MHD近似リーマン解法 - Chiba U...MHD 近似リーマン解法三好隆博広島大学大学院理学研究科 2017 年8月21日（月）-25日（金）千葉大学総合校舎1号館4階情報演習室2

MHD近似リーマン解法

三好隆博

広島大学大学院理学研究科

2017年8月21日（月）-25日（金）千葉大学総合校舎1号館4階情報演習室2宇宙磁気流体・プラズマシミュレーションサマースクール

1

フローチャート

開始

CFL条件の評価

数値流束の評価

初期設定

t = tout

データ出力

t < tend

終了

Yes

No

No

Yes

SSP-RK法

高次精度補間

時間積分

本講義では☜ここだけ！

と言っても、

2


開始

CFL条件の評価


初期設定

t = tout

データ出力

t < tend

終了

Yes

No

No

Yes

SSP-RK法

高次精度補間

時間積分

＋多次元化

飯島先生の講義では、

おぉぉ、相当大変・・・3

内容

はじめに

流れの基礎方程式

MHD方程式

風上型解法の基礎

スカラー方程式の解法

システム方程式の解法

MHD方程式の近似リーマン解法

線形近似リーマン解法

HLL型近似リーマン解法

フローチャート 4

はじめに

5

流体

身近な流れは非圧縮性流体として非常によく近似

縮まない（密度変動が少ない）流れ

低マッハ数（流速/音速 < 0.3）流れ

ただし、音響学分野では音波考慮

非日常的で極限的な流れでは圧縮性が本質的に重要

高マッハ数（流速/音速 > 1）流れ

衝撃波

6

地上での衝撃波

Vapor cone (F-14) Afterburner (SR-71)

Schlieren image (.30-06 Springfield) Volcanic eruption (Sarychev Peak：芙蓉山)

Meteor (Chelyabinsk)

7

宇宙流体

© 円谷プロ

8

野望

宇宙流体は圧縮性流体としての取り扱いが不可欠

密度・圧力変動が大きい流れ

高マッハ数（流速/音速 >> 1）流れ

磁場、放射などが流体と非線形相互作用

高エネルギー天体周りでは相対論的効果

偏在する磁気流体力学（MHD）的な不連続！

本講義では、不連続解をも恐れぬ

数値磁気流体力学の猛者を養成9


10


線形移流方程式

aufxf

tu

axua

tu

≡=∂∂

+∂∂

⇔

==∂∂

+∂∂

,0

const.,0

とすると、

xdtdx

tdtd

dtdu

xu

dtdx

tu

∂∂

+∂∂

≡=≡∂∂

+∂∂ ,0

に沿って 0=duadtdx

=⇒

dtdxa ≡

（保存形式）

11


ラグランジュ微分

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

ux

att

uudtd

tOtxua

tu

txutOtut

xutatxu

txutttaxuu

t

∂∂

+∂∂

=∆∆

=

∆+∆

∂∂

+∂∂

=

−∆+∂∂

∆+∂∂

∆+=

−∆+∆+≡∆

→∆ 0

2

2

lim

,,

,,

a ( )tttu ∆+∆+ ,ax

( )tu ,x

12



x

t adtdx

= ：特性曲線

a

x

u

( ) ( )atxFtxu −=,

に沿って 0=duadtdx

=

13


念のため確認しときましょうか…

( ) ( )txuXFatxX ,, ≡−≡

0=∂∂

+∂∂

−=∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

=

∂∂

+∂∂

XFa

XFa

XF

xXa

XF

tX

xua

tu

14


非粘性Burgers方程式

2,0

0

2ufxf

tu

xuu

tu

≡=∂∂

+∂∂

⇔

=∂∂

+∂∂

とすると、

xdtdx

tdtd

dtdu

xu

dtdx

tu

∂∂

+∂∂

≡=≡∂∂

+∂∂ ,0

に沿って 0=duudtdx

=⇒

dtdxu ≡

（保存形式）

15



( ) ( )utxFtxu −=,

に沿って 0=duudtdx

=

x

t udtdx

= ：特性曲線

x

u u

解が多価になる場合：

衝撃波解（弱解）16


Rankine-Hugoniot関係式

( )( ) ( ) 0=−∆+−∆=

−=

∂∂

+∂∂

∫

∫

LRRL fftuux

fdtudx

dxdtxf

tu

[ ] [ ] [ ] LRtxSfuS ∗−∗≡∗∆∆

≡= ,,

222 22

LR

LR

LR uuuuuuS +

=−−

=

txS ∆∆=

x

t

x∆

t∆ Lu

Ru

Burgers方程式の場合：17


Nonconvexな非線形移流方程式

3,00

32 uf

xf

tu

xuu

tu

≡=∂∂

+∂∂

⇔=∂∂

+∂∂

3

22RRLL uuuuS ++

=

22RL uSu >> 22

RL uSu >>

Suu RL >> 22

混合波（衝撃波+膨張波）

x

t

x

t

x

tS

18


双曲型保存則

独立な実固有値および固有ベクトルを持つとき、方程式は双曲型

( )

RΛARURWWΛW

UARRRUR

UFUAUAU

FU

===∂∂

+∂∂

=

∂∂

+∂∂

⇔

∂∂

==∂∂

+∂∂

⇔

=∂∂

+∂∂

−

−−−

,,0

,0

0

1

111

ddxt

xt

xt

xtU ：保存変数ベクトル

W ：特性変数ベクトル

F ：流束ベクトル

A ：ヤコビアン行列

Λ ：固有値行列

R ：右固有行列1−R ：左固有行列

19


双曲型保存則

線形2×2保存則

0010

2 =

∂∂

+

∂∂

vv

uxa

ut

0const.,,,0 2 >=

=

==

∂∂

+∂∂ a

uau

xtv

vFUFU

00

0

2

1

2

1 =

∂∂

−

+

∂∂

⇒ww

xaa

ww

t

−+

=

=

−

= −

v

v

v auau

au

ww

aa 21,

11 1

2

1 RR

20


双曲型保存則

等温Euler方程式

02 =

∂∂

+

∂∂

uxuau

utρ

ρρρ

0const.,,,0 22 >=

+

=

==

∂∂

+∂∂ a

auu

uxt ρρρ

ρρ

FUFU

00

0

2

1

2

1 =

∂∂

−

++

∂∂

⇒ww

xauau

ww

t

−+

=

=

−

= −

uaua

auww

aa 21, 1

2

1 ρρρRR

21


双曲型保存則

一般には連立非線形移流方程式

URWWΛW ddxt

1,0 −==∂∂

+∂∂

0

000

000

2

1

2

1

2

1

=

∂∂

+

∂∂

mmm w

ww

xw

ww

t

λ

λλ

kdtdx λ= に沿って 0=kdw

22

MHD方程式

23

MHD方程式

Euler方程式＋ローレンツ力＋磁場の誘導方程式

流体と磁場の相互作用を支配

連続の式

運動方程式

断熱の式

磁場の誘導方程式

( )

