Minimos quadrados

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Avaliao do mdulo de elasticidade longitudinal em peas estruturais de Pinus Caribaea

Atualmente, a norma tcnica NBR 7190/1997 (Projeto de Estruturas de Madeira) no faz referncia a ensaios que visem determinao das propriedades de rigidez e resistncia em peas de dimenses estruturais de madeira serrada, restringindo-se esta anlise a corpos-de-prova de pequenas dimenses e isentos de defeitos. O presente trabalho tem como objetivo, apresentar uma metodologia alternativa de clculo para a determinao do mdulo de elasticidade longitudinal em peas estruturais de madeira serrada, baseada no Mtodo dos Elementos Finitos, juntamente com uma tcnica de otimizao. Os resultados encontrados para as madeiras Pinus caribaea mostram que a metodologia proposta pela norma brasileira pode tambm ser empregada em peas de dimenses estruturais maiores.

Palavras-chave: Madeira serrada. Mtodo dos Elementos Finitos. Mtodo dos Mnimos Quadrados.

The current standard NBR 7190/1997 (Project of Timber Structures) makes no reference to tests for determining the stiffness and strength in parts of structural lumber; restricting the analysis to bodies-of-tests with small dimensions and without defects. This paper presents an alternative method to determine the longitudinal modulus of elasticity in timber beams, based on the Finite Element Method, as well as the Inverse Analysis Method with an optimization technique. Results show that the methodology proposed by the Brazilian standard can also be applied to pieces of structural dimensions.

Key words: Lumber. Finite element method. Least squares method.

* Universidade Federal de So Joo del-Rei (UFSJ). Departamento de Engenharia Mecnica (DEMEC). Laboratrio de Mecnica Computacional (LMC). Engenharia de estruturas e Mecnica Computacional.

** Universidade Federal de So Joo del-Rei (UFSJ). Departamento de Engenharia Mecnica (DEMEC). Materiais e Estruturas.*** Universidade Estadual Paulista "Jlio Mesquita Filho" (Unesp). Departamento de Engenharia Agrcola. Madeira e seus

Derivados.**** Universidade Estadual de Gois - UEG. Unidade Universitria de Ipameri. Madeira e derivados.

Avaliao do mdulo de elasticidade longitudinal em peas estruturais de Pinus CaribaeaAssessment of longitudinal modulus of elasticity in structural elements of Pinus Caribaea timber beams

Andr Luis Christoforo*Fbio de Paiva Cota**Tlio Hallak Panzera**

Claudenir Facincani Franco***Vitor Correa de Mattos Barreto****

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Andr Luis Christoforo et al.

VRTICES, Campos dos Goytacazes/ RJ, v.14, n. 1, p. 137-145, jan./abr. 2012

Introduo

A madeira uma matria-prima naturalmente resistente e relativamente leve. Sua importncia e versatilidade contribuem para o seu emprego em vrios setores da atividade humana: nas construes civis, rurais, nas indstrias do setor moveleiro entre outras. O seu emprego como elemento estrutural no Brasil tem crescido ao longo dos ltimos anos em virtude das pesquisas realizadas, com o objetivo de torn-la um material mais competitivo em relao a outros materiais empregados na construo de estruturas, tais como o ao e o concreto.

Almejando o desenvolvimento tecnolgico, a NBR 7190/1997 (Projeto de Estruturas de Madeira), da Associao Brasileira de Normas Tcnicas (ABNT) est sendo reformulada a fim de analisar e melhor caracterizar as propriedades fsico-mecnicas da madeira e dos sistemas estruturais nos quais esse material empregado, com o intuito de se viabilizarem condies mais adequadas para o dimensionamento do mtodo no mbito dos estados limites.

Os esforos realizados por pesquisadores para o desenvolvimento tecnolgico a partir do conhecimento mais preciso das propriedades da madeira, fundamentam-se na busca por torn-la um material mais confivel como elemento estrutural, diminuindo-se assim as incertezas ou at preconceitos por parte dos profissionais da construo civil com relao sua aplicao.

Para o dimensionamento de estruturas, independentemente dos materiais empregados, o mdulo de elasticidade mostra-se uma varivel imprescindvel no projeto. No entanto a sua determinao, segundo a NBR 7190/1997, restrita a corpos de prova de pequenas dimenses, e isentos de defeitos, e se baseia no ensaio de flexo esttica a trs pontos (Figura 1) com o uso da Equao 1, sendo F um incremento de fora (F50%- F10%), um incremento de deslocamento(50%- 10%), EM o mdulo de elasticidade Longitudinal, L o vo-livre entre apoios e I o momento de inrcia da seo transversal.

