problema fue formulado y resuelto por primera vez a fines de la década del 40. Rara vez una nueva técnica matemática encuentra una gama tan diversa de aplicaciones prácticas de negocios, comerciales e industriales y a la vez recibe un desarrollo teórico tan exhaustivo en un período tan corto. Hoy en día, esta teoría se aplica con éxito a problemas de presupuestos de capital, diseño de dietas, conservación de recursos, juegos de estrategias, predicción de crecimiento económico y sistemas de transporte. Recientemente la teoría de la programación lineal también contribuyó a la resolución y unificación de diversas aplicaciones. Es importante que el lector entienda desde el comienzo que el término

"programación" tiene un significado distinto cuando se refiere a Programación Lineal que cuando hablamos de Programación Informática. En el primer caso, significa planificar y organizar mientras que en el segundo caso, significa escribir las instrucciones para realizar cálculos. La capacitación en una clase de programación tiene muy poca relevancia directa con la otra clase de programación. De hecho, el término "programación lineal" se acuñó antes de que la palabra programación se relacionara con el software de computación. A veces se evita esta confusión utilizando el término optimización lineal como sinónimo de programación lineal. Cualquier problema de PL consta de una función objetivo y un conjunto de restricciones. En la mayoría de los casos, las restricciones provienen del entorno en el cual usted trabaja para lograr su objetivo. Cuando usted quiere lograr el objetivo deseado, se dará cuenta de que el entorno fija ciertas restricciones (es decir, dificultades, limitaciones) para cumplir con su deseo (vale decir, el objetivo). Es por eso que las religiones, como el Budismo entre otras, prescriben vivir una vida abstemia. Sin deseo, no hay dolor. ¿Puede usted seguir este consejo con respecto a su objetivo de negocios?

Proceso de Formulación de un Problema de PL y su Aplicación

ara formular un problema de PL, recomiendo seguir los siguientes lineamientos generales después de leer

con atención el enunciado del problema varias veces. Todo programa lineal consta de cuatro partes: un conjunto de variables de decisión, los parámetros, la función objetivo y un conjunto de restricciones. Al formular un determinado problema de decisión en forma matemática, debe practicar la comprensión del problema (es decir, formular un Modelo Mental) leyendo detenidamente una y otra vez el enunciado del problema. Mientras trata de comprender el problema, formúlese las siguientes preguntas generales:

1. ¿Cuáles son las variables de decisión? Es decir, ¿cuáles con las entradas controlables? Defina las variables de decisión con precisión utilizando nombres descriptivos. Recuerde que las entradas controlables también se

conocen como actividades controlables, variables de decisión y actividades de decisión.

2. Cuáles son los parámetros? Vale decir ¿cuáles son las entradas no controlables? Por lo general, son los valores numéricos constantes dados. Defina los parámetros con precisión utilizando nombres descriptivos.

3. ¿Cuál es el objetivo? ¿Cuál es la función objetivo? Es decir, ¿qué quiere el dueño del problema? ¿De qué manera se relaciona el objetivo con las variables de decisión del dueño del problema? ¿Es un problema de maximización o minimización? El objetivo debe representar la meta del decisor.

4. ¿Cuáles son las restricciones? Es decir, ¿qué requerimientos se deben cumplir? ¿Debería utilizar un tipo de restricción de desigualdad o igualdad? ¿Cuáles son las conexiones entre las variables? Escríbalas con palabras antes de volcarlas en forma matemática.

Recuerde que la región factible tiene poco o nada que ver con la función objetivo (minim. o maxim.). Estas dos partes en cualquier formulación de PL generalmente provienen de dos fuentes distintas. La función objetivo se establece para cumplir con el deseo (objetivo) del decisor mientras que las restricciones que forman la región factible generalmente provienen del entorno del decisor que fija algunas limitaciones / condiciones para lograr su objetivo. A continuación, se incluye un problema ilustrativo muy sencillo. Sin embargo, el abordaje del problema es igual para una gran variedad de problemas de toma de decisión, mientras que el tamaño o la complejidad pueden variar. El primer ejemplo es un problema de mix de productos y el segundo es un problema de mezcla.

Aplicaciones Comunes de PL La programación lineal es una herramienta poderosa para seleccionar

alternativas en un problema de decisión y por consiguiente se aplica en una gran variedad de entornos de problemas. La cantidad de aplicaciones es tan alta que sería imposible enumerarlas todas.

P

A continuación, indicamos algunas de las principales aplicaciones que cubren las áreas funcionales más importantes de una organización empresarial.

Finanzas: el

problema del inversor podría ser un problema de selección del mix de su cartera de inversiones. En general, la variedad de carteras puede ser mucho mayor que lo que indica el ejemplo y se pueden agregar muchas más restricciones distintas.

Otro problema de decisión implica determinar la combinación de métodos de financiación para una cantidad de productos cuando existe más de un método de financiación disponible. El objetivo puede ser maximizar las ganancias totales cuando las ganancias de un producto determinado dependen del método de financiación. Por ejemplo, se puede financiar con fondos internos, con deuda a corto plazo o con financiación intermedia (créditos amortizados). Puede haber limitaciones con respecto a la disponibilidad de cada una de las opciones de financiación, así como también restricciones financieras que exijan determinadas relaciones entre las opciones de financiación a los efectos de satisfacer los términos y condiciones de los préstamos bancarios o financiación intermedia. También puede haber límites con respecto a la capacidad de producción de los productos. Las variables de decisión serían la cantidad de unidades que deben ser financiadas por cada opción de financiación.

Administración de Producción y

Operaciones: muchas

veces en las industrias de proceso, una materia prima en particular puede

transformarse en una gran variedad de productos. Por ejemplo, en la industria petrolera, el crudo puede refinarse para producir nafta, kerosene, aceite para calefaccionar y distintas clases de aceite para motor. Según el margen de ganancia actual de cada producto, el problema es determinar la cantidad que se debería fabricar de cada producto. Esta decisión está sujeta a numerosas restricciones tales como límites de las capacidades de diversas operaciones de refinado, disponibilidad

de materia prima, demandas de cada producto y políticas gubernamentales con respecto a la fabricación de determinados productos. En la industria de productos químicos y de procesamiento de alimentos existen problemas similares.

