UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR

FACULTAD DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA

ESCUELA DE INGENIERIA INDUSTRIAL

PRESUPUESTOS DE PRODUCCION

TEMA:

PRONOSTICOS POR MINIMOS CUADRADOS

DOCENTE

Ing. Saúl Granados

INTEGRANTES

Carranza Martínez, Yeni Nathaly CM06021

Hernández Amaya, Loida Eunice HA04010

Orantes Tobar, David Alberto OT 04001

Santos Vásquez, Sandra Maribel SV06002

Ciudad Universitaria, 14 de abril de 2011

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Índice

Contenido

Introducción........................................................................................................................... i

Objetivos............................................................................................................................... ii

Objetivo General................................................................................................................ ii

Objetivos Específicos......................................................................................................... ii

Contenido..............................................................................................................................1

Pronostico............................................................................................................................. 1

Historia del método de mínimos cuadrados.........................................................................3

Definición del método.......................................................................................................4

Formulación dimensional de los problemas......................................................................5

Deducción analítica de la aproximación discreta mínimo cuadrática lineal......................6

Corolario............................................................................................................................8

Deducción geométrica del problema discreto...................................................................9

Algunas Ventajas y restricciones del Modelo..................................................................12

Ventajas.......................................................................................................................12

Restricciones...............................................................................................................13

Pronostico por mínimos cuadrados.....................................................................................13

FÓRMULA GENERAL........................................................................................................ 13

MÉTODO SIMPLIFICADO (PARES Y NONES).....................................................................14

Ejemplos:.........................................................................................................................14

Método general...........................................................................................................14

Método simplificado...................................................................................................16

Conclusiones....................................................................................................................... 24

Bibliografía..........................................................................................................................25

| Índice

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Introducción

Como sabemos, una descripción matemática de un fenómeno de la vida real, dada en términos como por ejemplo, de una función o de una ecuación es lo que constituye un modelo matemático.

El consumo continuo de un producto en el mercado, el aumento o decremento en la producción, el crecimiento en las ventas, el pronóstico en la tendencia inflacionaria en los precios del petróleo y otras materia primas, el costo de la reducción de productos contaminantes en una determinada zona, la necesidad de realizar pronósticos sobre la variación a futuro del PIB en un país determinado, son ejemplos de fenómenos reales que se pueden modelar matemáticamente por una función.

Tomando en cuenta lo anterior se puede hacer una inferencia en la necesidad de establecer o tomar en cuenta diversos modelos de pronóstico que pueden ayudarnos a determinar el comportamiento o tendencia de la o las variables seleccionadas.

En el caso en particular, se presentan los pronósticos en base al método de los mínimos cuadrados que es una de las herramientas de las más usadas en la actualidad para corregir tendencias y alinearlas hacia una tendencia lineal sobre el pronóstico de lo calculado. Este como todos los pronósticos tiene la finalidad de comprender los fenómenos y, como consecuencia, hacer pronósticos acerca de su comportamiento.

| Objetivos i

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Objetivos

Objetivo General

Dar a conocer el método de Mínimos Cuadrados como una alternativa para

pronosticar tendencias dentro de una diversa alternativas para elaborar dichos

pronósticos.

Objetivos Específicos

Establecer una formación histórica de donde deriva el método.

Conocer la forma de aplicación del método de mínimos cuadrados.

Dar a conocer el algoritmo para poder lograr hacer el ajuste de las tendencias

mediante el método de mínimos cuadrados para usarla como herramienta de

pronóstico.

Ejemplificar el uso de la técnica para dar una mejor comprensión de la misma.

Establecer las ventajas y limitaciones del método.

| Objetivos ii

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Contenido

Para hablar de Mínimos Cuadrados, será necesario definir primero algunas consideraciones sobre la necesidad de pronosticar

Pronostico

¿Qué es un pronóstico?

Es una serie de datos que en base a una serie de estudios determinan la demanda

en un futuro de un determinado producto. Es una inferencia a partir de ciertos datos.

¿Cómo se define el pronóstico?

Es una técnica que permite predecir lo que ocurrirá en el futuro. El pronóstico dependerá

de los cambios en las variables externas al sistema de producción.

Es necesario pronosticar cuándo se considera:

Un entorno altamente incierto.