( )

0,0

0

0

=⋅∇=××∇−∂∂

=

∇⋅+

∂∂

×+−∇=

∇⋅+∂∂

=⋅∇+∂∂

BBB

BJ

v

v

vvv

v

t

ppt

pt

t

γγ ρρ

ρ

ρρ

24

MHD方程式

保存形式

( )( ) ( )

( ) ( )[ ]

( )

( )2

,22

1,0

0

0

0

0

222 BppBep

t

pete

pt

t

T

T

T

+=

−−−==⋅∇

=−⋅∇+∂∂

=⋅−+⋅∇+∂∂

=−+⋅∇+∂

∂

=⋅∇+∂∂

vργ

ρρ

ρρ

B

BBB

BB

BBI

vv

vv

vvv

v 質量保存則

運動量保存則

エネルギー保存則

磁束保存則

25

MHD方程式

1次元MHD方程式

( ) ( )

++−+−−−−

−+

=

=

==∂∂

+∂∂

zyxxT

xz

xy

zx

yx

xT

z

y

x

wBBuBBupewBuB

BuBBBwuBBu

Bpuuu

eBBw

u

Bxt

v

v

vv

ρρ

ρρ

ρρρρ

2

,

,const.,0

FU

FU

26

MHD方程式

1次元MHD方程式

Aの固有値（特性速度）

UFAUAUFU∂∂

≡=∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂ ,0

xtxt

fas

saf

cucucuucucucu+=≤+=≤+=≤

=≤−=≤−=≤−=

765

4321

λλλλλλλ

( )

−+±+=

===2222222

,

222

421

,,,

xsf

xa

bababac

pabc ργρBb

( )721 ,,,diag, λλλ == ΛRΛAR

固有ベクトルは大変難しい…また後で

27

MHD方程式

MHD方程式の不連続解

不連続にのった系（）：

S

x

t

RULU

[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( )[ ] 0,02

0,0

,,0

0,0

22

22

==++

≠=====

=±=±=+==

≠=

xzy

xzy

zyzy

BBBp

BpBBwv

BwBvBBp

u

ρρρ

F

（回転不連続）

（接触不連続）

（接線不連続）

（速進/遅進衝撃波）

( )

