Mikrodalga Tekniği 4.Ders

Adnan GRR Ksa ve Ak Devre Hatlar 1 / 31

ZEL DURUMLAR

1. KISA DEVRE (ZL=0) LETM HATTI

ekil.2.21 Ksa devre iletim hatt

Ksa devre nedeniyle yk snr art V(0)=0 dr ve bunun sonucu olarak, [ ] [ ]

1 011)0( 020

==+=+== ++

L

Lj

Lj VeeVdV

elde edilir. Ayn zamanda,

+

=VV

L olduundan, + = VV

yazlabilir. Bylece, hat voltajnn fazrn,

ZL=0Z0


( )dVj

eeVeVeVeVeVdV djdjdjdjdjdj

sin2

)(+

++++

===+=

eklinde yazabiliriz. Benzer ekilde akm fazrn de,

( ) ( ) ( )d

ZV

eeZVeVeV

ZeVeV

ZdI djdjdjdjdjdj

cos2

11)(

0

000+

++++

=

+=+==

eklinde elde etmek mmkndr. Bylece hat empedans,

djZZdVdVj

dIdVZdZ KD

tan

cos2sin2

)()()( 0

0==== +

+

olur. Ayn eitlik,

djZZdjZZZdZ

L

L

tantan)(

0

00 +

+=


denkleminde ZL=0 yazlarak da elde edilebilir. Grld gibi, bir ksa devre ile sonlandrlm d-uzunluundaki kaypsz iletim hattnn giri empedans saf imajinerdir ve

KDp

in jXdvfjZdjZdjZZ =

=

== 2tan2tantan 000

eklinde yazlabilir. Sabit bir f frekansnda, hattn uzunluu 0dan /2ye kadar deitirilerek herhangi bir reaktans deeri elde edilebilir. Tanjant fonksiyonu periyodik olduundan,

empedansn davran her /2 mesafede zde olarak tekrarlayacaktr. Dier taraftan tanjant fonksiyonu (-) ile () aralnda deieceinden, ekil.2.22 ve 2.23den de grlecei gibi, ksa devre iletim hattnn giri empedans indktif veya kapasitif olacaktr.

d


ekil.2.22 Ksa devre ile sonlandrlm iletim hattnn giri empedansnn hat uzunluu ile deiimi

Ksa Devre letim Hatt Sabit Frekans d

---- ------------------ ------------

d = /4 Zin Paralel Rezonans/4 < d < /2 Im(Zin) < 0 Kapasitans

d = 0 Zin = 0 Seri Rezonans

0 < d < /4 Im(Zin) > 0 ndktans

d = 3/4 Zin Paralel Rezonans3/4 < d < Im(Zin) < 0 Kapasitans

d = /2 Zin = 0 Seri Rezonans/2 < d < 3/4 Im(Zin) > 0 ndktans


ekil.2.23 Ksa devre ile sonlandrlm iletim hattnn giri empedansnn hat uzunluu ile deiimi

Ksa Devre Hat EmepedansSabit Frekans, Deiken Uzunluk

Hat uzunluu, d

0 100 200 300 400 500

N

o

r

m

a

l

i

z

e

G

i

r

i

E

m

e

p

d

a

n

s

Z

(

d

)

/

Z

0

=

j

t

a

n

d

-150

-100

-50

0

50

100

150

(derece)

KapasitifKapasitif

ndktifndktifndktif

/()=/23/(2)=3/4/(2)=/4

2/=5/(2)=5/4

ZL=0 Z0

0 d


olur. Hat uzunluunun artan deerleri iin giri empedansnn ald deerler ve davran

ekil.2.22 ve 2.23de gsterilmitir. Grld gibi giri empedans her yarm dalga boyu

mesafede tekrarlanyor.

ekil.2.24 Ksa devre ile sonlandrlm iletim hattnn giri empedansnn frekansla deiimi

