1

ПОГЛАВЉЕ XII

УОПШТЕНИ ПИТРИЈЕВ ПОЛИГОН

У § 7.x навели смо формулу за ред групе rqp ,, као Шлефлијеву функцију,

тј. као још тежу бесконачну серију. У §§ 8.2 и 8

.5 добили смо ред у сваком

посебном случају конструкцијом правилног политопа rqp ,, . Главни ре-

зултат овог поглавља је нова формула 12.81 изражена елементарним функ-

цијама. У том смислу налазимо једноставан израз (12.61) за број рефлексија

у групи, тј. број хиперравни симетрије општег правилног политопа. При-

препремни резултати добијени у §§ 12.1 и 12

.2 су добро познати, али дока-

зи нису лако схватљиви.

12.1. ОРТОГОНАЛНЕ ТРАНСФОРМАЦИЈЕ. У n димензија, као и у три,

конгруентна (изометријска) трансформација је тачка-тачка (један-један)

кореспонденција која чува растојање.То повлачи чување колинеарности, тј.

то је посебан случај колинеарности. Она је одређена својим деловањем на

n димензионални n тострани угао (аналогон триедра) . Поступком ана-

логије који је коришћен у § 3.1, можемо је изразити као производ од најви-

ше 1n рефлексија. Опет, она је директна или обрнута (тј. кретање или

обрнута изометрија)према томе да ли је број рефлексија паран или непаран.

Посебан случај кад постоји најмање једна инваријантна (непокретна) та-

чка она се зове ортогонална трансформација. Ова је производ од највише

n рефлексија (у односу на хиперравни кроз инваријантну тачку). Изражено

афиним координатама са координатним почетком у инваријантној тачки,

то је линеарна трансформација

12.11 kjkj xcx nj ,,2,1 ,

где су коефицијенти jkc одређени реални бројеви. Ово следи из опште тео-

рије колинеарности. Алтернативно, како је рефлексија линеарна трансфор-

мација (видети 10.61), то је онда и сваки производ рефлексија такав.

Вектори чији се смерови чувају (или обрћу) трансформацијом 12.11 за-

дати су са n једначина

12.12 kjkj xcx .

Први корак у решавању овог система је елиминација x ова, добијањем је-

дне једначине n тог степена по :

12.13 0

321

2232221

1131211

nnnnn

n

n

cccc

cccc

cccc

Сваки корен ове једначине даје вредност за која може бити замењена у n

једначина 12.12 (најмање једна од њих биће сувишна); тада можемо одре-

дити x ове и тако добијамо инваријантан (непромењен) смер.

2

190 ПРАВИЛНИ ПОЛИТОПИ § 12.1

Реалан корен даје реалан вектор, а имагинаран корен имагинаран век-

тор. Да бисмо и ово друго узели у разматрање, ми претпостављамо да је

наш реални Еуклидов n простор садржан у комплексном Еуклидовом n

простору.

Наћи ћемо да ће корени од12.13 бити довољни да одреде природу транс-

формације (на пр. ако је то ротација они одређују њен угао). Према томе,

они се зову карактеристични корени (вредности), одговарајући вектори се

зову карактеристични вектори, а 12.13 се зове карактеристична једначи-

на. Трансформација чува (или обрће) смер сваког карактеристичног векто-

ра, али множи његову дужину коначним бројем, који је карактеристични

корен. Битна геометријска својства трансформације, карактеристични ко-

рени су инваријантни, независни од избора координатног система; посе-

бно, они су исти било да су координате правоугле или косе.

Свака линеарна трансформација има карактеристичне корене. Једна по-

себна одлика ортогоналне трансформације је да њени карактеристични ко-

рени имају јединичне модуле: 1 . Ово се може видети на следећи начин.

Ако је 12.11 ортогонална трансформација, она чува скаларни производ

свака два вектора. (Како су карактеристични вектори иваријантни, ми смо

слободни да употребимо правоугле Декартове координате.) Ако су два век-

тора x и y трансформисани у x' и y', скаларни производи су

x . y = lkklkk yxyx и

x' . y' =

ljljkljlkjkjj yccycxcyx .

Услови за једнакост ових производа су

12.14 kljljk cc nlk ,,2,1, .

Сваки карактеристични корен повезан је са одговарајућим вектором је-

дначинама 12.12. Множећи jx са њему коњуговано комплексним бројем

ljkj xcx

и сумирајући, добијамо

kklkkllkjljkjj xxxxxxccxx .

Али је 0 kkjj xxxx , па је због тога 1 , и

12.15 12

1

,

што смо и требали доказати.

Узгред, релације 12.14 су нужне и задовољавају услове да линеарна

трансформација 12.11 (правоуглих Декартових координата) буде ортогона-

лна трансформација. Важан пример је ротација (за угао )

12.16

.cossin

,sincos

212

211

xxx

xxx

Овде је карактеристична једначина 0sincos 22 , и њени корени

су

iei sincos .

Настојимо да покажемо како било која ортогонална трансформација мо-

3

§ 12.1 ОРТОГОНАЛНЕ ТРАНСФОРМАЦИЈЕ 191

же бити изражена као производ комутативних ротација и рефлексија. Ово

је блиско повезано са алгебарском теоремом да сваки полином са реалним

коефицијентима може бити изражен као производ реалних квадратних и

линеарних фактора.