Recursos Humanos: los

problemas de planificación de personal también se pueden analizar con

programación lineal. Por ejemplo, en la industria telefónica, la demanda de servicios de personal de instalación / reparación son estacionales. El problema es determinar la cantidad de personal de instalación / reparación y reparación de líneas que debemos tener incorporada en la fuerza laboral por cada mes a fin de minimizar los costos totales de

contratación, despido, horas extras y salarios en horas ordinarias. El conjunto de restricciones comprende restricciones con respecto a la demanda de servicio que se

debe satisfacer, uso de horas extra, acuerdos con los sindicatos y la disponibilidad de personal calificado para contratar. Este ejemplo es opuesto a la hipótesis de divisibilidad. Sin embargo, los niveles de fuerza laboral de cada mes normalmente son lo suficientemente altos como para poder redondear al número entero más cercano sin problemas, siempre y cuando no se violen las restricciones.

Marketing: se puede utilizar la programación

lineal para determinar el mix adecuado de medios de una campaña de publicidad. Supóngase que los medios disponibles son radio, televisión y diarios. El problema es determinar cuántos avisos hay que colocar en cada medio. Por supuesto que el costo de colocación de un aviso depende del medio elegido. El objetivo es minimizar el costo total de la campaña publicitaria, sujeto a una serie de restricciones. Dado que cada medio puede proporcionar un grado diferente de exposición a la población meta, puede haber una cota inferior con respecto a la exposición de la campaña. Asimismo, cada medio puede tener distintos ratings de

eficiencia para producir resultados deseables y por consiguiente puede haber una cota inferior con respecto a la eficiencia. Además, puede haber límites con respecto a la disponibilidad para publicar en cada medio.

Distribución: otra

aplicación de programación lineal es el área de la distribución. Considere un caso en el que existen m fábricas que deben enviar productos a n depósitos. Una

determinada fábrica podría realizar envíos a cualquier cantidad de depósitos. Dado el costo del envío de una unidad del producto de cada fábrica a cada depósito, el problema es determinar el patrón de envío (cantidad de unidades que cada fábrica envía a cada depósito) que minimice los costos totales. Este decisión está sujeta a restricciones que exigen que cada fábrica no pueda enviar más productos de los que tiene capacidad para producir.

Ejemplos

El Problema del Carpintero Durante un par de sesiones de brain-storming con un carpintero (nuestro cliente), éste nos comunica que sólo fabrica mesas y sillas y que vende todas las mesas y las sillas que fabrica en un mercado. Sin embargo, no tiene un ingreso estable y desea optimizar esta situación.

El objetivo es determinar cuántas mesas y sillas debería fabricar para maximizar sus ingresos netos. Comenzamos concentrándonos en un horizonte de tiempo, es decir, un plazo de planificación, para revisar nuestra solución semanalmente, si fuera necesario. Para saber más acerca de este problema, debemos ir al negocio del carpintero y observar lo que

sucede y medir lo que necesitamos para para formular (para crear un modelo de) su problema. Debemos confirmar que su objetivo es maximizar sus ingresos netos. Debemos comunicarnos con el cliente. El problema del carpintero se trata de determinar cuántas mesas y sillas debe fabricar por semana; pero primero se debe establecer una función objetivo La función objetivo es: 5X1 + 3X2, donde X1 y X2 representan la cantidad de mesas y sillas; y 5 y 3 representan los ingresos netos (por ejemplo, en dólares o décimas de dólares) de la venta de una mesa y una silla, respectivamente. Los factores limitantes, que normalmente provienen del exterior, son las limitaciones de la mano de obra (esta limitación proviene de la familia del carpintero) y los recursos de materia prima (esta limitación proviene de la entrega programada). Se miden los tiempos de producción requeridos para una mesa y una silla en distintos momentos del día y se calculan en 2 horas y 1 hora, respectivamente. Las horas laborales totales por semana son sólo 40. La materia prima requerida para una mesa y una silla es de 1 y 2 unidades, respectivamente. El abastecimiento total de materia prima es de 50 unidades por semana. En consecuencia, la formulación de PL es la siguiente: Maximizar 5 X1 + 3 X2 Sujeta a: 2 X1 + X2 £ 40 restricción de mano de obra X1 + 2 X2 £ 50 restricción de materiales tanto X1 como X2 son no negativas. Este es un modelo matemático para el problema del carpintero. Las variables de decisión, es decir, las entradas controlables son X1, y X2. La salida o el resultado de este modelo son los ingresos netos totales 5 X1 + 3 X2. Todas las funciones empleadas en este modelo son lineales (las variables de decisión están elevadas a la primera potencia). El coeficiente de estas restricciones se denomina denomina Factores Tecnológicos (matriz). El período de revisión es de una semana, un período conveniente dentro del cual es menos probable que cambien (fluctúen) las entradas controlables (todos los parámetros tales como 5, 50, 2,..). Incluso en un plazo de planificación tan corto, debemos realizar el análisis what-if o de hipótesis para responder a cualquier cambio en estas entradas a los efectos de controlar el

problema, es decir,actualizar la solución prescripta. Nótese que dado que el Carpintero no va a ir a la quiebra al final del plazo de planificación, agregamos las condiciones que tanto X1 como X2 deben ser no negativas en lugar de los requerimientos que X1 y X2 deben ser números enteros positivos. Recuerde que las condiciones de no negatividad también se denominan "restricciones implícitas". Nuevamente, un Programa Lineal funcionaría bien para este problema si el Carpintero continúa fabricando estos productos. Los artículos parciales simplemente se contarían como trabajos en proceso y finalmente se transformarían en productos terminados, en la siguiente semana. Podemos intentar resolver X1 y X2 enumerando posibles soluciones para cada una y seleccionado el par (X1, X2) que maximice 5X1 + 3X2 (los ingresos netos). Sin embargo, lleva mucho tiempo enumerar todas las alternativas posibles y si no se enumeran todas las alternativas, no podemos estar seguros de que el par seleccionado (como una solución) es la mejor de todas las alternativas. Otras metodologías preferidas (más eficientes y efectivas), conocidas como las Técnicas de Soluciones de Programación Lineal están disponibles en el mercado en más de 4000 paquetes de software de todo el mundo. La solución óptima, es decir, la estrategia óptima, es establecer X1 = 10 mesas y X2 = 20 sillas. Programamos las actividades semanales del carpintero para que fabrique 10 mesas y 20 sillas. Con esta estrategia (óptima), los ingresos netos son de US$110. Esta. Esta solución prescripta sorprendió al carpintero dado que debido a los mayores ingresos netos provenientes de la venta de una mesa (US$5), el solía fabricar más mesas que sillas. ¿Contratar o no contratar a un ayudante? Supóngase que el carpintero pudiera contratar a un ayudante a un costo de US$2 por hora (adicionales $2) ¿Le conviene al carpintero contratar a un ayudante? En caso afirmativo, ¿por cuántas horas? X3 es la cantidad de horas extra, entonces el problema modificado es: Maximizar 5 X1 + 3 X2 - 2 X3 Sujeta a: 2 X1 + X2 £ 40 + X3 restricción de la mano de obra con horas adicionales desconocidas X1 + 2 X2 £ 50 restricción de materiales

En esta nueva condición, veremos que la solución óptima es X1 = 50, X2 = 0, X3 = 60, con ingresos netos óptimos de US$130. Por lo tanto, el carpintero debería contratar a un ayudante por 60 horas. ¿Qué pasaría si sólo lo

contrata por 40 horas? La respuesta a esta pregunta y a otros tipos de preguntas del estilo "qué pasaría si" (what-if) se estudia en la sección sobre análisis de sensibilidad en este sitio Web.

