METODOS Y DISTRIBUCIONES DE MUESTREO

Tema Nº 07: METODOS Y DISTRIBUCIONES Tema Nº 07: METODOS Y DISTRIBUCIONES DE MUESTREODE MUESTREO

2010 - II 1

http://www.pdfcomplete.com/cms/hppl/tabid/108/Default.aspx?r=q8b3uige22

Objetivos de aprendizajeExplicar porque en muchas situaciones una muestra es laúnica forma posible para tener conocimiento de unapoblación.Explicar los diversos métodos para seleccionar una muestraDiferenciar entre muestreo probabilístico y noprobabilístico.Definir y elaborar una distribución de muestreo de mediasmuestrales.Explicar el “teorema de limite central y su importancia enla inferencia estadística.Calcular los intervalos de confianza para medias yproporciones.Determinar que tan grande debe ser una muestra paramedias y proporciones.

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MUESTREAR LA POBLACION

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¿Por qué muestrear la población?

• Muestrear es una forma de evaluar la calidad de unproducto, la opinión de los consumidores, la eficaciade un medicamento o de un tratamiento. Muestra esuna parte de la población. Población es el total deresultados de un experimento. Hacer una conclusiónsobre el grupo entero (población) basados eninformación estadística obtenida de un pequeño grupo(muestra) es hacer una inferencia estadística.

• A menudo no es factible estudiar la población entera.Algunas de las razones por lo que es necesariomuestrear son:

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¿Por qué muestrear?(continuación)

1. La naturaleza destructiva de algunas pruebas

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2. El costo de estudiar a toda la población es muyalto.

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3. El costo de estudiar a toda la población es muyalto.

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4. El resultado de la muestra es muy similar alresultado de la población.

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5. El tiempo para contactar a toda la población esinviable.

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MUESTRA PROBABILISTICA

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¿Qué es una muestra probabilística?

En general, hay 2 tipos de muestras: la muestraprobabilística y la muestra no probabilística. ¿Qué esuna muestra de esta clase?

Muestra ProbabilísticaMuestra que se seleccionade modo que cadaintegrante de la poblaciónen estudio tengan unaprobabilidad conocida (noigual a cero) de ser incluidoen la muestra.

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MÉTODOS DE MUESTREO PROBABILISTICO

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Métodos de Muestreo Probabilístico

No hay un mejor método para seleccionar unamuestra aleatoria de una población de interés. Elmétodo utilizado dependerá de las característicasde la población. Sin embargo, todos los métodos demuestreo aleatorios tienen una meta similar, dar lamisma oportunidad a todos los elementos de lapoblación de ser incluidos en la muestra.

Muestra Aleatoria. Es una muestra seleccionada detal forma que cada integrante de una población queestá siendo estudiada tiene la misma probabilidad deser incluida en la muestra

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Muestra Aleatoria

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Muestreo Aleatorio Simple

• Una forma podría ser escribir en tarjetas los nombres de loselementos de la población y ponerlos en una caja, si lamuestra fuera de 10 elementos, entonces sacamos dieztarjetas.

• Otra forma es usar un número que identifique a cada uno delos integrantes de la población y seleccionar la muestramediante una tabla de números aleatorios. Para cada dígitode un número la probabilidad es la misma. Entonces laprobabilidad de que el elemento 22 sea seleccionado es iguala la del elemento 382.

Muestro aleatorio simple es cuando una muestra esformulada de tal manera que cada elemento en lapoblación tiene la misma oportunidad de ser incluido.

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Muestreo Aleatorio Simple• Ejemplo: En una compañía con 750 trabajadores se

quiere obtener una muestra aleatoria de 15elementos para un chequeo médico. Lostrabajadores fueron numerados del 1 al 750 ymediante una tabla de números aleatorios seprocedió a seleccionarlos . El punto de arranque enla tabla se fijó mediante la hora en ese momento,3:04, por lo tanto se inició en la columna 3, renglón4. Como los números de los trabajadores van desde1 hasta 750 solo se toman en cuenta las primeras 3cifras de cada número que se encuentren en eserango. En seguida se muestra una parte de la tabla,con el primer y segundo seleccionado:

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Muestreo Aleatorio Simple

• De tal forma fueron seleccionados que la muestraquedó integrada por los trabajadores con losnúmeros:

Tabla de números aleatorios18893 07211 23634 75296 86155 65832 27568 31727 90756 14268 65051 52438

69553 48743 06254 73002 34432 55737 88808 11755 42537 02294 68261 73891

74762 13168 32235 57554 35551 98909 65424 11892 20410 16332 82346 30389

86729 67167 24091 67155 17880 31659 02868 62563 53144 17494 79513 55413

43788 87547 16648 88536 77678 37739 95434 15078 80473 71844 02765 93879

83382 59617 20074 22002 35536 98298 63522 31818 84784 39280 64191 39429

240 671 178 316 28625 531 174 554 437166 377 150 718 27

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Muestreo Aleatorio Sistemático

• Suponga que la población de interésconsiste de 2000 expedientes de unarchivo. En este método se selecciona elprimer expediente de acuerdo al métodoaleatorio simple, luego como se quiere unamuestra de 100, se divide 2000 / 100 = 20,y se selecciona un expediente cada 20.

Muestreo aleatorio sistemático. Los elementos de lapoblación están ordenados de alguna forma(alfabéticamente, fecha, o algún otro método). Unprimer artículo es seleccionado en forma aleatoria yentonces cada n miembros de la población sontomados para la muestra.

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Muestreo Aleatorio Estratificado

• Puede haber dos tipos de muestreoestratificado, proporcional y noproporcional . Como su nombre loindica, en un muestreo aleatorioestratificado proporcional, el númerode elementos de la muestra de cadaestrato tiene la misma proporción delo encontrado en la población.

Muestro aleatorio estratificado. Una población esprimero dividida en subgrupos (estratos) y una muestraes seleccionada aleatoriamente de cada estrato.

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Muestreo Aleatorio Estratificado• Ejemplo: Se quiere obtener una muestra de 50

compañías para hacer un estudio sobre los gastos enpublicidad de las 352 compañías más grandes del país.Se dividió a las compañías en 5 estratos de acuerdo asu rentabilidad.

Estrato Rentabilidad Número de f irmas Porcentaje Muestra

A 30% o más 8 2 1

B 20 – 30% 35 10 5

C 10 – 20% 189 54 27

D 0 – 10% 115 33 16

E Con pérdida 5 1 1

Total 352 100 5020


Muestreo Aleatorio Estratificado

• En un muestreo estratificado no proporcional, elnúmero de elementos estudiado en cada estrato esdesproporcionado con respecto a su número en lapoblación. Por ejemplo, si un muestreo noproporcional fuese utilizado en el caso anterior, sedeberán pesar los resultados de cada estratomultiplicándose por .02 en el estrato 1, por .10 en elestrato 2, por .54 en el tres, etc.