[ ] [ ]FU

FUFU

=⇒

=−=

∂∂

+∂∂

∫∫S

dtdxdxdtxt

0

0=S

28


29


双曲型保存則の解法

双曲型保存則のおさらい



Euler方程式

MHD方程式

など

UFAUAUFU∂∂

==∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂ ,0

xtxt

スカラー方程式

システム方程式

Aが独立な実固有値をもつとき双曲型

30

話を進めるその前に

時間・空間座標および変数の離散表記法

( )ni,

( )1, +ni

( )1, −ni

( )ni ,1+( )ni ,1−

( )ni

ni

ni txuutx ,,, =

x∆

t∆

t

xi 1+i 2+i2−i

n

1+n

2+n

1−n

2−n

1−i

31



風上差分法

const.,0 ==∂∂

+∂∂ a

xua

tu

( ) ( )0,, atxutxu −=⇒

a

x

u

0,011

>=∆−

+∆− −

+

axuua

tuu n

ini

ni

ni

32


線形移流方程式の保存型解法

流束ベクトル分離法（FVS法）

aufxf

tu

==∂∂

+∂∂ ,0

−+

+∗+

−+−+

+=⇒

≤∂∂

≥∂∂

+=

12/1

0,0,

iii fffuf

uffff

02/12/11

=∆−

+∆− ∗

−∗+

+

xff

tuu ii

ni

ni

( ) ( )ni

ni

ni

nii uuauuafuaaf −−+=⇒

±= ++

∗+

±112/1 2

||22

||

niu 1+

niu

x

u∗+ 2/1if

+if

−+1if

：数値流束∗+ 2/1if

∗+ 2/1if

∗− 2/1if

iu 1+iu1−iu

2/1+ix2/1−ix

33



流束ベクトル分離法（FVS法）

02/12/11

=∆−

+∆− ∗

−∗+

+

xff

tuu ii

ni

ni

( ) ( )ni

ni

ni

nii uu

xtuuafuxtaf −∆∆

−+=⇒∆∆±

= ++∗+

±112/1 222

Lax法

aufxf

tu

==∂∂

+∂∂ ,0

：数値流束∗+ 2/1if

∗+ 2/1if

∗− 2/1if

iu 1+iu1−iu

2/1+ix2/1−ix

−+

+∗+

−+−+

+=⇒

≤∂∂

≥∂∂

+=

12/1

0,0,

iii fffuf

uffff

34



リーマン解法（Godunov法）

リーマン問題＝衝撃波管問題を利用

niu 1−

niu 1+

niu

x

u

1. 区分定数分布を仮定

リーマン解法の手順：

35





x

u

ta∆

ta∆

ta∆1. 区分定数分布を仮定2. 移流方程式の厳密解


36





x

u

1. 区分定数分布を仮定2. 移流方程式の厳密解3. 厳密解の空間平均値

11++niu1+n

iu11+−niu


37





数値流束x

u

1. 区分定数分布を仮定2. 移流方程式の厳密解3. 厳密解の空間平均値

11++niu1+n

iu11+−niu


( ) ( ) 0,0

0

2/111 >=−+−⇒

=

∂∂

+∂∂

∗+++

∫afftuuta

dxdtxf

tu

in

ini

ni ∆∆ x

tniu

niu 1+

nif 1+

∗+ 2/1if

ta∆

2/1+ix38


線形移流方程式の解法

風上差分法

流束ベクトル分離法

リーマン解法

全て同じ解法に帰着（でも、思想は異なる）

( ) 0,11 >−−= −+ auu

xtauu n

ini

ni

ni ∆

∆

( ) 0,, 2/12/12/11 >=−

∆∆

−= ∗+

∗−

∗+

+ aaufffxtuu n

iiiini

ni

0,11 >

∆∆−∆

+∆∆

= −+ au

xtaxu

xtau n

ini

ni

39


非線形移流方程式

( ) ( )ufua

xuua

tu

xf

tu

∂∂

==∂∂

+∂∂

⇔=∂∂

+∂∂ ,00

( ) ( )( )0,, tuaxutxu −=⇒

保存形式非保存形式

x

t

x

t

( )uadtdx

= に沿って 0=du

( )txuxx 0,00 +=

非線形移流方程式線形移流方程式

特性曲線

40


非粘性Burgers方程式の解法

風上差分法（非保存形式）

002

2

=∂∂

+∂∂

⇔=

∂∂

+∂∂

xuu

tuu

xtu

( )ni

ni

ni

ni

ni

nin

i

ni

ni

ni

ni

nin

i

ni

ni

ni

ni

nin

i

ni

ni

uuux

uxuuu

tuu

ux

uuut

uu

uxuuu

tuu

1111

1

11

11

22

||2

0for0

0for0

−+−+

+

++

−+

+−=−

+−

⇒

<=−

+−

>=−

+−

∆∆∆

∆∆

∆∆

u

x

u

41



流速ベクトル分離法

002

2

=∂∂

+∂∂

⇔=

∂∂

+∂∂

xuu

tuu

xtu

( )

( )ni

ni

ni

ni

ni

ni

i

iii

iini

ni

uuuufff

uuuffffx

fft

uu

||||41

2

4||,

0

111

2/1

12/1

2/12/11

−−+

=⇒

±=+=

=−

+−

+++∗

+

±−+

+∗+

∗−

∗+

+

∆∆

42



衝撃波管問題

膨張波

x

t

x

t

x

t

ni

ni uu 10 +<< n

ini uu 10 +<< 01 << +

ni

ni uu

衝撃波

x

t S

x

tS

21

1

1

ii

ii

ii

uuuuffS

+=

−−

=

+

+

+ni

ni uu << +10 01 <<+

ni

ni uu

x

t S

ni

ni uu <<+ 01

x

tS

ni

ni uu <<+ 01

43



リーマン解法

002

2

=∂∂

+∂∂

⇔=

∂∂

+∂∂

xuu

tuu

xtu

( )( )

( )( )

<>>>>>

<<<<>>

=

=∆−

+∆−

+++

++

+

++

+

∗+

∗−

∗+

+

0,0if20,0if2

0if00,0if20,0if2

0

2/112

1

2/112

1

12

1

12

2/1

2/12/11

ini

ni

ni

ini

ni

ni

ni

ni

ni

ni

ni

ni

ni

ni

i

iini

ni

SuuuSuuu

uuuuuuuu

f

xff

tuu

44



線形近似リーマン解法（Roe法）

局所的に線形化 ⇒ 膨張波を無視

002

2

=∂∂

+∂∂

⇔=

∂∂

+∂∂

xuu

tuu

xtu

( )

2

2||

2

0

1

1

12/1

12/111

2/1

2/12/11

ni

ni

ni

ni

ni

ni

i

ni

ni

in

in

ii

iini

ni

uuuuffa

uuafff

xff

tuu

+=

−−

=

−−+

=⇒

=−

+−

+

+

+∗+

+

∗+++∗

+

∗−

∗+

+

∆∆

x

tniu

niu 1+

nif 1+

∗+ 2/1if

tai ∆∗+ 2/1

2/1+ix45


非粘性Burgers方程式の解法非保存型解法

保存型解法

( )

≥<

=1.0for5.01.0for5.1

0,xx

xu

46


非粘性Burgers方程式の解法非保存型解法

保存型解法

( )

≥<

=1.0for5.11.0for5.0

0,xx

xu

47


保存型解法

Lax-Wendroffの定理[1960]数値解が収束すれば、その解は保存則の弱解に収束する

Hartenのエントロピー条件[1980]数値解がエントロピー条件を満足し、収束すれば、その解は保存則の物理解に収束する

非保存型解法

Hou-LeFlochの定理[1994]数値解が収束したとしても、衝撃波を含むその解は非物理解に収束する 48


非粘性Burgers方程式の解法FVS法/Godunov法

Roe法( )

≥<−

=5.0for5.05.0for5.0

0,xx

xu

局所線形化により膨張衝撃波⇒エントロピー補正 49


非粘性Burgers方程式の解法FVS法/Godunov法

Roe法＋エントロピー補正

( ) <<−+

=∗+

++∗+∗

+ otherwise||0if2||

||2/1

112/12/1

i

ni

ni

ni

nii

i aaaaaa

a

様々な補正法があるが、ここでは、

50


双曲型保存則

“連立”非線形移流方程式

⇒ スカラー方程式の解法の拡張

0

0

111

11

=∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

=

∂∂

+∂∂

=

∂∂

+∂∂

⇔

=∂∂

+∂∂

−−−

−−

xtxt

xtxt

xt

WΛWUARRRUR

UAURFUR

FU

FRURW

ddfdddu

1

1

−

−

↔

=↔

51


線形双曲型保存則の解法

FVS法

const.,,0 ===∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂ AAUFUAUFU

xtxt

( ) 11

12/1 ||||,||||

21

2−

++∗

+ ≡−−+

= RΛRAUAUAFFF iiii

i

( )URΛFRFR 111 ||21 −−±− ±=

( )iiii

iii

URΛURΛFRFRFRFRFR

11

11

11

111

2/11

||||21

2−

+−

−+

−

−+

−+−∗+

−

−−+

=

+=

もう時間方向のnはやめますね・・・

11

+−

iURiUR 1−

x

UR 1−+−

iFR 1 −+

−1

1iFR

∗+

−2/1

1iFR

52


線形双曲型保存則の解法

リーマン解法

const.,,0 ===∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂ AAUFUAUFU

xtxt

( ) 11

12/1 ||||,

2||

2−

++∗

+ ≡−−+

= RΛRAUUAFFF iiii

i

( ) 2|| ΛΛΛ ±≡±

( )( )iiii

iiii

URURΛFRFRURURΛFRFR

11

112/1

1

11

11

12/1

1

−+

−−−−+

−

−+

−++

−++

−

−+=

−−=

x

t

11

+−

iFR++

−2/1

1iFR

+Λ

11

+−

iUR

iUR 1−

x

t

iFR 1− −+

−2/1

1iFR

−Λ

11

+−

iUR

iUR 1−( )−

+−+

+−∗

+− += 2/1

12/1

12/1

1

21

iii FRFRFR

ここで

53


非線形双曲型保存則の解法

非保存型解法

数値解が収束したとしても、

不連続解を含む問題では、

非物理的な解に収束

( )UFUAUAUFU∂∂

==∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂ ,0

xtxtConservative vs Non-conservative

“Computational Tutorial: MHD” by G. Tothhttp://www.lorentzcenter.nl/lc/web/2011/441/presentations/Advanced_Toth.pdf