La intuición no necesariamente da los mejores resultados.

Mejorar la planeación y la elaboración presupuestal

Cuando se desea mejorar en competitividad y lograr un cambio en la búsqueda de

crecimiento

| Bibliografía 1

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Para este efecto, hay varias clases de pronósticos que se pueden considerar y a continuación se presenta una tabla que nos describe una de las clasificaciones existentes.

¿Qué

significa pronosticar?

Es predecir el futuro a partir de algunos indicios

¿Cuáles son los antecedentes de los pronósticos?

Tuvieron su origen en aspectos informales de la vida cotidiana. En otras épocas los Reyes,

los Políticos y personas adineradas acudían a los clarividentes para que les comentaran

acerca de sus vidas en el futuro. Al paso del tiempo estas ideas las adoptan los

comerciantes y empresarios y se fue formalizando poco a poco para el concepto de los

pronósticos hasta llegar a la que hoy se conoce como un importante tema.

¿Dónde se utilizan las técnicas de pronósticos en una empresa para determinar la

demanda?

Estas técnicas se utilizan en empresas para determinar la demanda futura de sus

productos, y en base a esto planear y controlar la cantidad de productos que deberá

producir.

¿Cuándo una empresa está en condiciones de optimizar?

Cuando una empresa determina la demanda futura de sus pronósticos, está en

condiciones de optimizar el uso de todos sus recursos, lograr sus objetivos y satisfacer la

demanda de sus clientes oportunamente.

| Bibliografía 2

Por su plazo: De corto plazo De largo plazo

Según el entorno a pronosticar Micro Macro

Según el procedimiento empleado

Cualitativo Cuantitativo

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¿Quién utiliza las técnicas de pronósticos?

Personal especializado y adscritos a las áreas de producción y mercadotecnia de las

productoras o bienes.

¿Cuál es la validez de un pronóstico?

No es la verdad absoluta respecto a algún evento en el futuro, un pronóstico solo es una

aproximación a la realidad entre más se acerque a ella mejor será.

En una Sistema de producción se presentan 2 grupos de problemas

a) Probabilidad de diseño

b) Probabilidad de la planeación

¿Cómo se agrupan las técnicas de pronósticos que utilizan en la actualidad?

Cualitativas

Cuantitativas

Combinación de ambas

Historia del método de mínimos cuadrados

Carl Friedrich Gauss.

El día de Año Nuevo de 1801, el astrónomo italiano Giuseppe Piazzi descubrió el planeta enano Ceres. Fue capaz de seguir su órbita durante 40 días. Durante el curso de ese año, muchos científicos intentaron estimar su trayectoria con base en las observaciones de Piazzi (resolver las ecuaciones no lineales de Kepler de movimiento es muy difícil). La mayoría de evaluaciones fueron inútiles; el único cálculo suficientemente

| Bibliografía 3

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preciso para permitir aZach, astrónomo alemán, reencontrar a Ceres al final del año fue el de un Carl Friedrich Gauss de 24 años (los fundamentos de su enfoque ya los había planteado en 1795, cuando aún tenía 18 años). Pero su método de mínimos cuadrados no se publicó hasta 1809, apareciendo en el segundo volumen de su trabajo sobre mecánica celeste, Theoria Motus Corporum Coelestium in sctionibus conicis solem ambientium. El francés Adrien-Marie Legendre desarrolló el mismo método de forma independiente en 1805.

En 1829 Gauss fue capaz de establecer la razón del éxito maravilloso de este procedimiento: simplemente, el método de mínimos cuadrados es óptimo en muchos aspectos. El argumento concreto se conoce como teorema de Gauss-Márkov.

Definición del método

Mínimos cuadrados: es una técnica de análisis numérico encuadrada dentro de la optimización matemática, en la que, dados un conjunto de pares (o ternas, etc), se intenta encontrar la función que mejor se aproxime a los datos (un "mejor ajuste"), de acuerdo con el criterio de mínimo error cuadrático.

Su uso básicamente se centra en que permite encontrar la ecuación de una línea recta a partir de datos previos o experimentales. Generalmente pueden ser datos históricos de determinadas variables como ventas, costos de materias primas, tasas de inflación, etc.