Ksa Devre Hat EmepedansSabit Uzunluk, Deiken Frekans

alma Frekans, f

0 100 200 300 400 500

N

o

r

m

a

l

i

z

e

G

i

r

i

E

m

e

p

d

a

n

s

Z

(

d

)

/

Z

0

=

j

t

a

n

d

-100

-50

0

50

100

(derece)

vp/(2d)vp/(4d) 3vp/(4d)

vp/d5vp/4d

KapasitifKapasitif

ndktifndktifndktif


Dikkat edilmelidir ki; iletim hattnn uzunluu sabitlenip alma frekans

deitirilirse, benzer bir davran elde edilir (bkz. ekil.2.24). d=/4 ve /2 civarnda, ksa devre hattn davran LC devrelerinin davranna benzer. Toplu eleman LC

devrelerinin karakteristikleri ile karlatrlrsa, ksa devre iletim hattnn d=/4 ve /2 veya d=/2 ve civarnda u zelliklere sahip olduu grlr: d=(2n-1)/2 civarndaki frekanslarda ksa devre hat paralel rezonans devresi gibi

davranr.

d=n civarndaki frekanslarda ksa devre hat seri rezonans devresi gibi davranr. Ksa devre iletim hattnn bu iki zellii band geiren ve band tutan filtre tasarmnda nemli

yer tutar.

Eer ksa devre hat kaypl ise, giri empedans,

ddjdjdZdjdZdZZ KD

tantanh1tantanh)tanh(tanh 000 +

+=+== olur. Kaypsz durumda d=n iin giri empedans sfr idi. Ancak kayp nedeniyle, imdi giri empedans sonlu bir deere sahiptir. =0.5 Neper olmak zere, kaypl ksa devre hat


uzunluu d=n/2 (n, tamsay) ise, ohm )(tanh 00 dZdZZKD = olur. Hat uzunluu d=(2n-1)/4 ise, ohm coth 00 dZdZZKD = olur. Bu durumda, giri empedans sonlu ve reeldir.

Dier taraftan ksa devre iletim hattnda voltaj ve akmn zamana baml ifadeleri,

[ ] [ ][ ] [ ]

)sin(sin2

)sin()cos(Resin2Resin2

sin2Re)(Re),(

)(

+=++==

==

+

+++

+

tdV

ttjdVjedV

edeVjedVtdV

tj

tjjtj

[ ] [ ][ ] [ ]

)cos(cos2

)sin()cos(Recos2Recos2

cos2Re)(Re),(

0

0

)(

0

0

+=

+++==

==

+

++

+

+

tdZ

V

ttdZ

Vjed

Z

V

ZedeVedItdI

tj

tjjtj


eklinde elde edilir. Bylece, ani g ve buna karlk gelen ortalama g, srasyla,

)22sin(2sin

)cos()sin(cossin4),(),(),(

0

20

2

+=

++==+

+

tdZ

V

ttddZ

VtdItdVtdP

0 )22sin(12sin ),(1),(00

2

0=+==

+dtt

Td

Z

VdttdP

TtdP

TT

olarak bulunur.


2. AIK DEVRE (ZL=) LETM HATTI

ekil.2.25 Ak devre iletim hatt

Ak devre nedeniyle yk snr art I(0)=0 dr ve bunun sonucu olarak,

[ ] [ ]1

011)0(0

020

0=

====++

L

Lj

Lj

ZVee

ZVdI

elde edilir. Ayn zamanda,

+

=VV

L olduundan, + =VV

yazlabilir. Bylece, hat akm fazrn,

ZL Z0


( ) ( )( ) d

ZVjee

ZV

eVeVZ

eVeVZ

dI

djdj

djdjdjdj

sin2

11)(

00

00++

+++

==

==

eklinde yazabiliriz. Benzer ekilde voltaj fazrn de,

( ) dVeeV eVeVeVeVdV djdjdjdjdjdj

cos2

)(++

+++

=+=+=+=

eklinde elde etmek mmkndr. Bylece hat empedans,

dZj

ZdVjdV

dIdVZdZ AD

tansin2

cos2)()()( 0

0==== +

+

olur. Ayn eitlik, ksa devre durumunda belirtildii gibi, genel hat empedans ifadesinden de

elde edilebilir. Grld gibi, bir ak devre ile sonlandrlm d-uzunluundaki kaypsz iletim hattnn giri empedans saf imajinerdir ve