• El muestro estratificado tiene la ventaja de reflejarcon más exactitud las características de la población.

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Muestreo por Conglomerados• Este método de muestro es empleado para reducir el

costo de muestrear una población cuando estádispersa sobre una gran área geográfica. El muestreopor bloque consiste en dividir el área geográfica ensectores, seleccionar una muestra aleatoria de esossectores, y finalmente obtener una muestra aleatoriade cada uno de los sectores seleccionados .

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ERROR DE MUESTREO

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Error de Muestreo• Si seleccionamos una muestra por el método de

muestreo aleatorio simple, por muestreo sistemático,por muestreo estratificado, por muestreo por bloqueso por una combinación de estos métodos, es pocoprobable que la media de la muestra sea idéntica a lamedia de la población de donde fue obtenida. De lamisma forma, es probable que la desviación estándarde la muestra no sea exactamente igual al valorcorrespondiente de la población. Por lo tantopodemos esperar alguna diferencia entre unestadístico muestral y el correspondiente parámetropoblacional . Esta diferencia es llamada error demuestreo.

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Error de Muestreo

• Ejemplo: Una población de 5 empleados deproducción que tienen ratings de eficiencia de 97, 103,96, 99 y 105. Una muestra de 2 ratings (97 y 105) fueseleccionada de esa población para estimar la mediapoblacional. La media de esa muestra sería 101. Otramuestra de 2 es seleccionada (103 y 96) con unamedia de 99.5. La media de todos los ratings (la mediapoblacional) es igual a 100. El error de muestreo parala primera muestra es 1 y para la segunda es -.5.

Error de muestreo es la diferencia entre un estadísticomuestral y su correspondiente parámetro poblacional.

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DISTRIBUCION MUESTRAL DE MEDIAS

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Distribución Muestral de MediasEl ejemplo de los ratings de eficiencia muestra como lasmedias de muestras de un tamaño específico varían demuestra a muestra. La media de la primera muestra fue 101y la media de la segunda fue 99.5. En una tercera muestraprobablemente resultaría una media diferente. Siorganizamos las medias de todas las posibles muestras detamaño 2 en una distribución de probabilidad, obtendremosla distribución muestral de las medias.

Distribución muestral de las medias. Es una distribuciónde probabilidad de todas las posibles mediasmuestrales, de un tamaño de muestra dado,seleccionadas de una población.

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Distribución Muestral de Medias• El siguiente ejemplo ilustra la construcción de una

distribución muestral de medias.• Ejemplo: Parrilladas “Don Pepe” tiene 5 parrilleros

(población), a los cuales se les paga por hora según sutrabajo. Las percepciones de los parrilleros son lassiguientes:

Parrillero Salario por horaAAdrián $ 9.00BBitia $ 8.00

CCarmen $ 8.00DDiana $ 8.00

EEnrique $ 7.0028


Distribución Muestral de Medias1. ¿Cuál es la media poblacional?2. ¿Cuál es la distribución muestral de las medias

para una muestra de tamaño 2?3. ¿Cuál es la media de la distribución muestral?4. ¿Qué observaciones se pueden hacer con

respecto a la población y a la distribuciónmuestral?Solución.

1. La media poblacional es:µ = (9 + 8 + 8 + 8 + 7)/5 = 8.0

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Distribución Muestral de Medias2. Para construir la distribución muestral de las

medias, Las medias de todas las posibles muestrasde tamaño 2 son calculadas y son las siguientes:Muestra Parrilleros percepciones Media de la muestra

1 A – B 9.00 8.00 8.502 A – C 9.00 8.00 8.503 A – D 9.00 8.00 8.504 A – E 9.00 7.00 8.005 B – C 8.00 8.00 8.006 B – D 8.00 8.00 8.007 B – E 8.00 7.00 7.508 C – D 8.00 8.00 8.009 C – E 8.00 7.00 7.50

10 D - E 8.00 7.00 7.50

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Distribución Muestral de Medias

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LAS MEDIASpara n = 2

Media muestral

Número de medias

Probabilidad

7.50 3 0.3

8.00 4 0.4

8.50 3 0.3

Σ 10 1.0

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Distribución Muestral de Medias3. La media de la distribución muest ral de medias es:

Los histogramas de la distribución de probabilidadde la población y de la distribución muestral demedias son:

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Distribución Muestral de MediasLos histogramas de la distribución de probabilidad de lapoblación y de la distribución muestral de medias son:

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Distribución Muestral de Medias4. Se pueden hacer las siguientes observaciones :

– La media de las medias muestrales es igual a lamedia de la población.

– La dispersión de las medias muestrales es menorque la dispersión en la población

– La forma de la distribución muestral presenta uncambio respecto a la forma de la población.

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Distribución Muestral de MediasEjercicios1.- La Señora López da a sus seis hijos “domingo”para que se lo gasten en dulces. Las cantidades sonlas siguientes:

Niño DomingoJavier 10.00

Antonio 9.00José 10.00

Ignacio 8.00Adolfo 8.00Andrés 9.00

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Distribución Muestral de Medias

1. ¿Cuántas muestras diferentes de tamaño 3 sepueden seleccionar de esta población?

2. Construya la distribución muestral de las medias demuestras tamaño 3.

3. Compare la media de la población con la media dela distribución muestral

4. Compare la desviación estándar de la población conla desviación estándar de la distribución muestral delas medias.

5. Compare los histogramas de la población y de ladistribución muestral de las medias.

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TEOREMA DE LIMITE CENTRAL

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Teorema del Límite Central

• El tamaño de la población y el tamaño de lamuestra en los problemas anteriores sonintencionalmente pequeños para enfatizar dosconceptos: (1) La media de las mediasmuestrales es exactamente la misma que lamedia de la población y (2) que la forma de ladistribución de las medias muestrales no esnecesariamente igual que la forma de ladistribución.

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• Las siguientes gráficas corresponden alejemplo anterior, note como la forma de ladistribución de la población no es igual a laforma de la distribución muestral. Ladistribución muestral de las medias seaproxima mucho a una distribución normal.

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• Si la población está normalmente distribuida, ladistribución muestral de las medias tambiénestará normalmente distribuida. En el primerproblema (ingresos de los parrilleros) la formade la distribución de la población esaproximadamente normal y la forma de ladistribución muestral también esaproximadamente normal. Estas son las basesdel teorema del límite central, uno de los másimportantes teoremas en estadísticas.


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Teorema del Límite Central. Para unapoblación con una media µ y una varianzaσ², la distribución de las medias de todaslas muestras posibles de tamaño nngeneradas de la población estarándistribuidas de forma aproximadamentenormal asumiendo que el tamaño de lamuestra es suficientemente grande.


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• Con relación al teorema del límite central debemosenfatizar en:

1. Si el tamaño de la muestra n es suficientementegrande (n > 30) la distribución normal de las mediasserá aproximadamente normal. No importa si lapoblación es normal, sesgada u uniforme, si la muestraes grande el teorema se aplicará.

