Curso de MINITAB M. C. Eduardo Rodrguez Lpez (ITSJR)Pgina 1 NDICE 1.Introduccin a Minitab2 1.1 Qu es Minitab?2 1.2 Pantalla principal3 1.3 Comandos principales4 2.Distribuciones de probabilidad6 2.1 Distribuciones de probabilidad discretas6 2.2 Distribuciones de probabilidad continuas10 2.3 Grficas de distribuciones de probabilidad15 3.Estadstica descriptiva22 3.1 Clculo de estadsticas descriptivas22 3.2 Correlacin26 4Estadstica inferencial28 4.1 Media muestral, distribucin normal28 4.2 Media muestral, distribucin t 30 4.3 Dos medias muestrales31 4.4 Prueba de medias por pares33 4.5 Prueba de una proporcin35 4.6 Prueba de dos proporciones36 4.7 Prueba de varianza38 4.8 Prueba de igualdad de varianzas39 5Regresin42 5.1 Regresin simple42 5.2 Regresin mltiple53 6Anlisis de varianza58 6.1 Modelo de un factor58 6.2 Diseo de bloques aleatorizado63 6.3 Experimento factorial de dos factores69 7Pronsticos74 7.1 Promedios mviles74 7.2 Suavizacin exponencial79 7.3 Tendencias82 Curso de MINITAB M. C. Eduardo Rodrguez Lpez (ITSJR)Pgina 2 MINITAB 1.INTRODUCCIN A MINITAB 1.1 Qu es Minitab? Minitabesunsoftwarequepermiteresolverproblemasdiversosen variasreasmatemticasydelaingeniera,comoEstadistica, Probabilidad,AlgebraMatricial,ControldeCalidad,Simulacin.Esmuy fcildeusarycuentaconunaayudamuycompleta.Losresultados numricosygrficossepuedenexportarconfacilidadaWord,Excelo Power Point. Para entrar, se debe presionar el icono correspondiente. 1.2 Pantalla principal Curso de MINITAB M. C. Eduardo Rodrguez Lpez (ITSJR)Pgina 3 Unavezqueaccesalprograma,semostrarlapantallaprincipalde Minitab. Enlaventanadesesinsevanregistrandolosresultadosdelos problemas que se resuelven. Enlahojadetrabajoseintroducenlosdatosnecesariosparael procesamientoytambinsepuedenmostrarresultados,siasse especifica.ProjectManager(inicialmenteminimizado)contienecarpetasque permitennavegar,verymanipulardiversaspartesdesuproyecto.Al hacerclicconelbotnderechodelratnenlascarpetasoensu contenido,puedeaccederaunavariedaddemensquepermite administrarlasalidadelaventanaSesin,lasgrficas,lashojasde trabajo, el lenguaje de comando y las reas relacionadas del proyecto. 1.3 Comandos principales Men principal Ventana de sesin Hoja de trabajo Project Manager Curso de MINITAB M. C. Eduardo Rodrguez Lpez (ITSJR)Pgina 4 Los comandos mostrados en el men principal son: a)Archivo b)Editar c)Datos d)Calc e)Estadsticas f)Grfica g)Editor h)Herramientas i)Ventana j)Ayuda k)Asistente Men ArchivoMen EditarMen Datos Curso de MINITAB M. C. Eduardo Rodrguez Lpez (ITSJR)Pgina 5 Men CalcMen EstadsticasMen Grfica

Men EditorMen HerramientasMen Ventana

Men AyudaMen Asistente Curso de MINITAB M. C. Eduardo Rodrguez Lpez (ITSJR)Pgina 6 2.DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD Minitabsepuedeutilizarparacalcularvaloresdeprobabilidad de variables aleatorias que siguen distribuciones discretas y continuas. Las opciones disponibles se muestran en la siguiente pantalla.

2.1 Distribuciones de probabilidad discretas. UsandoMinitabsepuedencalcularlosvaloresdediferentes distribucionesdeprobabilidaddiscretas,como:binomial,binomial negativa, geomtrica, hipergeomtrica, discreta, entera y Poisson. Paraestafinalidad,enelmensuperiorseseleccionaCalc.Delas opciones desplegadas, elija Distribuciones de probabilidad y luego elija una de las distribuciones mencionadas arriba.Deberintroducirlosparmetroscorrespondientesaladistribucin para obtener probabilidades de valores individuales o acumuladas. Curso de MINITAB M. C. Eduardo Rodrguez Lpez (ITSJR)Pgina 7 Ejemplos: a)Obtenerlasprobabilidadesdesde0hasta10xitosparaun experimento de Bernoulli (distribucin binomial) con 15 ensayos y una probabilidad de xito de 0.6. Solucin: Inicialmente hay que introducir en la columna C1 los valores de x para los cuales se desean calcular las probabilidades. (Es preferible ponerle elencabezadoValoresdelavariablealeatoriaalacolumnaC1y Probabilidades a la columna donde se almacenen los resultados).Despus, se siguen las instrucciones indicadas para obtener los valores deladistribucindeprobabilidadbinomial.Entonces,aparecerla siguiente pantalla:

ElegirProbabilidad,enlaceldadenmerodeensayosescribir:10, probabilidad del evento (probabilidad de xito): 0.6, columna de entrada: C1.Sisedeseaquelosresultadosaparezcanenlahojadetrabajode Minitab,enAlmacenamientoopcionalsedebeelegirunacolumna,en caso contrario, las probabilidades se mostrarn en la ventana de Sesin: Curso de MINITAB M. C. Eduardo Rodrguez Lpez (ITSJR)Pgina 8 Funcin de densidad de probabilidad Binomial con n = 15 y p = 0.6 xP( X = x ) 00.000001 10.000024 20.000254 30.001649 40.007420 50.024486 60.061214 70.118056 80.177084 90.206598 100.185938 b)Obtenerlasprobabilidadesdeobtenerde2a5bolasblancasdeuna muestrade6enunrecipientedondeserealizaextraccinsin reemplazo(hipergeomtrico)enelcualsetienen20bolas,7deellas blancas. Solucin: En la columna C1 se introducen los valores 2, 3, 4, 5. A continuacin se siguenlasinstruccionesindicadasparaobtenerlosvaloresdela distribucindeprobabilidadhipergeomtrica.Entonces,aparecerla pantallaenlacualseeligeProbabilidad,N=20(nmerodebolas), M=7(cantidaddebolasblancas),n=6,ylascolumnasdedondese tomanlosvaloresdelavariablealeatoriaydondesemostrarnlos resultados. Curso de MINITAB M. C. Eduardo Rodrguez Lpez (ITSJR)Pgina 9 El resultado solo se muestra en la hoja de trabajo, es: c)Obtenerlasprobabilidadesacumuladasdesde0a8sucesosenun experimento de Poisson en el cual el promedio es de 5. Solucin: EnlacolumnaC1seintroducenlosvaloresdel0al8.Acontinuacin sesiguenlasinstruccionesindicadasparaobtenerlosvaloresdela distribucindeprobabilidadPoisson.Serealizaelllenadodela ventana como se muestra a continuacin. Curso de MINITAB M. C. Eduardo Rodrguez Lpez (ITSJR)Pgina 10 Los resultados son: 2.2 Distribuciones de probabilidad continuas. Minitab calcula los valores de diferentes distribuciones de probabilidad continuas:chi-cuadrada,F,t,uniforme,beta,Cauchy,exponencial, gamma,Laplace,logstica,loglogstica,lognormal,triangular,Wiebull, valor entero ms grande, valor entero ms pequeo. Curso de MINITAB M. C. Eduardo Rodrguez Lpez (ITSJR)Pgina 11 Paraestafinalidad,enelmensuperiorseseleccionaCalc.Delas opciones desplegadas, elija Distribuciones de probabilidad y luego elija una de las distribuciones mencionadas arriba.Deberintroducirlosparmetroscorrespondientesaladistribucin para obtener probabilidades acumuladas o acumuladas inversas. a)Distribucin normal.Es la distribucin continua ms utilizada. Su ventana es la siguiente: Curso de MINITAB M. C. Eduardo Rodrguez Lpez (ITSJR)Pgina 12 OpcinEntradaSalida Densidadde probabilidad Valoresdelavariable aleatoria normal Valoresdelafuncin (alturas de la curva) Probabilidadacumulada Valoresdelavariable aleatoria normal Probabilidaddequela variablealeatoriasea menorqueelvalor indicado(reasbajola curva) Probabilidad acumulada inversa