54



FVS法 [e.g., Steger+,1981; van Leer,1991]一般にはFVS法が適用できるとは限らない

でも、たまたまEuler方程式では、

なので、線形方程式のFVS法と同様に、

でも、MHD方程式ではだめ

( )UFUAUAUFU∂∂

==∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂ ,0

xtxt

( )iiiiii

i UAUAFFF ||||21

2 111

2/1 −−+

= +++∗

+

AUF =

55



FVS法 [e.g., Steger+,1981; van Leer,1991]あ、でも、なんでも使える簡単なFVS法が！

なぜなら、

なので、

( )UFUAUAUFU∂∂

==∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂ ,0

xtxt

( )iiiiii

i UUFFF max11max1

2/1 ||||21

2λλ −−

+= ++

+∗+

( )( )UFFFFFmax

21, λ±=+= ±−+

( ) ( ) IΛRIARRUFRmaxmax

112 λλ ±=±=∂∂ −±−

local Lax-Friedrichs法

56



リーマン解法（Godunov法） [Godunov,1959]これは中々大変

衝撃波管問題の厳密解（衝撃波、膨張波、混合波の組合せ）を求めるには繰り返し計算が必要

しかも方程式ごとにアルゴリズムを考えねば・・・

という労力にも関わらず、FVS法や近似リーマン解法と精度は変わらなかったでしょ？

( )UFUAUAUFU∂∂

==∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂ ,0

xtxt

57



線形近似リーマン解法（Roe法） [Roe,1981]局所的に線形化 ⇒ 局所的にAを凍結

( )UFUAUAUFU∂∂

==∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂ ,0

xtxt

( )( )ii

iiiii UU

UUAFFF −−+

= +++∗

+ 111

2/1 2,

2Property U

1．2．3．実固有値、線形独立な固有ベクトル

( )( )iiiiii UUUUAFF −=− +++ 111 ,( ) AUUAUUU →⇒→ ++ 11 ,, iiii

58



HLL型近似リーマン解法 [Harten+,1983]HLL法、HLLC法、HLLD法など割りとお手軽

この後すぐ！お楽しみに！

( )UFUAUAUFU∂∂

==∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂ ,0

xtxt

59


60

まだ間に合う！近似リーマン解法

近似リーマン解法

物理量を区分定数分布

( )∫∫∫ =−=

∂∂

+∂∂ 0dtdxdxdt

xtFUFU

U

x

61




衝撃波管問題の近似解

( )∫∫∫ =−=

∂∂

+∂∂ 0dtdxdxdt

xtFUFU

U

x

62


MHD衝撃波管問題

t

RU

FRFS /RDSRSS /CDRDFRFS / SRSS /

LU

( )LRtx UUUU ,;=

他にも複合波が・・・

x63





近似解の空間積分

( )∫∫∫ =−=

∂∂

+∂∂ 0dtdxdxdt

xtFUFU

U

x

64





近似解の空間積分

数値流束による形式（時空間保存則から評価）

( )∫∫∫ =−=

∂∂

+∂∂ 0dtdxdxdt

xtFUFU

U

x

011

2/1

2/1

2/1

2/12/12/1

1 =−+− ∫∫∫∫++

+

−

+

−−+

+n

n

n

n

i

i

i

i

t

t i

t

t i

x

x

nx

x

n dtdtdxdx FFUU

( ) ( ) 0,; 2/12/112/12/1

=−+−−

−

++++∫

+ nii

niii

x

x

ni

ni

i txxdxt

xxi

i

FFUUUU ∆∆ 65



( )∫∫∫ =−=

∂∂

+∂∂ 0dtdxdxdt

xtFUFU

−

++ n

ini

i

txx

12/1 ,; UUU

∆

niUn

i 1−U

2/1+ixnt

ttn ∆+

2/1−ix

ni 1+U

知ってる！

66



( )∫∫∫ =−=

∂∂

+∂∂ 0dtdxdxdt

xtFUFU

niUn

i 1−U

2/1+ixnt

ttn ∆+

2/1−ix

ni 1+U

( )∫+

−

+=+ 2/1

2/1

,1 i

i

x

x

nni dxttx ∆UU

−

++ n

ini

i

txx

12/1 ,; UUU

∆

知ってる！

答えでる！

67



( )∫∫∫ =−=

∂∂

+∂∂ 0dtdxdxdt

xtFUFU

ni 1−U

2/1+ixnt

ttn ∆+

2/1−ix

ni 1+U

( )∫+

−

+=+ 2/1

2/1

,1 i

i

x

x

nni dxttx ∆UU

( )dttxtt

t ii

n

n∫+

++ =∆

,2/12/1 FF

知ってる！

知ってる！

知らない…

知らない…

niU

68



( )∫∫∫ =−=

∂∂

+∂∂ 0dtdxdxdt

xtFUFU

niUn

i 1−U

2/1+ixnt

ttn ∆+

2/1−ix

( )dttxtt

t ii

n

n∫+

++ =∆

,2/12/1 FF

ni 1+U

−

++ n

ini

i

txx

12/1 ,; UUU

∆

答えでる！

答えでる！

69



( )∫∫∫ =−=

∂∂

+∂∂ 0dtdxdxdt

xtFUFU

niUn

i 1−U

2/1+ixnt

ttn ∆+

2/1−ix

( )dttxtt

t ii

n

n∫+

++ =∆

,2/12/1 FF

ni 1+U

−

++ n

ini

i

txx

12/1 ,; UUU

∆

答えでる！

答えでる！

70


線形近似リーマン解法 [Roe,1981]局所的に線形化（ヤコビアンを凍結）

ここで

さてと…MHDの固有ベクトルと固有値がわかればよい

を求めるのは一般には面倒だけど

( )( )ii

iiiii UU

UUAFFF −−+

= +++∗

+ 111

2/1 2,

21|||| −= RΛRA

( )ii UUA ,1+

71


線形近似リーマン解法 [Roe,1981]MHD方程式の固有ベクトル [e.g., Brio+,1988]