За имагинаран карактеристични корен можемо одредити бар један кара-

ктеристични вектор. (Ако их има више, бирамо један слободно.) Њему ко-

њуговано комплексан вектор има исто тако инваријантан смер, а два заје-

дно спрежу реалну инваријантну раван (кроз координатни почетак). Нека

смо изабрали два реална инваријантна вектора у овој равни као осе од 1x и

2x , и тврдимо да остале 2n осе леже у потпуно ортогоналном 2n

простору, који је такође инваријантан. Конгруентна трансформација изве-

дена у инваријантној равни не оставља реалан вектор инваријантним, тако

да је она таква ротација као 12.16. Прве две врсте детерминанте у 12

.13 су

сада

00cossin

00sincos

.

После уклањања фактора ii ee 22sincos ми смо ле-

ву страну карактеристичне једначине трансформације свели на потпуно ор-

тогоналан 2n простор. Ако ове 2n е једначине имају још имаги-

нарних корена, ми понављамо поступак, бирајући осе 3x и 4x у другој ин-

варијантној равни. Поступајући овако ми уочавамо да, ако постоји q паро-

ва коњуговано имагинарних корена kie

qk ,,1 , и qn 2 реалних коре-

на 1 , тада можемо разложити ортогоналну трансформацију на ротације за

углове k у равнима оса 12 kx и kx2 упоредо са посебно једноставном врстом

ортогоналне трансформације у преосталом qn 2 простору

qxx 21

где су карактеристични корени само 1 .

Сваки реални карактеристични корен одређује реални карактеристични

вектор који је очуван или обрнут ортогоналном трансформацијом. Ми ово

користимо да дефинишемо једну од преосталих оса, и тада на сличан начин

скрећемо нашу пажњу на нормални 12qn простор. Ми тако добија-

мо ортогоналне осе од nq xx ,,12 , свака од њих је или очувана или обрнута:

jj xx nqj ,,12 .

Знаци различитих x ова се слажу са знацима одговарајућих карактеристи-

чних корена. Дакле, ако се qn 2 реалних корена састоји од r 1 ца и

rqn 2 1 ца, тако да је карактеристична једначина

0111cos21cos222

1

2 rqnr

q ,

тада трансформација садржи q ротација и r рефлексија, и све су комутати-

вне једна са другом.

Како ротација чува оријентацију (фигуре), док рефлексија обрће оријен-

тацију, поменута ортогонална трансформација је директна или обрнута

4

192 ПРАВИЛНИ ПОЛИТОПИ § 12.2

(индиректна) према томе да ли је r паран или непаран. Посебно, опште

кретање које чува координатни почетак у четири димензије је двострука

ротација*, изражена у облику

12111 sincos xxx , 24233 sincos xxx ,

12112 cossin xxx , 24234 cossin xxx ,

Две потпуно ортогоналне равни ротације су једнозначно одређене осим кад

је 12 , у којем случају су само две (уместо три) од четири једначине

12.12 независне, и тада имамо Клифордово (изоклино) кретање (аналогно

"Клифордова транслација" у елиптичкој геометрији). Случајеви кад су два

од четири карактеристична корена реални дозвољавају да 1 или 2 узму

екстремне вредности 0 и .

12.2. КОНГРУЕНТНЕ ТРАНСФОРМАЦИЈЕ. Као привремено обележава-

ње, нека Q означава ротацију, R рефлексију, T транслацију, а нека QqR

rT

означава производ неколико таквих трансформација, све комутативне је-

дна са другом. Тада је RT килизећа рефлексија (у две или три димензије),

QR ротацијска рефлексија, QT завојно кретање, а Q2 двострука ротација

(у четири димензије). Доказали смо да је ортогонална трансформација из-

ражена као

QqR

r nrq 2 ,

па нећемо имати много тешкоћа да изведемо да је свака конгруентна тран-

сформација или

QqR

r nrq 2 или Q

qR

rT nrq 12 .

Потпуно тврђење је следеће:

12.21. У парном броју димензија свако кретање је или Q

qR

r nrq 2 , r

парно) или QqR

rТ 22 nrq , r парно) и свака обрнута (енантиморфус)

трансформација је QqR

rТ 12 nrq , r непарно). У непарном броју ди-

мензија је свака обрнута трансформација или QqR

r nrq 2 , r непарно)

или QqR

rТ 22 nrq , r непарно) и свако кретање је Q

qR

rТ

12 nrq , r парно).

(Прихватамо QqR

r као посебан случај од Q

qR

rТ дозвољавајући да степен

транслације буде нула.)

У § 3.1 смо ово доказали за случајеве 2n и 3n . Тако да сад користи-

мо индукцију, претпостављајући тачност резултата у нижим бројевима ди-

мензија. Краткоће ради, разматраћемо два случаја упоредо, тако што ћемо

писати упоредне речи у средњим заградама.

Ако је n паран [непаран], општа директна [обрнута] трансформација,

биће производ од највише n рефлексија, које остављају инваријантним или

тачку или две паралелне хиперравни (тј. или обичну тачку или тачку у бе-

сконачности). У првом случају имамо ортогоналну трансформацију QqR

r,

где је nrq 2 .У другом случају трансформација је у суштини 1n ди-

мензионална; она је индукцијска претпоставка QqR

rТ, где је 22 nrq .