KDp

in jXdvfjZdjZdjZZ =

=

== 2cot2cotcot 000


eklinde yazlabilir. Sabit bir f frekansnda, hattn uzunluu 0dan /2ye kadar deitirilerek kapasitanstan balayan herhangi bir reaktans deeri elde edilebilir. Yukardaki empedans

fonksiyonu da periyodik olduundan, empedansn davran her /2 mesafede zde olarak tekrarlayacaktr. Dier taraftan cotanjant fonksiyonu (-) ile () aralnda deieceinden, ekil.2.26 ve 2.27den de grlecei gibi, ak devre iletim hattnn giri empedans yine

kapasitif veya indktif olacaktr. d


ekil.2.26 Ak devre iletim hattnn giri empedansnn hat uzunluu ile deiimi

---- ------------------ ------------

Ak Devre letim Hatt Sabit Frekans

Paralel Rezonansd = 0 Zin Kapasitans0 < d < /4 Im(Zin) < 0

Seri Rezonansd = /4 Zin = 0 ndktans/4 < d < /2 Im(Zin) > 0

Paralel Rezonansd = /2 Zin Kapasitans/2 < d < 3/4 Im(Zin) < 0

Seri Rezonansd = 3/4 Zin = 0 ndktans3/4 < d < Im(Zin) > 0

d


ekil.2.27 Ak devre iletim hattnn giri empedansnn hat uzunluu ile deiimi

Ak Devre Hat EmepedansSabit Frekans, Deiken Uzunluk

Hat Uzunluu, d

0 100 200 300 400 500

N

o

r

m

a

l

i

z

e

G

i

r

i

E

m

e

p

d

a

n

s

Z

(

d

)

/

Z

0

=

-

j

c

o

t

d

-60

-40

-20

0

20

40

60

(derece)

/(2)=/4

KapasitifKapasitif

ndktifndktifndktif

Kapasitif

/()=/23/(2)=3/4

2/=5/(2)=5/4

ZL= Z0

0 d


ekil.2.28 Ak devre iletim hattnn giri empedansnn frekansla deiimi

Dikkat edilmelidir ki; iletim hattnn uzunluu sabitlenip alma frekans

deitirilirse, benzer bir davran elde edilir (bkz. ekil.2.28). d=/4 ve /2 civarnda, ak devre hattn davran toplu eleman LC devrelerinin davranna benzer. Toplu eleman

Ak Devre Hat EmepedansSabit Uzunluk, Deiken Frekans

alma Frekans, f

0 100 200 300 400 500

N

o

r

m

a

l

i

z

e

G

i

r

i

E

m

e

p

d

a

n

s

Z

(

d

)

/

Z

0

=

-

j

c

o

t

d

-100

-50

0

50

100

ndktif ndktif ndktif

Kapasitif Kapasitif

(derece)

Kapasitif

vp/(2d)vp/(4d) 3vp/(4d)

vp/d5vp/4d


LC devrelerinin frekans karakteristikleri ile karlatrlrsa, ak devre iletim hattnn d=/4 ve /2 veya d=/2 ve civarnda u zelliklere sahip olduu grlr: d=(2n-1)/2 civarndaki frekanslarda, yani eyrek dalga boyunun tek katlar olan

frekanslarda, ak devre hat seri rezonans devresi gibi davranr.

d=n civarndaki frekanslarda, yani yarm dalga boyunun tam katlar olan frekanslarda, ak devre hat paralel rezonans devresi gibi davranr.