Un Problema de Mezcla El taller de Joe se especializa en cambios de aceite del motor y regulacion del sistema eléctrico. El beneficio por cambio del aceite es $7 y de $15 por regulación. Joe tiene un cliente fijo con cuya flota, le garantiza 30 cambios de aceite por semana. Cada cambio de aceite requiere de 20 minutos de trabajo y $8 de insumos. Una regulación toma una hora de trabajo y gasta $15 en insumos. Joe paga a los mecánicos $10 por hora de trabajo y emplea actualmente a dos de ellos, cada uno de los cuales labora 40 horas por semana. Las compras de insumos alcanzan un valor de $1.750 semanales. Joe desea maximizar el beneficio total. Formule el problema.

Esto es una pregunta de programación linear. Una porción de un cambio del aceite o del ajuste no es factible. X1 = Cambios del aceite, ajuste X2 = Ajuste Maximizar 7X1 + 15X2 Sujeta a: X1 ³ 30 Cuenta De la Flota 20X1 + 60X2 £ 4800 De trabajo tiempo 8X1 + 15X2 £ 1750 Primas Materias X1 ³ 0, X2 ³ 0. El coste de trabajo de $10 por hora no se requiere para formatar el problema desde el beneficio por cambio del aceite y el ajuste toma en la consideración el coste de trabajo.

El Método Simplex El Método Simplex es otro algoritmo para resolver problemas de PL. Recuerde que el método algebraico proporciona todos los vértices incluyendo aquellos que no son factibles. Por lo tanto, esta no es una manera eficiente de resolver problemas de PL con numerosas restricciones. El Método Simplex es una modificación del método algebraico, el cual vence estas deficiencias. Sin embargo, el Método Simplex tiene sus propias deficiencias. Por ejemplo, este requiere que todas las variables sean no-negativas (³ 0); Además, todas las demás restricciones deben estar en la forma £ con un LMD de valores no-negativos. Así como el Método Algebraico, el método simplex es una solución algorítmica tabular. Sin embargo, cada tabla (de iteración) en el método simplex corresponde a un movimiento desde un Conjunto Básico de Variables (CBV) (puntos extremos ó esquinas) a otro, asegurándose que la función objetivo mejore en cada iteración hasta encontrar la solución óptima. La presentación del método simplex no es universal. En la Costa Oeste de los Estados Unidos, profesores disfrutan resolviendo problemas de minimización, mientras que en la Costa Este se prefiere la maximización. Igualmente dentro de estos dos grupos usted encontrará diferentes

presentaciones de las reglas del método simplex. El procedimiento siguiente describe todos los pasos envueltos en la aplicación de la solución algorítmica del método simplex: 1. Convertir la PL a la

forma siguiente: Convierta el problema de minimización a un problema de maximización (mediante la multiplicación por –1 de la función objetivo). Todas las variables deben ser no-negativas. Todos los valores al LMD deben ser no-negativos (multiplique ambos lados por -1, si es necesario).

Todas las restricciones deben estar en la forma £ (excepto las condiciones de no-negatividad).Restricciones no estrictamente iguales ó ³ son permitidas. Si esta condición no puede ser satisfecha, utilice la Inicialización del Método Simples: Libre-Artificialidad.

2. Convierta las restricciones £ a igualdades mediante la adición de diferentes variables de exceso para cada una de ellas.

3. Construya la tablatura simplex inicial con todas las variables de exceso en CBV. La última fila en la tabla de iteración contiene el coeficiente de la función objetivo (fila Cj.)

4. Determine si la tabla de iteración actual es óptima. Es decir: Si todos los valores al LMD son no-negativos (llamada, condición de factibilidad) Si todos los elementos de la última fila, es decir la fila Cj, son no-positivos (llamado condición de optimalidad). Si la respuesta a ambas preguntas es Sí, entonces deténgase. La tabla de iteración actual contiene una solución óptima. De otra forma, proceda al próximo paso.

5. Si el CBV actual es no es óptimo, determine cual variable no-básica debería convertirse en variable básica y viceversa. Para encontrar la nueva CBV con un mejor valor de función objetivo, realice el siguiente procedimiento:

o Identifique la variable entrante: Esta es la que posee el valor positivo Cj más grande (En el caso de que dos valores sean iguales en esta

condición, seleccione el valor más a la izquierda de las columnas.)

o Identifique la variable saliente: Esta es la variable con el ratio en columna no-negativa más pequeño (para encontrar los ratio en columnas, divida los LMD de las columnas entre la variable de columna entrante, siempre que sea posible). En caso de que existan dos valores iguales, seleccionamos la variable correspondiente al valor más arriba de la columna igualada.)

o Generar la nueva tabla de iteración: Realice la operación de pivoteo de Gauss-Jordan para convertir la columna entrante en un vector columna identidad (incluyendo los elementos de la fila Cj.) Siga al paso 4.

Una pequeña discusión acerca de la estrategia del método simplex Al comienzo del procedimiento simplex; el conjunto de supuestos están constituidos por las variables de exceso (holgura.) Recuerde que el primer CBV contiene solo variables de exceso. La fila Cj presenta un incremento en el valor de la función objetivo el cual resultará si una unidad de la variable j-ésima columna

correspondiente fue traída en los supuestos. Esta fila responde la pregunta: ¿Podemos mejorar la función objetivo si nos movemos a una nueva CBV? Llamaremos a esta la fila indicadora (dado que esta indica si la condición de optimalidad está satisfecha). El criterio para ingresar una nueva variable en el CBV causará el incremento por unidad más alto de la función objetivo. El criterio para remover una variable del CBV actual se mantiene factible (asegurándose que el nuevo LMD, después de los no-negativos restantes.) Advertencia: Siempre que durantes las iteraciones en el Simplex tengan un LMD negativo, significa que se ha

seleccionado la variable saliente errada. El mejor remedio es comenzar de nuevo.