Опет, пошто је n паран [непаран], то се општа обрнута [директна] трансфор-

5

§ 12.3 ПРОИЗВОД n РЕФЛЕКСИЈА 193

мација може посматрати као операција над сноповима паралелних полуправих,

представљених појединачним полуправим кроз утврђену тачку О. Наведена тран-

сформација је QqR

r, где је nrq 2 ; али r је непаран [паран], тако да је

12 nrq . Отуд наведена трансформација има инваријантну осу (" n

димензионалну"), и полазна трансформација има непромењен смер. Нека је

~ било која хиперраван нормална на овај правац. Производ полазне транс-

формације са рефлексијом у односу на ~ је директна [обрнута] трансформа-

ција која обрће смер, наиме, QqR

r или Q

qR

rТ, где је једна од хиперравни ре-

флексија паралелна са ~ . Рефлектујући опет у односу на ~ , и узимајући у

обзир да је производ рефлексија у односу на две паралелне хиперравни тра-

нслација, ми изражавамо полазну трансформацију или као QqR

r-1Т или као

QqR

r-1Т

2, где Т

2 значи производ две транслације, обе комутативне са свим

Q-овима и свим R-овима, тако да се Т2 може једноставно писати као Т.

Овим се завршава доказ од 12.21. Како је производ две комутативне ре-

флексије ротација за угао , док је идентитет ротација за угао 0 , упоредни

исказ може бити дат на следећи начин.

У q2 димензија свако кретање је Qq или Q

q-1Т, а свака трансформација

обрнуте подударности је Qq-1

RТ. У 12 q димензија свако кретање је

QqТ, а свака трансформација обрнуте подударности је Q

qR или Q

q-1RТ.

12.3. ПРОИЗВОД n РЕФЛЕКСИЈА. Посебна ортогонална трансформација

која је значајна за проучавање правилних политопа (из разлога који ће се

појавити у §12.4) је производ R1R2

. . . R n елемената коначне групе изведене

рефлексијама. Како је ово производ n рефлексија, то је онда он типа Qn

2

1

или Q)1(

2

1n

R према томе да ли је n паран или непаран. (Овде Q-ови значе

комутативне ротације, за углове k које треба израчунати.) У зависности

од координата nxxx ,,, 21 , која су растојања од хиперравни рефлексија, ре-

флексија R k је задата са 10.63 или са

kjkjj xaxx 2 ,

где је jka косинус диедарског угла између j те и k те хиперравни (а

1kka ). Стога R1R2 . . .

R n трансформише

nxxx ,,, 21 у n

n

nn xxx ,,, 21 ,

где је n

jx задато индиректно са n скупова једначина

112 xaxx jjj ,

222 xaxx jjj ,

. . .

n

njn

n

j

n

j xaxx 21 .

Општи случај је обрађен на другом месту.* Ради једноставности, нека

нам је овде разматрање сужено на случај кад је група wqp ,,, , таква да су * Коксетер 11.

6

194 ПРАВИЛНИ ПОЛИТОПИ § 12.3

једини ненула jka ови за kj

p

ca

cos112 , q

ca

cos223 , . . .

, w

ca nnn

cos1,1

Тада претходних 2n једначина постају

12.31

,2

,

,2

211

1

1

1

11

12

n

j

j

j

j

j

j

jj

j

j

j

j

j

j

j

jj

j

j

j

jjj

xxxxcx

xx

xcxxxx

одакле је, за сваку вредност од ,

12.32 1

11

1

1 22

j

jj

j

j

j

jj

j

jj

n

j xcxxcxxx .

Сада је карактеристична једначина 12.13 резултат елиминације jx ова и

jx ова из jj xx и 12.11. Зато се карактеристична једначина за R1R2

. .

.Rn може добити елиминацијом свих k

jx ова из n

jj xx и 12.31.

Помоћу 12.32, сви k

jx ови за које је kj су елиминисани аутоматски, и

ми смо остали са n једначина

022 1

11

1

1

j

jj

j

j

j

jj

j

j xcxxcx ,

или

022 1

12

1

2

1

2

1

1

112

1

j

jj

j

j

j

jj xcxxc ,

или у зависности од jj

j

j xy 2

1

и

2

1

2

1

2

1X ,

0111 jjjjj ycXyyc .

У екстремним случајевима кад је 1j или nj , први или последњи израз

ће нестати. Елиминисањем y ова из

211 ycXy 0 ,

32211 ycXyyc 0 ,

43322 ycXyyc 0 ,

. . . . . . . . . . . . . .

011 nnn Xyyc ,

добијамо карактеристичну једначину

12.33 ,0

0000

000

000

0000

1

32

21

1

Xc

cXc

cXc

cX

n

или, у ознаци од 7.76,

12.34 .04

2

2

1 nnn XXX

7

§ 12.3 КОМПОНЕНТЕ РОТАЦИЈА 195

Овде је X скраћеница за

2

1

2

1

2

1 . У зависности од k компонената

ротација, вредноси од су

kie

nk

2

1,,2,1 .

Отуд 12.33 или 12

.34 имају корене

kX 2

1cos .

Кад је n непаран, последњи израз од 12.34 је

X

n

1

2

1 , па постоји посебан

корен 0X , који одговара вредности 1 . Ово даје рефлексију, тј. R у

симболу Q)1(

2

1n

R. Посебан корен се може сврстати међу друге према по-

ступку дефинисања

1

2

1n

, који је сасвим природан кад сматрамо n

димензионалну рефлексију као 1n димензионални полуобртај.

Производ генератора бесконачне групе wqp ,,, (у 1n димензија) ја-

вља се као гранични случај претходно разматраних трансформација. Рела-

ције 12.31 настављамо да користимо, ако x ове схватимо као нормалне

координате (§ 10.7). Како је 0,,, wqp (видети 7

.75, 7

.76), једначина 12

.33

или 12.34 сад има корене 1X , који се могу интерпретирати као

задате компоненте транслације тј. Т у смболу Q)2(

2

1n

Т или Q)3(

2

1n

RТ. На

пример, у случају од 6,3 једначина је

03 XX ,

чији корени 0 и 1 представљају R и Т клизеће рефлексије RТ, која је про-

извод рефлексија у односу на три странице равног троугла (полутрака?) .