Es decir, que teniendo dichos datos históricos o experimentales, se pueden obtener la pendiente y la ordenada de origen de la recta que mejor se ajuste a los valores dados y con base a la ecuación o función poder estimar hacia el futuro.

En su forma más simple, intenta minimizar la suma de cuadrados de las diferencias ordenadas (llamadas residuos) entre los puntos generados por la función y los correspondientes en los datos. Específicamente, se llama mínimos cuadrados promedio (LMS) cuando el número de datos medidos es 1 y se usa el método de descenso por gradiente para minimizar el residuo cuadrado. Se puede demostrar que LMS minimiza el residuo cuadrado esperado, con el mínimo de operaciones (por iteración), pero requiere un gran número de iteraciones para converger.

| Bibliografía 4

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Desde un punto de vista estadístico, un requisito implícito para que funcione el método de mínimos cuadrados es que los errores de cada medida estén distribuidos de forma aleatoria. El teorema de Gauss-Márkov prueba que los estimadores mínimos cuadráticos carecen de sesgo y que el muestreo de datos no tiene que ajustarse, por ejemplo, a una distribución normal. También es importante que los datos recogidos estén bien escogidos, para que permitan visibilidad en las variables que han de ser resueltas (para dar más peso a un dato en particular, véase mínimos cuadrados ponderados).

La técnica de mínimos cuadrados se usa comúnmente en el ajuste de curvas. Muchos otros problemas de optimización pueden expresarse también en forma de mínimos cuadrados, minimizando la energía o maximizando la entropía.

Formulación dimensional de los problemas

Supóngase el conjunto de puntos (xk,yk), siendo . Sea fj(x), con una base de m funciones linealmente independientes. Queremos

encontrar una función combinación lineal de las funciones base tal que , esto es:

Se trata de hallar los m coeficientes cj que hagan que la función aproximante f(x) sea la mejor aproximación a los puntos (xk,yk). El criterio de mejor aproximación puede variar, pero en general se basa en aquél que dé un menor error en la aproximación. El error en un punto (xk,yk) se podría definir como:

La aproximación mínimo cuadrada se basa en la minimización del error cuadrático medio, o, equivalentemente, en la minimización del radicando de dicho error, el llamado error cuadrático, definido como:

| Bibliografía 5

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Para alcanzar este objetivo, suponemos que la función f es de una forma particular que contenga algunos parámetros que necesitamos determinar. Por ejemplo,

supongamos que es cuadrática, lo que quiere decir que , donde no conocemos aún , y . Ahora buscamos los valores de , y que minimicen la suma de los cuadrados de los residuos (S):

Esto explica el nombre de mínimos cuadrados. A las funciones que multiplican a los coeficientes buscados, esto es, a x2, x y 1, se les conoce con el nombre de funciones base de la aproximación. Dichas funciones base pueden ser cualesquiera funciones, y para ese caso se deduce a continuación la fórmula general en el caso de que la aproximación sea discreta y lineal.

La aproximación de mínimos cuadrados es la mejor aproximación al conjunto de puntos (xk,yk), según el criterio del error cuadrático medio. Es posible generar otro tipo de aproximaciones si se toman los errores máximos o medios, pero la dificultad que entraña operar con ellos debido al valor absoluto de su expresión hace que apenas se usen.

La aproximación mínimo cuadrado tiene solución general para el caso de un problema de aproximación lineal en sus coeficientes cj cualesquiera sean las funciones base fj(x) antes expuestas. Por lineal se entiende f(x) es una combinación lineal de dichas funciones base. Para hallar la expresión de la fórmula general, es posible o bien minimizar el error cuadrático arriba expuesto, para lo cual se haría uso del cálculo multivariable (se trataría de un problema de optimización en cj), o alternativamente hacer uso del álgebra lineal en la llamada deducción geométrica. Para los Modelos estáticos uniecuacionales, el método de mínimos cuadrados no ha sido superado, a pesar de diversos intentos para ello, desde principios del Siglo XIX. Se puede demostrar que, en su género, es el que proporciona la mejor aproximación.

Deducción analítica de la aproximación discreta mínimo cuadrática lineal

Sean n pares con abscisas distintas, y sean m funciones

cualesquiera linealmente independientes , que se llamarán funciones base.

| Bibliografía 6

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Se desea encontrar una función f(x) combinación lineal de dichas funciones base, tomando por ello la forma:

Ello equivale por tanto a hallar los m coeficientes . En concreto, se desea que

tal función f(x) sea la mejor aproximación a los n pares empleando el criterio

de mínimo error cuadrático medio de la función f(x) con respecto a los puntos .