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )22,22

,

,,

2,

,

,

222

22,

2,

22,

2,

22,

,

22,

,

,

222

12

1

2

1

,

sgn

sgn

sgn

0

0

,

2

0

0

1

,

acBc

wBvBcBuc

ch

hwvuBc

cBBc

cBBc

cBBw

BccBB

v

cu

BwBvB

B

B

BB

BB

wvu

w

v

u

sfxsf

zysfxsf

sfsf

sf

xsf

sfz

xsf

sfy

xsf

sfzx

xsf

sfyx

sf

cu

xyz

y

z

xy

xz

cuu sfa

−−−

+−+

±−

=

+++−

−

−

−

±

=

−

−

±=

++

=

±

±

±±

γγ

ργ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

RRR

固有ベクトルに特異性72


線形近似リーマン解法 [Roe,1981]固有ベクトルの再規格化 [Brio+,1988; Roe+,1996]

22

22

22

222 ,

sf

fs

sf

sf cc

acccca

−−

≡−−

≡ αα

[Roe+,1996]

2222,

zy

zz

zy

yy

bbb

bb

b

+≡

+≡ ββ

210 ,

22 →⇒→+ zyzy bb β

ρzyx

zyx

Bb ,,

,, ≡

22

222222222 ,,1

sf

zysfffssfs cc

bbaacc

−

+==+=+ αααααα

73


線形近似リーマン解法 [Roe,1981]固有ベクトルの再規格化

・・・で色々と計算するわけですが、ここに書いてもあれなので参考文献をご参照ください

[1] Brio, Wu, JCP 75, 400 (1988)[2] Ryu, Jones, ApJ 442, 228 (1995)[3] Roe, Balsara, SIAM J. Appl. Math. 56, 57 (1996)[4] Balsara, ApJS 116, 119 (1998)[5] Powell, et al., JCP 154, 284 (1999)

0111111 =∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂ −−−−−−

xtxtP

PPPPP

PVRRARVRUARRRUR

PPPP

dddd VRVVURURW 111 −−− =

∂∂

==74


HLL近似リーマン解法 [Harten+,1983]衝撃波近似

2-wave近似

LRS , ：最大/最小情報伝播速度

RULURFLF

RSLS

x

t

2/1+i

( )∫∫∫ =−=

∂∂

+∂∂ 0dtdxdxdt

xtFUFU

( )( )0,,min

0,,max

RRLLL

RRLLR

cucuScucuS

−−=++=

75



2-wave近似


RULURFLF

RSLS

x

t

2/1+i

( ) 0* =−++−−⇒ LRLLRRLR SSSS FFUUU

∗U

( )∫∫∫ =−=

∂∂

+∂∂ 0dtdxdxdt

xtFUFU

( )( )0,,min

0,,max

RRLLL

RRLLR

cucuScucuS

−−=++=

76



2-wave近似


( )( )0,,min

0,,max

RRLLL

RRLLR

cucuScucuS

−−=++=

( )∫∫∫ =−=

∂∂

+∂∂ 0dtdxdxdt

xtFUFU

( ) ( )LR

LRLRRLLRLRLRLR SS

SSSS−

−+−=−+=⇒

UUFFUUSFF ,*

,,*

RULURFLF

RSLS

x

t

2/1+i

∗U∗F

77



2-wave近似

固有ベクトルの計算不要

正値性保存を保証

HD [Einfeldt+, 1991] / MHD [Miyoshi+, 2005] 接触不連続の分解不可能

( ) ( )∗

∗

≠−

−+−=

−+−−

=

UFUUFFF

FFUUU

LR

LRLRRLLR

LR

LRLLRR

SSSSSS

SSSS

*

78


HLLD近似リーマン解法 [Miyoshi+,2005]衝撃波近似

N-wave近似

速進磁気音波×2、アルフェン波 ×2、遅進磁気音波×2、エントロピー波×1のどの波を残すべき？

LRS , ：速進磁気音波

RULURFLF

RSLS

x

t

2/1+i79



5-wave近似

リーマンファンで法線方向速度一定

リーマンファンで全圧力一定


RULURFLF

RSLS

x

t

2/1+i

∗TM pS , MS ：エントロピー波

80



5-wave近似

リーマンファンで法線方向速度一定

リーマンファンで全圧力一定


RULURFLF

RSLS

x

t

2/1+i

∗TM pS ,

∗RU∗∗

RU∗∗LU∗

LU

MS ：エントロピー波*

,LRS ：アルフェン波

*RS*

LS MS

81


HLLD近似リーマン解法 [Miyoshi+,2005]エントロピー波の評価 [Batten+,1997]

全圧力の評価

( ) ( ) ( )( ) ( ) LLLRRR

TLTRLLLLRRRRM uSuS

ppuuSuuSuSρρ

ρρρρ

−−−+−−−−

== ∗

∗

82


HLLD近似リーマン解法 [Miyoshi+,2005]速進磁気音波に対するジャンプ条件

( ) ( ) ( ) ( )

⋅−+−

−−

−−+

−

=

⋅−+−

−−

−−+

−

∗∗∗∗

∗∗

∗∗

∗∗∗

∗∗∗

∗∗

∗

∗

∗

∗

∗∗

∗∗

∗

∗

ααααα

ααα

ααα

αααα

αααα

ααα

αα

α

α

α

αα

αα

αα

α

α

ααα

αα

αα

ααα

ααα

α

α

α

α

α

αα

αα

α

α

α ρρρ

ρ

ρρρρ

ρρρ

ρ

ρρρρ

BB vv xT

xz

xy

zx

yx

xT

z

y

xMT

xMz

xMy

zxM

yxM

xTM

M

z

y

M

BupewBuB

BuBBBuwBBuBpu

u

eBB

w

u

S

BSpewBSB

BSBBBSwBBSBpS

S

eBB

w

S

Sv

vv

v

vv

222

( ) ( ) LRBBBwS zyxM ,,,,,,, === ∗∗∗∗∗∗ ααααααα Bvv83


HLLD近似リーマン解法 [Miyoshi+,2005]エントロピー波の評価 [Batten+,1997]

全圧力の評価

( ) ( ) ( )( ) ( ) LLLRRR

TLTRLLLLRRRRM uSuS

ppuuSuuSuSρρ

ρρρρ

−−−+−−−−

== ∗

∗

( )( )( )( )

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) LLLRRR

LRRRRLTRLLLTLRRR

RMRRRTR

LMLLLTLT

uSuSuuuSpuSpuS

uSuSpuSuSpp

ρρρρρρ

ρρ

−−−−−+−−−

=

−−+=−−+=∗

84



( ) ( ) ( ) ( )