Кад је 3n , 12.34 постаје 01

2 XX , где је

hqp

222

1 coscoscos ,

у ознаци од 2.33.Зато је угао ротацијске рефлексије R1R2R3 у qp,

h

21 .

Кад је 4n , имамо

12.35 0coscoscoscoscos 2222224

rpX

rqpX

,

или q

Xr

Xp

X 222222 coscoscos

. У сваком посебном случају

добија се још елегантнија једначина (са коренима 1cos2 x , 2cos2 ) ста-

вљајући 24

12 xX . По аналогији са тродимензионалним случајем, оста-

вљамо да h означава период двоструке ротације R1R2R3R4. Појединачни

8

196 ПРАВИЛНИ ПОЛИТОПИ § 12.3

случајеви су следећи:

Група Једначина за cos2 1 , 2 h

3,3,3 012 xx 2

5 , 4

5 5

4,3,3 022 x 1

4 , 3

4 8

3,4,3 033 x 1

6 , 5

6 12

5,3,3 0212 xx* 1

15 , 11

15 30

4,3,4 022 xx 0, 2

3

Кад је 4n , користимо Чебишевљеве полиноме+

n

r

rnr

n Xr

rn

rnXT

2

1

0

22

1,

n

r

rnr

n Xr

rnXU

2

1

0

221 ,

или++

X

X

X

X

XTn

10000

001210

000121

00001

,

X

X

X

X

XU n

210000

001210

000121

000012

.

У случају симетричне групе 13 n , једначина 12.33 (са сваком врстом де-

терминанте двоструко) постаје

0XU n .

Како је

sin

1sincos

nU n идентитет, углови k су вредности од 2 за

које је 01sin n

2

10 , наиме

1

2

n

kk

2

1,,2,1

nk .

* τ =½(√5 +1)

+ Нажалост, ми смо употребили средње заграде у два различита значења: [p] означава диедарску групу реда 2p, али [n∕2] означава највећи цели број не већи од n∕2.

++ Ернесто Паскал (1, стр. 155-156) приписује ове детерминанте Франтишеку Јозефу Студнички (1886 и 1897).

9

§ 12.4 ЧЕБИШЕВЉЕВИ ПОЛИНОМИ 197

Према томе период од R1R2 . . .

R n је 1n , у складу са представљањем ре-

флексија као транспозиција:

R1=(1 2), R2=(2 3), . . .

, R n =( n 1n ).

У случају од 4,3 2n или 23,4 n (где је 2

11 c ), имамо слично

0XTn .

Како је nTn coscos , углови k су вредности од 2 за које је 0cos n

20

, наиме

n

kk

12

2

1,,2,1

nk .

Према томе период од R1R2 . . .

R n је n2 .

Дешава се да је, кад су ови уређени по растућем редоследу, сваки од

њих умножак од 1 . Зато је период од R1R2 . . .

R n увек 1

2

, где је 1

2

1cos

највећи корен једначине 12.33 или 12

.34.

12.4. ПИТРИЈЕВ ПОЛИГОН ОД wqp ,,, . Видели смо, у § 5

.9, да нам

производ од три изведене рефлексије групе qp, даје један корак по Пи-

тријевом полигону правилног полиедра или теселације qp, , а да производ

од четири изведене рефлексије од 4,3,4 има слично дејство на правилан

ханикомб 4,3,4 . Настављамо да уопштавамо овај резултат на n димензија.

Подсећамо да је Питријев полигон, као што је дефинисано у § 2.6, про-

сторни (искошени) полигон такав да сваке две узастопне странице, али не и

три, припадају истој страни. Случај од 4,3,4 сугерише погодност дефини-

сања Питријевог полигона од rqp ,, као искошени полигон такав да сваке

три узастопне странице, али не и четири, припадају Питријевом полигону

једне ћелије.Коначно, Питријев полигон n димензионалног политопа, или

1n димензионалног ханикомба, је искошени полигон такав да сваких

1n узастопних страница, али не и n , припадају Питријевом полигону је-

дне ћелије. Ово је, свакако, индуктивна дефиниција. Могли смо почети про-

глашавајући да је Питријев полигон равног полигона сам тај полигон. Шта

више, уместо " 1n узастопних страница" могли смо рећи " n узастопних

темена", а уместо политопа могли смо разматрати одговарајући сферни ха-

никомб.

Нека је 1101 nAAAA Питријев полигон сферног или Еуклидовог хани-

комба wqp ,,, , тако да 2101 nAAAA и (рецимо) 1210 nn AAABA

при- пада Питријевим полигонима двеју суседних ћелија. Изаберимо

ортошем 110 nPPP у таквом положају да је 0P истоветно са 0A , 1P

10

средиште дужи 10 AA , а kP је центар k димензионалног елемента kAA 0

. Нека R 1k озна-

198 ПРАВИЛНИ ПОЛИТОПИ § 12.4

чава рефлексију наспрам kP (тј. рефлексију у односу на хиперраван која

са-

држи све P ове осим kP ). Наћи ћемо да операнд R1R2 . . .

R n из §12.3 перму-

тује темена Питријевог полигона. У ствари она су померена уназад; то је

инверзни операнд R n

. . . R2R1 који их помера унапред, трансформишући jA

у 1jA за свако j . У ствари, ми ћемо доказати да важи

12.41 1

12

j

RRR

j AA n 21 nj .