El error cuadrático medio será para tal caso:

Minimizar el error cuadrático medio es equivalente a minimizar el error cuadrático, definido como el radicando del error cuadrático medio, esto es:

Así, los cj que minimizan Ecm también minimizan Ec, y podrán ser calculados derivando e igualando a cero este último:

Siendo i=1,2, . . .,m.

Se obtiene un sistema de m ecuaciones con m incógnitas, que recibe el nombre de "Ecuaciones Normales de Gauss". Operando con ellas:

| Bibliografía 7

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Si se desarrolla el sumatorio, se visualiza la ecuación "i" del sistema de ecuaciones normales:

.

En forma matricial, se obtiene que:

Siendo (a,b)d el producto escalar discreto, definido para dos funciones dadas h(x) y g(x) como:

y para una función h(x) y vector cualquiera u, como:

La resolución de dicho sistema permite obtener, para el saber de ellos para cualquier base de funciones derivables localmente, la mejor aproximación mínimo cuadrática f(x) al conjunto de puntos antes mencionado. La solución es óptima –esto es, proporciona la mejor aproximación siguiendo el criterio de mínimo error cuadrático–, puesto que se obtiene al optimizar el problema.

Corolario

Si se tratara de hallar el conjunto {cj} tal que f(x) pasara exactamente por todos los

pares , esto es, tales que f(x)interpolara a , entonces tendría que cumplirse que:

| Bibliografía 8

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En forma matricial, ello se expresaría:

Esto establece un sistema de n ecuaciones y m incógnitas, y como en general n>m, quedaría sobre determinado: no tendría solución general. Por tanto, la aproximación tratará en realidad de hallar el vector c que mejor aproxime .

Se puede demostrar que la matriz de coeficientes de las ecuaciones normales de Gauss coincide con , siendo A la matriz de coeficientes exactas; y e le término independiente de las ecuaciones normales de Gauss coincide con el vector , de manera que puede escribirse que los {cj} que mejor aproximan f(x) pueden calcularse como la solución al sistema:

,

que son las ecuaciones normales de Gauss.

Deducción geométrica del problema discreto

La mejor aproximación deberá tender a interpolar la función de la que proviene el conjunto de pares (xk,yk), esto es, deberá tender a pasar exactamente por todos los puntos. Eso supone que se debería cumplir que:

Sustituyendo f(x) por su expresión:

| Bibliografía 9

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Esto es, se tendría que verificar exactamente un sistema de n ecuaciones y m incógnitas, pero como en general n>m, dicho sistema está sobre determinado, no tiene solución general. De ahí surge la necesidad de aproximarlo.

Dicho sistema podría expresarse en forma matricial como:

Esto es:

La aproximación trata de hallar el vector c aproximante que mejor aproxime el sistema Ac = b.

Con dicho vector c aproximante, es posible definir el vector residuo como:

De manera que el mínimo error cuadrático supone minimizar el residuo, definiendo su tamaño en base a la norma euclídea o usual del residuo, que equivale al error cuadrático:

siendo (r,r)2 el producto interior o escalar del vector residuo sobre sí mismo.

Si atendemos al sistema Ac = b, entonces se ve claramente que al multiplicar A y c, lo que se realiza es una combinación lineal de las columnas de A:

El problema de aproximación será hallar aquella combinación lineal de columnas de A lo más cercana posible al vector b. Se comprueba que el conjunto de las columnas de

| Bibliografía 10

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A engendran un Span lineal: span(A1,A2,...,Am), al que el vector b no tiene porqué pertenecer (si lo hiciera, el sistema Ac=b tendría solución).

Entonces, de los infinitos vectores del span(A1,A2,...,Am) que son combinación lineal de los vectores de la base, se tratará de hallar el más cercano al vector b.

De entre todos ellos, el que cumple esto con respecto a la norma euclídea es la proyección ortogonal del b sobre span(A1,A2,...,Am), y que por tanto hace que el tamaño del vector r, que será el vector que una los extremos de los vectores b y proyección ortogonal de b sobre el span, sea mínimo, esto es, que minimiza su norma euclídea.