Note que existe una solución a cada tabla de iteración en el simplex. Los valores numéricos de las variables básicas son los valores de LMD, mientras que las otras variables (no-básicas) son siempre iguales a cero.

Interpretación Geométrica del Método Simplex El método simplex siempre comienza al origen (esquina o punto extremo) y luego salta de esquina a esquina hasta que encuentra el punto extremo óptimo (si está bordeado.) Por lo tanto, en cada una de las iteraciones del simplex, estamos buscando una mejor solución entre los vértices de un Simplex. Un simplex en un espacio n-

dimensional es la forma más fácil teniendo n + 1 vértices. Por ejemplo, un triangulo es un simplex de espacio de 2 dimensiones mientras que una pirámide es un simplex en un espacio de 3 dimensiones. Estos movimientos pueden ser observados cuando se corresponde cada tabla de iteración del simplex con un punto extremo específico en el método gráfico, por ejemplo en

el problema del carpintero, así como se muestra a continuación: Las Recetas Numéricas sostienen que el algoritmo Simplex es ‘casi siempre’ O(max(N,M)), lo cual significa que el número de iteraciones es factor del número de variables ó restricciones, el que sea más grande.

Un Ejemplo Numérico: El Problema del Carpintero

Maximizar 5X1 + 3X2 Sujeto a: 2X1 + X2 £ 40 X1 + 2X2 £ 50 y ambos X1, X2 son no-negativos. Luego de agregar las dos variables de exceso S1 y S2, el problema se hace equivalente a: Maximizar 5X1 + 3X2 Sujeto a: 2X1 + X2 + S1 = 40 X1 + 2X2 + S2 = 50 Y las variables X1, X2, S1, S2 son todas no-negativas. La tabla de iteración inicial es:

CBV X1 X2 S1 S2 LMD Ratio de Columna (C/R)

S1 [2] 1 1 0 40 40/2

S2 1 2 0 1 50 50/1

Cj 5 3 0 0

La solución mostrada por la tabla de iteración es: S1 = 40, S2 = 50, X1 = 0, y X2 = 0. Esta solución es el origen, mostrada en nuestro método gráfico. Esta tabla de iteración no es óptima dado que algunos elementos Cj son positivos. La variable entrante es X1 y la saliente es S1 (mediante la prueba de C/R). El elemento pivote se encuentra entre las llaves ({}). Luego de pivotear, tenemos:

CBV X1 X2 S1 S2 LMD Ratio de Columna (C/R)

X1 1 1/2 1/2 0 20 20/(1/2)=40

S2 0 [3/2] -1/2

1 30 30/(3/2)=10

Cj 0 1/2 -5/2

0

La solución para esta tabla de iteración es: X1 = 20, S2 = 30, S1 = 0, y X2 = 0. Esta solución es

el punto extremo (20, 0), mostrado en nuestro método gráfico. Esta tabla de iteración no es óptima dado que algunos elementos Cj son positivos. La variable entrante es X2 y la saliente es S2 (mediante la prueba de C/R). El elemento pivote se encuentra entre las llaves ({}). Luego de pivotear, tenemos:

CBV X1 X2 S1 S2 LMD

X1 1 0 2/3 -1/3 10

X2 0 1 -1/3 2/3 20

Cj 0 0 -7/3 -1/3

La solución para esta tabla de iteración es: X1 = 10, X2 = 20, S1 = 0, y S2 = 0. Esta solución es el punto extremo (10, 20), mostrado en nuestro método gráfico. Esta tabla de iteración es óptima dado que todos los elementos Cj son no-positivos y todos los LMD son no-negativos. La solución óptima es X1 = 10, X2 = 20, S1 =0, S2 = 0. Para encontrar el valor óptimo, sustituya estos valores en la función objetivo 5X1 + 3X2 = 5(10) + 3(20) = $110.

Sobre Las Variables de Decisión Básicas y no-Básicas Cuando se realizan las iteraciones del Simplex, se cumple que “cuando una variable de decisión se hace una variable básica, esta se mantiene básica”. Pues no!, no siempre es así. Una variable de decisión no-básica puede convertirse básica durante las iteraciones del Simplex, y en una iteración

siguiente convertirse no-básica de nuevo. Considere el problema siguiente: Maximice 5X1 + 6X2 sujeto: 3X1 + 6X2 £ 8, 6X1 + 4X2 £ 24, y ambos X1, X2 ³ 0. Aplicando el método Simplex para resolver el problema, la variable de decisión X2 se hace básica luego de la

primera iteración. Sin embargo, en la segunda iteración, la variable de decisión X1 reemplaza a X2 como nueva variable básica. En la segunda iteración para este problema, proporciona también la solución óptima. Note que, una de las restricciones es redundante.

¿La Tabla Optima del Simplex Proporciona una Solución Dual? La utilidad de la tabla del simplex para aplicaciones gerenciales es obtenida por el hecho de que esta contiene toda la información necesaria para realizar análisis de sensibilidad, asi como usted aprenderá posteriormente en este curso. Sin embargo, la

tabla óptima del simplex no proporciona la solución dual por si mismo. Los precios sombra son las soluciones del problema dual. Como usted ahora sabrá, los precios sombra pueden ser positivos, cero o igualmente negativos, sin embargo,

en la tabla final del simplex la última fila debe ser siempre no-positiva (así como lo requiere los algoritmos de solución). Por lo tanto, no podemos simplemente leer los valores de los precios sombra en la tabla final sin antes formular el problema dual.

Ejemplo Numérico: Considere problema siguiente,

Maximice 3X1 + 5X2 Sujeto a: X1 + 2X2 £ 50, -X1 + X2 ³ 10, X1 ³ 0, X2 ³ 0. Introduciendo variables de exceso y defecto S1 y S2 respectivamente, y siguiendo los pasos de la Solución Algorítmica Libre-Artificial, obtenemos la tabla final de simplex siguiente:

BVS X1 X2 S1 S2 LMD

X1 1 0 1/3 2/3 10

X2 0 1 1/3 -1/3 20

Cj 0 0 8/3 1/3

Los precios sombra no son (8/3, 1/3). Como usted observa, después de construir el problema dual, el cual es: Minimice 50Y1 + 10Y2 Sujeto a: Y1 - Y2 ³ 3, 2Y1 + Y2 ³ 5, Y1 ³ 0, and Y2 £ 0. Obteniendo la formulación del problema dual, ahora se pueden leer correctamente los precios sombra. Por lo tanto, los precios sombra son Y1 = 8/3, y Y2 = -1/3. De nuevo, cuando se construye el dual del problema se observa que Y2 tiene que ser £ 0, en signo. Esta es la razón por la cual se toma -1/3 en vez de 1/3 para Y2, de la tabla final del simplex.