Ова трансформација сферног или Еуклидовог 1n простора је потпуно

одређена њеним деловањем на n тачака 2101 nAAAA ; тако да рестрикци-

ја " 2 nj " касније може бити отклоњена.

Кад је 2n имамо раван полигон 10 AA ; 0P је друго име за 0A , а 1P

је средиште лука 10 AA описаног круга око полигона. R1 и R2 су рефлексије

у односу на 1P и 0P (или у односу на полупречнике ових тачака), тако да је

R2R1 ротација од 0A до 1A као на Сл. 12.4А.

1A 1A

1P

1P

1A 00 PA 1R 3R

2A

2P 2R 0A

B

Сл. 12.4А Сл. 12

.4Б

Кад је 3n имамо равну или сферну теселацију такву као на Сл. 5.9А

(на страни 78 овог превода), али су K, M, O, Q преименоване у 2A , 1A , 0A

,

1A (као на Сл. 12.4Б), тако да су 101 AAA и 210 AABA две суседне стране. Ро-

тација R2R1 око 2P трансформише B у 0A , 0A у 1A , 1A у 2A . Дакле,

0112123 ABA

RRRRR , 100

12123 AAARRRRR , 211

12123 AAARRRRR .

Кад је 4n имамо ситуацију илустровану на Сл. 5.9Б, али су L, M, N, O,

P преименоване у 10123 ,,,, AAAAA .

Доказујемо општи случај индукцијом, претпостављајући тачност резул-

тата за 1n димензионални политоп, таквог као ћелију 10 nABA зада-

11

тог ханикомба. Дакле, претпостављамо да R 1n

. . . R2R1 трансформише B у

0A , 0A у 1A , . . .

, и 2nA у 1nA . Сада R n , с обзиром да је рефлексија у одно-

су на хиперраван 210 nAAA , трансформише ћелију 210 nAABA у сусе-

дну ћелију 2101 nAAAA . Зато је

§ 12.5 ПРАВИЛАН ПИТРИЈЕВ ПОЛИГОН 199

01121121 ABA

RRRRRRR nnn

,

1121121

j

RRR

j

RRRR

j AAA nnn 20 nj ,

и 12.41 је доказано.

Према томе, Питријев полигон од wrqp ,,,, је искошени h гон, где

је h

cos највећи корен једначине

0

cos0000

00coscos0

000coscos

0000cos

Xw

rX

q

qX

p

pX

Посебно, Питријев полигон од 3,4,3 је искошени дванаестогон, а Питри-

јеви полигони од 5,3,3 и 3,3,5 су искошени тридесетогони. (Видети та-

белу на страни 196 овог превода.) Како је 1 nh за n , и nh 2 за n ,

Питријеви полигони ових најједноставнијих политопа обухватају сва њи-

хова темена.

12.5. ЦЕНТРАЛНА ИНВЕРЗИЈА. Видели смо, у § 5

.9, да је потребан и до-

вољан услов да група qp, садржи централну инверзију, тј. да полиедар

qp, буде централно симетричан, тај, да h2

1 буде непаран број. Нека смо

проширили овај резултат на n димензија, дефинисањем броја h као пери-

ода од R1R2 . . .

R n у wqp ,,, или броја страница Питријевог полигона

од wqp ,,, .

Непарни полигони p ( p непарно) и симплекси n ( 1n ) свакако ни-

су централно симетрични; јер наспрам темена имају ћелије. Зато њихове

симетријске групе p ( p непарно) и 13 n ( 1n ), не садрже централну ин-

верзију, у облику

(R1R2 . . .

R n )h

2

1

.

12

Видели смо да је ортогонална трансформација R1R2 . . .

R n "умножак ро-

тација" за углове

n2

121 ,,, , са додатном рефлексијом кад је n непарно.

Шта више, h/21 , а сваки j је умножак од 1 , рецимо

1 jj m (

n

mmm

2

1211 сви цели бројеви).

200 ПРАВИЛНИ ПОЛИТОПИ § 12.6

Следи да, кад је h парно, (R1R2 . . .

R n )h

2

1

је производ ротација за углове

jm ; комбинован, кад је n непаран број , са

h

2

1тим степеном рефле-

ксије. Зато су следећа три услова потребан и довољан услов да (R1R2 . . .

R n )h

2

1

буде централна инверзија:

( i ) h мора бити паран број;

( ii ) свако jm мора бити непаран број;

( iii ) кад је n непаран, h2

1 мора бити непаран број такође.

Следећа табела показује да су ови услови задовољени у свим случајевима:

Група n h ,,, 321 mmm

p ( p парно) 2 p 1

4,3 2n n n2 1, 3, 5, . . .

5,3 3 10 1

3,4,3 4 12 1, 5

5,3,3 4 30 1, 11

Према томе, сви правилни политопи су централно симетрични, осим не-

парних полигона и симплекса ( 2n ).

12.6. БРОЈ РЕФЛЕКСИЈА. Знајући који су правилни политопи централно

симетрични, можемо лако наћи колико хиперравни симетрије сваки од њих

има.

Непарни полигон очигледно p има pN 1 оса симетрије, наиме нор-

малне бисектрисе његових страница.Слично,симплекс n има 12

11 nnN

хиперравни симетрије, које су нормалне бисектрисе његових ивица. У ства-

ри,симетријска група правилног симплекса А0А1 . . .

А n изведена је транспо-

зицијама (премештањима)

R1=( А0А1), R2=( А1А2), . . .