Ak devre hattn bu zellikleri de mikrodalga filtrelerinin tasarmnda nemli bir yer tutar.

Eer ksa devre hat kaypl ise, giri empedans,

)coth(coth 00 djdZdZZ AD +== olur. Kaypsz durumda d=n iin giri empedans sonsuz idi. Ancak kayp nedeniyle, imdi giri empedans sonlu bir deere sahiptir. =0.5 Neper olmak zere, kaypl ak devre hat uzunluu d=n/2 (n, tamsay) ise, ohm 0 dZZ AD olur. Ak devre hat uzunluu d=(2n-1)/4 ise, ohm )(0 dZZ AD olur. Bu durumda, giri empedans sonlu ve reeldir.


3. LETM HATLARININ REZONANS DEVRES OLARAK KULLANILMASI Bilindii gibi indktans veya kapasitansn reaktans,

)(indktansLX = veya

s)(kapasitan 1 CX = eitlikleri ile tanmlandndan, toplu eleman (alak frekanslarda) durumunda frekansla

lineer olarak deiir. Reaktans bir iletim hattnn paras olarak gerekletirildiinde ise, bu doru deildir. Reaktif eleman olarak iletim hatlarn kullanarak, rezonans devrelerini gerekletirmek mmkndr. rnek olarak, ayn karakteristik empedansa sahip hatlarla gerekletirilen

ekil.2.29daki devreyi gz nne alalm.


ekil.2.29 letim hatlar ile gerekletirilmi rezonans devresi

Bu devrede,

101 tan LjZZin = 202 tan LjZZin = dir. L1 ve L2 uzunluklar, bir indktans ve kapasitans gerekletirecek ekilde seilirse, devre rezonansta olur. Paralel devrenin toplam giri empedans sonsuz olursa (veya edeer olarak, paralel devrenin giri admitans sfr olursa), rezonans art salanm olur. Yani,

Ksa Devre

Ksa Devre


0tan

1tan

12010=+

LjZLjZ rr

veya

=

21 tantan LvL

v pr

p

r

olur. Burada,

p

r

rr v

== 2

dir. Tanjant periyodik bir fonksiyon olduundan, yukardaki rezonans artn salayan,

mmkn rezonans asal frekansnn rnin katlarnda da rezonans oluur. zmler, nmerik yntemler kullanlarak bulunabilir.


Voltaj ve akmn zamana baml ifadeleri, [ ] [ ] [ ][ ]

)cos(cos2

)sin()cos(Recos2

Recos2cos2Re)(Re),( )(

+=+++=

===

+

+

+++

tdV

tjtdV

edVedeVedVtdV tjtjjtj

[ ] [ ][ ][ ]

)sin(sin2

)sin()cos(Resin2

Resin2

sin2Re)(Re),(

0

0

0)(

0

+=

++==

==

+

+

++

+

tdZ

V

ZttjdV

ZjedV

ZedeVjedItdI

tj

tjjtj

eklinde elde edilir. Bylece, ani g ve buna karlk gelen ortalama g, srasyla,


)22sin(2sin

)cos()sin(cossin4

),(),(),(

0

20

2

+=

++=

=

+

+

tdZ

V

ttddZ

V

tdItdVtdP

ve

0 )22sin(12sin

),(1),(

00

20

=+=

=

+dtt

Td

Z

V

dttdPT

tdP

T

T

olarak bulunur.


