Raymond Smullyan

Mi a címe ennek a könyvnek?

Drakula rejtélye és más logikai feladványok

TYPOTEX Elektronikus Kiadó, Budapest, 1996A mű ered eti c í me:

© R . M . S mul l ya n: Wha t i s the na me o f thi s b o o k?

P ub l i s hed b y a rra ng ement wi th the o ri g i na l p ub l i s her, S i mo n & S c hus ter, I nc . Al l ri g hts res erved

© H ung a ri a n tra ns l a ti o n Typ o tex, 1996 Fo rd í to tta : Tö rö k Jud i t I S B N : 963 7546 64 2K i a d j a a Typ o tex El ektro ni kus K ö nyvki a d ó K ft. Fel el ő s ki a d ó : Vo ti s ky Zs uz s a A b o rí tó t és kö tés t tervez te: N émeth Já no s Terj ed el em: 9, 5 (A/5) í v

AJÁNLÁSLinda Wetzelnek és Joseph BevandSnak, felbecsülhetetlenül értékes tanácsaikért

TartalomElső rész Szórakoztató logika1. Hazugság? 132. Rejtvények és beugratok 17 Megoldások 213. Lovagokésiókötők 26 Megoldások 304. Alice a feledékenység erdejében 38 Megoldások 45Második rész Porfia ládíkái és más rejtélyek5. Port ia ládikáinak rejtélye 51 Megoldások 576. Craig felügyelő feljegyzéseiből 61 Megoldások 667. Hogyan kerüljük el a farkasembereket,és más prakt ikus tanácsok 71Megoldások 118. Logikai rejtvények 82 Megoldások 909. Bellini vagy Cellini? 97 Megoldások 102Harmadik rész Hátborzongató mesék10. Baal szigete 111 Megoldások 11611. A zombik szigete 120 Megoldások 12312. Él-e még Drakula? Megoldások127 135Negyedik rész A logika roppant szórakoztató dolog13. A logika és az élet *14. Hogyan bizonyítsunk bármit?15. A paradoxontól az igazságig 1616. Gödel felfedezése

KöszönetFlőször is barátaimnak, Róbert és Ilse Cowennek, valamint t ízéves kislányuknak, Lenorenek,akik - végigolvasván a kéziratot - sok hasznos javaslatot tet tek. (Megjegyzem, hogy Lenoremindvégig sejtet te a helyes választ a 4. fejezet kulcskérdésére, vagyis arra, hogy Subiditényleg létezik-e vagy csak Dingidungi találta őt ki.)Hálával tartozom Greer és Melvin Fit t ingnek (egy nagyon kedves és hasznos könyv, az „InPraise of Simple Things"szerzőinek) munkám iránt tanúsítot t érdeklődésükért , és azért , hogykönyvemre felhívták Oscar Collier figyelmét a Prent ice Hall kiadónál. Azt hiszem, Melvin-nekkülön meg kell köszönnöm, hogy meg is jelenik ebben a könyvben (ezzel cáfolvabizonyításomat, miszerint nem jelenhet meg!).Igen kellemes volt Oscar Collierrel és a Prent ice-Hall többi munkatársával dolgozni. Mrs IleneMcGrath szerkesztő sok olyan javaslatot tet t , amit hálásan elfogadtam. Köszönettel tartozomDorothy Lachmann-nak is, aki kiválóan lát ta el a nyomtatással kapcsolatos teendőket.Szeretném ismét megemlí teni Linda Wetzelt és Joseph Bevandót, akiknek könyvemetajánlot tam, és akik már a kezdet kezdetén szívvellélekkel könyvem mellé álltak.Feleségem, Blanche, sok kifogásával segítet t . Remélem, hogy ez a könyv lehetővé tesziszámára, hogy eldöntse, lovaghoz vagy lókötő-höz ment-e feleségül.

Szórakoztató logika1. Hazugság?1. Bolonddá tettek? Hatéves koromban kaptam az első leckét logikából, így történt: 1925.április l-jén betegen feküdtem az ágyban, megfáztam, vagy influenzás voltam, vagy valamihasonló. Reggel Emilé bátyám, aki 10 évvel volt idősebb nálam, bejöt t a szobámba és eztmondta: „Raymond, ma április elseje van, a bolondok napja, és én úgy bolonddá teszlek, mintmég soha!" Egész nap vártam, hogy becsapjon, de nem tet te. Késő este anyám megkérdezte,hogy miért nem megyek már aludni. „Várom, hogy Emilé becsapjon" - válaszoltam. Anyámekkor így szólt Emile-hez:„Emilé, volnál szíves becsapni a gyereket?" Emilé erre hozzám fordult , és a következőpárbeszéd hangzott el: Emilé: Szóval azt vártad, hogy becsaplak? Raymond: Igen. Emilé: Denem tet tem, ugye? Raymond: Nem. Emilé: De azt vártad, ugye? Raymond: Igen.Emilé: Hát akkor becsaptalak, nem?Emlékszem, hogy még lámpaoltás után is sokáig töprengtem az ágyban fekve azon, hogymost valóban becsaptak vagy sem. Egyrészt, ha nem csaptak be, akkor nem kaptam meg,amit vártam, vagyis becsaptak. (Ez volt Emilé álláspont ja.) Másrészt ezzel az erővel azt ismondhat juk, hogy ha becsaptak, akkor megkaptam, amit vártam, akkor pedig mivel csaptakbe? Szóval, becsaptak vagy nem?Erre most nem válaszolok, még többször visszatérünk rá a könyv folyamán. Az a nehezenmegragadható problémakör, amit ez a kérdés felvet , egyik fő témánk lesz.2. Hazudtam? Hasonló eset történt sok évvel később, mikor végzős hallgató voltam aChicagói Egyetemen. Hivatásos bűvészként dolgoztam akkoriban, de egy darabig elég rosszulment az üzlet , ezértvalamilyen jövedelemkiegészítés után kellet t néznem. Elhatároztam, hogy megpróbálokügynökként elhelyezkedni. Egy porszívókat árusí tó cégnél jelentkeztem. Először is ki kellet ttöltenem egy kérdőívet, hogy kiderüljön, alkalmas vagyok-e a munkára. Az egyik kérdés ezvolt : „Van-e kifogása az ellen, ha valaki kisebb hazugságokat mond néha?" Nos, akkoribanhatározottan volt kifogásom, különösen az ügynökök hazugságai ellen, akik félrevezetőenírták le portékáikat . Viszont úgy gondoltam, hogy ha őszintén bevallom ellenérzéseimet, akkornem kapom meg az állást . így hát hazudtam, és „Nincs"-et válaszoltam.Hazafelé menet feltet tem magamnak azt a kérdést, hogy vajon van-e kifogásom az ellen ahazugság ellen, amit az ügynökségnek mondtam. A válaszom az volt , hogy „Nincs". Na de haez ellen a konkrét hazugság ellen nincs kifogásom, akkor ebből az következik, hogy nemminden hazugság ellen van kifogásom, így a „Nincs" válasz a vizsgán igaz volt , nemhazugság!A mai napig sem teljesen világos számomra, hogy hazudtam vagy nem. Azt hiszem, a logikaazt kívánja, hogy azt mondjam, hogy igazat mondtam, mivel az a feltételezés, hogy hazudtam,ellentmondáshoz vezet. A logika tehát azt kívánja, hogy azt higgyem, igazat mondtam. Énviszont akkor úgy éreztem, hogy biztosan hazudok.Ha már hazugságokról van szó, el kell mesélnem Bertrand Russel és a filozófus G. E. Mooreesetét . Russel szerint Moore volt a legőszintébb ember, akivel valaha is találkozott . Egyszermegkérdezte Moore-t : „Hazudott ön valaha?" „Igen" - válaszolta Moore. Russel ezt í rja azesetről: „Azt hiszem, ez volt Moore egyet len hazugsága életében!"Esetem a porszívóügynökséggel felvet i azt a kérdést, hogy hazudhat-e valaki anélkül, hogytudna róla. Én „nem"-et válaszolnék. Szerintem nem az a hazugság, hogyha olyat állí tunk, amihamis, hanem ha olyat , amiről azt hisszük, hogy hamis. Ha valaki olyasmit mond, amitörténetesen igaz, de ő azt hiszi, hogy hamis, akkor szerintem hazudik.A következő esetet egy elmebetegségekről szóló tankönyvben olvastam. Egyideggyógyintézet orvosa azon gondolkodott , hogy szabadon engedje-e egyik skizofrénbetegét. Elhatározta, hogy előbb hazugságvizsgálatot végez. Az egyik kérdés ez volt : „ÖnNapóleon?" A beteg válasza: „Nem". A gép jelezte, hogy az illető hazudik.

Akövetkező történetet is olvastam valahol. Arról szól, hogy milyen megtévesztőén viselkednekidőnként az állatok. Csimpánzkísérletet vég ez t ek egy szobában, ahol a mennyezet közepéref el kö l o /i ek rr \ banánt. A banán túl magasan volt ahhoz, hogy el lehessen érni A s/obában acsimpánzon, a kutatón, a felkötözött banánon és néhány I ulönböző méretű fadobozon kívülsemmi nem volt . A kísérlet tel azt s/eret ték volna eldönteni, hogy elég okos-e a csimpánzahhoz, hogy egymásra rakja a dobozokat úgy, hogy építményére felugorva már elérje abanánt. A kutató a szoba sarkában állt , hogy figyelje, mi történik. A csimpánz odament hozzá,és izgatot tan rángatta a kabátujját , mint aki azt akarja, hogy vele menjen. A kutató lassankövette a csimpánzt. Amikor a szoba közepéhez értek, a csimpánz hirtelen felugrot t a vállára,és megkaparintot ta a banánt.3. A tréfa visszafelé sült el. Volt egy évfolyamtársam a Chicagói Egyetemen. Két öccse volt ,egy hatéves és egy nyolcéves. Gyakori látogató voltam náluk, és sokszor mutat tam bebűvésztrükköket a gyerekeknek. Egyik alkalommal ezt mondtam: „Tudok egy trükköt, amiveloroszlánná tudlak változtatni benneteket". Meglepetésemre, egyikük így szólt : „Oké,változtass minket oroszlánná." „Nos hát, hm,... szóval nem tehetem, mert nem tudnálakvisszaváltoztatni" - válaszoltam. Mire a kisebbik: „Nem bánom, akkor is azt akarom, hogyváltoztass minket oroszlánná." „De tényleg nem tudlak semmiképp visszaváltoztatni" -mondtam én. „Azt akarom, hogy változtass minket oroszlánná!" -üvöltöt t a nagyobbik. Aztán akisebbik megkérdezte: „Hogyan változtatsz minket oroszlánná?" „Kimondom a varázsigét" -válaszoltam. „Mi a varázsige?" - kérdezte egyikük. „Ha elárulnám a varázsigét" -feleltem -,„akkor kimondanám, és t i oroszlánná változnátok". Ezen egy kicsit elgondolkoztak, aztánegyikük megkérdezte: „És olyan varázsige nincs, ami visszaváltoztat minket?"„De van, csak aza baj, hogy ha kimondom az első varázsigét, akkor a világon mindenki - beleértve engem is -oroszlánná változik. Az oroszlánok pedig nem tudnak beszélni, így nem marad senki, akikimondhat ja a másik varázsigét, hogy visszaváltoztasson minket" - feleltem. „Akkor í rd le!" -mondta a nagyobbik. „De én nem tudok olvasni!" - mondta a kisebbik. „Nem, nem" - feleltem -,„szó sem lehet róla. Ha leírják, akkor még inkább, mint ha kimondanák, oroszlánná változik avilágon mindenki". „Oh" -mondták.Körülbelül egy héttel később összetalálkoztam a nyolcévessel.

„Smullyan, valamit szeretnék kérdezni tőled. Valamit , amit azóta sem értek" - mondta. „Mit?" -kérdeztem. „Te hogyan tanultad meg a varázsigét?"16 • S z ó ra ko z t a t ó l o g i ka

2. Rejtvények és beugratokA. NÉHÁNY RÉGI JÓ REJTVÉNYNéhány régi jó rejtvénnyel fogjuk kezdeni, amelyek már sok generációt elszórakoztat tak. Egyrészük eléggé ismert , de ezeken is csavartamegyet.4. Kinek a képét nézem? Ez a rejtvény rendkívül népszerű volt gyerekkoromban, de azthiszem, manapság kevésbé ismert . Érdekessége, hogy a legtöbb ember rossz választ ad rá, és(minden érvvel dacolva) kitart amellet t , hogy igaza van. Emlékszem egy esetre úgy ötven évvelezelőt t , amikor egy társaságban hosszú órákon keresztül vitatkoztunk erről a rejtvényről, ésazok, akik jól válaszoltak, egyszerűen nem tudták meggyőzni a többieket az igazukról. Akérdés a következő:Egy ember néz egy arcképet. Valaki megkérdezi tőle: „Kinek a képét nézed?" „Testvéremnincs" - válaszolja az ember -, „de ennek az embernek az apja az apám fia". („Ennek azembernek az apja" természetesen a képen levő ember apját jelent i.)Kinek a képét nézi?5. Tegyük fel, hogy a fent iek helyet t ezt válaszolja az illető: „Testvérem nincs, de ennek azembernek a fia az apám fia"!Most kinek a képét nézi?6. Mi történik, ha egy feltartóztathatat lan ágyúgolyó egy moz-díthatatalan oszlopnakütközik? Ez a kérdés is gyerekkoromból való, és nagyon szeretem. Feltartóztathatat lanágyúgolyón olyan ágyúgolyót értünk, ami mindent feldönt, ami az út jába kerül, mozdíthatat lanoszlopon pedig olyan oszlopot, amit semmi nem tud feldönteni. Szóval, mi történik, ha egyfeltartóztathatat lan ágyúgolyó egy mozdíthatat lan oszlopnak ütközik?7. Meglehetősen egyszerű kérdés következik, amit sokan ismernek. 1 luszonnégy piros éshuszonnégy kék zokni van egy fiókban, egy sötét2. R ej t vén yek és b eu g ra t o k • 17szobában. Legalább hány zoknit kell kivennem a fiókból ahhoz, hogy biztosan legyen legalábbkét azonos színű zoknim?8« Csavarunk egyet az előbbi kérdésen: Tegyük fel, hogy valahány kék és ugyanannyi piroszokni van egy fiókban, és tudjuk, hogy legalább annyi zoknit kell kivennem ahhoz, hogybiztosan legyen egy pár egyforma színű zoknim, mint amennyit ahhoz kell minimálisankivennem, hogy biztosan legyen két különböző színű zoknim. Hány zokni van a fiókban?9. Egy jól ismert logikai fejtörő következik. Tudjuk, hogy New Yorknak több lakosa van, mintahány hajszál bármelyik lakos fején, és hogy senki sem teljesen kopasz. Következik-e ebből,hogy kell lennie legalább két lakosnak, akinek pontosan ugyanannyi hajszála van?Egy kissé módosítot t változata a feladatnak: Podunk városában a következők igazak:1. Nincs két lakos, akinek pontosan ugyanannyi hajszála van.2. Senkinek nincs pontosan 518 hajszála.3. Több lakos van, mint ahány hajszála bárkinek is. Legfeljebb hány lakosa lehet Podunknak?10. Ki a gyilkos? Ez a történet egy karavánról szól, amely a Szaharán vonult át . Egyik éjszakasátrakat állí tot tak fel. Három főszereplőnk A, B és C. A gyűlölte C-t , és elhatározta, hogymegöli őt úgy, hogy mérget tesz a kulacsába (C csak innen juthatot t vízhez). Et től teljesenfügget lenül B is elhatározta, hogy megöli C-t , így (anélkül, hogy tudta volna, hogy C vize mármérgezett) kicsiny lyukat ütöt t C kulacsán, hogy a víz lassan elfolyjon belőle. Emiatt C néhánynappal később szomjan halt . Kérdés, hogy ki volt a gyilkos, A vagy B? Egyrészt B volt a gyilkos,hiszen C sohasem ivot t a méregből, amit A tet t a kulacsába, így akkor is meghalt volna, ha Anem mérgezte volna meg a vizét . Másrészt A volt az igazi gyilkos, mivel B tet te semmiféle

hatással nem volt a végeredményre; A megmérgezte C vizét , ezzel halálra í télte C-t , aki akkoris meghalt volna, ha B nem üt i a lyukat.Melyik okoskodás a helyes?Ismerik a viccet a favágóról, aki a Közép-Keletről jöt t , hogy munkát keressen egy fatelepen?„Nem tudom, hogy ez a munka megfelel-e önnek? Fákat vágunk ki" - mondta a munkavezető.„Éppen ez az,.miihez értek" - válaszolta a favágó. „Rendben van" - mondta erre a munkavezető -, „it t egyfejsze, nézzük, mennyi idő alat t vágja ki ezt a fát". A favágó odament a fához és egycsapással ledöntöt te. „Oké" -mondta meglepődve a munkavezető -, „most próbálja meg azt anagyobbat!" A favágó odament a fához, - piff, puff - két csapás, és a fa a földön feküdt.„Fantaszt ikus!" - kiáltot ta a munkavezető. „Természetesen felvesszük, de árulja el, hol tanultmeg így fát vágni?"„Ó - válaszolta a favágó -, „sokat gyakoroltam a Szahara erdőségben". Amunkavezető gondolkodott egy darabig. „Úgy ért i, hogy a Szahara sivatagban?" - kérdezte.„Igen" - válaszolta a favágó, „most már az!"11. Még egy jogi kérdés. Két ember állt a bíróság előt t gyilkosságért . Az esküdtek az egyiketbűnösnek találták, a másikat nem. A bíró a bűnöshöz fordult , és így szólt : „Ez a legfurcsábbeset, amivel valaha is találkoztam! Bár az Ön bűnössége kétségtelenül bebizonyosodott , atörvény arra kényszerí t , hogy szabadon engedjem".Hogyan magyarázza ezt?12. Két indián. Két amerikai indián ült egy fatörzsön - egy nagy indián és egy kis indián. A kisindián fia volt a nagy indiánnak, de a nagy indián nem volt az apja a kis indiánnak.Hogyan magyarázza ezt?13. Az éra, amely megállt . íme egy csinos kis régi rejtvény: Egy embernek más órája nemvolt , mint egy pontos faliórája, amit néha elfelejtet t felhúzni. Egyik ilyen alkalommal elment abarát jához, vele töltöt te az estét , majd hazament, és beállí tot ta az órát . Honnan tudta apontos időt anélkül, hogy előzőleg tudta volna az út időtartamát?14. Medvés feladat A feladat érdekessége, hogy sokan már hallot ták és ismerik a választ , deválaszuk indoklása nem kielégítő. Ha tehát Ön úgy gondolja, hogy tudja a választ , akkor isnézze meg a biztonság kedvéért a megoldást.Egy ember 100 yarddal délre van egy medvétől. 100 yardot megy kelet felé, aztán északnakfordul, elsüt i a puskáját észak felé, és eltalálja a medvét.Milyen színű volt a medve?B.BEUGRATÓKAmikor még nem döntöt tem el; hogy milyen címet adok ennek a könyvnek, ilyenek fordultakmeg a fejemben: „Szórakoztató logika", „Logikai rejtvények és fejtörők"és más effélék. De nemvoltam velük valami elégedett . Ekkor elhatároztam, hogy Roget Thesaurus*-ához fordulok,kikerestem a „Rejtvény" címszót. Ez a 840-es bekezdéshez, a „Szórakoztató" címszóhozirányítot t , ahol ilyen utalásokat találtam: „t réfa", „bolondozás", „vidámság", „móka", „jókedv",„mulatság", „bohóság", „bohóckodás", „hülyéskedés", „nevettetés". A következőparagrafusban pedig ezeket: „játék", „pajkosságok", „ugrándozások", „csíny te vések",„kópéságok", „bolondságok", „beugratok"**. Amikor meglát tam a „beugratók"-at , felnevettem,és ezt mondtam a feleségemnek: „Figyelj, lehet, hogy a könyvem címe ,Beugratók' lesz!"Pompás cím, bár a könyv egészére nézve félrevezető, mivel legnagyobb részét aligha lehetbeugratásnak tekinteni. Viszont ennek a résznek a feladataira tökéletesen illik ez a cím, mintahogy ezt az Olvasó is hamarosan látni fogja.15* Két pénzérme. Két amerikai pénzérme*** összesen harminc centet ér, az egyik nemnickel. Milyen érmék?16* Ha valamennyire ismeri a katolikus vallást , biztos meg tudja mondani, hogy a katolikusegyház megengedi-e, hogy az ember feleségül vegye özvegye nővérét?17. Egy ember egy harmincemeletes ház huszonötödik emeletén lakott . Minden reggel(szombat és vasárnap kivételével) beszállt a liftbe, lement a földszintre, és elment dolgozni.Este hazajöt t , beszállt a liftbe, felment vele a huszonnegyedik emelet ig, és felsétált egyemeletet . Miért szállt ki a huszonötödik helyet t a huszonnegyedik emeleten?18. Nyelvtani kérdés. Azoknak, akiket érdekelnek a nyelvtani kér- I k: Hogyan helyes: a Nap

nyugaton kél vagy nyugoton kél?19. Menetrendi feladat* Egy vonat elindul Bostonból New Yorkba. Egy órával később elindulegy másik vonat New York-ból Bostonba. A két vonat sebessége pontosan ugyanakkora.Melyik vonat lesz közelebb Bostonhoz, amikor találkoznak?20. Lejtős kérdés Egy ház tetejének két felét nem szimmetrikusan illesztet ték össze, a tetőegyik fele 60°-os, a másik fele 70°-os szögben lejt . Tegyük fel, hogy egy kakas épp a tető éléretojik egy tojást ! A tető melyik oldalán fog a tojás legurulni?21. Hány 9-es? Egy utcában 100 épület van. Megkérnek egy címfestőt , hogy készítse el aszámtáblákat 1 -tői 100-ig. Ehhez számjegymatricákat kell vennie. Ki tudná számolni fejben,papír és ceruza nélkül, hogy hány 9-es számjegyre lesz szüksége?22. A lóversenypálya. Egy csigának másfél óra hosszat tart , hogy az óramutató járásávalmegegyező irányban végigmásszon a lóversenypályán. Ellenkező irányban ugyanez csak 90percet vesz igénybe. Mi okozhat ja ezt a különbséget?23. Kérdés a nemzetközi jogból. Ha éppen az Egyesült Államok és Kanada határán zuhanle egy repülőgép, melyik országban kell eltemetni a túlélőket?24. És ezt hogyan magyarázná? Egy bizonyos Mr. Smith és a fia, Arthur, autóval mentekvalahova. Karamboloztak, az apa azonnal meghalt , a fiút , Arthurt pedig súlyos sérülésekkelkórházba szállí tot ták. Az idős sebész egy pillantást vetet t rá, és így szólt : „Én nemoperálhatom, hiszen ez a fiam, Arthur!"Hogyan magyarázza ezt?25. És most! És most: mi a címe ennek a könyvnek?MEGOLDÁSOK4. Meglepően sok ember jut arra a helytelen következtetésre, hogy az illető a saját képét nézi.A képet néző ember helyébe képzelik magukat, és a következőképpen okoskodnak: „Miveltestvérem nincs, az apám fia csak én lehetek. Tehát a saját képemet nézem".Az okoskodás első része teljesen kifogástalan, ha testvérem nincs, akkor az apám fia valóbancsak én lehetek. De ebből nem következik, hogy a „saját képem" a jó válasz. Ha a feladatmásodik állí tása „ez az ember az apám fia" let t volna, akkor a „saját képem" let t volna aválasz. De a feladat nem így szólt hanem: „ennek az embernek az apja az apám fia", amibőlaz következik, hogy ennek az embernek az apja én vagyok (mivel az apám fia én vagyok). Haviszont ennek az embernek én vagyok az apja, ez az ember csak a gyerekem lehet. így a jóválasz a kérdésre az, hogy az illető a gyereke képét nézi.Ha van olyan Olvasó, akit még nem sikerült meggyőznöm (és biztos vagyok benne, hogysokukat nem), talán segít , ha ugyanezt egy kicsit át tekinthetőbb formában nézzük meg:1. Ennek az embernek az apja az apám fia. Helyettesí tsük „az apám fia" kifejezést a kevésbékörülményes „én vagyok"-kal. Ezt kapjuk:2. Ennek az embernek az apja én vagyok. Most már meggyőztem?5. A másik esetben, ahol „Testvérem nincs, de ennek az embernek a fia az apám fia", az aválasz, hogy az illető az apja képét nézi.6. A feladat feltételeiben logikai ellentmondás van. Logikailag lehetet len, hogy egyszerrelétezzen feltartóztathatat lan ágyúgolyó és mozdíthatat lan oszlop. Ha léteznefeltartóztathatat lan ágyúgolyó, akkor az definíció szerint kidöntene minden oszlopot, ami azút jába kerül, tehát nem létezhetne mozdíthatat lan oszlop. Ugyanígy, ha léteznemozdíthatat lan oszlop, akkor azt definíció szerint semmiféle ágyúgolyó sem tudná kidönteni,tehát nem létezhetne feltartóztathatat lan ágyúgolyó. Önmagában sem a feltartóztathatat lanágyúgolyó, sem a mozdíthatat lan oszlop léte nem vezet ellentmondásra, de ha azt állí t juk,hogy mindkettő létezik, az igen.A feladat nem nagyon különbözik at tól, mint ha ezt kérdeztem volna: „Van két ember, John ésJack. John magasabb Jacknél és Jack magasabb Johnnál. Ezt hogyan magyarázza?" A legjobbválasz ez lehetne: „Ön vagy hazudik, vagy téved".7. A legáltalánosabb rossz válasz a „25". Ha a kérdés úgy szólt volna, hogy „Hány zoknit kellkivennem ahhoz, hogy biztosan legyen legalábbI i különböző színű zoknim", akkor a 25 lenne a jó válasz. De i feladatban legalább két

egyszínű zokniról volt szó, így a jó válasz „három". Ha kiveszek három zoknit , akkor vagymind a három egyszínű (és ebben az esetben biztosan van legalább két egyszínűm), vagykettő egyszínű és a harmadik más színű, így megint van két egyszínűm.8. A válasz: négy9. Az első kérdésre „igen" a válasz. Hogy ezt belássuk, tegyük fel hogy New York-nakpontosan 8 millió lakosa van. Ha mindenkinek különböző számú hajszála lenne, akkor lenne 8millió különböző pozit ív egész s/ám, amelyek mindegyike kisebb, mint 8 millió. Ez lehetet len!A második kérdésre 518 a válasz! Ehhez tegyük fel, hogy több mint 518 lakos van, mondjuk520. Ekkor lennie kéne 520 különböző természetes számnak, amely mind kisebb, mint 520, ésegyik sem egyenlő 518-cal. Ez lehetet len, hiszen (beleértve a 0-t) pontosan 520 természetesszám van, ami kisebb 520-nál, így csak 519 olyan természetes szám van, ami különbözik 518-tól és kisebb 520-nál.Ja, és az egyik podunki lakosnak kopasznak kell lennie. Miért?10. Kétlem, hogy bármelyik okoskodás is „helyes"-nek vagy „hely-telen"-nek nyilvánítható: Azthiszem, hogy egy ilyen t ípusú kérdésnél az egyik vélemény ugyanannyira elfogadható, mint amásik. Személy szerint én azt hiszem, hogy ha valakit C gyilkosának tekinthetünk, akkor az A.Ha én volnék B védőügyvédje, akkor a bíróság előt t két dologra mutatnék rá: 1. megfosztani amérgezett víztől valakit , az semmiképp nem gyilkosság; 2. ha egyáltalán valami, akkorvalószínűleg éppen B cselekedete hosszabbítot ta meg C életét (ha nem is ez volt aszándéka), mivel a méreg valószínűleg gyorsabban öl, mint a szomjúság.Ekkor viszont A ügyvédje így válaszolhatna: „Hogyan is mond ha tná épeszű ember bűnösnek A-tméreggel elkövetet t gyilkosságban, amikor C soha nem ivot t semmiféle mérget?" Szóval ezegy fogas kérdés! Bonyolí t ja a dolgot az is, hogy nézhet jük morális szempontból, jogiszempontból és t isztán tudományos szempontból, az okozat fogalmának bevonásával.Morális szempontból nyilván mindketten bűnösek gyilkossági szándék bűntet tében, de egymegtörtént gyilkoss á g o t sokkal jobban elí télünk. Jogi szempontból nézve, nem tudom', ho g y atörvényszék hogyan döntene, lehet, hogy különböző esküdtszékek különbözőképpen. Ami pedig a tudományos szempontot illet i, már maga az okozatfogalma rengeteg kérdést vet fel. Azt hiszem, csak erről a problémáról egy egész könyvetlehetne írni.11. A vádlot tak sziámi ikrek voltak.12. A nagy indián a kis indián anyja.13. Amikor az illető elindult ot thonról, elindí tot ta az órát és feljegyezte, hogy mit mutat . Abarát jánál érkezéskor is és távozáskor is megnézte, hogy mennyi az idő, így tudta, hogymennyi ideig volt ot t . Hazaérve megnézte az órát , így tudta, hogy mennyi ideig volt távol.Ebből levonva azt az időt , amit a barát jával töltöt t , megtudta, hogy mennyi ideig tart az útoda-vissza a barát jához. Ennek az időnek a felét hozzáadva a barát jától való távozásidőpont jához megtudta, hogy valójában hány óra van.14. A medvének fehérnek kellet t lennie, mert csak jegesmedve lehetet t . A szokásosgondolatmenet szerint a medve csak az Északi-sarkon állhatot t . Nos, valóban ez az egyiklehetőség, de nem az egyet len. Az Északi-sarktól minden délre van, így ha a medve azÉszaki-sarkon áll, és a tőle 100 yarddal délre levő ember 100 yardot megy keletre, akkor északfelé fordulva ismét az Északi-sark lesz előt te. De mint mondtam, nem ez az egyet lenmegoldás. Valójában végtelen sok megoldás van. Lehetséges pl., hogy az ember egy olyanszélességi körön áll, közel a Déli-sarkhoz, aminek a kerülete éppen 100 yard, és a medve 100yarddal északra áll tőle. Ekkor ha az ember 100 yardot megy kelet felé, akkor a kör menténpontosan oda ér vissza, ahonnan elindult . Ez tehát egy második megoldás. De folytathat juk: haaz ember - valamivel közelebb a Déli-sarkhoz - olyan szélességi körön áll, aminek a kerülete 50yard, akkor amíg 100 yardot megy keletre, éppen kétszer halad végig a kör kerületén ésviszszatér oda, ahonnan indult . Ha még közelebb állna a Déli-sarkhoz, egy olyan szélességikörön, aminek a kerülete harmada a 100 yardnak, a körön háromszor végigsétálva érne visszaa kiindulási helyre. És így tovább, minden pozit ív n egészre. Tehát valóban végtelen sok olyanhely van a Földön, ami kielégít i az adott feltételeket.Mindegyik megoldásban a medve eléggé közel van az Északi vagj I vli-sarkhoz, tehát

jegesmedve*. Természetesen fennáll az a va l ó IXÍnűt len lehetőség, hogy egy tréfás kedvűember odavisz egy barnái n á l vét az Északi-sarkra, csak hogy bosszantsa a feladat szerzőjét .15. A válasz: egy negyed dolláros és egy nickel. Egyikük (nevezetesen a negyed dolláros) nemnickel.16. Hogyan vehetne feleségül egy halot t ember akárkit is?17. Apró termetű volt , így nem érte el a huszonötödik emelet gombját . Egyszer egy ismerősöm(aki nyilvánvalóan nem túl jó vicc-mesélő)egy összejövetelen elmesélte ezt a viccet. így kezdte: „Egy harmincemeletes házhuszonötödik emeletén lakott egy törpe..."18. A Nap történetesen keleten kel.19. Nyilvánvaló, hogy a két vonat egyforma messze van Bostontól, amikor találkoznak.20. A kakasok nem tojnak.21. Tizenkilenc.22. Nincs különbség; másfél óra az ugyanannyi, mint kilencven perc.23. Aligha kívánhat ja bárki is a túlélők eltemetését!24. A sebész Arthur Smith anyja volt .25. Sajnos már nem emlékszem pontosan a könyv címére, de ne aggódjanak. Biztos vagyokbenne, hogy előbb vagy utóbb eszembe jut .* An n a k p ersz e n em t ű i n a g y a va l ó sz í n ű ség e, h o g y a D él i -sa rk kö rn yékén j eg esm ed vével t a l á l ko z z u n k, h i sz en a j eg esm ed vékn ek a z Ész a ki -sa rk a t erm ész et es kö rn yez et ü k. (Af o rd í t ó .)

3. Lovagok és lókötőkA. A LOVAGOK ÉS LÓKÖTŐK SZIGETERejtvények hosszú sora szól egy szigetről, amelynek bizonyos lakói, a „lovagok", mindig igazatmondanak, míg a többiek, a „lókötők", mindig hazudnak. Feltesszük, hogy a sziget mindenlakója vagy lovag, vagy lókötő. Egy jól ismert rejtvénnyel fogom kezdeni, majd saját variációimkövetkeznek ugyanerre a témára.26. Ebben a régi feladatban három lakos - A, B és C - együtt álldogál egy kertben. Egy arra járóidegen megkérdezi A-t : „Ön lovag vagy lókötő?" Ő válaszol, de olyan érthetet lenül, hogy azidegen nem tudja kivenni, mit is mondott . Megkérdezi B-t : „Mit mondott A?" B válasza: „A aztmondta, hogy ő lókötő". Ekkor közbeszól C, a harmadik ember: „Ne higgyen B-nek, hazudik!"A kérdés az, hogy miféle B, ill. C?27. Amikor először találkoztam az előbbi feladattal, rögtön feltűnt , hogy C-nek semmifélelényeges szerepe nincs, ő csak afféle töltelék. Ugyanis ahogy B megszólal, rögtön tudjuk - Cnyilatkozata nélkül is -, hogy hazudik (1. a megoldást). A feladat következő változata ezt avonást szüntet i meg.Tegyük fel, hogy az idegen ahelyett , hogy azt kérdezné A-tól, hogy miféle, ezt kérdezi tőle:„Hány lovag van önök között?" O ismét érthetet lenül válaszol. Ekkor az idegen megkérdezi B-t : „Mit mondott A?" B válasza: „Azt mondta, hogy egy lovag van köztünk". Ekkor szól közbe C:„Ne higgyen B-nek, hazudik!"Most miféle B, ill. C?28. Ennek a feladatnak csak két szereplője van, A és B. Mindkettőjük - egymástól függet lenül -vagy lovag, vagy lókötő. A a következőt állí t ja: „Legalább egyikünk lókötő".Miféle A, ill. B?29. Tegyük fel, hogy A ezt mondja: „Lókötő vagyok, vagy B lovag Miiéle A, ill. B?30. Tegyük fel, hogy A ezt mondja: „Lókötő vagyok, vagy kettő meg kettő az öt". Mirekövetkeztetne ebből?31. Megint három szereplőnk van, A, B és C, mindegyikük - egymástól függet lenül - vagy lovag,vagy lókötő. A és B a következőket állí t ja:A: Mindnyájan lókötők vagyunk. B: Pontosan egy lovag van köztünk. Miféle A, B és C?32. Tegyük fel, hogy a fent iek helyet t A és B a következőket mondja: A: Mindnyájan lókötőkvagyunk.B: Pontosan egy lókötő van köztünk.Megtudhat juk ebből, hogy B miféle? És hogy C miféle?33. Tegyük fel, hogy A ezt mondja: „Én lókötő vagyok, de B nem az". Miféle A, ill. B?34. Megint három szereplőnk van, A, B és C, mindegyikük - egymástól függet lenül - vagy lovag,vagy lókötő. Két embert egyforma t ípusúnak mondunk, ha vagy mindketten lovagok, vagymindketten lókötők. A és B a következőket állí t ják:A: B lókötő.B: A és C egyforma t ípusú. Miféle C?35. Megint hárman vannak, A, B és C. A ezt mondja: „B és C egyforma t ípusú". Valakimegkérdezi C-től: „Egyforma t ípusú A és B?"Mit válaszol C?36. Saját kalandom. Most egy szokat lan rejtvény következik, ráadásul a való életből.Egyszer, amikor ellátogattam a lovagok és lókötők szigetére, találkoztam két lakossal, akik egyfa alat t heverésztek. Megkérdeztem egyiküket: „Lovag valamelyikük?" Ő válaszolt , és éntudtam, hogy mi a helyes válasz kérdésemre.Miféle volt az az ember, akit megkérdeztem, lovag vagy lókötő? És a másik? Biztosí thatomÖnöket, hogy elegendő információt adtam.a feladat megoldásához.37. Tegyük fel, hogy Ön látogat el a lovagok és lókötők szigetére. Találkozik két lakossal, akiklustán heverésznek a napon. Megkérdezi egyiküktől, hogy a másik lovag-e. Kap valamilyen

(igen-nem) választ . Ekkor megkérdezi a másiktól, hogy lovag-e az első. Kap valamilyen (igen-nem) választ .Szükségszerűen ugyanaz-e a két válasz?38. Edward vagy Edwin? Ezúttal csak egy lakossal találkozik, aki lustán hasal a napon. Öntudja, hogy az illető keresztneve vagy Edwin, vagy Edward, de nem emlékszik, hogy melyik.Ezért megkérdezi tőle a nevét, mire ő azt válaszolja, hogy „Edward".Mi az illető keresztneve?B. LOVAGOK, LÓKÖTŐK ÉS NORMÁLISAKUgyanilyen érdekes az a feladatt ípus, amelynek szereplői háromfélék lehetnek: lovagok, akikmindig igazat mondanak, lókötők, akik mindig hazudnak és normális emberek, akik holhazudnak, hol igazat mondanak. Következő néhány rejtvényem lovagokról, lókötőkről ésnormálisakról szól.39. Adott három ember, A, B és C. Közülük az egyik lovag, a másik lókötő, a harmadik pedignormális (nem feltét lenül ebben a sorrendben). A következőket állí t ják:A: Normális vagyok. B: Ez igaz.C: Nem vagyok normális. Miféle A, B és C?40. Egy szokat lanabb változat: Két ember, A és B, mindkettő -egymástól függet lenül - vagylovag, vagy lókötő, vagy normális, és a következőket állí t ja:A: B lovag.B: A nem lovag.Bizonyítandó, hogy legalább egyikük igazat mond, de nem lovag.41. Ezúttal A és B a következőket mondja A: B lovag.B: A lókötő.Bizonyítandó, hogy vagy egyikük igazat mond, de nem lovag, vagy \ ikük hazudik, de nemlókötő.42. Társadalmi osztályok. A lovagok, lókötők és normálisak szigetén a lókötőket tart ják azalsóbb, a normálisakat a közép-, a lovagokat a felsőbb osztálynak.Különösen kedvelem a következő feladatot : Adott két ember, A ésB, mindkettőjük - egymástól függet lenül - vagy lovag, vagy lókötő, vagy normális. Akövetkezőket állí t ják:A: Alacsonyabb osztálybeli vagyok, mint B. B: Ez nem igaz!Megtudhat juk ebből A vagy B osztályát? Megtudhat juk valamelyik állí tásról, hogy igaz vagyhamis?43. Adott három ember, A, B és C, közülük az egyik lovag, a másik lókötő, a harmadik normális(nem feltét lenül ebben a sorrendben). A és B a következőket állí t ja:A: B magasabb osztályból való, mint C. B: C magasabb osztályból való, mint A.Ekkor megkérdezik C-től: „Ki magasabb osztálybeli, A vagy B? Mit válaszol C?C. BAHAVA SZIGETEKBahava szigetén női egyenjogúság van, így a nők is lovagok, lókötők vagy normálisak. Asziget valamelyik régi uralkodója egyszer egy szeszélyes pillanatában azt a különös törvénythozta, hogy lovag csak lókötővel, lókötő pedig csak lovaggal házasodhat össze. (Emiattpersze normális csak normálissal kelhet egybe.) így bármelyik házaspárban vagy mindkettennormálisak, vagy egyikük lovag, másikuk lókötő. Akövetkező három történet Bahava szigeténjátszódik.44. Először egy házaspárral, Mr. és Mrs. A-val van dolgunk. A következőket állí t ják:Mr. A: A feleségem nem normális. Mrs. A: A férjem nem normális. Miféle Mr., ül. Mrs. A?45. Tegyük fel, hogy a fent iek helyet t ezt mondják:Mr. A: A feleségem normális. Mrs. A: A férjem normális. Más lenne a válasz?46. Ebben a feladatban két bahavai házaspár szerepel, Mr. és Mrs. A, továbbá Mr. és Mrs. B.Mikor megkérdezik őket, hárman közülük a következőket vallják: Mr. A: Mr. B lovag.Mrs. A: A férjemnek igaza van, Mr. B lovag.Mrs. B: Ez igaz, a férjem tényleg lovag.

Miféle a négy ember, és az állí tások közül melyek igazak?MEGOIDÁSOK26. Lehetet len, hogy akár lovag, akár lókötő azt mondja, hogy „Lókötő vagyok", mert egy lovagnem hazudhat ja, hogy lókötő, lókötő meg nem mondhat ja meg az igazat, miszerint ő lókötő.Tehát A semmiképpen nem mondhatta, hogy ő lókötő, vagyis B hazudott , amikor azt mondta,hogy A lókötőnek vallot ta magát. így B lókötő. Mivel C azt mondta, hogy B hazudik, és Btényleg hazudott , így C igazat mondott , tehát ő lovag. B tehát lókötő, C pedig lovag. (Azt,hogy A miféle, nem tudhat juk.)27. A válasz ugyanaz, mint az előbb, de az indoklás kicsit más.Az első észrevételünk az, hogy B és C csak ellentétes t ípusú lehet, mivel C ellentmondott B-nek. így kettőjük közül az egyik lovag, a másik lókötő. Ha A lovag lenne, akkor két lovag lenneköztük, és A nem hazudhatta volna azt , hogy csak egyikük lovag. Másrészt, ha A lókötő, akkorigaz, hogy pontosan egy lovag van köztük, de ekkor A, lévén lókötő, nem mondhatot t volnaigazat. Tehát A nem mondhatta azt , hogy egy lovag van köztük, így B lókötő, C pedig lovag.28. Tegyük fel, hogy A lókötő. Ekkor a „Legalább egyikünk lókötő" állí tás hamis (mivel a lókötőkhazudnak), tehát mindketten lovagok. Ha tehát A lókötő lenne, akkor lovagnak kellene lennie,ami lehetet len. Tehát A nem lókötő, hanem lovag. Emiatt állí tása igaz, így legalább az egyiküktényleg lókötő. Mivel A lovag, csak B lehet a lókötő. Tehát A lovag, B lókötő.29. Ez a feladat a logikai diszjunkció műveletével ismertet meg minket. 30 • S z ó ra ko z t a t ó l o g i ka

Ha adott kél tetszőleges állí tás,/? és q, akkor a „p vagy q" állítás azt jelent i, hogy p és qközül legalább az egyik (és lehet, hogy m i n d ket t ő ) Ha a „p vagy q" állí tás hamis, akkor p és qmindketten hamisak. Hl pl. azt mondanám, hogy „Esik az eső, vagy havazik", akkor haállí tásom nem igaz, nem igaz sem az, hogy esik az eső, sem az, hogy fuva/ik.A logikában így használjuk a „vagy"-ot , és így fogjuk használni ebben a könyvben is. Ahétköznapi életben néha ugyanígy használjuk I megengedve, hogy mindkét lehetőségteljesüjön), néha pedig az ún. „kizáró" értelemben, ami azt jelent i, hogy az egyik feltétel teljesül,a másik nem. Példa a kizáró vágyra, ha azt mondom, hogy „Vagy Bettyt veszem feleségül,vagy Jane-t". A két lehetőség kölcsönösen kizárja egymást, hiszen nem vehetem feleségülmindkét lányt . Másfelől, ha egy Főiskola tanrendje előírja, hogy egy elsőévesnek hallgatnia kellvagy egy év matematikát , vagy egy év idegen nyelvet, akkor nyilván nem akarják kizárni azt ,aki mindkettőt hallgat ja! Ez a „megengedő" c\ telmű „vagy", és mi végig ezt fogjuk használni.Egy másik fontos tulajdonsága a diszjunkciónak („megengedő vagy"-nak) a következő:Tekintsük a „p vagy q" állí tást , és tegyük fel, h o g y igaz! Ekkor ha p hamis, g-nak igaznak kelllennie (mivel legalább egyikük igaz, ha p hamis, csak q lehet az igaz). Tegyük fel pl., h o g y igaz,hogy „Esik az eső vagy havazik" de nem igaz, hogy esik! Ekkor igaznak kell lennie annak,hogy havazik.A továbbiakban a diszjunkció fent i tulajdonságait fogjuk kihasználni. A diszjunktív kijelentésttet t : „Lókötő vagyok, vagy B lovag". Tegyük fel, hogy A lókötő. Ekkor a fent i állí tás hamis. Ezekszerint az sem igaz, hogy A lókötő, és az sem, hogy B lovag. Vagyis ha A lókötő lenne, abbólaz következne, hogy nem lókötő, ami ellentmondás. Tehát A csak lovag lehet.Megállapí tot tuk, hogy A lovag. Ekkor állí tása igaz, azaz a következő két lehetőség közüllegalább az egyik teljesül: 1. A lókötő; 2. B lovag. Mivel az 1. lehetőség hamis (hiszen A lovag), a2. lehetőség teljesül, azaz B lovag. Tehát A és B mindketten lovagok.30. Az egyet len levonható következtetés az, hogy a feladat szerzőjenem lovag. Az igazságaz, hogy sem lovag, sem lókötő nem tehet ilyen kijelentést . Ha A lovag lenne, akkor az azállí tás, hogy „A lókötő, vagykettő meg kettő az öt", hamis lenne, hiszen A nem lókötő, és kettő meg kettő sem öt. így Alovag létére hamisat állítana, ami lehetet len. Másrészt ha A lókötő lenne, akkor az az állí tás,hogy „A lókötő, vagy kettő meg kettő az öt", igaz lenne, mivel az első fele, miszerint Alókötő, igaz. így A, aki lókötő, igazat állí tana, ami ugyanúgy lehetet len.Tehát a feladat feltételei ellentmondásosak (éppúgy, mint a feltartóztathatat lan ágyúgolyó ésa mozdíthatat lan oszlop esetében). Vagyis én, a feladat szerzője vagy tévedtem, vagyhazudtam. Arról biztosí thatom önöket, hogy nem tévedtem, ebből következik, hogy nem

vagyok lovag.A teljesség kedvéért szeretném megjegyezni, hogy életem során legalább egyszer igazat ismondtam már, így lókötő sem vagyok.31 • Először is A-nak lókötőnek kell lennie, mert ha lovag volna, akkor igaz lenne, hogymindhárman lókötők, így A is lókötő lenne. Vagyis ha A lovag lenne, akkor lókötő lenne, amilehetet len. Tehát A lókötő. Ekkor állí tása hamis, így legalább egy lovag van köztük.Tegyük fel, hogy B lókötő. Ekkor A és B mindketten lókötők, így C lovag (mivel legalább egyiküklovag). Ez azt jelentené, hogy pontosan egy lovag van köztük, vagyis B állí tása igaz. Ebből arraa lehetet len eredményre jutunk, hogy egy lókötő igazat mondott . Emiatt B-nek lovagnak kelllennie.Most már tudjuk, hogy A lókötő és B lovag. Mivel B lovag, állí tása igaz, így pontosan egy lovagvan köztük. Ez a lovag csak B lehet, ezért C-nek lókötőnek kell lennie. Tehát a válasz az, hogyA lókötő, B lovag, C lókötő.32. Azt nem tudjuk eldönteni, hogy B miféle, de bizonyítani tudjuk, hogy C lovag.Először is - ugyanolyan okokból, mint az előző feladatban - A-nak lókötőnek kell lennie. ígylegalább egy lovag megint van közöttük. Most B vagy lovag, vagy lókötő. Tegyük fel, hogylovag! Ekkor igaz, hogy pontosan egy lókötő van köztük. Ez az egyet len lókötő csak A lehet,így C lovag. Vagyis ha B lovag, akkor C is az. Ha viszont B lókötő, C akkor is csak lovag lehet,mivel (mint lát tuk) nem lehetnek mindhárman lókötők. Szóval C mindenképpen lovag.33. Először is A nem lehet lovag, mert ekkor állí tása igaz lenne, ami i lókötőnek kellene lennie.Tehát Alókötő. Ekkor állí tása h a m i s 111 í v lenne, akkor A állí tása igaz lenne. így B is lókötő. TehátA és i iiulket ten lókötők.34. legyük fel, hogy A lovag! Ekkor állí tása, miszerint B lókötő, igaz, i s B tényleg lókötő. EmiattB állí tása, hogy A és C egyforma t ípusú,11. 11111 s, így A és C különböző t ípusú. Vagyis C-nek lókötőnek kell lennie (RÜvel A lovag). Tehátha A lovag, akkor C lókötő.I la viszont A lókötő, akkor állí tása, miszerint B lókötő, hamis, így H lovag. Emiatt B állí tása,hogy A és C egyforma t ípusú, igaz. így C lókötő (mivel A az).Megmutattuk, hogy függet lenül at tól, hogy A lovag vagy lókötő, C mindenképpen lókötő. TehátC lókötő.35. Attól tartok, hogy ezt a feladatot csak esetszétválasztással lehet megoldani.Első eset: A lovag. Ekkor B és C tényleg egyforma t ípusú. Ha C lovag, akkor B is lovag, ígyegyforma t ípusú A-val. Ekkor C válasza, mivel igazat kell mondania, „igen". Ha C lókötő akkor Bis lókötő (mivel egyforma t ípusú C-vel), így más t ípusú, mint A. Ekkor C, mivel lókötő, hazudik,ezért válasza „igen".Második eset: A lókötő. Ekkor B és C különböző t ípusú. Ha C lovag, akkor B lókötő, tehátegyforma t ípusú A-val. így C, mivel lovag, „igen"-t válaszol. Ha C lókötő, akkor B (mivel mástípusú, mint C) lovag, vagyis más t ípusú, mint A. Ekkor C, lévén lókötő, nem mondhat ja meg azigazat, miszerint A és B különböző t ípusú, így válasza „igen".Tehát C válasza mindkét esetben „igen".36. Ahhoz, hogy megoldjuk ezt a feladatot , ki kell használnunk, hogy miután megkaptam aválaszt , én már tudtam a helyes választ kérdésemre.Tegyük fel, hogy a válaszoló - nevezzük A-nak - „igen"-t mondott . Tudhattam-e ebből, hogylegalább az egyikük lovag? Természetesen nem. Ugyanis lehetséges let t volna, hogy A lovag,és akkor igaz válasz volt az „igen" (ami tényleg igaz let t volna, hiszen legalább egyikük -nevezetesen A - lovag volt ), de az is lehetséges let t volna, hogy mindketten lókötők, amikor isA hazug válasza let t volna az „igen" (ami tényleg hazugság, hiszen egyikük sem volt lovag).Szóvalha A „igen"-t válaszolt volna, akkor nem tudhattam volna semmit . De mint mondtam, A válaszaután tudtam a választ . Tehát A csak „nemzet válaszolhatot t .Most már könnyen láthat ja az Olvasó, hogy miféle lehetet t A és a másik - akit nevezzünk B-nek -: ha A lovag let t volna, akkor nem let t volna igaz „nem" válasza, így A lókötő. Mivel „nem"válasza hamis, van köztük legalább egy lovag. Tehát A lókötő, B lovag.37. Igen, az. Ha mindketten lovagok, akkor mindketten igen-t válaszolnak. Ha mindketten

lókötők, akkor megint csak mindketten „igen"-t válaszolnak. Ha egyikük lovag, másikuk lókötő,akkor a lovag is és a lókötő is „nem"-et válaszol.38. Úgy érzem, jogom van időnként egy kis t réfára. A feladat kulcsa, hogy azt mondtam, hogyaz ember lustán hasal a napon. Vagyis az illető hasal a napon. Vagyis hasal*, azaz nemfeltét lenül mond igazat, tehát lókötő. Ebből következik, hogy a neve Edwin.39. Először is A nem lehet lovag, mert egy lovag semmiképp sem mondhat ja, hogy ő normális.így A vagy lókötő, vagy normális. Tegyük fel, hogy A normális! Ekkor B állí tása igaz lenne, így Bvagy lovag, vagy normális. De B nem lehet normális (mivel A az), ezért B lovag. Ebbőlkövetkezik, hogy C lókötő. De lókötő nem mondhat ja, hogy ő nem normális (mivel egy lókötőtényleg nem normális), így ellentmondásrajutot tunk. Tehát A nem lehet normális. Emiatt Alókötő. Ekkor B állí tása hamis, így B-nek normálisnak kell lennie (lókötő nem lehet, mert A az).Tehát A a lókötő, B a normális, így C a lovag.*