Métodos probabilísticos La probabilidad constituye un importante parámetro en la determinación de las diversas casualidades obtenidas tras una serie de eventos esperados dentro de un rango estadístico. El éxito de un negocio depende a menudo de la habilidad para pronosticar, es decir hacer predicciones sobre el futuro.

Estas predicciones se usan para tomar dos amplios tipos de decisiones: decisiones operativas en curso y decisiones estratégicas a largo plazo. Las técnicas de pronósticos disminuyen la incertidumbre sobre el futuro, permitiendo estructurar planes y acciones congruentes con los objetivos de la organización y permiten también

tomar acciones correctivas apropiadas y a tiempo cuando ocurren situaciones fuera de lo pronosticado. Hechas las consideraciones anteriores se debe señalar, que en los métodos probabilísticos se encuentran una serie de teorías los cuales son herramientas que permiten obtener soluciones muy precisas a problemas de la vida real, basta con conocer los parámetros que se desean emplear para el modelo que se ha seleccionado y de esa manera podemos lograr una excelente aplicación, ya que este tipo de modelo

nos proporciona información confiable sobre el comportamiento de un sistema sobre el cual estemos trabajando o analizando, con el uso de los diferentes modelos podemos obtener muy buenos resultados y aproximaciones a situaciones de cotidianidad en el mundo real. Ahora bien, en los modelos probabilísticos (o estocásticos), alguno de los datos importantes se consideran inciertos, aunque debe especificarse la probabilidad de tales datos.

Lógica bayesiana

a Lógica Bayesiana, creada por el matemático inglés Thomas Bayes en 1763, se basa en las

estadísticas y las probabilidades para predecir el futuro. Por ejemplo, la palabra "sexy" es muy probable que aparezca en un correo basura. A partir de aquí, es fácil escribir un algoritmo que filtre los mensajes que contengan palabras 'peligrosas' y aprenda con el tiempo. Ahora bien, la lógica de Bayes ofrece una forma de medir cosas “inmedibles”, probando hipótesis y predicciones para optimizar conclusiones. Así, los denominados “filtros de Bayes” se han convertido en una herramienta de plena actualidad a la hora

de activar políticas de seguridad anti-spam. La lógica de Bayes es un tipo de análisis estadístico que permite cuantificar un resultado incierto, determinando la probabilidad de que ocurra, mediante el uso de datos relacionados previamente

conocidos. Por su parte, la probabilidad básica resulta simple de calcular, porque se está tratando con una cantidad limitada de factores y posibilidades. Por ejemplo, si la única información de que disponemos a la hora de realizar una apuesta en una carrera de caballos es que hay 10

equinos participantes, podemos elegir cualquiera de los mismos como ganador basándonos en que la probabilidad de ganar es de 1 entre 10, es decir, de 0,10. Sin embargo, aplicar ese tipo de matemáticas a las carreras, probablemente redundará en pérdidas monetarias, y es aquí donde la lógica de Bayes entra en acción. La aplicación de la lógica de Bayes a los problemas del spam se inició con el trabajo “A plan for spam” de Paul Graham en 2002, un método rápidamente adoptado por numerosos desarrolladores de software. Los filtros de spam bayesianos se basan en la premisa de que existen ciertas palabras que revelan la presencia de spam, es decir, de mensajes electrónicos,

L

habitualmente de tipo comercial, no solicitados y en cantidades masivas. Mientras, hay otras acepciones que identifican al mensaje en cuestión como legítimo. Esto es algo que tiene en común el método de Bayes con la implementación de filtros basados en análisis del contenido, pero con la ventaja añadida de que los filtros de Bayes crean sus propias listas de palabras y características indicativas en lugar de trabajar con listas ya creadas manualmente. Un filtro de Bayes comienza examinando un conjunto de mensajes de correo electrónico definido como spam y otro conjunto reconocido como legítimo para, a continuación, comparar el contenido de ambos, a nivel de cuerpo del mensaje, asunto, encabezamiento y metadatos, así como pares de palabras y frases e incluso código HTM. Así, se elabora una base de datos formada por palabras indicativas o tokens, a través de las que se pueden identificar futuros correos electrónicos, como spam o legítimos. Asimismo, el beneficio añadido que genera el uso de los filtros de Bayes es que toman en consideración todo el contexto de un mensaje. Por ejemplo, muchos mensajes spam contienen la palabra “gratis” en el asunto, pero también la

contienen algunos mensajes legítimos. Un filtro de Bayes detecta esa palabra, pero también busca otros indicativos o tokens en el mensaje, ya que identificar falsamente como spam un mensaje válido causa más problemas que dejar pasar algún mensaje de spam como legítimo. Según los defensores de los filtros Bayes, menos de un 1% de los mensajes identificados como spam por esos filtros son falsos positivos. Un ejemplo, dice Graham: "Filtrando por la palabra "click" acabaría con el 79,7% del spam que recibo, con sólo un 1,2% de falsos positivos (errores)".

Ejemplo

Tomemos como EJEMPLO, la manera de razonar, actuar y decidir de un JUEZ con relación a un delito. En este caso, los jueces en base a “la información” que aparece en los expedientes, la cual conforma la base de “EVIDENCIAS”, emiten un JUICIO DE VALOR (presumiblemente culpable ó inocente). Si el juez considera que hay SUFICIENTES PRUEBAS que señalan la probable culpabilidad de una persona;

entonces proceden a DICTAR UN AUTO DE DETENCION al denominado en estos casos, EL INDICIADO; ya que hay INDICIOS DE CULPABILIDAD DEL MISMO. Ello da pié al INICIO DE UN PROCESO el cual es EL JUICIO. Toda esta fase aquí descrita, es análoga al INICIO DE UN EJERCICIO DE PRONOSTICO USANDO EL MODELO BAYESIANO COMO TECNICA DEL PROCESO. El primer paso en tales ejercicios de pronósticos, será el ASIGNAR (A PRIORI)

LAS PROBABILIDADES INICIALES Po(Hi) A CADA UNA DE LAS HIPOTESIS(ESCENARIOS) CONSIDERADAS; tomando como “ base” la información que se tenga disponible para ese momento. De igual manera, EL JUEZ (en caso de haber encontrado suficientes indicios de culpabilidad) formula, aunque no lo hace, formalmente dos (2) HIPOTESIS:

HIPOTESIS [1] : CULPABLE HIPOTESIS [2] : INOCENTE

Si él considera que HAY SUFICIENTES INDICIOS DE CULPABILIDAD entonces, considera la probabilidad de que sea CIERTA la HIPOTESIS [1]: CULPABLE, muy alta. Por ejemplo:

