Mierniki efektywności inwestycji finansowych

Mierniki efektywności inwestycji finansowych

Stopa zwrotu, okresowa stopa zwrotu, stopa zwrotu z uwzględnieniem stopy

reinwestycji, stopa zwrotu z uwzględnieniem kosztu kapitału, NPV, IRR

Stopa zwrotu z inwestycji

(31) R = (K - K0) / K0

gdzie K0 – kapitał początkowy,

K - kapitał końcowy

Inwestycje wieloetapowe Ciąg inwestycji zamkniętych

Ciąg inwestycji zamkniętych

Def. 2. Ciąg inwestycji nazywamy ciągiem inwestycji zamkniętych, jeżeli kapitał końcowy

jednej inwestycji staje się kapitałem początkowym następnej

Twierdzenie.1. Niech dany będzie ciąg n rocznych inwestycji zamkniętych, o stopach zwrotu

odpowiednio: r1, r2, r3,... rn. Zakładamy, że zawsze 1 + ri > 0. Wtedy stopa zwrotu tego

ciągu inwestycji wynosi

(32) R = Πni=1(1+ ri) - 1

Zaś średnia roczna stopę zwrotu rs wynosi

(33) rs = ( Πn

i=1(1+ ri) )1/n -1

(przez średnią roczną stopę zwrotu rozumiemy stałą roczną stopę generującą stopę zwrotu R z całej inwestycji

Inwestycje wieloetapowe Ciąg inwestycji zamkniętych

Dowód. Rzeczywiście • K1 = K0 (1+ r1)

• K2 = K1 (1+ r2) = K0 (1+ r1) (1+ r2)

• K3 = K2 (1+ r3) = K0 (1+ r1) (1+ r2) (1+ r3)

.............................................................................• Kn = Kn-1 (1+ rn) = K0 (1+ r1) (1+ r2) (1+ r3)… (1+ rn)

Stąd i z uwagi 1 otrzymujemy (32).Aby średnia roczna stopa zwrotu rs generowała stopę zwrotu R z całej

inwestycji, musi zachodzić równość(34) (1+ rs)n = Πn

i=1(1+ ri) , stąd otrzymujemy (33).

Wzór (34) można przedstawić w postaci

(35) rs = ( R + 1)1/n –1, czyli

11 ns Rr

Średnia stopa zwrotu z inwestycji wielookresowej

Wzór (34) można przedstawić w postaci(35) rs = ( R + 1)1/n –1, czyli

Wzór można interpretować jako wzór na średnią okresową stopę zwrotu z inwestycji trwającej n okresów bazowych i posiadającej stopę zwrotu R z całej inwestycji

rs nosi nazwę średniej geometrycznej stopy zwrotu

11 n

s Rr

Inwestycje wieloetapoweCiąg inwestycji kompensowanych

Def. 3. Ciąg inwestycji nazywamy ciągiem inwestycji kompensowanych, jeżeli kolejna inwestycja ma taki sam kapitał początkowy jak poprzednia (kapitał jest uzupełniany w przypadku straty, odprowadzany - w przypadku zysku).

• Twierdzenie 2. Niech dany będzie ciąg n rocznych inwestycji kompensowanych, o stopach zwrotu odpowiednio: r1, r2, r3,..., rn. Wtedy stopa zwrotu R całego ciągu inwestycji wynosi

(36) R = ∑ni=1 ri

zaś średnia roczna stopa zwrotu rsa wynosi

(37)

(przez średnią roczną stopę zwrotu rozumiemy stałą roczną stopę generującą stopę zwrotu R z całej inwestycji).

n

iisa r

nr

1

1

Inwestycje wieloetapoweCiąg inwestycji kompensowanych

Dowód. Niech K0 oznacza kapitał początkowy.

Po roku dysponujemy kapitałem K1 = K0 (1+ r1) , odprowadzamy K0 r1.

Po drugiej inwestycji - kapitałem K2 = K0 (1+ r2) , odprowadzamy K0 r2, i.t.d.