Probabilidaddequela variablealeatoriasea menorqueelvalor indicado(reasbajola curva) Valoresdelavariable aleatoria normal Si se desea utilizar la distribucin normal estndar, el valor de la media debeser1.0yladesviacinestndar0.0.Enotrocaso,modificarestos valores segn se requiera. b)Distribucin exponencial. En esta distribucin la ventana es muy parecida a la correspondiente a lanormal,exceptuandoEscalayValorumbral,elcualeselmnimo valor posible de la variable aleatoria. Curso de MINITAB M. C. Eduardo Rodrguez Lpez (ITSJR)Pgina 13 c)Distribucin triangular. Los parmetros de entrada de esta distribucin son: cota inferior, cota superior y moda. Curso de MINITAB M. C. Eduardo Rodrguez Lpez (ITSJR)Pgina 14 Semuestranlosresultadoscorrespondientesaunejemplodeesta distribucin. Acontinuacinsemuestranlasotrasdistribucionescontinuasylos parmetros necesarios para los clculos correspondientes. DistribucionesParmetros UniformeCota inferior, cota superior Chi-cuadrada, tGrados de libertad FGradosdelibertaddelnumerador, grados de libertad del denominador BetaPrimerparmetrodeforma, segundo parmetro de forma Cauchy,Laplace,valoresextremos ms grandes, valores extremos ms pequeos, logstica Ubicacin, escala Gamma, WeibullParmetrodeforma,parmetrode escala, parmetro de umbral Loglogstica, lognormalUbicacin, escala, valor umbral Curso de MINITAB M. C. Eduardo Rodrguez Lpez (ITSJR)Pgina 15 2.3 Grficas de distribuciones de probabilidad. Paragraficardistribucionesdeprobabilidad,entraralmenGrfica, seleccionarGrficadedistribucionesdeprobabilidad.Semostrarla siguiente ventana. Al elegir Ver una se obtendr una sola grfica. Por ejemplo, para una distribucin Poisson con una media de 4, la ventana ser: La grfica correspondiente es: Curso de MINITAB M. C. Eduardo Rodrguez Lpez (ITSJR)Pgina 16 12 10 8 6 4 2 00.200.150.100.050.00XProbabilidadGrfica de distribucinPoisson, Media=4 Sisedeseaconocerlaprobabilidaddealgnvalordelavariable aleatoria, debe ubicarse el cursor en la barra correspondiente. SiseseleccionaVariarparmetrosseobtienengrficas correspondientes a la mismadistribucin. Esto es especialmente til con distribuciones de probabilidad continuas. Si se desean las grficas de distribucin normal con una media de 12 y desviacionesestndarde1.5y1.0,setendrlaventanasiguiente(los valores diferentes se deben separar con un espacio). Curso de MINITAB M. C. Eduardo Rodrguez Lpez (ITSJR)Pgina 17 AloprimirMltiplesgrficassetienen3opcionesparamostrarlas distribuciones. Curso de MINITAB M. C. Eduardo Rodrguez Lpez (ITSJR)Pgina 18 16 14 12 10 80.40.30.20.10.0XDensidad1.51Desv.Est.Grfica de distribucinNormal, Media=12 SiseseleccionaDosdistribucionessepuedenobtenergrficas correspondientesadiferentesdistribucionesdeprobabilidadodela misma distribucin, modificando ms de un parmetro. Curso de MINITAB M. C. Eduardo Rodrguez Lpez (ITSJR)Pgina 19 Se obtienen la siguiente grfica. 4.0 3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 1.00.70.60.50.40.30.20.10.0XDensidadUniforme 1 4Distribucin Inferior SuperiorTriangular 1 3 4Distribucin Inferior Moda SuperiorGrfica de distribucin Curso de MINITAB M. C. Eduardo Rodrguez Lpez (ITSJR)Pgina 20 SiseelijeVerprobabilidadlaventanaserlasiguiente: Dando clic en rea sombreada se puede hacer lo siguiente: Curso de MINITAB M. C. Eduardo Rodrguez Lpez (ITSJR)Pgina 21 Se obtendr la grfica de una distribucin normal, en cada extremo hay unreade0.025yseindicanlosvaloresdelavariablealeatoriaque delimitan las regiones sombreadas. 0.40.30.20.10.0XDensidad-1.9600.0251.9600.0250Grfica de distribucinNormal, Media=0, Desv.Est.=1 Curso de MINITAB M. C. Eduardo Rodrguez Lpez (ITSJR)Pgina 22 3.ESTADSTICA DESCRIPTIVA 3.1 Clculo de estadsticas descriptivas Paraelclculodeestadsticasdescriptivas,enelmenprincipalse seleccionaEstadsticas,luegoEstadsticabsicaydespushay3 opciones mostradas en la imagen. Ejemplo1:Calcularelpromedio,desviacinestndar,mnimoymximo de los siguientes valores. Solucin: En este caso se seleccion Mostrar estadsticas descriptivas*. *SisehubieraseleccionadoAlmacenarestadsticasdescriptivas, estos resultados se mostrarn en la hoja de trabajo, uno por columna. Curso de MINITAB M. C. Eduardo Rodrguez Lpez (ITSJR)Pgina 23 EnlaventanaanteriorsehaceclicenEstadsticas.Mostrndosela siguiente pantalla, donde se eligen los parmetros deseados. Los resultados estarn en la ventana de sesin y se muestran. Curso de MINITAB M. C. Eduardo Rodrguez Lpez (ITSJR)Pgina 24 Estadsticas descriptivas: C1 Variable NMediaDesv.Est.MnimoMximo C11040.3018.52 17.00 73.00 Sienlaventanademostrarestadsticasdescriptivassehaceclicen Grficas, aparecer la siguiente ventana con las grficas disponibles. Ejemplo 2. Calcular las estadsticas bsicas para los siguientes valores:0.85, 0.89, 0.76, 0.75, 0.82, 0.93, 0.82, 0.74, 0.88, 0.92, 0.85, 0.81, 0.79,0.88, 0.76 Solucin: Unavezintroducidoslosdatos,enelsubmenEstadsticabsicase elige Resumen grfico. Curso de MINITAB M. C. Eduardo Rodrguez Lpez (ITSJR)Pgina 25 Una vez que se presiona Aceptar, aparecen los resultados. 0.90 0.85 0.80 0.75MedianaMedia0.88 0.84 0.801er cuartil 0.76000Mediana 0.820003er cuartil 0.88000Mximo 0.930000.79561 0.864390.77121 0.880000.04547 0.09795A-cuadrado 0.28V alor P 0.587Media 0.83000Desv .Est. 0.06211V arianza 0.00386Asimetra 0.07225Kurtosis -1.19348N 15Mnimo 0.74000Prueba de normalidad de A nderson-DarlingInterv alo de confianza de 95% para la mediaInterv alo de confianza de 95% para la medianaInterv alo de confianza de 95% para la desv iacin estndarIntervalos de confianza de 95%Resumen para paso Curso de MINITAB M. C. Eduardo Rodrguez Lpez (ITSJR)Pgina 26 3.2 Correlacin Elcoeficientedecorrelacinesunamedidadelaasociacinlineal, causal o incidental, entre dos variables. Ejemplo:Sedeseasabersieltiemporequeridoparacargaryserviruna mquinaserelacionaconelnmerodelatasentregadasdelproducto. Con tal fin, se obtuvieron los siguientes datos: LatasTiempoLatasTiempoLatasTiempo 29.95827.501034.93 824.45417.081546.59 1131.751137.001544.88 1035.001241.951654.10 825.92211.661756.63 416.86421.65622.13 214.38417.89521.15 29.602069.00 924.35110.30 EnelmenEstadsticasseentraalsubmenEstadsticabsicay luego a Correlacin (se muestra la ventana) Curso de MINITAB M. C. Eduardo Rodrguez Lpez (ITSJR)Pgina 27 AloprimirAceptarseobtienenlosresultadosenlaventanade Sesin. Como el coeficiente de correlacin es muy cercano a +1, se dice que las variables Latas y Tiempo tienen una correlacin positiva muy fuerte. Si en el men Estadsticas se entra al submen Estadstica bsica y luegoCovarianza,seobtienenlascovarianzasdelasvariablesconsigo mismas y entre s. El coeficiente de correlacin se puede obtener dividiendo la covarianza Latas-Tiempoentrelarazcuadradadelproductodelascovarianzas Latas-Latas y Tiempo-Tiempo. Curso de MINITAB M. C. Eduardo Rodrguez Lpez (ITSJR)Pgina 28 4.ESTADSTICA INFERENCIAL Lainferenciaestadsticaeselprocesomedianteelcualseutilizala informacindelosdatosdeunamuestraparaextraerconclusiones acerca de la poblacin de la que se seleccion la muestra. Las tcnicas de la inferencia estadstica se dividen en dos reas principales: estimacin de parmetros y prueba de hiptesis. En la estimacin de parmetros se establece un intervalo, denominado intervalodeconfianza,enelcualsetieneunniveldeseguridadde encontrarelparmetropoblacional(media,proporcin,varianza)que interese. Las pruebas de hiptesis pueden ser bilaterales (no igual) o unilaterales (mayor que o menor que). 