, R n =( А 1n А n ),

13

свака од њих је рефлексија у односу на хиперраван која спаја средиште је-

дне ивице са наспрамним 2n ;и све рефлексије у групи су оваквог каракте-

ра (према теореми 5.63, која остаје да важи и у n димензија). Другим речи-

ма, 13 n је симетријска група степена 1n , а њене рефлексије су

2

1n

транспозиција.

Сада разматрамо централну симетрију политопа П n . Две наспрамне ће-

§ 12.5 БРОЈ РЕФЛЕКСИЈА 201

лије П 1n рефлектују се једна у другу ако је П 1n сам централно симетри-

чан; тада постоји 12

1nN таквих рефлексија. Слично, постоји 2

2

1nN рефле-

ксија које повезују парове наспрамних П 2n -ова, ако је П 2n централно си-

метричан. Обрнуто, постоји рефлексија за сваки пар наспрамних темена

ако је темена фигура централно симетрична, а рефлексија за сваки пар на-

спрамних ивица ако је "другостепена темена фигура" централно симетри-

чна.Ове примедбе омогућавају нам да табеларно изразимо број хиперравни

симетрије у сваком случају, на следећи начин:

p ( p парно), pNN 102

1;

n , 2

102

1nNN ;

n , 2

122

1nNN nn ;

5,3 или 3,5 , 152

11 N ;

3,4,3 , 242

130 NN ;

5,3,3 , 602

10 N ;

3,3,5 , 602

13 N .

На пример, претходна одредница за n значи да постоји n рефлексија

које размењују парове наспрамних темена, а 1nn које размењују парове

наспрамних ивица. (Не постоји рефлексија која размењује парове наспра-

мних k ова за 1k , као такви k ови су супротно оријентисани.) Пре-

ма теореми 5.64 групе p ( p парно), 4,3 2n

, и 3,4,3 имају по два типа

рефлексија, док 5,3 и 5,3,3 имају по један. Зато је претходна листа пот-

пуна.

Значајно је да су сви ови случајеви покривени једном једноставном фор-

мулом:

14

12.61. Симетријска група n димензионалног правилног политопа садржи

тачно nh2

1 рефлексија.

Случај кад је 3n доказан је општим расуђивањем у § 4.5. Сад ћемо ви-

дети да расуђивање може бити проширено на веће вредности n . Као зани-

мљиву последицу случаја кад је 4n , добићемо алгебарски израз за rqpg ,,

у зависности од ,,, rqp и h .

12.7. ОГРЛИЦА ОД ТЕТРАЕДАРСКИХ ПЕРЛИ. У §§ 2

.6 и 4

.5, видели смо

како Питријеви полигони Платонових тела qp, одговарају екваторијалним

202 ПРАВИЛНИ ПОЛИТОПИ § 12.7

полигонима зарубљеног

q

p и екваторима најједноставније потподеле

сферне теселације qp, . Ова "најједноставнија потподела" је уређење од

qpgg , правоуглих сферних троуглова на које је разложена сфера равнима

симетрије тела. Велики кругови који леже у овим равнима раније су наве-

дени као "осе симетрије", иако можда више одговара кругови рефлексија.

Типични екватори изгледају на Сл. 4.5А и Б као испрекидане линије, сваки

пресеца циклус од h2 троуглова. (Видети и Сл.12.7А, где је случај 3 qp

приказан у стереографској пројекцији.)Како је лук екватора који лежи уну-

0 2

1

2 0

1 1 1

0 2

1

2 0

Сл. 12.7А

15

тар троугла "висинска линија" нормална на хипотенузу из наспрамног те-

мена, то је онда сваки троугао у циклусу изведен рефлексијом R2 у односу

на њихову заједничку хипотенузу 02, и од једног другог полуобртајем R3R1

око њиховог заједничког темена 1 (где два круга рефлексије секу један дру-

гог под правим углом). Производ ове две трансформације је ротацијска ре-

флексија R2R3R1, која трансформише сваки троугао у један следећи. Како

је R1R2R3 коњуговано са R2R3R1, ми тако опет потврђујемо да је њен пери-

од h . Како сваки екватор пресеца h2 од g троуглова, то је онда број еква-

тора h

g

2.

Као што смо видели на крају § 4.5, кругови рефлексија могу бити пре-

бројани узимајући у обзир h парова тачака у којима они секу један екватор

§ 12.7 БРОЈ РЕФЛЕКСИЈА 203

(испрекидана линија на Сл. 12.7А). Неке такве тачке су типа 1; друге леже

на луковима 02. Како се оне јављају наизменично, то онда постоји h од би-

ло које врсте.Свака тачка 1 припада двама ортогоналним круговима рефле-

ксија, а тачке друге врсте тачно једном. Дакле, укупан број кругова рефле-

ксија је 2

3h.

Слична најједноставнија потподела сферног ханикомба rqp ,, састоји

се од rqpgg ,, тетраедара 0123 на које је хиперсфера (у Еуклидовом 4-про-

стору) разложена хиперравнима симетрије политопа rqp ,, . Велике сфере

које леже у овим хиперравнима се природно зову сфере рефлексије. Као и

раније ми узимамо да Rk+1 означава рефлексију у односу на страну 0123 на-

спрам темена k. Уместо троугла 012 са хипотенузом 02 и наспрамним теме-

ном 1 (где се јавља прав угао), ми сад користимо четвоространоправоугли

тетраедар 0123 и усмеравамо нашу пажњу на две наспрамне ивице 02 и 13,

на свакој од њих је диедарски угао прав. Производ полуобртаја око ове две

наспрамне ивице, наиме

R2R4.R1R3=R2R1R4R3,

будући коњугован са R4R3R2R1, је периода rqphh ,, . Примењујући један

или други полуобртај на полазни тетраедар, добијамо други тетраедар који

са њим има заједничку ивицу на којој су стране ортогоналне. Сваки нови

тетраедар има наспрамну ивицу око које можемо извести други полуобртај.