⋅−+−

−−

−−+

−

=

⋅−+−

−−

−−+

−

∗∗∗∗

∗∗

∗∗

∗∗∗

∗∗∗

∗∗

∗

∗

∗

∗

∗∗

∗∗

∗

∗

ααααα

ααα

ααα

αααα

αααα

ααα

αα

α

α

α

αα

αα

αα

α

α

ααα

αα

αα

ααα

ααα

α

α

α

α

α

αα

αα

α

α

α ρρρ

ρ

ρρρρ

ρρρ

ρ

ρρρρ

BB vv xT

xz

xy

zx

yx

xT

z

y

xMT

xMz

xMy

zxM

yxM

xTM

M

z

y

M

BupewBuB

BuBBBuwBBuBpu

u

eBB

w

u

S

BSpewBSB

BSBBBSwBBSBpS

S

eBB

w

S

Sv

vv

v

vv

222



HLLD近似リーマン解法 [Miyoshi+,2005]HLLD解：

MSSuS

−−

=∗

α

αααα ρρ

∗αU

86


HLLD近似リーマン解法 [Miyoshi+, 2005]速進磁気音波に対するジャンプ条件

( ) ( ) ( ) ( )

⋅−+−

−−

−−+

−

=

⋅−+−

−−

−−+

−

∗∗∗∗

∗∗

∗∗

∗∗∗

∗∗∗

∗∗

∗

∗

∗

∗

∗∗

∗∗

∗

∗

ααααα

ααα

ααα

αααα

αααα

ααα

αα

α

α

α

αα

αα

αα

α

α

ααα

αα

αα

ααα

ααα

α

α

α

α

α

αα

αα

α

α

α ρρρ

ρ

ρρρρ

ρρρ

ρ

ρρρρ

BB vv xT

xz

xy

zx

yx

xT

z

y

xMT

xMz

xMy

zxM

yxM

xTM

M

z

y

M

BupewBuB

BuBBBuwBBuBpu

u

eBB

w

u

S

BSpewBSB

BSBBBSwBBSBpS

S

eBB

w

S

Sv

vv

v

vv

222




MSSuS

−−

=∗

α

αααα ρρ

( )( )( )

( )( )

−−−−−

=

−−−−

−=

∗

∗

2

22

2

xM

xtt

xM

Mtxtt

BSSuSBuS

BSSuSuSB

αααα

ααααα

αααα

αααα

ρρ

ρ

BB

Bvv

( ) ( )zytt BBwv ,,0,,,0 == Bv

∗αU

88



( ) ( ) ( ) ( )

⋅−+−

−−

−−+

−

=

⋅−+−

−−

−−+

−

∗∗∗∗

∗∗

∗∗

∗∗∗

∗∗∗

∗∗

∗

∗

∗

∗

∗∗

∗∗

∗

∗

ααααα

ααα

ααα

αααα

αααα

ααα

αα

α

α

α

αα

αα

αα

α

α

ααα

αα

αα

ααα

ααα

α

α

α

α

α

αα

αα

α

α

α ρρρ

ρ

ρρρρ

ρρρ

ρ

ρρρρ

BB vv xT

xz

xy

zx

yx

xT

z

y

xMT

xMz

xMy

zxM

yxM

xTM

M

z

y

M

BupewBuB

BuBBBuwBBuBpu

u

eBB

w

u

S

BSpewBSB

BSBBBSwBBSBpS

S

eBB

w

S

Sv

vv

v

vv

222




MSSuS

−−

=∗

α

αααα ρρ

( ) ( )M

xTT

SSBppeuSe

−⋅−⋅++−−

=∗∗∗

∗

α

ααααααααα

BB vv

∗αU

( )( )( )

( )( )

−−−−−

=

−−−−

−=

∗

∗

2

22

2

xM

xtt

xM

Mtxtt

BSSuSBuS

BSSuSuSB

αααα

ααααα

αααα

αααα

ρρ

ρ

BB

Bvv

( ) ( )zytt BBwv ,,0,,,0 == Bv

90


HLLD近似リーマン解法 [Miyoshi+,2005]アルフェン波に対するジャンプ条件

( ) ( ) ( ) ( )

⋅−+−

−−

−−+

−

=

⋅−+−

−−

−−+

−

∗∗∗∗

∗∗

∗∗

∗∗∗

∗∗∗

∗∗

∗

∗

∗

∗

∗∗

∗∗

∗

∗

∗

∗∗∗∗∗∗∗

∗∗∗∗

∗∗∗∗

∗∗∗∗∗∗

∗∗∗∗∗∗

∗∗∗

∗∗

∗∗

∗∗

∗∗

∗∗∗∗

∗∗∗∗

∗∗

∗∗

∗

ααα

αα

αα

ααα

ααα

α

α

α

α

α

αα

αα

α

α

α

ααα

αα

αα

ααα

ααα

α

α

α

α

α

αα

αα

α

α

α ρρρ

ρ

ρρρρ

ρρρ

ρ

ρρρρ

BB vv xMT

xMz

xMy

zxM

yxM

xTM

M

z

y

M

xMT

xMz

xMy

zxM

yxM

xTM

M

z

y

M

BSpewBSB

BSBBBSwBBSBpS

S

eBB

w

S

S

BSpewBSB

BSBBBSwBBSBpS

S

eBB

w

S

Sv

vv

v

vv

2222

91



∗

∗

∗

∗

∗∗∗

−=+=

=

L

xML

R

xMR

BSS

BSS

ρρ

ρρ αα

,

RρLρ

RSLS

x

t

2/1+i

∗Rρ

∗Lρ

MS

∗∗αU

92



( ) ( ) ( ) ( )

⋅−+−

−−

−−+

−

=

⋅−+−

−−

−−+

−

∗∗∗∗

∗∗

∗∗

∗∗∗

∗∗∗

∗∗

∗

∗

∗

∗

∗∗

∗∗

∗

∗

∗

∗∗∗∗∗∗∗

∗∗∗∗

∗∗∗∗

∗∗∗∗∗∗

∗∗∗∗∗∗

∗∗∗

∗∗

∗∗

∗∗

∗∗

∗∗∗∗

∗∗∗∗

∗∗

∗∗

∗

ααα

αα

αα

ααα

ααα

α

α

α

α

α

αα

αα

α

α

α

ααα

αα

αα

ααα

ααα

α

α

α

α

α

αα

αα

α

α

α ρρρ

ρ

ρρρρ

ρρρ

ρ

ρρρρ

BB vv xMT

xMz

xMy

zxM

yxM

xTM

M

z

y

M

xMT

xMz

xMy

zxM

yxM

xTM

M

z

y

M

BSpewBSB

BSBBBSwBBSBpS

S

eBB

w

S

S

BSpewBSB

BSBBBSwBBSBpS

S

eBB

w

S

Sv

vv

v

vv

2222

93



エントロピー波に対するジャンプ条件

−−

−

=

−−

−

∗∗∗∗

∗∗∗∗∗

∗∗

∗∗∗

∗∗∗∗

∗∗∗∗∗

∗∗

∗∗∗

tRxMtR

tRxMtRR

tR

tRRM

tLxMtL

tLxMtLL

tL

tLLM BS

BSS

BSBS

Sv

vv

v

vv

BB

BBB

Bρρρρ

( )( ) 0,det =∗∗∗∗αα ttM Bv

0for, ≠==== ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗xttRtLttRtL BBBBvvv