4.1 Una media muestral, distribucin normal Cuando el tamao de la muestra es mayor o igual que 30 y/o se sabe la poblacindelacualseobtuvosigueunadistribucinnormal,sepuede utilizar esta distribucin. Ejemplo:Enunestudioreferentealavelocidadquealcanzaun automvildespusdeciertotiemposedeseasabersilamedia poblacionalesiguala140,conunniveldesignificanciade0.05.Contal finalidad,setomunamuestrade15registrosdevelocidad,loscuales son:135.4,134.7,133.6,134.8,136.3,135.9,134.6,135.8,137.2,138.4, 139.5, 140.2, 138.2, 135.7 y 136.8. Deacuerdoalaexperienciaprevia,sesabequelavelocidadse distribuye normalmente con una media poblacional de 2. EnelmenEstadsticasseentraalsubmenEstadsticabsicay luego Z de 1 muestra. Curso de MINITAB M. C. Eduardo Rodrguez Lpez (ITSJR)Pgina 29 Al presionar Aceptar, en la ventana de Sesin se mostrar: Z de una muestra: Speed Prueba de mu = 140 vs. no = 140 La desviacin estndar supuesta = 2 Error estndar de la Variable NMediaDesv.Est. media IC de 95%ZP Speed 15136.4731.902 0.516(135.461, 137.485)-6.830.000 Aqu se pueden introducir la media y tamao de la muestra, en lugar de tomar datos de columnas Curso de MINITAB M. C. Eduardo Rodrguez Lpez (ITSJR)Pgina 30 El intervalo de confianza al 95% para la media muestral es: 135.461 137.485 < < . La hiptesis nula H0: =140 se rechaza, porque el valor P debera estar entre 0.025 y 0.975. 4.2 Una media muestral, distribucin t Cuandoeltamaodelamuestraesmenorque30,sepuedeutilizar esta distribucin. Ejemplo:Enunestudioreferentealaresistenciaalrompimientodeuna fibratextil,seseleccionunamuestraaleatoriade15especmenesde pruebaysedeterminansusresistenciasalrompimiento.Lamediay desviacin estndar muestrales son 152.18 y 4.08, respectivamente. Con un nivel de significancia de 0.05, pruebe que la resistencia no sea menor de 150 psi. EnelmenEstadsticasseentraalsubmenEstadsticabsicay luego t de 1 muestra. Curso de MINITAB M. C. Eduardo Rodrguez Lpez (ITSJR)Pgina 31 Al presionar Aceptar, en la ventana de Sesin se mostrar: T de una muestra Prueba de mu = 150 vs. < 150 Error estndarLmite de lasuperior N MediaDesv.Est. media 95% TP 15152.18 4.081.05154.042.070.971 Comolahiptesisalternaesmenorque,lahiptesisnulaseaceptasi el P-value es mayor que 0.05, como en este caso (0.971). Se concluye que la resistencia al rompimiento no es menor que 150 psi. 4.3 Dos medias muestrales Cuandosedeseancompararparesdemediasmuestrales,sepuede utilizarMinitab.EnelmenEstadsticasseentraalsubmen Estadstica bsica y luego t de 2 muestras. Ejemplo:Unfabricantedeunidadesdepantallasdevideopruebados diseosdemicrocircuitosparadeterminarsiellosproducenflujosde corrienteequivalentes.Laingenieradedesarrollohaobtenidolos siguientes datos: Diseo 1 n1 = 15 124.2 x =2110 s =Diseo 2n2 = 10 223.9 x =2210 s = Se desea probar H0 :1=2contra H1 :1=2 Suponiendoqueambaspoblacionessonnormales,peroconsiderando que las varianzas poblacionales son desconocidas. Curso de MINITAB M. C. Eduardo Rodrguez Lpez (ITSJR)Pgina 32 Prueba T de dos muestras e IC Error estndar de la Muestra NMediaDesv.Est. media 11524.20 3.160.82 21023.90 4.47 1.4 Diferencia = mu (1) - mu (2) Estimado de la diferencia:0.30 IC de 95% para la diferencia:(-3.20, 3.80) Prueba T de diferencia = 0 (vs. no =): Valor T = 0.18Valor P = 0.857GL = 14 Curso de MINITAB M. C. Eduardo Rodrguez Lpez (ITSJR)Pgina 33 Elintervalodeconfianzaal95%paraladiferenciadelasmedias muestrales es: 1 23.20 3.80 < < . LahiptesisnulaH0:1 =2seacepta,porqueelvalorPestentre 0.025 y 0.975. 4.4 Prueba de medias por pares Cuandolasobservacionesenlaspoblacionesdeinters serecabanen pares,encondicioneshomogneaseinteresalasdiferenciasentreesas medias, se utiliza este tipo de prueba. Ejemplo: Un artculo en el Journal of Strain Analysis, compara varios mtodos para predecir la resistencia al corte de vigas de placa de acero. Los datos para dos de estos mtodos, los procedimientos de Karlsruhe y Lehigh, cuando seaplicana9vigasespecficas,semuestranenlasiguientetabla. Deseamosdeterminarsi,enpromedio,hayalgunadiferenciaentrelos dos mtodos. VigaS1/1S2/1S3/1S4/1S5/1 Mtodo de Karlsruhe 1.1861.1511.3221.3391.200 Mtodo de Lehigh 1.0610.9921.0631.0621.065 Diferencia0.1250.1590.2590.2770.135 VigaS2/1S2/2S2/3S2/4 Mtodo de Karlsruhe 1.4021.3651.5371.559 Mtodo de Lehigh 1.1781.0371.0861.052 Diferencia0.2240.3280.4510.507 Curso de MINITAB M. C. Eduardo Rodrguez Lpez (ITSJR)Pgina 34 EnelmenEstadsticasseentraalsubmenEstadsticabsicay luego t pareada. IC y Prueba T pareada: Karlsruhe, Lehigh T pareada para Karlsruhe - Lehigh Error estndar de la N MediaDesv.Est. media Karlsruhe 91.3401 0.14600.0487 Lehigh91.0662 0.04940.0165 Diferencia90.2739 0.13510.0450 IC de 95% para la diferencia media:: (0.1700, 0.3777) Prueba t de diferencia media = 0 (vs. no = 0): Valor T = 6.08Valor P = 0.000 Curso de MINITAB M. C. Eduardo Rodrguez Lpez (ITSJR)Pgina 35 Losresultadosanterioresindicanqueelintervalodeconfianzaal95% para la diferencia media es0.1700 0.3777 D < < . La hiptesis nula H0 :D = 0se rechaza, porque el valor P no est entre 0.025 y 0.975. 4.5 Prueba de una proporcin Ejemplo: De1000casosseleccionadosalazardecncerenelpulmn,823 terminaronenmuerte.Pruebelahiptesisdequelatasademortalidad de cncer del pulmn es del 70%. Use un nivel de significancia de 0.05. EnelmenEstadsticasseentraalsubmenEstadsticabsicay luego 1 proporcin. Prueba e IC para una proporcin Prueba de p = 0.7 vs. p no = 0.7 Valor P MuestraX NMuestra pIC de 95%exacto 18231000 0.823000(0.797904, 0.846177)0.000 Curso de MINITAB M. C. Eduardo Rodrguez Lpez (ITSJR)Pgina 36 El intervalo de confianza al 95% es 0.7979 0.8461 p < < .LahiptesisnulaH0: 0.7 p = serechaza,porqueelvalorPnoest entre 0.025 y 0.975. 