HIPOTESIS [1] : CULPABLE P0( H1 ) = 0.90 HIPOTESIS [2] : INOCENTE P0 ( H2 ) = 0.10

Estas probabilidades varían EN BASE A LAS EVIDENCIAS OBSERVADAS Y MOSTRADAS durante EL JUICIO; ó bien para hacer que aumente P(H1) ó bien para disminuir P(H1) y aumente P(H2) . Así, una persona que parecía SER CULPABLE en base a la INFORMACIÓN INICIAL ( JUICIOS, A PRIORI ) puede resultar INOCENTE durante la ejecución del juicio, como consecuencia de LAS EVIDENCIAS dadas como

pruebas de la parte defensora; para así generar las bases de un JUICIO DE VALOR ( A POSTERIORI) favorable. De ésta manera la LOGICA que opera en la mente de quienes tienen en sus manos la administración de la justicia es completamente ANALOGA a la LOGICA que debe gobernar los ejercicios de pronostico basados en la TECNICA DE LOS MODELOS BAYESIANOS. Por ello, una

vez establecidas las probabilidades iniciales Po (Hi) para cada HIPOTESIS (ESCENARIO); las mismas se irán modificando progresivamente según LAS EVIDENCIAS observadas. Tales probabilidades, que consideran LAS EVIDENCIAS OCURRIDAS son las llamadas probabilidades revisadas ó A POSTERIORI, las cuales se calculan o estiman con la formula.

Teoría de juegos Evidentemente definir la Teoría de Juegos es tan absurda como su lógica, pero la realidad es que la Teoría de Juegos consiste en razonamientos circulares, los cuales no pueden ser evitados al considerar cuestiones estratégicas. Por naturaleza, a los humanos no se les da muy bien pensar sobre los problemas de las relaciones estratégicas, pues generalmente la solución es la lógica a la inversa. En la Teoría de Juegos la intuición no educada no es muy fiable en situaciones estratégicas, razón por la que se debe entrenar tomando en consideración ejemplos instructivos, sin necesidad que los mismos sean reales. Por lo contrario en muchas ocasiones disfrutaremos de ventajas sustanciales estudiando juegos, si se eligen cuidadosamente los mismos. En estos juegos-juegos, se pueden desentender de todos los detalles.

Si en lugar de utilizar personajes ficticios utilizamos personajes reales para los juegos si se observase qué tan honesto es ese personaje, cómo manipularía la información obtenida, etc. Para un especialista en Teoría de Juegos el ser deshonesto, etc., sería un error comparable al de un matemático que no respeta las leyes de la aritmética porque no le gustan los resultados que está obteniendo. La teoría de juegos es una rama de la economía que estudia las decisiones en las que para que un individuo tenga éxito tiene que tener en cuenta las decisiones tomadas por el resto de los agentes que intervienen en la situación. La teoría de juegos como estudio matemático no se ha utilizado exclusivamente en la economía, sino en la gestión, estrategia, psicología o incluso en biología.

En teoría de juegos no tenemos que preguntarnos qué vamos a hacer, tenemos que preguntarnos qué vamos a hacer teniendo en cuenta lo que pensamos que harán los demás, ellos actuarán pensando según crean que van a ser nuestras actuaciones. La teoría de juegos ha sido utilizada en muchas decisiones empresariales, económicas, políticas o incluso para ganar jugando al póker. La teoría de juegos es nuestro Concepto de esta semana

Para representar gráficamente en teoría de juegos se suelen utilizar matrices (también conocidas como forma normal) y árboles de decisión como herramientas para comprender mejor los razonamientos que llevan a un punto u otro. Además los juegos se pueden resolver usando las matemáticas, aunque suelen ser bastante sofisticadas como para entrar en profundidad.

Ejemplo El equilibrio de Nash se ha utilizado para regular situaciones de competencia entre empresas y diseñar subastas de adjudicaciones

públicas. Una legislación que tenga en cuenta el equilibrio de Nash puede evitar oligopolios, por eso en la legislación antimonopolio se

suele buscar formas de evitar que se pacten precios entre las partes implicadas.

El dilema del prisionero

El dilema del prisionero es el ejemplo más típico de teoría de juegos. Supongamos que detienen a dos personas por delitos menores que les costarían a cada una dos años de cárcel. La policía sabe que han cometido uno peor, pero necesitan pruebas, supongamos que una declaración de uno de los dos. Si ambos delatan al otro por el delito mayor irán seis años a la cárcel. Si uno delata y el otro no, el delator irá un año por colaborar y el otro irá diez años por el delito. Teniendo en cuenta que los prisioneros no pueden comunicarse entre ellos (están en habitaciones separadas) ¿qué harán? Supongamos que somos uno de los dos prisioneros, no sabemos qué hará el otro por lo que el mejor de los casos es delatar al otro independientemente de lo que haga, ya que en ambas situaciones minimizamos los años de pena esperados en la cárcel. Si el otro nos delata iremos seis años en vez de diez y si no nos delata iremos uno en vez de dos. Dado que el otro es igual de inteligente que nosotros, lo más probable es que llegue a la misma decisión. Al final lo que acaba pasando es que ambos acaban perdiendo seis años entre rejas, mientras que si hubieran cooperado hubieran sido sólo dos. La situación alcanzada es un equilibrio de Nash, porque ambas partes no pueden cambiar sin empeorar. Es decir, no se haya la mejor situación para las partes.

Es en el equilibrio de Nash dónde se basan muchas conclusiones que se han tomado sobre teoría de juegos aplicada a la vida real.

Métodos híbridos

Tienen que ver con los métodos determinísticos y probabilísticos.

Modelo de transporte y localización El modelo de transporte busca determinar un plan de transporte de una mercancía de varias fuentes a varios destinos. Los datos del modelo son: 1. Nivel de oferta en cada fuente y la cantidad de demanda en cada destino. 2. El costo de transporte unitario de la mercancía a cada destino.