2. La media de la población y la media de todas lasposibles muestras son iguales. Si la población esgrande y un gran número de muestras sonseleccionadas de esa población entonces la media delas medias muestrales se aproximará a la mediapoblacional.


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3. La desviación estándar de la distribución muestral delas medias, a la que llamaremos error estándar, esdeterminado por


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ESTIMACIONES PUNTUALES Y DE

INTERVALO

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Estimación Puntual

• Cuando no se conoce alguna característica de lapoblación, como podría ser la media, el estadísticocorrespondiente de la muestra, en este caso la mediade la muestra, puede ser utilizado como estimador delparámetro poblacional. Esta técnica estadística sellama estimación puntual.

Estimación puntual es cuando un estadístico de lamuestra es usado para estimar un parámetropoblacional.

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Ejemplo 01:• Se realizará un estudio sobre la

potencia de arranque en frío debaterías o acumuladores de 12voltios para estimar el numero deveces que un motor condesplazamiento de 440 plg3arrancara antes de que falle labatería. Una muestra de 40dispositivos seleccionados alazar dió los siguientes númerosde arranque:

Solución:

26 27 26 20 21 42 30 22

22 21 26 9 21 22 28 26

19 16 20 32 18 23 32 28

21 41 19 31 21 22 16 23

30 21 37 28 39 30 21 23

=n

x ΣX =40

1000 = 25 arreglos48


Ejemplo 01: (sigue)• La variancia muestral s2 y la desviación estándar

muestral ,s se utilizan para estimar la varianciapoblacional σ2 y la desviación estándar poblacional ,σ s Se realizará un estudio sobre la potencia dearranque en frío de baterías o acumuladores de 12voltios para estimar el numero de veces que un motorcon desplazamiento de 440 plg3 arrancara antes deque falle la batería. Una muestra de 40 dispositivosseleccionados al azar dio los siguientes números dearranque:

Variancia de lamuestra:

Σ(xi – x)2s2 =

n-1 49


Variancia de la muestra: Σ(xi – x )2s =

n-1

En donde X representa el valor de una elementoseleccionado para la muestra, X es la media de lamuestra , y n es el numero en la muestra.

De igual manera, la proporción de la población que está a favorde medidas mas estrictas para la protección ambiental puedeestimarse utilizando una proporción muestral. Si p es laproporción poblacional desconocida y p es la proporciónmuestral, la estimación puntual para la proporción de lapoblación es:

50


p = Número de éxitos de la muestran

Número muestrado

p = Xn

Ejemplo: De 2000 personas muestreadas, 1600 están a favorde medidas mas estrictas de protección ambiental . ¿Cuál es laproporción poblacional estimada?Solucion:

p = Número de éxitos de la muestran

Número muestrado

p = 1600

2000= 0.80 El 80% de la población

esta a favor de medidasmas 51


• Ejemplo: Los siguientes datos corresponden a unamuestra aleatoria de los pesos, en kilogramos, delequipaje personal que lleva en un vuelo un jugador deun equipo de baloncesto:15.4 17.7 18.6 12.7 15.0 15.9 16.3 18.1 16.8 14.1 13.6 16.3

Hacer una estimación puntual de la media poblacionaldel peso promedio del equipaje de un basquetbolista.Solución: La media de la muestra de los pesos delequipaje de un basketbolista en un vuelo es:

La estimación puntual consiste en considerar que lamedia poblacional es el valor que se obtuvo como mediade la muestra. µ = 15.87

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Estimación por Intervalo• El intervalo dentro del cual se espera que se encuentre

un parámetro poblacional usualmente es conocido comointervalo de confianza. Por ejemplo, el intervalo deconfianza para la media poblacional es el intervalo devalores que tiene una alta probabilidad de contener a lamedia de la población.Estimación por Intervalo. Establece el rango de valores dentrodel cual se espera que se encuentre un parámetro poblacional .

El nivel de confianza es la probabilidad de que el parámetropoblacional se encuentre dentro del intervalo. Los niveles deconfianza más ampliamente usados son 0.95 y 0.99, sinembargo puede usarse cualquier probabilidad cercana a 1.

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Estimación por Intervalo

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Estimación por Intervalo• Para entender mejor el concepto de intervalo de confianza

vamos a suponer que seleccionamos 100 muestras de unapoblación y calculamos la media de las muestras e intervalosde confianza del 95% para cada muestra. Descubriremos quecerca de 95 de los 100 intervalos de confianza contienen lamedia poblacional .

Pasos para construir un intervalo de confianza (n>30)1. Establecer el nivel de confianza2. Determinar el valor de la variable aleatoria estándar3. Calcular los estadísticos de la muestra4. Calcular el error estándar5. Calcular el error máximo de estimación6. Determinar los límites del intervalo de confianza e interpretar.

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Estimación por Intervalo• Ejemplo: Los resultados siguientes representan las

calificaciones de una muestra aleatoria decalificaciones de estudiantes en estadística elemental.

23 60 79 32 57 74 52 70 82 3680 77 81 95 41 65 92 85 55 7652 10 64 75 78 25 80 98 81 6741 71 83 54 64 72 88 62 74 4360 78 89 76 84 48 84 90 15 7934 67 17 82 69 74 63 80 85 61

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Estimación por Intervaloa) Haga un intervalo de confianza del 95% para

estimar la media poblacionalb) Haga un intervalo de confianza del 99% para

estimar la media poblacionalc) Compare los anteriores resultadosSolución del inciso (a)

Haga un intervalo de confianza del 95% paraestimar la media poblacional1.- El nivel de confianza ya está establecido como95%, se simboliza de la siguiente forma:

1 – α = 0.9557



2.- Cuando se trata de estimar la media poblacional lavariable aleatoria estándar es el valor Z de la distribuciónnormal, siempre y cuando la muestra sea grande (n >30). Como 1 – α es la probabilidad de que la mediapoblacional se encuentre dentro del intervalo (centro dela curva), α es la probabilidad de que no se encuentre enel intervalo (extremos de la curva), y cada extremo de lacurva o cola corresponde a α/2.En la tabla de la distribución normal se busca el valor Zque corresponde al área de α/2 de la siguiente manera:

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Estimación por Intervalo1 – α = .95α = 1 - .95 = .05α/2 = .025Se busca en la tabla nornal:

Entonces Z = 1.96 es el valor que corresponde a lacola positiva de la curva, y Z = - 1.96 es el valor quecorresponde a la cola negativa.

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3.- Para estimar la media poblacional necesitamoscalcular la media y la desviación estándar de lamuestra:

61


Estimación por Intervalo4.- Se calcula el error estándar, como no conocemosel tamaño de la población se elimina la segunda partede la fórmula. Hacemos lo mismo si la población es20 o más veces más grande que la muestra. Si no seconoce σ, como en este caso, se utiliza S.