Po n-tej inwestycji mamy Kn = K0 (1+ rn) , odprowadzamy K0 rn, pozostało K0.

Kapitał końcowy to suma K0 oraz wszystkich odprowadzonych kwot, początkowy to K0.

R = ( K0+ K0 r1+ K0 r2+...+ K0 rn – K0 ) / K0.

Stąd R = r1 + r2 + ...+ rn

Ponieważ stopa zysku jest sumą stóp z poszczególnych inwestycji, więc średnia roczna stopa zwrotu musi czynić zadość równości:

rsa+ rsa + ...+ rsa= n rsa= R

czyli rsa = R/n lub inaczej .

n

iisa r

nr

1

1

Porównanie średniej arytmetycznej i średniej geometrycznej stopy zwrotu

Tw. 3. Dla tych samych rocznych stóp zwrotu: r1, r2, r3,...,rn , takich, że 1 + ri > 0 dla

dowolnego i, średnia geometryczna stopa zwrotu jest mniejsza lub równa średniej

arytmetycznej stopie zwrotu.

Dowód.

n

isai

n

ii

n

ii

n

n

ii

ns rr

nrn

nr

nrRr

1111

11)(

11)1(

11)1(11

skorzystaliśmy z nierówności

niaaaaa i

n

iin

nn ,...,2,1,0,...

1

121

Porównanie stóp zwrotu dla inwestycji wieloetapowych

Tw 4. Dla tych samych dodatnich rocznych stóp zwrotu: r1, r2, r3,...,rn stopa zwrotu z ciągu

inwestycji zamkniętych jest większa od stopy zwrotu ciągu inwestycji kompensowanych.

Dowód. Dowód przeprowadzimy dla n = 4. Dla pozostałych n rozumowanie przebiega

analogicznie.

Niech R - stopa zwrotu z ciągu inwestycji zamkniętych. Wtedy

a

n

ii

Rrrrr

rrrrrrrrrrrrrrrr

rrrrrrrrrrrrrrrr

rrrrrR

1)(1

)(

)()(1

)1)(1)(1)(1()1(1

4321

4321432431421321

4342321431214321

43211

Przez Ra oznaczyliśmy stopę zwrotu ciągu inwestycji kompensowanych.

Efektywna roczna stopa zwrotu

• Niech r oznacza nominalną roczną stopę zwrotu oferowaną przez bank, w którym w ciągu roku dokonuje się n – kapitalizacji . Wtedy efektywna roczna stopa zwrotu wynosi

1)1(

0

00

0

01 )1(

nnr

K

KK

KKK

nnr

Realna roczna stopa zwrotu

Def. 6. Realną roczną stopą zwrotu nazywamy liczbę mierzącą względny przyrost wartości nabywczej pieniądza w okresie jednego roku.

• Niech K oznacza początkowy koszt standardowego koszyka dóbr, f – roczną stopę inflacji, re - efektywną roczną stopę zwrotu zaś rr - realną roczną stopą zwrotu. Koszt koszyka po roku wynosi K(1+f) .

• Kwota K po rocznej inwestycji wzrosła do K(1+ re). Zatem po roku można nabyć K(1+ re)/ K(1+f) standardowych koszyków. Ponieważ przed rokiem mogliśmy nabyć 1 koszyk więc przyrost wartości nabywczej rr wynosi

(38)

f

fr

f

r

fK

rKr eee

r

1

11

11

)1(

)1(

Realna roczna stopa zwrotu

Po dodaniu 1 do obu stron równania otrzymujemy tzw. wzór Fischera:

(39)

f

rr e

r

1

11

Stopa zwrotu ponad zysk wolny od ryzykaPrzykład. Niech roczna stopa zysku wolnego od ryzyka wynosi 8%.