Настављајући на овај начин добијамо циклус од h2 суседних парова које

раздваја таква ивица.

Враћајући се на полазни тетраедар 0123, уочавамо да су ивице 02 и 13

лукови два велика круга који, с обзиром да су мимоилазни, имају две заје-

дничке нормале (и саме велики кругови). Ове заједничке нормале остају

очуване са оба полуобртаја, а такође и са њиховим производом R2R1R4R3.

Зато су они две осе ове двоструке ротације; а два растојања између великих

кругова 02 и 13, мерена дуж ових оса, су 12

1 и 2

2

1 (у ознакама табеле на

страни 196 (овог превода)). Како ортошем нема тупих углова, то он садржи

16

лукове који мере апсолутно најкраће растојање h

1

2

1. Према томе, "пр-

ва" оса је екватор дуж које су h2 тетраедара нанизани као перле на огрли-

ци, или као "ротирајући прстен тетраедара" (Бол 1, стр. 153, где се, ипак,

прећутно претпостављало да су тетредри правилни, осим у фусноти).

Аналогно уређење у Еуклидовом ханикомбу 4,3,4 је бесконачан низ те-

траедара 0123 чије су наспрамне ивице 02 и 13 изводнице хеликоида. (Ви-

дети Сл. 12.7Б, где "екватор", који је оса хеликоида, изгледа као испрекида-

на линија. Две наспрамне ивице сваког тетраедра су повезане завојним кре-

тањем које укључује ротацију за 3

1

2

12 .)

Да бисмо пребројали сфере рефлексије, размотримо парове дијаметра-

лно супротних тачака у којима оне пресецају један екватор. Свака тачка

204 ПРАВИЛНИ ПОЛИТОПИ § 12.7

ове врсте припада или једној од h ивица 02 или једној од h ивица 13. У оба

случаја, ивица припада двема ортогоналним сферама. Зато је укупан број

сфера h2 .

3

0 0 1 0

1 2

0 0 0

3 2 3

2 1

0 0 0

3

0 1 0 0

Сл. 12.7Б

Кад је 4n , аналогни закључак је да наспрамни елементи 024... и 135...

било којег од g карактеристичних симплекса 0123... имају заједничку нор-

малу (велики круг) који мери апсолутно најкраће растојање између њих.

Овај је екватор трансформисан у самог себе сваком од две конгруентне

трансформације периода 2: производ R2R4R6

. . . рефлексија у односу на

n

2

1 узајамно нормалних хиперравни рефлексија које садрже елемент

024... , и производ R1R3R5 . . .

рефлексија у односу на

nn

2

1узајамно нор-

малних хиперравни рефлексија које садрже наспрамни елемент 135... . Ко-

ристећи ове две трансформације на симплексу 0123... , добијамо два њему

17

суседна, један испред и један иза, у огрлици од вишедимензионалних пер-

ли нанизаних по екватору. Број перли у целој огрлици, као двоструки пери-

од производа

12.71 R2R4R6

. . . R1R3R5

. . . ,

је h2 . Јер је производ коњугован са R1R2R3 . . .

R n (Коксетер 5, стр. 602).

Врста досетке која је нужна у доказу постаће јасна из следећих детаља слу-

чаја кад је 6n . Писањем "~" за "који је коњугован са", и подсећајући да

је R k комутативан са свим R-овима осим са R 1k , имамо

R2R4R6R1R3R5 = R2R4R6R3 R5R1 ~ R1R2R4R6R3R5

= R4R6R5R1R2R3 ~ R1R2R3R4R6R5

= R6 R1R2R3R4R5 ~ R1R2R3R4R5R6.

Свака хиперсфера рефлексије пресеца овај екватор у паровима дијаме-

трално супротних тачака. Таква тачка припада или једном од h елемената

§ 12.8 ФОРМУЛА ЗА gh / 205

024... или једном од h елемената 135... . Број хиперравни рефлексија које

пролазе кроз тачку је

n

2

1 или

nn

2

1, редом. Зато је укупан број

сфера

nh2

1; и сада би 12

.61 било доказано, с озиром на страницу 201 ово је више

било потврђивање.

Како сваки екватор продире h2 од g карактеристичних симплекса, то

онда постоји h

g

2 екватора. Да бисмо пребројали 2n димензионалне

симплексе на које је хиперсфера рефлексије раздељена свим осталим, уоча-

вамо да сваки екватор сече хиперсферу рефлексије у паровима дијаметра-

лно супротних тачака које леже на елементима 024... или 135... . Зато је

тражени број 2n димензионалних симплекса (сваки садржи или еле-

мент 024... или елемент 135... , али не оба) једнак двоструком броју еквато-

ра, тј. g

h. Како се свака од ng ограничавајућих ћелија симплекса јавља дво-

струко у попису свих 2n димензионалних симплекса, ова разматрања

одређују упоредан доказ за 12.61: број хиперсфера рефлексије је

22

nh

h

g

ng .

12.8. РАЦИОНАЛНИ ИЗРАЗ ЗА

g

h У ЧЕТИРИ ДИМЕНЗИЈЕ. У четвороди-

мензионалном случају, укупна површина од h2 сфера рефлексије је h8 .