5.- Se calcula el error máximo de estimación

62


Estimación por Intervalo6.- Se calculan los límites del intervalo de confianza,restando a la media de la muestra el error maximo deestimación se obtiene el límite inferior. Sumando a lamedia de la muestra el error máximo de estimación seobtiene el límite superior.

Este resultado se interpreta de la siguiente manera:“Hay una probabilidad de .95 de que la calificaciónmedia de todos los estudiantes de estadísticas, seencuentre entre 60.13 y 70.83”. 63


Estimación por IntervaloSolución del inciso (b)

Haga un intervalo de confianza del 99% para estimarla media poblacional1.- El nivel de confianza ya está establecido como99%, se simboliza de la siguiente forma:

1 – α = 0.99

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2.- Cuando se trata de estimar la media poblacional lavariable aleatoria estándar es el valor Z de ladistribución normal, siempre y cuando la muestra seagrande (n > 30). Como 1 – α es la probabilidad de quela media poblacional se encuentre dentro del intervalo(centro de la curva), α es la probabilidad de que no seencuentre en el intervalo (extremos de la curva), y cadaextremo de la curva o cola corresponde a α/2.En la tabla de la distribución normal se busca el valor Zque corresponde al área de α/2 de la siguiente manera:

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0.005 0.005

Z = -2.58 Z = 2.5866



1 – α = .99α = 1 - .99 = .01α/2 = .005Se busca en la tabla nornal:

Entonces Z = 2.575 es el valor que corresponde a lacola positiva de la curva, y Z = - 2.575 es el valor quecorresponde a la cola negativa.

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3.- Para estimar la media poblacional necesitamoscalcular la media y la desviación estándar de lamuestra:

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Estimación por Intervalo4.- Se calcula el error estándar, como no conocemosel tamaño de la población se elimina la segundaparte de la fórmula. Hacemos lo mismo si lapoblación es 20 o más veces más grande que lamuestra. Si no se conoce σ, como en este caso, seutiliza S.

5.- Se calcula el error máximo de estimación2.575 7.025

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Estimación por Intervalo6.- Se calculan los límites del intervalo de confianza,restando a la media de la muestra el error máximo deestimación se obtiene el límite inferior. Sumando a lamedia de la muestra el error máximo de estimación seobtiene el límite superior.

Este resultado se interpreta de la siguiente manera:“Hay una probabilidad de 0.99 de que la calificación media de todoslos estudiantes de estadísticas, se encuentre entre 58.45 y 72.51”.

7.025 7.025 0.99

0.9958.45 72.51

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ERROR ESTANDAR DE LA MEDIA

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Error estándar de la media

Error estándar de la media: Desviación estándar de ladistribución muestral de las medias muestrales

En donde:

σσ =nx

σxσ

n

: es el error estándar de la media

: es la desviación estándar de la población

: es el tamaño de la muestra72


Error estándar de la media

ss =nx

En la formula del error estándar de la media se suponeque conocida la desviación estándar de la población, σ.Si no se conoce, y n = 30 o mayor (se considera unamuestra grande), la desviación estándar de la media,denotada por s, sirve para aproximar la desviaciónestándar de la población, σ. Entonces la formula para elerror estándar queda así:

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INTERVALOS DE CONFIANZA DE 95% Y 99%

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Elaboración de los intervalos de confianza de 95% y 99% (n≥ 30)

INTERVALO DE CONFIANZA DE 95%

S± 1.96

nX

S± 2.58

nX INTERVALO DE CONFIANZA DE 99%

=

=

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INTERVALOS PARA UNA PROPORCION

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Intervalo de confianza para una proporción de la población



± 1.96 np p (1 - )p

± 2.58 np p (1 - )p

=

=

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FACTOR DE CORRECCIÓN FACTOR DE CORRECCIÓN PARA POBLACIÓN FINITAPARA POBLACIÓN FINITA

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FACTOR DE CORRECCIÓN P ARA POBLACIÓN FINITA

• Se dice que una población con una cota superior fija es finita.Para una población finita, donde el número total de objetos esN y el tamaño de la muestra es n, se hace el siguiente ajuste alos errores estándar de las medias muestrales y a lasproporciones :

• Error estándar de las medias muestrales :


80

• Error estándar de las proporciones de las muestras:

–Este ajuste se llama factor de corrección de población finita.Nota: si n/N < .05, el factor de corrección de población finita se ignora.

EjemploEjemplo::Hay 250 familias en un pueblo. Una encuesta con 40 familias

reveló que la contribución media anual a la iglesia era de $ 450con una desviación estándar de $ 75.00. Establecer un intervalode confianza de 95% para la contribución media anual.

FACTOR DE CORRECCIÓN DE POBLACIÓN FINITA


• Solución: La población es finita. Se nota que lamuestra constituye mas del 5% de la población, por lotanto se aplica el factor de corrección finita. Elintervalo de confianza de 95% se establece de lasiguiente forma.

=X ±z

sn

( N - nN - 1 )

= 450 ± 1.967540 ( 250 - 40

250 - 1 )= 450 ± 21.34 = 428.66 y 471.34 81


SELECCIÓN DEL TAMAÑO DE SELECCIÓN DEL TAMAÑO DE LA MUESTRALA MUESTRA

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83

Selección del Tamaño de la Muestra

• Siempre se especificaron los tamaños de muestraen los problemas anteriores. Pero esta vez sedeterminara un tamaño adecuado de muestra. Nose debe escoger un tamaño de muestra muy grandeo muy pequeña.

• Si se escogiera una muestra de 300 elementos y sieste tamaño de muestra es demasiado grande, seestaría desperdiciando tiempo y dinero. Si 300 nofuera una muestra suficientemente grande, lasconclusiones a las que se llegue serán incorrectas.de la muestra.


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Selección del Tamaño de la Muestra• Como ejemplo tenemos el siguiente caso:

supongamos que dos personas de una poblaciónelectoral y se les pregunto su preferencia electoralpara una candidatura de una alcaldía. Si las dospersonas seleccionadas son miembros del partidoAAAAAA, se concluiría erróneamente que el próximoalcalde a elegir seria del partido AAAAAA.

• Hay errores al tomar un tamaño de muestra, muchoscreen que 5% es el tamaño ideal para todoproblema. Sin embargo, 4 de una población de 80podría ser demasiado pequeña, y un tamaño demuestra de 60,000 de una población de 1 200,000 esdemasiado grande.


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Selección del Tamaño de la Muestra• Otro error es considerar una muestra mas grande

para una Región con mayor densidad poblacional queotra de menor densidad poblacional.

• Hay tres factores que determinan el tamaño demuestra:

•• GradoGrado dede ConfianzaConfianza:: mayormente se utiliza 0.95 y0.99, pero tambien se puede utilizar otro nivel.

•• MaximoMaximo ErrorError PermisiblePermisible:: lo decide el investigador,es el maximo error tolerable en un nivel de confianzaespecifico.

•• VariaciónVariación dede lala PoblaciónPoblación:: la variabilidad la mide ladesviación estándar.