Inwestor giełdowy osiągnął w ciągu roku zysk 12 %. O ile procent więcej zarobił inwestor giełdowy od inwestora nie podejmującego ryzyka ? Zakładając kwotę początkową K dla obu inwestycji, odpowiedź na pytanie daje liczba

Jest to sytuacja analogiczna do tej, przy stopie realnej (porównanie z wzorem (38)). Przy oznaczeniach: r - stopa zwrotu z inwestycji, rw- stopa zysku wolnego od ryzyka otrzymujemy wzór na stopę zwrotu r* ponad zysk wolny od ryzyka

(40)

08,1

08,012,0

08,1

08,112,1

08,1

08,112,1

K

KK

wr

rr

1

1*1

Wartość bieżąca netto (NPV)net present value

Inwestycję finansową traktujemy jako ciąg nakładów i dochodów (przepływów finansowych), znanych co do wielkości i momentów wystąpienia.

• Def. Wartość bieżąca netto inwestycji to suma zdyskontowanych nakładów i dochodów z inwestycji przy ustalonej stopie dyskontowej.

• Przy założeniu, że aktualizacja jest przeprowadzona w oparciu o model oprocentowania wykładniczego, wartość tego wskaźnika obliczamy ze wzoru:

(41)

n

ir

Cit

iNPV0

)1(

Wartość bieżąca netto

Ci - i-ty przepływ finansowy, ti – czas od przepływu zerowego do

i - tego, mierzony liczbą okresów bazowych, r – stopa dyskontowa w okresie bazowym. Okres bazowy może być rokiem, kwartałem, miesiącem, itp.

Dodatnie Ci oznaczają dochód, ujemne – wydatek. Kolejność wydatków i dochodów jest dowolna. Na ogół przepływ C0 jest

ujemny (wydatek).

n

ir

Cit

iNPV0

)1(

Wartość bieżąca netto / szczególny przypadek

Przy jedynym nakładzie dokonanym na początku wzór przyjmuje postać

(42)

gdzie I oznacza wielkość początkowego nakładu, Ci są w tym przypadku dodatnie.

n

ir

Cit

iINPV1

)1(

NPV – szczególny przypadekmodyfikacja

zerorównebyćmogąCniektóre

INPV

i

n

ir

Ci

i

1)1(

Wartość bieżąca netto

• Uwaga 1. Jeżeli wartość wskaźnika NPV jest dodatnia oznacza to, że inwestycja jest opłacalna. Przy ujemnej wartości tego wskaźnika inwestycję uważamy za nieopłacalną.

• Uwaga 2. Jeżeli dane są dwie inwestycje o tym samym NPV, to korzystniejsza jest ta, która angażuje mniejszy kapitał.

Wartość bieżąca netto (NPV)

• Przykład 1. Czy warto zainwestować 1500 $ w przedsięwzięcie, które przyniesie za rok 100 $, po dwóch latach 200 $, po trzech 300 $, po czterech 400 $ i po pięciu 500 $, jeżeli roczna stopa procentowa wolna od ryzyka wynosi w tym okresie 6 % ?

• Korzystając ze wzoru (42) otrzymujemy

Oceniając inwestycję na podstawie NPV, stwierdzamy, że jest ona nieopłacalna.

31,28506,1

500

06,1

400

06,1

300

06,1

200

06,1

1001500

5432NPV

Wartość bieżąca netto (NPV) / interpretacja

Z wyżej otrzymanych równości mamy także

Otrzymaną równość (w aspekcie zasady równoważności długu i spłat, definiującej wielkość kredytu) interpretujemy następująco:

kwota 1214,69 $ powinna wygenerować dany ciąg wpływów przy rocznej stopie w wys. 6 %. Jest to bowiem kwota kredytu, która przynosi bankierowi od dłużnika wymienione dochody w odpowiednich latach (pożyczka udzielona przez bankiera jest dla niego inwestycją).

Inwestując 1500 $ by uzyskać wymienione wyżej przypływy „przepłacamy” więc aż 285,31 $.

69,1214150031,285

06,1

500

06,1

400

06,1

300

06,1

200

06,1

1005432

Wartość bieżąca netto (NPV)

Wniosek. Jeżeli NPV = 0, to inwestycja jest tak samo opłacalna

jak lokata bankowa o oprocentowaniu rocznym równym stopie dyskontowej użytej do obliczenia NPV, przy rocznej kapitalizacji odsetek.