Es inmediato ver que si el residuo une b con su proyección ortogonal, entonces es a su vez ortogonal al span(A1,A2,...,Am), y a cada uno de los vectores de la base, esto es, ortogonal a cada columna de A.

La condición de minimización del residuo será:

Esto solo es cierto si:

A su vez, cada una de las m condiciones de perpendicularidad se puede agrupar en una sola:

Sustituyendo el residuo por su expresión:

Por tanto, la mejor aproximación mínimo cuadrada lineal para un conjunto de puntos discretos, sean cuales sean las funciones base, se obtiene al resolver el sistema cuadrado:

.

A esta ecuación se le llama ecuación normal de Gauss, y es válida para cualquier conjunto de funciones base. Si estas son la unidad y la función x, entonces la aproximación se llama regresión lineal.

En el análisis de regresión, se sustituye la relación

por

| Bibliografía 11

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siendo el término de perturbación ε una variable aleatoria con media cero. Obśervese que estamos asumiendo que los valores x son exactos, y que todos los errores están en los valores y. De nuevo, distinguimos entre regresión lineal, en cuyo caso la función f es lineal para los parámetros a ser determinados (ej., f(x) = ax2 + bx + c), y regresión no lineal. Como antes, la regresión lineal es mucho más sencilla que la no lineal. (Es tentador pensar que la razón del nombre regresión lineal es que la gráfica de la función f(x) = ax + b es una línea. Ajustar una curva f(x) = ax2 + bx + c, estimando a, b y c por mínimos cuadrados es un ejemplo de regresión lineal porque el vector de estimadores mínimos cuadráticos de a, b y c es una transformación lineal del vector cuyos componentes son f(xi) + εi).

Los parámetros (a, b y c en el ejemplo anterior) se estiman con frecuencia mediante mínimos cuadrados: se toman aquellos valores que minimicen la suma S. El teorema de Gauss-Márkov establece que los estimadores mínimos cuadráticos son óptimos en el sentido de que son los estimadores lineales insesgados de menor varianza, y por tanto de menor error cuadrático medio, si tomamos f(x) = ax + b estandoa y b por determinar y con los términos de perturbación ε independientes y distribuidos idénticamente (véase el artículo si desea una explicación más detallada y con condiciones menos restrictivas sobre los términos de perturbación).

La estimación de mínimos cuadrados para modelos lineales es notoria por su falta de robustez frente a valores atípicos (outliers). Si la distribución de los atípicos es asimétrica, los estimadores pueden estar sesgados. En presencia de cualquier valor atípico, los estimadores mínimos cuadráticos son ineficientes y pueden serlo en extremo. Si aparecen valores atípicos en los datos, son más apropiados los métodos de regresión robusta.

Algunas Ventajas y restricciones del Modelo

Ventajas

Es objetivo, solo depende de los resultados experimentales. Es reproducible, proporciona la misma ecuación, no importando quien realice el

análisis.

| Bibliografía 12

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Proporciona una estimación probabilística, de la ecuación que representa unos datos experimentales.

Proporciona intervalos pequeños de error.

Restricciones

Sólo sirve para ajustar modelos lineales. Los pronósticos elaborados con este modelo sólo derivan en una tendencia lineal. Requiere tener al menos 20 mediciones bajo las mismas circunstancias

experimentales. Se requiere de algún equipo de cálculo, de lo contrario es muy engorroso.

Luego de haber definido lo que es un pronóstico y el método de mínimos cuadrados definiremos nuestro tema que es pronóstico por mínimos cuadrados.

Pronostico por mínimos cuadrados

Esta es otra técnica de tipo cuantitativo que permite el cálculo de los pronósticos para períodos futuros, para lo cual requiere de registros históricos que sean consistentes, reales y precisos.Esta técnica como su nombre lo indica se trata de sacar el total de las desviaciones elevadas al cuadrado a un valor mínimo: su objetivo es determinar los coeficientes a y b, que son conocidos como coeficientes de regresión, donde x es la variable independiente (tiempo), y es la variable dependiente (pronóstico de la demanda).En la práctica se pueden utilizar dos métodos para calcular los pronósticos a través de mínimos cuadrados: Fórmula general y Métodos simplificado.