94


HLLD近似リーマン解法 [Miyoshi+,2005]

( ) ( ) ( ) ( )

0=

−−

−

−−

+

−

+

−+

−+

−+

−

∗

∗∗∗

∗∗

∗∗∗∗

∗∗

∗∗∗∗

∗

∗∗∗

tLxLtL

tLxLtLL

tRxRtR

tRxRtRR

tL

tLLL

tR

tRRR

tL

tLLRLL

t

tLLM

t

tRMR

tR

tRRRR

BuBu

BuBu

SS

SSSSSSSS

v

v

v

vvv

vvvv

BB

BB

BB

BBBB

ρρρρ

ρρρρ

∗∗∗∗tt B,v

RSLS

x

t

2/1+i

*RS*

LS

tRtR B,vtLtL B,v

∗∗tLtL B,v ∗∗

tRtR B,v

95



( ) ( )

( ) ( )

+

−++=

+

−++=

∗∗

∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗

∗∗

∗∗∗∗∗∗∗∗

RL

xtLtRRLtLRtRLt

RL

xtLtRtRRtLLt

B

B

ρρ

ρρρρ

ρρ

ρρ

sgn

sgn

vv

vvv

BBB

BB

∗∗∗ = αα ρρ

∗∗αU

96



( ) ( ) ( ) ( )

⋅−+−

−−

−−+

−

=

⋅−+−

−−

−−+

−

∗∗∗∗

∗∗

∗∗

∗∗∗

∗∗∗

∗∗

∗

∗

∗

∗

∗∗

∗∗

∗

∗

∗

∗∗∗∗∗∗∗

∗∗∗∗

∗∗∗∗

∗∗∗∗∗∗

∗∗∗∗∗∗

∗∗∗

∗∗

∗∗

∗∗

∗∗

∗∗∗∗

∗∗∗∗

∗∗

∗∗

∗

ααα

αα

αα

ααα

ααα

α

α

α

α

α

αα

αα

α

α

α

ααα

αα

αα

ααα

ααα

α

α

α

α

α

αα

αα

α

α

α ρρρ

ρ

ρρρρ

ρρρ

ρ

ρρρρ

BB vv xMT

xMz

xMy

zxM

yxM

xTM

M

z

y

M

xMT

xMz

xMy

zxM

yxM

xTM

M

z

y

M

BSpewBSB

BSBBBSwBBSBpS

S

eBB

w

S

S

BSpewBSB

BSBBBSwBBSBpS

S

eBB

w

S

Sv

vv

v

vv

2222

97



∗∗∗ = αα ρρ

∗∗αU

( ) ( ) ( )LRBee x :,:sgn +−⋅−⋅= ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ BB vv ααααα ρ

( ) ( )

( ) ( )

+

−++=

+

−++=

∗∗

∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗

∗∗

∗∗∗∗∗∗∗∗

RL

xtLtRRLtLRtRLt

RL

xtLtRtRRtLLt

B

B

ρρ

ρρρρ

ρρ

ρρ

sgn

sgn

vv

vvv

BBB

BB

98



5-wave近似


RULURFLF

RSLS

x

t

2/1+i

∗TM pS ,

∗RU∗∗

RU∗∗LU∗

LU

MS ：エントロピー波*

,LRS ：アルフェン波

*RS*

LS MS

( ) ( )( ) ( ) 0,1,

,,

1********

*,

**,

*,

**,

*,,

*,,

*,,

=−+−+−=−

−=−−=−

∫ +LRLLRR

tS

tS

nLRLRM

LRLRLRLRLRLRLRLRLRLR

SSdxtxt

S

SSR

L

FFUUUFFUU

FFUUFFUU∆

∆∆99


HLLD近似リーマン解法 [Miyoshi+,2005]数値流束

0if2/1 ≥= LL SFF

LS t 0

x

∗LU

∗∗∗ ≤≤=−+= LLLLLLLL SSSS 0if2/1 FUUFF

LU2/1FLF

100



LS t 0

x

∗∗LU

LU2/1FLF

( )MLLLLLLL

LLLLLLLL

SSSSSSSS

≤≤=−+=

−−−+=∗∗∗∗∗∗∗∗∗

∗∗∗∗∗

0if2/1

FUUFUUUFF

∗LU

∗LS

0if2/1 ≥= LL SFF∗∗∗ ≤≤=−+= LLLLLLLL SSSS 0if2/1 FUUFF

101



≤≤≤≤≤≤≤≤≤

≥

=

∗∗

∗∗∗

∗∗∗

∗∗

0if0if0if0if0if0if

2/1

RR

RRR

RMR

MLL

LLL

LL

SSSSSSSSS

S

FFFFFF

F

( )∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ = TtxtM peBS ,,,,,, /////ααααα ρ BFF v

102


HLLD近似リーマン解法 [Miyoshi+,2005]孤立した接線不連続（TD）の分解

x

t

2/1+i

MS

RR UU =∗

∗= LL UU

[ ] [ ]FU ===

M

xM

SBuS 0,

103



孤立した接触不連続（CD）の分解

x

t

2/1+i

MS

RRR UUU == ∗∗∗

∗∗∗ == LLL UUU

[ ] [ ]FU =≠=

M

xM

SBuS 0,

104




孤立した回転不連続（RD）の分解

x

t

2/1+i

∗RS

RR UU =∗

∗∗∗∗∗ === RLLL UUUU

[ ] [ ]FU =

>+=

*

* 0,

R

xx

R

S

BBuSρ

105




孤立した回転不連続（RD）の分解

孤立した速進衝撃波（FS）の分解

x

t

2/1+i

RS

RU∗∗∗∗∗∗ ==== RRLLL UUUUU

[ ] [ ]FU =RS

106


MHDの正値性 [Janhunen,2000]物理的な解の集合

物理的な解の重み付き平均値

{ }022,0| 22 >−−>= BU vρρ eG

( ) ( )101 212,1 ≤≤∈+−=⇒∈ θθθ GG UUUU

( )( )