-> 40. A feladat érdekessége az, hogy nem tudhat juk, hogy A az, aki igazat mond, de nemlovag, vagy B az, aki igazat mond, de nem lovag, csak azt tudjuk bizonyítani, hogy legalábbegyikük ilyen tulajdonságú.A vagy igazat mond, vagy nem. Be fogjuk bizonyítani, hogy: 1. Ha igen, akkor A igazat mond,de nem lovag; 2. Ha nem, akkor B igazat mond, de nem lovag.1. Tegyük fel, hogy A igazat mond! Ekkor B tényleg lovag. EmiattB igazat mond, így A nem lovag. Vagyis ha A igazat mond, akkor ő az, aki igazat mond, de nemlovag.2. Tegyük fel, hogy A nem mond igazat! Ekkor B nem lovag. De B igazat mond, mivel A nemlehet lovag (hiszen A nem mond igazat), így ebben az esetben B igazat mond, de nem lovag.41. Megmutat juk, hogy ha B igazat mond, akkor ő nem lovag, és ha nem mond igazat, akkor Ahazudik, de nem lókötő.1. Tegyük fel, hogy B igazat mond! Ekkor A lókötő, aki természetesen nem mond igazat, ezértB nem lovag. így ebben az esetben B igazat mond, de nem lovag.2. Tegyük fel, hogy B nem mond igazat! Ekkor A igazából nem lókötő. De A természetesenhazudik B-ről, mivel B nem lovag, ha egyszer nem mond igazat. így ebben az esetben Ahazudik, de nem lókötő.42. Először is A nem lehet lovag, mert nem lehet igaz, hogy egy lovag alacsonyabb osztálybelilegyen akárkinél is. Tegyük fel, hogy A lókötő. Ekkor állí tása hamis, így nem alacsonyabbosztálybeli, mint B. Ekkor B is lókötő (mivel ha nem az volna, akkor A alacsonyabb osztálybelilenne, mint B). Vagyis ha A lókötő, akkor B is az. De ez lehetet len, mert B ellentmond A-nak, éskét ellentmondó állí tás közül nem lehet mindkettő hamis. így az a feltevés, hogy A lókötő,ellentmondáshoz vezet, emiat t A nem lókötő. Tehát A normális.És mi a helyzet B-vel? Nos, ha lovag lenne, akkor A (lévén normális) tényleg alacsonyabbosztálybeli lenne, mint B, így A állí tása igaz lenne, emiat t B állí tása hamis, és arra a lehetet leneredményre jutnánk, hogy egy lovag hazudik. Tehát B nem lovag. Tegyük fel, hogy B lókötő.Ekkor A állí tása hamis, így B-é igaz, vagyis ekkor lenne egy lókötő, aki igazat mond. Emiatt Blókötő sem lehet. Tehát normális.A és B tehát mindketten normálisak; A állí tása hamis, B állí tása igaz. Ezzel minden kérdésreválaszoltunk.43. 7. lépés: Először megmutat juk, hogy A állí tásából következik, hogy C nem lehet normális.Ha A lovag, akkor B tényleg magasabb osztálybeli, mint C, így B-nek normálisnak, C-neklókötőnek kell lennie. Ebben az esetben tehát C nem normális. Tegyük fel, hogy A lókötő!Ekkor B nem lehet magasabb osztálybeli, mint C, tehát B alacsonyabb osztálybeli, így B csaknormális, C pedig csak lovag lehet. Ezért ebben az esetben C megint csak nem normális. Aharmadik lehetőség, hogy A normális, de ebben az esetben C biztosan nem az (mivel A, B és Cközül csak egyik normális). Tehát C nem normális.2. lépés: Hasonló okoskodással következik B állí tásából, hogy A nem normális. Tehát sem A,sem C nem normális. Tehát B normális.3. lépés: Mivel C nem normális, vagy lovag, vagy lókötő. Tegyük fel, hogy lovag. Ekkor A lókötő(hiszen B normális), így B magasabb osztálybeli, mint A. Ekkor C, lévén lovag, igazat mond,miszerint „B magasabb osztálybeli, mint A". Másrészt, tegyük fel, hogy C lókötő! Ekkor A csak

lovag lehet, így B nem magasabb osztálybeli, mint A. Ekkor C, lévén lókötő, hazudik, és eztmondja: „B magasabb osztálybeli, mint A". Vagyis függet lenül at tól, hogy C lovag vagy lókötő,azt válaszolja, hogy B magasabb osztálybeli, mint A.44. Mr. A nem lehet lókötő, mert akkor a felesége lovag lenne, így nem lenne normális, vagyisMr. A állí tása igaz lenne. Hasonlóan, Mrs. A sem lehet lókötő. Emiatt egyikük sem lehet lovag(mert akkor házastársuk lókötő lenne), így mindketten normálisak (és mindketten hazudnak).45. Most is ugyanaz a válasz. Miért?46. Ki fog derülni, hogy mind a négyen normálisak, és mind a három állí tás hazugság.Először is Mrs. B-nek normálisnak kell lennie, mert ha lovag lenne, akkor a férje lókötő lenne, ésnem hazudhatna azt , hogy a férje lovag. Ha lókötő lenne, akkor a férje lovag lenne, de ekkornem mondana erről igazat. Emiatt Mrs. B normális. így Mr. B is normális. Ez azt jelent i, hogy Mr.és Mrs. A mindketten hazudnak, tehát egyikük sem lovag, és mivel nem lehetnek mindkettenlókötők, mindketten normálisak.

4. Alice a feledékenység erdejébenA. AZ OROSZIÁN ÉS AZ EGYSZARVÚMikor Alice belépett a Feledékenység Erdejébe, nem felejtet t el mindent, csak bizonyosdolgokat. Gyakran nem jutot t eszébe a neve, és leggyakrabban azt felejtet te el, hogy milyennap van. Az Oroszlán és az Egyszarvú súrűn látogatták az erdőt. Ezek ketten furcsateremtmények. Az Oroszlán minden hétfőn, kedden és szerdán hazudik, és a hét többi napjánigazat mond, az Egyszarvú pedig csütörtökön, pénteken és szombaton hazudik, és a hét többinapján igazat mond.47. Egy napon Alice összetalálkozott az Oroszlánnal és az Egyszarvúval, akik egy fa alat tpihentek. A következőket állí tot ták:Oroszlán: Tegnap hazudós napom volt . Egyszarvú: Tegnap nekem is hazudós napom volt .Ebből a két állí tásból Alice (aki nagyon okos lány volt ) meg tudta állapí tani, hogy milyen napvolt . Milyen nap volt?48. Egy másik alkalommal Alice csak az Oroszlánnal találkozott . Az a következőket állí tot ta:1. Tegnap hazudtam.2. Holnaputánután megint hazudni fogok. Milyen nap volt?49. A hét melyik napján lehetséges, hogy az Oroszlán a következő két kijelentést teszi:1. Tegnap hazudtam.2. Holnap megint hazudok.50. A hét melyik napján lehetséges, hogy az Oroszlán a következő kijelentést teszi: „Tegnaphazudtam, és holnap megint hazudni fogok". Vigyázat! A válasz nem ugyanaz, mint az előbb!B. SUBIDAM ÉS SUBIDUEgy hónapon át nem járt az Oroszlán és az Egyszarvú a Feledékenység Erdejében, valaholmáshol voltak. A koronáért mentek ölre.Subidam és Subidu viszont sűrűn látogatták az erdőt. Egyikük olyan volt , mint az Oroszlán,minden hétfőn, kedden és szerdán hazudott , a hét többi napján igazat mondott . Másikukolyan volt mint az Egyszarvú, csütörtökön, pénteken és szombaton hazudott , de a hét többinapján igazat mondott . Csakhogy Alice nem tudta, hogy melyikük olyan, mint az Oroszlán, ésmelyikük, mint az Egyszarvú. Hogy még rosszabb legyen a dolog, a testvérek annyirahasonlí tot tak egymásra, hogy Alice meg sem tudta különböztetni őket (kivéve, ha hímzettgallérjukat viselték, de ez ritkán fordult elő). Mindez nagyon zavarba ejtet te szegény Alice-t .íme Alice néhány kalandja Subidammal és Subiduval:51. Egy napon Alice együtt találta a testvéreket, akik a következőket állí tot ták:Egyik: Subidam vagyok. Másik: Subidu vagyok.Igazából melyikük volt Subidam és melyikük Subidu?52. Ugyanannak a hétnek egy másik napján a két testvér a következőket állí tot ta:Egyik: Subidam vagyok.Másik: Ha ez igaz, akkor én Subidu vagyok!Melyikük melyik?

53. Egy másik alkalommal Alice összetalálkozott a testvérekkel, és megkérdezte egyiküket:„Hazudsz vasárnaponként?" „Igen" - válaszolta az. Ekkor Alice feltet te a másiknak isugyanezt a kérdést. Mit válaszolt az?54. Egy másik alkalommal a testvérek a következőket állí tot ták: Egyik: 1. Szombatonhazudok.2. Vasárnap hazudok. Másik: Holnap hazudni fogok. Milyen nap volt?55. Egyik nap Alice csak az egyik testvérrel találkozott . Az a következőt állí tot ta: „Mahazudok, és Subidu vagyok".Melyikük volt?56. Tegyük fel, hogy a fent iek helyet t ezt mondta: „Ma hazudok, vagy Subidu vagyok".Megtudhat juk-e ebből, hogy melyikük volt?57. Egyik nap Alice mindkettőjükkel találkozott . A következőket állí tot ták:Egyik: Ha Subidam vagyok, akkor ő Subidu.Másik: Ha ő Subidu, akkor én Subidam vagyok.Megtudhat juk ebből, hogy melyikük melyik, és hogy milyen nap volt?58. Megoldódott a rejtély! E nevezetes alkalommal Alice három nagy rejtélyt oldott meg.Összetalálkozott a két testvérrel, akik vigyorogva álltak egy fa alat t . Alice remélte, hogy mostmajd rá fog jönni három dologra: 1. milyen nap van; 2. ket tőjük közül melyik Subidam; 3. vajonSubidam az Oroszlánra vagy az Egyszarvúra hasonlí t -e hazudo-zási szokásában (az azigazság, hogy ezt már régóta szeret te volna tudni).A két testvér a következőket állí tot ta:Egyik: Ma nincs vasárnap.Másik: Pontosabban hétfő van.Egyik: Holnap Subidunak hazudós napja lesz.Másik: Az Oroszlán tegnap hazudott .Alice tapsikolt örömében. A rejtély ezennel teljesen megoldódott . Mi a megoldás?C. KIÉ A CSÖRGŐ?Subidam és Subidu Egy órjás varjú szállt le épp, jól összeverekedtek, fekete, mint a kátrány,mert Subidam szólt : „Subidu, s a két hős feledte pőrét , szép csörgőm tönkretet ted!" ijesztőszárnya lát tán.*„Nagyszerű" - kiáltot t fel egyik nap diadalmasan a Fehér Király -,R ég i a n g o l g yerm ekvers. Tó t f a l u si I st vá n f o rd í t á sa .

„megtaláltam a csörgőt, és megcsináltattam. Nem ágy néz ki, mint egy új?"„Igen, tényleg" - válaszolta elismerően Alice „olyan újnak látszik, mintha ma csinálták volna.Még egy kisbaba sem tudná megmondani, hogy mi a különbség".„Hogy érted azt , hogy még egy kisbaba sem?" - mordult rá szigorúan a Fehér Király. - „Ez nemtúl logikus. Egy kisbaba persze hogy nem tudja elmondani, hogy mi a különbség, egy kisbabátólaligha várhatunk ilyesmit !"„Azt kellet t volna mondanod" - folytat ta a Király valamivel barátságosabban -, „hogy még egyfelnőtt sem tudná megmondani, hogy mi a különbség, még a világ legnagyobbcsörgőszakértője sem".„Akárhogyis" - tet te hozzá a Király -, „vegyük úgy, hogy ezt mondtad. A fontos az, hogyvisszaadjuk a csörgőt jogos tulajdonosának. Megtennéd ezt nekem?"„Ki a jogos tulajdonos?" kérdezte Alice.„Ezt igazán nem kellet t volna megkérdezned!" válaszolta türelmet lenül a Király. „Miért nem?" -érdeklődött Alice.„Mert egész világosan benne van a versben - amit biztosan ismersz -, hogy Subidam aztmondja, hogy Subidu tönkretet te szép csörgőjét , vagyis a csörgő természetesen Subidamé!"„Nem szükségképpen" - válaszolta Alice, aki egy kissé kötekedő hangulatban volt -, „bár jólismerem a verset és hiszek neki".„Akkor mi a baj?" - kiáltot ta a Király, még tanácstalanabbul, mint eddig.„Nagyon egyszerű" - magyarázta Alice. „Elfogadom, hogy amit a vers mond, az igaz. VagyisSubidam tényleg azt mondta, hogy Subidu tönkretet te a csörgőjét . De az, hogy Subidam ezt

mondta, még nem jelent i azt , hogy feltét lenül igaz is. Lehet, hogy Subidam ezt valamelyikhazudós napján mondta. Igazából, ahogy én látom, lehet, hogy épp az ellenkezője az igaz, ésakkor Subidam volt az, aki tönkretet te Subidu szép csörgőjét".„O, kedvesem" — válaszolta a Király vigasztalhatat lant -, „ez sosem jutot t volna eszembe.Hiábavaló volt minden jó szándékom".Szegény Király olyan elkeseredettnek látszott , hogy Alice azt hit te, mindjárt sírva fakad.„Semmi baj" - mondta Alice olyan biztatóan, ahogy csak tudta. - „Bízza csak rám a csörgőt,majd én megpróbálom kiderí teni, hogy ki a valódi tulajdonos. Va n már némi tapasztalatom azit teni hazugokkal és igazmondókkal, es kezdem kiismerni a fortélyát , hogyan kell bánni velük".„Bárcsak így lenne!" - mondta a Király b á na to s a n.

Most pedig elmesélem Alice kalandjait a csörgővel.59. Fogta a csörgőt, és elindult a Feledékenység Erdejébe, remélve, hogy legalább az egyiktestvért ot t találja. Legnagyobb örömére egyszer csak rábukkant mindkettőjükre, egy fa alat tvigyorogtak. Odament egyikükhöz, és szigorúan így szólt : „Tudni akarom az igazat! Kié acsörgő?" „Subidué" - válaszolt az illető. Alice gondolkodott egy kicsit , majd a másikhoz fordult :„Te ki vagy?" „Subidu" - válaszolta az.Alice nem emlékezett arra, hogy milyen nap van, de abban biztos volt , hogy nem vasárnap.Kinek adja Alice a csörgőt?60. Alice visszaszolgáltat ta a csörgőt jogos tulajdonosának, amit néhány nappal később amásik testvér ismét eltört . Ezúttal nem szállt arra a fekete varjú, hogy megijessze atestvéreket, így azok egymásnak estek, ütöt ték, verték egymást. Alice felkapta a töröt tcsörgőt, és amilyen gyorsan csak tudott , kiszaladt az erdőből.Valamivel később újra találkozott a Fehér Királlyal, és mindent elmesélt neki.„Nagyon érdekes" - mondta a Király. „Különösen az, hogy bár tudtad, hogy kinek add oda acsörgőt, azt még mindig nem tudjuk, hogy Subidamé vagy Subidué".„így igaz" - válaszolta Alice -, „de most mit tegyek?"„Semmi baj" - mondta a Király -, „könnyen meg tudom csináltatni megint".Betartva szavát, a Fehér Király tökéletesen megjaví t tat ta a csörgőt, és néhány nap múlvaodaadta Alice-nek. Alice kissé félve ment az erdőbe, tartva at tól, hogy a csata még folyik, de atestvérek ideiglenes fegyverszünetet kötöt tek. Alice csak az egyikükkel találkozott , akikimerülten hevert egy fa alat t . Alice odament hozzá, és megkérdezte: „Tulajdonképpen kié acsörgő?" „A csörgő igazi tulajdonosa ma hazudik" - hangzott a rejtélyes válasz.Mi az esélye annak, hogy ő a tulajdonos?61. Néhány nappal később Alice megint csak az egyik testvérrel találkozott , aki egy fa alat theverészett . Ugyanazt kérdezte mint a múltkor, és a válasz most így hangzott : „A csörgőtulajdonosa ma igazat mond".Alice ezen eltűnődött , szeret te volna tudni, mi az esélye annak, hogy a csörgő azé, akivelbeszélt .„Tudom, min gondolkodsz" - mondta Dingidungi, aki vélet lenül a közelben állt -, *,és az esélypontosan t izenhárom t izennégyed!"Hogyan jöt t rá Dingidungi erre a számra?62. Ezúttal Alice együtt találta a testvéreket. Megkérdezte egyiküket: „Tied ez a csörgő?"„Igen" - válaszolta az. Ekkor Alice megkérdezte a másikat: „Tied ez a csörgő?" Az válaszolt ,mire Alice odaadta valamelyiküknek a csörgőt.Az elsőnek vagy a másodiknak adta oda Alice a csörgőt?D. GRUFFACSÓR MESÉIAlice legfurcsább kalandja a Subi testvérekkel a következő volt : Egyik nap Dingidungiösszetalálkozott Alice-szel, és ezt mondta: „Gyermekem, szeretnék neked elmondani egynagy t itkot . A legtöbben nem tudják, de Subidunak és Subidamnak van még egy testvére,akinek neve Subidi. Távoli vidéken él, de alkalmanként idelátogat. Pontosan annyira hasonlí tSubidura és Subidamra, mint amennyire Subidu és Subidam hasonlí t egymásra".Ez a hír ret tenetesen összezavarta Alice-t . Egyrészt, mert az a lehetőség, hogy tényleg vanegy harmadik testvér, azt jelenthette, hogy minden eddigi következtetése helytelen volt , éslehet, hogy nem találta ki, hogy milyen nap volt , amikor ő azt hit te, hogy igen. De ami ennél isfontosabb, lehet, hogy egyáltalán nem a jogos tulajdonosnak adta vissza a csörgőt.

fontosabb, lehet, hogy egyáltalán nem a jogos tulajdonosnak adta vissza a csörgőt.Alice mélyen elmerült e kellemet len gondolatokban.Végül feltet t Dingidunginak egy okoskérdést: „Milyen napokon hazudik Subidi?" „Subidi mindig hazudik" - válaszolta Dingidungi.Alice elsétált , magában tűnődve:„Lehet, hogy az egészet csakDingidungi találta ki" - gondolta. „Nagyon gyanúsan hangzik." Mégsem hagyta nyugodni az agondolat , hogy igaz is lehet.Négy különböző beszámolóm van arról, hogy ezután mi történt, és el is mondom mindegyiket.Arra kérem az Olvasót, hogy két dolgot mindenképpen higgyen el: 1. Ha tényleg van egySubidamtól és Subi-dutól különböző egyén, aki látszat i a megkülönböztethetet len tőlük, akkorazt tényleg Subidinek hívják; 2 ha ilyen egyén létezik, akkor az tényleg mindig hazudik.Megjegyezaiém, hogy a második feltétel nem feltét lenül szükséges a következő rejtvénymegoldásához, de az utána következőhöz igen.63. Első változat . Alice egyedül találta az egyik testvért az erdőben, aki legalábbis úgynézett ki, mintha Subidam vagy Subidu lenne. Alice elmesélte neki Dingidungi történetét , majdmegkérdezte: „Ki vagy te valójában?" „Subidu vagy Subidam vagyok, és ma hazudós napomvan" válaszolta az rejtélyesen.Akérdés az, hogy vajon tényleg létezik Subidi, vagy csak Dingidungi találta ki?64. Második változat . Ebben a változatban Alice mindkét testvérrel találkozott (legalábbisúgy néztek ki). Megkérdezte az egyiket : „Ki vagy te valójában?" A következő választ kapta:Egyik: Subidi vagyok. Másik: Igen, őaz! Ön mire jut ebből?65. Harmadik változat . Ebben a változatban Alice csak egyikükkel találkozott . Az akövetkezőt állí tot ta: „Ma hazudós napom van". Ön mire jut ebből?66. Negyedik vált özet . Ebben a változatban Alice mindkét testvérrel találkozott (legalábbisúgy néztek ki), egy hétköznapon. Megkérdezte: „Tényleg létezik Subidi?" A következő választkapta:Egyik: Subidi létezik. Másik: Létezem. Ön mire jut ebből?Epilógus. Nos, vajon mi az igazság, létezik Subidi vagy nem? Négy ellentmondó változatotmondtam el arról, hogy mi is történt. De honnan a négy változat? Őszintén szólva, nemmagam találtam ki ezeket a történeteket, személyesen Gruffacsórtól hallot tam mindegyiket.Az Alice és Dingidungi között i beszélgetés valóban megtörtént, ezt maga Alice meséltenekem, és Alice mindig igazat mond. De a négy változatot arról, ami ezután volt , mindGruffacsór mondta el. Tudom, hogy Gruf-facsór ugyanazokon a napokon hazudik, mint azOroszlán (hétfőn, kedden és szerdán), és ezeket a történeteket négy egymást követőhétköznapon mesélte. (Tudom, hogy hétköznapok voltak, mert szombaton és vasárnaplustálkodom, az egész napot átalszom.) Ugyanolyan sorrendben mondta el ő is, ahogy én.Ezek után az Olvasó könnyen kiderí thet i, hogy vajon létezik-e tényleg Subidi, vagy Dingidungihazudott . Vajon Alice tudja, hogy létezik-e Subidi?MEGOLDÁSOK47. Az Oroszlán kizárólag hétfőn és csütörtökön, az Egyszarvú csak csütörtökön és vasárnapmondhat ja azt , hogy „Tegnap hazudtam". Emiatt a csütörtök az egyet len nap, amikormindketten mondhat ják.48. Az Oroszlán első állí tásából következik, hogy vagy hétfő, vagy csütörtök van. A másodikállí tásából következik, hogy nincs csütörtök. Tehát hétfő van.49. A hét egyik napján sem lehetséges! Csak hétfőn vagy csütörtökön mondhatta volna azelső állí tást és csak szerdán vagy vasárnap a másodikat. Tehát nincs olyan nap, amikormindkettőt mondhatta volna.50. Ez így teljesen más feladat! Jól szemléltet i a különbséget aközött , hogy két különállókijelentést teszünk vagy egyet, ami az előző kettő konjunkciója. Két tetszőleges X és Y állí tásesetén, ha az „Xés Y" állí tás igaz, akkor ebből természetesen következik, hogy X és Y külön-külön is igazak, de ha az „Xés Y" konjunkció hamis, abból csak az következik, hogy X és Yközül legalább az egyik hamis.A hét egyet len napja, amikor igaz lehet, hogy az Oroszlán hazudott tegnap, és holnap meginthazudni fog, a kedd (ez az egyet len nap, amit az Oroszlán két hazudós napja fog közre). Deaz a nap, amikor az Oroszlán ezt mondta, nem lehetet t a kedd, mert kedden ez az állí tás igaz,

és az Oroszlán kedden nem mond igazat. Mivel nincs kedd, az állí tás hamis, azaz az Oroszlánhazudott . Ez hétfőn vagy szerdán lehetet t .51. Ha az első állí tás igaz, akkor <> tényleg Subidam, így a Másik Subidu, és a második állí tásis igaz. 1 la az első állí tás hamis, akkor az Egyik Subidu és a Másik Subidam, így a másodikállí tás is hamis. Tehát vagy mindkét állí tás igaz, vagy mindkettő hamis. De mindkettő hamisnem lehet, mert a két testvér soha nem hazudik egyazon napon. Emiatt mindkét állí tásnakigaznak kell lennie. Vagyis az Egyik Subidam, a Másik Subidu, és a találkozás napja csakvasárnap lehet.52. Ez teljesen más tészta! A második állí tás biztosan igaz. Tudjuk, hogy ugyanannak ahétnek egy másik napján vagyunk, mint az előző feladatban, vagyis hétköznap van. Emiattnem lehet mindkét állí tás igaz, így az elsőnek hamisnak kell lennie. Tehát az Egyik Subidu, aMásik Subidam.53. Az első válasz nyilvánvaló hazugság, ezért hétköznapnak kell lennie. Emiatt a másiknakigazat, vagyis „nem"-et kellet t válaszolnia.54. Az Egyik 2. állí tása nyilvánvalóan hamis, így az 1. állí tás is hamis (mivel ugyanaznapmondta). Emiatt az Egyik nem hazudik szombaton, ezért a Másik az, aki hazudik szombaton.Ezen a napon a Másik igazat mond (mivel az Egyik hazudik). Emiatt hét fő, kedd vagy szerdavan. Ezek közül az egyet len nap, amikor igaz az, hogy holnap hazudni fog, a szerda. Tehátszerda van.55. Az állí tás biztos hamis (mert ha igaz volna, akkor ma hazudna, ami ellentmondás). Emiatt a„Ma hazudok" és a „Subidu vagyok" tagmondatok közül legalább az egyiknek hamisnak kelllennie. Az első tagmondat („Ma hazudok" ) igaz, így a második tagmondat hamis. Tehát azillető Subidam.56. Igen, meg. Ha ma hazudna, akkor az első tagmondat igaz lenne, emiat t a teljes állí tás igazlenne, ami ellentmondás. Tehát ma igazat mond. így állí tása igaz: ma hazudik, vagy ő Subidu.Mivel ma nem hazudik, ő Subidu.57. Mindkét állí tás nyilvánvalóan igaz, tehál VI tárnap van. Azt nem tudhat juk, hogy melyikükmelyik.58. Először is lehetet len, hogy vasárnap bármel) ikül i n hazudjon, és azt mondja, hogy nincsvasárnap. Emiatt ma nem lehet vasárnap. így az Egyik igazat mond, és (mivel nincs vasárnap)a Másik hazudik. A Másik szerint ma hétfő van, de hazudik, vagyis hétfő sincs.A Másik azt is hazudta, hogy az Oroszlán tegnap hazudott , emiatt valójában tegnap azOroszlánnak igazmondó napja volt . Ez azt jelent i, hogy tegnap csütörtök, péntek, szombatvagy vasárnap volt , így ma péntek, szombat, vasárnap vagy hétfő van. A vasárnapot és hétfőtmár kizártuk, tehát ma péntek vagy szombat van.Tudjuk, hogy Subidunak holnap hazudós napja lesz (mivel az Egyik, aki igazat mond, eztállí tot ta). Emiatt ma nem lehet szombat. Tehát ma péntek van. Ebből az is következik, hogySubidu szombaton hazudik, így ő az Egyszarvúra, Subidam pedig az Oroszlánra hasonlí t .Tudjuk már, hogy az Egyik ma, vagyis pénteken igazat mond, tehát ő Subidam. Ezzel mindenreválaszoltunk.59. Tegyük fel, hogy az első beszélő igazat mond. Ekkor a csörgő Subidué. A második biztoshogy hazudik (hiszen nincs vasárnap), vagyis igazából nem Subidunak hívják, ő Subidam. Ezekszerint az első beszélő Subidu, és övé a csörgő.Ha az első hazudik, akkor a csörgő Subidamé. A második most igazat mond, így tényleg őSubidu. Emiatt megint csak az elsőé a csörgő, mert ő Subidam. Tehát mindkét esetben azelsőé a csörgő.60. Semmi! Ha ugyanis igazat mond, akkor a csörgő tulajdonosa ma hazudik, tehát nem ő atulajdonos. Ha pedig hazudik, akkor a csörgő tulajdonosa ma igazat mond, így megint csaknem lehet ő a tulajdonos.61. Dingidunginak igaza volt ! Tegyük fel, hogy az illető hazudik! Ekkor a csörgő tulajdonosa manem mond igazat, tehát hazudik, vagyis a tulajdonossal beszélt Alice. De ha azt tesszük fel,hogy az illető igazat mond, akkor a csörgő tulajdonosa ma tényleg igazat mond. Ha hétköznapvan, akkor csak Alice beszélgetőtársa lehet a tulajdonos, ha pedig vasárnap van, akkor mamindkét testvér igazat mond, így bármelyikük lehet a tulajdonos.

Összegezve: ha hétköznap van, a kko r a beszélgetőtárs a tulajdonos, ha vasárnap van, akkoregyforma esélye va n a két testvérnek. Tehát 6,5 a 7-hez, vagyis 13/14 az esélye a nna k, hogy Alicea csörgő tulajdonosával beszélt .62. A megoldás kulcsa az, hogy Alice tudta, kinek adja a csörgőt. Ha a második „igen"-tválaszolt volna, a kko r egyikük hazudna a másikuk igazat mondana, így Alice nem tudhatná, hogykié a csörgő. De mint mondtam, tudta, ezért a második nem válaszolhatot t „igen"-t . Tehátvagy mindketten igazat mondtak, vagy mindketten hazudtak. Ez csak azt jelenthet i, hogymindketten igazat mondtak, és vasárnap volt . így Alice az elsőnek adta a csörgőt.63. Igen, Subidi biztos létezik, Alice éppen vele beszélt .Az illető azt állí tot ta, hogy a következő állí tások mindegyike igaz:1. O vagy Subidu, vagy Subidam.2. Ő hazudik ma.Ha igaza lenne, akkor az 1. és a 2.állí tás is igaz lenne, így 2. is igaz lenne, ami ellentmondás.Tehát hazudik, így az 1. és a 2. állí tás nem lehet egyaránt igaz. Nos, a 2. igaz (mivel mahazudik), emiat t az 1. nem lehet igaz.Vagyis ő sem Subidu, sem Subidam, tehát Subidi.64. Az nem lehet, hogy az Egyik tényleg Subidi (mivel Subidi mindig hazudik), ezért ő vagySubidu, vagy Subidam, és hazudik. Ekkor a Másik is hazudik. Ha a Másik Subidu vagy Subidamlenne, akkor Subidu és Subidam ugyanazon a napon hazudna, ami lehetet len. Emiatt a Másikcsak Subidi lehet.65. Ez a változat egyszerűen hazugság!66. Akárki is a Másik, állí tása biztosan igaz. (Azt hiszem, Descartes mutatot t rá, hogy bárki isállí t ja azt , hogy ő létezik, igazat mond; én még sosem találkoztam olyasvalakivel, aki nemlétezik.) Mivel a második állí tás igaz, és nincs vasárnap, az első állí tásnak hamisnak kell lennie,így ha ez a változat igaz, Subidi nem létezik.Az epilógus megoldása. A harmadik változat biztosan hamis, és egyik történetet semszombaton vagy vasárnap mondták. Az egyet len mód arra, hogy a négy történetet afeltételeknek megfelelően négyegymást követő nappal párosí tsuk az, hogy a harmadik történetet szerdán mesélték. így azutolsó változat csütörtökön hangzott el, ezért igaznak kell lennie. Tehát Subidi valójában nemlétezik! (Mellesleg teljesen biztos vagyok benne, hogy ha Subidi tényleg létezne, akkor LewisCarroll tudott volna erről.)Ami pedig Alice-t illet i, mivel a negyedik változat az egyet len, amely tényleg megtörtént, Alice-nek semmiféle nehézséget nem okozott annak felismerése, hogy ez az egész „Subidi-bonyodalom" alaptalan volt .

Második részPortia ládikái és más rejtélyek

5. Portia ládikáinak rejtélyeA. AZ ELSŐ MESE67a. Shakespeare Velencei kalmár-jában Port iának volt három ládiká-ja - egy arany, egyezüst és egy ólom -, amelyek egyikében Port ia képe jt ( fzöt t . Kérőjének választania kellet tegyet a ládikák közül, és ha elég i encsés (vagy elég bölcs) volt ahhoz, hogy a képettartalmazó ládikát11, i ssza, akkor igényt tarthatot t Port ia kezére. A ládikákon lévő egy-egy Felirat segítet te akérőt a bölcs választásban.Tegyük fel, hogy Port ia csupán intelligenciája és nem egyéb erényei alapján szeret te volnakiválasztani leendő férjét ! A következő felira-tokkal lát ta el ládikáit : /

Port ia annyit mondott kérőjének, hogy a három állí tás közül legfeljebb egy igaz. Melyik ládikátválassza a kérő?67b. Port ia kérője jól választot t , így hát összeházasodtak, és egész boldogan éltek -legalábbis egy ideig. Az idő múltával azonban Port iának a következő gondolata támadt: „Bár aférjem mutatot t némi intelligenciát , amikor a jó ládikát választot ta, a feladat nem volt elégnehéz. Nehezebb feladatot is adhattam volna, és akkor most igazán okos férjem lehetne". ígyhát azonnal elvált , és elhatározta, hogy szert tesz egy okosabb férjre. Ezúttal a következőfeliratokkal lát ta el a ládikákat:

Port ia annyit mondott kérőjének, hogy a három állí tás közül legalább egy igaz és legalább egyhamis. Melyik ládikában van a kép?Epilógus* A sors úgy hozta, hogy az első kérő éppen Port ia exférje volt , aki elég elmésnekbizonyult ahhoz, hogy megoldja ezt a feladatot is. így hát újra összeházasodtak. Port iáthazavit te a férje, majd a térdére fektet te és jól elnáspángolta. Port iának soha többé nemtámadtak bolondos gondolatai.B. A MÁSODIK MESEPort ia és férje ezek után boldogan éltek, amíg meg nem haltak. Amikor lányuk, Port ia II, akitezentúl csak Port iának fogunk hívni, fiatal nővé serdült , épp olyan okos és szép volt , mint amamája. Elhatározta, hogy ő is a ládikás módszerrel választ férjet magának. A kérőnek kétkérdésre kellet t megfelelnie ahhoz, hogy elnyerje Port ia kezét.68a. Az első kérdés. Ezúttal minden fedélen két állí tás volt , és Port ia annyit mondott , hogyegyik fedélen sincs egynél több hamis állí tás.

Melyik ládikában van a kép? 52 • P o rt i a l á d i ká i és m á s rej t él yek

68b. A második kérdés. Ha a kérő m eg f el el t az első kérdésre, akkor átvezették egy másik

szobába, ahol h á ro m ú j a b b ládika volt . Megint két mondat állt mindegyik fedélen. Port ia a n n yi t

mondott , hogy az egyik fedélen mindkét állí tás igaz, egy m á si ko n mindkettő hamis, a harmadikonpedig az egyik igaz, a másik h a m i s.

Melyik ládikában van a kép?

C. BELLINI ÉS CELLINIAz előző mese kérője jól megfelelt mindkét kérdésre, feleségül vet te Port iát , és boldogan éltek,amíg meg nem haltak. Amikor bájos kislányuk, Port ia III, akit ezentúl csak Port iának fogunkhívni, fiatal nővé serdült , épp olyan eszes és szép let t , mint mamája és nagymamája. O iselhatározta, hogy a ládikás módszerrel választ férjet magának. A kérőnek három kérdésrekellet t megfelelnie ahhoz, hogy elnyerje őt ! A kérdések igen szellemesek voltak. Visszatértnagyanyja öt letéhez, és kettő helyet t inkább csak egy állí tást í ratot t minden fedélre, de újöt let is volt a feladatokban: elmondta a kérőnek, hogy a ládikákat két híres firenzei kézműves,Bellini és Cellini készí tet te. Cellini mindig hamis, míg Bellini csak igaz feliratot tet t az általakészítet t ládikára.69a. Az első kérdés. Szokat lan módon, ennél a kérdésnél a kérőnek kétharmad volt azesélye (ha vakon választot t ), szemben az eddigi egyharmaddal. Kép helyet t most egy tőrt tet tPort ia az egyik ládikába, a másik két ládika üres volt . Ha a kérőnek sikerült üres ládikátválasztania, akkor megkaphatta a következő kérdést. A feliratok a ládikákon a következőkvoltak:

Melyik ládikát válassza a kérő?69b. A második kérdés. Ezúttal a kérőnek egyketted az esélye (ha vakon választ). Port iacsak két ládikát mutatot t , egy aranyat és egy ezüstöt , az egyikben Port ia képe volt (most nemvolt tőr). Ezeket a ládákat is Bellini és Cellini készí tet te. A feliratok:

Melyik ládikát válassza a kérő, hogy megtalálja a képet?69c. A harmadik kérdés. Ha a kérő megfelelt az első két kérdésre, akkor átvezették egymásik szobába, ahol egy arany-, egy ezüst és egy ólomládikát talált . Ezeket a ládákat is Belliniés Cellini készí tet te. Ezúttal a kérő esélye egyharmad volt (ha vakon választot t ). Port ia isméta képét rakta az egyik ládikába. A kérőnek 1. ki kellet t választania a képet tartalmazó ládikát ;2. meg kellet t mondania, hogy melyik ládikát ki készí tet te.A három felirat : "*

Mi a megoldás? 54 • P o rt i a l á d i ká i és m á s rej t él yek

D. A REJTÉLY: Ml VOLT A HIBA?70. A következő és egyben utolsó mese a legrejtélyesebb, és egy alapvetően fontos logikaijelenséget szemléltet .Az előző történet kérője megfelelt mindhárom kérdésre, és boldogan vette feleségül Port ia Ill-at . Let t sok gyerekük, unokájuk stb.Néhány generációval később Amerikában születet t egy leszármazott juk, aki annyirahasonlí tot t a régi Port iák képeire, hogy elnevezték Port ia N-nek - a továbbiakban mi csak

Port iának fogjuk hívni. Amikor Port ia fiatal nővé serdült , épp olyan okos és szép volt , mint azösszes többi Port ia. Ráadásul igen élénk és t réfálkozó természetű volt . Ő is elhatározta, hogya ládikás módszerrel választ magának férjet (ami a modern New York-ban bizonyszokat lannak számítot t , de ezt most hagyjuk).A kérdés, amit feladott , elég egyszerűnek tűnt; csak két ládikája volt , egy arany és egy ezüst,és az egyikben benne volt Port ia képe. A fedeleken a következő feliratok voltak:

Ön melyik ládikát választaná? Nos, a kérő a következőképpen okoskodott . Ha az ezüst ládikánlevő állí tás igaz, akkor tényleg pontosan egy állí tás igaz a kettő közül. Ez azt jelent i, hogy azaranyládikán levő állí tás hamis. Másrészt tegyük fel, hogy az ezüst ládikán levő állí tás hamis!Ekkor nem igaz az, hogy a két állí tás közül pontosan egy igaz. Ez azt jelent i, hogy vagymindkét állí tás igaz, vagy mindkettő hamis. Nem lehet mindkettő igaz (hiszen feltet tük, hogy amásodik hamis), ezért mindkettő hamis. Tehát az aranyládikán levő állí tás megint csak hamis.így függet lenül at tól, hogy az ezüst ládikán levő állí tás igaz vagy hamis, az aranyládikán levőállí tásnak hamisnak kell lennie. Emiatt a kép az aranyládikában van.„A kép az arany ládikában van!" jelentet te ki diadalmasan a kérő, ésfelnyitot ta annak fedelét . Legnagyobb megdöbbenésére a ládika üres volt ! A kábult kérőkijelentet te, hogy Port ia becsapta őt . „Én nem csalok'' nevetet t Port ia, és dölyfös, megvetőarckifejezéssel felnyitot ta az ezüst ládikát . Persze ot t volt a kép. Vajon mi a csuda volt rossz akérő okoskodásában7 „Hát igen" - mondta Port ia, aki szemmel láthatóan nagyon élvezte ahelyzetet -, „ugye nem jutot tál valami sokra az okoskodásoddal? De mivel roppant vonzófiatalembernek látszol, azt hiszem, adok még egy lehetőséget. Igazán nem kéne ezt tennem,de mégis! Hajlandó vagyok elfelejteni ezt a kérdést, és adok egy könnyebbet, ahol annak azesélye, hogy elnyersz engem, kétharmad, szemben az előbbi egyketted-del. A feladat Port ia IIIősöm egyik kérdésére emlékeztet . Ezt már biztosan meg tudod oldani!"így szólván átvezette a kérőt egy másik szobába, ahol három ládika volt , egy arany, egy ezüstés egy ólom. Port ia elmondta, hogy az egyikben egy tőr van, a másik ket tő üres. Ahhoz, hogyelnyerje őt , a kérőnek csupán ki kell választania az egyik üresét. A feliratok a következőkvoltak: '

(Hasonlí tsa össze ezt a feladatot Port ia III első kérdésével! Nem tűnik úgy, mint ha ugyanazlenne a feladat?)A kérő ezúttal mindent nagyon megfontolt . A következőképpen okoskodott : Tegyük fel, hogya 3. állí tás igaz! Ekkor a másik két állí tásnak hamisnak kell lennie, így a 2. is hamis, vagyisekkor a tőr az ezüst lá-dikában van. Másrészt, ha a 3. hamis, akkor lennie kell legalább két igazállí tásnak, amiből az egyik az 1. kell hogy legyen, így ebben az esetben a tőr azaranyládikában van. Az ólomládika mindkét esetben üres.így a kérő az ólomládikát választot ta, felnyitot ta a tetejét , és leg-56 • P o rt i a l á d i ká i és m á s rej t él yek

nagyobb megdöbbenésére ot t volt a tőr! Port ia nevetve kinyitot ta a másik két ládikát , és azoküresek voltak.Biztos vagyok benne, hogy az Olvasó örömmel hallja, hogy Port ia mindezek ellenérehozzáment kérőjéhez. (Ezt már régen, a kérdések előt t elhatározta, a feladatokat csakugralásnak szánta.) De még mindig megválaszolat lan a kérdés: Mi volt rossz a kérőokoskodásában?MEGOLDÁSOK67a. Az arany- és az ólomládikán levő állí tások ellentétesek, ezért az egyik biztos igaz. Mivel

67a. Az arany- és az ólomládikán levő állí tások ellentétesek, ezért az egyik biztos igaz. Mivela három állí tás közül legfeljebb egy igaz, az ezüst ládikán levő állí tás hamis, így a kép azezüst ládikában van.A feladat a következőképpen is megoldható: Ha a kép az aranyládikában volna, akkor két igazállí tásunk lenne (nevezetesen az aranyo s az ezüst ládikán levők), ami ellentmond a feltételnek.Ha a kép az ólomládikában volna, akkor megint csak két igaz állí tásunk lenne (most az ólom-és az ezüst ládikán). Tehát a kép az ezüst ládikában van.Mindkét megoldás jó, és ebből az is látszik, hogy sok feladatnál többféle megoldással is ellehet jutni ugyanarra az eredményre.67b. Ha a kép az ólomládikában volna, akkor mindhárom állí tás igaz lenne, ami ellentmond afeltételnek. Ha a kép az ezüst ládikában volna, akkor mindhárom állí tás hamis lenne, amimegint csak ellentmond a feltételnek. Emiatt a kép csak az aranyládikában lehet (és ekkor azelső két állí tás igaz, a harmadik hamis, ami megfelel a feltételnek).68a. Rögtön kizárhat juk az ólomládikát, mivel ha abban volna a kép, akkor az ólomládikánmindkét állí tás hamis lenne. A kép tehát vagy az arany-, vagy az ezüst ládikában van. Azarany- és az ezüst ládikán levő első állí tás ugyanazt mondja, ezért egyszerre hamisak vagyigazak. Ha mindkettő hamis, akkor mindkét második állí tás igaz, de nem lehet mindkettő igaz,hiszen ellentmondanak egymásnak. Tehát az első állí tások igazak, vagyis a kép nem lehet azaranyládikában. Ebből adódik, hogy a kép az ezüst ládikában van.68b. Ha a kép az aranyládikában van, akkor az arany- és az ezüst ládika fedelén egyaránt kéthamis állí tás van. Ha az ezüst ládikában van, akkor az ezüst- és az ólomládikán egyaránt egyigaz és egy hamis állí tás van.Tehát a kép az ólomládikában van (és az ezüst ládika fedelén mindkét állí tás igaz, az óloménmindkettő hamis, az aranyon pedig egy igaz, egy hamis).69a. Tegyük fel, hogy az ólomládikát Bellini készí tet te! Ekkor a rajta levő állí tás igaz, ezért amásik két ládikát Cellini készí tet te. Ez azt jelent i, hogy a rajtuk levő állí tások hamisak, így azezüst ládikán levő állí tás hamis, vagyis a tőr az ezüst ládikában van. Tehát ha az ólomládikátBellini készí tet te, akkor a tőr az ezüst ládikában van.Most tegyük fel, hogy az ólomládikát Cellini készí tet te! Ekkor a rajta levő állí tás hamis, ezértlegalább két ládikát készítet t Bellini. Ezek szerint az arany is és az ezüst is Bellini-ládika (mivelfeltet tük, hogy az ólom Cellinié). Ekkor az arany- és az ezüst ládikán levő állí tások igazak. ígyaz aranyládikán levő állí tás igaz, vagyis ebben az esetben a tőr az aranyládikában van.Egyik esetben sincs a tőr az ólomládikában, így a kérőnek az ólomládikát kell választania.69b. Ha az ezüst ládika Bellinié, akkor a rajta levő állí tás igaz, és ebben az esetben azaranyládika Cellinié. Most tegyük fel, hogy az ezüst ládika Cellinié! Ekkor nem igaz, hogypontosan egy ládika Bellinié. Ez azt jelent i, hogy az aranyládika Cellinié (mert ha Bellinié lenne,akkor igaz lenne, hogy pontosan egy ládika Bellinié). így akár Bellinié az ezüst ládika, akárCellinié, az arany biztosan Cellinié. Emiatt az aranyládikán levő állí tás hamis, tehát a kép azaranyládikában van.69c. Először megmutat juk, hogy az ólomládika Bellinié. Tegyük fel, hogy Cellinié! Ekkor a rajtalevő állí tás hamis, ami azt jelent i, hogy legalább két ládika Bellinié, ami csak az ezüst és azarany lehet. Ez lehetet len, hiszen a kép nem lehet egyszerre az aranyládikában is és azezüstben is. Tehát az ólomládika valójában Bellinié. Emiatt a rajta levő állí tás igaz, vagyislegalább két ládika Cellinié. Ez azt jelent i, hogy az arany- és az ezüst ládika egyaránt Cellinié.így mindkettőn hamis az állí tás, vagyis a kép nincs sem az arany-, sem az ezüst ládikában.Tehát a kép az ólomládikában van.70. A kérőnek rá kellet t volna jönnie, hogy ha sem a feliratok igaz vagy hamis voltáról, semigazságértékük összefüggéséről nem kap semmiféle útbaigazítást , akkor az állí tásoksemmitmondóak, a szóban forgó tárgy (kép vagy tőr, a feladatnak megfelelően) akárhol islehet. Vehetek annyi ládikát , ahányat csak akarok, belelehelek az egyikbe egy tárgyat, aztánakármilyen feliratot is rakhatok a ládikák fedelére, ezek a kijelentések semmit nem fognakjelenteni. így Port ia tényleg n em hazudott , ő csak annyit mondott , hogy a kérdéses tárgy b en n e

va n valamelyik ládikában, és ez minden esetben így is volt .Teljesen más let t volna a helyzet bármelyik korábbi Port i a-történet-ben, ha a tárgy nem let tvolna ot t , ahol a kérő szerint lennie kellet t . Ebben az esetben valamelyik régi Port ia hazudott

volna valahol (ahogy ezt hamarosan látni fogjuk).Másképpen nézve a kérdést, az volt a kérő hibája, hogy feltételezte, hogy mindegyik állí tásvagy igaz, vagy hamis. Nézzük meg jobban Port ia N első kérdését, a kél ládikával. Azaranyládikán levő állí tás „A kép nem ebben van" természetesen vagy igaz, vagy hamis, hiszena kép vagy az aranyládikában van, vagy nem. Történetesen igaznak bizonyult , mivel Port ia azezüst ládikába tet te a képet. Nos, feltéve, hogy Port ia az ezüst ládikába tet te a képet, azezüst ládikán levő állí tás igaz vagy hamis? Mindkét eset paradox! Tegyük fel, hogy igaz! Ekkorpontosan egy állí tás igaz, de mivel az első állí tás (az aranyládikán levő) igaz, az ezüst ládikánlevő állí tás hamis. Szóval ha igaz, akkor hamis. Másrészt tegyük fel, hogy az ezüst ládikán levőállí tás hamis! Ekkor az aranyládikán levő állí tás igaz (mert tényleg nem abban van a kép), azezüstön levő hamis, ami azt jelent i, hogy a két állí tás közül pontosan egy igaz. De azezüst ládikán levő állí tás pontosan ezt mondja, így igaznak kell lennie! Tehát akár azttételezzük fel, hogy az állí tás igaz, akár azt , hogy hamis, ellentmondásra jutunk.Tanulságos összehasonlí tani ezt a kérdést Port ia III második kérdésével, ahol szintén kétládika volt . Az aranyládika ugyanazt mondta, mint ebben a feladatban: „A kép nem ebben van",de az ezüst ahelyett , hogy „A két állí tás közül pontosan egy igaz", ezt mondta: „A két ládikaközül pontosan egyet készítet t Bellini". Az Olvasó nyilván tudni szeretné, hogy mi a lényegeskülönbség a két állí tás között , amikor tudjuk, hogy Bellini csak igaz állí tásokat í rt a ládákra,Cellini pedig csak hamisakat. Nos, a különbség bár árnyalatnyi, mégis alapvető. Az, hogy „A kétládika közül pontosan egyet készítet t Bellini", olyan állí tás, aminek vagy igaznak, vagyhamisnak kell lennie, ez egytörténet i állí tás a fizikai világról - vagy tényleg pontosan egy ládikát készítet t a ket tő közülBellini, vagy nem. Tegyük fel, hogy Port ia III feladatában az aianyládika helyet t az ezüstbentalálják meg a képet! Mire következtetne ebből? Arra, hogy az ezüst ládikán levő állí tás semigaz, sem hamis nem volt? Ez rossz következtetés lenne! Ez az állí tás, mint mondtam, vagyigaz, vagy hamis. A helyes következtetés az, hogy ha a kép az ezüst ládikában let t volna,akkor Port ia III hazudott volna, amikor Bellimről és Celliniről beszélt . Ezzel szemben a modernPort ia hazugság nélkül tehette a képet az ezüst ládikába, mivel az állí tások igazságértékérőlsemmit nem mondott .Az olyan állí tások igazságértékének teljes tárgyalása, amelyek önmaguk igazságértékérevonatkoznak, nehezen megragadható alapkérdése a modern logikának. A későbbifejezetekben még találkozni fogunk ilyen állí tásokkal.