Jeżeli NPV > 0, to inwestycja jest bardziej opłacalna niż lokata bankowa, jeżeli natomiast NPV < 0, to jest mniej opłacalna.

Zależność wskaźnika NPV od stopy dyskontowej

Przykład. Inwestycja 800 zł przynosi po roku wpływ w wysokości 100 zł a w następnych latach odpowiednio: 150, 200, 250, 300 zł. Oblicz NPV tej inwestycji przy stopie dyskontowej 5 % .

Zbadamy, jak wskaźnik NPV zależy od stopy dyskontowej

Obliczenie wskaźnika NPV w arkuszu kalkulacyjnym

stopa dyskontowa 5,00%

liczba lat

przepływy finansowe

wartości bieżące

przepływów-800 -800,00

1 100 95,242 150 136,053 200 172,774 250 205,685 300 235,06

suma (NPV) 44,79

Zależność NPV od stopy dyskontowej dla rozważanej inwestycji

-200,00 zł

-150,00 zł

-100,00 zł

-50,00 zł

0,00 zł

50,00 zł

100,00 zł

150,00 zł

200,00 zł

1%

3%

5%

7%

9%

11%

13%

15%

Zależność wskaźnika NPV od stopy dyskontowej dla inwestycji o dużych przepływach różnych znaków

Przykład 2. Inwestycja w wysokości 1 mln zł przynosi po roku wpływ w wysokości 3,6 mln zł w następnym roku stratę 4,31 mln a rok później zysk 1,716 mln zł.

Zbadamy zależność wskaźnika NPV od stopy dyskontowej

NPV inwestycji (w mln zł)

-1,0

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

Wartość bieżąca netto (NPV)podsumowanie

Zalety wskaźnika• łatwość w obliczeniu• jednoznaczność (przy ustalonej stopie dyskontowej)• mianowanie w użytych w przepływach jednostkach

monetarnychWady • zależność od skali inwestycji (pomnożenie nakładów i

dochodów przez liczbę skutkuje zmianą NPV)• zależność od wyboru stopy dyskontowej (nietrafny wybór

stopy może zmienić znak wskaźnika)

Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR)internal rate of return

• Def. Wewnętrzną stopą zwrotu ciągu przepływów finansowych C0, C1 , C2 ,...,Cn jest taka stopa procentowa, przy której wartość bieżąca netto tej inwestycji jest równa zeru, czyli takie r, że

(43) • Wzór (43) jest równaniem względem r, stopnia tn.

Niektóre Ci są dodatnie, niektóre ujemne. Muszą wystąpić przepływy różnych znaków,

• t0=0.

n

ir

Cit

i

0)1(

0

IRR - szczególny przypadek, jedyny nakład I dokonany na początku, Ci dodatnie.

01

)1(

n

ir

Cit

iI

IRR - szczególny przypadek (modyfikacja), jedyny nakład I dokonany na początku, Ci nieujemne

01

)1(

n

ir

Ci

iI

Jednoznaczność rozwiązania równania korespondującego z równaniem definiującym IRR

TW. Jeżeli strumień c0 , c1,..., cn , przepływów spełnia warunki: c0 < 0, pozostałe przepływy są nieujemne, przynajmniej jeden jest dodatni, to istnieje jednoznaczne rozwiązanie równania

c0 + c1x + c2 x2+ ...+ cnxn = 0

Jednoznaczność rozwiązania równania korespondującego z równaniem definiującym IRR

Dowód: f(x) = c0 + c1x + c2 x2+ ...+ cnxn

g(x)= c1x + c2 x2+ ...+ cnxn

Z założeń o ci wynika, że g jest rosnąca dla nieujemnych argumentów oraz g(x)>0 dla x>0 .Funkcja f jest ciągła f(0)<0 . Wykres f jest przesunięciem w dół wykresu funkcji rosnącej g, ma więc jeden punkt wspólny z osią OX, po jej dodatniej stronie.