4.6 Prueba de dos proporciones Ejemplo:Seestrealizandounestudioparadeterminarlaeficaciade unavacunacontraelmoquillodecerdo.Seapliclavacunaauna muestraaleatoriade3000puercos,ydeestegrupo130contrajeronla enfermedad. Un grupo de control de 2500 puercos seleccionados al azar no fue vacunado, y de este grupo 170 contrajeron la enfermedad. Pruebe la hiptesis de que la proporcin de puercos que contraen la enfermedad enelgrupovacunadoesmenorquelaproporcindepuercosque contraen la enfermedad en el grupo no vacunado. Curso de MINITAB M. C. Eduardo Rodrguez Lpez (ITSJR)Pgina 37 Prueba e IC para dos proporciones MuestraX NMuestra p 11303000 0.043333 21702500 0.068000 Diferencia = p (1) - p (2) Estimado de la diferencia:-0.0246667 Lmite superior 95% de la diferencia:-0.0143723 Prueba para la diferencia = 0 vs. < 0:Z = -3.94Valor P = 0.000 Comoenestecasolapruebaesunilateral(colaizquierda),nose obtiene un intervalo de confianza para la diferencia de proporciones.Las hiptesis correspondientes son: H0 : 1 2 p p =H1 : 1 2 p p < Paraqueseaceptelahiptesisnula,elvalorPdebesermayorque 0.05.Comoestonosecumple,serechazaH0ysepuedeconcluirquela proporcin de puercos que contraen la enfermedad es significativamente menor en el grupo vacunado con respecto al grupo no vacunado. Curso de MINITAB M. C. Eduardo Rodrguez Lpez (ITSJR)Pgina 38 4.7 Prueba de varianza Ejemplo:Elfabricantedeunafuentedepoderestinteresadoenla variabilidaddelvoltajedesalida.Haprobado12unidades,elegidasal azar, con los siguientes resultados: 5.34, 5.00, 5.07, 5.25, 5.65, 5.55, 5.35, 5.35, 4.76, 5.54, 5.44, 4.61. Pruebe la hiptesis de que o2 = 0.5 usando un nivel de significancia de 0.05. Curso de MINITAB M. C. Eduardo Rodrguez Lpez (ITSJR)Pgina 39 Prueba e IC para una varianza: Output voltage Mtodo Hiptesis nula Sigma = 0.5 Hiptesis alternaSigma no = 0.5 El mtodo de chi-cuadrada slo se utiliza para la distribucin normal. El mtodo de Bonett se utiliza para cualquier distribucin continua. Estadsticas Variable NDesv.Est.Varianza Output voltage120.322 0.104 Intervalos de confianza de 95% IC para IC para VariableMtodo Desv.Est. varianza Output voltageChi-cuadrada(0.228, 0.547)(0.052, 0.299) Bonett(0.206, 0.603)(0.042, 0.364) Pruebas Estadstica VariableMtodode pruebaGLValor P Output voltageChi-cuadrada 4.57110.100 Bonett 0.150 En este caso la prueba es bilateral. El valor p debe estar entre 0.025 y 0.975 para que se acepte la hiptesis nula. Esta condicin se cumple, por tanto se acepta H0: o2 = 0.5 4.8 Prueba de relacin de varianzas Ejemplo:Considerelasdosmuestrassiguientes,extradasdedos poblaciones normales. Muestra 1Muestra 2Muestra 1Muestra 2 4.341.876.372.28 5.002.005.552.07 4.972.003.761.76 4.251.851.91 5.552.112.00 6.552.31 Curso de MINITAB M. C. Eduardo Rodrguez Lpez (ITSJR)Pgina 40 Hayalgunaevidenciaparaconcluirquelavarianzadelapoblacin1es mayor que la varianza de la poblacin 2? Prueba e IC para dos varianzas: Muestra 1, Muestra 2 Mtodo Hiptesis nulaSigma(Muestra 1) / Sigma(Muestra 2) = 1 Hiptesis alterna Sigma(Muestra 1) / Sigma(Muestra 2) > 1 Nivel de significanciaAlfa = 0.05 Estadsticas VariableNDesv.Est.Varianza Muestra 1 90.950 0.903 Muestra 2110.172 0.029 Relacin de deviaciones estndar = 5.539 Relacin de varianzas = 30.675 Curso de MINITAB M. C. Eduardo Rodrguez Lpez (ITSJR)Pgina 41 95% Intervalos de confianza unilaterales Lmite inferiorLmite inferior Distribucinpara relacinpara relacin de los datos de Desv.Est.de varianza Normal3.1609.987 Continuo3.1379.841 Pruebas Estadstica MtodoGL1GL2de pruebaValor P Prueba F (normal) 8 1030.680.000 Prueba de Levene (cualquiera continua)1 1813.350.001 Como se mencion que las poblaciones son normales, la prueba F es la que se tomar en cuenta. Como la hiptesis alterna es unilateral (cola derecha), la hiptesis nula se acepta si el valor P es mayor que 0.025; al no cumplirse esto, se rechaza la igualdad de varianzas y se concluye que si hay evidencia para afirmar que la varianza de la poblacin 1 es mayor que la varianza de la poblacin 2. Curso de MINITAB M. C. Eduardo Rodrguez Lpez (ITSJR)Pgina 42 5.REGRESIN Elanlisisderegresinesunatcnicaestadsticaparamodelare investigarlarelacinentredosomsvariables.Porejemplo,enun procesoqumico,supngasequeelrendimientodelproductose relacionaconlatemperaturadeoperacindelproceso.Elanlisisde regresinpuedeemplearseparaconstruirunmodeloqueexpreseel rendimientocomounafuncindelatemperatura.Estemodelopuede utilizarse luego para predecir el rendimiento en un nivel determinado de temperatura. Supngase que hay una sola variable o respuesta y dependiente que se relaciona con k variables independientes o regresivas, x1, x2, , xk. La variablederespuestayesunavariablealeatoria,mientrasquelas variables regresivas semidenconerrordespreciable,yenmuchoscasos soncontroladasporelexperimentador.Larelacinentreestasvariables se caracteriza por medio de un modelo matemtico llamado ecuacin de regresin. 5.1 Regresin simple Enestasituacinsedeseadeterminarlarelacinentreunasola variableregresivax,lacualescontinuaycontrolableporel experimentador,yunavariablederespuestay.Elmodeloparacada observacin es:0 1y x | | c = + +donde c es un error aleatorio con media cero y varianza o2. Supngase que se tienen n pares de observaciones, por ejemplo (x1,y1), (x2,y2),,(xn,yn).Estosdatospuedenemplearseparaestimarlos parmetrosdesconocidos|0y|1.Elprocedimientosellamamtodode mnimos cuadrados. La forma de la ecuacin para predecir el valor de y es: 0 1 y x | | = +Curso de MINITAB M. C. Eduardo Rodrguez Lpez (ITSJR)Pgina 43 Las observaciones se pueden representar en un plano cartesiano, a tal presentacinseledenominadiagramadedispersin.stepermite observarsilarelacinentrelasvariablesesfuerteodbil,positivao negativa. Paraobtenerlagrfica,seentraalmenGrfica,luegoGrficade dispersin. Se mostrar la siguiente pantalla. Se tienen 6 opciones para la grfica, las preferibles son Simple y Con regresin. Al elegir esta ltima, se solicita identificar las variables. Ejemplo: La resistencia del papel utilizado en la manufactura de cajas de cartn (y) se relaciona con el porcentaje de la concentracin de madera dura en la pulpaoriginal(x).Encondicionescontroladas,unaplantapiloto manufactura16muestras,cadaunadediferenteslotesdepulpa,yse mide la resistencia a la tensin. Los datos son los siguientes: Curso de MINITAB M. C. Eduardo Rodrguez Lpez (ITSJR)Pgina 44 Y101.4117.4117.1106.2131.9146.9146.8133.9 X1.01.51.51.52.02.02.22.4 Y111.3123.0125.1145.2134.3144.5143.7146.9 X2.52.52.82.83.03.03.23.3 Ajuste un modelo de regresin lineal simple a los datos. Una vez que se capturan los datos,para obtener la grfica, se entra al menGrfica,luegoGrficadedispersin.Semostrarlasiguiente pantalla. Curso de MINITAB M. C. Eduardo Rodrguez Lpez (ITSJR)Pgina 45 La grfica resultante es: 3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0150140130120110100ConcentracinResistenciaGrfica de dispersin de Resistencia vs. Concentracin Donde se aprecia el tipo de relacin entre las variables. Para obtener la ecuacin de regresin lineal, en el men Estadsticas, submen Regresin, opcin Regresin, se tendr: Curso de MINITAB M. C. Eduardo Rodrguez Lpez (ITSJR)Pgina 46 Al seleccionar opciones, se mostrar: Curso de MINITAB M. C. Eduardo Rodrguez Lpez (ITSJR)Pgina 47 Alregresaralapantalladeregresin,siseselecciona AlmacenamientosemuestranmedidasycaractersticasqueMINITAB puede proporcionar. Alregresaralapantalladeregresin,siseseleccionaResultadosse muestran alternativas de resultados que se presentarn. Alregresaralapantalladeregresin,siseseleccionaGrficasse muestranopcionesdisponiblesparalasgrficasdelosresiduos (diferencia entre valor real y valor de la prediccin). Curso de MINITAB M. C. Eduardo Rodrguez Lpez (ITSJR)Pgina 48 Al elegir Cuatro en uno, se obtiene: 20 10 0 -10 -20999050101ResiduoPorcentaje150 140 130 120 11020100-10-20Valor ajustadoResiduo20 10 0 -10 -2043210ResiduoFrecuencia16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 120100-10-20Orden de observacinResiduoGrfica de probabilidad normal vs. ajustesHistograma vs. ordenGrficas de residuos para Resistencia Curso de MINITAB M. C. Eduardo Rodrguez Lpez (ITSJR)Pgina 49 Los resultados del anlisis de regresin son: La ecuacin de regresin es Resistencia = 93.3 + 15.6 Concentracin PredictorCoefSE Coef TP Constante 93.3410.518.880.000 Concentracin15.6494.3453.600.003 S = 11.6344 R-cuad. = 48.1% R-cuad.