6. Craig felügyelő feljegyzéseibőlA. CRAIG FELÜGYELŐ FELJEGYZÉSEIBŐLLeslie Craig, a Scot land Yard felügyelője készségesen hozzájárult néhány eseténekközzétételéhez azok kedvéért , akiket érdekel, hogy miként alkalmazható a logika a bűnügyekmegoldásában.71 • Egy egyszerű esettel kezdjük. Hatalmas mennyiségű árut loptak el egy áruházból. Atet tes (vagy tet tesek) autóval szállí tot ta (vagy szállí tot ták) el a zsákmányt. Három jól ismertbűnözőt vit tek be a Scot land Yardra kihallgatni, A-t , B-t és C-t . A következők derültek ki:1. A-n, B-n és C-n kívül senki nem vehetet t részt a rablásban2. C sosem dolgozik A (és eset leg más tet testársak) nélkül3. B nem tud autót vezetni.A bűnös vagy ártat lan? r72, Egy másik egyszerű eset, megint rablás. A-t , B-t és C-t kihallgat ták, és a következőkderültek ki:1. A-n, B-n és C-n kívül senki más nem vehetet t részt a rablásban.2. A sosem dolgozik legalább egy bűntárs nélkül.3. C ártat lan.B ártat lan, vagy bűnös?73. Ez már egy érdekesebb eset, a rablás Londonban történt. Három jól ismert bűnözőthallgat tak ki, A-t , B-t és C-t . A és C történetesen egypetéjű ikrek, és kevés ember tudja őketmegkülönböztetni. Mindhárom gyanúsítot tnak volt már priusza, és sok mindent lehetet t tudniróluk és szokásaikról. Az ikrek pl. meglehetősen félénkek voltak, és egyikük sem mert soha

róluk és szokásaikról. Az ikrek pl. meglehetősen félénkek voltak, és egyikük sem mert sohabűntárs nélkül dolgozni. B viszont igen merész volt , és mindig egyedül dolgozott . Néhányantanúsítot ták, hogy a rablás idején az ikrek egyikét inni lát ták Doverben egy bárban, de hogymelyiket , azt nem tudták.Feltéve, hogy A-n, B-n és C-n kívül más nem vehetet t e rablásban, ki ártat lan, és ki bűnös?74. „Mire következtet ezekből a tényekből?" kérdezte Craig felügyelő McPherson őrmestert .1. Ha A bűnös és B ártat lan, akkor C bűnös.2. C sosem dolgozik egyedül.3. A sosem dolgozik C-vel.4. A-n, B-n és C-n kívül senki más nem vehetet t részt a bűntényben, és legalább egyikükbűnös.Az őrmester megvakarta a fejét és így szólt : „At tól tartok uram, hogy nem sokra. Ön meg tudjaállapí tani ennyiből, hogy ki ártat lan és ki bűnös?"„Nem" - válaszolta Craig -, „de ahhoz ennyi is elég, hogy egyikük ellen vádat emeljünk". *Melyikük az, aki biztosan bűnös? p( j\ fz-o "l^'75. McGregor bolt jának esete. Mr. McGregor, egy londoni boltos, felhívta a Scot land Yardothogy kirabolták a bolt ját . Három gyanúsítot tat hallgat tak ki, A-t , B-t és C-t . A következőkderültek ki:1. A, B és C mindegyike járt a boltban a rablás napján, és senki más nem volt aznap a boltban.2. Ha A bűnös, akkor pontosan egy bűntársa volt .3. Ha B ártat lan, akkor C is az.4. Ha pontosan két tet tes volt , akkor A az egyik.5. Ha C ártat lan akkor B is az. x \ Vajon kit vádolt Craig felügyelő? C V £ A \ ^ <W!

76. A négy gyanúsított esete. Ezúttal négy gyanúsítot tat hallgat tak ki egy rablássalkapcsolatban, A-t , B-t , C-t és D-t . Biztos volt , hogy legalább egyikük bűnös, és hogy négyükönkívül senki más nem vehetet t részt a rablásban. A következők derültek ki:1. A biztosan ártat lan.2. Ha B bűnös, akkor pontosan egy bűntársa volt .3. Ha C bűnös, akkor pontosan két bűntársa volt .Craig felügyelőt főleg az érdekelte, hogy vajon D ártat lan vagy bűnös, mivel D különösenveszélyes bűnöző volt . Szerencsére a fent i tények elegendőek ennek eldöntéséhez. MnösJDvagy nem?B. MEG TUDJA FEJTENI?Craig felügyelő gyakran járt bírósági tárgyalásokra, még olyanokra is, amelyekben személyszerint nem volt érdekelt . Logikai gyakorlatnak tekintet te az it t megfigyelt eseteket, kíváncsivolt , hogy melyiket tudja megfejteni. íme néhány ilyen eset:77. Az ostoba védőügyvéd esete. Rablásban való részvétellel vádoltak egy embert . Az

ügyész, ifi. a védőügyvéd a következőket mondták:Ügyész: Ha a vádlot t bűnös, akkor volt bűntársa. Védőügyvéd: Ez nem igaz!Miért volt ez a lehető legrosszabb, amit csak mondhatot t a védőügyvéd?78. Ez és a következő eset három ember tárgyalásán történt, A-t , B-t és C-t rablásban valórészvétellel vádolták.Ezúttal a következő két tény derült ki:1. Ha A ártat lan, vagy B bűnös, akkor C bűnös.2. Ha A ártat lan, akkor C ártat lan. Megállapí tható-e valamelyikük bűnössége?79. Most a következők derültek ki:1. Hármuk közül legalább az egyik bűnös.2. Ha A bűnös, és B ártat lan, akkor C bűnösEnnyi bizonyíték nem elég ahhoz, hogy bármelyiküket is bűnösnek nyilvánítsuk, de ezekalapján ki tudunk választani két embert úgy, hogy ezek egyike biztosan bűnös. Melyik ket tőt?80. Ebben a még érdekesebb esetben négy vádlot t szerepel, A, B, C és D. A következőkderültek ki:

1. Ha A és B mindketten bűnösek, akkor C bűntárs.2. Ha A bűnös, akkor B és C közül legalább az egyik bűntárs.3. Ha C bűnös, akkor D bűntárs.4. Ha A ártat lan, akkor D bűnös.Kik azok, akik biztosan bűnösök, és kik azok, akiknek kétséges a bűnösségük?81. Ebben az esetben ismét négy vádlot t szerepel, A, B, C és D.Akövetkezők derültek ki:1. Ha A bűnös, akkor B bűntárs.2. Ha B b ű n ö s, akkor vagy C bűntárs, vagy A ártat lan.3. Ha I) ártat lan, akkor A bűnös, és C ártat lan4. Ha D bűnös, akkor A is az. Ki ártat lan, és ki bűnös?C. HAT EGZOTIKUS ESET82. Bölcs dolog volt ezt mondani? Egy kicsiny szigeten bűnténnyel vádoltak egy embert . Abíróság tudta, hogy a gyanúsítot t a lovagok és lókötők szigetével szomszédos szigetenszületet i és nevelkedett . (Emlékeztetőül: a lovagok mindig igazat mondanak, a lókötők mindighazudnak.) A vádlot t csak egyet len mondatot mondhatot t a saját védelmében. Gondolkodottegy darabig, majd ezzel a mondattal állt elő: „Aki ezt a bűntényt elkövette, lókötő".Bölcs dolog volt tőle, hogy ezt mondta? Segítet t vagy ártot t? Vagy mindegy volt?83. A bizonytalan ügyész esete. Egy másik alkalommal két vádlot t állt a sziget bíróságaelőt t . A legkülönösebb az volt az esetben, hogy az ügyészről köztudott volt , hogy lovag vagylókötő. A következőket mondta a bíróságon:1. X bűnös.2. X és Y nem bűnösök mindketten.Ha Ön is tagja lenne az esküdtszéknek, mire következtetne ebből? Tudna-e valamilyenkövetkeztetést levonni X vagy Y bűnösségére nézve? Mi a véleménye az ügyészigazmondásáról?84. Tegyük fel, hogy az előbbi helyzetben a fent iek helyet t az ügyész a következőket állí t ja:1. X vagy Y bűnös.2. X nem bűnös.Mire következtetne ebből?85. Tegyük fel, hogy ugyanebben a helyzetben a fent iek helyet t a következőket állí t ja azügyész:1. X ártat lan, vagy Y bűnös.2. X bűnös.Miit következtetne ebből?86. Ez az eset a lovagok, lókötők és normálisak szigetén történt, i Emlékeztetőül: a lovagokmindig igazat mondanak, a lókötők mindig hazudnak, a normálisak néha igazat mondanak,néha hazudnak.)A sziget három lakója állt a bíróság előt t , A, B és C. Köztudott volt , hogy a bűntényt hármukközül az egyik követte el. Azt is tudni lehe- i i i , hogy a bűnös lovag, méghozzá az egyet len lovaghármuk között . \ három vádlot t a következőket állí tot ta:A: Ártat lan vagyok.H: Ez igaz.C: B nem normális.Melyikük a bűnös?87. Ez a legérdekesebb eset. Némileg emlékeztet az előzőre, de valójában teljesen más. Ez isa lovagok, lókötők és normálisak szigetén játszódik.Az eset főszereplői a vádlot t , az ügyész és a védőügyvéd. Az első érdekessége az ügynek,hogy tudni lehetet t , hogy közülük az egyik lovag, a másik lókötő, a harmadik pedig normális, denem lehetet t tudni, hogy melyikük melyik. És ami még furcsább, a bíróság tudta, hogy ha avádlot t nem bűnös, akkor a tet tes vagy a védőügyvéd, vagy az ügyész volt . Azt is lehetet t

tudni, hogy a bűnös nem lókötő. Főszereplőink a következőket állí tot ták:Vádlott: Ártat lan vagyok.Védőügyvéd: Védencem tényleg ártat lan.Ügyész: Nem igaz, a vádlot t bűnös.Ezek az állí tások elég természetesnek hangzanak. Az esküdtek összeültek, de nem tudtakdöntésre jutni, a bizonyítékok nem voltak elegendőek. Mivel a sziget ez idő tájt brit gyarmatvolt , a kormány táviratozott a Scot land Yardnak, hogy ha lehet, küldjék el Craig felügyelőt ,hogy segítsen t isztázni az esetet .Craig felügyelő néhány héttel később meg is érkezett , és az esetet újratárgyalták. „A végéreakarok járni a dolognak" - mondta magában Craig felügyelő. Nemcsak azt szeret te volnamegtudni, hogy ki a bűnös, hanem azt is, hogy ki a lovag, ki a lókötő és ki a normális. Ezértelhatározta, hogy annyi kérdést tesz fel, amennyi csak kell ahhoz, hogy mindez t isztázódjon.Eloszol il megkérdezte az ügyésztől: „Vélet lenül nem ön a bűnös?" Az UgyéS2 válaszolt .Craig felügyelő gondolkodott egy darabig, majd megkérdezte B vádlot tat : „Bűnös az ügyész?"A vádlot t válasza után Craig felügyelő már mindent tudott . Ki volt a bűnös, ki a normális, kilovag, és k i lókötő?M EGO L D ÁS O K

71. Először is megmutat juk, hogy A és C közül legalább az egyik bűnös, a ugyanis B ártat lan,akkor nyilvánvaló, h o g y A vagy C bűnös, hiszen az 1. állí tás szerint A-n, B-n és C-n kívül senkinem lehet bűnös. Ha pedig B bűnös, akkor biztos volt bűntársa (mivel nem tud autót vezetni),így A-nak vagy C-nek megint csak bűnösnek kell lennie. Tehát A vagy C (akár mindkettő)bűnös. Ha C ártat lan, akkor A-nak kell bűnösnek lennie. Másrészt, ha C bűnös, akkor a 2. állí tásszerint A szintén bűnös. Tehát A bűnös.72. Ez még egyszerűbb. Ha A ártat lan, akkor mivel C ártat lan, B bűnös az 1. állí tás szerint . HaA bűnös, akkor a 2. állí tás szerint volt bűntársa, aki a 3. állí tás szerint nem lehetet t C, így csakB lehetet t . Vagyis B mindenképp bűnös.73. Tegyük fel, hogy B ártat lan! Ekkor az ikrek egyike biztos bűnös. Ennek az ikernek kellet t ,hogy legyen tet testársa, aki nem lehetet t B, így csak a másik iker lehetet t . De ez lehetet len,hiszen az ikrek egyike a rablás ideje alat t Doverben volt . Tehát B bűnös. És mivel B mindigegyedül dolgozik, az ikrek ártat lanok.74. B biztosan bűnös. Ez a következő okoskodások bármelyikével belátható.Első okoskodás: Tegyük fel, hogy B ártat lan! Ekkor ha A bűnös volna, akkor az 1. állí tásszerint C is bűnös lenne, de ez azt jelentené, hogy A együtt dolgozott C-vel, ami ellentmond a3. állí tásnak. Tehát A-nak ártat lannak kell lennie. Ekkor C az egyet len bűnös, ami ellentmond a2. állí tásnak. Vagyis B bűnös.Második okoskodás: a) Tegyük fel, hogy A bűnös! Ekkor az 1. állí tás szerint B és C nem lehetegyaránt ártat lan, ezért A-nak biztos volt bűntársa. Ez a bűntárs a 3. állí tás szerint nemlehetet t C, így biztos B volt . Vagyis ha A bűnös, akkor B is bűnös, b) Tegyük fel, hogy Cbűnös! lakkor a 2. állí tás szerint volt bűntársa, aki a 3. állí tás érint nem lehetet t A, így megintcsak B lehetet t , c) Ha sem A, sem C nem bűnös, akkor B biztosan az!75. Craig felügyelő McGregort vádolta azzal, hogy rablást jelentet t be, h o l o t t semmi ilyesmi nemtörtént! így okoskodott :Első lépés: Tegyük fel, hogy A bűnös! Ekkor - a 2. állí tás szerint -pontosan egy bűntársa volt .Ekkor B és C közül az egyik ártat lan, a i n .isik bűnös. Ez ellentmond a 3. és az 5. állí tásnak,mert a 3.-ból és az 5.-ből az következik, hogy B és C vagy mindketten bűnösek, vagymindketten ártat lanok. Tehát A ártat lan.Második lépés: Megint csak a 3. és az 5. állí tás szerint B és C vagy mindketten bűnösek, vagymindketten ártat lanok. Ha mindketten bűnösek volnának, akkor csak ők lennének bűnösek(mivel A ártat lan). Ekkor pontosan két bűnös lenne, amiből a 4. állí tás szerint az következne,hogy A bűnös. Ez ellentmondás, hiszen A ártat lan. Tehát H és C mindketten ártat lanok.Harmadik lépés: Megállapí tot tuk, hogy A, B és C mindnyájan ártat lanok. De az 1. állí tásszerint A-n, B-n és C-n kívül senki nem volt a boltban a rablás napján, így senki más nemkövethette el a rablást . Tehát nem volt rablás, és McGregor hazudott .

Epilógus. Szembesülve Craig megdönthetet len logikájával McGregor megtört , és bevallot ta,hogy tényleg hazudott , hogy felvehesse a biztosí tási pénzt.76. Ha B bűnös volna, akkor a 2. állí tás szerint pontosan ketten vettek volna részt arablásban. Ha C bűnös volna, akkor a 3. állí tás szerint pontosan három ember vet t volna részta rablásban. Ez a két eset nem állhat fenn egyszerre, ezért B és C közül legalább az egyikártat lan. A szintén ártat lan, így legfeljebb két bűnös van. Ezért C-nek nem lehetet t pontosankét bűntársa, így a 3. állí tás miat t C ártat lan. Ha B bűnös, akkor pontosan egy bűntársa van,aki csak D lehet (mivel A és C mindketten ártat lanok). Ha B ártat lan, akkor A, B és Cmindnyájan ártat lanok, ebben az esetben D-nek bűnösnek kell lennie. Tehát D bűnös.77. Az ügyész tulajdonképpen azt állí tot ta, hogy a vádlot t nem egyedülkövette el a bűntet tet . A védőügy véd tagadta ezt, ami egyenértékű azzal, mint ha aztmondta volna, hogy a vádlott fgycdtU I ovette el a bűntet tet .78. Ez nagyon egyszerű. Az 1. állítás szerint , hfl A ártat lan, akkor C bűnös (mivel ha Aártat lan, akkor az „A ál tat lan, * agy B bűnös állí tás igaz). A 2. állí tás szerint , ha A ártat lan,akkor C egyszerre bűnös és ártat lan, ami lehetet len. Tehát A biztosan bűnös,79. Ez a két ember B és C; legalább az egyikük bűnös. Tegyük fel ugyanis, hogy A ártat lan!Ekkor B vagy C - az 1 állí tás szerint bűnös. Másrészt tegyük fel, hogy A bűnös! Ha B bűnös,akkor biztos, hogy B és C közül legalább az egyik bűnös. De tegyük fel, hogy B ártat lan! EkkorA bűnös és B ártat lan, így a 2. állí tás szerint C-nek bűnösnek kell lennie, így megint csak Bvagy C bűnös.80. Először megmutat juk, hogy ha A bűnös, akkor C is az. Tegyük fel, hogy A bűnös! Ekkor a 2.állí tás szerint B vagy C bűnös.Ha tehát B ártat lan, akkor C bűnös. De tegyük fel, hogy B bűnös! Ekkor A és B mindkettenbűnösek, így az 1. állí tás szerint C is bűnös. Ezzel belát tuk, hogy ha A bűnös, akkor C is az. A3. állí tás szerint , ha C bűnös, akkor D is az. A kettőből együtt látható, hogy ha A bűnös, akkorD is az. Ezek szerint függet lenül at tól, hogy A bűnös vagy ártat lan, D-nek bűnösnek kell lennie.így D biztosan bűnös, a többiek bűnössége kétséges.81. A válasz az, hogy mindannyian bűnösek. A 3. állí tás szerint ha D ártat lan, akkor A bűnös. A4. állí tás szerint , ha D bűnös, akkor A is bűnös. Vagyis függet lenül at tól, hogy D ártat lan vagybűnös, A mindenképpen bűnös. Emiatt , az 1. állí tás szerint B is bűnös. A 2. állí tás szerint vagyC bűnös, vagy A ártat lan, de mivel már tudjuk, hogy A nem ártat lan, C-nek bűnösnek kell lennie.Végül a 3. állí tás szerint , ha D ártat lan, akkor C is ártat lan, de már bizonyítot tuk, hogy C nemártat lan, így D is bűnös. Tehát valamennyien bűnösek.82. Igen, bölcs dolog volt , ezzel t isztázta magát. Tegyük fel ugyanis, hogy a vádlot t lovag!Ekkor állí tása igaz, vagyis a bűnös lókötő, így a vádlot t ártat lan. Másrészt tegyük fel, hogy avádlot t lókötő. Ekkor állí tása hamis, vagyis a bűnöző lovag, így a vádlot t megint csak ártat lan.83. Tegyük fel, hogy az ügyész lókötő! Ekkor az 1. és a 2. állí tás m i iulegyike hamis. Mivel az 1.hamis, Xártat lan. Mivel a 2. hamis, X és i mindketten bűnösek, így X bűnös. Ez ellentmondás,tehát az ügyész lovag. így X tényleg bűnös, és mivel nem mindketten bűnösek, Y irtat lan.Tehát X bűnös, Y ártat lan, és az ügyész lovag.84. Ha az ügyész lókötő lenne, akkor egyrészt X és Y mindketten Ártat lanok lennének,másrészt X bűnös lenne. Ez megint ellentmondás, tehát az ügyész lovag, X ártat lan és Ybűnös.85. Megint tegyük fel, hogy az ügyész lókötő! Ekkor az 1. állí tás hamis, (gy X bűnös és Yártat lan. Ebből X bűnös. De a 2. állí tás is hamis, ezért V ártat lan, újra ellentmondás. Tehát azügyész megint lovag. Emiatt , a 2. állí tás szerint X bűnös. Ekkor az 1. szerint (mivel X nemártat lan) Y-nak bűnösnek kell lennie. Ezúttal tehát X és Y mindketten bűnösek.86. A nem lehet lovag, mert ha az volna, akkor bűnös volna, és nem hazudta volna, hogyártat lan. Lókötő sem lehet A, mert ha az volna, akkor állí tása hamis lenne, így bűnös lenne, dea bűnös, az lovag. Ezek miat t A normális, így ártat lan is. Mivel A ártat lan, B állí tása igaz. EmiattB nem lókötő; vagy lovag, vagy normális. Tegyük fel, hogy B normális. Ekkor C állí tása hamis,így C vagy lókötő, vagy normális. Ez azt jelent i, hogy A, B és C közül egyik sem lovag, amiellentmond a feltételeknek. Tehát B nem lehet normális, csak lovag, és így ő a bűnös.

ellentmond a feltételeknek. Tehát B nem lehet normális, csak lovag, és így ő a bűnös.87. Jelöljük A-val a vádlot tat , B-vel a védőügyvédet, C-vel az ügyészt. Craig érkezése előtt:Először is A nem lehet lókötő, mert ha lókötőlenne, akkor állí tása hamis lenne, így bűnös volna, ami ellentmond annak a feltételnek, hogy alókötő nem bűnös. Tehát A vagy lovag, vagy normális.Első lehetőség: A lovag. Ekkor állí tása igaz, ezért ártat lan. Ekkor B állí tása is igaz, ezért Bvagy lovag, vagy normális. De a lovag A, így B normális. Ezek szerint C a lókötő. Mivel tudjuk,hogy a lókötő nem bűnös, B a bűnös.Második lehetőség: A normális és ártat lan. Ekkor B állí tása megint igaz, ezért B lovag (mivel anormális A). így mivel A ártat lan, C, lévén lókötő, ártat lan, B a bűnös.Harmadik lehetőség: A normális és bűnös. Ekkor az ügyész állí tásaigaz, így az ügyésznek lovagnak kell lennie (normális megint nem lehet, mivel az A). Ezekszerint B a lókötő. Összegezzük ¿1 három lehetőséget:

1. 2. 3.

Vá d l o t t (A) Árt a t l a n l o va g Árt a t l a n n o rm á l i s Bű n ö s n o rm á l i s

Véd ő ü g yvéd (B) Bű n ö s n o rm á l i s Bű n ö s l o va g Árt a t l a n l ó kö t ó

Ü g yész ( .C ) Árt a t l a n l ó kö t ő Árt a t l a n l ó kö t ő Árt a t l a n l o va g

Mindhárom lehetőség megfelel a Craig érkezése előt t tet t állí tásoknak.Craig érkezése után: Craig megkérdezte az ügyésztől, hogy bűnös-e. Azt már tudta, hogyártat lan (hiszen mindhárom lehetőség szerint ártat lan az ügyész), így válaszából csak azttudhatta meg, hogy az ügyész lovag-e vagy lókötő. Ha az igazságnak „megfelelően „nem"-etválaszolt volna, akkor ebből kiderült volna, hogy lovag, és Craig tudta volna, hogy a 3.lehetőség az igazi, ezért nem tet t volna fel több kérdést. De az ügyész válasza után Craigmég tet t fel kérdést. Ezért az ügyész lókötő, és „igen"-t válaszol. így Craig (épp úgy, mint azOlvasó), kizárhatta a 3. lehetőséget, maradt az 1. és a 2. Ez azt jelent i, hogy a védőügyvéd abűnös, de azt még nem tudjuk, hogy a vádlot t és a védőügyvéd közül melyik a lovag és melyika normális. Craig megkérdezte a vádlot tat , hogy az ügyész bűnös-e, és miután megkapta aválaszt , mindent tudott . Egy lovagnak „nem"-et kell válaszolnia erre a kérdésre, míg egynormális válaszolhat „igen"-t is és „nem"-et is. Ha „nem" let t volna a válasz, Craig nemtudhatta volna, hogy a vádlot t lovag-e vagy normális. De tudta, tehát „igen" választ kapott . ígya vádlot t normális és az ügyvéd lovag (bár bűnös).

7. Hogyan kerüljük el a farkasembereket, és más praktikustanácsokEz a fejezet inkább a prakt ikus, mint a szórakoztató logikával foglalko z i k. Sok olyan helyzet vanaz életben, amikor jól jön egy-két öt let . Ezért most adok néhány részletes, lépésről lépésrekövethető tanácsot, amiből megtanulhat ják, hogy A. hogyan kerülhet jük el afarkasembe-reket az erdőben; B. hogyan választhatunk feleséget; C. hogyan védhet jükmagunkat a bíróság előt t ; D. hogyan vehetünk feleségül egy királylányt.Természetesen arról nem biztosí thatom Önöket, hogy találkozni is lógnak ilyen helyzetekkel,de mint ezt a Fehér Király oly bölcsen el magyarázta Alice-nek, nem árt mindenre felkészülni.A. Ml A TEENDŐ A FARKASEMBEREK ERDEJÉBEN?Tegyük fel, hogy Ön ellátogat egy erdőbe, ahol minden lakos vagy lovag, vagy lókötő!(Emlékeztetőül: a lovagok mindig igazat mondanak, a lókötők mindig hazudnak.) Ráadásulnéhány lakos farkasember, akiknek megvan az a kellemet len szokásuk, hogy éjszakánkéntnéha emberevő farkassá válnak. A farkasemberek is lovagok vagy lókötők.88. Ön három emberrel beszél, A-val, B-vel és C-vel, és tudja, hogy pontosan egyikükfarkasember. A következőket állí t ják:A: C farkasember.B: Nem vagyok farkasember.C: Közülünk legalább ketten lókötők.Feladatunk két részből áll:a) Lovag vagy lókötő a farkasember?b) Ha út itársul kellene választania egyiküket, és fontosabb az, hogyút itársa ne legyen farkasember, mint az, hogy n e legyen lókötő, akkor melyiküket választaná?89. Megint csak A, B és C mindegyike -egy mástól függet lenül - vagy lovag, vagy lókötő, éspontosan egyikük farkasember. A következőketállí t ják: A: Farkasember vagyok. B: Farkasember vagyok. C: Legfeljebb egyikünk lovag.Melyikük miféle?90. Ebben és a következő két feladatban megint három lakos szerepel, A, B és C, akikmindegyike - egymástól függet lenül - lovag vagy lókötő. Most csak ketten szólalnak meg, A ésB, de állí tásaikban az „egyikünk" szó mindhárom emberre vonatkozik, nem csak A-ra és B-re.Tegyük fel, hogy A és B a következőket állí t ják: A: Legalább egyikünk lovag. B: Legalábbegyikünk lókötő,Tudjuk, hogy legaláb egyikük farkasember, és hogy egyikük sem lovag és farkasemberegyszemélyben. Melyikük farkasember?91. Ezúttal a következőket állí t ják: A: Legalább az egyikünk lókötő. B: C lovag.Tudjuk, hogy pontosan egyikük farkasember, és hogy az lovag. Ki a farkasember?92. Ebben a feladatban a következőket állí t ják: A: Legalább egyikünk lókötő.B: C farkasember.Megint pontosan egyikük farkasember, és az lovag.Ki ő?93. Ebben a feladatban tudjuk, hogy pontosan egy farkasember van, aki lovag, és hogy a másikkettő lókötő. Csak B szólal meg: „C farkasember". Ki a fajkasember?94. Elegánsan egyszerű feladat következik, amelynek csak két szere plője van, A és B.Pontosan egyikük farkasember. A következőké állí t ják:A: A farkasember lovag. B: A farkasember lókötő. Melyiket választaná út itársnak?B. HOGYAN SZEREZHETÜNK MAGUNKNAK FELESÉGET?95. Hogyan győzi meg? Tegyük fel, hogy Ön a lovagok és lókötők s/.igetének egyik lakosa!Beleszeret egy helybéli lányba és szeretné feleségül venni. A lánynak azonban különös ízlésevan, valamilyen furcsa okból csak lókötőhöz hajlandó feleségül menni. Ráadásul gazdag

lókötőt akar, szegényét nem.(Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy mindenki vagygazdag, vagy szegény!) Tegyük fel, hogy Ön története sen egy gazdag lókötő! Egy mondatotmondhat a lánynak.Hogyan tudná őt egyet len mondattal meggyőzni arról, hogy Ön egygazdag lókötő?96. Tegyük fel, hogy a szeretet t lány csak gazdag lovaghoz hajlandó feleségül menni! Hogyantudná őt egyet len mondattal meggyőzni arról, hogy Ön gazdag lovag?97. Hogyan válasszunk feleséget? Ezúttal Ön a lovagok és lókötők szigetének látogatója,ahol minden nő vagy lovag, vagy lókötő. ön beleszeret egy Elizabeth nevű lányba, ésházasságra gondol. De mivel lókötőt nem akar feleségül venni, ezért szeretne többet tudniróla. I la megengednék, hogy kérdéseket tegyen fel neki, nem is volna semmi baj, de a szigetenegy ősi tabu t ilt ja, hogy egy férfi beszélgessen egy nővel, amíg az nem a felesége.Elizabethnek azonban van egy bátyja, Arthur, aki szintén vagy lovag, vagy lókötő (de nemfeltét lenül ugyanaz, mint a húga). Ön feltehet egy kérdést Arthurnak, de csak olyat , amireigennel vagy nemmel lehet válaszolni.Az Ön feladata megfogalmazni egy olyan kérdést, hogy az arra kapott válaszból biztosantudhassa, lovag-e Elizabeth vagy lókötő. Mit kérdezne?98. Hogyan válasszunk feleséget Bahava szigetén? Ezúttal Ön Bahava szigeténeklátogatója, ahol élnek lovagok, akik mindig igazat mondanak, lókötők, akik mindig hazudnak ésnormálisak, akik néha hazudnak, néha igazat mondanak. Bahava szigetén - mint tudjuk - a nőkegyenjogúak, így ők is lovagok, lókötők vag) normálisak. Mivel Ön kívülálló, Önre nemvonatkozik az a rendelkezés, hogy lovag csak lókötővel, lókötő pedig csak lovaggalházasodhat össze, Ön tehát szabadon elvehet i választot t ját .Három nővér, A, B és C közül szeretné kiválasztani leendő feleségét. Tudja, hogy közülük azegyik lovag, a másik lókötő, a harmadik pedig normális. Azt is tudja (legnagyobb rémületére!),hogy a normális farkasember, míg a másik ket tő nem. legyük fel, hogy Ön nem bánja, halókötőt vesz feleségül (vagy lovagot), de feleségül venni egy farkasembert - ez már túlzás!Feltehet egy kérdést a három nővér közül annak, akinek akar, de megint csak olyat , amireigennel vagy nemmel lehet válaszolni.Mit kérdezne?C. IGEN, ÖN ÁRTATLAN, DE BE TUDJA EZT BIZONYÍTANI?Különösen kellemes rejtvénycsoport következik. Minden rejtvénye a lovagok, lókötők ésnormálisak szigetén játszódik. Ön most a sziget egyik lakója.A szigeten bűntény történt, és valamilyen furcsa okból Önt gyanúsít ják vele. Bíróság eléállí t ják, és a tárgyaláson egyet len mondatot mondhat a saját védelmében. Az a feladata, hogymeggyőzze az esküdteket arról, hogy ártat lan.99. Tegyük fel, hogy ismert tény: a tet tes lókötő! Azt is tegyük fel, hogy Ön lókötő (bár abíróság ezt nem tudja), de ebben a bűntényben teljesen ártat lan! Mondhat egy mondatot . Aza feladata, hogy meggyőzze az esküdteket arról, hogy ártat lan, de arról nem kell meggyőznieőket, hogy Ön nem lókötő. Mit mondana?100. Tegyük fel, hogy ugyanaz a helyzet, mint az előbb, azzal a különbséggel, hogy Ön bűnös!Mit mondana, hogy meggyőzze az esküdteket (akik feltehetőleg ésszerűen gondolkoznak)arról, hogy Ön ártat lan?101. Tegyük fel, hogy ismert a tény: a tet tes lovag! (Ez nem ellentmondás, egy embernek nemkell feltét lenül hazudnia ahhoz, hogy bűn-inyt kövessen el.) Tegyük fel azt is, hogy Ön lovag (de az esküdtek ezt nem tudják), de abűntényben ártat lan! Mit mondana!102. Egy bonyolultabb eset következik. Tegyük fel most, hogy ismert lény: a tet tes nemnormális - vagyis vagy lovag, vagy lókötő! Ön s/emély szerint ártat lan. Mi olyat tud mondani,amit akár lovag, akár lókötő, akár normális mondhatna az Ön helyzetében, és ami meggyőzi azesküdteket arról, hogy Ön ártat lan?103. Ez egy sokkal egyszerűbb feladat. Megint tudni lehet, hogy a let tes nem normális. Ismétnem Ön a tet tes, de normális. Mi olyat tud mondani, amit ártat lan lovag vagy lókötő nemmondhatna, és ami meggyőzi az esküdteket arról, hogy Ön ártat lan?104. Ez egy érdekesebb feladat. Megint tudni lehet, hogy a tet tes nem normális. Tegyük fel,

hogy 1. Ön ártat lan: 2. Ön nem lókötő!Tudna egy olyan mondatot mondani, ami egyszerre mindkét tényről meggyőzi az esküdteket?105. A fent i feladat egyfajta „duálisa" : Tegyük fel megint , hogy a bűnös nem normális, és hogyÖn ártat lan, de nem lovag! Tegyük fel, hogy Ön nem bánja, ha lókötőnek vagy normálisnaknézik, de valamilyen furcsa okból a lovagokat megvet i! Meg tudná egy mondattal győzni azesküdteket arról, hogy Ön ártat lan, de nem lovag?D. HOGYAN VEGYÜNK FELESÉGÜL EGY KIRÁLYLÁNYT?Végre elérkeztünk ahhoz a témához, amit - biztos vagyok benne -alig tudtak kivárni!106. Ön a lovagok, lókötők és normálisak szigetének egyik lakója. Szerelmes a király lányába,Margozitába, és szeretné feleségül venni. A király nem kívánja normálishoz adni a lányát. Eztmondja neki: „Tudod, kedvesem, igazán nem mehetsz hozzá egy normálishoz. A normálisakszeszélyesek, kiszámíthatat lanok és teljesen megbízhatat lanok. Egy normálisnál sosemtudhatod, hogy állsz, egyik nap igazat mond, a másik nap hazudik neked. Mi jó van ebben? Egylovag viszont teljesen megbízható, mindig tudod, hányadán állsz vele. Egy lókötőtulajdonképpenugyanilyenje, hiszen ha mond valamit , egyszerűen csak az ellenkezőjét kell gondolnod, ésmáris tudod, hogy mi a hel) zet. Mindemellet t szerintem egy férfi ragaszkodjon az elveihez. I ladl Igaz mondásban hisz, akkor mondjon mindig igazat. Ha a hazugságban, a kkm legalább legyenbenne következetes. De ezek a teddide-teddoda, nyárspolgár normálisak-, nem kedvesem,nem neked valók!"Tegyük fel, hogy Ön történetesen nem normális, így vannak esélyei! Meg kell azonban győzniea királyt arról, hogj nem normális, másképp nem vehet i el a lányát. Kihallgatást kér a királytól,és ot t annyit beszélhet, amennyit csak akar. A feladat két rés /.bői áll.a) Legkevesebb hány igaz állí tást kell mondania ahhoz, hogy meggyőzze a királyt , hogy Önnem normális?b) Legkevesebb hány hamis állí tást kell mondania, hogy meggyőzze a királyt , hogy Ön nemnormális?107. Lovagok, lókötők és normálisak egy másik szigetén a király épp ellentétes nézeteketvallot t . Ő ezt mondta a lányának: „Drágám, nem akarom, hogy lovaghoz vagy lókötőhöz menjfeleségül, azt szeretném, ha egy szokványos normális venne el. Ne akarj lovaghoz menni, merta lovagok túlságosan álszentek. Ne akarj lókötőhöz menni, mert a lókötők túl becstelenek.Nem, kedvesem, ami neked való, az éppen egy megszokott , nyárspolgár normális!" Tegyük fel,hogy Ön normális! Az a dolga, hogy meggyőzze erről akirályt .a) Legkevesebb hány igaz állí tást kell mondania ahhoz, hogy meggyőzze a királyt , hogy Önnormális?b) Legkevesebb hány hamis állí tást kell mondania ahhoz, hogy meggyőzze a királyt , hogy Önnormális?108. Ez a feladat az előző bonyolultabb változata. Megoldása egyben megoldása az előzőfeladatnak is (bár feleslegesen bonyolult ), de az előző feladatra adott megoldás ehhez nemelég.Ön ismét egy normális a lovagok, lókötők és normálisak szigetén. A király megint csaknormálishoz hajlandó hozzáadni a lányát, de azt is megköveteli, hogy a kérő bizonyítsa bekivételes intelligenciáját és leleményességét. Ezért ahhoz, hogy elnyerje a lány kezét, egyolyan mondatot kell mondania a király jelenlétében, ami egyidejűleg tesz eleget a következőkét követelménynek:1. Meggyőzi a királyt , hogy On normális. ! A királynak nem szabad tudnia, hogy az állí tás igazvagy hamis. I logyan lehetséges ez?MEGOLDÁSOK88. C vagy lovag, vagy lókötő. Tegyük fel, hogy lovag! Ekkor tényleg n i köztük legalább kétlókötő, aki csak A és B lehet. így B a farkasem-bei (mivel ő azt mondja, hogy nem az, de ő lókötő). Vagyis ha C lovag, i kko r a farkasember lókötő(mert csak B lehet). Másrészt tegyük fel, h o g y C lókötő! Ekkor nem igaz, hogy legalább ketten

lókötők, így legfeljebb egyikük lókötő. Ez a lókötő C, ezért A és B mindketten lovagok. Mivel Alovag, és azt állí t ja, hogy C farkasember, így C tényleg h u kasember. Vagyis ebben az esetbena farkasember megint lókötő -nevezetesen C.Tehát függet lenül at tól, hogy C lovag vagy lókötő, a farkasember l o kö t ő (bár a két esetben nemugyanaz a személy). így az első kérdés-re a z a válasz, hogy a farkasember lókötő. Azt isbizonyítot tuk, hogy a h u kasember vagy B, vagy C; ezért ha olyasvalakit szeretne ki válaszúmközülük, aki biztosan nem farkasember, akkor válassza A-t .89. Először megmutat juk, hogy C lovag. Tegyük fel ugyanis, hogy l o kö t ő ! Ekkor állí tása hamislenne, így volna köztük legalább két lovag. I \ A is, B is lovag lenne, ami azt jelentené, hogyállí tásaik igazak, és m i ndketten farkasemberek, ami ellentmond a feladat feltételeinek. Tehát(! lovag. Ekkor tényleg ketten lókötők, és ez a kettő csak A és B lehet, í g y mivel állí tásaikhamisak, sem A, sem B nem farkasember, tehát csak ( lehet az. Tehát C lovag és farkasember,A és B lókötők, és egyikük ;em farkasember.90. Ha B lókötő lenne, akkor tényleg lenne legalább egy lókötő köztük, í g y állí tása igaz lenne,de a lókötők nem mondanak igazat. Tehát B l o va g . Ekkor A állí tása igaz, így A is lovag. Vagyis Aés B mindketten l o va g o k. Mivel B lovag, állí tása igaz, így legalább egyikük lókötő. Ez i lokötő csakC lehet. Ezért C az, és ő az egyet len farkasember.91. A-nak lovagnak kell lennie, ugyanolyan okokból, mint B-nek az e l ő z ő feladatban,nevezetesen, hogy ha A lókötő lenne, akkor igaz lenne, h o g y hármuk közül legalább az egyiklókötő, így egy olyan lókötővel l en n e dolgunk, aki igazat mond. Mivel A lovag, állí tása igaz, ígytényleg van köztük legalább egy lókötő. Ha B lova| /olna, a kkor C is (B állí tása miat t ), ezértekkor három lovaggal lenne dolgunk. I )e A igazat mondott , miszerint legalább egyikük lókötő.Tehál B i ial lókötő lehet és mivel B azt mondja, hogy C lovag, C valójában lókötő. így A azegyet len lovag, ezért A a farkasember.92. A állí tása miat t A-nak megint lovagnak kell lennie, és biztos van köztük legalább egylókötő. Ha B lovag volna, akkor C farkasember volna, ezért ő is lovag lenne, és három lovaggalKuné dolgunk. Tehát B lókötő. így C nem farkasember. B sem lehet Farkasember (miveltudjuk, hogy a farkasember lovag). Vagyis megint A a Farkasember.93. Ha B lovag lenne, akkor C farkasember lenne és lovag, így két lovag lenne köztük. Vagyis Blókötő. Ezért C nem fai kasember. B, mivel lókötő, szintén nem farkasember. így megint A a

farkasember.94. B-t kell választania. Tegyük fel ugyanis, h o g y B lovag! Ekkor állí tása igaz, ezért afarkasember lókötő, így nem lehet B. Most tegyük fel, hogy B lókötő! Ekkor állí tása hamis, amiazt jelent i, hogy a farkasember lovag, így megint nem lehet B.95. Csak ennyit kell mondania: „Szegény lókötő vagyok". Rögtön tudni fogja, hogy Ön nemlehet lovag (mivel egy lovag sosem hazudik és mondja azt , hogy ő szegény lókötő), ezért Önlókötő. Emiatt állí tása hamis, vagyis Ön nem szegény lókötő. De lókötő. így csak gazdaglókötő lehet.96. Ezt mondhat ja: „Nem vagyok szegény lovag". A lány így fog okoskodni: Ha ön lókötő lenne,akkor igaz lenne, hogy nem szegény lovag, így állí tása igaz lenne, egy lókötő igazat mondana.Ezért Ön lovag. így állí tása igaz, Ön nem szegény lovag. De lovag, ezért csak gazdag lovaglehet. *97. Ennek a feladatnak több megoldása van. Azt hiszem, a legegyszerűbb, ha megkérdezi:„Ön és Elizabeth egyforma t ípusú?" Az érdekes az, hogy ha a válasz „Igen", akkor Elizabethlovag, függet lenül at tól, hogy a bátyja lovag vagy lókötő, és ha a báty „Nem"-et válaszol, akkorElizabeth lókötő, függet lenül at tól, hogy a bátyja miféle. Bizonyítsuk is be!Tegyük fel, hogy a válasz „Igen"! A báty vagy lovag, vagy lókötő. Ha lovag, akkor állí tása,miszerint ő és Elizabeth egyforma t ípusú, igaz, ezért Elizabeth is lovag. Ha lókötő, akkorállí tása hamis, vagyis ő és Elizabeth különböző t ípusú, ami azt jelent i, hogy Elizabeth megintlovag. Tehát ha Arthur „Igen"-t válaszol, akkor Elizabeth lovag.Tegyük fel, hogy Arthur „Nem"-et válaszol! Ha lovag, akkor igazat mond, vagyis ő és Elizabethkülönböző t ípusú, ezért Elizabeth lókötő. Ha Arthur lókötő, akkor állí tása hamis, vagyis

Elizabeth és ő valójában egyforma t ípusú, így Elizabeth megint lókötő. Tehát ha „Nem"-etválaszol, akkor Elizabeth lókötő.98. Ezt is többféleképpen lehet megoldani. A legegyszerűbb és legelegánsabb megoldás, amitismerek az, hogy válasszuk ki valamelyiküket, mondjuk A-t , és kérdezzük meg: „B alacsonyabbosztálybeli, mint C?"*Tegyük fel, hogy A „Igen"-t válaszol! Ekkor B-t kell választania, a következő okokból: Tegyükfel, hogy A lovag! Ekkor B tényleg alacsonyabb osztálybeli, mint C, ezért C normális és B lókötő.Ebben az esetben nem B a farkasember (mivel C az). Most tegyük fel, hogy A lókötő! Ekkor Bmagasabb osztálybeli, mint C, ami azt jelent i, hogy B lovag és C normális, így megint nem B afarkasember. Ha A normális, akkor biztos nem B a farkasember, mivel az A az. Tehátfügget lenül at tól, hogy A lovag, lókötő vagy normális, ha A „Igen"-t válaszol a kérdésére akkorB-t kell feleségnek választania.Ha A „Nem"-et válaszol, akkor ez ugyanaz, mintha azt állí taná, hogy C alacsonyabbosztálybeli, mint B, ahelyett , hogy B alacsonyabb osztálybeli, mint C, így ebben az esetbenválassza C-t feleségnek.99. A következő kijelentés olyan, ami t isztázhat ja Önt: „Bűnös vagyok". Ön mint lókötő,mondhat ja is ezt , hiszen hamis, és tényleg t isztázni fogja magát ezzel, mivel az esküdtek ígyokoskodnak helyesen: Ha Ön tényleg bűnös volna, akkor Ön lókötő lenne (hiszen tudjuk, hogya tet tes lókötő), de ekkor Ön, a lókötő, igazat mondott volna. Tehát az a feltevés, hogy Önbűnös, ellentmondásra vezet, ezért Ön ártat lan.A fent i okoskodás a reductio ad absurdum egy példája (azzal bizonyít juk egy állí tás hamisvoltát , hogy képtelenséget vezetünk le belőle). Egyenesebb gondolatmenetet is követhetet taz esküdtszék: Ön vagy lókötő, vagy nem (ne felejtse el, hogy az esküdtek nem tudják,Em l ékez t et ő ü l : a l o va g o k a f el ső b b , a n o rm á l i sa k a kö z ép -, a l ó kö t ő k a z a l só b b o sz t á l y.

hogy Ön lókötő vagy nem). Ha Ön lókötő, akkor állí tása hamis, tehát Ön ártat lan. Ha nemlókötő, akkor nyilván ártat lan, mivel a bűnös lókötő.100. Ilyen mondat nem lehetséges. Ha egy mondatából az esküdtek ésszerűen gondolkozvaazt vezet ik le, hogy ön ártat lan, akkor mivel ésszerűen gondolkodtak és helyesen okoskodtak,önnek tényleg ártat lannak kell lennie. De ez ellentmond annak a feltételnek, hogy Ön bűnös.101. Ez a 99. feladat egyfajta „duálisa", és ha ez egyáltalán lehetséges, még egyszerűbb.Csak annyit kell mondania: „Ártat lan vagyok". Az esküdtek úgy fognak okoskodni, hogy ha Önlovag (amit nem tudnak), akkor állí tása igaz, ezért ártat lan, ha pedig nem lovag, akkor megintcsak ártat lan, mert a bűnösről tudjuk, hogy lovag.102. Egy lehetséges megoldás, ha ezt mondja: „Lovag vagyok és ártat lan, vagy lókötő vagyokés bűnös". Mondhat juk egy kicsit egyszerűbben: „Ártat lan lovag vagy bűnös lókötő vagyok".Az esküdtek a következőképpen fognak gondolkodni önről:Első lépés: Tegyük fel, hogy lovag! Ekkor állí tása igaz, vagyis ártat lan lovag vagy bűnöslókötő. Bűnös lókötő nem lehet, mivel nem lókötő, így ártat lan lovag. Tehát ártat lan.Második lépés: Tegyük fel, hogy lókötő! Ekkor állí tása hamis, vagyis sem ártat lan lovag, sembűnös lókötő nem lehet. Azaz nem bűnös lókötő. De lókötő. Tehát ártat lan lókötő, így ártat lan.Harmadik lépés: Ha normális, akkor nyilván ártat lan, mivel a bűnös nem normális.103. Ez tényleg egész egyszerű. Csak annyit kell mondania: „Lókötő vagyok". Sem lovag, semlókötő nem mondhat ja ezt , ezért Ön csak normális lehet, így ártat lan is.104. Igen, ezt mondhat ja: „Nem vagyok bűnös lovag". Az esküdtek így fognak okoskodni:Első lépés: Tegyük fel, hogy az illető (ezen Önt ért ik) lókötő! Ekkor nem lovag, így nyilván nembűnös lovag, vagyis állí tása igaz. De ez lehetet len, hiszen a lókötők nem mondanak igazat.Tehát nem lehet lókötő.Második lépés: Most már tudjuk, hogy vagy lovag, vagy normális. 80 • P o rt i a l á d i ká i és m á s rej t él yek

Ha normális, akkor ártat lan. Tegyük fel, hogy lovag! Ekkor állí tása igaz. Emiatt nem bűnöslovag. De lovag. Tehát ártat lan lovag.Megjegyezném, hogy ezt is mondhat ja: „Nem vagyok lovag, vagy ártat lan vagyok", vagy ezt :„Ha lovag vagyok, akkor ártat lan vagyok".105. Igen, ezt mondhat ja: „Bűnös lókötő vagyok". Az esküdtek így gondolkodnának:„Nyilvánvaló, hogy nem lovag. Tehát vagy normális, vagy lókötő. Ha normális, akkor ártat lan.Tegyük fel, hogy lókötő! Ekkor állí tása hamis, ezért nem bűnös lókötő. Vagyis ártat lan lókötő."