86

Selección del Tamaño de la Muestra•• GradoGrado dede ConfianzaConfianza:: Probabilidad de que la

estimación efectuada se ajuste a la realidad.Cualquier información que queremos recoger estádistribuida según una ley de probabilidad (Gauss oStudent), así llamamos nivel de confianza a laprobabilidad de que el intervalo construido en torno aun estadístico capte el verdadero valor del parámetro.Es una convención que se utilice un nivel deconfianza del 9595%% (z=(z=11..9696)), o bien del 9999%% (z=(z=22..5858)).Mientras más alto sea el nivel de confianza, mayorserá el tamaño de la muestra.


87


•• ErrorError MáximoMáximo PermisiblePermisible:: El error máximopermisible, que se designa como EE, es la cantidad quese suma y/o resta de la media de la muestra, paradeterminar los puntos extremos del intervalo deconfianza correspondiente. Es la cantidad de errorque tú como investigador deseas tolerar. También esla mitad de la amplitud del intervalo de confianzacorrespondiente. Un error permisible pequeñorequerirá una muestra grande, mientras uno granderequerirá una muestra pequeña.


88


• Supongamos que un arquitecto considera laconstrucción de un centro comercial tipo Mega Plaza.En base a una encuestaencuesta superficialsuperficial se encontró queel ingreso familiar varia entre USUS$$ 90009000 y USUS$$ 2900029000.Suponiendo que estas estimaciones son razonables¿Seria posible que el arquitecto estuviera satisfechocon esta afirmación que resulta de una muestra deresidentes en el área: “la media poblacional es entreUSUS$$ 1313,,000000 y USUS$$ 2525,,000000? ¡Muy¡Muy probablementeprobablemente no!no!


89


• Limites de confianza tan amplios indican poco o nadasobre la media poblacional . En vez de esto, elarquitecto señalo que: “Si se usa la probabilidad de0.95, el error totatal en la prediccion de la mediapoblacional


90


=z

σxE =

1.96200 = 102.04

• El tamaño de la muestra se calcula despejando elvalor de n en la formula:

=sxsn



1-1102.04 102.04 97.9697.96

200 200

El error no puede El error no puede exceder deexceder de

La media poblacional debeestar en el intervalo ± 200desde la media muestral..

91


92

Selección del Tamaño de la Muestra• Donde:

sx es el error estándar de la muestras es la desviación estándar muestraln es el tamaño de la muestra

Hasta ahora:

=s x sn

Error total permisible

Z desviaciones estandaresDesviacion estandar de la muestra

Tamaño de la muestra


93

Selección del Tamaño de la Muestra• Donde:

Si E representa el error total permisible.

= sn

Ez

= sn

2001.96

= sn102.04


94

Selección del Tamaño de la Muestra• Variación de la Población: Si la población tiene una

dispersión amplia, se requiere una muestra grande. Porotra parte si la población está concentrada (eshomogénea), el tamaño requerido de la muestra serápequeño.

• Cuando no se conoce la desviación estándar de lapoblación es necesario hacer una estimación de ella.Algunos métodos para hacer esta estimación son lossiguientes:


95

Selección del Tamaño de la Muestra§ El enfoque del estudio comparativo. Este se utiliza

cuando con anterioridad se ha realizado estudiosestadísticos sobre la misma población. Si los datosobtenidos por estos estudios se consideran confiablesse puede utilizar la desviación estándar encontrada porellos.§ Estudio piloto. Consiste en aplicar un estudio previo a

una pequeña muestra de la población y en tomar comoDE la que se obtenga de esta pequeña muestra.§ El error estándar de la media o de la proporción.

Consiste en aplicar el procedimiento visto en el temaanterior.


96

§ La aproximación basada en rango. Para utilizareste método es necesario conocer o tener unaestimación de los valores máximos y establece que,suponiendo que la distribución es normal, dentro delrango de + – 3 DE de la media se encuentranprácticamente la totalidad de las observaciones deuna distribución (99.7%). De esta manera la distaciaentre el valor menor y el mayor debe ser, en teoría,algo muy cercano a 6 DE. Se podría entoncesestimar la DE como una sexta parte del rango. Porejemplo supón que quieres estimar la DE de lacantidad de cheques que expiden al mes los alumnosde la universidad, supón que el mínimo de chequesexpedidos es de 2 y el máximo de 50, de estamanera el rango sería de 48 (50-2). En este ejemplola estimación de la DE sería de 8 cheques, que seobtiene de 48/6.


§ Supóngase que se realiza un estudio piloto y secalcula que la desviación de la s es 3000:

= sn

Ez

= 3000n

2001.96

Remplazamos y tenemos que n= 864.36

=s x sn

97


98

§ Una formula de calculo mas adecuada paradeterminar n es:

=n Z * sE( )

§ Donde:§ E es el error permisible§ Z es el desvió formal asociado al grado de

confianza seleccionado§ S es la desviación estándar de la muestra del

estudio.

2


§ Para el ejemplo anterior despejamos y tenemos losiguiente:

=n 1.96*3000200( )2

n = 864.36

99


100

§ Ejemplo:§ Un estudiante de administración desea determinar la

cantidad media que perciben los empleados delMunicipio del Rimac. El error para estimar la mediaes de $1,000, con un nivel de confianza del 95%. Elestudiante encuentra un informe en INEI que estimala desviación estándar en $10,000. ¿Cuál es tamañorequerido de la muestra?§ Solución:• n = ((1.96*$10,000)/$1,000)2• n = 384.16, es deci r 385


101

• Si se desea un nivel mayor de confianza, por ejemplo del 99%, la muestra deberá ser mayor.

• n = ((2.58*$10,000)/$1,000)2• n = 665.64, es decir 666 (el numero de la bestia)


Estimación por Intervalo con muestras pequeñas (n ≤ 30)

• Para poder utilizar la distribución normal es necesarioque las muestras sean grandes (n > 30) y conocer σ.Si no se conoce σ se utiliza S, pero si además lamuestra es chica los resultados no seránsatisfactorios. En estos casos se utiliza ladistribución t de student.

102


Estimación por Intervalo -Características de t de Student

• Esta distribución fue desarrollada por William Gosset, untrabajador de la cervecería Guinness en Irlanda, quien lapublicó utilizando el seudónimo de “Student”. Gossett seinteresó en el comportamiento del valor z cuando seutilizaba S en vez de σ, y particularmente en ladiscrepancia entre S y σ cuando S se calcula demuestras muy pequeñas.

• En la siguiente gráfica se muestra como la distribución textendida que la distribución normal Z.

103



104



Las características de la distribución t son:a) Es una distribución continua.b) Tiene forma de campana y es simétrica.c) Es una familia de curvas. Todas tienen la misma

media de cero, pero sus desviaciones estándardifieren de acuerdo al tamaño de la muestra.

d) La distribución t es más baja y dispersa que ladistribución normal. Cuando el tamaño de la muestrase incrementa, la distribución t se aproxima a lanormal.