Para aplicar este método en el cálculo de pronósticos de la demanda, se deben tener en cuenta las siguientes expresiones matemáticas:

| Bibliografía 13

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FÓRMULA GENERAL

donde:

n = tamaño de la muestra o el número de períodos x = período en el que se desea el pronóstico y = el pronóstico

MÉTODO SIMPLIFICADO (PARES Y NONES) El método simplificado como su nombre lo indica, en la práctica es más simple y se llega al resultado de forma más rápida. Las expresiones a usar son:

Donde:

n = tamaño de la muestra o el número de períodos x = período en el que se desea el pronóstico y = el pronóstico

¿Cuándo será par y cuando será non?Pares: Debemos entender por pares el numero de períodos expresados de dos en dos (2, 4, 6, 8...)Nones: Es cuando los períodos considerados en los cálculos son impares (1, 3, 5, 7, 9...)

Ejemplos:

Método generalEjemplo 1:

Panasonic, empresa internacional en su área de pilas desechables, desea calcular el pronóstico de ventas para el año 2003, teniendo como antecedentes los datos que se

| Bibliografía 14

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muestran en la tabla. El cálculo del pronóstico se deberá emitir mediante la fórmula general y corroborarse con el método simplificado que corresponda.

PeríodosVentas (miles)

x xy x^2

1990 85 1 85 1

1991 89 2 178 4

1992 92 3 276 9

1993 95 4 380 16

1994 93 5 465 25

1995 98 6 588 36

Σ 552 21 1972 91

Cálculo del pronóstico

x son los períodos desde el primer dato histórico hasta el pronóstico a calcular

Ejemplo 2:

Sabritas S.A de C.V. desea elaborar el pronóstico de ventas para uno de sus productos en el año 2003 y en torno a éste resultado, se hará la planeación de los recursos a utilizar en el sistema; para lo cual cuenta con el volumen de ventas anuales que se indican en la siguiente tabla.

| Bibliografía 15

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El cálculo de éste pronóstico se deberá hacer a través de Fórmula General y Método Simplificado.

PeríodosVentas (miles)

x xy x2

1987 120 1 120 1

1988 121 2 242 4

1989 117 3 351 9

1990 118 4 472 16

1991 124 5 620 25

1992 125 6 750 36

1993 120 7 840 49

1994 118 8 944 64

1995 130 9 1170 81

å 1093 45 5509 285

 

Cálculo del pronóstico

Método simplificado

Ejemplo 1:

Vayamos a un ejemplo práctico: Cantidad de años a considerar impar 

| Bibliografía 16

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Supongamos una empresa con información desde el año 1994 a 2004, queriendo conocer cuál sería la tendencia para el 2005. 

En el cuadro siguiente puede verse cómo se armaría la tabla para calcular los totales en base a los cuales calcularemos a y b. 

El coeficiente X, dado que la cantidad de años a analizar “n” es impar (n = 11), se obtiene de la siguiente forma: 

0 para el año que se encuentra exactamente a la mitad, en este caso año 6, es decir, 1999

Para cada año anterior se resta 1 (uno) y para cada posterior se suma 1 (uno)

 

Período Año Ventas (y) U$S x 1000

X Xy x2

1 1994 408 -5 -2,040 252 1995 701 -4 -2,804 163 1996 803 -3 -2,409 94 1997 929 -2 -1,858 45 1998 230 -1 -230 16 1999 1,100 0 0 07 2000 1,160 1 1,160 18 2001 965 2 1,930 49 2002 1,050 3 3,150 910 2003 1,118 4 4,472 1611 2004 720 5 3,600 25

2005Totales 9,184 0 4,971 110

 

En función de las fórmulas mencionadas obtendremos. 

a = 9,184 / 11 = 834.90 @ 835  

b = 4,971 / 110 = 45.19 @ 45

En el año 2005, es decir para y = 6 (coeficiente que le correspondería al año 2005), las ventas serían:  

Y = 835 + 45 x 6 = 1,106

Ejemplo 2:

| Bibliografía 17

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Vayamos a otro ejemplo práctico: Cantidad de años a considerar par 

Supongamos una empresa con información desde el año 1995 a 2004, queriendo conocer cuál sería la tendencia para el 2005. 