Figura 1 - Ensaio de flexo esttica segundo a norma NBR 7190/1997



Em se tratando do clculo do mdulo de elasticidade, um resultado de grande relevncia apresentado no trabalho de Rocco Lahr (1983), que, tendo avaliado a influncia da relao L/h (razo entre o comprimento da pea e sua altura) na determinao do mdulo de elasticidade em peas de madeira serrada, constatou que para razes L/h 21 as deformaes oriundas do cisalhamento podem ser desprezadas. Esse resultado valida as hipteses sobre a Teoria de Vigas de Bernoulli utilizada no desenvolvimento da Equao 1, alm do emprego do ensaio de flexo esttica a trs pontos.

Uma pesquisa experimental comparando valores de mdulo de elasticidade obtidos em corpos de prova isentos de defeitos e em peas serradas de dimenses estruturais foi realizada por Batista et al. (2000). De trs espcies estudadas, duas (Eucalipto e Cambar) apresentaram resultados obtidos nos ensaios de corpos de prova considerados fiis aos obtidos para as peas de dimenses estruturais. Entretanto, o mesmo no pde ser afirmado para a espcie Cupiba, que apresentou, para os modelos reduzidos, valores cerca de 30% inferiores aos modelos estruturais.

Pesquisadores como Pigozzo et al. (2000) estudaram aspectos como o melhor vo-livre para ensaios de flexo em peas estruturais, o nmero de pontos a serem ensaiados em cada pea, a preciso dos valores obtidos e a estimativa do custo desses ensaios para pequenas empresas. Citam que o processo de classificao no consiste em separar as peas livres de defeitos, mas ao contrrio, permitir o maior nmero de defeitos em cada grupo de modo que no desclassifiquem as peas para o uso que se queira.

Min et al. (2004) avaliaram a resistncia e a rigidez de postes de madeira da espcie Eucalyptus citriodora comparando os resultados com os obtidos em corpos de prova isentos de defeitos. Os resultados encontrados mostram que os valores de mdulo de elasticidade so superiores para elementos estruturais nos ensaios de flexo e inferiores nos ensaios de compresso paralela; j os valores obtidos para a resistncia foram superiores para as peas estruturais em ambos os ensaios.

Este trabalho tem como objetivo, apresentar uma metodologia alternativa de clculo, baseada no Mtodo dos Elementos Finitos (MEF) aliada ao Mtodo dos Mnimos Quadrados e ao Mtodo de Newton (com aproximao quadrtica) para a determinao do mdulo de elasticidade longitudinal (E) em peas estruturais serradas de madeira Pinus caribaea, de maneira a se verificarem as diferenas entre os valores de elasticidade encontrados pelo mtodo de clculo aqui proposto com os fornecidos pela norma NBR 7190/1997 adaptada para peas de dimenses estruturais.

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Materiais e Mtodos

Para a determinao do mdulo de elasticidade longitudinal foram utilizadas 24 peas de madeira Pinus caribaea de dimenses 6cm x 16cm x 200cm, respeitando-se a relao L/h21, sendo h=6cm.

O mdulo de elasticidade longitudinal neste trabalho avaliado segundo dois modelos matemticos de clculo, em ambos faz-se o uso do esquema estrutural de flexo esttica a trs pontos e de forma no destrutiva. Para o primeiro, o valor de elasticidade obtido por intermdio da Equao 1 (EM) e, para o segundo, como forma alternativa de clculo, prope-se que o valor do mdulo de elasticidade efetivo (Eef ) seja determinado de acordo com o esquema estrutural de ensaio ilustrado pela Figura 2.

Figura 2 - Ensaio alternativo para a determinao do mdulo de elasticidade efetivo (Eef ).

Para cada ensaio estrutural realizado foram locados trs relgios comparadores ao longo da pea, distantes de L/4 uns dos outros. As leituras dos deslocamentos nos relgios equidistantes dos apoios ao longo das peas de madeira so realizadas quando o deslocamento no meio do vo, em magnitude, aproxima-se da relao L/200, sendo L o comprimento til da pea (distncia entre apoios). Esta uma condio de pequenos deslocamentos estipulada pela norma NBR 7190/1997, garantindo linearidade geomtrica para os elementos estruturais ensaiados.

Para o clculo do mdulo de elasticidade efetivo, foi desenvolvido um programa computacional (Eotm) na Linguagem Mathcad 2000, segundo os fundamentos do Mtodo dos Elementos Finitos (MEF) aplicado ao Princpio dos Trabalhos Virtuais (PTV), contemplando o modelo cinemtico de deformao de vigas de Euler Bernoulli, desconsiderando-se nesses clculos as foras por unidade de volume e de superfcie. Com relao ao emprego do Mtodo dos Elementos Finitos na anlise de estruturas de madeira, alguns trabalhos podem ser citados, como os de Mascia (1991), Parrine et al. (2002), Cheung (2003), Ges (2004), Christoforo (2006) e Christoforo (2011).



O elemento finito de barra aqui utilizado possui dois graus de liberdade por n, sendo uma translao e uma rotao (Figura 3), desenvolvido com o uso de uma funo polinomial do terceiro grau (funo de forma) como aproximao do campo dos deslocamentos.