Esta técnica es una aplicación de la programación lineal. Para este tipo de problemas se considera que existe una red de fábricas, almacenes o cualquier otro tipo de puntos, orígenes o destinos de unos flujos de bienes. La localización de nuevos puntos en la red afectará a toda ella, provocando reasignaciones y reajustes dentro del sistema. El método de transporte permite encontrar la mejor distribución de los flujos mencionados basándose, normalmente en la optimización de los costes de transporte (o, alternativamente, del tiempo, la distancia, el beneficio, etc.) En los problemas de localización, este método puede utilizarse para analizar la mejor ubicación de un nuevo centro, de varios a la vez y en general para cualquier reconfiguración de la red. En

cualquier caso, debe ser aplicado a cada una de las alternativas a considerar para determinar la asignación de flujos óptima. Para utilizar el método de transporte hay que considerar los siguientes pasos: 1. Los puntos de origen y la capacidad o abasto por período, para cada uno. 2. Los puntos de destino y la demanda por período para cada uno. 3. El costo de embarque por una unidad desde cada origen hacia cada destino. El primer paso en el procedimiento de este tipo de problema es establecer una matriz de

transporte, la cual tiene como objetivo resumir de manera provechosa y concisa todos los datos relevantes y continuar los cálculos del algoritmo. Para crear la matriz de transporte deben seguirse los siguientes pasos: 1. Crear una fila que corresponda a cada planta (existente o nueva) que se esté considerando y crear una columna para cada almacén. 2. Agregar una columna para las capacidades de las plantas y una fila para las demandas de los almacenes, e insertar después sus valores numéricos específicos. 3. Cada celda que no se encuentre en la fila de requisitos ni en la columna de capacidad representa una ruta de embarque desde una planta hasta un almacén. Insertar los costos unitarios en la esquina superior derecha de cada una de esas celdas. En muchos problemas reales, a veces sucede que la capacidad excede a los requisitos unidades, se agrega una columna (un almacén ficticio) con una demanda de unidades y los costos de embarque en las nuevas celdas creadas son igual a $0, pues en realidad esos embarques no se realizan, por lo que representan capacidad de planta no utilizada. Igualmente, si los requerimientos exceden a la capacidad por unidades, se agrega una fila más (una planta ficticia) con capacidad de unidades y se asignan costos de embarque iguales a los costos faltantes de las nuevas celdas. Si estos últimos costos no se conocen o su valor es el mismo para todos los almacenes, se le asigna $0 por unidad a los costos de embarque de cada celda de la fila ficticia. La solución óptima no resulta afectada, pues el mismo faltante de unidades se necesita en todos los casos. Para lograr que la suma de todas las capacidades sea igual a la suma de todas las demandas es que se añade una planta ficticia o un almacén ficticio. Cuando la matriz inicial está conformada, el objetivo es establecer el patrón de asignación de menor costo que satisfaga todas las demandas y agote

todas las capacidades. Este patrón se determina mediante el método de transporte, el cual garantiza que se hallará la solución óptima. La matriz inicial se completa con una solución que cumpla dos condiciones: sea factible y satisfaga las demandas de todos los almacenes y agote las capacidades de todas las plantas. Luego se crea una nueva matriz con una solución nueva, teniendo ésta un costo total más bajo. Este procedimiento iterativo se debe realizar hasta que no sea posible mejorar la solución anterior, cuando esto ocurra la solución óptima se ha encontrado. En este método es obligatorio que se cumpla que el número de embarques no iguales a 0 en la solución óptima nunca sea mayor que la suma del número de planta y almacenes menos 1. En el caso que se emplee un paquete de software sólo se introducen los datos correspondientes a la primera matriz.

Ejemplo Una empresa del sector

textil que opera en toda la

península Ibérica dispone de

la siguiente configuración:

Dos plantas de

fabricación en Setúbal

y Valencia, con

capacidades de 900 y 1

500 unidades

respectivamente.

Cuatro almacenes

regionales de

distribución que sirven

a los clientes de sus

respectivas zonas en

Barcelona, Madrid,

Lisboa y Sevilla con

demandas de 700, 800,

500 y 400 unidades.

En los próximos años, la

empresa espera un

crecimiento de la demanda

del orden del 25%, lo cual ha

llevado a la dirección de la

misma a plantearse la

apertura de una nueva

fábrica. A la vista de los

criterios que la empresa

estima importantes para la

localización de la nueva

planta, existen dos

alternativas a considerar: La

Coruña (alternativa 1) y

Málaga (alternativa 2). La

elección recaerá en aquella

que provoque los menores

costos de transporte entre las

fábricas y los almacenes,

dado que ambas parecen ser

igualmente convenientes

respecto a otros factores. La

siguiente tabla recoge los

costos de transporte unitarios

entre cada origen y destino.

Costos unitarios de transporte

Costos

unitarios

Barcelona

Madrid

Lisboa Sevilla

Setúbal 6 4 2 6

Valencia 2 3 7 5

La Coruña 6 4 4 8

Málaga 6 3 4 2

La apertura de la nueva planta en La Coruña o en Málaga va a provocar una reasignación distinta

de los intercambios entre las fábricas y los almacenes. Para conocer cómo afectaría una y otra

alternativa habría que resolver el problema de transporte en cada caso. Las correspondientes

soluciones aparecen en las tablas que se muestran a continuación, que dan lugar respectivamente

a los costos:

CTc = 625·2+275·6+875·2+400·3+225·5+600·4 = 9 375 u

CTm = 275·4+625·2+875·2+625·3+100·3+500·2 = 7 275 u

De los resultados obtenidos se deriva que Málaga es la mejor localización para el criterio

empleado.

Solución final para la alternativa 1

Barcelona Madrid Lisboa Sevilla Capacidad

Setúbal 6 4 2 6

900 625 275

Valencia 2 3 7 5

1 500 875 400 225

Córdoba 6 4 4 8

600 600

Monografia Metodos de localizacion de instalaciones de produccion y servicios.docIng. Pablo A. Pérez Gosende pablo.gosende@umcc.cu

Demanda 875 1 000 625 500

Solución final para la alternativa 2

Barcelona Madrid Lisboa Sevilla Capacidad

Setúbal 6 4 2 6

900 275 625

Valencia 2 3 7 5

1 500 875 625

Málaga 6 3 4 2

600 100 500

Demanda 875 1 000 625 500

Localización El objetivo fundamental de la localización, es la elección de un lugar en donde se desarrollen las operaciones de la empresa de una manera efectiva, esto implica realizar unas inversiones importantes, de tal modo que si la empresa tiene problemas en el desarrollo de su actividad motivados por una mala ubicación, producirá graves pérdidas a la empresa porque tendrá que desinstalarla y volverse a plantear una nueva ubicación si quiere seguir sus operaciones. A la hora de tomar la decisión de ubicar la empresa en un lugar u otro, se tienen que tener en cuenta toda una serie de factores y, algunos de ellos, pueden ejercer mayor influencia

que otros, porque todos no pueden ser tenidos en cuenta, así hay empresas que se localizan cerca del lugar donde se encuentran las materias primas, otras se localizan cerca del mercado y, finalmente, otras puede que tengan que ubicarse teniendo en cuenta factores que más repercuten sobre el proceso de elaboración del producto. Existen muchos métodos para ayudar a decidir sobre la ubicación idónea, pero en el caso de que la empresa disponga de varias factorías ubicadas en distintos lugares produciendo un único producto y operando en distintos mercados, se plantea la problemática de buscar la distribución óptima con el menor coste de transporte posible. Para ello existen igualmente distintos métodos de transporte.