Wewnętrzna stopa zwrotu / przykład

• Przykład 1. Bank udzielił pożyczki w kwocie 800 zł. Dłużnik spłaci po roku 100 zł, po dwóch latach 120, po trzech 200 zł, po czterech 250 zł, po pięciu 300 zł. Jaka jest wewnętrzna stopa zwrotu tej inwestycji dla banku ?

• Szukana stopa jest rozwiązaniem równania

• Jest to równanie 5 – tego stopnia. Jedynym jego pierwiastkiem jest liczba 6,69 % (z dokł. do setnej).

0

)1(

300

)1(

250

)1(

200

)1(

150

1

100800

5432

rrrrr

Wewnętrzna stopa zwrotu z inwestycji w obligację zerokuponową

• Przykład 2. Zerokuponowa obligacja dziesięcioletnia o wartości nominalnej 100 zł jest sprzedawana po 60 zł. Jaką wewnętrzną stopę zwrotu ma inwestycja w tą obligację?

• Rozwiązaniem równania

• Stopa IRR jest w tym przypadku również średnią roczną stopą zwrotu z tej inwestycji (wzór (33))

%241,505241,01

0)1(

10060

1035

10

rliczbajest

r

Wewnętrzna stopa zwrotu z inwestycji w obligację kuponową

• Przykład 3. Obligacja kuponowa o cenie sprzedaży 1000 zł generuje 11 co miesięcznych wypłat po 20 zł oraz dwunastą w wys. 1020 zł. Jaka jest wewnętrzna stopa zwrotu z tej inwestycji w ujęciu miesięcznym?

• Należy rozwiązać równanie 12 – tego stopnia

• Okazuje się, że r = 2% jest jego rozwiązaniem. Jest to tzw. stopa rentowności obligacji

0)1(

1020

)1(

20

)1(

20

)1(

20

)1(

20

)1(

20

)1(

20

)1(

20

)1(

20

)1(

20

)1(

20

1

201000

121110987

65432

rrrrrr

rrrrrr

IRR - uwagi• 1. Z dwóch inwestycji lepsza jest ta, która ma wyższy IRR

• 2. Równanie (43) może mieć kilka rozwiązań. ( Dany jest przepływ kapitałów: - 1000 $, +3600 $ , - 4310 $, + 1716 $ w rocznych odstępach czasowych. Liczby 10%,

20 %, 30 % spełniają równanie (43) dla tego przepływu kapitału.

• 3. Jeżeli występuje tylko początkowy nakład, to IRR jest wyznaczona jednoznacznie.

• 4. Inwestycja jest opłacalna, jeżeli jej IRR przewyższa stopę procentową wolną od ryzyka (np. oprocentowania lokat bankowych), jeżeli zaś jest od niej mniejsza, to inwestycja jest nieopłacalna.

IRR - podsumowanie

Zalety• brak wrażliwości na skalę inwestycji• porównywalność z innymi miernikami efektywności inwestycji

(stopa efektywna, stopa rentowności obligacji)• pełnienie roli okresowej efektywnej stopy zwrotuWady• wskaźnik IRR (w wielu przypadkach) możliwy do obliczenia

tylko metodami numerycznymi• niejednoznaczność (równanie (43) może posiadać więcej niż

jedno rozwiązanie)

Stopy zwrotu z inwestycji o wielu przepływach, bez reinwestycji

• Niech inwestycja I przynosi wpływy Ci po upływie ti okresów bazowych. Stopa zysku z inwestycji

• Zatem

I

ICR

n

ii

1

I

CR

n

ii

11

Stopa zwrotu z inwestycji bez reinwestycji (modyfikacja)

Niech inwestycja I przynosi w kolejnych latach przypływy finansowe c1 ,..., cn . Wtedy stopa zwrotu R z inwestycji dana jest wzorem