106. Nincs annyi állí tás, amennyivel ez lehetséges lenne. Akárhány mondatot is mond, egynormális mondhatná ugyanazt, hiszen egy normális bármit mondhat. Vagyis nincs rá mód, hogyelvegye feleségül ennek a királynak a lányát. Sajnálom! Több szerencsét a következőszigeten!107. Mindkét esetben elég egy állí tás. Egy igaz állí tás, ami meggyőzné a királyt : „Nem vagyoklovag". (Ezt sem lovag, sem lókötő nem mondhat ja.) Egy hamis állí tás, ami megteszi: „Lókötővagyok".Szeretném megjegyezni (a következő feladat miat t ), hogy ha az első mondatot választ ja,akkor a király tudni fogja, hogy Ön normális, és most éppen igazat mondott , ha a másodikat,akkor a király nemcsak azt fogja tudni, hogy Ön normális, hanem azt is, hogy most éppenhamis kijelentést tet t .108. Gondoljon ki akármit , amiről a király nem tudhat ja, hogy igaz vagy hamis, pl. az Önzsebében éppen t izenegy dollár van. Ekkor ezt mondhat ja: „Normális vagyok, és pontosant izenegy dollár van a zsebemben, vagy lókötő vagyok".Lókötő ezt a mondatot sohasem mondhatná (mivel egy lókötőre igaz, hogy vagy normális,akinek t izenegy dollárja van, vagy lókötő). Lovag szintén nem mondhat ja ezt (mivel egy lovagraaz sem igaz, hogy ő egy olyan normális, akinél t izenegy dollár van, és az sem, hogy lókötő).Ezért a király tudni fogja, hogy Ön normális, de azt nem tudhat ja, hogy állí tása igaz vagyhamis, ha nem tudja, hogy mennyi pénz van Önnél.

8. Logikai rejtvényekBEVEZETÉSEbben a fejezetben több rejtvény foglalkozik „ha..., akkor" állí tásokkal (implikációkkal),amelyeknek szerkezete „Ha P igaz, akkor Q is igaz", ahol P és Q is állí tások. Mielőt trátérnénk az ilyen t ípusú rejtvényekre, t isztáznunk kell néhány dolgot, ami félreértéstokozhatna. Az ilyen állí tásokkal kapcsolatban vannak olyan kérdések, amelyekben mindenkiegyetért , de vannak vitásak is. Nézzünk egy konkrét példát. Tekintsük a következő állí tást :Ha John bűnös, akkor a felesége is bűnös. (1)Mindenki egyetért abban, hogy ha John bűnös, és az 1. állí tás igaz, akkor a felesége is bűnös.Abban is mindenki egyetért , hogy ha John bűnös és a felesége ártat lan, akkor az 1. állí táshamis.Most tegyük fel, hogy a feleség bűnös, de nem tudjuk, hogy John bűnös vagy ártat lan!Mondhat juk-e ekkor, hogy az 1. állí tás igaz? Gondolkozhatunk-e úgy, hogy John akár bűnös,akár ártat lan, a felesége mindenképp bűnös? Vagy így: „Ha John bűnös, akkor a felesége isbűnös, és ha John ártat lan, a felesége akkor is bűnös"?Irodalmi példán szemléltetve ezt a fajta nyelvhasználatot : Rudyard Kipling Riki-Tiki-Tévi c.meséjében ezt mondja a kobra a ret tegő családnak: „Ha megmozdultok döfök, s ha nemmozdultok, akkor is döfök".* Ez nem jelent sem többet, sem kevesebbet, mint hogy döfök.Vagy it t van Tokusanról, a Zen-mesterről szóló történet, aki minden kérdésre botütéssel felelt ,és arra is, ha nem kérdeztek tőle semmit . Híres mondása volt , hogy „Harminc botütés annak,akinek van valami mondanivalója, és ugyanúgy harminc botütés annak, akinek nincs semmimondanivalója".Az igazság az, hogy ha Q állí tás igaz, akkor a „Ha P, akkor Q" állí tás is az (éppúgy, mint a ,,1 lanem P, akkor Q" állí tás is).A legvitatot tabb eset ez: Tegyük fel, hogy P és Q mindkettő hamis! Ekkor a „Ha P, akkorQ%állí tás igaz vagy hamis? Vagy at tól függ, hogy P és Q konkrétan mi? Visszatérvepéldánkra, ha John és felesége mindketten ártat lanok, akkor az 1. állí tás igaznak mondhatóvagy nem? Hamarosan visszatérünk erre a rendkívül fontos kérdésre.De előbb nézzünk meg valamit ezzel kapcsolatban: Már egyetértet tünk abban, hogy ha Johnbűnös és a felesége ártat lan, akkor az 1. állí tás hamis. Igaz-e ennek megfordí tása, azaz ha az1. állí tás hamis, akkor következik-e ebből, hogy John bűnös, és a felesége ártat lan? Másképpfogalmazva, valóban az egyet len lehetőség arra, hogy az 1. állí tás hamis legyen az, hogy Johnbűnös és a felesége ártat lan? Nos, a legtöbb, logikával foglalkozó ember, matemat ikus éstudós szerint , akik a „Ha..., akkor" szavakat használják, a válasz „igen", és mi is állapodjunkmeg ebben. Más szavakkal, ha adott két tetszőleges állí tás, P és Q, akkor valahányszor

leírom, hogy „Ha P, akkor Q\ nem gondolok se többre, se kevesebbre, mint hogy „Ez nem azaz eset, amikor P igaz és Q hamis". Példánkban ez azt jelent i, hogy ha John és feleségemindketten ártat lanok, akkor az 1. állí tás igaznak tekintendő. Az egyet len lehetőség arra,hogy hamis legyen, az, ha John bűnös és a felesége ártat lan, és ez nem áll fenn, hamindketten ártat lanok. Másképp fogalmazva, ha John és felesége mindketten ártat lanok,akkor nyilván nem az a helyzet, hogy John bűnös és a felesége ártat lan, tehát az állí tás nemlehet hamis.A következő példa még sokkal bizarrabb:Ha Konfuciusz Texasban születet t , akkor én vagyok Drakula. (2)A 2. állí tás mindössze azt akarja jelenteni, hogy az nem lehet, hogy Konfuciusz Texasbanszületet t , és én nem vagyok Drakula. Ez így is van, hiszen Konfuciusz nem Texasbanszületet t . Emiatt a 2. állí tást igaznak kell tekintenünk.Ezt másképp is meggondolhat juk. Az egyet len lehetőség arra, hogy a 2. állí tás hamis lehessenaz, ha Konfuciusz Texasban születet t és én nem vagyok Drakula. Mivel Konfuciusz nemTexasban születet t , nemlehet az a helyzet, hogy Konfuciusz Texasban születet t és én nemvagyok Drakula. Más szavakkal, a 2. állí tás nem lehet hamis, így igaz.Most tekintsünk két tetszőleges állí tást , P-t és g-t , és készítsük el belőlük a következőösszetet t állí tást :Ha P, akkor Q. (3)Ezt az állí tást így jelöljük: P -> Q, és úgy is szoktuk olvasni, hogy „P implikálja g-t". Lehet, hogyaz „implikálja" szó nem túl szerencsés, de az irodalomban ilyen értelemben szerepel. A fent iállí tás mindössze annyit jelent, mint már lát tuk, hogy ez nem az az eset, amikor P igaz és Qhamis. így megállapí that juk a következő tényeket:1. Ha P hamis, akkor P -> Q automat ikusan igaz.2. Ha Q igaz, akkor P -> Q automat ikusan igaz.3. Az egyet len lehetőség arra, hogy P -> Q hamis lehessen az, hogy P igaz és Q hamis.Első megállapí tásunkat néha így emleget ik: „Hamis feltételből bármi következik". Ez akijelentés nagy megrázkódtatást jelentet t sok filozófus számára (1. a 14. fejezet 244.példáját). Második megállapí tásunkat néha így emleget ik: „Igaz következmény bármilyenfeltételből következik".Összefoglalás igazságtáblázattal. Ha adott két tetszőleges állí tás, P és Ö, akkor mindignégy lehetőség van:1. P és Q mindketten igazak;2. P igaz, Q hamis;3. P hamis, Q igaz;4. P és Q mindkettő hamis.E négy lehetőség közül pontosan egy teljesül. Most tekintsük a „Ha P, akkor Q" állí tást(jelekkel: P -* Q). Meg tudjuk mondani, hogy a négy eset melyikében lesz igaz és melyikébennem? Igen, a következőképpen:7. eset: P és Q mindketten igazak. Ebben az esetben Q igaz, ezért P -> Q is igaz, másodikmegállapí tásunk miat t .2. eset: P igaz és Q hamis. Ekkor P -> Q hamis, harmadik megállapí tásunk miat t .3. eset: P hamis és Q igaz. Ekkor P -> Q igaz, első megállapí tásunk miat t (a második miat t is)./ eset: P hamis és Q hamis. Ekkor P Q igaz, első megállapí tá- i i n k miatt .Ezt a négy esetet foglalja össze a következő táblázat, amit az im-áció igazságtáblázatánaknevezünk.

P Q P^Q1. i i i

2. i h h

3. h i i

4. h h i

Az első sor, i, i, i (igaz, igaz, igaz), azt jelent i, hogy ha P igaz és Q igaz, akkor P -> Q igaz. Amásodik sor, i, h, h, azt jelent i, hogy ha P igaz és Q hamis, akkor P -> Q hamis. A harmadik sor

azt mondja, hogy ha P hamis és Q igaz, akkor P -> Q igaz, a negyedik sor pedig, hogy ha Phamis és Q hamis, akkor P -> Q igaz.Megjegyezzük, hogy a P -*> Q a négy eset közül háromban igaz, csak a másodikban hamis.Az implikáció egy másik tulajdonsága. Egy másik fontos tulajdonsága az implikációnak akövetkező: Ahhoz, hogy megmutassuk, hogy a „Ha P, c i kko r 2" állí tás igaz, elegendő megmutatni,hogy P-ből mint premisszából következik Q. Más szavakkal, ha a P feltevés elvezet a Qkonklúzióhoz, akkor a „Ha P, akkor Q" állí tás igaz.A továbbiakban 4. megállapí tásként fogunk erre hivatkozni.A. IMPLIKÁCIÓ A LOVAGOK ÉS LÓKÖTŐK SZIGETÉN109. Két szereplőnk van, A és B, mindkettőjük - egymástól függet lenül - vagy lovag, vagylókötő. Tegyük fel, hogy A ezt állí t ja: „Ha én lovag vagyok, akkor B is az"!Meg lehet-e mondani, hogy A, ül. B miféle?110. Valaki megkérdezi A-tól: „Ön lovag?" Ö ezt válaszolja: „Ha lovag vagyok, akkormegeszem a kalapomat!"Bizonyítandó, hogy A kénytelen megenni a kalapját .111. A ezt mondja: „Ha lovag vagyok, akkor ket tő meg kettő az négy". Lovag vagy lókötő A?112« A ezt mondja: „Ha lovag vagyok, akkor ket tő meg kettő az öt". Mire következtet ebből?113. Adott két ember, A és B, mindketten - egymástól függet lenül lovagok vagy lókötők. A eztmondja: „Ha B lovag, akkor én lókötő vagyok". Miféle A és B?114« Két ember, X és Y áll a bíróság előt t , rablásban való részvételért . A és B a tanúk,mindketten - egymástól függet lenül - lovagok vagy lókötők. A tanúk a következőket állí t ják:A: Ha X bűnös, akkor Y is az.B: X ártat lan, vagy Y bűnös.Biztos-e, hogy A és B azonos t ípusú? (Emlékeztetőül: akkor mondjuk a lovagok és lókötőkszigetének két lakóját azonos t ípusúnak, ha vagy mindketten lovagok, vagy mindkettenlókötők.) 115. A lovagok és lókötők szigetén kikérdeznek három lakost, A-t , B-t és C-t . A és Ba következőket állí t ják:A: B lovag.B: Ha A lovag, akkor C is az.Meg lehet mondani, hogy A, B és C miféle?B. SZERELEM ÉS LOGIKA116« Tegyük fel, hogy a következő két állí tás igaz:1. Szeretem Bettyt , vagy szeretem Jane-t .2. Ha szeretem Bettyt , akkor szeretem Jane-t .Következik ebből, hogy szeretem Bettyt? Következik ebből, hogy szeretem Jane-t?117. Tegyük fel, hogy valaki megkérdezi tőlem: „Tényleg igaz, hogy ha ön szeret i Bettyt , akkorszeret i Jane-t is?" Ezt válaszolom: „Ha igaz, akkor szeretem Bettyt ."Következik ebből, hogy szeretem Bettyt? Következik ebből, hogy szeretem Jane-t?118. Van két lány, Eva és Margaret . Valaki megkérdezi tőlem: „Igaz, hogy ha ön szeret i Eva-et ,akkor szeret i Margaretet is?" Ezt válaszolom: „Ha igaz, akkor szeretem Eva-et, és haszeretem Eva-et, akkor igaz".Melyik: lányt szeretem?119. Most három lány van, Sue, Marcia és Dianne. A következőket tudjuk:1. A három lány közül legalább egyet szeretek.2. Ha Sue-t szeretem, de Diannet nem, akkor Marciat is szeretem.3. Vagy Diannet is és Marciat is szeretem, vagy egyiküket sem.4. Ha szeretem Diannet, akkor Sue-t is szeretem. Melyik lányt szeretem?Diszkusszió. Nem bolondok egy kissé, akik logikával foglalkoznak? Ne tudnám, hogyszeretem-e vagy nem Bettyt , Jane-t , Eva-et , Margaretet , Sue-t , Marciat , Diannet stb. anélkül,hogy leülnék és kiokoskodnám? Mókás lenne, ha egy feleség megkérdezné akadémikusférjétől: „Szeretsz?", és az „Várj egy percet, drágáin" - válaszolná, leülne, papírt és ceruzát

venne elő, fél óra hosszat dolgozna, és aztán mondaná: „Igen, kijöt t !"Erről eszembe jutot t egy állí tólag igaz történet a filozófus Leib-nizről, aki egyszer azontöprengett , hogy feleségül vegyen-e egy bizonyos hölgyet. Leült , papírt és ceruzát vet t elő,majd készítet t két listát , egyet az előnyökről, egyet a hátrányokról. A második listahosszabbnak bizonyult , ezért úgy döntöt t , hogy nem veszi feleségül a hölgyet.120. Bár egyszerű, mégis egy kissé meglepő ez a feladat.Tegyük fel, hogy vagy lovag, vagy lókötő vagyok! A következő két dolgot állí tom:1. Szeretem Lindát.2. Ha szeretem Lindát, akkor szerétéin Kathyt . Lovag vagy lókötő vagyok?121. Változat egy régi közmondásra. így szól egy régi közmondás: „Ha figyelik ateáskannát, sosem forr fel benne a víz". Vélet lenül tudom, hogy ez nem igaz, egyszerfigyeltem a tűzre rakott kannát, így elég biztos lehetek benne, hogy végül felforrt a víz. De mia helyzet a következő közmondással?„Ha figyelik a teáskannát, sosem forr fel benne a víz, kivéve, ha odafigyelünk". Pontosabbanfogalmazva: „Ha figyelik a teáskannát, sosem forr fel benne a víz, kivéve, ha valaki odafigyel".Igaz ez, vagy hamis?C. VAN-E ARANY EZEN A SZIGETEN?Az előző rejt vény csoport főleg feltételes - „Ha P igaz, akkor Q is" -szerkezetű állí tásokkalfoglalkozott . A most következő feladatcsoportban főként „P akkor és csak akkor igaz, ha Qigaz" szerkezetű állí tásokkal lesz dolgunk. A fent i állí tás azt jelent i, hogy ha P igaz, akkor Qis, és ha Q igaz, akkor P is. Más szavakkal, ha P és Q valamelyike igaz, akkor a másik is az. Ezegyben azt jelent i, hogy P és Q vagy mindketten igazak, vagy mindketten hamisak. A „P akkorés csak akkor, ha Q" állí tást így jelöljük: „P o Q\ AP<> Q igazságtáblázata:p Qi i i

i h h

h i h

h h íA „P akkor és csak akkor, ha g" állí tást így is olvashat juk: „P ekvivalens Q-val", vagy „P és Qekvivalensek". Megállapí that juk a következőket:Mi : Igaz állí tással ekvivalens állí tás igaz.88 • P o rt í a l á d i ká i és m á s rej t él yek

M 2: Hamis állí tással ekvivalens állí tás hamis122. Van-e arany ezen a szigeten? A lovagok és lókötők egyik szigetéről azt beszélik, hogyvalahol a szigeten arany van elásva. Ön megérkezik a szigetre, és megkérdezi az egyikbennszülöt tet , A-t , hogy vajon van-e arany a szigeten. Ő a következő választ adja: „Akkor éscsak akkor van arany a szigeten, ha lovag vagyok".A feladat két részből áll:a) Meg lehet mondani, hogy A lovag vagy lókötő?b) Meg lehet mondani, hogy van-e arany a szigeten?123. Tegyük fel, hogy Ön ezt kérdezi A-tól: „Ekvivalens az az állí tás, hogy van arany ezen aszigeten azzal az állí tással, hogy ön lovag?" Ha ő erre azt válaszolná, hogy „Igen", akkor afeladat visszavezethető lenne az előzőre. Tegyük fel, hogy „Nem"-et válaszol! Meg tudnáekkor mondani, hogy van-e arany a szigeten vagy nincs?124. Hogyan lettem gazdag? Ez a történet sajnos nem igaz. De érdekes, így hát elmondom.Találtam három szomszédos szigetet , A-t , B-t és C-t . Tudtam, hogy a három sziget közüllegalább az egyiken arany van elásva, de nem tudtam, hogy melyiken. B és C sziget lakat lanvolt , az A szigeten lovagok és lókötők laktak, és lehetséges volt , hogy van néhány normális is aszigeten, de nem tudtam, hogy tényleg vannak-e normálisak, vagy nincsenek.Nagy szerencsémre találtam egy térképet a szigetekről, amit a híres és szeszélyeskalózkapitány, Marston hagyott hátra, ugyanis ő ásta el az aranyat. Az üzenet természetesent itkosírással í ródott . Mikor megfejtet tem, kiderült , hogy két mondatból áll. íme:1. AZ A SZIGETEN NINCS ARANY.

2. HA ÉL NORMÁLIS AZ A SZIGETEN, AKKOR KÉT SZIGETEN IS VAN ARANY.Elrohantam az A szigetre, tudtam, hogy a bennszülöt tek mindent tudnak az aranyról. A szigetkirálya kitalálta, hogy miben sánt ikálok, és világosan a tudtomra adta, hogy mindösszeegyet len kérdést engedélyez, amit egy általam találomra kiválasztot t bennszülöt tnek tehetekfel. Azt semmiképp nem tudhattam, hogy a bennszülöt t lovag, lókötő vagy normális.8. L o g i ka i rej t vén yek • 89Ki kellet t tehát találnom egy olyan kérdést, hogy az arra adott válasz alapján ki tudjakválasztani egy olyan szigetet , amin biztosan van arany.Mit kérdezhettem?125. Egy másik alkalommal a lovagok, lókötők és normálisak egy másik szigetére látogattam.Elterjedt a hír, hogy a szigeten arany van, és szeret tem volna kitalálni, hogy tényleg van-e. Asziget királya, aki lovag volt , kegyesen bemutatot t három bennszülöt tnek, A-nak, B-nek ésCinek, és elárulta, hogy legfeljebb egyikük normális. Megengedte, hogy feltegyek két igen-nemkérdést, amelyiknek csak akarok.Ki lehet-e találni két kérdéssel, hogy van-e arany a szigeten?126. Tegyük fel, hogy van két szomszédos sziget, amit kizárólag lovagok és lókötők laknak(normálisok nincsenek). Elárulják Önnek, hogy az egyik szigeten páros, a másikon párat lanszámú lovag él.Azt is elmondják, hogy azon a szigeten, ahol páros számú lovag él, van arany, a másikon nincs.Ön kiválaszt ja az egyik szigetet , és odalátogat. Minden lakos tudja, hogy hány lovag és hánylókötő él a szigeten. Ön kikérdezi a sziget három lakóját , A-t , B-t és C-t , akik a következőketállí t ják:A: Ezen a szigeten páros számú lókötő él.B: Pillanatnyilag párat lan számú ember van a szigeten.C: Akkor és csak akkor vagyok lovag, ha A és B azonos t ípusú.Feltéve, hogy Ön nem lovag és nem is lókötő, és hogy pillanatnyilag Ön az egyet len látogató aszigeten, van arany a szigeten vagy nincs?MEGOLDÁSOK109-112. Mind a négy feladat ugyanarra az alapöt letre épül, ami a következő: Ha adott egytetszőleges P állí tás, és a lovagok és lókötők szigetének egy tetszőleges lakosa azt mondja,hogy „Ha lovag vagyok, akkor P", akkor az illető lovag, és P igaz! Ez elég meglepő, dekétféleképpen is bizonyíthat juk.1. Tegyük fel, hogy A lovag! Ekkor a „Ha A lovag, akkor P" állí tás igaz (mivel a lovagok mindigigazat mondanak). Vagyis A lovag, és igaz, hogy ha A, akkor P. Ebből a két dologbólkövetkezik, hogy P-nek igaznak kell lennie. így az a feltevés, hogy A lovag, elvezetP-hez, mint következményhez. í g y (emlékezzünk vissza az implikációval kapcsolatos 4.

megállapí tásunkra) bebizonyítot tuk, hogy ha A lovag, akkor a P állí tás i g a z . De hiszen ezpontosan az, amit A állí tot t ! Emiatt A csak lovag lehet. És mivel épp az imént bizonyítot tuk,hogy a „ha A lovag, a kko r P" állí tás igaz, ebből következik, hogy P-nek igaznak kell lennie.2. A következőképpen is beláthat juk ezt . Ne felejtsük el, hogy hamis feltételből bármikövetkezik. Emiatt Ha A nem lovag, akkor a „Ha A lovag, akkor P" automat ikusan igaz állí tás.Ezért lókötő sosem állí that ja ezt . így ha valaki, aki vagy lovag vagy lókötő ezt állí t ja, akkor azillető csak lovag lehet, és P-nek igaznak kell lennie.Alkalmazzuk ezt az észrevételt rejtvényeinkre! Ha a 109. feladatban azt az állí tást tekint jükP-nek, hogy B lovag, akkor látható, hogy A-nak lovagnak kell lennie és állí tása igaz, így B lovag.Tehát az a válasz, hogy A és B mindketten lovagok.A 110. feladatban P ez az állí tás: A megeszi a kalapját . Látható tehát, hogy A-nak lovagnakkell lennie, és meg kell ennie a kalapját . (Történetesen ez azt is bizonyít ja, hogy a lovagok bárkétségkívül erkölcsösek és becsületesek, néha kissé ostobák!)A 111. feladatra megint az a válasz, hogy A lovag.Ami a 112.-et illet i, a helyes következtetés az, hogy a szerző csalt ! A feladat paradox, semlovag, sem lókötő nem tehet ilyen kijelentést .113. A lovag, B pedig lókötő. Ahhoz, hogy ezt bizonyítsuk, először be kell látnunk, hogy csaklovag tehet „Ha P, akkor én lókötő vagyok" alakú kijelentést . Mint már emlí tet tük, igaz állí tás

bármiből következik, ezért ha a „Lókötő vagyok" állí tás igaz, akkor a teljes „Ha P, akkor lókötővagyok" állí tás is az. De ha lókötő vagyok, akkor sosem mondhatom ezt az igaz állí tást .Emiatt ha azt mondom, hogy „Ha P, akkor lókötő vagyok", akkor lovagnak kell lennem.Tehát A lovag. Ezért az is igaz, hogy ha B lovag, akkor A lókötő (mert A azt mondja, hogy igaz).Ekkor B nem lehet lovag, mert ez azt jelentené, hogy A lókötő, de A nem az.* Ezért B lókötő.M i n d en o l ya n á l l í t á sn a k, a m i b ő l h a m i s á l l í t á s kö vet kez i k, h a m i sn a k kel l l en n i e, m i vel i g a z á l l í t á sb ó l so h a sem kö vet kez i k h a m i s á l l í t á s. A f en t i eset b en a b b ó l a z á l l í t á sb ó l ,h o g y B l o va g , a z a h a m i s á l l í t á s kö vet kez i k, h o g y A l ó kö t ő , t eh á t a n n a k, h o g y B l o va g ,

114. A lényegében azt mondja, hogy nem az a helyzet, hogy X bűnös és Y ártat lan. Ugyaneztmásképp úgy fogalmazhat juk, hogy X ártat lan, vagy Y bűnös, így A és B valójában ugyanaztmondják más szavakkal. Emiatt vagy mindkét állí tás igaz; vagy mindkettő hamis, így A és Bazonos t ípusú.115. Tegyük fel, hogy A lovag! Ekkor B is az (mivel A azt mondja, hogy az). Ekkor B állí tása -„Ha A lovag, akkor C is az" - igaz. De A tényleg lovag (feltevésünk szerint), ezért C is lovag(feltéve, hogy A az).Megmutattuk, hogy ha A lovag, akkor C is az.* De B éppen ezt mondta, tehát B lovag. Ekkor Aállí tása, miszerint B lovag, igaz, így A is lovag. Az előbb lát tuk be, hogy ha A lovag, akkor C isaz. Tehát C szintén lovag. Vagyis mind a hárman lovagok.116. Az nem következik, hogy szeretem Bettyt , de az igen, hogy szeretem Jane-t . Akövetkező okoskodással láthat juk be, hogy szeretem Jane-t .Vagy szeretem Bettyt vagy nem. Ha nem szeretem Bettyt , akkor az 1. állí tás szerint Jane-tszeretem (mivel tudjuk, hogy legalább egyiküket szeretem). Másrészt, ha szeretem Bettyt ,akkor a 2. állí tás szerint éppúgy szeretnem kell Jane-t is. Vagyis mindkét esetben (akárszeretem Bettyt , akár nem) következik, hogy szeretem Jane-t .Mellékesen a Betty nevű olvasóimnak sem kell aggódniuk; az, hogy nem következik az adottfeltételekből, hogy szeretem Bettyt , nem jelent i azt , hogy az következik, hogy nem szeretemBettyt ! Nagyon is lehetséges, hogy Bettyt is szeretem - lehet, hogy még jobban, mint Jane-t .117. Ezúttal nem az következik, hogy Jane-t szeretem, hanem hogy Bettyt . Tegyük felugyanis, hogy nem szeretem Bettyt ! Ekkor a „Ha szeretem Bettyt , akkor szeretem Jane-t"állí tás igaz (mivel hamis állí tásból bármi következik). De tudjuk, hogy ha ez az állí tás igaz,akkor szeretnem kell Bettyt . Vagyis ha nem szeretem Bettyt , akkor ebbőlh a m i sn a k kel l l en n i e. Ez p él d a a reductio ad absurdum eg y eset e (vi ssz a vez et és a l eh et et l en re, a z i n d i rekt b i z o n yí t á si m ó d sz er a l a p j a ).

következik, hogy szeretem Bettyt , ami ellentmondás. Az ellentmondást csak úgy tudjukfeloldani, hogy szeretem Bettyt . Azt nem tudjuk megmondani, hogy Jane-t szeretem-e vagynem.118. A feltételekből következik, hogy mindkét lányt szeretem. Legyen P az az állí tás, hogy „Haszeretem Eva-et, akkor szeretem Margaretet is". Ezt kapjuk:1. Ha P igaz, akkor szeretem Eva-et.2. Ha szeretem Eva-et, akkor P igaz.Az előző feladat megoldásakor lát tuk, hogy az 1. állí tásból következik, hogy szeretem Eva-et.Tehát szeretem Eva-et. Emiatt a 2. állí tás szerint P-nek igaznak kell lennie, azaz igaz, hogy haszeretem Eva-et, akkor szeretem Margaretet is. De Eva-et szeretem. Emiatt szeretemMargaretet is.119. Szeretnem kell mindhárom lányt. Ezt többféleképpen is bebizonyíthat juk, íme az egyiklehetőség:3. szerint vagy Diannet is és Marciat is szeretem, vagy egyiküket sem. Tegyük fel, hogyegyiküket sem! Akkor 1. szerint szeretnem kell Sue-t . Tehát szeretem Sue-t , de Diannet nem,és nem szeretem Marciat . Ez ellentmond a 2. állí tásnak. Emiatt nem lehet, hogy sem Diannet,sem Marciat nem szeretem, ezért mindkettőjüket szeretem. Mivel szeretem Diannet, a 4.állí tás szerint Sue-t is szeretem. Vagyis mindhármukat szeretem.120. Lovag vagyok. Ha lókötő lennék, akkor az 1. és a 2. állí tás mindkettő hamis lenne. Haviszont a 2. hamis lenne, akkor Lindát szeretném, de Kathyt nem, így Lindát szeretném. Ez aztjelent i, hogy ekkor az 1. állí tás igaz lenne. Vagyis lehetet len, hogy az 1. és a 2. állí tásmindkettő hamis legyen, ezért nem lehetek lókötő.121. Az, hogy „P hamis, kivéve ha Q" csak át fogalmazása annak, hogy ,,Ha P, akkor Q". (Pl. haezt mondom: „Nem megyek moziba, kivéve ha velem jössz", az ekvivalens avval, hogy „Ha

moziba megyek, akkor velem jössz".) így a „Ha figyelik a teáskannát, sosem forr fel benne avíz, kivéve, ha odafigyelünk" állí tás csak át fogalmazása annak, hogy „Ha felforr a víz egyteáskannában, amire odafigyelnek, akkor valaki odafigyelt rá". Ez természetesen igaz, hiszenha odafigyelnek a kannára, akkor biztos valaki odafigyel rá, akár forr benne a víz, akár nem.122« Nem lehet megmondani, hogy a beszélő lovag vagy lókötő, viszont van arany a szigeten.Ennek és a fejezet többi feladatának megoldásához egyszer és mindenkorra szögezzük le akövetkező alapvető észrevételt : Ha a beszélő (aki vagy lovag, vagy lókötő) azt állí t ja: „Akkorés csak akkor vagyok lovag, ha P", akkor P-nek igaznak kell lennie (függet lenül at tól, hogy abeszélő lovag vagy lókötő).Ahhoz, hogy ezt belássuk, legyen L az az állí tás, hogy a beszélő lovag. A beszélő azt mondja,hogy L ekvivalens P-vel. Tegyük fel, hogy az illető tényleg lovag! Ekkor L tényleg ekvivalens P-vel, és L igaz. Ekkor P ekvivalens egy igaz állí tással, ezért P is igaz. Másrészt tegyük fel, hogyaz illető lókötő! Ekkor állí tása hamis, így P nem ekvivalens L-lel, és mivel lókötő, L is hamis.Mivel P nem ekvivalens a hamis L állí tással, P-nek igaznak kell lennie (mert ha hamis volna,akkor ekvivalens lenne L-lel). Vagyis akár lovag, akár lókötő a beszélő, P igaz.Érdekes ezt az észrevételt összehasonlí tani előző megfigyelésünkkel, miszerint , ha egy lovagvagy lókötő ezt mondja: „Ha lovag vagyok, akkor P, akkor ebből arra következtethetünk, hogyaz illető lovag, és P igaz. De ha egy lovag vagy egy lókötő ezt mondja: Akkor: és csak akkorvagyok lovag, ha P", akkor ebből csak arra következtethetünk, hogy P igaz, de azt nem tudjukmegmondani, hogy az illető lovag vagy nem.123. Igen, ebben az esetben nincs arany a szigeten.Legyen A az az állí tás, hogy van arany a szigeten, és legyen megint L az az állí tás, hogy abeszélő lovag. Az illető azzal, hogy „Nem"-et válaszol, azt állí t ja hogy A nem ekvivalens L-lel.Tegyük fel, hogy az illető lovag! Ekkor igaz, hogy A nem ekvivalens L-lel. Mivel ő lovag, L igaz.Ezért A hamis, mivel nem ekvivalens az igaz L állí tással. Másrészt tegyük fel, hogy az illetőlókötő! Ekkor A ekvivalens L-lel (mivel lókötő mondta, hogy nem ekvivalensek). De L hamis(mivel a beszélő lókötő). így A is hamis, hiszen ekvivalens a hamis L állí tással. Vagyis akárlovag, akár lókötő a beszélő, „Nem" válasza azt jelent i, hogy A hamis. Tehát nincs arany aszigeten.Diszkusszió. Az utolsó két feladatból levonható egy igen fontos tanulság, amit a „lovag-lókötő" szakértők jól ismernek. Ahogy a megoldásokban lát tuk, ha egy tetszőleges P állí tásrólszeretnénk megtudni, hogy igaz-e vagy hamis, és valaki, aki vagy lovag, vagy lókötő tudja P-rőlaz igazai, akkor egyet len kérdéssel ki tudjuk belőle szedni, hogy P igaz-e vagy hamis. Csakennyit kell kérdeznünk: „Ekvivalens az az állí tás, hogy ön lovag azzal az állí tással, hogy Pigaz?" Ha „Igen"-t válaszol, akkor P igaz, ha „Nem"-et válaszol, akkor P hamis.Ezt fogjuk kihasználni a következő három feladat megoldásánál, és alapelvként fogunk ráhivatkozni.124. Már előre tudjuk, hogy az A szigeten nincs arany. A B vagy a C szigeten van arany, és habárki is normális az A szigeten, akkor B-n is és C-n is van arany.A kérdésem pedig ez volt : „Ekvivalens az az állí tás, hogy ön lovag, azzal az állí tással, hogyvan arany a B szigeten?"Tegyük fel, hogy „Igen"-t válaszol! Ha lovag vagy lókötő, akkor (alapelvünk szerint , amit azelőző feladat megoldása kapcsán fogalmaztunk meg) van arany a B szigeten. Ha normális,akkor a B és C szigetek mindegyikén van arany, így megint csak biztosan van arany a Bszigeten. Az „Igen" válasz tehát azt jelent i, hogy van arany a B szigeten.Tegyük fel, hogy „Nem"-et válaszol! Ha lovag vagy lókötő, akkor (megint alapelvünk szerint)nincs arany a B szigeten. Ez azt jelent i, hogy a C szigeten kell aranynak lennie. Másrészt hanormális az illető, akkor B és C szigetek közül mindkettőn van arany, így van arany a Cszigeten. Tehát a „Nem" válasz azt jelent i, hogy van arany a C szigeten.125. Ez a feladat az alapelv kétszeri alkalmazásával oldható meg (1. az alapelv magyarázatáta 123. feladat megoldásánál).Egy kérdéssel ki lehet választani hármuk közül egyet, aki biztosan nem normális. Kérdezzükmeg A-tól: „Ekvivalens-e az az állí tás, hogy ön lovag, azzal az állí tással, hogy B normális?"Tegyük fel, hogy „Igen"-t válaszol! Ha A lovag vagy lókötő akkor B-nek normálisnak kell lennie(az alapelv szerint). Ez azt jelent i, hogy C nem normális. Ha A nem lovag vagy lókötő, akkor

normálisnak kell lennie, ekkor C megint nem lehet normális. Tehát az „Igen" válasz azt jelent i,hogy C nem normális.Tegyük fel, hogy A „Nem"-et válaszol! Ha lovag vagy lókötő akkor B nem normális (megint azalapelv miat t ). Ha A nemjovag vagy lókötő, akkor B megint csak nem normális, mert A az.Tehát a „Nem" válasz azt jelent i, hogy B nem normális.így ha „Igen" yálaszt kapunk A-tól, akkor C-nek tesszük fel a második kérdést, ha „Nemválaszt kapunk, akkor B-nek. Most már tudjuk, hogy olyasvalakitől érdeklődünk, aki lovag vagylókötő. Feltehet jük neki ugyanazt a kérdést, mint a 122. feladatnál, nevezetesen, hogy az azállí tás, hogy ő lovag, ekvivalens-e azzal az állí tással, hogy van arany a szigeten. Az „Igen"válasz azt jelent i, hogy van arany, a „Nem" válasz azt , hogy nincs.126. Annak, aki nem ismeri alapelvünket, ez a feladat meglehetősen nehéz lehet. De most,hogy ismerjük (1.123. feladat megoldása), a feladat egész egyszerű. Feltételezem annakismeretét , hogy két páros szám összege is páros, és két párat lan szám összege is páros. Ezazt jelent i, hogy ha kivonunk egy páros számot egy páros számból, akkor páros számotkapunk, és ha kivonunk egy párat lan számot egy párat lan számból, akkor is páros számotkapunk. (Pl.: 12-8 = 4; 13-7 = 6.)C állí tásából következik (a 122. feladat szerint), hogy A és B azonos t ípusúak, azaz vagymindketten lovagok, vagy mindketten lókötők. így állí tásaik vagy egyaránt igazak, vagyegyaránt hamisak. Tegyük fel, hogy igazak! Ekkor A állí tása szerint páros számú lókötő van aszigeten. B állí tása szerint párat lan számú ember van a szigeten, Önt is beleértve. De Ön nemlovag és nem is lókötő, és Ön az egyet len látogató a szigeten, ezért páros számú bennszülöt tél a szigeten. Ha levonjuk a lókötők páros számát a lovagok és lókötők páros számából, akkorpáros számú lovagot kapunk. így ebben az esetben van arany a szigeten. Másrészt tegyükfel, hogy mindketten hazudnak! Ez azt jelent i, hogy párat lan számú lókötő van a szigeten, és alovagok és lókötők együttes száma is párat lan (páros számú ember van a szigeten, Önt isbeleértve). Ekkor megint páros számú lovagnak kell lennie, így ekkor is van arany a szigeten.

9. Bellini vagy Cellini?A Port ia ládikáiról szóló történet folytatása következik. Emlékezzünk vissza, hogy haBellinielkészítet t egy ládikát , akkor mindig igaz feliratot lakott rá, ha pedig Cellini készí tet t el egyládikát , akkor mindig hamis feliratot rakott rá. Bellininek és Cellininek fiai is voltak, akik szinténládikákat készítet tek. A fiúk apjuk szokásait követték; Bellini fiai csak igaz feliratokat tet tek azáltaluk készítet t ládikákra, Cellini fiai csak hamisakat.Azt is tudjuk, hogy csak a Bellini és a Cellini család foglalkozott Iádikakészítéssel a reneszánszItáliában; minden ládikát vagy Bellini, vagy Cellini, ül. valamelyik Bellini vagy Cellini fiú készítet t .Ezek a ládikák meglehetősen értékesek, különösen azok, amiket maga Bellini vagy Cellinikészí tet t .A. KINEK A MŰVE?127. Láttam egyszer egy ládikát , ami a következő feliratot viselte:

Ki készítet te ezt a ládikát , Bellini vagy Cellini, ül. valamelyik Bellim vagy Cellini fiú?128. Egy másik alkalommal olyan ládikát lát tam, aminek a feliratából k. tudtam következtetni,hogy a ládikát csak Cellini készí thette Ki tudja találni, mi lehetet t a felirat?129. Azok a legértékesebb ládikák, amelyek feliratából ki lehet következtetni, hogy a ládikátvagy Bellini, vagy Cellini készí tet te, de azt nem, hogy melyikük. Volt szerencsém egyszer egyilyen ládikához. Ki tudja találni, hogy mi lehetet t a felirat?130. A fennkölt től a nevetségesig. Tegyük fel, hogy egy olyan ládikával találkozik, ami akövetkező feliratot viseli:

Mire következtetne?131. A firenzei nemes története. Egy bizonyos firenzei nemesembernek igen költségesszórakozásai voltak. Legizgalmasabb az a játék volt , amelyen egy értékes ékszert lehetet tnyerni. Ez a nemes ismerte Port ia ládikáinak történetét , és ennek megfelelően tervezte meg ajátékot. Volt három ládikája, egy arany, egy ezüst és egy ólom, és ezek egyikében volt azékszer. Elmondta, hogy a ládikák mindegyikét -egymástól függet lenül - vagy Bellini, vagy Cellinikészí tet te (nem valamelyik fiuk). Az első ember, aki kitalálta, hogy melyik ládikában van azékszer, és be tudta bizonyítani, hogy sejtése helyes, megkapta az ékszert . íme a feliratok:

Melyik ládikában van az ékszer? 98 • P o rt i a l á d i ká i és m á s rej t él yek

B. LÁDIKAPÁROKI uiiiy múzeumban ládikapárokra bukkanhatunk - amelyek egy arany-egy ezüst ládikából állnak -, ezeket eredet ileg készletként adták el. A Bellini és a Cellini család történetesen a legjobbbarátságban volt egymással, és néha közösen készítet tek egy párt . Természetesen egy I

idikán csak egy ember dolgozott , de párok esetén előfordult , hogy más készítet te az egyikládikát , mint a másikat. A két család nagy örömét le he abban, hogy olyan feliratokat tet tek apárokra, amikből az intelligens utókor részben vagy egészben kitalálhat ja, hogy kik voltak akészítők. Adott pár esetén t izenhat lehetőség van: az arany ládikát készíthette Bellini, Bellinivalemelyik fia, Cellini vagy Cellini valamelyik fia, és e négy lehetőség mindegyikéhez továbbinégy lehetőség tartozik, az ezüst ládika készítőjének megfelelően.132. Egyszer a következő párra bukkantam:

Ki készítet te az egyes ládikákat?133. Másszor a következő párra bukkantam:

Ki készítet te az egyes ládikákat?134. Tekintsük a következő párt :

Bizonyítandó, hogy legalább az egyiket Bellini készítet te.135. Lássuk a következő párt :

Bizonyítandó, hogy legalább az egyik ládikát Cellini fiú készítet te.136. A következő pár:

Bizonyítandó, hogy legalább az egyik ládikát Bellini vagy Cellini készí tet te.137. Most következő kalandom különösen emlékezetes. Egy ládi-kapárra bukkantam, ésszeret tem volna tudni, hogy legalább az egyiket Bellini készí tet te-e. Az egyiken elolvastam afeliratot , de ebből még nem tudtam, hogy Bellini készí tet te-e legalább az egyiket . Ekkormegnéztem a másik feliratot , ami meglepő módon ugyanaz volt , mint az előző, és mégnagyobb meglepetésemre most már tudtam, hogy mindkét ládikát Bellini készí tet te. Ki tudná-etalálni, hogy mik lehettek a feliratok?138. Egy másik alkalommal olyan, azonos feliratokat viselő párra bukkantam, amelyről betudtam bizonyítani, hogy mindkét ládikát Cellini készí tet te, de ha csak az egyik feliratot lát tamvolna, még azt sem tudtam volna bizonyítani, hogy legalább az egyiket Cellini készí tet te.Tudna készíteni ilyen feliratot?139. Egy másik alkalommal olyan, azonos feliratokat viselő párra bukkantam, amelyről betudtam bizonyítani, hogy vagy mindkét ládikát Bellini, vagy mindkét ládikát Cellini készí tet te,de nem tudtam, hogy melyikük. It t sem tudtam volna ezt egyet len ládika feliratából bizonyítani.Tudna készíteni ilyen feliratot?140. A legértékesebb ládikapár az, amely kielégít i a következő feltételeket:1. A feliratokból kiderí thető, hogy az egyiket Bellini, a másikat Cellini készí tet te, de azt nemlehet tudni, hogy melyiket melyikük.2. Önmagában egyik ládika sem elég ahhoz, hogy megállapí thassuk, hogy ez egy Bellini-Cellinipár.Volt szerencsém egyszer egy ilyen párral találkozni. (Úgy tudom, hogy ez volt az egyet len ilyenpár, ami valaha is készült .) Tudna egy ilyen párra feliratot készí teni?141. Sikeres kaland. Egyszer legénykoromban Firenzében jártam. A következő apróhirdetéstolvastam egy újságban: LOGIKUS KERESTETIK. (Szerencsére angolul í rták, olaszul nemtudok.) Elmentem a hirdetést feladó múzeumba, ahol elmondták, hogy egy logikus segítségérevolna szükségük, egy érthetet len rejtély megoldásához. Négy ládikát találtak, két aranyat éskét ezüstöt . Tudták, hogy a ládikák két készlethez tartoznak, de valahogy összekeveredtek,és most nem tudják, hogy melyik aranyládikához melyik ezüst ládika tartozik. Megmutatták anégy ládikát , és én hamarosan megoldottam a rejtélyt , amiért magas tanácsadói dí jat fizet tek.Ezenkívül még azt is meg tudtam állapí tani, hogy melyik ládikát ki készí tet te, így továbbijutalmat kaptam (többek között egy csodálatos Chiant i-dobozkát), és egy hálacsókot Firenzeegyik legvonzóbb hölgyétői.*

H a m á r Ben ven u t o C el l i n i i s n a g y d i c sekvő vo l t , m i ért n e kö vet h et n ém a p él d á j á t ?

íme a négy ládika:

Ab el l i n i f c sa l

%

kés z *

Ba ra n y

AZCÍ c s a l á d

SS****

CB el l i ni c s a l ni ' l ette-

DB el l i n ' 0831^ a t ie. ' „„í tette-

1 u á Z ' teU ' -,1

a két l a o " yet 8—lább;ffa g yl eg a

^" " f i i k ' és^l C el l i "1' 11

Két kérdésünk van:a) A-t C-vel vagy D-vel kell párosí tanib) Ki készítet te az egyes ládikákat?MEGOLDÁSOK. Bellini készí tet te. Haakkor az állí tás hamis lenne, am. W^SSS ami lehetet len. Cellini fiú készítet te volna, akkor azalhtas igaz lenne, Tehát Bellini készí tet te.128. Egy felirat , ami megteszi: Ezt a ládikát Cellini fiú készítet te.129. „Ezt a ládikát vagy Bellini, vagy valamelyik Cellini fiú készítet te".130. Az állí tás nyilvánvalóan igaz, tehát a ládikát vagy Bellini, vagy valamelyik Bellini fiúkészítet te.131. Első lépés: Tegyük fel, hogy az ólomládikát Bellini készí tet te! Ekkor a rajta levő állí tásigaz, vagyis az ékszer egy Cellini-ládikában van, így nem lehet az ólomban. Másrészt tegyükfel, hogy az ólomládikát Cellini készí tet te! Ekkor a rajta levő állí tás hamis, vagyis az ékszer egyBellini-ládikában van, így megint nem lehet az ólomban. Ezzel bebizonyítot tuk, hogy az ékszernincs az ólomládikában.Második lépés: Belát juk, hogy az ékszer nem lehet az ezüst ládi-kában. Ha ot t lenne, akövetkező ellentmondásra jutnánk:Tegyük fel, hogy az ékszer az ezüst ládikában van! Először tegyük fel, hogy az aranyládikátBellini készí tet te! Ekkor a rajta levő állí tás igaz, és mivel az ékszer (feltevésünk szerint) azezüst ládikában van, az ezüst ládikát Bellini készí tet te. Ebből az következne, hogy azaranyládikát Cellini készí tet te. Vagyis ha az aranyládika Bellinié, akkor Cel-linié.Másrészt tegyük fel, hogy az aranyládika Cellinié! Ekkor az arany-ládikán levő állí tás hamis,amiből következik, hogy az ezüst ládika nem Bellinié, ezért Cellinié. Tehát az ezüst ládikán levőállí tás hamis, amiből következik, hogy az aranyládika Bellinié. Vagyis ha az aranyládika Cellinié,akkor Bellinié, ami lehetet len.