(ajustado) = 44.4% Anlisis de varianza FuenteGLSCCMFP Regresin11755.81755.812.970.003 Error residual141895.0 135.4 Total 153650.8 ObsConcentracinResistenciaAjusteResiduoestndar 1 1.00 101.40108.99-7.59 -0.78 2 1.50 117.40116.81 0.590.05 3 1.50 117.10116.81 0.290.03 4 1.50 106.20116.81 -10.61 -0.99 5 2.00 131.90124.64 7.260.65 6 2.00 146.90124.6422.261.99 7 2.20 146.80127.7719.031.69 8 2.40 133.90130.90 3.000.27 9 2.50 111.30132.46 -21.16 -1.88 10 2.50 123.00132.46-9.46 -0.84 11 2.80 125.10137.16 -12.06 -1.09 12 2.80 145.20137.16 8.040.73 13 3.00 134.30140.29-5.99 -0.55 14 3.00 144.50140.29 4.210.39 15 3.20 143.70143.42 0.280.03 16 3.30 146.90144.98 1.920.18 Cuando la relacin entre las dos variables no es lineal, existen otras formas posibles para ajustar la relacin: polinomial, logartmica, exponencial, logstica. Curso de MINITAB M. C. Eduardo Rodrguez Lpez (ITSJR)Pgina 50 Ejemplo: Enlasautopistasseestudialarelacinentreflujodetrficoy velocidad.Seconsideraqueelmodelo 20 1 2y b b x b x = + + esadecuado, donde y es el flujo de trfico en vehculos por hora y x es la velocidad de los vehculos en millas por hora. Lossiguientesdatosfueronrecolectadosdurantehoraspicoenlas seis principales autopistas que salen de la ciudad. Flujo de trfico (y)Velocidad de los vehculos (x) 125635 132940 122630 133545 134950 112425 Estime los parmetros de esta ecuacin de regresin. Paraobtenerestetipodemodelo,seutilizaMenEstadsticas, submen Regresin, opcin Grfica de lnea ajustada. Curso de MINITAB M. C. Eduardo Rodrguez Lpez (ITSJR)Pgina 51 50 45 40 35 30 25135013001250120011501100VelocidadTrficoS 15.8264R-cuad. 98.0%R-cuad.(ajustado) 96.7%Grfica de lnea ajustadaTrfico =432.6 + 37.43 Velocidad- 0.3829 Velocidad**2 Anlisis de regresin polinomial: Trfico vs. Velocidad La ecuacin de regresin es Trfico = 432.6 + 37.43 Velocidad - 0.3829 Velocidad**2 S = 15.8264 R-cuad. = 98.0% R-cuad.(ajustado) = 96.7% Anlisis de varianza Fuente GL SC CMFP Regresin 236643.418321.773.150.003 Error 3751.4250.5 Total 537394.8 Anlisis de varianza secuencial FuenteGL SCFP Lineal 133223.231.860.005 Cuadrtica 1 3420.213.650.034 Se puede observar que el ajuste obtenido es muy bueno (R2 = 98%). Curso de MINITAB M. C. Eduardo Rodrguez Lpez (ITSJR)Pgina 52 VelocidadTrficoRESID1AJUSTES1 351256-17.57141273.57 40132911.85711317.14 30122615.14291210.86 451335-6.57141341.57 5013492.14291346.86 251124-5.00001129.00 Siseesperaquelaregresinseadeuntipodiferentealinealo polinomial,enelmenEstadsticas,submenRegresin,opcin Regresinnolineal.AlabrirestaventanaseeligeCatlogoy aparecen las funciones disponibles para realizar la regresin. Curso de MINITAB M. C. Eduardo Rodrguez Lpez (ITSJR)Pgina 53 5.2 Regresin mltiple En esta situacin se desea determinar la relacin entre varias variables regresivasx1,x2,,xklacualescontinuaycontrolableporel experimentador,yunavariablederespuestay.Elmodeloparacada observacin es:0 1 1 2 2 k ky x x x | | | | c = + + + + + donde c es un error aleatorio con media cero y varianza o2. Supngase que se tienen n pares de observaciones, por ejemplo (x1,y1), (x2,y2),,(xn,yn).Estosdatospuedenemplearseparaestimarlos parmetrosdesconocidos|0y|1.Elprocedimientosellamamtodode mnimos cuadrados. La forma de la ecuacin para predecir el valor de y es: 0 1 1 2 2 k ky x x x | | | | = + + + + Paraobtenerlaecuacinderegresinmltiple,seentraalmen Estadsticas, submen Regresin, opcin Regresin. Ejemplo: En el bisbol, el xito de un equipo, la proporcin de partidos ganados, sesueleconsiderarenfuncindeldesempeoenbateoyenel lanzamientodelequipo.Unamedidadeldesempeoenelbateoesla cantidaddecuadrangularesqueconectaelequipoyunamedidadel desempeoenlanzamientoeselpromediodecarreraslimpias.En general,secreequelosequiposqueanotanmscuadrangulares(home run) y tienen un promedio menor de carreras permitidas ganan un mayor porcentajedejuegos.Losdatossiguientespertenecena16equiposque participaron en la temporada de 2003; se da la proporcin de ganados, la cantidad de cuadrangulares del equipo y el promedio de carreras limpias. Curso de MINITAB M. C. Eduardo Rodrguez Lpez (ITSJR)Pgina 54 EquipoProporcin de ganados HRERAEquipoProporcin de ganados HRERA Arizona0.5191523.857Milwaukee0.4201965.058 Atlanta0.6232354.106Montreal0.5121444.027 Chicago0.5431723.842Nueva York0.4101244.517 Cincinnati0.4261825.127Philadelphia0.5311664.072 Colorado0.4571985.269San Diego0.3951284.904 Florida0.5621574.059San Francisco 0.6211803.734 Houston0.5371913.880St. Louis0.5251964.642 Los Angeles 0.5251243.162Pittsburgh0.4631634.664 Obtenga la ecuacin de regresin estimada para predecir la proporcin dejuegosganadosenfuncindelacantidaddecuadrangularesydel promedio de carreras limpias permitidas. Solucin: Aunquesetienen3variablesentotal,sepuedenrealizargrficasde dispersin.Unaopcinconsisteengraficarlarespuesta(proporcinde ganados)conrespectoacadaunadelasvariablesregresoras(HRy carreraslimpias).Laotraalternativaeslagrficadedispersin tridimensional*,queseobtieneusandoelmenGrfica,submen Grfica de dispersin 3D, con la cual se mostrar lo siguiente: *Encasodetenersemsde2variablesindependientes,estaopcin no es posible. Curso de MINITAB M. C. Eduardo Rodrguez Lpez (ITSJR)Pgina 55 Larepresentacintridimensionalnoesmuyclara,peroexisten controles para girarla con respecto a cada uno de los ejes. Paraobtenerlosresultadosdelanlisisderegresin,seusamen Estadsticas, submen Regresin, opcin Regresin. Curso de MINITAB M. C. Eduardo Rodrguez Lpez (ITSJR)Pgina 56 Las grficas de residuos son: 0.050 0.025 0.000 -0.025 -0.050999050101ResiduoPorcentaje0.60 0.55 0.50 0.45 0.400.0500.0250.000-0.025-0.050Valor ajustadoResiduo0.04 0.02 0.00 -0.02 -0.044.83.62.41.20.0ResiduoFrecuencia16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 10.0500.0250.000-0.025-0.050Orden de observacinResiduoGrfica de probabilidad normal vs. ajustesHistograma vs. ordenGrficas de residuos para Ganados Los resultados del anlisis son: Anlisis de regresin: Ganados vs. HR, C Limpias La ecuacin de regresin es Ganados = 0.709 + 0.00140 HR - 0.103 C Limpias Curso de MINITAB M. C. Eduardo Rodrguez Lpez (ITSJR)Pgina 57 Predictor CoefSE CoefTP Constante0.709190.0600611.810.000 HR 0.00140060.0002453 5.710.000 C Limpias -0.102600.01276-8.040.000 S = 0.0282980 R-cuad. = 85.8% R-cuad.