111

I

c

I

IcR

n

ii

n

ii

Średnia okresowa stopa zwrotu rs gdy ostatni przepływ nastąpił po tn okresach

I

CRr

n

ii

ts

n

11)1(

Przykład A. Roczna stopa zwrotu z inwestycji

bez reinwestowania wpływów

-120000po 1. roku 39000po 2. roku 30000po 3. roku 21000po 4. roku 37000po 5. roku 46000suma wpływów 173000stopa zwrotu z całej inwestycji 44,17%

stopa roczna 7,59%

Reinwestowanie przy stałej stopie procentowej r

Uzyskane w czasie trwania inwestycji wpływy inwestujemy bezzwłocznie uzyskując stałą okresową stopę zwrotu r

Obliczymy stopę zwrotu z inwestycji i średnią okresową stopę zwrotu przy reinwestowaniu wpływów

Reinwestowanie wpływów przy stopie r

• Inwestując każdy wpływ przy stopie procentowej r, w momencie ostatniego wpływu otrzymujemy kwotę

• Oznaczając – jak poprzednio- stopę zwrotu z całej inwestycji przez R otrzymujemy

I

rCR

in ttn

ii

)1(

1 1

in ttn

ii rC

)1(1

Zewnętrzna stopa zwrotu ERR

• Inwestycja trwa tn lat zatem średnia roczna stopa zwrotu rs spełnia równanie (rs nosi nazwę zewnętrznej stopy zwrotu)

1)1(

)1()1(1

1

1

n

in

in

n

t

ttn

ii

s

ttn

ii

ts

I

rCr

czyliI

rCrR

ERR (external rate of return)

1)1(

1

n

in

t

ttn

ii

I

rCERR

inn ttn

ii

t rCERRI

)1()1(1

Stopa zwrotu z inwestycji i średnia okresowa stopa zwrotu przy reinwestowaniu wpływów (modyfikacja)

Stopa zwrotu

Średnia okresowa stopa zwrotu - rs (ERR)

1)1()1(

11

I

rc

I

IrcR

n

i

ini

inn

ii

1)1(

)1()1()1(

1

1

n

n

i

ini

s

n

i

ini

ns

I

rcr

I

rcRr

Wpływy inwestowane są aż do momentu ostatniego wpływu przy stopie rocznej w wysokości 1% oraz rocznej kapitalizacji

5 -120000 -1200004 40583,56 390003 30909,03 300002 21422,10 210001 37370,00 370000 46000,00 46000

liczba okresów bazow ych do aktualizacji

w artość przyszła w pływ ów na moment ostatniego


suma wartości przyszłej wpływów (8) 176 284,69 zł SUMA(E2:E6)

stopa zw rotu z całej inw estycji (9) 46,90% (E8+E1)/-E1 roczna stopa zwrotu 8,00% (1+E9) (̂1/5)-1stopa reinw estycyjna (10) 1,00%

D E F

5 -120000 -1200004 42214,85 390003 31836,24 300002 21848,40 210001 37740,00 370000 46000,00 46000






D E F

5 -120000 -1200004 57099,9 390003 39930 300002 25410 210001 40700 370000 46000 46000






D E F

5 -120000 -1200004 65869,44624 390003 44446,32 300002 27291,6 210001 42180 370000 46000 46000






D E F

Roczna stopa zwrotu (kolor niebieski) a stopa reinwestycyjna (zielony)

• Dla pewnej wartości stopy reinwestycyjnej występuje równość z okresową (np. roczną) stopą zwrotu z inwestycji

• Okazuje się, że taka wartość stopy reinwestycyjnej jest równa wewnętrznej stopie zwrotu (IRR)

Reinwestowanie wpływów przy stopie r =IRR(wtedy ERR = IRR)

).(01

)1(IRRdefI

n

ir

Cit

i

inn

inn

ttn

ii

t

n

ii

ttn

ii

t

IRRCIIRR

CFVrCIr

)1()1(

)()1()1(

1

11

Uwzględnienie kosztu kapitału• Przykład 1. Jednorazowa inwestycja 1000 zł przyniosła po

roku dochód 1200 zł. Inwestycja pochodziła z kredytu o stopie 12%. Jaka była stopa zwrotu dla tej inwestycji ?