Ezzel bebizonyítot tuk, hogy az ékszer nem lehet az ezüst ládikában. Tehát az aranyládikában van.132. Világos, hogy az aranyládikán levő állí tás nem lehet igaz, különben ellentmondásrajutnánk. így az aranyládikát a Cellini család tagja készítet te. Mivel az állí tás hamis, nemkészítet te mindkét ládikát a Cellini család tagja, ezért az ezüst ládikát a Bellini család egyiktagja készítet te. Emiatt az ezüst ládikán levő állí tás igaz, vagyis egyik ládikát sem valamelyikfiú készítet te. Tehát az ezüst ládikát Bellini, az aranyládikát Cellini készí tet te.133. Emlékezzünk vissza, hogy ha a lovagok és lókötők szigetének egy lakója ezt mondja: „Halovag vagyok, akkor ezmegez igaz", akkor az illető lovag, és az ezmegez igaz. Hasonlóokoskodással megmutat juk, hogy az aranyládikán levő állí tás igaz.Tegyük fel, hogy az aranyládikát a Bellini család tagja készítet te! Ekkor igaz az aranyládikafelirata: „Ha az aranyládikát a Bellini család tagja készítet te, akkor az ezüst ládikát Cellinikészí tet te". De az aranyládikát tényleg a Bellini család tagja készítet te (ez volt a feltevésünk),vagyis az ezüst iádikát Cellini készí tet te. Ezzel bebizonyítot tuk, hogy ha az aranyládikát aBellini család tagja készítet te, akkor az ezüst iádikát Cellini* készí tet te. Más szavakkal,bebizonyítot tuk, hogy az aranyládika felirata igaz. Emiatt az aranyládika a Bellini családtagjának műve. Ez összevetve azzal a megállapí tásunkkal, hogy ha az aranyládikát a Bellinicsalád tagja készítet te, akkor az ezüst iádikát Cellini készí tet te, azt jelent i, hogy azezüst iádikát Cellini készí tet te. Emiatt az ezüst ládika felirata hamis, így az aranyládikát nemBellini fiú készítet te. De az aranyládikát a Bellini család tagja készítet te, tehát Bellini műve.Vagyis az aranyládikát Bellini, az ezüst iádikát Cellini készí tet te.134. Tegyük fel, hogy az aranyládikán levő állí tás igaz! Ekkor az ezüst iádikát Bellini fiúkészítet te, így igaz állí tás van rajta. Ez azt jelent i, hogy az aranyládikát nem Bellini fiúkészítet te, de mivel igaz állí tás van rajta, csak Bellini készí thette.Tegyük fel, hogy az aranyládikán levő állí tás hamis! Ekkor az ezüst iádikát nem Bellini fiúkészítet te. Az ezüst ládikán viszont igaz állí tás van (mivel az aranyládikán levő hamis állí tástnem írhatta Bellini fiú). Tehát az ezüst iádikát Bellini készí tet te.Összefoglalva, ha az aranyládikán levő állí tás igaz, akkor az aranyládikát készítet te Bellini, haaz aranyládikán levő állí tás hamis, akkor az ezüst iádikát készítet te Bellini.135« Tegyük fel, hogy az ezüst ládikán levő állí tás igaz! Mivel ez az állí tás igaz, azezüst iádikát a Bellini család tagja készítet te, így az aranyládikán levő állí tás - „az ezüst iádikátCellini készí tet te" - hamis. De mivel az ezüst ládikán levő állí tás igaz (feltevésünk szerint), azaranyládikát nem Cellini készí tet te. Tehát az aranyládikán hamis állí tás van, de nem Celliniműve, így csak Cellini fiú készíthette.Másrészt tegyük fel, hogy az ezüst ládikán levő állí tás hamis! Ekkor az aranyládikát Cellinikészí tet te, ezért a rajta levő állí tás hamis, így az ezüst iádikát nem Cellini készí tet te. Ezért azezüst ládikán hamis állí tás van, de nem Cellini műve, tehát Cellini fiú készítet te.136. Tegyük fel, hogy az aranyládika felirata igaz! Ekkor az ezüst ládika felirata is igaz lenne,ami azt jelentené, hogy az aranyládika felirata hamis. Ez ellentmondás, tehát az aranyládikafelirata hamis. Ez egyben azt is jelent i, hogy az ezüst iádikát nem Bellini fiú készítet te. Emiattha az ezüst ládika felirata igaz, akkor az ezüst iádikát Bellini készí tet te. Ha az ezüst ládikafelirata hamis, akkor az aranyládikát nem Cellini fiú készítet te, de az aranyládika felirata hamis,így az aranyládika Cellini műve.Összefoglalva: ha az ezüst ládika felirata igaz, akkor az ezüst iádikát Bellini készí tet te; ha azezüst ládika felirata hamis, akkor az aranyládikát Cellini készí tet te. Tehát vagy az ezüst ládikaBellinié, vagy az aranyládika Cellinié.137. Ennek és a következő három feladatnak sok lehetséges megoldása van. Egyik lehetőség,ha mindkét ládikán a következő felirat van: „Vagy mindkét ládikát Bellini készí tet te, vagylegalább egyiket a Cellini család tagja készítet te".A Cellini család egyik tagja sem készíthette valamelyik ládikát , mert ekkor a felirat igaz lenne.így mindkét ládikát a Bellini család tagja készítet te. A feliratok emiatt igazak, így vagy mindkétládikát Bellini készí tet te, vagy legalább egyiket a Cellini család tagja készítet te. A másodiklehetőséget kizártuk, így mindkét ládika Bellinié.138. Egy lehetséges megoldás, ha mindkét ládikán ez olvasható: „Legalább az egyik ládikátCellini fiú készítet te." Ha a feliratok igazak lennének, akkor legalább az egyik ládikát Cellini fiú

készítet te volna, de az lehetet len, hogy egy Cellini fiú igaz feliratot készítsen. Emiatt afeliratok hamisak, ami azt jelent i, hogy egyik ládikát sem készítet te Cellini fiú, ezért mindkettőCellini műve.139. Egy jó felirat : „Vagy mindkét ládikát Bellini készí tet te, vagy legalább az egyiket Cellinivalamelyik fia készítet te".Be fogjuk bizonyítani, hogy ha a feliratok igazak, akkor mindkét ládikát Bellini készí tet te, és haa feliratok hamisak, akkor mindkét ládikát Cellini készí tet te.Tegyük fel, hogy a feliratok igazak! Ekkor igaz az, hogy vagy mindkét ládikát Bellini készí tet te,vagy legalább az egyiket Cellini fiú készítet te. A második lehetőség nem lehetséges (mivelCellini fiú nem írhat igazat), tehát mindkét ládikát Bellini készí tet te.Tegyük fel, hogy a feliratok hamisak! Ekkor a diszjunkció mindkét tagja hamis - így a másodiktagja is hamis (miszerint legalább az egyik ládikát Cellini fiú készítet te), ami azt jelent i, hogyegyik ládikát sem készítet te Cellini fiú. De mindkét felirat hamis, tehát a ládikákat Cellinikészí tet te.140. Egy lehetséges megoldás a következő:Arany: „Ezeket a ládikákat akkor és csak akkor készítet te Bellini és Cellini, ha az ezüst ládikáta Cellini család tagja készítet te."Ezüst: „Az aranyládikát a Cellini család tagja készítet te."Legyen P az az állí tás, hogy a ládikákat Bellini és Cellini készí tet te, és Q lehet az az állí tás,hogy az ezüst ládikát a Cellini család tagja készítet te. Az aranyládika felirata azt mondja, hogyP ekvivalens Q-val, az ezüst ládika felirata pedig azt mondja, hogy az aranyládikát hazudósember készítet te, ami ugyanaz, mintha azt mondaná, hogy az aranyládika felirata hamis. Ezazt jelent i, hogy a két felirat közül az egyik igaz, a másik hamis.Tegyük fel, hogy az aranyládika felirata igaz! Ekkor (mivel megmutattuk, hogy az egyik feliratigaz, a másik hamis) az ezüst ládika felirata hamis, ezért a Cellini család tagja készítet te,vagyis Q igaz. És mivel az aranyládikán levő felirat is igaz, P tényleg ekvivalens Q-\a\. Ezért(mivel Q igaz) P is igaz.Tegyük fel, hogy az aranyládikán levő felirat hamis! Ekkor az ezüst ládikán levő felirat igaz, ígynem valamelyik Cellini készí tet te, ezért Q hamis, és P nem ekvivalens Q-val. Ezért P megintcsak igaz.Láthat juk, hogy P mindkét esetben igaz, vagyis az egyik ládát Bellini, a másikat Cellinikészí tet te.141. Az A ládikát a D ládikával kell párosí tani, mert ha a C-vel párosí tanánk, a következőellentmondásra jutnánk.Tegyük fel, hogy az A párja C, és A felirata igaz! Ekkor C felirata hamis. Ez azt jelent i, hogy Afelirata hamis, ami ellentmondás. Másrészt tegyük fel, hogy A felirata hamis! Ekkor C felirataigaz. Ez azt jelent i, hogy A felirata igaz - megint ellentmondás. Tehát A párja nem C. Ezzel afeladat első felét megoldottuk.Most tekintsük a B-C párt . Tegyük fel, hogy C felirata hamis! Ekkor B-t a Cellini család tagjakészítet te, ezért a rajta levő állí tás hamis. Ez azt jelent i, hogy az állí tás egyik fele sem igaz,így az első fele sem igaz, ami azt jelent i, hogy a C-t a Bellini család tagja készítet te. Vagyis haa C-n levő állí tás hamis, akkor C-t a Bellini család tagja készítet te, ami lehetet len. Ezért a C-nlevő állí tás igaz. Emiatt a B-n levő állí tás is igaz (mivel C felirata azt mondja, hogy B-t a Bellinicsalád tagja készítet te). De a B-n levő állí tás első fele nem lehet igaz, emiat t a második feleigaz. Tehát a B és C ládikát , mindkettőt Bellini készí tet te.Vizsgáljuk meg az A-D párt . Tegyük fel, hogy A felirata hamis! Ekkor D-t a Bellini család tagjakészítet te, ezért a rajta levő felirat igaz. Ez azt jelentené, hogy A-t a Bellini család tagjakészítet te, így ellentmondásra jutnánk. Emiatt A felirata igaz. Ez maga után vonja, hogy Dfelirata hamis. Ezért az állí tásnak legalább az egyik fele hamis. Az első fele igaz (mivel az A-nlevő. állí tás igaz), így a második fele hamis. Ez azt jelent i, hogy egyik ládikát sem készítet teBellini fiú vagy Cellini fiú. Tehát A-t Bellini, D-t Cellini készí tet te.

Harmadik részHátborzongató mesék10. Baal szigeteA. A TELJESSÉGET KUTATVAI így filozófiai szöveggyűjteményben vagy valami hasonlóban olvastam: ,,Az igazi filozófus az akilencéves kislány, aki miután kinézett az ablakon, hirtelen anyjához fordult , és így szólt : Anyu,én csak azt szeretném tudni, hogyan let t egyáltalán bármi is?"Ez a kérdés sok filozófusnak okoz gondot, többen ezt tekint ik a filozófia alapkérdésének. Őkígy fogalmazzák meg: „Miért van valami a semmi helyet t?"Ha jobban belegondolunk, valóban jó kérdés, nem? Tényleg, miért van valami a semmi helyet t?Nos, egyszer volt , hol nem volt , volt egy egyszeri filozófus, aki elhatározta, hogy életét a „Miértvan valami a semmi helyet t?" kérdés kiderí tésének szenteli. Először is elolvasott mindenfilozófiai könyvet, de a valódi okot egyik sem mondta meg neki. Ezután a teológiához fordult .Megkérdezett minden tudós rabbit , papot, püspököt, lelkészt és vallási vezetőt , de egyik semtudott kielégítő magyarázatot adni. Ekkor a kelet i filozófiához fordult , t izenkét évig vándoroltIndiában és Tibetben, kikérdezte a gurukat, de választ it t sem kapott . Ezután másik t izenkétévet töltöt t Kínában és Japánban, taoista remetéket és Zen-mestereket kérdezett meg, végültalálkozott egy halálos ágyán fekvő bölccsel, aki ezt mondta:„Nem, fiam, én magam sem tudom, hogy miért van valami a semmi helyet t . Az egyet len helyezen a bolygón, ahol tudják a választ , Baal szigete. Baal templomának egyik főpapja ismeri azigaz választ ."„És hol van Baal szigete?" - kérdezte mohón a filozófus.„Ó" - szólt a válasz -, „ezt sem tudom. Igazság szerint soha nem ismertem senkit , akimegtalálta volna az oda vezető utat . Mindössze annyit tudok, hogy hol van az afeltérképezet len szigetcsoport , amelynek egyik szigetén található egy térkép, a Baal szigetérevezető útvonal teljes leírásával. Nem tudom, hogy a szigetcsoport melyik szigetén van atérkép, csak azt , hogy az egyiken ot t van, és ennek a szigetnek a neve Maya. A szigeteketkizárólag lovagok (akik mindig10. Ba a l sz i g et e* 111igazat mondanak) és lókötők (akik mindig hazudnak) lakják. Légytehát nagyon óvatos!"Ez volt a legígéretesebb hír, amit a filozófus valaha is hallot t ! Minden nehézség nélkülmegtalálta az utat a szigetcsoporthoz, és módszeresen kipróbálta egyik szigetet a másikután, remélve, hogy kitalálja, melyik lehet Maya szigete.142. Az első sziget . Az elsőnek kipróbált szigeten két bennszülöt tel találkozott , A-val és B-vel, akik a következőket állí tot ták:A: B lovag, és ez Maya szigete. B: A lókötő, és ez Maya szigete. Ez Maya szigete?143. A második sziget . Ezen a szigeten két bennszülöt t , A és B, a következőket állí tot ta:A: Mindketten lókötők vagyunk, és ez Maya szigete.B: Ez igaz.Ez Maya szigete?144. A harmadik sziget . Ezen a szigeten A és B ezt mondta: A: Legalább egyikünk lókötő, ésez Maya szigete.B: Ez igaz.Ez Maya szigete?145. A negyedik sziget . Ezen a szigeten két bennszülöt t , A és B, ezt mondta:A: Mindketten lókötők vagyunk, és ez Maya szigete. B: Legalább egyikünk lókötő, és ez nemMaya szigete. Ez Maya szigete?146. Az ötödik sziget . It t két bennszülöt t , A és B, ezt mondta: A: Mindketten lókötők

vagyunk, és ez Maya szigete.B: Legalább egyikünk lovag, és ez nem Maya szigete. Ez Maya szigete?147. A hatodik sziget . Ezen a szigeten két bennszülöt t , A és B, a következőket állí tot ta:A: B lovag, vagy ez Maya szigete. B: A lókötő, vagy ez Maya szigete. Ez Maya szigete?148. A Baal szigetére vezető térkép. Filozófusunk megtalálta Ma-i szigetét , azonban a térkép és az útbaigazítás megtalálása nem volt o l ya n könnyű feladat, mintremélte. Meg kellet t látogatnia Maya fő- I tápját , aki bevezette őt egy terembe, ahol háromtérkép, X, Y és Z feküdt egy asztalon. A pap elmondta, hogy a három térkép közül csak azegyik ábrázolja a Baalhoz vezető igazi utat , a másik ket tő a démonok szigetére vezet, és havalaki a démonok szigetén ér partot , azt a azonnal elpusztí t ják. A filozófusnak ki kellet tválasztania a három térkép egyikét .A teremben öt boszorkánymester is volt , A, B, C, D és E, mindegyikük - egymástól függet lenül -lovag vagy lókötő. A következő tanácsokat adták:A: X a jó térkép.B: Y a jó térkép.C: A és B nem mindketten lókötők. D: A lókötő, vagy B lovag.E: Lókötő vagyok, vagy C és D azonos t ípusúak (mindketten lovagok, vagy mindkettenlókötők). X, Y és Z közül melyik a jó térkép?

B. BAAL SZIGETEA lovagok, és lókötők szigetei közül Baal szigete a leghátborzongatóbb éslegfigyelemreméltóbb. A szigetet kizárólag emberek és majmok lakják. A majmok termetre éppakkorák, mint az emberek, és épp olyan folyékonyan beszélnek. Ugyanúgy, mint az emberek,minden majom lovag vagy lókötő.Pontosan a sziget közepén áll Baal temploma, a legérdekesebb templom széles e világon.Minden főpapja metafizikus, és a templom Belső Szentélyében található az a pap, aki a hírekszerint tudja a választ a Nagy Kérdésre: miért van valami a semmi helyet t .Azoknak, akik a Szent Tudásra pályáznak, megengedik, hogy belépjenek a Belső Szentélybe,de előbb három feladatsorozat megoldásával kell bizonyítaniuk rátermettségüket. Mindezeketa t itkokat lopva sikerült megtudnom; majomnak álcázva kellet t belépnem a templomba. Ezzelnagy kockázatot vállaltam, ha elfogtak volna, szörnyű büntetés várt volna rám; ahelyett , hogyegyszerűen megsemmisí tet tekvolna, a papok úgy változtat ták volna meg a világegyetem valóságos törvényeit , hogy sohameg se szülessek!Filozófusunk a jó térképet választot ta, biztonságban megérkezett Baal szigetére, és készenállt a próbatételre. Az első feladatsorozatra három egymást követő napon került sor, egy óriásiteremben, amit Külső Szentélynek neveztek. A terem közepén minden nap egy csuklyás alakült aranytrónon. Lehetet t ember is, majom is, lovag is, lókötő is. Elmormolt egy szent mondatot ,és ebből a filozófusnak pontosan meg kellet t állapí tania, hogy miféle az illető, lovag vagylókötő, ember vagy majom.149. Az első feladat .Az illető így szólt : „Lókötő vagyok vagy majom". Pontosan miféle?150. A második feladat .Az illető így szólt : „Lókötő vagyok és majom" Pontosan miféle?151. A harmadik feladat .Az illető így szólt : „Nem vagyok egyszerre majom és lovag"Miféle?A filozófus túljutot t ezen a három feladaton, így megengedték, hogy próbát tegyen a másodiksorozattal, amire szintén három egymást követő napon került sor, egy másik teremben, amitKözbülső Szentélynek neveztek. Ebben a teremben két csuklyás alak ült plat ina-trónuson.Szent mondatokat mormoltak, amiknek alapján a filozófusnak teljes leírást kellet t adniamindkettőjükről. A két csuklyást A-nak és B-nek nevezzük.152. A negyedik feladat .A: Legalább az egyikünk majom. B: Legalább az egyikünk lókötő. Miféle A és B?153. Az ötödik feladat .A: Mindketten majmok vagyunk. B: Mindketten lókötők vagyunk. Miféle A és B?154. A hatodik feladat .A: B lókötő és majom. Én ember vagyok. B: A lovag. Miféle A és B?Afilozófus túljutot t a második fel adatsorozaton, így megpróbálkozhatot t a harmadikkal, amimindössze egyet len, de annál nehezebb feladatból állt .155. A Közbülső Szentélyből négy ajtó vezet ki, X, Y, Z és W. Legalább egy a Belső Szentélybenyí lik. Ha valaki nem ezen az ajtón lép ki, akkor felfalja őt egy tűzokádó sárkány.Ott volt nyolc pap, A, B, C, D, E, F, G és H, mindegyikük -egymástól függet lenül - lovag vagylókötő. A következőket mondták a filozófusnak:A: X jó ajtó.B: Y és Z közül legalább az egyik ajtó jó.C: A és B mindketten lovagok.D: XésY két jó ajtó.E: X és Z két jó ajtó.F: D vagy E lovag.

G: Ha C lovag, akkor F is az.H: Ha G és én mindketten lovagok vagyunk, akkor A is az. Melyik ajtót válassza a filozófus?156. A Belső Szentélyben! Filozófusunk a jó ajtót választot ta, és biztonságban belépett aBelső Szentélybe. Két gyémánttrónon a világegyetem két legnagyobb papja ült ! Lehetséges,hogy legalább egyikük tudja a választ a Nagy Kérdésre: „Miért van valami a semmi helyet t?"Természetesen mindkét főpap vagy lovag, vagy lókötő. (Az, hogy emberek vagy majmok, nemszámít .) Egyikükről sem tudjuk, hogy lovag vagy lókötő, és azt sem, hogy vajon tudja-e aválaszt a Nagy Kérdésre. A következőket mondták:Első pap: Lókötő vagyok, és nem tudom, hogy miért van valami a semmi helyet t .Második pap: Lovag vagyok, és nem tudom, hogy miért van valami a semmi helyet t . Tudjavalamelyik pap, hogy miért van valami a semmi helyet t?157. A válasz! És most megtudhat juk az igaz választ a Nagy Kérdésre, hogy miért van valamia semmi helyet t !A két pap egyike - aki tényleg tudta a választ a Nagy Kérdésre - a következő választ adta,amikor a filozófus megkérdezte tőle, hogy „Miért van valami a semmi helyet t?":„Van valami a semmi helyet t ."Milyen megalapozott következtetés vonható le ebbőlMEGOLDÁSOK142. Tegyük fel, hogy B lovag! Ekkor ez Maya szigete, és A lókötő! Ezért A állí tása hamis, ígynem igaz, hogy B lovag és ez Maya szigete. De feltevésünk szerint B lovag. Ezért a mondatelső fele igaz, így a mondat második fele hamis, tehát ez nem Maya szigete. Vagyis ha Blovag, akkor ebből következik, hogy a sziget egyrészt Maya szigete, másrészt nem az. EmiattB csak lókötő lehet.Mivel B lókötő, ebből következik, hogy A is lókötő (mert A azt állí t ja, hogy B lovag). Ha viszontB lókötő, akkor állí tása hamis, ezért nem igaz, hogy A lókötő, és ez Maya szigete. De a mondatelső fele igaz (mivel A lókötő), emiat t a második fele hamis, tehát ez nem Maya szigete.143. A nyilvánvalóan lókötő (lovag sosem mondhatná, amit A). Mivel B egyetért A-val, B islókötő. A állí tása hamis, így nem igaz, hogy: 1. mindketten lókötők, és 2. ez Maya szigete. Deaz 1. igaz, így a 2. hamis. Tehát ez a sziget nem Maya szigete.144. Mivel B egyetért A-val, vagy mindketten lovagok, vagy mindketten lókötők. Ha mindkettenlovagok lennének, akkor nem lenne legalább egyikük lókötő, így A állí tása hamis lenne, amilehetet len, mivel A lovag. Ezért mindketten lókötők. Ez azt jelent i, hogy A állí tása hamis. De Aállí tásának első része igaz (ha mindketten lókötők, akkor legalább egyikük lókötő), ezért amásodik része hamis. Tehát ez nem Maya szigete.145. A biztos, hogy lókötő, mivel lovag nem mondhat ilyet . Ha B lovag, akkor állí tása szerint eznem Maya szigete. Ha B lókötő, akkor A állí tásának első része igaz, de A állí tása hamis, mivelA lókötő, ezért a m á so d i k részének hamisnak kell lennie. így ez megint nem Maya s/igete.146. A megint lókötő, B lehet lovag vagy lókötő, de egyik esetben sem ez Maya szigete.147. Ha A lókötő volna, akkor diszjunktív állí tásának mindkét fele hamis lenne, ami aztjelentené, hogy B lókötő. Ez viszont azt jelentené, hogy B diszjunktív állí tásának mindkét felehamis, így A lovag lenne. Ez ellentmondás, tehát A lovag. Emiatt állí tása igaz, ezért B lovagvagy ez Maya szigete. Ha a második igaz, akkor természetesen ez Maya szigete. Tegyük fel,hogy az első rész igaz, vagyis hogy B lovag! Ekkor B állí tása, hogy „Vagy A lókötő, vagy ezMaya szigete" igaz. De A nem lókötő, így a mondat első fele hamis. Emiatt a második fele igaz,tehát ez Maya szigete.Gondolatmenetünkből következik, hogy B lovag, vagy ez Maya szigete. De az is, hogy ha Blovag, akkor ez megint csak Maya szigete. Tehát ez Maya szigete.így hát végül megtaláltuk Maya szigetét !148. Ha E lókötő volna, akkor igaz lenne, hogy E lókötő vagy C és D azonos t ípusúak. Ez aztjelentené, hogy egy lókötő igazat mondott , ami lehetet len. Ezért E lovag. Ekkor állí tása igaz,vagyis ő lókötő vagy C és D azonos t ípusúak. De ő nem lókötő, emiat t C és D egyformatípusúak.Tegyük fel, hogy C lókötő! Ekkor A és B mindketten lókötők. likkor D állí tása igaz, így D lovag.Vagyis C lókötő és D lovag, ami ellentmond annak, hogy C és D azonos t ípusúak. Emiatt C

lovag, és így D is lovag. Mivel C lovag, A és B nem mindketten lókötők, így vagy X, vagy Y a jótérkép. Tegyük fel, hogy X a jó térkép. Ekkor A lovag és B lókötő, ami ellentmond D igazállí tásának, miszerint vagy A lókötő, vagy B lovag. Vagyis X nem lehet a jó térkép, tehát Y a jót érkép .

149. Ha az illető lókötő lenne, akkor tényleg lókötő vagy majom, így á 1 lí tása igaz lenne, amiellentmond annak, hogy ő lókötő. Emiatt az illető lovag. Ez azt jelent i, hogy állí tása igaz, vagyiső lókötő vagy majom. De nem lókötő, emiat t majom. Tehát az illető majom és lovag.150. Világos, hogy az illető nem lovag, ezért lókötő, és állí tása hamis.Emiatt lovag vagy ember. De nem lovag, ezért ember. Tehát az illető ember és lókötő.151* Tegyük fel, hogy az illető lókötő! Ekkor igaz, hogy ő nem egyszerre majom és lovag,vagyis állí tása igaz lenne, így egy olyan lókötővel volna dolgunk, aki igazat mond. Emiatt azillető lovag. Ekkor állí tása, miszerint ő nem egyszerre majom és lovag, igaz.Ha majom volna, akkor egyszerre lenne majom és lovag. Ezért ember. Tehát az illető ember éslovag.152. B nem lehet lókötő, mert akkor állí tása igaz lenne. Emiatt B lovag. Ekkor állí tása igaz, ígyA lókötő. Ekkor A állí tása hamis, ezért mindketten emberek. Tehát A ember és lókötő, B emberés lovag.153. B lókötő, mert lovag nem mondhat ilyet . Emiatt A és B nem mindketten lókötők, így Alovag. Ezért állí tása igaz, vagyis mindketten majmok. Tehát A majom és lovag, B majom éslókötő.154. Tegyük fel, hogy B lovag! Ekkor A is lovag lenne (mivel B ezt mondja), emiat t B lókötő ésmajom, ami ellentmondás. Tehát B lókötő. Ekkor B állí tása miat t A is lókötő. Ezért A elsőállí tása hamis, B nem majom és lókötő. De B lókötő, így az a hamis, bogy B majom. Vagyis Bember és lókötő. A második állí tásából következik, hogy A majom. Ezért A majom és lókötő.155. Először megmutat juk, hogy G lovag. Ehhez elég megmutatnunk, hogy állí tása igaz.Vagyis azt kell belátnunk, hogy ha C lovag, akkor F is az. Ehhez feltesszük, hogy C lovag, ésmegmutat juk, hogy ekkor F is lovag.Tegyük fel, hogy C lovag! Ekkor A és B mindketten lovagok. Ekkor X jó ajtó, és Y vagy Zszintén jó. Első eset: Y jó. Ekkor X és Y mindkettő jó. Ebben az esetben Dlovag.Második eset: Z jó. Ekkor X és Z mindkettő jó. Ebben az esetben E lovag.Tehát D-nek vagy E-nek lovagnak kell lennie. Emiatt F állí tása igaz, így F lovag.Abból a feltevésből, hogy C lovag, arra a következtetésre jutot tunk, hogy F lovag. Emiatt igaz,hogy ha C lovag, akkor F is az. De G éppen ezt mondta, tehát G lovag.Most bebizonyít juk, hogy H állí tása igaz. H azt mondta, hogy ha G II mindketten lovagok, akkorA is az. Tegyük fel, hogy H lovag! Ekkor G és H mindketten lovagok, és igaz az, hogy ha G ésH mindketten lovagok, akkor A is az (hiszen H ezt mondta, és feltet tük, hogy 11 lovag). Ezértha H lovag, akkor: 1. G és H mindketten lovagok; 2. ha G és H mindketten lovagok, akkor A isaz. Az 1. és a 2. állí tásból következik, hogy A lovag. Vagyis ha H lovag, akkor A is az. H éppenezt mondta, ezért H lovag. Emiatt állí tása igaz, és mivel G és H mindketten lovagok, A lovag.Most már tudjuk, hogy A lovag. Emiatt X tényleg jó ajtó. Tehát a filozófusnak az X ajtót kellválasztania.156. Az első pap nem lehet lovag, tehát lókötő. Emiatt állí tása hamis, ami azt jelent i, hogy nemigaz az, hogy ő lókötő és nem tudja a választ a Nagy Kérdésre. De ő lókötő, így állí tásánakelső része igaz. Emiatt az állí tás második fele hamis, vagyis tudja a választ . Tehát az első paplókötő és tudja a választ .Ami a második papot illet i, róla nem tudjuk, hogy miféle. Vagy lovag, aki nem tudja a választ ,vagy lókötő. Mindenesetre (és ez döntő fontosságú a következő feladathoz!) ha tudja aválaszt , akkor lókötő.157. Láttuk, hogy az első pap tudja a választ a kérdésre és lókötő, és hogy ha a második paptudja a választ , akkor ő is lókötő. Tudjuk, hogy aki ezt mondta: „Van valami a semmi helyet t",tudta a választ . Emiatt aki ezt mondta, lókötő, így az az állí tás, hogy „Van valami a semmihelyett" hamis! Ezek szerint semmi sem létezik!Úgy tűnik tehát, hogy a filozófus egész életét betöltő kutatás eredménye az, hogy egyáltalánsemmi sem létezik. Viszont valami it t nem st immel. Ha semmi sem létezik, akkor honnan a pap,

aki ezt állí t ja?Ami mindezek után tényleg következik, az az, hogy Baal sziget úgy, ahogy leírtam, nemlétezhet. Nem pusztán arról van szó, hogy nem létezik (ami már a történet kezdetétől nagyonvalószínű volt ), hanem arról, hogy logikailag bizonyos, hogy nem létezhet. Mivel ha létezne, ésa történetem igaz lenne, akkor ebből (mint lát tuk) logikailag következne, hogy semmi semlétezik, így Baal szigete sern létezne. Ez ellentmondás, tehát Baal szigete nem létezhet.A különös az, hogy egészen az utolsó történet ig (157. feladat) minden, amit elmondtam,bármilyen valószínűt lennek látszott , logikailag lehetséges volt . Az utolsó történet volt azutolsó csepp a pohárban!

11. A zombile szigeteA. „BŰ" ÉS „BÁ"Hait i közelében, egy szigeten a lakosok fele vudu varázslat áldozata let t , és zombivá*változott . Ezek a zombik azonban nem a szokásos módon viselkednek, nem csendesélőhalot tak, épp olyan elevenen mozognak és beszélnek, mint az emberek, csak éppen azombik mindig hazudnak, az emberek pedig mindig igazat mondanak.Ez eddig úgy hangzik, mint egy más körí téssel feltálalt lovag-lókö-tő történet, de nem erről vanszó! A helyzet sokkal bonyolultabb, mert bár az összes bennszülöt t tökéletesen ért i azangolt ,** egy régi tabu megt ilt ja nekik a külföldi szavak használatát . Ezért valahányszorfelteszünk egy igen-nem kérdést, ők „Bű"-t vagy „Bá"-t válaszolnak -amiből az egyik igent, amásik nemet jelent . A baj az, hogy azt nem tudjuk, hogy a „Bű" és a „Bá" közül melyik jelent i azigent és melyik a nemet.158. Találkoztam egyszer a sziget egyik bennszülöt t jével, és megkérdeztem: „Azt jelent i a„Bű", hogy igen?9Ezt válaszolta: „Bű".a) Meg lehet tudni ebből, hogy mit jelent a „Bű"?b) Meg lehet-e tudni ebből, hogy a válaszoló ember volt vagy zombi?159. Ha találkozunk egy bennszülöt tel ezen a szigeten, ki lehet egyet len kérdéssel találni,hogy mit jelent a „Bű"? (Ne felejtsük el, hogy a válasz „Bű" vagy „Bá" lesz.)160. Tegyük fel, hogy nem az érdekel minket, hogy mit jelent a „Bű", hanem csak az, hogyakivel beszélünk, zombi-e! Hogyan tudná ezt egyet len kérdéssel kiderí teni? (Megint „Bű"-tvagy „Bá"-t fog válaszolni.)161. Hogyan lehet elérni, hogy az orvosságos ember „Bu"-t mondjon? Ön szeretnéfeleségül venni a sziget királyának lányát. A i Irály csak olyasvalakihez hajlandó hozzáadni alányát, aki elég okos, ezért önnek előbb meg kell oldania egy feladatot .A feladat a következő: Ön feltehet az orvosságos embernek egy tetszőleges kérdést. Ha az„Bű"-t válaszol, akkor Ön feleségül vehet i a király lányt , ha „Bá"-t , akkor nem.Olyan kérdést kell kitalálnia, hogy az orvosságos ember „Bű"-t válaszoljon rá, függet lenül at tól,hogy ember vagy zombi, és hogy a JUT" igent vagy nemet jelent .162. Egy nehezebb feladat következik. Azt beszélik, hogy arany van a szigeten. Önodaérkezik, de mielőt t nekilátna az ásásnak, szeretné tudni, hogy tényleg van-e arany aszigeten. A bennszülöt tek mindnyájan tudják, hogy van-e, vagy nincs. Hogyan lehetne eztegyet len kérdéssel megtudni valamelyik bennszülöt től? Ne felelejtse el, hogy „Bű"-t vagy „Bá"-t fog válaszolni, és Önnek ebből tudnia kell, hogy van-e arany a szigeten, függet lenül at tól,hogy a „Bű" és a „Bá" valójában mit jelent.B. CRAIG FELÜGYELŐ KÖZBELÉP163. A tárgyalás. Emberek és zombik egy szomszédos szigetén szintén a „Bű" és a „Bá" azigen és a nem bennszülöt t megfelelői (nem szükségképpen ugyanebben a sorrendben). Abennszülöt tek egy része B ű"-vel és „Bá"-val válaszol a kérdésekre, de mások, megtörve atabut, használják az „Igen" és „Nem" szavakat.Valamilyen furcsa okból, a sziget bármelyik családjának a tagjai egyforma t ípusúak. Ha pl.kiválasztunk egy testvérpárt , akkor vagy mindketten emberek, vagy mindketten zombik.Egy bennszülöt tet felségsértéssel vádoltak. Az eset olyan jelentős volt , hogy oda kellet t hívniCraig felügyelőt Londonból. A három koronatanú, A, B és C, a sziget három lakója volt . Craig

felügyelő vezette a kihallgatást , a következő feljegyzés a bírósági jegyzőkönyvből való:Kérdés (A-hoz): Ártat lan a vádlot t?Aválasza: Bű.Kérdés (B-hez): Mit jelent a „BűB válasza: A „Bű" igent jelent . Kérdés (C-hez): A és B testvérek? C válasza: Nem.Második kérdés C-hez: Ártat lan a vádlot t?C válasza: Igen.Ártat lan a vádlot t vagy bűnös?164. Meghatározható-e a fent i feladatban, hogy A és B azonos t ípusúak-e?165« Félzombik. A tárgyalás után Craig felügyelő ellátogatot t egy különös szigetre aközelben: a bennszülöt tek egy része ember, egy része zombi, a többieket pedig félzombikénttartot ták számon. A félzombikat is elérte a vudu varázslat , de a varázsigék csak részbenvoltak hatásosak. Ennek eredményeképp a félzombik néha hazudnak, néha igazat mondanak.Az igen és a nem szavak bennszülöt t megfelelői megint a „Bű" és a „Bá" (nem feltét lenülebben a sorrendben). Az igen-nem kérdésekre néha angolul válaszolnak a bennszülöt tek,néha „Bű"-vel és „Bá"-val.Craig felügyelő találkozott az egyik bennszülöt tel, és a következő kérdést tet te fel: „Ha valakimegkérdezi öntől, hogy a „Bű" igent jelent-e, és ön bennszülöt t nyelven válaszol, akkor „Bű"-tmond?"A bennszülöt t válaszolt , de Craig felügyelő nem jegyezte meg a választ , sőt még arra sememlékszik, hogy az illető angolul válaszolt -e vagy bennszülöt tek nyelvén. Csak azt tudja, hogya válaszból meg tudta állapí tani, hogy az illető ember, zombi vagy félzombi volt .Mit válaszolt az illető és milyen nyelven?166. Melyik? Egy másik alkalommal ugyanezen a szigeten Craig felügyelő megkérdezett egybennszülöt tet : „Ha valaki megkérdezi öntől, hogy kettő meg kettő az négy-e, és önbennszülöt tek nyelvén válaszol, akkor, Bű"-t mond?"Craig felügyelő megint nem jegyezte meg, hogy a válasz „Bű", „Bá", „Igen" vagy „Nem" volt , deazt megint meg tudta állapí tani, hogy az illető ember, zombi vagy félzombi volt .Milyen választ kapott?MEGOLDÁSOK158. Azt nem lehet megmondani, hogy a „Bű" mit jelent, de azt igen lOgy az illető ember.Tegyük fel, hogy a „Bű" igent jelent ! Ekkor a „Bű igaz válasz arra a kérdésre, hogy a „Bű" igentjelent-e. Ezért ebben az esetben az illető ember.Tegyük fel, hogy a „Bű" nemet jelent ! Ekkor a „Nem" igaz válasz angolul arra a kérdésre, hogy a

„Bű" igent jelent-e, emiat t a „Bű" igaz válasz a bennszülöt tek nyelvén ugyanerre a kérdésre.Ezért az illető most is ember. Vagyis függet lenül at től, hogy a „Bű" igent vagy nemei jelent , azillető ember.159. Mindössze azt kell megkérdezni tőle, hogy ember-e. A sziget minden lakosa embernekvallja magát, így ember és zombi erre egyaránt igenlően fog válaszolni. Vagyis ha „Bű"-tválaszol akkor a „Bű" jelent i az igent, ha „Bá"-t válaszol, akkor a „Bá" jelent i az igent (és a „Bű"a nemet).160. A 158. feladat kérdése jó lesz, kérdezzük meg, hogy a „Bű" igent jelent-e. Ha a „Bű" igentjelent , akkor a „Bű" az igaz válasz a kérdésre, ezért egy ember „Bű"-t , egy zombi „Bá"-t fogválaszolni. Ha a „Bű" nem jelent igent, akkor megint csak a „Bű" az igaz válasz a kérdésre,ezért egy ember most is „Bű"-t , egy zombi pedig „Bá"-t fog válaszolni.161. Ezt többféleképpen is megtehet jük. Az egyik lehetőség, hogy megkérdezzük azorvosságos embertől, hogy „Bű"-e az igaz válasz arra a kérdésre, hogy ő ember-e. Be tudjukbizonyítani, hogy erre „Bű"-t kell válaszolnia. Az egyszerűség kedvéért legyen H az a kérdés,hogy „Ön ember?" Ne felejtsük el, hogy nem azt akarjuk megkérdezni, hogy H igaz vagy hamis,hanem azt, hogy „Bű"-e az igaz válasz //-ra.Első eset: Az orvosságos ember ember. Ha a „Bű" igent jelent , akkor „Bű" az igaz válasz //-ra,és mivel ember, őszintén meg fogja mondani, hogy az, így „Bű"-t fog válaszolni. Ha a „Bű"

nemet jelent , akkor „Bű" nem az igaz válasz //-ra, ezért őszintén meg fogja mondani, hogy nem,így „Bű"-t fog válaszolni (ami nemet jelent). Vagyis ha ember, akkor „Bű"-t fog válaszolni,függet lenül at tól, hogy a „Bű" igent vagy nemet jelent .Második eset: Az orvosságos ember zombi. Ha a „Bű" igent jelent , akkor „Bű" nem az igazválasz //-ra, de mivel ő zombi, hazudni fog, és azt mondja, hogy igaz válasz, így „Bű"-t fogválaszolni (ami azt jelent i, hogy „Igen, ez igaz válasz", ami természetesen hazugság). Ha a„Bű" nemet jelent , akkor „Bű" az igaz válasz //-ra, ezért hazudni fog, és azt mondja, hogy nemez az igaz válasz, így „Bű"-t fog válaszolni (ami nemet jelent). Vagyis ha zombi, akkor „Bű -tfog válaszolni, függet lenül at tól, hogy a „Bű" igent vagy nemet jelent .Más kérdések is megfelelőek lehetnek, pl.1. Igaz, hogy vagy ön ember és a „Bű" igent jelent , vagy zombi és a „Bű" nemet jelent?2. Igaz hogy ön akkor és csak akkor ember, ha a „Bű" igent jelent?162. Ezt is többféleképpen megtehet jük. Egyik lehetőség, hogy ezt kérdezzük: „Ha valakimegkérdezi öntől, hogy van-e arany a szigeten, akkor ön, Bű-t válaszol?" Megmutat juk, hogyha van arany a szigeten, akkor „Bű"-t fog válaszolni, ha pedig nincs, akkor „Bá"-t , függet lenülat tól, hogy ember vagy zombi, és függet lenül at tól, hogy a „Bű" és a „Bá" mit jelent. Legyen G a„Van-e arany a szigeten?" kérdés. Első eset: Az illető ember, és a „Bű" igent jelent. Tegyük felhogy van arany a szigeten! Ekkor „Bif'-t fog válaszolni a G kérdésre. Mivel ember, őszinténmegmondja, hogy „Bű"-t vá „laszolna G-re, ezért „Bű"-t válaszol az Ön kérdésére. Tegyük felhogy nincs arany a szigeten! Ekkor nem válaszolna „Bű"-t G re, és mivel ember, megmondja,hogy nem, ezért „Bá"-t válaszol az Ön kérdésére.Második eset: Az illető zombi, és a „Bű" igent jelent. Tegyük fel, hogy van arany a szigeten!Ekkor a „Bű" megint igaz válasz G-re, ezért mivel zombi, nem válaszolna „Bű"-t G-re. Dehazudik, és azt mondja, hogy „Bű"-t válaszolna G-re. Vagyis „Bű"-t fog Önnek válaszolni.Tegyük fel, hogy nincs arany a szigeten. Ekkor a „Bű" hamis válasz G-re, ezért ő G-re eztválaszolná. De hazudik, és azt mondja, hogy nem „Bű"-t válaszolna, ezért az Ön kérdésére„Bá"-t fog válaszolni.Harmadik eset: Az illető ember, és a „Bű" nemet jelent. Tegyük fel, hogy van arany a szigeten!Ekkor „Bű" hamis válasz G-re, ezért egy ember nem válaszolná ezt . Az illető őszinténmegmondaná, hogy nemtlaszolna „Bű -t , vagyis az Ön kérdésére „Bű"-t fog válaszolni. Ha nincs arany a szigeten,akkor „Bű" az igaz válasz G-re, ezért ez az a fáiasz, amit egy ember G-re adna. Vagyis az Önkérdésére „Bá"-tálaszol (ami ezt jelent i: „Igen, Bű-t válaszolnék G-re").Negyedik eset: Az illető zombi, és a „Bű" nemet jelent. Tegyük fel, hogy van arany a szigeten!Ekkor az illető „Bű"-t válaszolna G-re, de I )nnek azt mondaná, hogy nem, vagyis az Önkérdésére „Bű"-t fog válaszolni. Tegyük fel, hogy nincs arany a szigeten! Ekkor az illető „Bá"-tválaszolna G-re, nem „Bű"-t . De Önnek azt mondaná, hogy Igen, ezért az Ön kérdésére „Bá"-tfog válaszolni.Összegezve: ha van arany a szigeten, akkor a négy eset mindegyiké-bcn „Bű"-t kapunkválaszul, ha nincs arany, akkor „Bá"-t .Egy másik megfelelő kérdés: „Igaz, hogy ön akkor és csak akkor i-inber, ha ,Bű' az igaz válaszarra a kérdésre, hogy van-e arany a szigeten?"163. Először bebizonyít juk, hogy C nem lehet zombi. Tegyük fel, hogy az! Ekkor A és Btestvérek, ezért mindketten emberek vagy mindketten zombik. Tegyük fel, hogy mindkettenemberek! Ekkor a „Bű" tényleg igent jelent , így A igent válaszolt arra, hogy a vádlot t ártat lan-e, ezért a vádlot t ártat lan. Tegyük fel, hogy A és B mindketten zombik! Ekkor a „Bű" valójábannemet jelent , és mivel A zombi, és nemet válaszolt arra, hogy a vádlot t ártat lan-e, a vádlot tártat lan. Vagyis ha C zombi, akkor a vádlot t ártat lan (függet lenül at tól, hogy A és B emberekvagy zombik). Másrészt ha C zombi, akkor a vádlot t bűnös, mivel C azt mondta, hogy ártat lan.Ez ellentmondás; tehát C nem lehet zombi, C ember. És mivel C azt mondja, hogy a vádlot tártat lan, a vádlot t tényleg ártat lan.164. Mivel C ember, A és B nem testvérek. Ez természetesen nem l el tét lenül jelent i azt , hogy

különböző t ípusúak, lehetnek egyforma t ípusúak akkor is, ha nem testvérek. Történetesenazonos t ípusúaknak kell lenniük, mert ha különböző t ípusúak lennének, akkor a vádlot tnakI M i n ő sn ek kellene lennie. Ezt az Olvasó könnyen beláthat ja maga is.165. A négy lehetséges válasz - „Bű", „Bá", „Igen", „Nem" - közül az egyet len, amit sem ember,sem zombi nem mondhat, a „Nem". Másképp fogalmazva: ha egy ember vagy egy zombiangolul válaszolt volna, akkor „Igen"-t kellet t volna válaszolnia; ha a bennszülöt teknyelvén válaszolt volna, akkor ha a „Bű" igent jelent , akkor „Bű -t válaszolt (függet lenül at tól,hogy ember vagy zombi), és ha a „Bű" nemei jelent , akkor „Bá"-t válaszolt . Emiatt ha Craigbármilyen más választ kapott volna a „Nem"-en kívül, akkor abból nem tudhatta volna, hogy azillető miféle. De tudta, tehát „Nem" választ kapott , és az illető félzombi volt .166. Az illető megint félzombi, és ezt Craig csak abból tudhatta, hogy „Bá" választ kapott . Haaz illető angolul válaszolt volna, akkor Craig nem tuzdhatta volna, hogy miféle, hiszen ember is,zombi is „Igen"-t válaszolt volna, ha a „Bű" igent jelent , és „Nem"-et , ha a „Bű" nemet jelent . Haaz illető „Bű"-t válaszolt volna, akkor ember is, zombi is, félzombi is lehetet t volna.126 • H á tb o rz o ng a tó mes ék

12. Él-e még Drakula?A. ERDÉLYBENAnnak ellenére, amit Bram Stoker mond, alapos okom van, hogy kételkedjem abban, hogyDrakula gróf valaha is tényleg meghalt . Ezért elhatároztam, hogy Erdélybe utazom, hogymagam nyomozzam ki az igazságot. Az volt a célom, hogy: 1. megtudjam, hogy Drakula gróf él-e még; 2. abban az esetben, ha meghalt , szeret tem volna látni a maradványait ; 3. abban azesetben, ha még él, szeret tem volna találkozni vele.Az idő tájt , amikor Erdélyben jártam, a lakosoknak kb. a fele ember volt , a fele vámpír. Azemberek és a vámpírok külsejük alapján megkülönböztethetet lenek, de az emberek(legalábbis Erdélyben) mindig igazat mondanak, a vámpírok mindig hazudnak. Amielképzelhetet lenül bonyolult tá teszi a helyzetet , az az, hogy Erdély lakosságának a feletökéletesen őrült , kényszerképzeteik vannak: minden igaz állí tást hamisnak hisznek, ésminden hamis állí tást igaznak hisznek. A lakosság másik fele teljesen egészséges, tudja, hogymelyik állí tás igaz és melyik hamis. Erdély lakossága így négy t ípusba sorolható: 1.egészséges emberek; 2. őrült emberek; 3. egészséges vámpírok; 4. őrült vámpírok. Amit egyegészséges ember mond, az igaz, amit őrült ember, az hamis, amit egészséges vámpír, azhamis, amit őrült vámpír, az igaz. Pl. egy egészséges ember azt fogja mondani, hogy kettőmeg keltő az négy; őrült ember pedig azt , hogy nem négy (mert ő azt hiszi, hogy nem annyi);egészséges vámpír szintén azt , hogy nem négy (mert tudja, hogy négy, de hazudik); őrültvámpír pedig azt , hogy négy (mivel azt hiszi, hogy nem négy, de hazudik arról, hogy mit hisz).167. Találkoztam egyszer egy erdélyivel, aki ezt mondta: „Ember agyok, vagy egészségesvagyok".Pontosan miféle volt?168. Egy másik lakos ezt mondta: „Nem vagyok egészséges ember". Miféle volt?169. Egy másik lakos ezt mondta: „Őrült ember vagyok". Ugyanolyan volt , mint az előző lakos?170. Találkoztam egyszer egy lakossal, akit megkérdeztem: „Ön őrült vámpír?" „Igen"-t vagy„Nem"-et válaszolt , és válaszából megtudtam, hogy miféle.Miféle volt?171. Találkoztam egyszer egy erdélyivel, aki ezt mondta: „Vámpír vagyok".Megtudhat juk ebből, hogy az illető ember vagy vámpír? És hogy egészséges-e?172. Tegyük fel, hogy egy erdélyi ezt mondja: „Őrült vagyok".a) Megtudhat juk ebből, hogy egészséges-e?b) Megtudhat juk ebből, hogy ember vagy vámpír?I 73. Egy szellemi rejtvény. A „HaP, akkor Q" állí tás megfordí tása a „Ha Q, akkor P" állí tás.Van két állí tásunk, X és Y, amik egymás megfordí tásai, és olyanok, hogy1. Egyik sem következik a másikból.2. Ha egy erdélyi állí t ja valamelyiket , akkor ebből következik, hogy a másik igaz.Tudna két ilyen állí tást mondani?