Figura 3 - Graus de liberdade do elemento finito

Da experimentao, os valores dos deslocamentos obtidos so agrupados na forma de um vetor (U(e)). O programa Eotm, fundamentado no MEF, determina um vetor de deslocamentos numrico (U(n)), tendo como varivel dependente o mdulo de elasticidade do elemento estrutural.

Com posse do vetor de deslocamentos determinados pelo programa e do vetor de deslocamentos experimentais, uma funo construda, fundamentada no Mtodo dos Mnimos Quadrados, cujo objetivo consiste em determinar o valor do mdulo de elasticidade para que o resduo gerado por ambas as solues, numrica e experimental, seja mnimo. Com relao aplicao das tcnicas de otimizao na engenharia de estruturas alguns trabalhos podem ser citados, tais como os de Alvarenga e Antunes (1994), Soares e El Debs (1997), Rigo (1999) e Christoforo (2008).

O mdulo de elasticidade obtido mediante a minimizao da Equao 2 com o auxlio do Mtodo de Newton (Equao 3), sendo (E) a funo objetivo elaborada nos fundamentos do Mtodo dos Mnimos Quadrados, x k a estimativa na iterao k, x k+1 a estimativa na iterao k+1,(xk) e (xk) as derivadas primeira e segunda avaliadas x k.

Objetivando-se empregar a metodologia da NBR 7190/1997 na determinao do mdulo de elasticidade longitudinal tambm para peas de madeira serrada de dimenses estruturais, foram determinados os valores dos mdulos com o auxlio da Equao 1 (EM) e da metodologia de clculo aqui apresentada (Eef ). A verificao da

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equivalncia estatstica entre os valores obtidos do EM e do Eef para as peas estruturais de madeira serrada realizada por intermdio do intervalo de confiana das diferenas entre mdias (Equao 4), sendo a mdia populacional das diferenas, a mdia aritmtica amostral das diferenas, n o tamanho da amostra, Sm o desvio padro amostral das diferenas e t/2,n-1 o valor tabelado pela distribuio t de Student com n-1 graus de liberdade e nvel de significncia .

Resultados

Os valores dos mdulos de elasticidade EM e Eef obtidos para as madeiras Pinus caribaea deste trabalho encontram-se na Tabela 1.

Tabela 1 - Valores dos mdulos de elasticidade EM e Eef (MPa)

A Figura 4 ilustra os resultados do teste de normalidade de Anderson-Darling sobre os valores dos mdulos de elasticidade EM e Eef, sendo os P-valores encontrados ambos maiores que 0,05, comprovando a normalidade dos dados avaliados (MONTGOMERY, 2005).

Figura 4 - Teste de normalidade para os valores dos mdulos de elasticidade



A mdia, o desvio padro e o coeficiente de variao para os valores dos mdulos de elasticidade EM so respectivamente iguais a 7745,54; 1027,07 e 0,13. A mdia, o desvio padro e o coeficiente de variao para os valores dos mdulos de elasticidade Eef so respectivamente iguais a 7892,96; 1119,95 e 0,14.

O intervalo de confiana entre os valores do EM e Eef -772,16 477,33 e, como o zero pertence ao intervalo, afirma-se que estes so estatisticamente equivalentes (MONTGOMERY, 2005). A Figura 5 ilustra graficamente o intervalo de confiana obtido entre os valores dos mdulos de elasticidade.

Figura 5 - Intervalo de confiana entre os mdulos de elasticidade EM e Eef

Concluses

A presente metodologia mostrou ser de fcil empregabilidade, por ser mais confivel para os valores dos mdulos de elasticidade, j que est fundamentada em mnimos quadrados.

A restrio dos deslocamentos (linearidade geomtrica) confere presente metodologia carter no destrutivo, mostrando-se interessante pela possibilidade de uso da pea depois de ensaiada.

A relao L/h21 permitiu o emprego adequado da teoria de vigas de Euler Bernoulli (ROCCO LAHR, 1983), utilizada no clculo dos mdulos de elasticidade EM e Ef , possibilitando o emprego do ensaio de flexo esttica a trs pontos mesmo no sendo nulo o esforo cisalhante abaixo do ponto de aplicao da fora.

Os resultados do teste de Anderson-Darling sobre os valores dos mdulos de elasticidade confirmaram distribuio normal dos dados, validando os resultados encontrados sobre o intervalo de confiana, acusando equivalncia estatstica.

Para as madeiras Pinus caribaea aqui avaliadas, constatou-se que a metodologia proposta pela norma Brasileira NBR 7190/1997, adaptada para peas de dimenses estruturais e ensaio no destrutivo, foi capaz de fornecer resultados para os mdulos de elasticidade equivalentes aos advindos da abordagem alternativa de clculo. Entretanto,

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vale ressaltar que esses resultados so vlidos apenas para as madeiras avaliadas, podendo ser diferentes para outras madeiras de mesma ou de diferentes espcies, justificando o emprego da presente metodologia.

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Artigo recebido em 18 jun. 2011Aceito para publicao em: 21 mar. 2012

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