En el cuadro siguiente puede verse cómo se armaría la tabla para calcular los totales en base a los cuales calcularemos a y b. 

El coeficiente X, dado que la cantidad de años a analizar “n” es par (n = 10) se obtiene de la siguiente forma: 

En este caso no existe un año medio. El año que corresponde al total de años dividido dos (2), llevará coeficiente –1 mientras que el que le sigue llevará coeficiente 1.

El resto de los años, hacia atrás y hacia adelante, llevarán el coeficiente menos dos o más dos, según corresponda. 

Período Año Ventas (y) U$S x 1000

x xy x2

1 1995 701 -9 -6,309 812 1996 803 -7 -5,621 493 1997 929 -5 -4,645 254 1998 230 -3 -690 95 1999 1,100 -1 -1,100 16 2000 1,160 1 1,160 17 2001 965 3 2,895 98 2002 1,050 5 5,250 259 2003 1,118 7 7,826 4910 2004 720 9 6,480 81

2005

Totales 8,776 0 5,246 330

 

a = 9,882 / 11 = 877.6 @ 877 

b = 5,246 / 330 = 15.90 @ 16 

En el año 2005, es decir para y = 11 (coeficiente que le correspondería al año 2005), las ventas serían:  

Y = 988 + 16 x 11 = 1,052

Ejemplo 3:

Desarrollando el ejemplo de 1.

| Bibliografía 18

[ ] UES

Panasonic, empresa internacional en su área de pilas desechables, desea calcular el pronóstico de ventas para el año 2003, teniendo como antecedentes los datos que se muestran en la tabla. El cálculo del pronóstico se deberá emitir mediante la fórmula general y corroborarse con el método simplificado que corresponda.

Pares porque el número de períodos es par (6)

PeríodosVentas (miles)

x xy x2

1990 85 -5 -425 25

1991 89 -3 -267 9

1992 92 -1 -92 1

0 0 0

1993 95 1 95 1

1994 93 3 279 9

1995 98 5 40 25

Σ 552 0 80 70

NOTA: A x se le asignan valore impares porque es un problema par.

*los períodos se cuentan a partir de 1993 con números consecutivos impares de los asignados a x en un principio hasta llegar a 2003:

96-7 2000-15

| Bibliografía 19

[ ] UES

97-9 2001-17

98-11 2002-19

99-13 2003-21

Ejemplo 4:

Desarrollando el ejemplo de 2.

Sabritas S.A de C.V. desea elaborar el pronóstico de ventas para uno de sus productos en el año 2003 y en torno a éste resultado, se hará la planeación de los recursos a utilizar en el sistema; para lo cual cuenta con el volumen de ventas anuales que se indican en la siguiente tabla.

Nones porque el número de períodos es impar (9)

PeríodosVentas (miles)

x xy x2

1987 120 -4 -480 16

1988 121 -3 -363 9

1989 117 -2 -234 4

1990 118 -1 -118 1

1991 124 0 0 0

1992 125 1 125 1

1993 120 2 240 4

1994 118 3 354 9

1995 130 4 520 16

Σ 1093 0 44 60

NOTA: A x se le asignan valores consecutivos

| Bibliografía 20

[ ] UES

*los períodos se cuentan a partir de 1992 con números consecutivos de los asignados a x en un principio hasta llegar a 2003:

96-5 2000-9

97-6 2001-10

98-7 2002-11

99-8 2003-12

| Bibliografía 21

[ ] UES

Conclusiones

No en todas las tendencias se puede aplicar con fiabilidad el método de mínimos cuadrados.

El método de mínimos cuadrados es una técnica de las mejores aceptadas por sus resultados de fiabilidad en cuanto a la reducción del error derivado del ajuste en los datos reales respecto de la línea propuesta.

El método tiende a ser un poco engorroso en su cálculo de forma manual, pero este se vuelve el ideal cuando existe un ajuste de la tendencia y un programa mecanizado que nos permita su cálculo.

Muchas veces el método de mínimos cuadrados es el más aceptado dentro de las leyes tributarias y económicas de un Estado, al mismo tiempo que es el de mayor uso dentro de las empresas.

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[ ] UES

Bibliografía

www.monografias.com/trabajos13/.../placo.shtml

http://henalova.blogspot.es

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