105


Pasos para construir intervalos de confianza para muestras pequeñas

Se siguen los mismos pasos de los intervalos deconfianza para muestras grandes.Ejemplo.Una muestra aleatoria de 12 secretarias escriben amáquina un promedio 85.2 palabras por minuto conuna desviación estándar de 9.3 palabras por minuto.Encuentre un intervalo de confianza de 95% para elnúmero promedio de palabras por minuto escritas portodas las secretarias.

106



Solución.1.- El nivel de confianza es 1 – α = 0.952.-Como la muestra es pequeña (n ≤ 30) sedetermina el valor de t, para lo cual, antes sedeterminan los grados de libertad Φ. El valor de α dela tabla corresponde al área que se encuentra a laderecha del valor positivo de t que buscamos, por lotanto en los intervalos de confianza sería α/2Φ = n – 1 = 12 – 1 = 11 α/2 = 0.025

107



Φ α 0.02511 2.20099

t = 2.200993.- Los estadísticos de la muestra son:

X = 85.2 S = 9.34.- Se calcula el error estándar

108



5.- Se calcula el error máximo de estimación

6.- El intervalo de confianza resultante es:P( X - E ≤ µ ≤ X + E ) = 1 – αP( 85.2 – 5.68 ≤ µ ≤ 85.2 + 5.68) = 0.95P( 79.52 ≤ µ ≤ 90.88 ) = 0.95

Lo que quiere decir que hay una probabilidad de .95de que la cantidad promedio de palabras por minutoque escriben todas las secretarias se encuentreentre 79.52 y 90.88 109


Intervalo de confianza para estimar una proporción

Un intervalo de confianza para estimar unaproporción poblacional se construye de manerasimilar al procedimiento usado anteriormente.Ejemplo.En un estudio de mercado para estimar la proporciónde amas de casa que pueden reconocer la marca deun limpiador basándose en la forma y color delenvase. De 1400 amas de casa, solo 420 pudieronidentificar la marca. Hacer un intervalo de confianzadel 99% para estimar la proporción poblacional.

110



1.- El nivel de confianza ya está establecido: 1 – α = 00.99

2.- Como n > 30 entonces se determina Z:1 – α = .99α = 1 - .99 = .01

α/2 = .005

El valor .005 no está en la tabla normal, pero deberíaencontrarse entre estas dos cantidades.

111



se procede entonces con un procedimientollamado interpolación, identificando la primer zcomo z1 y la segunda como z2. Las áreas comoA1 y A2 respectivamente.

Z 7 ? 82.5 0.0051 0.005 0.0049

Z1 Z Z2Z 7 ? 8

2.5 0.0051 0.005 0.0049Α1 A Α2 112



Luego se aplica la siguient e fórmulaZ=Z1 +( Z2 – Z1)(A1 - A)/ (A1 – A2)

= 2.57 +(2.58-2.57)(.00508-.005)/(.00508-.00494)=2.5757

3.- Los estadísticos de la muestra es la proporción de éxitos en la muest ra (p) y la proporción de fracasos (q)p =x/n =420/1400 = .3q = 1 – p = 1 - .3 = .7

113


4.- Se calcula el error estándar de la proporción con la siguiente fórmula

5.- Se calcula el error máximo de estimaciónE = Z σp = (2.5757)(.0122) = .0314

6.- El intervalo que resulta es:P( p – E ≤ p ≤ p + E) = 1 – αP(.3 - .0314 ≤ p ≤ .3 + .0314) = .99P(.2686 ≤ p ≤ .3314) = .99Hay una probabilidad de .99 de que la proporción deamas de casa que pueden identificar la marca dellimpiador se encuentre entre .2686 y .3314 114


Problemas

1.- Se realizó una investigación de mercado para conocer lacantidad promedio que gasta a la semana en cigarros unfumador. Los resultados fueron los siguientes:

131 146 71 192 159 60 158 166 155 150177 137 99 96 296 179 171 172 177 33

a) Haga un intervalo de confianza del 96% para estimar lacantidad promedio que gastan los fumadores (en general)en una semana.

b) Haga un intervalo de confianza del 97% para estimar laproporción de fumadores que gastan más de 150 pesos a lasemana

115


Problemas2.- El propietario de una estación de gasolina quiere estimarel número promedio de litros de gasolina vendida a susclientes. De sus registros seleccionó una muestra de 60ventas y encontró lo siguiente:

a) Haga un intervalo de confianza del 94% para estimar elnúmero promedio de litros de gasolina vendida a susclientes

b) Haga un intervalo de confianza del 98% para estimar laproporción de clientes que compraron más de 30 litros degasolina vendida.

39 32 30 22 54 27 24 29 23 42 35 21

26 35 36 39 20 25 43 34 29 21 21 30

41 27 44 45 27 33 33 36 11 33 38 24

39 28 33 27 28 31 35 37 40 32 46 37

34 40 29 32 28 25 36 23 26 24 30 34

116


Problemas

3.- Un maestro de español enseña en cinco diferentes gruposde secundaria. Encargó recientemente un ensayo y contólos errores ortográficos de cada uno de ellos:

GRUPO A

HOMBRES MUJERES

4 10 7 8 7 5 3 7 12 4 6 8 4 7 7 7 6 8 4 6

6 8 8 8 6 6 9 10 5 8 2 6 7 2 6 9 5 6 6 8

7 7 13 8 4 5 4 5 5 7

GRUPO B

HOMBRES MUJERES

2 0 3 6 9 10 9 6 5 10 8 5 4 9 7 8 8 10 6 7

8 9 5 5 8 6 10 8 5 4 6 6 5 9 4 9 3 7 5 8

9 1 11 5 3 7 8 15 8 6 7 4 117


ProblemasGRUPO C

HOMBRES MUJERES8 2 6 1 5 8 9 2 7 6 6 3 11 6 7 7 1 9 6 44 7 10 8 5 2 7 7 6 6 6 8 6 8 4 9 2 8 1 6

7 4 9 2 8 11 2GRUPO D

HOMBRES MUJERES8 0 7 7 8 7 6 11 4 8 0 2 11 7 8 4 4 5 5 4

12 7 5 9 6 5 5 8 9 3 5 8 8 9 5 10 7 9 9 710 9 4 7 10 7

GRUPO EHOMBRES MUJERES

4 8 11 9 4 7 8 9 8 9 2 14 1 8 6 2 7 5 9 44 6 4 8 6 6 5 4 7 7 9 8 7 5 6 5 8 5 9 67 4 7 4 7 5 6 6 8 8 8 7 6 2 6 6 7

118


Problemasa) Obtenga una muestra de tamaño 15 por muestreo aleatorio

simple y haga una estimación de la media poblacional con unaconfianza de 99%

b) Obtenga una muestra de tamaño 40 por muestreo aleatoriosistemático y haga una estimación de la proporción poblacionalde estudiantes que tuvieron menos de 5 errores, con un nivelde confianza de 93%

c) Obtenga una muestra de 50 estudiantes por muestreo aleatorioestratificado y haga una estimación de la media poblacionalcon nivel de confianza de 90%

d) ¿Cuál método de muestreo es el más apropiado para estecaso?