(ajustado) = 83.7% Anlisis de varianza FuenteGLSCCMFP Regresin20.0630590.03153039.370.000 Error residual130.0104100.000801 Total 150.073469 Fuente GL SC Sec. HR10.011253 C Limpias 10.051806 EE de Residuo Obs HRGanados Ajuste ajuste Residuoestndar 11520.519000.526370.00940-0.00737 -0.28 22350.623000.617080.01839 0.005920.28 31720.543000.555920.00937-0.01292 -0.48 41820.426000.438090.01233-0.01209 -0.47 51980.457000.445930.01433 0.011070.45 61570.562000.512650.00801 0.049351.82 71910.537000.578640.01111-0.04164 -1.60 81240.525000.558460.01739-0.03346 -1.50 91960.420000.464780.01233-0.04478 -1.76 101440.512000.497720.00947 0.014280.54 111240.410000.419440.01399-0.00944 -0.38 121660.531000.523920.00765 0.007080.26 131280.395000.385340.01582 0.009660.41 141800.621000.578210.01098 0.042791.64 151960.525000.507460.00984 0.017540.66 161630.463000.458980.00876 0.004020.15 En este caso el ajuste obtenido es bueno (R2 = 85.8%). Curso de MINITAB M. C. Eduardo Rodrguez Lpez (ITSJR)Pgina 58 6.ANLISIS DE VARIANZA Losexperimentossonunapartenaturaldelprocesodetomade decisiones de la ingeniera y la administracin. Suponga que un ingeniero civil est investigando el efecto de mtodos de curado en la resistencia a la compresin media del concreto. El experimento consistira en elaborar variosespecmenesdepruebadelconcretoempleandocadaunodelos mtodosdecuradopropuestosyluegoprobarlaresistenciaala compresindecadaespcimen.Losdatosdeesteexperimentose utilizaranparadeterminarqumtododecuradodebeutilizarsepara brindar la resistencia a la compresin mxima. Si solo hay dos mtodos de curado, el experimento puededisearse y analizarseusandounmtododepruebadehiptesis.Sisonms mtodos, se utiliza un experimento de un solo factor. 6.1 Modelo de un factor Unexperimentodeunsolofactorcompletamentealeatorioutiliza variosnivelesdelfactor,tambinconocidoscomotratamientos.Cada tratamientotienediferentesobservacionesorplicas.Losdatosse obtienen en orden aleatorio. El anlisis que se realiza sirve para probar las siguientes hiptesis: H0: 1=2=3==k H1: por lo menos alguna pareja de medias es diferente. Adicionalmente,existenalternativaspararealizarcomparacionesde paresdemedias,talescomoelmtododeFisher,deTukey,deDunett, de Hsu. El modelo estadstico lineal que se utiliza en este caso es: 1, 2, ,1, 2, ,ij i iji ayj nt c= = + + = donde yij es la observacin ij-sima, es un parmetro comn para todos los tratamientos llamado media general, ti es un parmetro asociado con Curso de MINITAB M. C. Eduardo Rodrguez Lpez (ITSJR)Pgina 59 eli-simotratamientodenominadoefectodeltratamiento,cijesun componente del error aleatorio.

Ejemplo: Enunaauditoralosauditorestienenquedaropinionesacercade diversosaspectosconbaseensuspropiasexperienciasdirectas, indirectasoenunacombinacindeambas.Enunestudiosepidia auditoresquedieransuopininacercadelafrecuenciaconquese presentanerroresenunaauditora.Supongaqueseobtuvieronlos resultadosquesepresentanacontinuacin;valoresbajosindican opiniones ms acertadas. DirectaIndirectaCombinacin 17.016.625.2 18.522.224.0 15.820.521.5 18.218.326.8 20.224.227.5 16.019.825.8 13.321.224.2 Useunniveldesignificanciade0.05paradeterminarsieltipode experiencia en que se basa la opinin afecta la calidad de la misma. Solucin: Existen dos opciones para la captura de los datos: a)Ponertodoslosnmerosenunacolumna,yenlaotracolumna escribirDirecta,IndirectaoCombinacin.Enestecaso,seutilizael menEstadsticas,submenANOVA,opcinUnsolofactor.El factor es el mtodo. Curso de MINITAB M. C. Eduardo Rodrguez Lpez (ITSJR)Pgina 60 b)PonerlosnmerosdeDirecta,IndirectayCombinacin,encolumnas separadas.Enestecaso,seutilizaelmenEstadsticas,submen ANOVA, opcinUn solo factor desapilado. Las comparaciones disponibles son: Curso de MINITAB M. C. Eduardo Rodrguez Lpez (ITSJR)Pgina 61 Las grficas que se pueden mostrar son: Los resultados del procesamiento son: ANOVA unidireccional: Directa, Indirecta, Combinacin FuenteGLSCCMFP Factor 2225.68112.8422.160.000 Error 18 91.665.09 Total 20317.34 S = 2.257 R-cuad. = 71.12% R-cuad.(ajustado) = 67.91% Curso de MINITAB M. C. Eduardo Rodrguez Lpez (ITSJR)Pgina 62 ComoelvalordePes0.000,serechazalahiptesisnula(igualdadde las 3 medias). Para que se aceptara esa hiptesis, el valor de P debera ser mayor a 0.05 (el nivel de significancia utilizado). ICs de 95% individuales para la media basados en Desv.Est. agrupada NivelN MediaDesv.Est.---------+---------+---------+---------+ Directa717.0002.238(-----*-----) Indirecta720.4002.501 (-----*-----) Combinacin725.0002.002(-----*-----) ---------+---------+---------+---------+ 18.021.024.027.0 Desv.Est. agrupada = 2.257 Se eligi el mtodo de Tukey para realizar la comparacin de pares de medias. Agrupar informacin utilizando el mtodo de Tukey N MediaAgrupacin Combinacin725.000A Indirecta720.400B Directa717.000C Las medias que no comparten una letra son significativamente diferentes. Se concluye que ninguna de las 3 combinaciones distintas de parejas de medias son iguales. Intervalos de confianza simultneos de Tukey del 95% Todas las comparaciones en parejas Nivel de confianza individual = 98.00% Se rest Directa a: InferiorCentroSuperior Indirecta 0.321 3.400 6.479 Combinacin 4.921 8.00011.079 -----+---------+---------+---------+---- Indirecta(-----*-----) Combinacin (-----*-----) -----+---------+---------+---------+---- -5.0 0.0 5.010.0 Se rest Indirecta a: InferiorCentroSuperior Curso de MINITAB M. C. Eduardo Rodrguez Lpez (ITSJR)Pgina 63 Combinacin 1.521 4.600 7.679 -----+---------+---------+---------+---- Combinacin(-----*-----) -----+---------+---------+---------+---- -5.0 0.0 5.010.0 Estosltimosresultadossonlosintervalosdeconfianzaparala diferenciademedias,dondesenotaquenohaymediasigualesporque ninguno de los intervalos incluye al valor cero. Seconcluyequetodaslasparejasdemediassonestadsticamente diferentesyqueeltipodeopininafectasignificativamenteenla frecuencia con que se presentan errores en una auditora. 