• Inwestor musiał zwrócić bankowi 1120 zł. Zysk wyniósł 80 zł. Stopa zwrotu: 80/1000 = 8%.

• Przykład 2. Jednorazowa inwestycja 1000 zł przyniosła po 3 latach dochód 1200 zł. Inwestycja pochodziła z kredytu o rocznej stopie 4%. Obliczymy roczną stopę zwrotu inwestora.

• Inwestor musiał zwrócić bankowi kwotę 1000*1,04^3= 1124,86 zł. Zysk wyniósł 75,14 zł. Stopa zwrotu z inwestycji: 75,14/1000 = 7,514%. Stopa roczna to 1,07514^(1/3)-1=2,444%

Stopa zwrotu z inwestycji i średnia okresowa stopa zwrotu przy reinwestowaniu wpływów stałą stopą r, oraz uwzględniając

koszt kapitału

• Niech inwestycja I, która jest kredytowana okresową stopą rk przynosi w kolejnych okresach przypływy finansowe c1 ,..., cn, które są reinwestowane przy stopie r

• Stopa zwrotu z inwestycji

nk

n

i

ini

nk

inn

ii

rI

rc

I

rIrcR )1(

)1()1()1(11

Stopa zwrotu z inwestycji i średnia okresowa stopa zwrotu przy reinwestowaniu wpływów stałą stopą r, oraz uwzględniając

koszt kapitału

• Średnia okresowa stopa zwrotu - rs

1)1()1(

1

n

nk

inn

ii

s I

rIrcr

Roczna stopa zwrotu przy uwzględnieniu kosztu kapitału (8%)

5 -176319,37 -1200004 61367,26 390003 42147,84 300002 26342,40 210001 41440,00 370000 46000,00 46000




suma wartości przyszłej wpływów (8) 217 297,50 zł SUMA(E2:E6)stopa zw rotu z całej inw estycji (9) 34,15% (E8+E1)/(-F1) roczna stopa zwrotu 6,05% (1+E9) (̂1/5)-1stopa reinw estycyjna (10) 12,00%

koszt kapitału 8,00%D E F


5 -193261,20 -1200004 61367,26 390003 42147,84 300002 26342,40 210001 41440,00 370000 46000,00 46000







5 -231049,7499 -1200004 61367,25504 390003 42147,84 300002 26342,4 210001 41440 370000 46000 46000




suma wartości przyszłej wpływów (8) 217 297,50 zł SUMA(E2:E6)stopa zw rotu z całej inw estycji (9) -11,46% (E8+E1)/(-F1) roczna stopa zwrotu -2,40% (1+E9) (̂1/5)-1stopa reinw estycyjna (10) 12,00%


Roczna stopa zwrotu (oś Y) a koszt kapitału (oś X) przy stopie reinwestycyjnej 12%

Roczna stopa zwrotu a koszt kapitału przy stopie reinwestycyjnej 10%, koszt kapitału – oś OX

Stopa reinwestycyjna = IRR = koszt kapitałuwynik: roczna stopa (ERR) = 0

5 -221777,8694 -1200004 63746,18161 390003 43367,40454 300002 26848,13229 210001 41835,9 370000 46000 46000






Stopa reinwest. < IRR, IRR = koszt kapitału,wynik : roczna stopa (ERR) - ujemna

2 26342,4 210001 41440 370000 46000 46000




suma wartości przyszłej wpływów (8) 217 297,50 zł SUMA(E2:E6)stopa zw rotu z całej inw estycji (9) -3,73% (E8+E1)/(-F1) roczna stopa zwrotu -0,76% (1+E9) (̂1/5)-1stopa reinw estycyjna (10) 12,00%


Stopa reinwest. > IRR, IRR = koszt kapitałuwynik: roczna stopa (ERR) - dodatnia

2 27291,6 210001 42180 370000 46000 46000






Documents

Mierniki efektywności inwestycji finansowych