Tudna két ilyen állí tást mondani?174. Adott egy tetszőleges X állí tás. Tegyük fel, hogy egy erdélyi hisz abban, hogy elhiszi X-et ! Következik-e ebből, hogy X igaz? Tegyük fel, hogy nem hisz abban, hogy elhiszi X-et !Következik-e ebből, hogy X hamis?175. Tegyük fel, hogy egy erdélyi ezt mondja: „Elhiszem X-et"! Ha az illető ember, akkorkövetkezik-e ebből, hogy X igaz? Ha vámpír, akkor következik-e ebből, hogy X hamis?A feladat megoldása alapján egy fontos általános megállapí tást tehetünk!176. Találkoztam egyszer két erdélyivel, A-val és B-vel. Megkérdeztem A-t : „B ember?" Aválasza: „Úgy hiszem." Ezután megkérdeztem B-t : „Ön hiszi, hogy A ember?" Mit válaszolt B(feltéve, hogy „Igen"-t vagy „Nem"-et válaszolt )?177. Nevezzünk egy erdélyit megbízhatónak, ha az illető egészséges ni ki , vagy őrült vámpír,és megbízhatatlannak, ha őrült ember, vagy/ séges vámpír. Megbízhatóak azok, akik igazat mondanak, megbíz- i illanok pedig, akikhazudnak (akár rosszakaratból, akár kényszerí t /eteik miat t ).Tegyük fel, hogy Ön megkérdezi egy erdélyitől: „Ön megbízható?", a/ illető „Igen"-t vagy„Nem"-et válaszol! Meg tudja-e ebből álla-pftani, hogy az illető vámpír vagy nem? Meg tudja-eebből állapí tani, h o g y az illető egészséges-e?178. Tegyük fel, hogy a fent iek helyet t Ön ezt kérdezi: „Hisz abban, hogy ön megbízható? Azillető „Igen"-t vagy „Nem"-et válaszol. Most meg tudja-e állapí tani ebből, hogy az illető vámpír-e? Azt meg tudja-e állapí tani ebből, hogy egészséges-e?B. ÉL-E MÉG DRAKULA GRÓF?179. Ne felejtsük el, hogy az első fontos kérdés, amire választ szeret-tem volna kapni, az volt ,hogy él-e még Drakula gróf. Nos, megkérdeztem erről egyszer egy erdélyit , aki ezt mondta: „Haember vagyok, akkor Drakula gróf még él".Meg lehet-e ebből tudni, hogy él-e még Drakula?180. Egy másik erdélyi ezt mondta: „Ha egészséges vagyok, akkor 1 )rakula gróf még él".Meg lehet-e ebből tudni, hogy él-e még Drakula?181. Egy másik ezt mondta: „Ha egészséges ember vagyok, akkor Drakula gróf még él".Meg lehet-e ebből tudni, hogy él-e még Drakula?182. Tegyük fel, hogy egy erdélyi ezt mondja: „Ha egészséges ember vagy őrült vámpírvagyok, akkor Drakula gróf még él"!Meg lehetne-e ebből tudni, hogy él-e még Drakula?183. Van-e olyan állí tás, amivel egy erdélyi meggyőzhet minket arról, ho g y Drakula él, méghozzáúgy, hogy az is kiderül belőle, hogy az állí tásha mi s ?

184. Van-e olyan állí tás, amivel egy erdélyi meggyőzhet minket arról,hogy Drakula még él, méghozzá úgy, hogy nem tudjuk eldönteni, hogy az állí tás igaz vagyhamis?185. Tegyük fel, hogy egy erdélyi a következőket állít ja:1. Egészséges vagyok.2. Hiszek abban, hogy Drakula gróf halot t . Megtudhatnánk-e ebből, hogy él-e Drakula?186. Tegyük fel, hogy egy erdélyi a következőket állí t ja:1. Ember vagyok.2. Ha ember vagyok, akkor Drakula gróf még él. Megtudhatnánk-e ebből, hogy él-e Drakula?C. MIT KELLENE KÉRDEZNI?187. Ki tudná-e találni egyet len kérdéssel egy erdélyiről, hogy vámpír vagy nem?188. Ki tudná-e találni egyet len kérdéssel egy erdélyiről, hogy egészséges vagy nem?189. Tudna-e olyat kérdezni egy erdélyitől, amire az illető „Igen"-t válaszol, függet lenül at tól,hogy a négy t ípus melyikébe tartozik?190. Megtudhat ja-e egyet len kérdéssel egy erdélyitől, hogy él-e még Drakula gróf?D. DRAKULA KASTÉLYÁBANHa összeszedtem volna minden tudományomat és rájöt tem volna az utolsó feladatmegoldására, akkor tengernyi gondtól kímélhettem volna meg magamat. De annyira össze

voltam zavarodva, annyira megtévesztet lek az őrültek és egészségesek hazugokra ésigazmondókra széttördelt kereszt t ípusai, hogy egyszerűen képtelen voltam világosangondolkodni. Mindemellet t egy kissé idegesítet t az erdélyiek társasága, akik között ugyevámpírok is voltak. És még sokkal nehezebb feladatok vártak rám!Még mindig nem tudtam, hogy él-e Drakula gróf. Úgy éreztem, hogy csak akkor tudom kitalálnia választ , ha bejutok Drakula kasté-Iba. Akkor még nem tudtam, hogy ez csak bonyolultabbá teszi a l' >lgot - amint azt hamarosanlátni fogják.Pontosan tudtam, hogy hol van a kastély, és azt is, hogy ot t nagy Ki 1 olyik. Azt is tudtam,hogy a kastélynak van ura, de azt nem, hogy I > i akula gróf-e ez az úr (és persze, hogy Drakulaél-e egyáltalán). I hrakuia kastélyába kizárólag csak meghívással lehetet t bejutni, ésmeghívást csak az erdélyi társadalom elit je kapott . Emiatt több hónapot kellet t eltöltenemazzal, hogy feltornásszam magam a társadalmi ranglétrán, mire elég magasra kerültem ahhoz,hogy meghívjanak. Végül elérkezett a nap, és megkaptam a meghívást egy több napon éséjszakán át tartó mulatságra Drakula kastélyába.Nagy reményekkel indultam, de hamarosan elért az első megrázkódtatás. Röviddel azután,hogy megérkeztem a kastélyba, észrevettem, hogy a nagy kapkodásban elfelejtet temmagamhoz venni a fogkefémet, a zsebsakk-készletemet és az olvasnivalómat, így hátelindultam, hogy visszamenjek értük a szállásomra, de a kapunál feltartóztat o t t egytagbaszakadt, durva kinézetű erdélyi, aki udvariasan, de ellentmondást nem tűrően közöltevelem, hogy aki egyszer belép Drakula kastélyába, az azt nem hagyhat ja el a várúr engedélyenélkül. „Akkor" - mondtam „szeretnék találkozni a várúrral". „Ez pillanatnyilag teljesenlehetet len - válaszolta -, „de egy üzenetet átadhatok neki, ha kívánja". Nos, küldtem egylevelet a várúrnak, amelyben megkértem, hogy hadd hagyjam el a kastélyt egy rövid időre.Hamarosan megjöt t a válasz, ami rövid volt , és nem túl biztató. így szólt : „Szó sem lehet róla!"így hát Drakula kastélyának foglya voltam! Mit tehettem volna? Pillanatnyilag nyilván semmit ,ezért egy igazi Zen-mester módjára elhatároztam, hogy élvezni fogom az estélyt , amennyirecsak lehet, és majd akkor lépek a tet tek mezejére, ha erre lehetőség kínálkozik.Alegcsodálatosabb estély volt , amiről valaha is hallot tam vagy olvastam. Éjjel ket tő körülelhatároztam, hogy visszavonulok, ekkor megmutatták a szobámat. Érdekes módon a rámleselkedő óriási veszély ellenére nyugodtan aludtam. Másnap dél körül keltem fel, és a bőségesreggeli után elvegyültem a vendégek között , remélve, hogy többet is megtudhatok. Ekkor ért amásodik megrázkódtatás. A társaság minden tagja (rajtam kívül) az erdélyi előkelőségek egyolyan, kis létszámú csoport jához tartozott , akik az „Igen" és „Nem" szavak helyet t a „Bű" és a„Bá" szavakat használták, épp úgy, mint a zombik szigetén! Vagyis az ún. „előkelő" erdélyiekolyan társaságába kerültem, ahol mindenki vagy vámpír, vagy ember, és vagy egészséges,vagy őrült , és ami mindennek a teteje, nem tudtam, hogy a „Bű" és a „Bá" mit jelent! ígyazoknak a közönséges „nem előkelő" erdélyieknek a bonyolult rétegződése, akikkel akastélyon kívül beszéltem, tetéződött a zombik szigetének bonyolultságával. Úgy tűnt, hogy akastélyba való jövetelemmel nem pusztán csöbörből vödörbe estem, hanem az előzőnélrosszabb helyzetbe kerültem.Felismerve ezt , at tól tartok, teljesen elvesztet tem a Zen-mesterekre jellemző nyugalmamat,és a nap hátralevő részében meglehetősen nyomott hangulatban voltam. Korán lefeküdtem,még azt sem bántam, hogy elmulasztom az ünnepség második estélyét . Fáradtan hevertem,képtelen voltam arra is, hogy aludjak, arra is, hogy gondolkozzak. Majd hirtelen felugrot tam,megtaláltam az öt letet az elinduláshoz. Rájöt tem, hogy az új Bű-Bá bonyodalmak valójábankönnyen kezelhetők. Izgatot tan papírt és ceruzát ragadtam, és a következőket gondoltam ki:191. Egyet len kérdéssel (amire „Bű" vagy „Bá" a válasz) ki tudom találni bárkiről a kastélyban,hogy vámpír-e.192. Egyet len kérdéssel ki tudom találni, hogy egészséges-e.193. Egyet len kérdéssel ki tudom találni, hogy a „Bű" mit jelent.194. Ha szükséges, a kastélyban bárkinek fel tudok tenni olyan kérdést, amire biztos, hogy„Bű"-t fog válaszolni.195. Egyet len kérdéssel ki tudom találni, hogy él-e még Drakula! Ön is?E. DRAKULA REJTÉLYE

Közeledünk a csúcsponthoz! Másnap mindent megtudtam, amit akartam - Drakula tényleg éltmég, tökéletes egészségben, és ő volt a házigazdám. Meglepetésemre még az is kiderült ,hogy Drakula egy őrült vámpír, így minden állí tása igaz. De mit ért számomra ez a tudás,amikor az a veszély fenyegetet t ,vámpírrá válok, és mindörökre elvesztem a lelkemet? Csak a l O rs kegyében bízhattam. Néh ánynappal később az ünnepségek vé-urtek, és rajtam kívül az ö ssz es vendég megkapta azengedélyt a távozásra. Ott maradtam hát lényegében egyedül a - most már hátborzongatóansivár - kastélyban, egy olyan várúr foglyaként, akivel még nem is találkoztam.Nem kellet t sokáig várnom. Nem sokkal éjfél előt t durván felráztak i l mo mb ó l , és udvariasan, dehatározottan Drakula gróf magánlak- i es z éb e kísértek. Drakula nyilván fogadni kívánt.Kísérőm távozott , és én ot t álltam szemtől szemben magával I ) i akula gróffal. Végtelenhosszúnak tűnő hallgatás után Drakula megszólalt : „Tisztában van azzal, hogy áldozataimnakmindig hagyok valamennyi esélyt a megmenekülésre?"„Nem" - válaszoltam őszintén -, „ezt nem tudtam".„Pedig így van" - mondta Drakula -, „nem tagadhatom meg magamtól ezt az élvezetet".Valahogy nem egészen tetszett az a hangsúly, amivel ezt mondta, nil magabiztosanhangzott .„Nézze" - folytat ta Drakula -, „mindig feladok egy rejtvényt az áldozataimnak. Aki egynegyedórán belül kitalálja a helyes választ , azt szabadon engedem. Aki nem tud válaszolni,vagy rosszul válaszol, azt megharapom, és et től örökre vámpírrá változik".„Egészséges vagy őrült vámpírrá?" - érdeklődtem ártat lanul.Drakula ret tentően dühbegurult . „A t réfája egyáltalán nem humoros!" - ordí tot ta. „Felmérte Önegyáltalán a helyzet súlyát? Nem vagyok olyan hangulatban, hogy eltűrjek ilyen komolytalanmegjegyzéseket. Még egy ilyen, és nem adom meg a szokásos esélyt".Bármilyen félelmetesen is hangzott mindez, az első reakcióm a kíváncsiság volt , vajon miérthajlandó Drakula önként kockáztatni, hogy elveszítsen egy áldozatot . „Mi késztet i önt erre anagylelkű gesztusra?" - érdeklődtem.„Nagylelkűség?" - mondta Drakula megvetően. „Hát az aztán egy porcikányi sincs bennem.Egyszerűen hatalmas élvezetet lelek abban, h o g y végignézhetem, ahogy áldozatom izegmozog, fészkelődik, és ez .i lelki gyötrelem bőségesen ellensúlyozza azt a végtelenül kis \alószínűséget, hogy elveszíthetem".Ez a „végtelenül kicsi" nem volt túl megnyugtató. „Ó, igen" folytat ta Drakula -, „még sosemveszítet tem el egyet len áldozatomat sem, így hát láthat ja, nem vállalok túl nagy kockázatot".„Rendben van" - mondtam, összeszedve magam, amennyire csak tudtam -, „mi a rejtvény?"196. Drakula áthatóan nézett rám egy darabig. „A vendégeimhez intézett kérdései nagyonokosak voltak - ó, igen, tudok az összesről. Tényleg nagyon okos, de talán nem annyira, mintgondolja. Minden értesüléshez, amire vágyott , külön kérdést tervezett , nem találta meg azt azegyszerű egyesítéses módszert , ami megkímélte volna a sok fejtöréstől. Létezik ugyanis egyolyan S mondat, ami rendelkezik azzal a -szinte varázslatos tulajdonsággal, hogy ha megszeretné tudni, hogy egy tetszőleges X állí tás igaz-e, akkor csak azt kell megkérdemievalakitől a kastélyban, hogy „5 ekvivalens X-szel?" Ha „Bű"-t kap válaszul, akkor X igaz, ha„Bá"-t , akkor hamis. Ha pl. azt szeretné megtudni, hogy beszélgetőtársa vámpír-e, akkor eztkell kérdeznie: „S akkor és csak akkor igaz, ha ön vámpír?" Ha azt szeretné megtudni, hogy azillető egészséges-e, akkor csak meg kell kérdeznie: „S akkor és csak akkor igaz, ha önegészséges?" Ha azt szeretné megtudni, hogy a „Bű" mit jelent, csak annyit kell kérdeznie,hogy „S akkor és csak akkor igaz, ha a „Bű" igent jelent?" Ahhoz, hogy kitalálja, hogy élek-emég, csak ezt kellet t volna kérdeznie: „5 akkor és csak akkor igaz, ha Drakula még él?" stb.„Mi ez az S mondat?" - kérdeztem meglehetősen kíváncsian.„Ah - válaszolta Drakula -, „Ez az, amit Önnek kell kitalálnia! Ez az Ön rejtvénye!"így szólván Drakula felkelt , hogy elhagyja a szobát. „Van t izenöt perce. Jól tenné, hakeményen gondolkodna, elég nagy a tét".Hát tényleg elég nagy volt . Életem legkínosabb t izenöt perce következett . A félelem annyiramegbénítot t , hogy semmi nem jutot t eszembe. Biztos voltam benne, hogy Drakula t itokban

figyel valamilyen rejtekhelyről.Amikor letelt a t izenöt perc, Drakula győzelemit tasan tért vissza, és már csorgott a nyála,ahogy egyre közelebb és közelebb jöt t , végül szinte már rajtam volt . Ekkor hirtelen felemeltema kezem, és felsikoltot tam: „Hát persze! Az S mondat az, hogy..."Mi az az S mondat, ami megmentet t engem?Epilógus. Szegény Drakulának akkora megrázkódtatást jelentet t , hogy megoldottam arejtvényt, hogy rögtön szörnyethalt , és néhány percen l leiül porrá oszlot t szét. így hát, hamost valaki megkérdezi tőlem, hogy I le még Drakula gróf?", akkor őszintén és pontosanválaszolhatom, hogy „Bű".197. Drakula kastélyában történt kalandjaim leírása négy kisebb következet lenségettartalmaz. Megtalálja őket?MEGOLDÁSOK167. Állí tása vagy igaz, vagy hamis. Tegyük fel, hogy hamis! Ekkor az illető nem is ember, ésnem is egészséges, tehát őrült vámpír. De az őrült vámpírok mindig igazat mondanak, ezzelellentmondásra jutot tunk. Tehát állí tása igaz. Igazat viszont csak az egészséges emberek ésaz őrült vámpírok mondanak. Ha őrült vámpír lenne, akkor nem lehetne ember vagyegészséges, ezért állí tása hamis lenne. De tudjuk, hogy állí tása igaz. Tehát egészségesember.168. Őrült vámpír169. Nem, ezúttal egészséges vámpír.170. Egészséges ember „Nem"-et válaszolna erre a kérdésre, a másik három t ípus mindegyike„Igen"-t . Ha „Igen" választ kaptam volna, akkor nem tudhattam volna, hogy az illető milyentípusú. „De mint mondtam, tudtam, tehát nem „Igen"-t válaszolt . Vagyis „Nem"-et válaszolt ,amiből következik, hogy egészséges ember.171. Azt nem tudhat juk, hogy ember vagy vámpír, de azt igen, hogy őrült . Egészséges embernem mondja, hogy ő vámpír, egészséges vámpír pedig tudná, hogy ő vámpír, és hazudna, aztállí tva, hogy ember. Másrészt, őrült ember azt hinné, és ezért azt is mondaná, hogy ő vámpír,örült vámpír pedig azt hinné, hogy ember, és azt mondaná, hogy vámpír.172. Ezúttal azt tudhat juk, hogy az illető vámpír. Egészséges ember nem mondhatta volna,hogy ő őrült , őrült ember pedig azt hit te volna, hogy egészséges, és mivel ember, nemmondhatta volna, hogy őrült .173. Biztos vagyok benne, hogy sok ilyen mondatpár van, nekem ez jutot t az eszembe:X: Ha egészséges vagyok, akkor ember vagyok.Y: Ha ember vagyok, akkor egészséges vagyok.*Tegyük fel, hogy az illető erdélyi X-et állí t ja! Be fogjuk bizonyítani, hogy K-nak igaznak kelllennie, vagyis ha az illető ember, akkor egészséges. Tegyük fel, hogy ember! Ekkor igaz, hogyha egészséges, akkor ember (mivel ember). Ezek szerint X igaz. Ekkor az illető egészséges,mivel az őrült emberek nem mondanak igazat. Tehát ha az illető ember, akkor egészséges,vagyis / igaz.Másfelől tegyük fel, hogy az illető Y-t állí t ja! Meg kell mutatnunk, hogy X igaz. Tegyük fel, hogyaz illető egészséges! Ekkor Y igaz. Emiatt az illető ember (mivel az egészséges vámpírok nemmondanak igazat). így ember (ha feltesszük, hogy egészséges). Tehát ha egészséges, akkorember, vagyis X igaz.174. Mindkét kérdésre „Igen" a válasz. Tegyük fel, hogy egy erdélyi hisz egy bizonyos X

állí tásban! Ebből természetesen nem következik, hogy X igaz, hiszen lehet, hogy az illető őrült .De ha azt hiszi, hogy hisz X-ben, akkor már X igaz! Ehhez először tegyük fel, hogy az illetőegészséges! Mivel elhiszi azt az állí tást , hogy ő hisz X-ben, az az állí tás, hogy hisz X-ben, igaz.Emiatt ő tényleg hisz X-ben. És mivel egészséges, X igaz. Másrészt tegyük fel, hogy az illetőőrült ! Mivel elhiszi azt az állí tást , hogy ő hisz X-ben, az az állí tás, hogy hisz X-ben, hamis. Ezértvalójában nem hisz X-ben (csak azt gondolja). Mivel nem hisz X-ben és őrült , X megint igaz.Ezzel megmutattuk, hogy ha egy erdélyi azt hiszi, hogy hisz X-ben, akkor X igaz, függet lenül

attól, hogy az illető egészséges vagy őrült . Hasonlóan látható be, hogy ha nem hiszi, hogy hiszX-ben, akkor X hamis. Ezt az Olvasóra bízzuk.175. Megint mindkét válasz „Igen" - ez az előző feladat megoldásából következik.Kö n n yen b el á t h a t ó , h o g y a z 1. t el t ét el t el j esü l , a z a z eg yi k m o n d a t i g a z sá g á b ó l sem kö vet kez i k a m á si k m o n d a t i g a z sá g a . A t o vá b b i a kb a n a 2. f el t ét el t b i z o n yí t j u k. (Af o rd í t ó .)

l együk fel, hogy A azt állí t ja, hogy hisz X-ben! Ha A ember, akkor i hiszi, amit állí t , vagyis azthiszi, hogy hisz X-ben. Ekkor - amint I a 174. feladat megoldásánál lát tuk - X igaz, akáregészséges A, i őrült . Hasonlóan, ha A vámpír, akkor nem azt hiszi, amit állí t , Igyis nem hiszi,hogy hisz X-ben. Ezért X hamis, akár egészséges A, lkár őrült .176. A azt állí t ja, hogy hisz abban, hogy B ember. B vagy azt állí t ja, hogy hisz abban, hogy Aember, vagy azt , hogy hisz abban, hogy A neminber. Az utóbbi esetben a következő ellentmondást kapnánk:1. A azt mondja, hogy hisz abban, hogy B ember.2. B azt mondja, hogy hisz abban, hogy A nem ember.Tegyük, fel, hogy A ember! Ekkor az 1. állí tásból következik - a 175. feladat módszerével -,hogy B ember. Ekkor a 2. állí tásból követ kez i k, hogy A nem ember (ugyanazzal a módszerrel). Ezellentmondás azzal, hogy A ember.Tegyük fel, hogy A vámpír! Ekkor az 1. állí tásból következik (ugyan a z z a l a módszerrel), hogy Bnem ember, vagyis B vámpír. Ekkor a 2. állí tásból (ugyanazzal a módszerrel) következik, hogyA ember. Ez megint ellentmondás. Vagyis ha B „Nem"-et válaszolt volna, ellentmondásrajutnánk. Tehát B „Igen"-t válaszolt .177. Semmi ilyesmit nem lehet megállapí tani, mert erre a kérdésre minden erdélyi „Igen"-t fogválaszolni. Ezt az Olvasó maga is ellenőrizhet i.178. Most más a helyzet. Azt nem tudjuk megállapí tani a válaszból, hogy az illető ember vagyvámpír, de azt megtudhat juk, hogyí 'észséges-e. Ha egészséges, akkor „Igen"-t fog válaszolni, ha őrült , akkor „Nem"-et . Abizonyítást az Olvasóra bízzuk.179. Nem, nem lehet. Lehetséges, hogy az illető egészséges ember, és I ) i akula él, de az islehetséges, hogy őrült vámpír, és Drakula halot t . (Tulajdonképpen ha az illető őrült vámpír,akkor Drakula élő is lehet,halot t is.)180. A válasz megint „Nem".181« A válasz megint „Nem". Az illető pl. őrült vámpír is lehet, amikor is Drakula lehet, hogy él,lehet, hogy halot t .182. Igen, most következik ebből, hogy Drakula él.Használjuk a 177. feladat elnevezéseit , és fogalmazzuk át az illető állí tását így: „Hamegbízható vagyok, akkor Drakula él".A 8. fejezetben bizonyítot tuk (I. a 109-112. feladatok megoldá-sát),hogy ha lovagok és lókötőkszigeténak egy lakója ezt mondja: „Ha lovag vagyok, akkor ez-meg-ez", akkor az illető lovag,az ez-meg-ez pedig igaz. Ugyanígy, ha egy erdélyi ezt mondja: „Ha megbízható vagyok, akkorez-meg-ez", akkor megbízható, és az ez-meg-ez igaz. A bizonyítás ugyanaz, csak a „lovag"szót helyet tesí t jük a „megbízható" szóval.183. Egy megfelelő állí tás: „Megbízhatat lan vagyok, és Drakula halot t". A bizonyítást azOlvasóra bízzuk. (Tanács: először azt mutassa meg, hogy az illető megbízhatat lan.)184. Egy megfelelő állí tás: „Akkor és csak akkor vagyok megbízható, ha Drakula még él".A 8. fejezet 122. feladatának megoldása során bebizonyítot tuk, hogy ha a lovagok és lókötőkszigetének egy lakosa ezt mondja: „Akkor és csak akkor vagyok lovag, ha ez-meg-ez", akkoraz ez-meg-ez igaz (de azt nem lehet tudni, hogy az illető lovag vagy lókötő). Ugyanígy, ha egyerdélyi ezt mondja: „Akkor és csak akkor vagyok megbízható, ha ez-meg-ez", akkor az ez-meg-ez igaz, akár megbízható az illető, akár nem. A bizonyítás ugyanaz, csak a „lovag" szóthelyet tesí t jük a „megbízható" szóval.Sok más állí tás is megfelel. Pl.: „Hiszek abban, hogy az az állí tás, hogy Drakula él, ekvivalensazzal az állí tással, hogy ember vagyok". Egy másik, még szellemesebb példa: „Hiszek abban,hogy ha valaki megkérdezné tőlem, hogy él-e még Drakula, akkor Jgen'-t válaszolnék".

185. Igen, ebből következne, hogy Drakula halot t .Az 1. állí tásból megtudhat juk, hogy az illető ember, hiszen egy egészséges vámpír tudná,hogy ő egészséges, ezért azt mondaná, hogy ni l i , őrült vámpír pedig azt hinné, hogy őegészséges, és azt mon-I ni , hogy őrült . Az illető tehát ember. I mlékezzünk vissza a 175.feladatban alkalmazott módszerre: ha ember azt mondja, bogy hisz valamiben, akkor az avalami igaz, függet lenül at tól, hogy az illető egészséges vagy őrült . Azt már tudjuk, hogy azillető ember, és hogy azt mondja, hogy hisz abban, hogy 1 ) i akula halot t . Emiatt Drakula grófhalot t .186. Az 1. állí tásából: „Ember vagyok" az nem következik, hogy nnber, de az igen, hogyegészséges. (Őrült ember nem tudná, hogy ő ember, őrült vámpír pedig azt hinné, hogy ember,és azt mondaná, hogy vámpír.) Most már tudjuk, hogy az illető egészséges, be fogjukbizonyítani, hogy ember. Tegyük fel, hogy vámír! Ekkor az, hogy ember, hamis, és mivel hamisállí tás bármit implikál, a 2. állí tás: „Ha ember vagyok, akkor Drakula még él" igaz lenne.De egészséges vámpír nem mondhat igazat, így ellentmondásra jutot tunk. Tehát nem lehetvámpír, csak ember.Most már tudjuk, hogy az illető egészséges is és ember is, ezért igazat mond. Emiatt másodikállí tása, miszerint ha ő ember, akkor I )rakula még él, igaz. És az illető ember. Tehát Drakulamég él.187. Csak azt kérdezze meg tőle, hogy egészséges-e. Egy ember (akár egészséges, akárnem) erre „Igen"-t fog válaszolni, egy vámpír pedig ,,Nem"-et .188. Csak azt kérdezze meg tőle, hogy ember-e. Egy egészséges erdélyi (akár ember, akárvámpír) erre „Igen"-t fog mondani egy őrült erdélyi pedig „Nem"-et .A következő néhány feladatnál csak a kérdéseket mondom el. Most már biztos van annyigyakorlata, hogy magától is be tudja bizonyítani, hogy ezek a kérdések megfelelnek.189. Egy megfelelő kérdés: „Hisz ön abban, hogy ön ember?" Erre a krrdésre minden erdélyi„Igen"-t válaszol. Ez nem jelent i azt , hogy mindnyájan azt hiszik, hogy emberek (csak azegészséges emberek és az őrült vámpírok hiszik ezt), de mindenki azt fogja mondani, hogyhiszbenne.Egy másik megfelelő kérdés: „Megbízható Ön?" Minden erdélyi megbízhatónak vallja magát.190. A következő kérdések bármelyike megfelel:1. „Ekvivalens az az állí tás, hogy Ön megbízható azzal az állí tással, hogy Drakula él?"2. „Hisz Ön abban, hogy az az állí tás, hogy Ön ember, ekvivalens azzal az állí tással, hogyDrakula él?"191. Kérdezze meg tőle, hogy „Bű" a helyes válasz arra a kérdésre hogy Ön egészséges-e?Ha „Bű"-t válaszol, akkor ember, ha „Bá"-t , akkor vámpír.192. Kérdezze meg tőle, hogy „Bű" a helyes válasz arra a kérdésre hogy Ön ember-e? Ha „Bif'-t válaszol, akkor egészséges, ha „Bá"-t , akkor őrült .193. Kérdezze meg tőle, hogy „Hisz abban, hogy Ön ember?" Akármelyik szóval is válaszol,annak kell az /gení jelentenie. Ugyanígy ezt is kérdezhet i: „Ön megbízható?"194. E megfelelő kérdés: „ ,Bí f a helyes válasz arra a kérdésre, hogy Ön megbízható-e?" (Nefelejtsük el, hogy a megbízható egészséges embert vagy őrült vámpírt jelent.)Egy másik megfelelő kérdés: „Ön akkor és csak akkor megbízható, ha a „Bű' igent jelent?"Bármely kérdésre az illetőnek „Bű"-t kell válaszolnia, és ez lényegében ugyanúgy bizonyítható,mint a 11. fejezet 161. feladatának megoldása (azzal a különbséggel, hogy most amegbízhatónak lenni játssza azt a szerepet, amit ot t az embernek lenni).195. A következő kérdések bármelyike megfelel:1. Hisz Ön abban, hogy a „Bű" a helyes válasz arra a kérdésre hogy az az állí tás, hogy Önember, ekvivalens-e azzal az állí tással, hogy Drakula él?2. „Bíf' a helyes válasz arra a kérdésre, hogy az az állí tás hogy Ön megbízható, ekvivalens-eazzal az állí tással, hogy Drakula él?Egy sokkal egyszerűbb és elegánsabb megoldást ad az egyesítéses módszer, amiről a 196.feladatban lesz szó.

196. Ai egyesítéses módszer Nevezzünk egy előkelő erdélyit l-es t ípusúnak, ha „Bű"-tválaszol arra a kérdésre, hogy „2 meg 2 az 4?" Ezrmészetesen azt jelent i, hogy bármilyen olyan kérdésre, amire a helyes ilasz „Igen", egy l-est ípusú „BiT-t fog válaszolni. Nevezzünk egy It fkelő erdélyit 2-es t ípusúnak, ha az illető nem l-es t ípusú. Ez azt jelent i, hogy ha adott egy tetszőleges X igaz állí tás (pl. hogy 2 meg 2 az I>.és Ön megkérdez egy 2-es t ípusút, akkor az „Bá"-t fog válaszolni arra, hogy igaz-e X.Rögtön jegyezzük meg, hogy ha a „Bíf igent jelent , akkor azok az emberek l-es t ípusúak, akikmegbízhatóak, és azok az emberek 2-es t ípusúak, akik megbízhatat lanok. Ha a „Bű" nemetjelent , akkor ennek i Fordítot t ját kapjuk (l-es t ípus = megbízhatat lan, 2-es t ípus =meghízható).Az egyesítéses módszer a következő: Ahhoz, hogy kitaláljuk egy tetszőleges X állí tásról,hogy igaz-e, csak azt kell megkérdeznünk egy előkelő erdélyitől, hogy X ekvivalens-e azzal azállí tással, hogy ő l-es t ípusú. Megfogalmazhat juk így is a kérdést: „Akkor és csak akkor igaz X,ha ön l-es t ípusú?" Be fogjuk bizonyítani, hogy ha az illető ,,Bű"-t válaszol, akkor X igaz, hapedig „Bá"-t válaszol, akkor X hamis. Vagyis a bűvös S mondat: Ön l-es t ípusú" (azaz: „Ön,Bű'-t válaszol arra a kérdésre ,„ hogy 2 + 2 = 4-e").Bizonyítás: S ez a mondat: „Ön l-es t ípusú"; X pedig az az állí tás, aminek szeretnemeggyőződni az igazságáról. Ön azt kérdezi, hogy S ekvivalens-e X-szel. Tegyük fel, hogy„Bű" választ kap! Bebizonyí t j u k, hogy ekkor X igaz.Első eset: A „Bű" igent jelent. Ekkor két dolgot tudunk: (i) l-es t ípus = megbízható; (ii) az illetőazzal, hogy „Bű"-t mond, azt állí t ja, hogy S ekvivalens X szel.la. aleset: Az illető l-es típusú. Ekkor megbízható és igazat mond. Ezért S tényleg ekvivalensX szel, és S igaz (mivel az illető l-es lípusű). Tehát X igaz.Ib. aleset: Az illető 2-es típusú. Ekkor megbízhatat lan és hazudik. Mivel azt állí t ja, hogy Sekvivalens X szel, S nem ekvivalens X-szel. I >e S hamis (mivel az illető nem l-es t ípusú), és Xnem ekvivalens S sel, tehát X igaz.Második eset: A „Bű" nemet jelent. Ebben az esetben két dolgottudunk: (i) l-es t ípus = megbízhatat lan; (ii) az illető azt állí t ja, hogy S nem ekvivalens X szel.2a. aleset: Az illető l-es típusú. Ekkor megbízhatat lan és hazudik. Hamisan állí t ja, hogy S nemekvivalens X szel,vagyis valójában S ekvivalens X-szel. Mivel S igaz, X is igaz.2b. aleset: Az illető 2-es típusú. Ekkor megbízható, és igazat mond. Ezért S nem ekvivalens X-szel (mivel az illető azt állí t ja, hogy nem), de S hamis, tehát X megint igaz.Megmutattuk, hogy a „Bű" válasz azt jelent i, hogy X igaz. Hasonló okoskodássalmegmutathatnánk, hogy a „Bá" válasz azt jelzi, hogy X hamis. Választhat juk azonban akövetkező rövidí tet t utat is:Tegyük fel, hogy az illető „Bá"-t válaszol! De a „Bá" válasz erre a kérdésre ugyanaz, mint ha„Bű"-t válaszolna a következő kérdésre: „Ön akkor és csak akkor l-es t ípusú, ha X hamis?"(Mivel két tetszőleges K, í 11. Z állí tás esetén az, hogy Y ekvivalens Z-vel, az éppen azellentéte annak, hogy Y ekvivalens azzal, hogy nem Z). Vagyis az illető „Bű"-t válaszolt volna,ha azt kérdezte volna tőle, hogy „Ön l-es t ípusú akkor és csak akkor, ha X hamis?" Mivel erre„Bű"-t válaszolt volna, ebből következik, hogy X hamis (a fent részletezett bizonyítással).197. Válasz a következet lenségek kérdésére.1., 2. Drakula két alkalommal is ezt mondta: „Ó, igen". Előkelő erdélyi nem használja az „Igen"szót.3. Amikor a tagbaszakadt, durva kinézetű erdélyi azt mondta, hogy nem hagyhatom el akastélyt a várúr engedélye nélkül, miért kellet t volna ezt elhinnem neki?4. Amikor a várúr visszaüzente nekem, hogy „Szó sem lehet róla", miért kellet t volna eztelhinnem neki? Még nem tudtam akkor, hogy a várúr őrült vámpír és igazat mond.

Negyedik részA logika roppant

szórakoztató dolog13. A logika és az életA. Ml A LOGIKA?198. Subidu véleménye. Nagyon kedvelem Subidu vélekedését a logikáról:Subidam (Alice-hez): Tudom, mire gondolsz, de ez nincs így, semmiképp.Subidu: Ellenkezőleg viszont ha így volna, akkor így lehetne, ha így lenne, akkor így lehetet tvolna, de mivel nincs így, hát nem így van. Ez logikus.*199. Thurber véleménye. A The Thirteen Clocks-bzn kb. így jellemzi a logikát : Mivellehetséges az, hogy hozzáérjünk egy órához anélkül, hogy megállí tanánk, akkor az islehetséges, hogy elindí tsunk egy órát anélkül, hogy hozzáérnénk. Amennyire én látom, ez alogika.200. Thurber jellemzése kissé emlékeztet kedvenc szillogizmusomra: Az autók java zörög. Azén autóm autó a javából. Nem csoda tehát, hogy zörög.201. Még egy vélemény a logikáról:Amikor egy - volt rendőrt iszt - barátom meghallot ta, hogy logikával foglalkozom, ezt mondta:„Hadd meséljem el, hogy én hogy látom a logikát . A minap vendégségben voltunk afeleségemmel. A háziasszony süteménnyel kínált minket. A tálcán már csak két darab volt ,egy nagyobb meg egy kisebb. Gondolkodtam egy darabig, majd eldöntöt tem, hogy anagyobbat veszem el. így okoskodtam: Tudom, hogy a feleségem szeret i a süteményt, éshogy ő is tudja, hogy én szeretem a süteményt. Azt is tudom, hogy szeret engem, és aztakarja, hogy örüljek, tehát azt szeretné, hogy a nagyobb darabot kapjam. Ezért a nagyobbatvettem el."R évb í ró Ta m á s f o rd í t á sa .

202. A fent i történet arra a két emberre emlékeztet , akik egy vendéglőben halat rendeltek. Apincér kihozott egy tálat , amin két hal volt , egy nagyobb meg egy kisebb. Az egyik ember ígyszólt a másikhoz: „Tessék, vegyél. Mire a másik: „Oké, és kivet te a nagyobbat. Egy kis időmúlva az egyik ezt mondta: „Tudod, ha te kínáltál volna engem, én a kisebbet választot tamvolna!" A másik így felelt : „Mit panaszkodsz, azt kaptad, nem?"203. Ez pedig arra a hölgyre emlékeztet , aki részt vet t egyszer egy banketten. Amikorhozzákerült az az ezüsttálca, amin a spárga volt , az összesnek levágta a hegyét, a tányérjáratet te, majd a maradékot továbbadta a szomszédjának. „Hogyan tehette ezt? Miért tartot tameg magának az összes spárga hegyét, nekem csak a maradékot hagyta" -kérdezte aszomszédja. „Ó, hát nem tudta, hogy a csúcsa a legfinomabb?" - válaszolta a hölgy.204. A következő rajzos viccet lát tam egyszer egy újságban: Egy kisfiú és egy kislány sétál ajárdán, a fiú megy belül. Éppen egy teherautó megy el mellet tük a sáros úton, és reménytelenülösszefröcsköli a lányt . A fiú ezt mondja: „Na, most már érted, hogy miért nem kívül megyek,ahogy lovagias?"205. Szeretem az et ika következő jellemzését is. Egy fiú megkérdezte az apjától: „Apa, mi azet ika?" Az apa válasza: „Elmagyarázom, fiam. A minap bejöt t egy hölgy az üzletbe.Húszdollárossal fizetet t , de t ízesnek hit te. Én is t ízesnek hit tem, ezért úgy is adtam vissza.Néhány órával később felfedeztem, hogy húszas volt . És most jön az et ikai kérdés:Elmondjam-e az üzlet társamnak?"206. Egyszer egy matematikus barátommal elmentem egy kínai ét terembe. Az ét lapra eztnyomtatták: Extra árak mindenért, ami extra. „Az elejét és a végét nyugodtan lehagyhatnák" -jegyezte meg a barátom.207. A következő feliratot lát tam egyszer egy vendéglő kirakatában A JÓ ÉTEL NEM OLCSÓ,AZ OLCSÓ ÉTEL NEM JÓ.Ugyanazt jelent i ez a két mondat, vagy nem?A válasz az, hogy logikailag pontosan ugyanazt mondják, mindkettő 146 • A l o g i ka ro p p a n t sz ó ra ko z t a t ó d o l o g

ekvivalens azzal az állí tással, hogy nincs olyan étel, ami egyszerre jó és olcsó. Bár logikailagekvivalensek ezek az állí tások, mégis azt mondanám, hogy pszichológiailag különböző dolgotsugallnak; amikor az első mondatot olvasom el, egy drága, jó étel képe jelenik meg előt tem,amikor a másodikat, akkor valami olcsó, pocsék ételre gondolok. Nem hinném, hogy ez a

reakció kivételes.B. ÖN FIZIKUS VAGY MATEMATIKUS?208. Két serlegről szól egy jól ismert feladat, az egyikben 10 dl víz, a másikban 10 dl bor van. 3dl vizet átöntünk a boros serlegbe, majd összekeverjük, és 3 dl keveréket visszaöntünk a vizesserlegbe. Ekkor a vízben lesz több bor, vagy a borban lesz több víz?Kétféleképpen lehet megoldani ezt a feladatot ,̂ vagy úgy, hogy nekilátunk és kiszámoljuk,vagy józan ésszel. Én sokkal jobban szeretem az utóbbit . A számolásos megoldás akövetkező: miután átöntöt tünk 3 dl vizet a boros serlegbe, abban 13 dl keverék lesz, aminek3/13 része víz és 10/13 része bor. Azzal, hogy 3 dl keveréket visszaöntünk a vizes serlegbe, 3-10/13 = 30/13 dl bort öntünk a vízbe, így tehát a vízben 30/13 dl bor lesz. A visszatöltés előt ta boros serlegben 3 dl víz volt , és 3-3/13 dl vizet töltöt tünk vissza a vizes serlegbe. így a borosserlegben 3 - 9/13 dl víz maradt. De 3 - 9/13 = 39/13- 91 13 = 30/ 13. A boros serlegben tehátpontosan annyi víz lesz (30/13 dl), amennyi bor a vizes serlegben.Józan ésszel a feladat sokkal gyorsabban megoldható, és valami sokkal általánosabbat sugall:Mivel ugyanannyi folyadék van mindkét serlegben, mint az átöntögetések előt t , nyilvánvaló,hogy akármennyi víz is hiányzik a vizes serlegből, azt ugyanannyi borral pótoltuk. Ezzelmegoldottuk a feladatot . Természetesen ez a megoldás nem mondja meg, hogy ez mennyi,míg a számolásos megoldásból kiderül, hogy 30/13. Viszont a józan ésszel történő megoldásugyanígy alkalmazható a következő sokkal általánosabb feladatra (amit számolásosmódszerrel sosem lehetne megoldani).Ugyanazokkal a serlegekkel kezdjük, mint az előbb, és oda-vissza töltögetünk valamennyifolyadékot az egyikből a másikba, nem figyelve arra, hogy mennyit öntünk át és hányszor, mégaz sem érdekes, hogy minden alkalommal ugyanannyit töltünk-e át , csak arra ügyeljünk, hogyamikor befejezzük, mindkét serlegben 10 dl folyadék legyen. A borban lesz most több víz, vagya vízben lesz több bor?Józan ésszel végiggondolva ugyanúgy egyformának kell lennie a két mennyiségnek, de nemtudhat juk, hogy mennyinek.209. Amikor először találkoztam a fent i feladattal, rögtön a következő kérdés jutot t eszembe:Megint 10 dl vízzel kezdjük az első serlegben, A-ban, és 10 dl borral a második serlegben, B-ben. Oda-vissza töltögetünk 3 dl-t véges sokszor. Legalább hány töltögetés szükségesahhoz, hogy elérjük azt az állapotot , amikor a két keverékben ugyanannyi a bor?Arra gondoltam, hogy ezt lehetet len véges számú lépéssel elérni. Függet lenül at tól, hogymennyi bor van az egyik és mennyi a másik serlegben, és függet lenül at tól, hogy mennyifolyadékot öntünk át az egyes lépésekben (csak azt követeljük meg, hogy sose ürí tsük kiegyik serleget se), a bor koncentrációja a B serlegben mindig magasabb lesz, mint az A-ban.Ez belátható egyszerű matematikai indukcióval. Kezdetben természetesen nagyobb a borkoncentrációja B-ben, mint A-ban. Tegyük fel, hogy egy adott állapotban B koncentrációja mégmindig nagyobb, mint A-é! Ha most áttoltunk valamennyit B-ből A-ba, akkor az erősebbőltöltöt tünk át a gyengébbe, így B még mindig erősebb lesz, mint A. Ha A-ból öntünk át B-be, Bmég mindig erősebb lesz, mint A. Mivel minden átöntés ezen két eset valamelyike, ebbőlkövetkezik, hogy B-ben mindig nagyobb marad a koncentráció, mint A-ban. Az egyet len módarra, hogy egyformává tegyük a keverékeket az, ha az egyik serleg tartalmát teljes egészébenátönt jük a másikba.Ha ezt t isztán matematikai feladatként kezeljük, akkor megoldásom kifogástalan. Ha atényleges fizikai világról szóló feladatként, akkor megoldásom teljesen félrevezető. Az előbbfeltet tük, hogy a folyadékok végtelenül oszthatók, míg a valóságban különálló molekulákbóltevődnek össze. Erre hívta fel Mart in Gardner figyelmét P. E. Argyle Brit ish Columbiából. Argylekiszámolta, hogy 47 oda-vissza töltögetés után már igen valószínű, hogy a két koncentrációegyforma lesz!*Kíváncsi vagyok, hogy Argyle megoldása akkor is jó-e, ha a borban párat lan számú molekulavan, nem páros. Mindenesetre én soha az életben nem gondoltam volna ezt a feladatot inkábbfizikai, mint matemat ikai problémának.210. Mágneses feladat . Mart in Gardner tűzte ki a következő feladatot*: Ön egy olyanszobában van, ahol semmiféle fém nincs két fémrúd kivételével. Az egyik egy mágnesrúd, amásik nem mágneses. Úgy tudhat juk meg, hogy melyik a mágnes, hogy mindkettőt a közepére

kötöt t fonalra függeszt jük, és megfigyeljük, hogy melyik rúd áll be észak felé. De nincsegyszerűbb mód?Amegoldás az, hogy vegyük kézbe az egyik rudat, és a végével érintsük meg a másik rúdközepét. Ha vonzzák egymást, akkor a mágnes van a kezünkben, ha nem, akkor nem amágnes.Ez a „fizikus" megoldás teljesen szemléletes, és sokkal egyszerűbb, mint a másik eljárás arudak közepére kötöt t fonallal. Nos, én, aki inkább foglalkozom logikával, mint fizikával, akövetkező megoldást gondoltam ki, amiről úgy hiszem, hogy egyszerűségben valahol a kétmásik között van: csak az egyik rudat függesztem fel a közepére kötöt t fonallal ésmegnézzem, hogy ő beáll-e észak felé.211. És mi a helyzet Önnel? Ön matematikus vagy fizikus beállí tot tságú? Nos, a következőszórakoztató feladattal eldönthet i.Egy vidéki házikóban van egy tűzhely, ami nincs begyújtva, egy doboz gyufa, egy hidegvíz-csap és egy üres kanna. Hogyan tudna it t előállí tani egy kanna forró vizet? Erre Önvalószínűleg azt fogja válaszolni, hogy „Megtöltöm a kannát hideg vízzel, begyújtom atűzhelyet, és felteszem rá a kannát, amíg forró nem lesz a víz." „Nagyszerű, ebben eddig amatematikusok és a fizikusok teljesen egyetértenek, a következő feladat választ ja szét őket"- válaszolom erre én.Ezúttal egy vidéki házikóban van egy tűzhely, ami nincs begyújtva, egy doboz gyufa, egyhidegvíz-csap, és egy hideg vízzel töltöt t kanna. Hogyan tudna it t előállí tani egy kanna forróvizet? A legtöbb ember erre ezt válaszolja: „Begyújtom a tűzhelyet, és felteszem rá a kannavizet." Én erre ezt mondom: „Ön fizikus! A matematikus kiönt i a vizet , visszavezetve ezzel afeladatot az előzőre, amit már megoldottunk".M a rt i n Ga rd n er: M a t h em a t i c a l C a rn i va l . N ew Yo rk, Vi n t a g e Bo o ks, 1977. 178. o l d a l .