Ejemplo

Un fabricante de aparatos

electrónicos desea

expandirse construyendo una

segunda instalación. Su

búsqueda se ha reducido a

cuatro localizaciones, todas

aceptables para la gerencia

en lo que se refiere a

factores dominantes o

críticos. La evaluación de

esos sitios, realizada en

función de siete factores de

localización, aparece en la

siguiente tabla:

Factor de localización

Ponderación

del factor (%)

Alternativas

A B C D

1. Disponibilidad de mano de

obra.

20 5 4 4 5

2. Calidad de vida 16 2 3 4 1

3. Sistema de transporte 16 3 4 3 2

4. Proximidad a los mercados 14 5 3 4 4

5. Proximidad a los materiales 12 2 3 3 4

6. Impuestos 12 2 5 5 4

7. Servicios públicos 10 5 4 3 3

Calcule el puntaje ponderado para cada alternativa. ¿Qué localización es la más recomendable?

Solución:

Aplicando Pi = ∑ wj .Pij se obtienen los valores de la puntuación, como se muestra a

continuación:

Factor de localización

Ponderación

del factor (%)

Alternativas

A B C D

1. Disponibilidad de mano de

obra.

20 100 80 80 100

2. Calidad de vida 16 32 48 64 16

3. Sistema de transporte 16 48 64 48 32

4. Proximidad a los mercados 14 70 42 56 56

5. Proximidad a los materiales 12 24 36 36 48

6. Impuestos 12 24 60 60 48

7. Servicios públicos 10 50 40 30 30

Puntuación Total 100 348 370 374 330

Basándonos en los puntajes ponderados de la tabla anterior, la localización C representa el sitio

preferido, aunque la localización B le sigue de cerca en segundo lugar.

Técnica de Monte Carlo El uso de los métodos de Montecarlo como herramienta de investigación, proviene del trabajo realizado en el desarrollo de la bomba atómica durante la Segunda Guerra Mundial en el Laboratorio Nacional de Los Álamos en EE. UU. Este trabajo conllevaba la simulación de problemas probabilísticos

de hidrodinámica concernientes a la difusión de neutrones en el material de fisión. Esta difusión posee un comportamiento eminentemente aleatorio. En la actualidad es parte fundamental de los algoritmos de Raytracing para la generación de imágenes 3D.

En la primera etapa de estas investigaciones, John von Neumann y Stanislaw Ulam refinaron esta ruleta rusa y los métodos "de división" de tareas. Sin embargo, el desarrollo sistemático de estas ideas tuvo que esperar al trabajo de Harris y Herman Kahn en 1948. Aproximadamente en el mismo año, Enrico Fermi, Nicholas Metropolis y Ulam obtuvieron estimadores para los valores característicos de la ecuación de Schrödingerpara la captura de neutrones a nivel nuclear usando este método. El método de Montecarlo proporciona soluciones aproximadas a una gran variedad de problemas matemáticos posibilitando la realización de experimentos con muestreos de números pseudoaleatorios en una computadora. El método es aplicable a cualquier tipo de problema, ya sea

estocástico o determinista. A diferencia de los métodos numéricos que se basan en evaluaciones en N puntos en un espacio M-dimensional para producir una solución aproximada, el método de Montecarlo tiene un error absoluto de la estimación que

decrece como en virtud del teorema del límite central.

En virtud de lo expuesto se debe decir, que esta técnica comprende un método simplificado de simulación, pero también incluye factores de probabilidad. La simulación es guiada por un muestreo al azar para tomar en cuenta la probabilidad de que el evento suceda. El muestreo al azar se usa para simular sucesos naturales con el fin de determinar la probabilidad de los eventos bajo estudio. Se emplea una tabla de números al azar para obtener la muestra al azar. El Montecarlo es un medio de tanteo

para ver qué sucedería cuando ciertos eventos, normales y anormales, se presenten. Este enfoque es productivo y dice lo que probablemente sucederá en los eventos reales sin analizar los eventos comprobables existentes. Las aplicaciones posibles son muy numerosas. Pueden usarse para resolver problemas con estas preguntas típicas: ¿Cuál es la probabilidad de un

evento o combinación de eventos, que ocurran en un proceso dado?

¿Qué decisión debe tomarse en base a las alternativas posibles?

2. Líneas de espera ( Filas ): Se presentan problemas administrativos debido a:

a. Se hace esperar a empleados, máquinas o materiales debido a instalaciones insuficientes para manejarlos de inmediato.

b. Ocurre la utilización de las instalaciones a menos del máximo a causa de la secuencia de la

llegada de recursos que emplean las instalaciones.

Hay pérdidas de tiempo, mano de obra no utilizada y costos excesivos causados por las líneas de espera o filas. Minimizar estas pérdidas es el objetivo de esta técnica. Las filas están relacionadas con el flujo; Ejemplo: el material que espera ser procesado por una máquina, los aviones que dan círculos sobre un aeropuerto en espera de instrucciones, incluyen el flujo de la combinación y de los materiales.

Ejemplo Si deseamos reproducir, mediante números aleatorios, la tirada sucesiva de una moneda, debemos previamente asignarle un intervalo de números aleatorios a CARA y otro a CRUZ, de manera de poder interpretar el resultado de la simulación. Tales intervalos se asignan en función de las probabilidades de ocurrencia de cada cara de la moneda. Tenemos así: CARA Probabilidad: 0,50 Números aleatorios: 0,000 al 0,499

CRUZ Probabilidad: 0,50 Números aleatorios: 0,500 al 0,999 Después, al generar un número aleatorio a partir de la función RAN de la calculadora, por ejemplo, obtenemos el resultado simulado. Así, si obtenemos el número aleatorio 0,385, observamos que está incluido en el intervalo asignado a CARA. En otras aplicaciones, se asocian intervalos de números aleatorios según las probabilidades de ocurrencia de los eventos a simular.

REFERENCIAS

Schroeder, R. (1992). Administración de Operaciones (3ª Ed.) McGraw-Hill Interamericana de México. Vallhonrat, Josep M & Corominas, Albert. (1991). Localización, distribución en planta y manutención. FOINSA. Barcelona. España.