e) ¿De que tamaño debería ser la muestra si queremos que elerror máximo de estimación sea igual a 1? 119


Problemas4.- Cierto banco encuentra que el uso de cajeros automáticos

reduce el costo de las transacciones bancarias de rutina. Estebanco instaló un cajero automático en las instalaciones de FunToy Company. Este cajero es para uso exclusivo de los 500empleados de Fun Toy Company. Después de algunos mesesde operación, se realizó un estudio sobre el uso del cajero y seencontró lo siguiente:

NÚMERO DE VECES QUE USÓ EL CAJERO EL ÚLTIMO MES

4 2 2 3 3 3 2 1 3 5 2 3 3 1 4 1 3 4 2 21 4 5 1 3 3 4 2 4 3 2 1 3 3 2 3 2 1 4 52 2 1 3 3 3 4 2 1 3 2 1 2 2 1 3 2 2 2 10 2 2 0 2 1 3 1 2 1 3 2 5 2 1 3 1 0 2 21 4 2 3 2 1 2 2 2 4 2 2 4 1 1 1 2 1 4 2

120


4 2 5 2 3 1 2 4 2 1 4 1 3 1 3 1 1 4 2 5

2 3 3 1 4 3 1 2 0 4 1 1 2 2 2 1 1 2 3 3

2 3 2 3 4 2 3 3 4 3 1 2 0 3 1 3 1 2 3 2

4 3 4 1 3 4 2 2 4 2 2 1 2 2 3 3 2 4 3 4

2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 2 0 3 2 1 2 1 2 2 2

1 4 2 3 0 3 2 1 1 2 2 3 1 2 2 5 1 1 4 2

2 2 2 3 2 3 3 2 4 1 1 2 2 2 2 3 1 2 2 2

5 0 1 2 3 1 0 2 2 1 2 3 1 2 3 0 3 5 0 1

4 2 3 0 3 0 2 1 2 2 1 2 2 4 3 2 2 4 2 3

2 2 2 4 0 2 0 2 2 4 2 3 3 1 2 0 3 2 2 2

2 3 2 2 1 3 2 1 3 2 2 3 2 1 2 2 3 2 3 2

2 0 2 2 2 2 3 3 2 3 2 2 2 2 1 2 1 2 0 2

3 1 3 3 2 2 3 2 4 1 2 3 2 2 4 3 3 3 1 3

4 2 2 1 3 2 1 1 2 4 1 3 0 3 2 2 2 4 2 2

3 3 4 1 1 2 1 1 3 2 3 4 2 1 3 3 1 3 3 4

2 2 3 3 3 3 2 3 3 2 3 3 2 2 3 3 3 2 2 3

3 3 1 1 2 0 1 0 3 4 2 2 2 2 1 2 1 3 3 1

2 3 2 2 1 3 0 2 3 2 3 1 2 2 2 2 2 2 3 2

2 2 2 2 3 2 1 1 0 3 4 3 0 2 2 3 1 2 2 2

0 2 2 2 3 1 2 0 2 2 3 2 3 5 1 1 2 0 2 2121


Problemas

a) ¿Cuál es el método de muestro más apropiado para estecaso?

b) Obtenga una muestra aleatoria de 40 empleados de Fun ToyCompany y haga un intervalo de confianza del 98% paraestimar la media poblacional de las veces que usó el cajero enel mes.

c) Obtenga una muestra de 25 empleados de Fun Toy Company yestime la proporción poblacional de empleados que noutilizaron el cajero en el mes con un intervalo de confianza de96%

d) ¿De que tamaño deberá ser la muestra si el error máximo deestimación es igual a 1?

122


Problemas5.- Las estaturas en centímetros de una muestra aleatoria de 50

estudiantes universitarios son las siguientes:179 168 163 175 173 175 176 180 175 172168 181 173 162 174 168 178 165 175 181180 160 166 178 175 163 163 160 181 180168 175 171 178 182 188 171 184 170 177175 169 185 171 168 173 177 169 181 164

a) Haga un intervalo de confianza del 98% para estimar lamedia poblacional

b) Haga un intervalo de confianza del 97% para estimar laproporción de estudiantes que miden menos de 170 cm.

c) ¿De que tamaño deberá ser la muestra si queremos queel error máximo de estimación sea 5cm? 123


6.- Los siguientes datos son las calificaciones dadas a una líneaaérea, por los 250 pasajeros del vuelo Nueva York – LosAngeles. Las calificaciones pueden ir de 0 a 10.

a) Obtenga una muestra aleatoria de 35 pasajeros y haga un intervalo deconfianza del 95% para estimar la media poblacional de lascalificaciones otorgadas por los pasajeros.

b) Obtenga una muestra de 10 pasajeros y estime con un intervalo deconfianza de 90% la proporción poblacional de pasajeros que otorgaronuna calificación reprobatoria

c) ¿De que tamaño deberá ser la muestra si el error máximo de estimaciónes igual a .5?

4 5 3 6 6 6 7 5 4 6 7

6 4 6 6 7 5 3 6 5 6 5

4 6 5 6 6 6 4 9 4 8 5

6 2 7 6 6 5 5 5 6 6 6

5 5 7 3 6 7 5 7 6 6 5

6 7 7 4 7 2 9 2 8 4 6

6 5 6 6 8 4 2 5 5 8 5

5 2 9 4 3 6 6 6 4 4 6

124


7. Una muestra de 10 hombres de una gran ciudad dio para susestaturas (distribución normal) una media de 1,72 m. y unavarianza de 0,13 m. Se trata de estimar un intervalo deconfianza para la media de las alturas de todos los habitantesvarones de dicha ciudad, con un coeficiente de riesgo de 5%.

8. La resistencia a la rotura, expresada en Kg., de 5 ejemplares decuerda, cuyos diámetros son de 0,60 cm. es de 280, 240, 270,285, 270. Siendo el desvío poblacional igual a 23 cm, construirun intervalo de confianza del 99%, para la resistencia media ( )a la rotura.

9. En una muestra de 35 caballos de carrera, por estudios previosse conoce las pulsaciones del corazón, siendo la media de 85pulsac/min y la desviación típica de 15 pulsac/min. Hallar loslímites de confianza del 95 % y del 99 % para el aumento medioverdadero de las pulsaciones del corazón.

Problemas - media poblacional


10.Una empresa mayorista solicita al fabricante torres de molinosque puedan soportar vientos de 80 km./h. La empresa quieredeterminar si las torres se ajustan a esta especificación, paraello selecciona una muestra aleatoria de 3 molinos, los que enpromedio soportan vientos de 76 km./h con un S de 2 km./h.Estime si el valor está o no incluido en la especificación delfabricante, con un coeficiente de riesgo del 5 %.