6.2 Diseo de bloques aleatorizado Enmuchosproblemasexperimentalesesnecesariodisearel experimentodemaneraquelavariabilidadprovenientedevariables perjudicialespuedacontrolarse.Comoejemplo,supongamosque deseamos comparar el efecto de cuatro compuestos qumicos diferentes sobre la resistencia de una fibra particular. Se sabe que el efecto de estos compuestos vara de modo considerable de un espcimen de fibra a otro. Enesteejemplo,tenemosslounfactor,eltipodequmicousado.Por tanto,podramosseleccionarvariospedazosdefibraycompararlos cuatrocompuestosqumicosdentrodelascondicionesrelativamente homogneasbrindadasporcadapedazodefibra.Estoeliminara cualquier variacin debido a ella. Elprocedimientogeneralparaundiseodebloquecompletamente aleatorioconsisteenseleccionarbbloquesyenejecutarunarplica completa del experimento en cada bloque. Habr a observaciones (una por cada nivel del factor) en cada bloque, y el orden en el cual se ejecutan estas observaciones, se asigna al azar dentro del bloque. Curso de MINITAB M. C. Eduardo Rodrguez Lpez (ITSJR)Pgina 64 El modelo estadstico lineal que se utiliza en este caso es: 1, 2, ,1, 2, ,ij i j iji ayj bt | c= = + + + = donde yij es la observacin ij-sima, es un parmetro comn para todos los tratamientos llamado media general, ti es un parmetro asociado con eli-simotratamientodenominadoefectodeltratamiento,|jesun parmetroasociadoconelj-simobloquedenominadoefectodel bloque, cij es un componente del error aleatorio. El anlisis que se realiza sirve para probar las siguientes hiptesis: H0: 1=2=3==k H1: por lo menos alguna pareja de medias de tratamientos es diferente. Ejemplo: Un factor importante en la eleccin de un procesador de palabras o de unsistemaparalaadministracindedatoseseltiemponecesariopara aprenderausarel sistema.Paraevaluar tressistemasdeadministracin de archivos, una empresa disea una prueba con cinco operadores. Como seconsideraquelavariabilidadentrelosoperadoresesunfactor significativo,secapacitaacadaunodelos5operadoresencadaunode los 3 sistemas de administracin de archivos. A continuacin se presentan los datos obtenidos. Sistema ABC 1161624 2191722 Operador3141319 4131218 5181722 Curso de MINITAB M. C. Eduardo Rodrguez Lpez (ITSJR)Pgina 65 Useunniveldesignificanciade0.05yrealiceunapruebapara determinarsiexistediferenciasignificativaentrelostiempos(enhoras) necesarios para aprender a usar cada uno de los 3 sistemas. Solucin: Seintroducenlosdatoscomosemuestraenlafigura(obsrvesequela columna2tieneunaletraTquesegeneralintroducirdatosno numricos). SeutilizaelmenEstadsticas,submenANOVA,opcinDos factores. Curso de MINITAB M. C. Eduardo Rodrguez Lpez (ITSJR)Pgina 66 Se seleccion la opcin grfica Cuatro en uno. 2 1 0 -1 -2999050101ResiduoPorcentaje24 21 18 15 12210-1Valor ajustadoResiduo1.5 1.0 0.5 0.0 -0.5 -1.0 -1.586420ResiduoFrecuencia15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1210-1Orden de observacinResiduoGrfica de probabilidad normal vs. ajustesHistograma vs. ordenGrficas de residuos para Tiempo Curso de MINITAB M. C. Eduardo Rodrguez Lpez (ITSJR)Pgina 67 Los resultados del procesamiento son: ANOVA de dos factores: Tiempo vs. Operador, Sistema FuenteGL SC CMFP Operador 4 64.66716.166717.640.000 Sistema2103.33351.666756.360.000 Error87.333 0.9167 Total 14175.333 S = 0.9574 R-cuad. = 95.82% R-cuad.(ajustado) = 92.68% Como el valor de P correspondiente a la fuente Sistema es 0.000, se rechaza la hiptesis nula (igualdad de las 3 medias). Para que se aceptara esahiptesis,elvalordePdeberasermayora0.05(elnivelde significanciautilizado).Seconcluyequeshaydiferenciassignificativas entre los tiempos medios para los sistemas. ICs de 95% individuales para la media basados en Desv.Est. agrupada OperadorMedia-----+---------+---------+---------+---- 1 18.6667(-----*------) 2 19.3333 (------*-----) 3 15.3333 (------*-----) 4 14.3333(------*-----) 5 19.0000(-----*-----) -----+---------+---------+---------+---- 14.016.018.020.0 De esta grfica se concluye que las medias de los operadores 3 y 4 son estadsticamente iguales, y tambin las de los operadores 1, 2 y 5. ICs de 95% individuales para la media basados en Desv.Est. agrupada SistemaMedia +---------+---------+---------+--------- A 16(----*----) B 15 (----*----) C 21 (----*----) +---------+---------+---------+--------- 14.016.018.020.0 DeestagrficaseconcluyequelasmediasdelossistemasAyBson estadsticamente iguales. Curso de MINITAB M. C. Eduardo Rodrguez Lpez (ITSJR)Pgina 68 SiahoraseutilizaelmenEstadsticas,submenANOVA,opcinGrfica de efectos principales, se obtiene una grfica donde muestra el comportamiento de las medias para cada sistema y para cada operador. C B A21201918171615145 4 3 2 1SistemaMediaOperadorGrfica de efectos principales para TiempoMedias de datos Curso de MINITAB M. C. Eduardo Rodrguez Lpez (ITSJR)Pgina 69 6.3 Experimento factorial de dos factores Cuandohayvariosfactoresdeintersenunexperimento,debe emplearseundiseofactorial.Estossondiseosenlosquelosfactores varanjuntos.Encadaensayoorplicacompletodelexperimentose investigan todas las combinaciones posibles de los niveles de los factores. Detalmodo,sihaydosfactoresAyBconaybniveles, respectivamente,entoncescadarplicacontienetodaslasab combinaciones de tratamiento. Elefectodeunfactorsedefinecomoelcambioenlarespuesta producidoporuncambioenelniveldelfactor.Estosedenominaun efecto principal porque se refiere a los factores principales en el estudio. En algunos experimentos, la diferencia en la respuesta entre los niveles deunfactornoeslamismaentodoslosnivelesdelosotrosfactores. Cuando esto ocurre, hay una interaccin entre ellos. El tipo ms simple de experimento factorial involucra slo los factores AyB.HayanivelesdelfactorAybnivelesdelfactorB.Hayn rplicasdelexperimentoycadaunadeellascontienetodaslasab combinacionesdetratamiento.Alcolectarlosdatos,lasobservaciones correran en orden aleatorio.El modelo estadstico lineal que se utiliza en este caso es: ( )1, 2, ,1, 2, ,1, 2, ,ijk i j ijkiji ay j bk n t | t| c= = + + + + = = dondeyijkeslaobservacinijk-sima,esunparmetrocomnpara todos los tratamientos llamado media general, ti es el efecto deli-simo nivel del factor A, |j es el efecto delj-simo nivel del factor B,(t|)ij es el efectodelainteraccinentreeli-simoniveldelfactorAyelj-simo nivel del factor B, cijk es un componente del error aleatorio. Curso de MINITAB M. C. Eduardo Rodrguez Lpez (ITSJR)Pgina 70 Elanlisisqueserealizasirveparaprobarlassiguienteshiptesis relacionadas con la igualdad de las medias de los niveles del factor A, de las medias del factor B y de las interacciones. Ejemplo: Sepresentanlosresultadosdeunexperimentoqueinvolucraun acumulador utilizado en el mecanismo de lanzamiento de un misil tierra-airedisparadodesdeelhombro.Puedenemplearsetrestiposde materiales para elaborar la placa de la batera. El objetivo es disear una bateraquerelativamentenoesafectadaporlatemperaturaambiente. Larespuestadesalidadelabateraeselvoltajemximo.Seeligentres niveles de temperatura y se ejecuta un experimento factorial con cuatro rplicas.Losdatossemuestranacontinuacin.Qumaterialdeplaca recomendara usted? Temperatura MaterialBajaMediaAlta 1130 155 74 180 34 40 80 75 20 70 82 58 2150 188 159 126 136 122 106 115 25 70 58 45 3138 110 168 160 174 120 150 139 96 104 82 60 Solucin: Seintroducentodaslasrespuestasenunacolumna,losnmerosde material en otra columna y las temperaturas en una columna aparte. SeutilizaelmenEstadsticas,submenANOVA,opcinDos factores. Curso de MINITAB M. C. Eduardo Rodrguez Lpez (ITSJR)Pgina 71 SienlapantallaanteriorsehubieraseleccionadoAjustarelmodelo aditivo,noapareceralainteraccincomofuenteenlatablaANOVA mostrada a continuacin. ANOVA de dos factores: Resultado vs. Material, Temperatura Fuente GL SC CMFP Material239118.719559.428.970.000 Temperatura 210683.7 5341.9 7.910.002 Interaccin 4 9613.8 2403.4 3.560.019 Error2718230.7675.2 Total3577647.0 S = 25.98 R-cuad. = 76.52% R-cuad.