3. UYUMLU YKLE SONLANDIRMA (ZL=Z0)

ekil.2.30 Uyumlu yk ile sonlandrlm iletim hatt

Uyumlu yk ile sonlandrlm iletim hattnda yansma katsays,

000

00

0

0 =+=+

=ZZZZ

ZZZZ

L

LL Yansma Yok

olur. Hat voltaj ve hat akm fazrleri, ( ) djdjLdj eVeeVdV ++ =+= 21)( ( ) djdjLdj eZVeeZVdI 020 1)(

++ ==

ZL=Z0Z0


eklinde yazlr. Bu durumda, hat empedans konumdan bamszdr ve hattn karakteristik empedansna eittir. Yani,

0

0

)()()( Z

eZV

eVdIdVdZ

dj

dj=== +

+

olur. Ani voltaj ve akm ise, [ ] [ ][ ] )cos(Re

Re)(Re),(

)(

++====

++++

+

dtVeV

eeeVedVtdV

dtj

tjdjjtj

[ ][ ] )cos(Re

Re),(

0

)(

0

0

++==

=+

+++

+

dtZ

Ve

Z

V

ZeeeVtdI

dtj

tjdjj

eklinde ifade edilebilir. Ani g ve ykn harcad ortalama g, srayla,


)(cos

)cos()cos(),(

2

0

20

++=

++++=+

++

dtZ

V

dtZ

VdtVtdP

ve

0

2

0

2

0

2

2dt )(cos1),(

Z

Vdt

Z

V

TtdP

T++

=++= olur.


4. SAF REAKTANSLA SONLANDIRMA (ZL=jX)

ekil.2.31 Saf reaktans ile sonlandrlm iletim hatt

Saf reaktif ykn yansma katsays,

( ) ( )( ) ( )2

02

02

02

20

200

00

0

0

0

0

2ZX

XZjZXZX

jXZZjXjXZZjX

ZjXZjX

ZZZZ

L

LL

+++=

+=+

=+=

olur. Polar (kutupsal) formda bu ifade,

LjLL e=

eklinde yazlabilir. Burada,

ZL=jXZ0


( )( ) ( ) ( )( ) 14 220222

02

220

2

20

2

220

2

220

2=

++=

++

+=

ZX

ZX

ZX

ZX

ZX

ZXL

=

20

201 2tan

ZXXZ

L

dir. Ksa ve ak devre yk durumunda olduu gibi, ykn harcad sfr ortalama g ile

yansma katsays birim genlie sahiptir. Hem voltaj hem de akm ykte sonlu deere

sahiptir ve ani g, pozitif ve negatif deerler arasnda osilasyon yapar. Bunun anlam

udur; g harcamadan, yk periyodik olarak depolar ve gc iletim hattna geri dndrr.

Reaktif empedanslar ksa veya ak devre ile sonlandrlm iletim hatlar ile

gerekletirilebilir.


LETM HATLARINDA GEC VE SREKL HAL imdi iletim hatlar iin elde edilen matematiksel sonularn fiziksel yorumuna ihtiyacmz

var. Her eyden nce, dikkat edilmelidir ki; iletim hatt boyunca dalga yaylmnn zamana

gre mkemmel periyodik olduu kararl hal rejimini gz nne alyoruz. Bunun anlam

udur: bu durumda zaten geici olaylarn hepsi bozulmu oluyor.

Kararl hal rejiminin ne olduunu anlamak iin, t=0 referans annda bir anahtarn kapatlmas ile kaynaa balanan bir iletim hattn gz nne alalm. Kolaylk asndan,

hattn karakteristik empedans da dahil, btn empedanslarn reel olduunu kabul edelim.

ekil.2.32 letim hattnda geici hal

Kaynak Anahtar Yk

RL letim Hatt


Anahtar kapatldktan sonra, iletim hattnn giriindeki voltaj, iletim hattna akmaya balayan

+I akm ile, kaynan ak devre voltaj GV den +V deerine ani olarak deiecektir. letkenlerdeki ykler hareket ettike (yke doru akm akyla) iletim hattnda bir geici hal

oluur. Yk ak iletim hattnn sonuna varncaya kadar, yk voltaj sfrda kalr.