11.En una plantación de mandarinas se eligieron al azar 50plantas, contándose la producción por planta, resultó enpromedio 1512 mandarinas, siendo el desvío de la población de108 mandarinas. Se desea conocer entre que valores estará elverdadero valor m pensando que la probabilidad deequivocarnos es 1 cada 100 y 5 cada 100.

Problemas - media poblacionalmedia poblacional


12.La media y la desviación típica de las cargas máximassoportadas por 60 cables son 11,09 y 0,73 toneladas,respectivamente . Hallar los límites de confianza a) 95 % y b) 99% para la media de las cargas máximas soportadas por loscables de ese tipo.

13.La media y la desviación típica de los diámetros de una muestrade 250 remaches manufacturados por una empresa, son 0,72642y 0,00058 in, respectivamente . Hallar los límites de confianza a)95 % y b) 99 % para el diámetro medio de los remaches allíproducidos.

14.Un nutricionista animal desea estimar el contenido vitamínico decierto alimento. Toma una muestra de n = 49 y se encuentra queel contenido promedio de vitaminas por cada 100 gramos es de12 mg y que el desvío poblacional es de 2 mg. Encontrar loslímites de confianza del 95 % para el promedio poblacional . Sesupone que la distribución del contenido vitamínico es normal.

Problemas - media poblacionalmedia poblacional


15.Las siguientes observacionescorresponden al número de plantasnacidas en 20 parcelas en un ensayo desorgo llevado a cabo en unestablecimiento . En base a estos datoshallar los límites de confianza a) de 99 %y b) 95 % para el promedio del númerode plantas de sorgo que crecerán entodo el establecimiento .

Nº plantas

Nº parcelas

12 2

13 5

14 6

15 4

16 2

17 1

16.Las edades al morir, para una muestra de 9 individuosfallecidos de tuberculosis, dan una media de 49 años y unadesviación estándar de 5 años. Suponiendo normal ladistribución, hallar límites de confianza del 95 % para la media.

17.Los rendimientos de 10 plantas de frutillas en un ensayo deuniformidad fueron: 239, 176, 235, 217, 234, 216, 318, 190,181 y 225 gr. Calcule los límites de confianza para la mediapoblacional, al 95% y 99%.


18.Las larvas de algunas mariposas monarcas concentranglucósidos cardíacos a partir de plantas de algodón, que lashacen repugnantes para los pájaros, los cuales las evitandespués de un primer encuentro. Supóngase que lasmariposas han sido recolectadas en una localidad y que se hanmedido las concentraciones de glucósidos en relación a suspesos. Los datos resultantes son; la media= 0,200 g. y S2=0,012 para n= 75. Construir un intervalo de confianza del 95%para la verdadera media de la población.

19.Supóngase que un fabricante de llantas mide en miles demillas el período de vida de 10 llantas. Determina que = 26,68y S2= 12. Construir un intervalo de confianza del 95% para m .


DIFERENCIA DE MEDIAS POBLACIONALESDIFERENCIA DE MEDIAS POBLACIONALES20. En un programa de salud, muchos participantes miden su progreso

mediante el tiempo que les toma correr determinada distancia. Unpredictor de este tipo lo constituye la tasa de recuperación cardíaco(TRC). Los siguientes datos son tiempos (minutos y segundos), parauna carrera de 1,5 millas para hombres en el mes de setiembre. LosTRC1 son los de 40 - 49 años; los TRC2 de 50 - 59 años. TRC1Tiempos : 12,24- 12,45- 11,04- 11,22- 11,58- 8,34- 11,16- 11,52-8,28- 12,01- 11,03- 12,01- 11,31. TRC2 Tiempos : 14,33- 10,35-12,51- 11,28- 11,48- 14,05- 10,51- 18,50- 18,11. Construir unintervalo del 95% para las diferencias entre las medias de las dospoblaciones .

21.Los tiempos fueron registrados de nuevo en mayo. Para el grupoTRC1 en el mismo orden los tiempos fueron: 11,16- 12,30- 11,30-11,06- 11,28- 8,18- 11,44- 12,02- 8,28- 11,55- 11,27- 11,31 y 11,46.Construir un intervalo del 95% para las diferencias entre las mediasde las dos poblaciones, la del mes de setiembre y la del mes demayo.


22. Se saca una muestra de 50 conejos resultando la desviaciónde los pesos igual a 208 gramos.¿Entre qué valores estará ladesviación típica de la población de conejos para un nivel deconfianza del 95 % y 99 %?

23.Cuatrocientas plantas de cierto híbrido de cebada, produjeronsus primeras flores en promedio a los 70 días de plantadas,siendo la desviación de la muestra de 6,9 días. Haga unaestimación del desvío estándar poblacional . Adoptar uncoeficiente de riesgo del 1% y del 5%.

24.La desviación típica de las tensiones de ruptura de 100 cablesprobados por una empresa era de 180 lb. Hallar los límites deconfianza a) 95 % y b) 99 % para la desviación típica de todoslos cables de ese tipo.

VARIANZA POBLACIONALVARIANZA POBLACIONAL


25.Una urna contiene una proporción desconocida de fichasrojas y blancas. Una muestra aleatoria de 60 fichas,seleccionada con reposición indicó que el 70 % de ellaseran rojas. Hallar los límites de confianza a) 95 % y b) 99 %para la proporción real de fichas rojas en la urna.

26.Se arroja una moneda al aire 200 veces, obteniéndose 90veces caras. Construir un intervalo de confianza del 90%para la verdadera probabilidad "P" de obtener cara.

PROPORCIÓN POBLACIONALPROPORCIÓN POBLACIONAL


Selección del Tamaño de la Muestrapara Proporciones

• El procedimiento que se describe arriba se puedeadaptar para el cálculo del tamaño dela muestra parael cálculo de una proporción. También es necesarioidentificar tres criterios:

• El nivel de confianza deseado.• El margen de error que se puede tolerar.• Un estimado de la proporción de la población. Esta

estimación se puede obtener por los mismo métodosde la estimación de la media, aunque cuando no secuenta con información es común que se utilice 0.50

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• La fórmula que se utiliza en este caso es la siguiente:

Donde:n = es el tamaño de la muestraz = es el valor estándar normal que corresponde alnivel deseado de confianzaP = es una estimación de la proporción de la poblaciónE = es el máximo error permisible 134



Un ejemplo puede ser el siguiente: El estudio delejemplo anterior también estima la proporción decolonias del Municipio que cuentan con servicio derecolección de basura. El estudiante desea que laestimación esté dentro del 10% de la proporción de lapoblación, el nivel deseado de confianza es de 90% yno se dispone de una estimación para la proporción dela población. ¿Cuál es el tamaño de la muestrarequerido?

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• n = (0.50)*(0.50) (1.65/0.10)2• n = 68.06• El estudiante necesita entonces una muestra de 69

colonias.

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METODOS Y DISTRIBUCIONES DE MUESTREO