Како ове велике сфере разлажу хиперсферу на g карактеристичних тетрае-

дара, њихова укупна површина је исто тако једнака суми угловних ексцеса

од g2 сферних троуглова, сваки се јавља двоструко међу g4 страна од

g карактеристичних тетраедара. Како је сума свих углова од свих

18

троуглова 2

gпута већа од суме дванаест ивичних углова једног тетраедра

(видети стр. 124 (овог превода)), то онда можемо користити 4.92 да

добијемо

q

rp

gh rqrqrqqpqpqp 2

24

28 ,,,,,,

168

441010

42 rprqqp

g

rprqp

g 44212

8

,

одакле је

12.81

rprqp

g

h 44212

64 .

206 ПРАВИЛНИ ПОЛИТОПИ § 12.9

Ова је формула обећана на странама 119, 185, и 201 (овог превода). Како

је h

cos највећи корен једначине 12

.35, ова је алгебарска формула за

g

h

уствари тригонометријска формула за g . Она је према томе "елементарна",

у супротности са Шлефлијевим изразом

rqpf

,,

16

(видети стр. 126 овог превода). Шта више ову је формулу врло лако кори-

стити; на пр. Како је 305,3,3 h , то је онда

15

2

5

4

3

456312

1920

5,3,3

g

.

Ово се може сматрати као четвородимензионална аналогија од

12

p

p

g

h и 1

228

,

qpg qp

.

Петодимензионална аналогија,*

1111128816

,,,,,,,

srqppsggg srqrqpsrqp

,

је лако добијена применом 7.63 на

243210 NNNNN .

На основу 12.81, ово изражава srqpg ,,, као тригонометријску функцију од

,p q , r , s .

12.9. ИСТОРИЈСКИ ОСВРТ. У §§ 12

.1 и 12

.2 смо анализирали општу кон-

груентну трансформацију по поступку Шуте 1. У § 12.3 применили смо ове

резултате на производ рефлексија које изводе симетријску групу општег

19

правилног политопа. Период производа види се да је сагласан, у сваком по-

јединачном случају, са Тод 1, стр. 227-231. У другим аспектима §§ 12.3-12

.8

су нови, иако Шуте (4, стр. 275-279) долази врло близу 12.35 када изводи

формуле за два два растојања између парова наспрамних ивица оштег сфе-

рног тетраедра, и примењује их на карактеристичне тетраедре за 4,3,3 и

5,3,3 . Његови резултати у овим случајевима указују да су два растојања

између наспрамних ивица Р0Р2 и Р1Р3 12

1 и 2

2

1 .

Методе из §§ 12.3, 12

.5-12

.7 могу бити прилагођене још општијим група-

ма изведених рефлексијама (Коксетер 11; Штајнберг 2). Зато се производи

генератора тригоналних група (видети стр. 181 (овог превода)) завршавају

на следећи начин:

* Шлефли 4, стр. 117.

§ 12.9 П. Х. ШУТЕ 207

Група Једначина за 2

1cosX 1 , 2 , . . . h

13 n 0XU n 1

2

n

,

1

4

n

, . . . 1n

1,1,33 n 01 XXTn ,1n

1

3

n

, . . . 12 n

1,2,23 0141 2 yyy 24Xy 6

1,

3

2,

6

5 12

1,2,33 0396 23 yyyX 9

1,

9

5,

9

7 18

1,2,43 018147 234 yyyy 15

1, 15

7, 15

11,

15

13 30

Овде, као и раније, h означава период производа од n изведених рефле-

ксија (у било којем редоследу). Користећи правила i , ii и iii из § 12.5,

уочавамо да све групе 1,1,33 n ( n парно), 1,2,33 и 1,2,43 садрже централну

инверзију, док 1,1,33 n ( n непарно) и 1,2,23 не садрже. То онда из 12

.61 сле-

ди да је, у Штајнберговом изразу за број рефлексија (при крају стране 187

(овог превода)), фактор nyyy 21 једнак h .

У Првом издању, ова страница завршава са препоруком за неке читаоце

да изведу директан доказ "да број рефлексија (кад је 4n ) не може бити

мањи од h2 ". Представљена верзија у § 12.7 је заснована на Роберт Штајн-

берговом одговору на овај изазов. Суштинска идеја, коју сам ја пропустио

да искористим, је, да је "трансформација Питријевог полигона" R1R2 . . .

R

n коњугована производу 12.71 од две трансформације периода 2. Ово би

омо-гућило да користимо "екваторе" не само кад је 3n већ и за све

вредности од n .

20

Чини се погодним да завршимо ово поглавље са неколико речи о живо-

ту Питера Хендрика Шутеа. Рођен је 1846 год. у Вормерферу, Холандија.

Почео је своју каријеру као цивилни инжењер, али је 1870 год. добио док-

торску титулу у Лајдену са дисертацијом "Хомографија примењена на тео-

рију квадратних површи". После једанаест година учитељства он постаје

професор математике у Хронингену, где ради све до своје смрти 1913 год.

Његове непрекидне серије математичких новина (укључујући неких триде-

сет о политопима) започео је 1878 год. Рад о конгруентним трансформаци-

јама појавио се 1891 год. и од тог времена почиње пораст његовог интере-

совања за n димензионалну Еуклидову геометрију. Око 1900 год. Х. Шу-

берт га је замолио да напише неколико томова за његову Збирку матема-

тичких уџбеника (Шуте 4 и 6). Линеарни простори се појављују 1902 год. а

Политопи 1905 год. Ова дела су још увек "класична", иако се не могу лако

читати.