Balangta, iletim hattnn giri empedansnn hattn karakteristik empedans ile ayn

olduu gzlenir, nk akm, henz yk empedansnn deerini alglayamaz. Bundan

dolay, +I gelen akm ile +V gelen voltaj yaylr. Burada,

0

00 ZZ

ZVZIVG

G +==++

0

0

0 ZRVV

ZVI

GG +==

++

dr. Eer yk, hattn karakteristik empedansna tam olarak uyumlu deilse, dalga hat

sonuna ulanca +I akm ile +V voltaj RL yk zerinde olumaz, nk bu durumda,

LRIV++


dr. Bundan dolay,

LRIIVV )(++ ++

olacak ekilde, I akm ve V voltaj ile geriye yansyan bir dalga cephesi ile ykte akm ve voltaj kendi kendilerini ayarlar. Ayn zamanda yansyan dalga Z0 empedansn greceinden,

++ == IZVIZV 00 ve

0

0ZRZRVV

L

L+= +

elde edilir. Bu durumda yk yansma katsays,

0

0ZRZR

VV

L

LL +

== +

olur. Ykten yansyan dalga negatif ynde yaylan dalgadr ve iletim hatt boyunca

(kaynaktan uygulanmaya devam eden) voltaj ve akmn osilasyon yapan deerleriyle giriim

yapar.


Yansyan dalga iletim hattnn giriine ulatnda, kaynak empedans RG ile karlar ve bu empedans karakteristik empedans ile uyumlu deilse, yeniden yke doru yansma oluur.

Bu kez, pozitif ynde yke doru yaylan voltaj,

0

02 ZR

ZRVVL

L+= +

olur. Unutulmamaldr ki; ideal voltaj kayna yansyan dalga iin bir ksa devre gibi

davranacaktr.

Kaynak tarafndan yansyan dalga tekrar yke ulaacak, ve giderek azalan bir genlikle

dalgalar hat boyunca, balangtaki dalga cephesi kayboluncaya kadar, ileri-geri yansmaya

devam edecektir.

Osilasyon yapan kaynaktan salanan her ardk dalga cephesi zde katl yansma olayna

maruz kalr. Eer sinzoidal bir kaynak kabul edilirse, iletim hattna verilen voltaj ve akm,

osilasyon periyoduna gre, periyodik olarak tekrarlanr. Bundan dolay, hattn ularndaki

ardk yansmalar ayn yansma katsaysna uyarlar, ancak zamana gre farkl genlik ve

faz deerleri ierirler. Eer kaynak kararl bir osilasyonla hatt beslemeye devam ederse,

yeterli bir zaman sonra, pozitif ve negatif ynlerdeki dalgalarn birleik giriimi kararl olur ve


hat zerinde yryen sonsuz geici bileenlerin sperpozisyonundan doan, iyi-tanml

gelen ve yansyan kararl hal dalgalar tanmlanabilir.

Dikkat edilmelidir ki; dalgalar, telleri kuatan ortamdaki k hzna eit bir faz hz ile

yaylrlar. Ayrca, hat uzunluu dalgalarn giriim paternini etkileyecektir. Bylece farkl

uzunluktaki hatlar, hat boyunca farkl voltaj ve akm dalmna neden olacaktr.

Bir iletim hattnda kararl hal voltaj ve akmlaryla alldnda, sadece hattn her

noktasnda kararl hal osilasyonlarn gsteren fazrlerin bilinmesi gerekir. Fazrler, bir

referans annda, genlik ve faz vastasyla, voltaj ve akmn uzayda birbiriyle nasl ilikili

olduunun anlk durumunu salar. Kararl halde, voltaj ve akmn hattn her noktasnda,

kaynak periyoduna gre, mkemmel periyodik olduunu bildiimiz iin, zamana gre gerek

osilasyon kolayca belirlenebilir.

Eer kaynak birden fazla osilasyon frekans salarsa, kararl halde, spektrumdaki her

frekansn davran bamsz olarak allabilir ve toplam sonu, sper pozisyon ile elde

edilir.

Documents

Mikrodalga Tekniği 4.Ders