Tovább is mehetünk egy lépéssel, és nézhet jük azt az esetet , amikor a hideg vízzel töltöt tkanna már a begyújtot t tűzhelyen van. Hogyan kaphatnánk forró vizet? A fizikus csakmegvárja, amíg felforr a víz, a matematikus elolt ja a tüzet, kiönt i a vizet , visszavezetve ezzel afeladatot az elsőre (vagy lehet, hogy csak a tüzet olt ja el, visszavezetve ezzel a feladatot amásodikra).Egy még drámaibb variáció a következő: kigyulladt egy ház. Van a közelben egy tűzcsap ésegy locsolócső. Hogyan olt juk el a tüzet? Nyilván csat lakoztat juk a locsolócsövet atűzcsaphoz, és aztán locsoljuk vele az épületet . Most tegyük fel, hogy van egy tűzcsapunk,egy locsolócsövünk és egy házunk, ami nem gyulladt ki. Hogyan olt juk el a tüzet? Amatematikus először felgyújt ja a házat, hogy visszavezesse a feladatot az előzőre.212. Neumann és a legyes feladat . A következő feladatot „nehezebben" is és„könnyebben" is meg lehet oldani.Két vonat 200 mérföld távolságról indulva megy egymás felé, 50 mérföldes óránként isebességgel. Elindul egy légy az egyiknek az elejéről, és oda-vissza repül köztük 75 mérföldesóránként i sebességgel. Ezt egészen addig folytat ja, amíg halálra nem zúzza a kétösszeütköző vonat. Összesen mekkora távolságot repült be a légy?Halála előt t a légy végtelen sokszor repült neki mindkét vonatnak és a feladat megoldhatótávolságok végtelen sorozatának összegzésével (ezek a távolságok természetesen egyrekisebbek és kisebbek, és egy határozott véges mennyiséghez konvergálnak) - ez a„nehezebb" megoldási módszer, és papírra meg ceruzára van hozzá szükségünk. A„könnyebb" módszer a következő: Mivel a vonatok 200 mérföld távolságról indulnak, ésmindkét vonat óránként 50 mérföldet tesz meg, 2 óra múlva fognak összeütközni. Emiatt alégy 2 óra hosszat repked. Mivel a légy sebessége 75 mérföld óránként, a légy 150 mérföldtávolságot repült . Ennyi az egész!Amikor Neumann Jánosnak, a nagy matematikusnak feladták ezt a feladatot , gondolkodottpár másodpercet, majd „Persze, 150 mérföld" - mondta. „Nagyszerű, hogy jöt t ez ki? - kérdeztea barát ja. Neumann válasza: „Összegeztem a sorozatot".213. A következő vicc is Neumannról szól. Szaktanácsot kért tőle egy csoport , amelynek tagjaiegy űrrakétán dolgoztak, amit fel akartak küldeni az űrbe. Miután Neumann megnézte afélkész építményt, megkérdezte: „Honnan vették a terveket ehhez az űrrakétához?"„Megvannak a saját mérnökeink." - válaszolták neki. „Mérnökök!" - válaszolta megvetőenNeumann - „Amikor én teljesen kidolgoztam az űrrakéták matematikai elméletét . Nézzék meg

az 1952-es cikkemet." A csoport átnézte az 1952-es cikket, teljes egészében kiselejtezte a10 millió dolláros félkész építményt, és újraépítet te a rakétát pontosan követve Neumannterveit . Abban a pillanatban, ahogy fellőt ték, az egész építmény felrobbant. Dühösen kerestékfel Neumannt, és ezt mondták: „Követtük a cikk útmutatásait , mégis felrobbant, amikorfellőt tük. Miért?" Neumann válasza: „Ó, igen, ez az ún. robbanási probléma, ezzel egy 1954-escikkemben foglalkoztam."214. Ez az állí tólag igaz történet egy princetoni kislányról szól, akinek gondjai voltak aszámtannal. Egyszer, nem tudni mitől, kb. két hónap alat t csodálatos előremenetelt mutatot t .Egy napon megkérdezte tőle az édesanyja, hogy vajon mi ennek az ugrásszerű fejlődésnek azoka. A kislány válasza: „Hallot tam, hogy van egy tanár a városban, aki elég jó számtanos.Felkerestem, és azóta minden nap segít nekem. Tényleg egész jól taní t ." Az anya kissémeglepetten megkérdezte, hogy tudja-e az illető nevét. A kislány: „Nem, pontosan nememlékszem, de valahogy úgy hangzik, hogy Ein-stein"215. Egy másik történet szerint Einstein egyszer azt mondta egy kollégájának, hogy nemszeret koedukált főiskolákon tanítani, mert ahol annyi csinos lány van a teremben, ot t a fiúknem fordí tanak kellő figyelmet a matematikára és a fizikára. „Ugyan, Albert - mondták abarátai - „hiszen tudod, hogy vannak fiúk, akik arra figyelnek, hogy te mit mondasz". Einsteinválasza: „Igen, de az ilyen fiúkat nem érdemes tanítani."216. A következő vicc tökéletesen szemléltet i a matematikusok és fizikusok között ikülönbséget.Egy matematikus és egy fizikus együtt repültek a nyugat i partról egy washingtonikutatólaborba. Mindkettőjük részletes feljegyzéseket készítet t az útról. Valahol Kansasbanelrepültek egy fekete birka felet t . A fizikus felí rta: „Van egy fekete birka Kansasban". Amatematikus ezl í rta: „Létezik - valahol a közép-nyugaton - egy birka, aminek a háta fekete."C. VERMONTIAK217. Az előbbi vicc emlékeztet egy Calvin Coolidge-ról szóló történetre. Coolidge ellátogatot tegy farmra a barátaival. Amikor elmentek egy birkanyáj mellet t , az egyik barát ja megjegyezte:„Ezeket a birkákat úgy látom, éppen most nyírták meg". Coolidge válasza: „Legalábbis a felénkeső oldalukat.218. Amikor Will Rogerset, a humoristát bemutatni készültek Coolidge elnöknek, ezt mondtákneki: „Tudja, Coolidge-t lehetet len megnevettetni." „Én meg fogom nevettetni"-mondta erreRogers. És Will Rogersnek tényleg sikerült ! Amikor bemutatták az elnöknek, „Mr. Rogers, haddmutassam be önt Coolidge elnöknek." - mondták, Will Rogers az elnökhöz fordult , és így szólt :„Tessék? Nem értet tem a nevét."219. Calvin Coolidge természetesen vermont i volt , és én imádom a vermont i akról szólótörténeteket. Az egyik ilyen történet egy emberről szól, aki elsétált egy vermont i farmer házamellet t . A farmer a verandán ringatózott egy hintaszékben. A járókelő megkérdezte: „ígyhintázgatot t egész életében?" A farmer válasza: „Még nem!"220. Jellemző a vermont iakra (legalábbis, ahogy a humoros történetekben ábrázolják őket),hogy ha megkérdeznek valamit egy vermon-t itól, akkor az pontos választ ad, de a válaszbólgyakran épp az hiányzik, ami fontos, és ami miat t kérdezték. Tökéletesen szemléltet i ezt avermont i farmerről szóló vicc, aki egyszer elment megkérdezni a szomszéd farmertől: „Lem, temit adtál a lovadnak tavaly, amikor kólikás volt?" „Korpát és melaszt" - válaszolta Lem. Afarmer hazament, majd visszatért egy hét múlva. „Lem, korpát és melaszt adtam a lovamnak,mégis megdöglöt t ." - mondta. Lem válasza: „Az enyém is".221. A kedvenc vermont i történetem egy Vermontban járó turistáról szól, aki egyszer csak egyútelágazáshoz ért . Az egyik irányba „A Fehér folyó elágazásához" feliratú tábla mutatot t . Amásik irányba „A Fehér folyó elágazásához" feliratú tábla mutatot t . A turista tanácstalanul va-illa a fejét , majd megpillantot t egy vermont it az elágazásban, és lament hozzá. „Mindegy,melyik úton megyek?" - kérdezte. A ver-DOnti válasza: „Nekem teljesen."

D. NYILVÁNVALÓ?222. Ezt a történetet sok különböző matematikusról szokták elmesélni. A

matematikaprofesszor mond egy állí tást az előadásán, majd hoz-ft teszi: „Ez nyilvánvaló." Egy hallgató jelentkezik, és megkérdezi: .Miért nyilvánvaló?" Aprofesszor gondolkodik néhány percig, kimegy .i ieremből, visszajön kb. húsz perc múlva ésezt mondja: „Igen, tényleg nyilvánvaló!" - és folytat ja az előadást.223. Egy másik történet szerint a professzor találkozik egy hallgatóval a folyosón, nem sokkalaz előadása után. „Professzor úr, nem értet tem a 2. tételre adott bizonyítását. Elmagyaráznámég egyszer?" - mondja a hallgató. A professzor gondolataiba mélyed kb. három percre, majdmegszólal: „Igen, tényleg következik!" „De mi a bizonyítás?" - kérdezi B hallgató. A professzormegint gondolataiba mélyed, majd ezt mondja: „Tehát a bizonyítás jó." „Igen, de még mindignem mondta el a bizonyítást !" - válaszolja a hallgató. „Rendben van" - mondja a professzor -,„bebizonyítom magának másképp!" Megint gondolataiba mélyed, aztán ezt mondja: „így iskijöt t ." Szerencsét len hallgató jobban össze van zavarodva, mint valaha. A professzor így szól:„Nézze, három bizonyítást is adtam magának; ha egyik sem segít , nem hiszem, hogy valamitmég tehetnék." - és továbbsétál.224. Ez a történet egy híres fizikusról szól, aki egy szakmabelieknek tartot t előadása utánmegkérdezte: „Van valakinek valamilyen kérdése?" A hallgatóság egyik tagja jelentkezett , ésígy szólt : „Nem értet tem a B tételre adott bizonyítását". A fizikus válasza: „Ez nem kérdés!"225. Amikor végzős hallgató voltam Princetonban, a következőképp magyaráztuk a„nyilvánvaló" szó jelentését, at tól függően, hogy a matematika tanszék melyik tagja használtaéppen. Neveket nem írok, esak betűket.Ha A professzor azt mondja valamire, hogy nyilvánvaló, az azt jelent i, hogy ha hazamész, ésgondolkodsz rajta néhány hét ig, akkor rá fogsz jönni, hogy igaz.Ha L professzor azt mondja valamire, hogy nyilvánvaló, az azt jelent i, hogy ha hazamész, éséleted hátralevő részében ezen gondolkodsz, akkor lehet, hogy eljön a nap, amikor megérted.Ha C professzor azt mondja valamire, hogy nyilvánvaló, az azt jelent i, hogy az évfolyam márkét hete tudja.Ha F professzor azt mondja valamire, hogy nyilvánvaló, az azt jelent i, hogy valószínűleg nemigaz.E. SZÓRAKOZOTT PROFESSZOROK226. Történetünk szerint egy hallgató találkozott egyszer egy professzorral a folyosón.„Ebédelt már?" - kérdezte tőle. A professzor gondolkodott egy kicsit , majd így szólt : „Mondja,melyik irányból jöt tem, amikor megállí tot t?"227. A következő történetet Dávid Hubertről, a metematikusrói hallot tam. Egyszer elmeséltemegy fizikusnak, aki azt mondta, hogy ő ugyanezt a történetet Ampére-ről hallot ta!Ahogy én tudom, Hilbert professzor és a felesége egyszer estélyt adott . Miután az elsővendég megérkezett , Mrs. Hilbert félrevonta Dávidét, és így szólt : „Dávid, menj fel, és vegyélmásik nyakkendőt." Hilbert felment, eltelt egy óra és még nem jöt t vissza. Mrs. Hilbert aggódnikezdett , felment a hálószobába, és ot t találta Hubertet , aki mélyen aludt. Amikorfelébresztet ték, emlékezett rá, hogy levéve nyakkendőjét , automat ikusan elvégezte a többiszokásos mozdulatot is, levette ruháit , pizsamát húzott és lefeküdt.228. A kedvenc szórakozott professzoros történetemet Norbert Wienerről mesélték.Fogalmam sincs, hogy igaz vagy nem (bár el tudom hinni, mivel Wiener látása késői éveiretényleg nagyon megromlott), de akár igaz, akár nem, íme:Wienerék Cambridge egyik részéről átköltöztek a másikra. Mrs. Wiener, ismerve férjeszórakozottságát, elhatározta, hogy előre felkészít i őt a változásokra. Már harminc nappal aköltözködés előt t ezt mondta: „Tudod, Norbert , harminc nap múlva költözünk. Akkor majd hakijössz az órádról, ne az A buszra szállj, hanem a B buszra!"Igen, drágám." - válaszolta Wiener Misnap reggel M rs. Wiener ezt n«nulla: „Ne felejtsd el,Norbert , hogy huszonkilenc nap múlva költözködünk. Akkor majd ha kijössz az órádról, ne az

A buszra fcállj, hanem a B buszra! „Igen, drágám.' - válaszolta Wiener. Ez így ment egészen a

költözködés napjának reggeléig. Aznap M rs. Wiener «/i mondta: „Ma va n az a nap, Norbert ,amikor ha kijössz az órádról, ne az A buszra szállj, hanem a B buszra!" „Igen, drágám" -válaszolta Wi en er. Aztán amikor kijölt az órájáról, persze az A buszra szállt , hazament, ahol üresház fogadta. „Hát persze! Ma volt a költözködés napja!" - mondta magának, visszament aHarvard térre, felszállt a B buszra, majd leszállt annál a negállónál, amit jónak gondolt .Mindenesetre az új címet elfelejtet te. Sétálni kezdett a környéken, közben egészbesötétedett . Végre megpillantot t egy kislányt az utcán, odament hozzá, és megkérdezte:„Elnézést, de n em tudod vélet lenül, hogy hol laknak Wienerék?" A kislány válasza: „Gyere apu,én majd hazakísérlek!"F. MUZSIKUSOK229. Róbert Schumann, a zeneszerző, egyik darabja elejére ezt í rta: „Olyan gyorsan kelljátszani, amennyire csak lehetséges." Néhány sorral később ezt í rta: „Gyorsí tani!"230. Va n egy történet Richárd Wagnerről, aki egyszer Berlinben az utcán sétálva egykintornásra bukkant. Az a Tannháuser-nyitányt játszotta. Wagner megállt , és így szólt : „Ö n egykissé túl gyorsan játssza." A kintornás rögtön felismerte Wagnert , kalapot emelt , és eztmondta: „Nagyon köszönöm, Wagner úr! Nagyon köszönöm, Wagner úr!"Másnap Wagner visszatért ugyanarra a helyre, és a kintornás most már a helyes tempóbanjátszotta a nyitányt. Mögötte egy hatalmas felirat állt : „RICHÁRD WAGNER TANÍTVÁNYA".231. Ez a történet a Bostoni Filharmonikusok négy zenészéről szól, akik egyik nap elmentekcsónakázni. Az egyik zenész beleesett a vízbe, és így kiáltot t : „Segítség! N em tudok úszni!"Egy másik visszakiáltot t neki: „Akkor imitáld!"232. Brahms és az amatőr vonósnégyes. Ez a történet Johannes Brahmsról, azeneszerzőről szól, akinek volt négy barát ja, akik vonós hangszereken játszottak. Nagyongyenge zenészek voltak, de kedves emberek, és Brahms nagyon kedvelte őket. Elhatározták,hogy meglepik Brahmsot, és hat hónapon át lankadat lanul gyakorolták Brahms utolsóvonósnégyesét. Egyik este összeültek Brahmsnál egy estélyen, és az elsőhegedűs így szólt :„Johannes, van egy kis meglepetésünk a számodra. Légy szíves, gyere át a másik szobába".Brahms követte őket a másik szobába, a zenészek elővették hangszereiket , és elkezdtékjátszani a vonósnégyest. Már az első tétel több volt annál, mint amit szegény Brahms el tudottvolna viselni. Felugrot t , udvariasan, de kissé bágyadtan rájuk mosolygott , és elindult kifelé aszobából. Az elsőhegedűs utánaszaladt, és megkérdezte: „Johannes, milyen volt az előadás?Jó volt a tempó?" Brahms válasza: „A tempók nagyon jók voltak. Azt hiszem, a t iéd tetszett alegjobban".6. A SZÁMÍTÓGÉPEK233« Sok olyan kísérletet végeztek, amelynek során egy angol mondatot (rendszerint egykifejezést) egy számítógéppel lefordí t tat tak oroszra, majd egy másik számítógéppelvisszafordí t tat ták angolra. A kísérletek célja az volt , hogy megnézzék, mennyit torzul aszöveg.Egyik esetben ezzel a bibliai idézettel próbálkoztak: „A lélek kész, de a test erőt len". Amitvisszakaptak, az ez volt : „A vodka jó, de a hús vacak".*234. Egy másik alkalommal a következő mondással próbálkoztak: „Csak azt hiszem, amitlátok." Ez jöt t vissza: „A vakok hitet lenek."235. Ez a vicc egy IBM-ügynökről szól, aki azzal próbált meg eladni egy számítógépet, hogy az„mindent tud." „Kérdezzen tőle bármit , amit csak akar, válaszolni fog Önnek." - mondta azügynök az egyik vásárlónak. „Rendben van. Hol van az apám?" - kérdezte a vásárló. A gépgondolkodott egy percig, majd kiadott egy kártyát , amin ez állt : „Az Ön apja most Kanadábanhorgászik". „Na ugye, hogy nem jó a gép! Az apám már évekkel ezelőt t meghalt ." - mondta avásárló. „Nem, nem,I precízebben kell fogalmaznia. 1 [add legyem fel én a kérdést maga helyett" - válaszolta azügynök, majd odalépett a számítógéphez, és így ólt : „Ennek az embernek, aki it t áll, hol vanaz édesanyja férje?" A simítógép gondolkodott egy percig, majd kiadott egy kártyát : „Azdesanyja férje évekkel ezelőt t meghalt . Az apja most Kanadában hor-•\ i sz i k."

236. Amikor felszállt a világ első automata vezérlésű repülőgépe, az utasok egy kisséizgatot tak voltak. Aztán a hangosbeszélőn megszólalt a számítógép bizalomgerjesztő,megnyugtató hangja: „Hölgyeim és l í raim! Önöknek abban a kivételes szerencsében vanrészük, hogy a világ első teljesen automat izált repülőgépén utazhatnak. Nincsenekkiszolgáltatva a pilóta eset leges emberi tévedéseinek, tökéletesen megbízhatószámítógépek irányít ják a gépet. Mindenben gondjukat viselik. Semmi miat t nem kellaggódniuk - aggódniuk - aggódniuk - aggódniuk -...".237. A katonai számítógép. A kedvenc számítógépes történetem egy katonaiszámítógépről szól. A hadsereg éppen felküldött egy űrrakétát a Holdra. Az ezredes kétkérdést tet t fel a számítógépnek: 1. El fog-e érni az űrrakéta a Holdra? 2. Vissza fog-e azűrrakéta térni a Földre? A számítógép gondolkodott egy darabig, majd kiadott egy kártyát ,amin ez állt : „Igen". Az ezredes dühbe gurult , nem tudta, hogy ez az „Igen" az első kérdésreválaszol, vagy a másodikra, vagy a kettő konjunkciójára. Ezért mérgesen visszakérdezett :„Igen, de miV A számítógép gondolkodott egy darabig, majd kiadott egy kártyát , amin ez állt :„Igen, uram."

14. Hogyan bizonyítsunk bármit?Olyasvalamire gondolok, mint a spicces matematikus, aki így kiáltot t fel: „Bármit be tudokbizonyítani!"Platón „Euthüdémosz" c. dialógusában Szókratész így í rja le Kritón számára a szofistatestvérpár, Euthüdémosz és Dionüszodórosz csodálatos érvelőtehetségét: „Olyan ügyesek,hogy bármit meg tudnak cáfolni, akár igaz, akár hamis." Később a dialógus során Szókratészelmeséli, hogy hogyan bizonyít ja be Dionüszodórosz a haligatóság egyik tagjának,Ktészipposznak, hogy Ktészipposz apja egy kutya. A beszélgetés a következőképp zajlot t :D: Mondd csak, van neked kutyád?K: Mégpedig igen vad.D: És vannak kölykei?K: Vannak, azok is olyanok.D: Ugyebár apjuk ezeknek a kutya?K: Saját szememmel lát tam, amikor meghágta a szukát.D: No már most! Nem a t iéd a kutya?K: De igen.D: Ugyebár apa ő és a t iéd, így hát a te apád a kutya, te pedig a kutyakölyköknek vagy fivére.*E nagy szofisták példáján felbuzdulva, ebben a fejezetben én is be fogok bizonyítani sokfurcsa és meglepő dolgot.A. KÜLÖNFÉLE DOLGOK BIZONYÍTÁSA238. Annak bizonyítása, hogy Subidu vagy Subidam létezikEbből a bizonyításból nem az derül ki, hogy Subidu és Subidam mindketten léteznek, csupánaz, hogy legalább egyikük létezik. Azt sem fogjuk megtudni a bizonyításból, hogy melyikük az,aki tényleg létezik.Egy papíron a következő három mondai olvasható: 1. SUBIDAM NEM LÉTEZIK. 2. SUBIDUNEM LÉTEZIK3. EZEN A PAPÍRON LEGALÁBB EGY HAMIS MONDAT VAN.Vegyük szemügyre a harmadik mondatot . Ha ez hamis, akkor nem igaz, hogy a három állí tásközül legalább egy hamis, ami azt jelent i, hogy mindhárom mondat igaz, tehát a harmadikmondat is igaz, ami ellentmondás. Tehát a harmadik mondat nem lehet hamis, csak igaz.Emiatt a három mondat közül legalább egy tényleg hamis, de ez nem lehet a harmadik, vagyisvagy az első, vagy a második mondat hamis. Ha az első mondat hamis, akkor Subidam létezik,ha a második mondat hamis, akkor Subidu. Tehát Subidam vagy Subidu létezik.Egyszer meghívtak egy beszélgetésre a logikai rejtvényeimről egy egyetemi matematikusklubba. Melvin Fit t ing (egy volt taní tványom, aki meglehetősen jól ismer engem) mutatot t be.Bemutatása majdnem jobban megragadta könyvem szellemét, mint maga a könyv! Eztmondta: „Bemutatom Smullyan professzort , aki be fogja bizonyítani nektek, hogy vagy ő nemlétezik, vagy t i nem léteztek, de nem fogjátok tudni, hogy melyik."

239. Annak bizonyítása, hogy Subidi létezik:1. SUBIDI LÉTEZIK.2. EZEN A PAPÍRON MINDKÉT MONDAT HAMIS.Nézzük először a második mondatot . Ha igaz lenne, akkor mindkét mondat hamis lenne, így amásodik mondat is hamis lenne, ami ellentmondás. Tehát a második mondat hamis. Ekkor nemigaz, hogy mindkét mondat hamis, vagyis legalább az egyik igaz. Mivel a második mondat nemigaz, az első mondat igaz. Tehát Subidi létezik.240. És mi a helyzet a Mikulással? Sokan kétségbe vonják a Mikulás létezését.Iskolás éveimből emlékszem egy Mae Westről szóló t réfára: Miért nem lehet Mae Westugyanabban a telefonfülkében, mint a Mikulás?A válasz: Mert n i n c s Mikulás. (Ezt találóan „ontologikus" t réfának is nevezhet jük.)N o s, a kétségek eloszlatására három bizonyítást is adok, amelyek minden kételkedőtmeggyőznek arról, hogy a Mikulás létezik, sőt léteznie kell. Ezek a bizonyítások J. BarkleyRosser módszerének változatai. Ezzel a módszerrel bármit be lehet bizonyítani.Első bizonyítás: A bizonyítást egy dialógus keretében mutat juk be.Első logikus: A Mikulás létezik, ha nem tévedekMásodik logikus: Ha nem téved.Első logikus: Tehát állí tásom igaz.Második logikus: Természetesen!Első logikus: Akkor hát nem tévedtem, és Ön elismerte, hogy ha nem tévedek, akkor a Mikuláslétezik. Tehát a Mikulás létezik.Második bizonyítás: Az előző bizonyítás J. Barkley Rosser következő bizonyításának azátfogalmazása:HA EZ A MONDAT IGAZ, AKKOR A MIKULÁS LÉTEZIK.Abizonyítás öt lete ugyanaz, mint amikor azt bizonyít juk, hogy ha a lovagok és lókötőkszigetének egy lakója ezt mondja: „Ha lovag vagyok, akkor ez-meg-ez", akkor az illető lovag,és az ez-meg-ez igaz.Ha a mondat igaz, akkor biztos, hogy a Mikulás létezik (mivel ha a mondat igaz, akkor az isigaz, hogy ha a mondat igaz, akkor a Mikulás létezik, amiből következik, hogy a Mikulás létezik),tehát mivel fennáll az, amit a mondat állí t , a mondat igaz. Tehát a mondat igaz, és ha amondat igaz, akkor a Mikulás létezik. Ebből következik, hogy a Mikulás létezik.Kérdés: Tegyük fel, hogy a lovagok és lókötők szigetének egy lakosa ezt mondja: „Ha lovagvagyok, akkor a Mikulás létezik!" Bizonyít ja ez, hogy a Mikulás létezik?Válasz: Igen. Mivel ha a Mikulás nem létezne, akkor sem lovag, sem lókötő nem mondhatná ezta mondatot .Harmadik bizonyítás:EZ A MONDAT HAMIS, ÉS A MIKULÁS NEM LÉTEZIK.A részleteket az Olvasóra bízomDiszkusszió. Mi a rossz ezekben a bizonyításokban? Ugyanaz a hiba 160- A l o g i ka ro p p a n t sz ó ra ko z t a t ó

d o l o g bújik meg bennük, mint Port ia N kérőjének okoskodásában: a szóban Ibrgó mondatok egyrésze nem jelent semmit (1. a 15. fejezetet), így nem tehet jük fel sem azt, hogy igazak, semazt, hogy hamisak. A következő bizonyítás teljesen más elven alapul.241. Annak bizonyítása, hogy létezik egyszarvú. Szeretném bebizonyítani, hogy létezikegyszarvú. Ehhez nyilvánvalóan elég azt az erősebb állí tást bizonyítani, hogy létezik létezőegyszarvú. (Létező egyszarvún természetesen olyan egyszarvút értek, ami létezik.) Biztos,hogy ha létezik egy létező egyszarvú, akkor léteznie kell egyszarvúnak, így mindössze annyitkell bizonyítanom, hogy létezik egy létező egyszarvú. Két lehetőség van:1. Egy létező egyszarvú létezik.2. Egy létező egyszarvú nem létezikA második lehetőség nyilvánvaló ellentmondás, hogyan tudna nem létezni egy létezőegyszarvú? Épp úgy, ahogy egy kék egyszarvú szükségszerűen kék, egy létező egyszarvúszükségszerűen létezik.Diszkusszió: Mi a rossz ebben a bizonyításban? A gondolatmenet nem más, mint Descartes

híres ontologikus istenbizonyításának kivonata. Descartes olyan lényként definiálja Istent, akiminden tulajdonsággal rendelkezik. így definíció szerint Isten rendelkezik a létezéstulajdonságával. Tehát Isten létezik.Immánuel Kant azon az alapon támadja Descartes érvelését, hogy a létezés nem tulajdonság.Én azt hiszem, hogy van egy sokkal szem-beöt lőbb hiba a bizonyításban. Nem foglalkozomazzal, hogy a létezés tulajdonság vagy sem, azt szeretném megmutatni, hogy a bizonyításmég akkor sem jó, ha a létezés tulajdonság.Nézzük először az egyszarvú létezésére adott bizonyításomat (sic!). Ahogy én látom, a hibaaz „egy" szó kettős értelmében van, ami bizonyos szövegkörnyezetben „minden"-t jelent, máskörnyezetben pedig „legalább egy"-et . Pl. ha azt mondom, hogy „Egy bagolynak nagy szemevan", az azt jelent i, hogy a baglyoknak nagy szeme van, vagyis minden bagolynak nagy szemevan. De ha azt mondom, hogy „egy bagoly van a házban", természetesen nem arra gondolok,hogy minden bagoly a házban van,, hanem csak arra, hogy létezik egy bagoly, ami a házbanvan. Ugyanígy, ha azt mondom, hogy „egy létező egyszarvú létezik", akkor nem világos, hogyarra gondoltam-e, hogy az Ö S S ZC S létező egyszarvú létezik, vagy arra, hogy létezik létezőegyszarvú. Ha az elsőre gondoltam, akkor ez igaz - természetesen minden létező egyszarvúlétezik, hogyan is lehetne olyan létező egy szarvú, ami nem létezik. De ez nem jelent i azt , hogyaz állí tás a második értelemben is igaz, vagyis hogy valóban létezik létező egyszarvú. Hasonlóa helyzet Descartes bizonyításával is, csak az következik belőle, hogy minden, ami isten, azlétezik, vagyis bármi, ami kielégít i Descartes istendefinícióját , rendelkezik a létezéstulajdonságával. De ez nem jelent i azt , hogy szükségképpen létezik Isten.242. Kényszerítő bizonyíték. Egy híres anekdota szerint Diderot a cárnő meghívásáraegyszer ellátogatot t Oroszországba. Ott szabadon terjesztet te ateista nézeteit , amin maga acárnő jól szórakozott , de az egyik udvari tanácsos azt javasolta, hogy ellenőrizzék e tanokkifejtését. Összebeszéltek a matematikus Eulerrel, aki szintén ot t tartózkodott , és aki személyszerint hívő volt . Euler közölte, hogy be tudja bizonyítani Isten létezését az udvar előt t , haDiderot-nak sincs kifogása ellene. Diderot ehhez készségesen hozzájárult . Euler kihasználva,hogy Diderot matematikai ismeretei hiányosak, Diderot elé lépett , és komoly hangon így szólt :„A a négyzeten mínusz B a négyzeten egyenlő A mínusz B-szer A plusz B - tehát Istenlétezik. Erre válaszoljon!" Diderot et től teljesen zavarba jöt t , míg körös-körül nevetés tört ki.Engedélyt kért , hogy azonnal visszatérhessen Franciaországba, amit meg is kapott .243. Annak bizonyítása, hogy Ön következet len vagy beképzelt . Kb. harminc éve gondoltam kiezt a bizonyítást , és több tanítványomnak, í 11. matematikusnak elmondtam. Néhány évvelezelőt t valaki emlí tet te, hogy olvasta valamelyik filozófiai folyóiratban, de a szerzőre nememlékezett . Akárhogy is, íme a bizonyítás. Az emberi agy is csak egy véges szerkezet, ezértcsak véges sok olyan állí tás van, amit Ön elhisz. Jelöljük ezeket az állí tásokat p\, pi, ... pn-nel,ahol n azoknak az állí tásoknak a száma, amit Ön elhisz. Szóval Ön a p\, p% ... pnállí tásokmindegyikében hisz. Ha már most Ön nem beképzelt , akkor tudja, hogy követ el néha hibákat,vagyis nem minden igaz, amit annak hisz. Vagy is ha Ön nem beképzelt , akkor tudja, hogy a p\,pl, ... pn állí tások közül legalább egy hamis. De Ön a p\, p2, ... pn állí tások mindegyikében hisz.Ez nyilvánvaló következet lenség.Diszkusszió, Hol a hiba a fent i okoskodásban? Szerintem sehol. Én n \ leg azt hiszem, hogyegy szerény ember biztos következet len.B. TOVÁBBI BEUGRATOK244. Russel és a pápa. Egyszer egy filozófust mélyen megdöbbeni k n, amikor Bertrand Russelazt mondta neki, hogy hamis állí tásból bármi következik. „Úgy ért i" - kérdezte -, „hogy abból azállí tásból, hogy kettő meg kettő az öt , következik, hogy Ön a pápa?" „igen" -válaszolta Russel.„Be is tudná ezt bizonyítani?" - kérdezte a filozófus.Hogyne." - válaszolta Russel, és a következő bizonyítást rögtönözte:1. Tegyük fel, hogy 2 + 2 = 5!2. Kettőt elvéve mindkét oldalból ezt kapjuk: 2=33. Megcserélve a két oldalt : 3 = 2.4. Egyet kivonva mindkét oldalból: 2 =1.Nos, a pápa és én az kettő. Mivel ket tő egyenlő eggyel, a pápa és én, az egy. Tehát én vagyok

a pápa.245. Mi a jobb? Mi a jobb, az örök boldogság vagy a sonkás szendvics? Úgy tűnhet, hogy azörök boldogság a jobb, de ez egyáltalán nincs így! Ugyanis semmi sem jobb, mint az örökboldogság, és a sonkásszendvics jobb, mint semmi sem. Tehát a sonkás szendvics jobb, mintaz örök boldogság.246. Melyik óra a jobb? Ez Lewis Carrolltól származik. Melyik a jobb, egy olyan óra, aminaponta késik egy percet, vagy egy olyan óra, ami egyáltalán nem jár? Lewis Carroll szerint azaz óra, ami egyáltalán nem jár, jobb, mert naponta kétszer mutat ja a helyes időt , míg a másikcsak kétévente egyszer. „De - kérdezhetnénk - „mi a jó abban, hogy naponta kétszer a helyesidőt mutat ja, ha nem tudjuk, mikor?" Tegyük fel, hogy az óra nyolcat mutat ! Ebben az esetbenéppen nyolckor lesz pontos az óra. „De" - folytathatnánk - „honnan tudjuk, hogy mikor vannyolc óra?" A válasz nagyon egyszerű. Gondosan figyeljük az órát , és abban a pillanatban,ahogy az óra pontos, éppen nyolc óra van.247. Annak bizonyítása, hogy létezik t izenhárom lábú ló. Eza bizonyítás nem sajátom, a matematikusfolklór része. Azt szeretnénk bizonyítani, hogylétezik legalább egy ló, aminek t izenhárom lába van.14. H o g ya n b i z o n yí t su n k b á rm i t ' / • 163Fessük be a világ összes lovát vagy kékre, vagy pirosra, a következő szabály szerint : mielőt tbefestenénk egy lovat, számoljuk meg a lábait . Ha pontosan t izenhárom lába van, akkorfessük kékre, ha több vagy kevesebb, mint t izenhárom, akkor fessük pirosra. Tegyük fel, hogybefestet tük az összes lovat, a kékeknek t izenhárom lába van, a pirosaknak nem! Mostválasszunk ki vélet lenszerűen egy lovat. Ha kék, akkor sejtésünk beigazolódott . Ha piros, akkorválasszunk ki vélet lenszerűen egy második lovat. Ha a második ló kék, akkor sejtésünkbeigazolódott . De mi van akkor, ha a második ló is piros? O, az teljesen más színben tüntetnéfel a dolgokat! De a más színű ló; az csak kék lehet!248. Eszembe jutot t egy találós kérdés, amit Ábrahám Lincolnnak tet tek fel: ha a kutya farkátis lábnak hívnánk, akkor hány lába lenne egy kutyának? Lincoln válasza: „Négy. Az, hogy afarkát is lábnak nevezzük, nem jelent i azt , hogy az is."249. Kedvenc beugratom. Ez a legjobb beugrató, amit ismerek. Teljesen cáfolhatat lanmódszer, amivel bármit be lehet bizonyítani. Egyet len hibája,hogy csak egy bűvész tudjabemutatni.Ezt csinálom: Tegyük fel, hogy azt szeretném bebizonyítani valakinek, hogy én vagyokDrakula! így szólok: „Az egyet len dolog, amit tudnia kell, hogy ha adott két tetszőleges állí tás,p és q, akkor ha p igaz, akkor p és q közül legalább egy igaz."Ezt gyakorlat ilag mindenkielfogadja. „Nagyszerű" - mondom, és előveszek egy csomag kártyát a zsebemből - „amintlát ja, ez a kártya piros". Ezután a kártyát képével lefelé az „áldozat" bal tenyerére rakom, ésmegkérem az illetőt , hogy a kártya hátát takarja be a jobb kezével. „Legyen p az az állí tás,hogy a kártya, amit a kezében tart piros, és legyen q az az állí tás, hogy én vagyok Drakula.Mivel p igaz, ugye elfogadja, hogy p vagy q igaz?" O elfogadja. „És most" - folytatom - „pnyilvánvalóan hamis, fordí tsa csak meg a kártyát !" Megfordí t ja, és legnagyobb meg lepetésérea kártya fekete! „Tehát" - fejezem be győzelemit tasan - „q igaz, én vagyok Drakula!"C. NÉHÁNY LOGIKAI KÜLÖNIEGESSÉGAz utóbbi két részben olyan helytelen gondolatmenetekkel foglalkoztunk, amelyek elsőránézésre helyesnek látszottak. Most ennek az ellenkezője következik: o l ya n eljárásokkalfoglalkozunk, amelyek első ránézésre teljes őrültségek, de végül kiderül, hogy helyesek.250. Az ivás! elv. Ez az elv, amit néhány végzős hallgatóm „Ivási elv"-nek nevez, fontosszerepet játszik a modern logikában. Talán azért k ap ta ezt a ne vet, mert i s me rt e n \s c i 1

n 1 n d i g a következő tréfával kezdem:Egy ember ül a bárban. Öklével hirtelen az asztalra csap, és így szól: „Aggyon nekem egyfelest , és aggyon mindenki másnak is egy felest , mer' amikor én iszok, akkor mindenki iszik!"Boldogan körülhordják az italokat. Valamivel később az ember így szól: „Aggyon nekem mégegy felest , és aggyon mindenki másnak is még egy felest , mer' amikor én iszok még egyet,akkor mindenki iszik még egyet!" Boldogan körülhordják a második italt . Nem sokkal ezután az

ember a pult ra dob némi pénzt, és így szól: „És amikor én fizetek, mindenki fizet !" Hát ez volt avicc. A kérdés pedig ez: létezik-e tényleg olyasvalaki, aki ha iszik, akkor mindenki iszik? Aválasz sokukat meg fogja lepni. Még drámaibban fogalmazódott meg ez a kérdés a filozófusJohn Baconnel folytatot t beszélgetésem során: bizonyítandó, hogy van olyan nő a földön, akiha meddővé válik, akkor kihal a teljes emberi faj.Az ivási elv duálisa a következő: Bizonyítandó, hogy van legalább egy olyan ember, aki ha bárkiis iszik, akkor ő is.Megoldás: Igen, tényleg igaz, hogy van olyasvalaki, aki ha iszik,ak-kor mindenki iszik. Ezegyenes következménye annak a furcsa elvnek, hogy hamis állí tásból bármi következik.Nézzük csak: vagy igaz, hogy mindenki iszik, vagy nem. Tegyük fel, hogy mindenki iszik!Vegyünk egy embert , mondjuk Jimet. Mivel mindenki iszik, és Jim is iszik, igaz, hogy ha Jim iszik,akkor mindenki iszik. Vagyis van legalább egy ember - nevezetesen Jim -, aki ha iszik, akkormindenki iszik. És mi a helyzet akkor, ha azt tesszük fel, hogy nem iszik mindenki? Nos, ebbenaz esetben van legalább egy ember, mondjuk Jim, aki nem iszik. Mivel az, hogy Jim iszik hamis,igaz az, hogy ha Jim iszik, akkor mindenki iszik. Megint csak van egy ember - nevezetesen Jim-, aki ha iszik, akkor mindenki iszik.Összegezve, nevezzünk egy embert „rejtélyesnek", ha megvan az a furcsa tulajdonsága, hogyha ő iszik, akkor ebből következik, hogy mindenki iszik. Eredményünk szerint ha mindenki iszik,akkor mindenki rejtélyes ember, ha nem iszik mindenki, akkor bármelyik nem ivó rejtélyes.Ami a drámaibb változatot illet i, ugyanezzel a logikával belátható, hogy van legalább egy nő,aki ha meddővé válik, akkor minden nő meddővé válik (ez a nő bárki lehet, ha minden nőmeddővé válik, és bármelyik nő, aki nem válik meddővé, hanem minden nő válik meddővé). Éstermészetesen ha mindennő meddővé válik, akkor kihal az emberi faj.Ami pedig a „duális" változatot illet i, vagyis hogy van valaki, aki ha bárki is iszik, akkor ő is; vagyvan legalább egy ember, aki iszik, vagy nincs. Ha nincs, akkor vegyünk egy tetszőleges embert ,mondjuk Jim-et. Mivel az, hogy valaki iszik, hamis, igaz az, hogy ha valaki iszik, akkor Jim isiszik. Másrészt ha van valaki, aki iszik, akkor vegyünk egy tetszőleges embert , aki iszik,mondjuk Jimet. Ekkor igaz, hogy valaki iszik, és az is igaz, hogy Jim iszik, így igaz, hogy havalaki iszik, akkor Jim is iszik.Epilógus* Amikor elmeséltem tanítványaimnak, Linda Wetzelnek és Joseph Bevandónak azivási elvet , nagyon tetszett nekik. Nem sokkal ezután egy karácsonyi lapot kaptam tőlük, amina következő kitalált párbeszéd állt (állí tólag vacsora közben találták ki, egy kávéházban):Logikus: Ismerek egy embert , aki ha iszik, akkor mindenki iszik.Hallgató: Nem értem. Úgy ért i, hogy mindenki a Föld kerekén?Logikus: Igen, természetesen.Hallgató: Ez képtelenség! Úgy ért i, hogy ahogy inni kezd, abban a pillanatban mindenkinekilát? Logikus: Persze.Hallgató: De ez azt jelent i, hogy valamikor mindenki egyszerre iszik. Ez biztos nem fordul elősoha! Logikus: Ön nem figyelt arra, amit mondtam. Hallgató: Dehogynem, sőt mi több,cáfoltam a logikáját . Logikus: Ez lehetet len. A logikát nem lehet megcáfolni. Hallgató: De hátakkor mi az, amit épp az előbb tet tem? Logikus: Nem emlí tet te egyszer, hogy Ön sosemiszik? Hallgató: Hm. . . beszéljünk valami másról.251. Helyes ez az okoskodás? Sok olyan gondolatmenettel találkoztam életemben, amihelyesnek látszott , de valójában helytelen volt .(\sak a közelmúltban lát tam cg) olyan gondolátmenetet , ami első látásra hamisnak látszott(tényleg viccnek látszik), de kiderült , hogy jó.Helyes gondolatmeneten a/l ért jük, hogy a konklúzió szükségszerűen következik apremisszákból, a premisszáknak nem kell igazaknak lenniük. íme a gondolatmenet:*1. Mindenki fél DrakuIától.2. Drakula csak tőlem léi. Tehát én vagyok Drakula.Hát nem úgy hangzik; mint egy ostoba tréfa? Pedig nem az, a következtetés helyes. Mivelmindenki fél Drakulától, Drakula is fél Drakulától. De Drakula senki inastól nem fél, csak tőlem.Tehát én vagyok Drakula!

Ez tehát egy olyan gondolatmenet, ami t réfának látszik, de kiderül, hogy nem az - és éppen eza vicc benne!Ez R i c h á rd C a rt wr i g h t f i l o z ó f u st ó l sz á rm a z i k.

15. A paradoxontól az igazságigA.PARADOXONOK252. A Protagorasz-paradoxon. Talán az egyik legrégebben ismert paradoxon szólProtagoraszról, a görög jogász-tanárról, aki elvállalt egy szegény, de tehetséges tanítványt.Megegyezett vele abban, hogy egyelőre ingyen tanít ja, de majd ha a tanítvány befejeztetanulmányait és megnyerte első perét , akkor egy bizonyos összeget fog fizetni Pro-tagorasznak. A tanítvány beleegyezett ebbe, de amikor befejezte tanulmányait , nem vállaltegyet len pert sem. Egy idő elteltével Protagorasz beperelte tanítványát, hogy fizessen. ímeaz érveik, amelyeket a bíróság előt t mondtak:Tanítvány: Ha megnyerem a pert , akkor nem kell fizetnem, hiszen éppen erről folyik a per. Haelvesztem a pert , akkor még nem nyertem meg az első peremet, márpedig amíg meg nemnyertem az első peremet, nem vagyok adósa Protagorasznak. Tehát akár megnyerem, akárelvesztem a pert , nem kell fizetnem.Protagorasz: Ha elveszt i a pert , akkor fizetnie kell, hiszen éppen erről folyik a per. Ha megnyeria pert , akkor megnyeri első perét , ezért kell fizetnie. Bármelyik esetben fizetnie kell.Kinek volt igaza?Diszkusszió. Nem vagyok benne biztos, hogy tudom a választ erre a kérdésre. Ez a rejtély(hasonlóan a könyv első rejtélyéhez, ami arról szólt , hogy bolonddá tet tek vagy nem) jólképvisel egy egész paradoxoncsaládot. A legjobb megoldás, amit valaha is kaptam rá, együgyvédtől származott , akinek feladtam egyszer ezt a rejtvényt. Ezt mondta: „A bíróságnak atanítvány javára kell döntenie - a tanítványnak nem kell fizetnie, hiszen még nem nyerte megelső perét . A tárgyalás befejeztével viszont már adósa lesz Protagorasznak, ezértProtagorasz másodszór is beperelhetné. Ekkor már a bíróságnak Protagorasz javára kellí télnie, hiszen a tanítvány épp az imént nyerte meg első perét".253. A hazudós paradoxon. Az ún. „Hazudós paradoxon" vagy 168- A l o g i ka ro p p a n t sz ó ra ko z t a t ó d o l o g

.lípimenidész-paradoxon" tényleg egy egész paradoxoncsalád, a hazudós paradoxonokcsaládjának az alapja. (Öregem, ez aztán csavarosán hangzik, nemde?) Eredet i formájábanegy bizonyos Epimenidész nevű krétairól szólt , aki ezt mondta: „Minden krétai hazudik."Ebben a formájában persze egyáltalán nem kapunk paradoxont, épp úgy, ahogy abból sem, haa lovagok és lókötők szigetének egy lakója ezt mondja: „A sziget minden lakója lókötő". Amiebből következik: 1. a beszélő lókötő; 2. van legalább egy lovag a szigeten. Hasonlóan, azEpimenidész-paradoxon fent i alakjából az következik, hogy Epimenidész hazudik, és vanlegalább egy igazmondó krétai. Ez nem paradoxon.De ha Epimenidész volna az egyetlen krétai, akkor tényleg paradoxont kapnánk, éppen úgy,mint ha a lovagok és lókötők szigetének egyet len lakosa mondaná azt , hogy a szigetmindenlakója lókötő (ami egyenértékű lenne azzal, mintha azt mondaná, hogy ő lókötő, amilehetet len).Jobb változata a paradoxonnak, ha valaki ezt mondja: „Én most hazudok". Hazudik, vagynem?Akövetkező változat az, amire a továbbiakban a hazudós paradoxonként fogunk hivatkozni.Tekintsük a következő állí tást :EZ A MONDAT HAMIS.Igaz ez a mondat vagy hamis? Ha hamis, akkor igaz, ha igaz, akkor hamis. Ennek aparadoxonnak a feloldását egy kicsit később tárgyaljuk.254. A hazudós paradoxon keftös változata. A hazudós paradoxon következő változatátP. E. B. Jourdain angol matematikus vetet te fel 1913-ban. Néha „Jourdain kártyaparadoxonja"-ként hivatkoznak rá. Van egy kártyánk, aminek egyik oldalára ezt í rták:1. ENNEK A KÁRTYÁNAK A MÁSIK OLDALÁN LEVŐMONDAT IGAZ.Ha megfordí t juk a kártyát , a másik oldalán ezt találjuk2. ENNEK A KÁRTYÁNAK A MÁSIK OLDALÁN LEVŐ

MONDAT HAMIS.A paradoxon a következő: Ha az első mondat igaz, akkor a második mondat is igaz (mivel azelső mondat ezt mondja), tehát az első mondat hamis (mivel a második mondat ezt mondja).Ha ez első mondat hamis, akkor a második mondat is hamis, tehát az első mondat nem hamis,hanem igaz. Vagyis az első mondat akkor és csak akkor igaz, ha hamis, ami lehetet len.255. Még egy változat . A hazudós paradoxon egy másik népszerű változata, amikor akövetkező három mondatot í rják egy kártyára:1. EZ A MONDAT HAT SZÓBÓL ÁLL.2. EZ A MONDAT ÖT SZÓBÓL ÁLL.3. EZEN A KÁRTYÁN PONTOSAN EGY IGAZ MONDAT VAN.Az első mondat nyilvánvalóan igaz, a második mondat nyilvánvalóan hamis. A bajok a harmadikmondattal kezdődnek. Ha a harmadik mondat igaz, akkor két igaz mondatunk van -nevezetesen az első és a harmadik -, ami ellentmond annak, amit a harmadik mondat állí t ,ezért a harmadik mondatnak hamisnak kell lennie. Másrészt ha a harmadik mondat hamis,akkor az első az egyet len igaz mondat, ami azt jelent i, hogy a harmadik mondatnak igaznakkell lennie! így a harmadik mondat akkor és csak akkor igaz, ha hamis.Diszkusszió. Mi a hiba a font i paradoxonok gondolatmenetében? A dolog nehezenmegragadható, és vitatot t . Vannak (érdekes módon inkább filozófusok, mint matematikusok),akik nem tart ják megengedhetőnek az olyan mondatokat, amik saját magukra vonatkoznak.Ő-szintén szólva én a magam részéről teljesen képtelennek tartom ezt az álláspontot ! Egyolyasfajta önmagára vonatkozó mondatnál, mint ez: „Ez a mondat hat szóból áll.", a mondatjelentése olyan világos és egyértelmű, amilyen csak lehet, megszámoljuk a szavakat, és lát juk,hogy a mondat igaz. Hasonlóan, ez a mondat: „Ez a mondat öt szóból áll." bár hamis, teljesenvilágos, hogy mit jelent - azt állí t ja, hogy öt szóból áll, és nem annyiból áll. De nincs semmikétségünk afelől, hogy a mondat mit állí t .Másrészt tekintsük a következő mondatot :EZ A MONDAT IGAZ.Ez a mondat nem eredményez semmiféle paradoxont, nem jutunk ellentmondásra, akár azttételezzük fel, hogy a mondat igaz, akár azt , hogy a mondat hamis. Mindamellet t , a mondatnaksemmiféle jelentése nincs, a következő okokból:Kiindulási elvünk: ahhoz, hogy megértsük, mit jelent az, hogy egy mondat igaz, először meg kellértenünk magát a mondatot . Pl. legyen X ez a mondat: Kettő meg kettő az négy. Mielőt tmegérthetném, hogy mit jelent az, hogy X igaz, meg kell értenem X minden egyes szavánakjelentését, és tudnom kell, hogy X pontosan mit állí t . Ebben a példában X minden szavánakjelentését ismerem, és tudom, hogy X azt jelent i, hogy kettő meg kettő az négy. Es miveltudom, hogy kettő meg kettő az tényleg négy, tudom, hogy X igaz. De nem tudhattam volna,hogy X igaz, amíg nem tudtam, hogy kettő meg kettő az négy. Sőt még azt sem tudhattamvolna, hogy mit jelent az, hogy X igaz, amíg nem tudtam, hogy kettő meg kettő az négy. Ebbőllátható, hogy mire gondolok, amikor azt mondom, hogy az, hogy mit jelent az, hogy egy Xmondat igaz, függ attól, hogy mit jelent maga az X mondat. Ha X egy olyan különös fajtamondat lenne, aminek a jelentéseattól, hogy mit jelent az, hogy X igaz, akkor holtpontra jutunk.Pontosan ez a helyzet a bekeretezett mondattal. Mielőt t megtudhatnám, hogy mit jelent az,hogy a mondat igaz, először magának a mondatnak a jelentését kellene megértenem. De mimagának a mondatnak a jelentése, mit mond ez a mondat? Pusztán azt , hogy ez a mondatigaz, és én még nem tudom, hogy mit jelent az, hogy ez a mondat igaz (ne firtassuk, hogymost igaz-e vagy nem), amíg előbb meg nem értet tem a mondat jelentését, és nem érthetemmeg a mondat jelentését, amíg nem tudom, hogy mit jelent az, hogy ez a mondat igaz. Emiattez a mondat nem hordoz semmiféle információt . Az ilyesfajta mondatokra a gyakorlatban aztmondjuk, hogy nem megalapozottak.A hazudós paradoxon (és minden változata) megalapozat lan mondatok használatán alapszik.(Röviden „megalapozat lan"-nak nevezem azt, ami „nem megalapozott".) A 253. feladatban az„Ez a mondat hamis" kifejezés megalapozat lan. A 254. fel-adatban a kártya egyik oldalán állómondat sem megalapozott .A 255. feladatban az első két mondat megalapozott , de aharmadik mondat nem.