( )( )( ) 0211

101

221

221

21

>+−−+

+−=>+−=

B∆ρρρ∆γθθ

θθθρρθρ

v

ppp

107


HLLD近似リーマン解法 [Miyoshi+,2005]HLLD解の正値性

( )

( )

>

−−−=

>

−−−=

>

>

∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗

∗∗∗∗∗

∗∗

∗

0221

0221

00

22

22

ααααα

ααααα

α

α

ργ

ργ

ρ

ρ

B

B

v

v

ep

ep

108



密度の正値性

RMMRRR uSSSuS −≡>−≡>−≡ ςηξ ,0,0

0>== ∗∗∗RRR ρ

ηξρρ

109



圧力の正値性

ϕγ

ξςςρ

ξρ

γξςς

ξηρξρ

ρηϕ

′≡−

++

−−≥

−++

−−=

−−≡ ∗∗∗∗

11

2

11

2

22

222

2

22

2

22

RR

xfRR

tRR

RR

xR

tRR

RRRR

ppBc

ppB

e

B

B

Bv


一生懸命テキストの方に書きました。110



圧力の正値性

( ) 00 >′⇒<′ ϕϕD


ς

ϕ′ϕ

111



圧力の正値性


( )

( )

fRRR

fRxfRR

tR

R

R

xfRR

tRRRR

cuS

cBc

p

BcppD

γγ

γγ

ρργξ

ξργ

ρϕ

21

211

21

011

2

2

1

22

22

222

22

−+>

−=

−−

−>

<

−−

−−=′

−B

B

112



圧力の正値性

正値性保存の条件


( )

0

22122

>=

−−−=

∗

∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗

R

RRRRR

p

ep Bvργ

fLLLfRRR cuScuSγ

γγ

γ2

1,2

1 −−<

−+>

113


HLL型近似リーマン解法の階層 [Miyoshi+,2007]HLLD近似解の重み付き平均値

正値性保存

(MHD HLL-type)

114


HLLD近似リーマン解法 [Miyoshi+,2005]固有ベクトルの計算不要

正値性保存を保証

接線不連続を厳密に分解

接触不連続を厳密に分解

回転不連続を厳密に分解

速進衝撃波を厳密に分解

支配方程式に依存

115


精度・計算速度の比較・検証

ロバスト性の比較・検証

[Mignone+,2007]

[Miyoshi+,2007]

[Miyoshi+,2005]

116


その他の数値実験などは論文を参照してください

[1] Miyoshi, Kusano, JCP 208, 315 (2005)[2] Mignone, et al., ApJS 170, 228 (2007)[3] Stone, et al., ApJS 178, 137 (2008)[4] Kritsuk, et al., ApJ 737:13 (2011)

現状では、 LLD法はほぼ業界標準117


118


基本手順開始

CFL条件の評価


初期設定

時間積分

t = tout

データ出力

t < tend

終了

Yes

No

NoYes

119


基本手順開始

CFL条件の評価


初期設定

時間積分

t = tout

データ出力

t < tend

終了

Yes

No

NoYes

パラメータ

,, ηγ

グリッド

,, xxi ∆

初期条件

( )0, =txiU

120


基本手順開始

CFL条件の評価


初期設定

時間積分

t = tout

データ出力

t < tend

終了

Yes

No

NoYes

iCFL

ifii

xct

cu

λ

λ

max∆

=∆

+=

121


基本手順開始

CFL条件の評価


初期設定

時間積分

t = tout

データ出力

t < tend

終了

Yes

No

NoYes

( )RL

iR

iL

mi

UUFUUUU

,

1,,1for

2/1

1

←←

+=

−

※プログラミングのポイント：

数値流束のインデックスは半整数、配列は整数のみ

1+i 2+ii1−i

1+i 2+ii1−i 3+i

[ ]mU

[ ]1+mF122


基本手順開始

CFL条件の評価


初期設定

時間積分

t = tout

データ出力

t < tend

終了

Yes

No

NoYes

FUU ∆∆∆

−←

=

xt

mi

ii

,,1for

123


基本手順開始

CFL条件の評価


初期設定

時間積分

t = tout

データ出力

t < tend

終了

Yes

No

NoYes

outoutout

out

OutputDatathenif

ttt

tt

∆+←

>

124


高次精度化開始

CFL条件の評価


初期設定

t = tout

データ出力

t < tend

終了

Yes

No

No

Yes

SSP-RK法

高次精度補間法

時間積分

125


MUSCL法

CFL条件の評価


n-step SSP-RK法

MUSCL法

∆∆∆

+←

∆∆∆

−←

+=

xLimx

xLimx

mi

iL

iR

UUU

UUU

2

2

1,,0for

LU

RU

i

2x∆ 2x∆

時間積分

126


MUSCL法

( )RL

miUUF ,

1,,1for

2/1

+=

CFL条件の評価


n-step SSP-RK法

MUSCL法

時間積分

127


MUSCL法

( ) ( )( ) ( )( )111

1

21

21

21 UFUUU

UFUU

∆∆∆

−+=

∆∆∆

−=

+

xt

xt

nn

nn

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )221

112

1

32

32

31

41

41

43

UFUUU

UFUUU

UFUU

∆∆∆

−+=

∆∆∆

−+=

∆∆∆

−=

+

xt

xt

xt

nn

n

nn

（2nd-order SSP（TVD）-RK）

（3rd-order SSP（TVD）-RK）

CFL条件の評価


n-step SSP-RK法

MUSCL法

時間積分

128


FV-WENO法など変数補間で高次精度化を実現する

数値解法は同様のフローチャートです。

数値流束を高次精度補間する数値解法もあります。

補間の実装は結構面倒です。飯島先生よろしく！

多次元化では、ざっくりと言って、Split法もUnsplit法も

単に1次元の拡張です。

ただし、数値的な磁場発散の処理が必要です。これも大変面倒。飯島先生よろしく！

129

おしまい

お疲れ様でした

がんばってください130

Documents

MHD近似リーマン解法 - Chiba U...MHD 近似リーマン解法 三好隆博 広島大学大学院理学研究科 2017 年8月21日（月）-25日（金）千葉大学総合校舎1号館4階情報演習室2

MHD近似リーマン解法 - Chiba U...MHD 近似リーマン解法三好隆博広島大学大学院理学研究科 2017 年8月21日（月）-25日（金）千葉大学総合校舎1号館4階情報演習室2