(ajustado) = 69.56% SetomarnuevamentecomoreferenciaelvalordeP=0.05(nivelde significancia utilizado). Como el valor de P correspondiente a la fuente Material es 0.000, se rechaza la hiptesis nula (igualdad de las 3 medias de los materiales). Se concluyequeshaydiferenciassignificativasenlosresultadosparalos diferentes materiales. ComoelvalordePcorrespondientealafuenteTemperaturaes 0.002,serechazalahiptesisnula(igualdaddelas3mediasdelas Curso de MINITAB M. C. Eduardo Rodrguez Lpez (ITSJR)Pgina 72 temperaturas).Seconcluyequeshaydiferenciassignificativasenlos resultados para las diferentes temperaturas. Como el valor de P correspondiente a la fuente Interaccin es 0.019, se concluye que s hay interacciones significativas. ICs de 95% individuales para la media basados en Desv.Est. agrupada MaterialMedia----+---------+---------+---------+----- 1 144.833 (----*----) 2 107.583 (----*----) 364.167(----*-----) ----+---------+---------+---------+----- 6090 120 150 Deaquseconcluyequeningunadelas3parejasdemediasde materiales es estadsticamente igual. Se debe utilizar el material 1 para lograr el mayor resultado. ICs de 95% individuales para la media basados en Desv.Est. agrupada TemperaturaMedia------+---------+---------+---------+--- Alta 125.083 (-------*------) Baja83.167(-------*------) Media108.333(-------*-------) ------+---------+---------+---------+--- 80 100 120 140 De aqu se concluye que solo la parejas de medias de temperatura baja y temperatura media son estadsticamente iguales. SiahoraseutilizaelmenEstadsticas,submenANOVA,opcinGrfica de efectos principales, se obtiene una grfica donde muestra el comportamiento de las medias para cada sistema y para cada operador. Denuevo,usandoelmenEstadsticas,submenANOVA,opcinGrfica de efectos principales, se obtiene una grfica donde muestra el comportamientodelasmediasparacadamaterialyparacada temperatura. Curso de MINITAB M. C. Eduardo Rodrguez Lpez (ITSJR)Pgina 73 3 2 115014013012011010090807060Media Baja AltaMaterialMediaTemperaturaGrfica de efectos principales para ResultadoMedias de datos EmpleandoelmenEstadsticas,submenANOVA,opcinGrfica de interacciones, se obtiene la siguiente grfica. Media Baja Alta1501251007550TemperaturaMedia123MaterialGrfica de interaccin para ResultadoMedias de datos Curso de MINITAB M. C. Eduardo Rodrguez Lpez (ITSJR)Pgina 74 7.PRONSTICOS Enlatomadedecisionesseelaboranplanesafuturo.Entonces,los datos que describen la situacin de la decisin deben representar lo que sucederenelfuturo.Porejemplo,enelcontroldeinventarios,las decisionessebasanenlanaturalezadelademandadelartculo controlado durante determinado horizonte de planeacin. Tambin, en la planeacinfinanciera,senecesitapronosticarlapautadelflujode efectivo a travs del tiempo. 7.1 Promedios mviles Enestatcnicasesuponequelaseriedetiempoesestableenel sentido que su valor yt para el periodo t sigue un proceso constante que se describe con: t ty b c = + En donde: b=Parmetroconstantedesconocido,estimadoapartirdedatos histricos, ct=Componentealeatorioparaelperiodot,conmediaceroyvarianza constante. Latcnicasuponequenoestncorrelacionadoslosdatosparalos distintos periodos. Latcnicadelpromediomvilsuponequelasnobservacionesms recientestienenigualimportanciaparaestimarelparmetrob.As,en determinado periodo t, si los datos para los n periodos ms recientes son yt-n+1, yt-n+2, , yt, entonces el valor estimado para el periodo t+1 se calcula como: * 1 21t n t n tty y yyn + +++ + += Lalongituddelpromediomvil,n,esunacantidadquenopuede determinarsepormediodeningnprocedimiento,sinoquesedebe realizar con ensayos de prueba y error, basndose en la minimizacin de los indicadoresdeerrordepronstico:MAPE(errorporcentualabsoluto medio),MAD(desviacinmediaabsoluta)yMSD(errorcuadrtico medio). Curso de MINITAB M. C. Eduardo Rodrguez Lpez (ITSJR)Pgina 75 En trminos generales, se puede establecer que un valor de n pequeo permiteunamayorvelocidaddereaccinanteloscambiosdelaserie detiempo,yunmayorvalordenpromediamsperiodos,locuales conveniente cuando la serie es muy estable. Ejemplo: Latablasiguientecontienelasventas,enmillonesdepesos,deuna tiendadepartamental.Deseradecuado,apliquelatcnicadelpromedio mvil. Ao19801981198219831984 Ventas21.023.223.224.024.9 Ao19851986198719881989 Ventas25.626.627.428.529.6 Lo primero que debe hacerse es graficar la serie de tiempo. En el men Estadsticas,submenSeriesdetiempo,opcinGrficadeseriede tiempo. Curso de MINITAB M. C. Eduardo Rodrguez Lpez (ITSJR)Pgina 76 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1302826242220ndiceVentasGrfica de series de tiempo de Ventas Enestagrficaseobservaquelosvaloresdelavariableyquese deseapronosticar:Ventasnoesestablealolargodeltiempo.Portanto no es conveniente aplicar la tcnica de promedios mviles. Ejemplo: Lasventasdeaspiradorasindustrialesdurantelosltimos13mesesson las siguientes: Venta (miles)MesVenta (miles)Mes 11Enero14Agosto 14Febrero17Septiembre 16Marzo12Octubre 10Abril14Noviembre 15Mayo16Diciembre 17Junio11Enero 11Julio Use promedios mviles con tres periodos. Curso de MINITAB M. C. Eduardo Rodrguez Lpez (ITSJR)Pgina 77 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 11716151413121110ndiceVentasGrfica de series de tiempo de Ventas Lagrficadeseriedetiempomuestraoscilaciones,peroyanouna tendenciacomoenelejemploanterior.Ahorasseusarlatcnicade promedios mviles (aunque no est en la condicin ideal). Para realizar el pronstico, en el men Estadsticas, submen Series de tiempo, opcin Promedio mvil.Curso de MINITAB M. C. Eduardo Rodrguez Lpez (ITSJR)Pgina 78 Se seleccion generar 2 pronsticos empezando en el periodo 12, para que calcule el valor correspondiente al periodo 13. 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 11816141210ndiceVentasLongitud 3Promedio mvilMAPE 17.1423MAD 2.2000MSD 6.1333Medidas de exactitudActualAjustesPronsticosIP de 95.0%VariableGrfica de promedio mvil de Ventas Lalnearojarepresentalospromediosmviles,apartirdelperiodo4. La lnea verde representa los pronsticos. Curso de MINITAB M. C. Eduardo Rodrguez Lpez (ITSJR)Pgina 79 La salida del programa es: Promedio mvil de Ventas DatosVentas Longitud 13 Nmero de valores faltantes0 Promedio mvil Longitud3 Medidas de exactitud MAPE17.1423 MAD2.2000 MSD6.1333 Pronsticos PerodoPronsticoInferiorSuperior 1313.6667 8.94042 18.3929 1413.6667 8.94042 18.3929 7.2 Suavizacin exponencial Enestatcnicasesuponequeelprocesoesconstanteoquecambia conlentitudalpasodeltiempo;eslamismahiptesisquelaqueseusa enelmtododelpromediomvil.Sinembargo,lasuavizacin exponencial asigna un peso mayor a la observacin ms reciente. Sedefineo(0