Most már többet tudunk mondani arról, hogy Port i a N kérője miért jutot t bajbagondolatmenetével (1. az 5. fejezetet , Port ia ládikái). Az összes korábbi Port ia csakmegalapozott mondatokat használt , de Port ia N ügyesen alkalmazta a megalapozat lanmondatokat, hogy megzavarja kérőjét . Ugyanez volt a hiba az utolsó fejezet első néhánybizonyításában.256. És most mi a helyzet? Visszatérünk a Port ia ládikáiról szóló történetben szereplőbarátainkhoz, Bellinihez és Cellinihez. A két mesterember nemcsak ládikákat, hanemfeliratokat is készítet t . Ugyanúgy, mint a ládikáknál, valahányszor Cellini készí tet t el egyfeliratot , mindig hamis állí tást í rt , és valahányszor Bellini készí tet t el egy feliratot , mindig igazállí tást í rt . Azt is feltesszük, hogy az idő tájt Bellini és Cellini volt az egyet len feliratkészítő (afiaik csak ládikákat készítet tek, feliratokat nem). Ön a következő felirat tal találkozik:EZT A FELIRATOT CELLINI KÉSZÍTETTE.Ki készítet te ezt a feliratot? Ha Cellini készí tet te volna, akkor igaz lenne az állí tás, amilehetet len. Ha Bellini készí tet te volna,akkor hamis lenne az állí tás, ami megint csak lehetet len.Szóval, ki készí tet te?Most nem intézhet i el azzal, hogy azt mondja, hogy a felirat nem megalapozott !Természetesen megalapozott , azt a történet i tényt állí t ja, hogy a feliratot Cellini készí tet te;ha tényleg Cellini készí tet te, akkor a felirat igaz, ha nem, akkor hamis. Tehát mi a megoldás?A megoldás természetesen az, hogy ellentmondó információkat adtam. Ha tényleg találkoznaezzel a felirat tal, akkor az azt jelentené, hogy vagy Cellini í rt néha igaz állí tásokat is(ellentétben azzal, amit mondtam), vagy volt egy másik feliratkészítő, aki néha hamisállí tásokat í rt (megint ellentétben azzal, amit mondtam). Vagyis ez valójában nem paradoxon,hanem csalás. Nem találta még ki vélet lenül, hogy mi a címe ennek a könyvnek?257. Felakasztani vagy vízbe fojtani? Ez a népszerű rejtvény egy emberről szól, akithalálbüntetéssel járó bűnténnyel vádolnak. Mondania kell egy állí tást . Ha az állí tás igaz, akkorvízbe fojt ják, ha az állí tás hamis, akkor felakaszt ják. Mit mondjon, amivel zavarba hozhat jakivég-zőit?258. A borbélyparadoxon. Ez is egy ismert rejtvény. Egy bizonyos kisváros borbélyaborotválja a város összes olyan lakóját , aki nem maga borotválkozik, és soha nem borotválmeg senkit , aki maga borotválkozik. A kérdés az, hogy vajon a borhely maga borotválkozik-evagy nem. Ha igen, akkor megszegi a szabályt , mivel olyasvalakit borotvál, aki magaborotválkozik. Ha nem, akkor is megszegi a szabályt , mivel elmulaszt megborotválni valakit ,aki nem maga borotválkozik. Szóval, mit kell tennie a borbélynak?259. Es most mi a helyzet? A lovagok és lókötők egyik szigetén két lakos, A és B, akövetkezőket állí t ják:A: B lókötő.B: A lovag.Meg tudná mondani, hogy A lovag vagy lókötő? Mit mondana B-ről?A 257., 258. ÉS 259. FELADAT MEGOLDÁSA257. Csak ennyit kell mondania: „Engem fel fognak akasztani."258. A válasz az, hogy ilyen borbély létezése logikai lehetet lenség.259. Azt kell mondania, hogy a szerző megint hazudott . A leírt helyzet teljesen lehetet len,valójában Jourdain kártyaparadoxona egy kissé más köntösben (La 254. feladatot).Ha A lovag, akkor B tényleg lókötő, ezért A valójában nem lovag! Ha A lókötő, akkor B igazábólnem lókötő, hanem lovag, így állí tása igaz, ezért A lovag. Tehát A nem lehet sem lovag, semlókötő, anélkül, hogy ellentmondásra ne jussunk.B. A PARADOXONTÓL AZ IGAZSÁGIGValaki egyszer azt mondta, hogy a paradoxon valamilyen módon az igazság hordozója. Ahelyzet tényleg az, hogy sok paradoxon tartalmaz olyan öt letet , ami kis változtatással fontosúj felfedezéshez vezet. A következő három rejtvény jól szemléltet i ezt .260. Hol a hiba a történetben? Craig felügyelő meglátogatot t egyszer egy települést , aholelbeszélgetet t az egyik lakossal, egy McSnurd nevű szociológussal. McSnurd professzor akövetkező szociológiai észrevételeit mesélte el Craignek:„A település lakói különböző klubokat alakí tot tak. Egy lakos több klubnak is tagja lehet.

Mindegyik klubot valamelyik lakosról nevezték el, és nincs két olyan klub, ami ugyanarról alakosról lenne elnevezve. Minden lakosról neveztek el klubot. Nem szükségszerű, hogy valakitagja legyen a róla elnevezett klubnak; ha tagja, akkor azt mondják rá, hogy barátságos,, hanem, akkor azt , hogy barátságtalan. A település érdekessége, hogy a barátságtalan emberekhalmaza éppen egy klub."Craig felügyelő gondolkodott egy kicsit , majd rájöt t , hogy McSnurd nem lehet valami jószociológus, a története egyszerűen hihetet len. Miért?Megoldás. Ez valójában a borbélyparadoxon új köntösben.Tegyük fel, hogy McSnurd története igaz! Ekkor a barátságtalan emberek klubját is valamelyiklakosról nevezték el, mondjuk Jackről. Vagyis ezt a klubot „Jack klubjának" nevezik. Jack pedigvagy barátságos, vagy barátságtalan, de mindkét esetben ellentmondásra jutunk: Tegyük fel,hogy Jack barátságos! Ekkor Jack tagja Jack klubjának, de Jack klubjának csak barátságtalanemberek a tagjai, tehát ez lehetet len. Másrészt ha Jack barátságtalan, akkor Jack tagja abarátságtalan emberek klubjának, ami azt jelent i, hogy Jack tagja Jack klubjának (ami abarátságtalanok klubja), ami azt jelent i, hogy Jack barátságos. Vagyis mindkét esetbenellentmondásra jutunk.261. Van-e kém a településen? Craig felügyelő egyszer ellátogatot t egy másik településre,ahol elbeszélgetet t egy régi barát jával, egy McSnuff nevű szociológussal. Craig és McSnuffegyütt végeztek Oxfordban, és Craig a kifogástalan következtetések emberének ismerteMcSnuffot . McSnuff a következő észrevételeket mesélte Craignek a településről:„Ugyanúgy, mint a másik településen, nekünk is vannak klubjaink. Minden lakosról pontosanegy klubot neveztek el és minden klubot elneveztek valakiről. Nálunk ha valaki tagja egyklubnak, akkor ezt tehet i nyí ltan vagy t itokban. Aki nem nyí lt tag a róla elnevezett klubban,azt gyanúsnak mondják. Ha valaki t itkos tagja a róla elnevezett klubnak, akkor azt kémneknevezik. Különös sajátsága településünknek, hogy a gyanús egyének halmaza éppen egyklub".Craig felügyelő gondolkodott egy kicsit , majd rájöt t , hogy ellentétben az előző történettel, ez atörténet teljesen ellentmondás-mentes. Sőt, valami érdekes következik belőle -nevezetesen az, hogy ebből megállapí tható, hogy van-e keni a településen.Van?Megoldás. A gyanús egyének klubját is elnevezték valakiről, mondjuk Johnról. Ez a klub tehát„John klubja".Maga John vagy tagja John klubjának, vagy sem. Tegyük fel, hogy nem! Ekkor ő nem lehetgyanús (hiszen minden gyanús egyén tagja John klubjának). Ez azt jelent i, hogy John nyí ltantagja John klubjának. Vagyis ha John nem tagja John klubjának, akkor John nyí ltan tagja Johnklubjának, ami lehetet len. Tehát John tagja kell hogy legyen John klubjának. Mivel Johnklubjának minden tagja gyanús, John is gyanús. Vagyis John nem nyí ltan tagja John klubjának,de tagja, tehát t itkos tagja - más szavakkal: John kém!Megjegyezném, hogy miután megoldottuk az előző feladatot , egyszerűbb megoldása is vanennek a feladatnak. Vegyük észre, hogy ha nincs kém a településen, akkor a gyanús egyéneknem különböznek a barátságtalanoktól, így a gyanús egyének halmaza ugyanaz, mint abarátságtalan emberek halmaza, ami azt , jelent i, hogy a barátságtalan emberek halmazaéppen egy klub. De a 260. feladatnál bebizonyítot tuk, hogy a barátságtalan emberek halmazanem lehet klub. ^miat t ez a feltevés, hogy nincs kém a településen, ellentmondásra vezet,tehát kell lennie kémnek a településen (de ebből a bizonyításból nem tudjuk, hogy ki).Ez a két bizonyítás tökéletesen szemléltet i, hogy a matematikusok mit értenek „konstrukt ívbizonyításon". A második bizonyítás nem konstrukt ív abban az értelemben, hogy bármegmutattuk, nem lehetséges az, hogy nincs kém, nem derült ki senkiről, hogy ő történetesenkém. Ezzel szemben az első bizonyítást konstrukt ívnak nevezhet jük, mivel rámutatot t egytényleges kémre - nevezetesen arra az emberre („John"-nak hívtuk), akiről a gyanús egyénekklubját elnevezték.262. A világegyetem problémája. Egy bizonyos világegyetem -amelyben a lakosokbármelyik részhalmazának egy klub felel meg -irat tárosa szeretne minden klubot egy lakosrólelnevezni oly módon, hogy ne legyen két klub ugyanarról a lakosról elnevezve, és minden

lakoshoz legyen egy róla elnevezett klub.Ha ebben a világegyetemben csak véges sok lakos lenne, akkor ez lehetet len volna (hiszentöbb klub lenne, mint lakos - pl. ha éppen 5 lakos lenne, akkor 32 klub volna (beleértve az üreshalmazt); ha 6 lakos lenne, akkor 64 klub volna, általában, ha n lakos lenne, akkor 2 klubnakkellene lennie). De ebben a különleges világegyetemben történetesen végtelen sok lakos van,így az irat táros nem lát okot arra, hogy miért ne készíthetné el ezt a jegyzéket. Évmilliókon átpróbálkozott a jegyzék elkészítésével, de minden kísérlete csődöt mondott . Vajon asikertelenség oka az irat táros tehetségtelensége, vagy valami olyan kísérletbe vágott bele,ami eleve lehetet len?Megoldás: Lehetet lennel kísérletezett , ezt a híres tényt Georg Can-tor matematikus fedeztefel. Tegyük fel, hogy az irat tárosnak sikerült a klubokat elnevezni a lakosokról oly módon, hogynincs két klub, ami ugyanarról a lakosról lenne elnevezve! Megint nevezzük barátságtalannakazt a lakost, aki nem tagja a róla elnevezett klubnak. A világegyetem barátságtalanembereinek csoport ja egy jól definiált halmaz, és tudjuk, hogy a lakosok bármilyen halmaza egyklub. így a barátságtalan emberek lehetet len klubját kapjuk - ugyanolyan okokból lehetet len,mint a 260. feladatban (valakiről el van nevezve a klub, és ez a valaki sem barátságos, sembarátságtalan nem lehet anélkül, hogy ellentmondásra ne jussunk).263. A felsorolt halmazok feladata. Az előző feladat következik más köntösben; az it thasznált fogalmak felbukkannak majd a következő fejezetben is.Egy bizonyos matematikusnak van egy könyve, az ún. Halmazok könyve. Minden oldalán egyszámhalmaz leírása szerepel. A „szám" szón most a pozit ív egész számokat ért jük:1,2,3...n, ...Egy olyan halmazt, amelyik szerepel valamelyik oldalon, felsorolt halmaznak nevezünk. Azoldalak számozása folyamatos.A feladat egy olyan halmaz megadása, ami nem szerepel a könyv egyik oldalán sem!Megoldás. Adott egy tetszőleges n szám. Nevezzük n-tt rendkívüli számnak, ha n eleme azrc-edik oldalon felsorolt halmaznak, és nevez-/.ük n-et rendes számnak, ha n nem eleme az rc-edik oldalon felsorolt halmaznak. A rendesszámok halmaza nem lehet felsorolt halmaz, mert ha az volna, akkor annak az oldalnak aszáma, amelyen szerepelne, nem lehetne sem rendes, sem rendkívüli szám anélkül,hogyellentmondásra ne jutnánk.

16. Godei felfedezéseA. GÖDELI SZIGETEKAz ebben a fejezetben szereplő feladatok egy híres matematikai logikai tétel megvilágí tásáraszolgálnak, amelyet Kurt Gödel matematikus fedezett fel, és amit a fejezet végén fogunktárgyalni.264. A G sziget . Egy bizonyos G sziget lakói kizárólag lovagok, akik mindig igazat mondanakés lókötők, akik mindig hazudnak. A lovagok egy részét „megalapozott lovagoknak" nevezik(ezek azok a lovagok, akik bizonyos értelemben „bizonyít ják önmagukat"), és bizonyoslókötőket „megalapozott lókötőknek" hívnak. A sziget lakói különböző klubokat alakí tot tak.Egy lakos több klubhoz is tartozhat. Ha adott egy tetszőleges X lakos és egy tetszőleges Cklub, akkor X vagy azt állí t ja, hogy ő tagja a C klubnak, vagy azt , hogy nem tagja C-nek.Tudjuk, hogy a következő négy feltétel, Ei, E2, C és G teljesül:Ej: A megalapozott lovagok halmaza éppen egy klub.E2: A megalapozott lókötők halmaza éppen egy klub.C: (Komplementer feltétel): Bármelyik adott C klub esetén a sziget azon lakóinak halmaza, akiknem tagjai C-nek, szintén egy klub. (Ezt a klubot C komplementerének nevezzük, és C-saljelöljük.)Q: (Gödeli feltétel): Bármelyik adott C klub esetén van legalább egy lakója a szigetnek, aki aztállí t ja, hogy ő tagja C-nek. (Természetesen lehet, hogy állí tása hamis: lehet, hogy az illetőlókötő.)264 a. (Gödel után)1. Bizonyítandó, hogy van legalább egy megalapozat lan lovag a szigeten.

2. Bizonyítandó, hogy van legalább egy megalapozat lan lókötő a szigeten.264 b. (Tarski után)1. Klub-e a sziget lókötőinek halmaza?2. Klub-e a sziget lovagjainak halmaza?A264 a^feladat megoldása. 1. Az Ei feltétel szerint a megalapozott lovagok E halmaza éppenegy klub. így a C feltétel szerint azoknak az embereknek az halmaza, akik nem megalapozottlovagok, szintén egy klub. Ekkor a G feltétel szerint van legalább egy ember a szigeten, aki aztállí t ja, hogy ő tagja az klubnak - más szavakkal, az illető azt állí t ja, hogy ő nem megalapozottlovag.Lókötő nem állí that ja, hogy ő nem megalapozott lovag (mivel egy lókötőre igaz, hogy ő nemmegalapozott lovag), tehát az illető lovag. Ha viszont lovag, akkor igaz, amit mond, vagyis őnem megalapozott lovag. Az illető tehát lovag, de megalapozat lan lovag.2. Az E2 feltétel szerint a megalapozott lókötők halmaza éppen egy klub. Emiatt (a G feltételszerint) van legalább egy ember a szigeten, aki azt állí t ja, hogy ő megalapozott lókötő (aztállí t ja, hogy tagja a megalapozott lókötők klubjának). Ez az ember nem lehet lovag (mivel egylovag nem vallhat ja magát semmiféle lókötőnek), tehát lókötő. Ezért állí tása hamis, vagyis nemmegalapozott lókötő. Ez azt jelent i, hogy az illető lókötő, de megalapozat lan lókötő.A264 b. feladat megoldása. 1. Ha a lókötők halmaza egy klub lenne, akkor legalább egy lakoslókötőnek vallaná magát, amit sem lovag, sem lókötő nem tehet. Ezért a lókötők halmaza nemlehet klub.2. Ha a lovagok halmaza egy klub lenne, akkor (a C feltétel miat t ) a lókötők halmaza is klublenne, így a lovagok halmaza sem lehet klub.Megjegyzések. (1) A 264 b. feladat megoldása egy másik megoldást is ad a 264 a. feladatra,ami bár nem konstrukt ív, de talán valamivel egyszerűbb.Ha minden lovag megalapozott volna, akkor a lovagok halmaza ugyanaz lenne, mint amegalapozott lovagok halmaza. Ez viszont lehetet len, hiszen a megalapozott lovagokhalmaza (az E, feltétel szerint) klub, míg a lovagok halmaza nem (a 264 b.feladat szerint).Vagyis az a feltevés, hogy minden lovag megalapozott , ellentmondáshoz vezet, ezért kelllennie legalább egy megalapozat lan lovagnak. Hasonlóan, ha minden lókötő megalapozottlenne, akkor a megalapozott lókötők halmaza ugyanaz lenne, mint a lókötők halmaza, ami nemlehetséges, mivel a megalapozott lókötők halmaza klub, de a lókötők halmaza nem.Ellentétben ezzel a bizonyítással, előző bizonyításunkból az is kiderül, hogy bárki, aki aztállí t ja, hogy ő nem megalapozott lovag, az megalapozat lan lovag, és bárki, aki azt állí t ja, hogyő megalapozott lókötő, az megalapozat lan lókötő.(2) Arra adott bizonyításunkban, hogy a lókötők halmaza nem klub, csak a G feltételthasználtuk ki, az Ei, E2 és C feltételekre nem volt szükségünk. Vagyis magából a G feltételbőlkövetkezik, hogy a lókötők halmaza nem klub. Valójában a G feltétel ekvivalens azzal azállí tással, hogy a lókötők halmaza nem klub. Ha feltesszük, hogy a lókötők halmaza nem klub,akkor ebből le tudjuk vezetni a G feltételt a következőképpen:Vegyünk egy tetszőleges C klubot! Mivel a lókötők halmaza nem klub, C nem a lókötőkhalmaza. Vagyis vagy van néhány lovag C-ben, vagy van néhány lókötő C-n kívül. Ha vanlovag C-ben, akkor ő biztosan azt fogja állí tani, hogy tagja C-nek (mivel igazat mond). Ha vanlókötő C-n kívül, akkor ő is azt fogja állí tani, hogy tagja C-nek (mivel hazudik). Vagyis mindkétesetben van valaki, aki azt állí t ja, hogy tagja C-nek.265. Gödeli szigetek általában. Tekintsünk most egy tetszőleges lovag-lókötő szigetetklubokkal. (Lovag-lókötő szigeten természetesen olyan szigetet értünk, amit kizárólag lovagokés lókötők laknak.) Göde-linek nevezünk egy szigetet , ha a G feltétel teljesül rajta, azaz, haminden C klubhoz van legalább egy lakos, aki azt állí t ja, hogy tagja a klubnak.Craig felügyelő egyszer ellátogatot t egy lovag-lókötő szigetre, ahol klubok voltak. Craig (akitörténetesen nagyon művelt ember volt , akinek elmélet i érdeklődése legalább olyan erős, minta gyakorlat i) szeret te volna tudni, hogy vajon gödeli szigeten van-e. A következőkrejöt t rá:Minden klubot egy lakosról neveztek el, és mindenkiről elneveztek egy klubot. Egy lakos nemszükségszerűen tagja a róla elnevezett klubnak, ha az, akkor barátságosnak nevezik, ha nem,akkor barátságtalannak. Az X lakost az Y lakos barát jának mondják, ha X igazolja, hogy Y

barátságos.Craig még mindig nem tudta, hogy gödeli szigeten van-e, amíg rá nem jöt t , hogy a szigetkielégít i a következő feltételt , amit H feltételnek fogunk nevezni:H: Bármilyen C klubhoz létezik egy olyan D klub, hogy D minden tagjának van legalább egybarát ja C-ben, és mindenkinek, aki nem tagja D-nek, van legalább egy barát ja, aki nem tagja C-nek.Ebből a H feltételből Craig ki tudta derí teni, hogy a sziget gödeli-e.Az?Megoldás. Igen, az. Vegyünk egy tetszőleges C klubot. Legyen D a H feltétel által adott klub.Ezt a D klubot elnevezték valakiről, mondjuk Johnról. John vagy tagja a D klubnak, vagy nem.Tegyük fel, hogy John tagja a D klubnak! Ekkor van egy barát ja -nevezzük Jacknek -, aki tagjaC-nek, és aki igazolja, hogy John barátságos. Mivel John tagja D-nek, John tényleg barátságos,ezért Jack lovag. Vagyis Jack lovag, és tagja a C klubnak, így Jack azt fogja állí tani, hogy tagjaa C klubnak.Tegyük fel, hogy John nem tagja a D klubnak! Ekkor Johnnak van egy barát ja - nevezzükJimnek -, aki nem tagja C-nek,és Jim azt állí t ja, hogy John barátságos. Mivel John nem tagja aD klubnak, John valójában barátságtalan, ezért Jim lókötő. így Jim lókötő, és nem tagja a Cklubnak, ezért hazudik, és azt állí t ja, hogy tagja C-nek. Vagyis John akár tagja a D klubnak,akár nem, létezik egy lakos, aki azt állí t ja, hogy tagja a C klub-nak.Megjegyzések: Összevetve a 264. és 265. feladat eredményeit , láthat juk, hogy ha adott egytetszőleges sziget, ami kielégít i az Ei, E2, C és H feltételeket, akkor lennie kell a szigetenmegalapozat lan lovagnak és megalapozat lan lókötőnek. Ez az eredmény valójában Gödelhíres nemteljességi tétele kissé más formában, amivel a fejezet C részében még találkoznifogunk.Mellékesen megjegyezném, hogy ha szeretne feladni valamelyik barát jának egy tényleg nehézfeladatot , akkor a 264. feladatot adja fel neki az Ei, E2, C és H feltételekkel (G-t ne emlí tse).Érdekes lesz látni, hogy vajon rájön-e magától a G feltételre.B. KÉTSZERESEN GÖDELI SZIGETEKEnnek a résznek a feladatai a különösen érdeklődők számára készültek, és lehet, hogy legjobbelhalasztani őket a C rész utánra. „Kétszeresen gödeli szigeten" olyan lovag-lókötő szigetetértünk, amelynek klubjaira a következő GG feltétel teljesül: GG: Ha adott két tetszőleges klub,Ci, és C 2, akkor van két olyan lakos, A és B, hogy A azt állí t ja, hogy B tagja Ci-nek, és B aztállí t ja, hogy A lagja C 2-nek.Ahogy én tudom, a GG feltételből nem következik a G feltétel, és a G feltételből semkövetkezik a GG feltétel, teljesen függet lennek látszanak. Vagyis (hajói tudom) egykétszeresen gödeli sziget nem szükségszerűen gödeli sziget.A kétszeresen gödeli szigetek témaköre egyik kedvenc témám. Az idetartozó rejtvényekolyasfajta kapcsolatban vannak Jourdain kettős kártyaparadoxonával, mint amilyenben agödeli szigetek rejtvényei a hazudós paradoxonnal.266« A kétszeresen gödeli S sziget . Volt szerencsém felfedezni egyszer egy kétszeresengödeli szigetet , S-et , ahol a G sziget Ei, E2 és C feltételei teljesültek.a) Meghatározható-e, hogy vajon van-e megalapozat lan lovag S-en? És mi a helyzet amegalapozat lan lókötőkkel?b) Meghatározható-e, hogy vajon az S sziget lovagjainak halmaza klub-e? És mi a helyzet alókötők halmazával?Megoldás: Nézzük először a b) kérdést. Ha a lovagok halmaza éppen, egy klub, akkor a lókötőkhalmaza is az (a C feltétel szerint), és ha a lókötők halmaza éppen egy klub, akkor a lovagokhalmaza is az (megint a C feltétel szerint). Vagyis ha a kettő közül bármelyik halmaz klub,akkor mindkettő az. Tegyük fel, hogy mindkettő az! Ekkor a GG feltétel szerint lennie kell kétlakosnak, A-nak és B-nek, akik a következőket állí t ják:A: B lókötő.B: A lovag.Ez pedig lehetet len, amint azt a 259. feladat megoldásakor megmutattuk. Ebből tehát azkövetkezik, hogy sem a lovagok, sem a lókötők halmaza nem klub.

Ami az a) kérdést illet i, két féleképpen is megoldhat juk. Az egyik egyszerűbb, a már megoldottb) kérdésen alapul, de a másik tanulságosabb.Első lehetőség: Mivel a lovagok halmaza nem klub, de a megalapozott lovagok halmaza az, akét halmaz különböző, vagyis nem minden lovag megalapozott . A lókötőkkel hasonló ahelyzet.Második lehetőség: Mivel a megalapozott lovagok halmaza klub, klub azoknak a lakosoknak ahalmaza is, akik nem megalapozott lovagok. Válasszuk Ci-nek és C 2-nek ezt a két klubot, ekkorvan (a GG feltétel szerint) két lakosunk, A és B, akik a következőket állí t ják:A: B megalapozott lovag.B: A nem megalapozott lovag.Az olvasóra hagyom annak igazolását, hogy A és B közül legalább az egyik megalapozat lanlovag (pontosabban, ha A lovag, akkor ő nem megalapozott lovag, és ha A lókötő, akkor Bmegalapozat lan lovag). Az érdekes az, hogy bár tudjuk, hogy A és B egyike megalapozat lanlovag, fogalmunk sincs, hogy melyik. (A helyzet pontosan ugyanaz, mint a 134. feladatbanBellini és Cellini két ládikájával: tudjuk, hogy az egyik ládikát Bellini készítet te, de nemtudhat juk, hogy melyiket .)Hasonlóan, mivel a megalapozott lókötők halmaza klub, klub azoknak a lakosoknak a halmazais, akik nem megalapozott lókötők. Ezért (megint GG szerint) van két ember, A és B, akik akövetkezőket állí t ják:A: B megalapozott lókötő.B: A nem megalapozott lókötő.Ebből következik, hogy ha B lókötő, akkor ő megalapozat lan lókötő, ha pedig B lovag, akkor Amegalapozat lan lókötő (a bizonyítást megint az Olvasóra hagyom), vagyis A vagy B mindkétesetben megalapozat lan lókötő, de nem tudjuk, hogy melyikük. (Ez a feladat lényegébenugyanaz, mint a 135. Bellini-Cellini feladat.267. Az 5' sziget . Egyszer felfedeztem egy másik kétszeresen gödeli szigetet , S-et , ami mégtöbb fejtörést okozott . Az Ei és E2 feltételek teljesültek ezen a szigeten, de azt nem lehetet ttudni, hogy C teljesül vagy sem. (Emlékeztetőül: a C feltétel szerint tetszőleges C klub eseténazoknak az embereknek a halmaza is klub, akik nem tagjai C-nek.)Úgy tűnik, azt lehetet len bebizonyítani, hogy van a szigeten megalapozat lan lovag, vagy hogyvan megalapozat lan lókötő. Úgy tűnik, azt is lehetet len bebizonyítani, hogy a lovagok halmazanem klub, vagy hogy a lókötők halmaza nem klub. A következőket viszont be lehet bizonyítani:a) Bizonyítandó, hogy van a szigeten megalapozat lan lovag vagy megalapozat lan lókötő.b) Bizonyítandó, hogy nem lehet a lovagok halmaza is és a lókötők halmaza is klub.Megoldás. Először a b) kérdést intézzük el. Tegyük fel, hogy a lovagok halmaza klub, és alókötők halmaza is klub! Ekkor lenne két lakos, A és B, úgy, hogy A azt állí t ja, hogy B lókötő, Bpedig azt állí t ja, hogy A lovag, amiről tudjuk, hogy lehetet len (1. az előző vagy a 259. feladatot).Vagyis nem lehetséges, hogy a lovagok halmaza is és a lókötők halmaza is klub; vagy alovagok halmaza nem klub, vagy a lókötők halmaza nem klub. Ha a lovagok halmaza nem klub,akkor van megalapozat lan lovag (mivel a megalapozott lovagok halmaza klub), ha a lókötőkhalmaza nem klub, akkor van megalapozat lan lókötő. De nem tudhat juk, hogy melyik halmaznem klub. Ezzel a)-t is bebizonyítot tuk.Egy másik (és érdekesebb) bizonyítás arra, hogy van megalapozat lan lovag vagy lókötő, akövetkező: Mivel a megalapozott lovagok halmaza klub, és a megalapozott lókötők halmaza isklub, van két lakos, A és B, akik a következőket állí t ják:A: B megalapozott lókötő.B: A megalapozott lovag.Tegyük fel, hogy A lovag! Ekkor állí tása igaz, így B megalapozott lókötő, ezért B állí tásahamis, vagyis A megalapozat lan lovag. Ha A lókötő, akkor B állí tása hamis, ezért B lókötő. De Aállí tása is hamis, vagyis B nem megalapozott lókötő. Tehát ebben az esetben B egymegalapozat lan lókötő. Emiatt A megalapozat lan lovag vagy B megalapozat lan lókötő (demegint nem tudjuk, hogy melyik). Ez a feladat megint a két ládikás feladatra hasonlí t (136.feladat), ahol a két ládika egyikét (nem tudjuk, melyiket) Cellini vagy Bellini készí tet te (demegint csak nem tudjuk, hogy melyikük).

268. Néhány megoldat lan probléma. Kigondoltam néhány olyan feladatot a gödeli és akétszeresen gödeli szigetekről, amelyeket nem próbáltam megoldani, mert úgy gondoltam,szórakoztató lehet az Olvasónak megpróbálkoznia saját , eredet i munkával.268 a. Emlí tet tem, hogy amennyire én tudom, a G és GG feltételek egyike sem következik amásikból. Be tudná bizonyítani, hogy sejtésem igaz? (Vagy eset leg cáfolni, de nagyonvalószínűt len, hogy sikerül.) Ehhez olyan szigetet kell konstruálnia, amelyen G teljesül, de GGnem, és egy olyan szigetet , amin GG teljesül, de G nem. Egy sziget konstruálásán azt értem,hogy megadja a következőket: a lakosokat, hogy kik lovagok és kik lókötők, és hogy a lakosokmely halmazai klubok és melyek nem. (Annak, hogy kik megalapozott lovagok és lókötők,ebben a feladatban nincs jelentősége.)268 b. Be tudná bizonyítani (vagy cáfolni) azt a sejtésemet, hogy az S] szigeten nemfeltételenül van megalapozat lan lovag, és nem feltét lenül van megalapozat lan lókötő (bártermészetesen az egyik vagy a másik biztos van)? Vagyis tudna olyan szigetet konstruálni,ami kielégít i Ei-et , E2-t és GG-t, és ahol vannak lovagok, de nincsenek megalapozat lanlovagok? És olyat , ahol vannak lókötők, de nincsenek megalapozat lan lókötők? (Ezúttalahhoz, hogy ilyen szigetet konstruáljon, nem csak a lovagokat, lókötőket és klubokat kellmegadnia, hanem azt is, hogy kik a megalapozott lovagok és lókötők.)268 C . Tegyük fel, hogy az emlí tet t szigetek mindegyike megkonstruálható (amiben biztosvagyok, még akkor is, ha én nem bizonyítot tam)! Legalább hány lakosnak kell lennie a szigetenaz egyes esetekben? Be tudná bizonyítani minden esetben, hogy kevesebbel nem megy?

C. GÖDEL TÉTELE269. Teljes ez a rendszer? Egy bizonyos matematikusnak van egy könyve, amelynek címe:Mondatok könyve. A könyv oldalainak számozása folyamatos, és minden oldalán pontosanegy mondat áll. Egy mondat sem szerepel egynél több oldalon. Egy tetszőleges X mondatesetén annak az oldalnak a számát, amelyiken X szerepel, X oldalszámának hívjuk.A könyv minden mondata természetesen vagy igaz, vagy hamis. Az igaz mondatok egy részea matematikus számára teljesen magától értetődő, és ezeket a magától értetődő igazságokatválasztot ta a matematikus logikai rendszerének axiómáivá. Rendszere bizonyoskövetkeztetési szabályokat is tartalmaz, amelyek lehetővé teszik számára, hogy különféleigaz mondatokat bebizonyíthasson az axiómákból, és különféle hamis mondatokatmegcáfolhasson. A matematikus teljes mértékben meg van győződve arról, hogy rendszerekorrekt abban az értelemben, hogy minden olyan mondat, ami a rendszerben bizonyítható,tényleg igaz, és minden olyan mondat, ami a rendszerben cáfolható, tényleg hamis. Abbanviszont nem biztos, hogy rendszere teljes, abban az értelemben, hogy minden igaz mondatbizonyítható, és minden hamis mondat cáfolható. Bizonyítható minden igaz mondat arendszerben? Cáfolható minden hamis mondat a rendszerben? Ezek azok a kérdések, amikrea matematikus igencsak szeretne választ kapni.Nos, matematikusunknak van egy második könyve is, a Halmazok könyve. Ennek isfolyamatos az oldalszámozása, és minden oldalán egy számhalmaz leírása szerepel.(„Számon" most a pozit ív egész számokat ért jük: 1 1, 3, .) Egy tetszőleges számhalmaztfelsorolt halmaznak nevezünk, ha leírása szerepel valahol a könyvben.Ha adott egy tetszőleges n szám, akkor előfordulhat, hogy az rc-edik oldalon (a Halmazokkönyvében) felsorolt halmaz elemként tartalmazza magát az rc-et . Ha ez történik, akkor n-etrendkívüli számnak fogjuk hívni. Ha pedig adott két szám, n és h, h-t az n asszociálnánaknevezzük, ha a /z-adik oldalon szereplő mondat (a Mondatok könyvében) azt állí t ja, hogy nrendkívüli.Tudjuk, hogy a következő négy feltétel teljesül:Ei: A bizonyítható mondatok oldalszámának halmaza felsorolt halmaz.E2: A cáfolható mondatok oldalszámának halmaza felsorolt halmaz. __C: Tetszőleges felsoroltA halmaz esetén, azoknak a számoknak az A halmaza, amik nem elemei A-nak, felsorolthalmaz.H: Tetszőleges felsorolt A halmaz esetén létezik olyan felsorolt B halmaz, hogy B mindenelemének van asszociált ja A-ban, és minden számnak, ami nem eleme B-nek, van olyanasszociált ja, ami nem eleme A-nak.Ez a négy feltétel elég ahhoz, hogy válaszoljunk a matematikus kérdéseire: Bizonyítható-eminden igaz mondat a rendszerben? Cáfolható-e minden hamis mondat a rendszerben? Mégazt is meg tudjuk mondani, hogy igaz-e az, hogy az igaz mondatok oldalszámának halmazafelsorolt halmaz, és a hamis mondatok oldalszámának halmaza felsorolt halmaz.Hogyan?Megoldás. A feladat nem más, mint a gödeli szigetek rejtvényei az A részben, más köntösben.Ebben a szereposztásban az igaz mondatok oldalszámai játsszák a lovagok szerepét, ahamis mondatoké a lókötőkét, a bizonyítható mondatoké a megalapozott lovagokét, acáfolható mondatoké a megalapozott lókötőkét. A felsorolt halmazok játsszák a klubokszerepét. Annak, hogy egy klubot egy adott lakosról neveztek el, most az felel meg, hogy egyhalmaz egy adott oldalon szerepel a könyv-ben, így a rendkívüli számok játsszák abarátságos emberek szerepét, az „asszociált " játssza a „barát"-ét . Az első teendőnk ahhoz,hogy megoldjuk a feladatot , az, hogy bebizonyít juk a G feltétel megfelelőjét , ami ez:G feltétel: Tetszőleges felsorolt A halmazhoz létezik egy mondat, ami akkor és csak akkorigaz, ha az oldalszáma eleme A-nak.Ahhoz, hogy bebizonyítsuk a G feltételt , vegyünk egy tetszőleges felsorolt A halmazt. Legyen

B a H feltétel által adott halmaz, és legyen n annak az oldalnak a száma, amelyen B szerepel.A H feltétel szerint , ha n eleme B-nek, akkor n-nek van egy h asszociált ja A-ban, ha pedig nnem eleme B-nek, akkor n-nek van egy olyan h asszociált ja, ami nem eleme A-nak. Azt állí t juk,hogy a /z-adik oldalon szereplő X mondat az, amit keresünk.Az X mondat azt állí t ja, hogy n rendkívüli - más szavakkal azt , hogy n eleme B-nek (mivel Baz a halmaz, ami az n-edik oldalon szerepel). Ha X igaz, akkor n tényleg eleme B-nek, ezért heleme A-nak. Vagyis ha X igaz, akkor az ő oldalszáma, h, eleme A-nak. Tegyük fel, hogy Xhamis! Ekkor n nem eleme B-nek, ezért h nem eleme A-nak. Vagyis X igaz akkor és csakakkor, ha az oldalszáma eleme A-nak.Bebizonyítot tuk a G feltételt , most már könnyen válaszolhatunk a matematikus kérdéseire.Tudjuk, hogy a bizonyítható mondatok oldalszámainak A halmaza felsorolt halmaz, ezért a Cfeltétel szerint azoknak a számoknak az A halmaza is felsorolt halmaz, amik nem oldalszámaibizonyítható mondatoknak. Emiatt van egy olyan X mondat (a G feltétel szerint), ami akkor éscsak akkor igaz, ha oldalszáma eleme A-nak. Az, hogy X oldalszáma eleme A-nak, ugyanaztjelent i, mint hogy X oldalszáma nem eleme A-nak, ami viszont azt jelent i, hogy X nembizonyítható (mivel A a bizonyítható mondatok oldalszámainak halmaza). Vagyis X akkor éscsak akkor igaz, ha X nem bizonyítható. Ez vagy azt jelent i, hogy X igaz és nem bizonyítható,vagy azt , hogy X hamis, de bizonyítható. Azt tudjuk, hogy hamis mondatok nem bizonyíthatóka rendszerben, tehát X igaz, de nem bizonyítható mondat a rendszerben.Ami a hamis, de nem cáfolható mondatot illet i, válasszuk A-nak a cáfolható mondatokoldalszámainak halmazát. Alkalmazva a G feltételt , egy olyan Y mondatot kapunk, ami akkorés csak akkor igaz, ha az oldalszáma egy cáfolható mondat oldalszáma - más szavakkal, Yakkor és csak akkor igaz, ha cáfolható. Ezek szerint Y vagy igaz és cáfolható, vagy hamis ésnem cáfolható. Az első lehetőséget ki kell zárnunk, mert cáfolható mondat nem lehet igaz, ígyY hamis, de nem cáfolható mondata rendszerben.Ami a többi kérdést illet i, ha a hamis mondatok oldalszámainak halmaza felsorolt halmaz lenne,akkor volna egy olyan Z mondat, ami akkor és csak akkor igaz, ha az oldalszáma egy hamismondat oldalszáma - más szavakkal, Z akkor és csak akkor lenne igaz, ha hamis lenne, ezpedig lehetet len. (Ez olyasvalami lenne, mint ez a mondat: „Ez a mondat hamis.") Tehát ahamis mondatok oldalszámainak halmaza nem felsorolt halmaz. Ekkor a C feltétel miat t azigaz mondatok oldalszámának halmaza sem felsorolt halmaz.270. Gödel tétele* A fent i rejtvény valójában Gödel híres nemteljességi tételének egy formája.Kurt Gödel 193 l-ben jelentkezett azzal a kezdet i felfedezéssel, hogy a matematikai igazságegy bizonyos értelemben nem teljesen formalizálható. Sokféle matematikai rendszernélkimutat ta - olyan rendszereknél, amelyek bizonyos meglehetősen ésszerű feltételeknek tet tekeleget -, hogy mindig lenniük kell mondatoknak, amik bár igazak, nem bizonyíthatók a rendszeraxiómáiból! Vagyis nincs olyan formális axiómarendszer, bármilyen öt letesen is konstruálták,amely alkalmas lenne arra, hogy minden matematikai igazságot be lehessen bizonyítani. Gödelelőször ezt Whitehead és Russel művében, a Prin-cipia Mathematica-b'án bemutatot trendszerre bizonyítot ta, de mint mondtam, a bizonyítás sok különböző rendszerre kiterjed. Erendszerek mindegyikében van a kifejezéseknek egy jól definiált halmaza, a mondatok,amelyek két osztályt alkotnak: vannak igaz mondatok, és hamis mondatok. Bizonyos igazmondatok a rendszer axiómái, és pontosan adottak a következtetési szabályok, amelyeksegítségével bizonyos mondatok bizonyíthatók, mások cáfolhatók. A mondatokon kívülkülönböző számhalmazok (pozit ív, egész) neveit is tartalmazza a rendszer. Egy számhalmaztmegnevezhető vagy definiálható halmaznak hívunk, ha a számhalmaz nevét tartalmazza arendszer (ezek azok a halmazok, amelyeket a fent i rejtvényben „felsorolt" halmazoknakneveztünk). Az a lényeg, hogy az összes mondatot meg lehet számozni, és az összesdefiniálható halmazt fel lehet sorolni oly módon, hogy rejtvényünk El, E2, C és H feltételeiteljesüljenek. (A mondatok sorszámait , amiket eddig „oldalszámnak" hívtunk, a gyakorlatban amondat Gödel-számának nevezik). A C és H feltételek biztosí tása valójában roppantegyszerű, de az Ei és E2 feltétel biztosí tása hosszadalmas dolog, bár elvileg nem bonyolult .*Akárhogy is, ha már egyszer kielégítet tük ezt a négy feltételt , azok elvezetnek egy olyanmondathoz, ami igaz, de nem bizonyítható a rendszerben.

mondathoz, ami igaz, de nem bizonyítható a rendszerben.A kérdéses X mondatot képzelhet jük olyannak, mint ami saját bizony í thatat lanságát állí t ja,egy ilyen mondat valóban igaz és nem bizonyítható (épp úgy, mint ha valaki a G szigeten aztállí t ja, hogy ő nem megalapozott lovag, akkor az illető lovag, de nem megalapozott lovag).Felmerülhet a következő kérdés: Ha egyszer tudjuk Gödel X mondatáról (ami sajátbizonyíthatat lanságát állí t ja), hogy igaz, miért nem csatoljuk rendszerünkhöz mint továbbiaxiómát? Nos, ezt természetesen megtehet jük, de ekkor a kiterjesztet t rendszer szinténkielégít i az Ei, E2, C és H feltételeket, így kapunk egy másik X mondatot , ami igaz ésbizonyíthatat lan a kiterjesztet t rendszerben. A kiterjesztet t rendszerben több igaz mondatottudunk bizonyítani, mint a régiben, de még mindig nem az összesét.Megjegyezném, hogy az, ahogy én leírtam Gödel eljárását, némileg különbözik Gödeleredet ijétől - elsősorban abban, hogy én használtam az „igazság" fogalmát, Gödel pedig nem.A Gödel-tétel eredet i formájában nem azt mondja, hogy van olyan mondat, ami igaz, de nem(Am i a H f el t ét el t i l l et i : m i n d en n sz á m h o z l ét ez i k eg y o l ya n m o n d a t , a m i a z t á l l í t j a , h o g y n ren d kí vü l i . En n ek a m o n d a t n a k (m i n t m i n d en m á s m o n d a t n a k i s) va n eg y

Gö d el -sz á m a - n evez z ü k ez t a sz á m o t n *-n a k. Bel á t h a t ó , h o g y eg y t et sz ő l eg es A d ef i n i á l h a t ó h a l m a z eset én a z o kn a k a z n sz á m o kn a k a B h a l m a z a , a m i kh ez t a rt o z ó n*

sz á m o k el em ei A-n a k - sz i n t én d ef i n i á l h a t ó h a l m a z . M i vel /?* a z n a ssz o c i á l t j a , a H f el t ét el t el j esü l .)

bizonyítható, hanem azt, hogy ha bizonyos ésszerű feltevéseket teszünk a rendszerről, akkorkell lennie egy olyan mondatnak (amit Gödel meg is mutatot t ), ami se nem bizonyítható, senem cáfolható a rendszerben. Az igazság fogalmának szigorú formalizálását Alfréd Tarskivégezte el, és ő volt az, aki megmutatta, hogy az ilyen rendszereknél az igaz mondatokGödel-számának halmaza nem definiálható a rendszerben. Ezt néha így idézik: „Elegendőenerős rendszerek esetén a rendszer mondatainak igazsága nem definiálható a rendszerenbelül".271. Végszó. Tekintsük a következő paradoxont:EZT A MONDATOT NEM LEHET BIZONYÍTANI.A paradoxon a következő: Ha a mondat hamis, akkor hamis az, hogy sosem bizonyítható,vagyis bizonyítható, ami azt jelent i, hogy igaz. Tehát ha hamis, akkor ellentmondásra jutunk,vagyis igaz. Most bizonyítot tuk, hogy a mondat igaz. Mivel igaz, az amit mond, az ténylegfennáll, ami azt jelent i, hogy sosem bizonyítható. Hát akkor hogy lehet, hogy épp mostbizonyítot tam (hogyigaz)?Mi a hiba a fent i okoskodásban? Nos, a hiba ot t van, hogy a „bizonyíthatóság" fogalma nincsjól definiálva. A „matematikai logika" néven ismert tudományág egyik fontos feladata, hogy abizonyítás fogalmát pontosan körülí rja. Az igazság az, hogy eddig még semmilyen abszolútértelemben nem sikerült teljesen szigorú meghatározást adni a bizonyítás fngalmára; inkábbcsak egy adott rendszeren belüli bizonyíthatóságról beszélünk. Tegyük fel most, hogy van egyrendszerünk - nevezzük S rendszemek -, ahol az S rendszeren belüli bizonyíthatóság márpontosan definiált fogalom! Tegyük fel azt is, hogy az S rendszer korrekt abban azértelemben, hogy minden, ami bizonyítható a rendszerben, igaz! Tekintsük a következőmondatot :EZ A MONDAT NEM BIZONYÍTHATÓ AZ S RENDSZERBEN.Most egyáltalán nem paradoxont kapunk, hanem inkább egy érdekes igazságot. Ez azérdekes igazság az, hogy a fent i mondat igaz, és nem bizonyítható az S rendszerben. Ez amondat valójában egy durva megfogalmazása Gödel X mondatának, ami sajátbizonyíthatat lanságát állí t ja, nem abszolút értelemben, hanem csak egy adott rendszerenbelül.Szólnék még pár szót a „kétszeresen gödeli" feltételről is, amit a B részben vizsgáltunk. Azigazság az, hogy azok a különféle rendszerek, amiket Gödel vizsgált , nem csak „gödeliek"abban az értelemben, hogy ha adott egy tetszőleges A definiálható halmaz, akkor van egymondat, ami akkor és csak akkor igaz, ha a Gödel-száma eleme A-nak, hanem „kétszeresengödel iek" is, amin azt értem, hogy ha adott két tetszőleges definiálható halmaz, A és B, akkorvan két olyan mondat, X ésY, hogy X akkor és csak akkor igaz, ha Y Gödel-száma eleme A-nak és Y akkor és csak akkor igaz, ha X Gödel-száma eleme B-nek. Ebből (az Ei, E2, és Cfeltételek felhasználásával) konstruálható egy olyan X, Y pár, hogy X azt állí t ja, hogy Ybizonyítható (amin azt értem, hogy X akkor és csak akkor igaz, ha Y bizonyítható), és Y aztállí t ja, hogy X nem bizonyítható. Egyikük (nem tudjuk, hogy melyik) igaz, de nem bizonyítható.Vagy olyan X, Y párt is konstruálhatunk, hogy X azt állí t ja, hogy Y cálfolható, Y pedig azt

állí t ja, hogy X nem cáfolható - amibői következik, hogy legalább az egyikük (nem tudjuk, hogymelyik) hamis és nem cáfolható. Olyan X, Y párt is konstruálhatunk (még a C feltételt sem kellhasználnunk), hogy X azt állí t ja, hogy Y bizonyítható, Y pedig azt , hogy X cáfolható; egyikükekkor (nem tudjuk, melyik) igaz, de nem bizonyítható, vagy hamis, de nem cáfolható (megintnem tudjuk, hogy melyik).O, még valami, mielőt t elfelejteném: mi a címe ennek a könyvnek? Nos, a könyv címe: „Mi acíme ennek a könyvnek?"