1. Misure di potenza in circuiti in continua

La potenza elettrica (P) dissipata su di un carico (L) alimentato da una sorgente in continua(E) è data dal prodotto tra la caduta di tensione sul carico (VL) e la corrente che fluisce in esso

(k):p = VL xII.. (1)

Consegllentèmente, la misura di potenza in un circuito in continua può in genere essereottenuta utilizzando un voltmetro (V) ed un amperometro (A) seguendo uno degli scherni diFig. 1 (a o b). Nello schema di Fig. la,l'amperometro misura anche la corrente che fluisce nelvoltmetro. AI contrario, nella configurazione di Fig. l b, questo errore è evitato, ma il voltmetromisura anche la caduta di tensione suWamperometro.

Quindi in entrambe le configurazioni viene misurata una potenza maggiore di quellaassorbita dal carico; il relativo errore di misura viene generalmente indicato come errore diinserzione o di consumo.

E L E L

(a) (b)~" Fig. 1

I, la corrente misurata dall'amperometro nella configurazione di Fig.la;V, la tensione misurata dal voltmetro nella configurazione di Fig.l b;;

le resistenze interne del voltmetro e dell'amperometro rispettivamente;

A vendo indicato con......

la resistenza del carico;la corrente che fluisce nel voltmetro (Fig. l a);la caduta di tensione sull'amperometro (Fig. lb);

Iv. rispetto ad I;VA. rispetto ad V,

si ha per le.,çonfigl.lrazioni di Fig.la e l b rispettivamente; .

~-~- RL.1=1 -R 'L V

Queste relazioni consentono una correzione analitica degli erroridalla conoscenza del (i) valore della resistenza sul carico e (ii) delìntema del voltmetro (Fig.la) o di quella interna del1'amperometrosuccitate approssimazioni si ha:

(per lo schema di Fig. la)

~

MISURE DI POTENZA

VA - VA - RA

V=V-R.L L

(2)

di inserzione a partirevalore della resistenza(Fig.lb). Infatti, con le

Lo strumento più comunemente utilizzato per di potenza è il wattmetroelettrodinamico composto da (i) due avvolgimenti connessi in serie e collegati inposizione coassiale e con uno spazio tra loro e (ii) un avvolgimento mobile, situato tra i duefissi ed equipaggiato con un indice (Fig. 2).

B

Alimentazione in DC

Avvolgimentomobile

Avvolgimento Ry Avvolgimentofi~ fi~

A

C

~"

Fig. 2

La coppia motrice risulta proporzionale al prodotto delle correnti che scorrono nei dueavvolgimenth-'gli avvolgimenti fissi, detti amperometrici, sono interessati dalla corrente sulcarico mentre quello mobile, detto voltmetrico, porta una corrente che è proporzionale, tramitela resistenza Rv, alla caduta di tensione sul carico RL. Di conseguenza la deflessionedell'indice è proporzionale alla potenza dissipata sul carico.

A causa degli errori di inserzione precedentemente descritti i valori di potenza dissipata dalcarico possono essere valutati come:

PL = P - FRr (5)dove Rr è la resistenza dell'avvolgimento amperometrico (configurazione di Fig. la), o

come.

dove R.. è la resistenza dell'avvolgimento voltmetrico (configurazione di Fig. l b).

2. Misure di potenza in circuiti in a.c.

2.1 Definizioni

~

(3)

(4)

Rl

(6)

2

Tutto quanto sin qui detto è relativo a circuiti alimentati in continua. In circuiti alimentati inalternata, la R<?tenza elettrica, definita come prodotto tra la caduta di tensione su di un caricopredefinito e la' corrente che fluisce in esso in funzione del tempo

p(t) = v(t) * jet) (8)

viene definita come potenza istantanea. Nei circuiti in a.c. si è principalmente interessati alvalore medio del1a potenza istantanea in un determinato intervallo di tempo. In circuitialimentati da tensioni periodiche è rilevante definire la potenza media dissipata in un periodo T(potenza attiva) come:

l TP =- J p(t)dt

ToIl caso piÙ semplice riguarda un generatore sinusoidale che alimenta un carico puramente

resistivo. In questo caso, v(t) e i(t) sono in fase e per) è data da:p(t) = V*I*[I-cos(2rot)] (lO)

in cui:. V e I sono i valori efficaci di v(t) e i(t), rispettivamente;. CI) è la velocità angolare dell' alimentazione.La potenza elettrica dissipata sul carico è data da un valore costante V*I piÙ una quantità

oscillante a ffèquenza doppia di quella dell'alimentazione. Conseguentemente, il valor mediodella potenza, in un periodo è semplicemente pari al prodotto V*I (potenza attiva). In questocaso, tutte le considerazioni fatte per la misura di potenza nei circuiti in continua sono ancoraapplicabili con riferimento alla misura di potenza attiva purché si sostituiscano i valori ditensione e corrente con i colTispondenti valori efficaci. .

Nel caso di circuiti puramente reattivi si ha: la caduta di tensione ai capi del carico e lacorrente che SCOlTe in esso sono sfasate di 90 gradi. La potenza istantanea p(t) è data da:

p(t) = V*I*sin(2cot) (Il)La potenza media (o attiva) dissipata in un carico reattivo in un periodo dell'alimentazione è

zero a causa delJo sfasamento introdotto dal carico tra tensione e corrente.In questi casi semplici di carico puramente resistivo o reattivo. il carico può essere

espresso tramite un numero reale o immaginario. Più in generale il carico è espresso tramite unnumero complesso. In questo caso. l'impedenza del carico può essere rappresentata tramite ilsuo circuito equivalente consistente, ad esempio, nella serie di una pura resistenza e di unapura reattanza (induttiva o capaciti va). Con questa rappresentazione in mente, la potenzaelettrica dissipata su di un carico ZI. (Fig. 3) può essere espressa dalla somma dellecomponenti d~ potenza dissipate separatamente sulla resistenza equivalente REQ e sullareattanza XEQ del circuito equivalente di ZI..

i"~..."."..."...""".1 ~: : L. VXt;Q-i1 R"Q H XEQ ~ q> )

~... ... ."On. n..! VRI:Q IL

Fig. 3

Considerando che sulla reattanza non vi è dissipazione di potenza attiva si ha:p = VREQ*IL = VL *IL *cos«p) (I2)

Il termine cos«p) che appare nella (12) prende il nome di fattore di potenza. Esso tieneconto del fatto che solo una frazione della tensione VI. dà contributo alla potenza. infatti la sua

(9)

3

~

..

componente VXEQ (caduta sulla reattanza) non produce alcuna potenza attiva essendo ortogonalealla corrente 1.. che scorre nel carico.

Gli effetti del fattore di potenza su Canne d'onda di potenza istantanea (P), tensione (v) ecorrente (i) è illustrata in Fig. 4. Osservando gli andamenti relativi di tensione e corrente neglistessi istanti si può dedurre che il loro prodotto avrà un valore medio (i) non-nullo, solo seesiste una differenza di fase, e (H) in particolare, proporzionale a tale sfasamento.

(13) Il tennine: p A = VL *IL

è detto potenza apparente, mentre il tennine:

Q = VXEQ.I\. - VI. *I\. *sin«p} (14)".

è detto potenza reattiva poiché rappresenta una quantità, ctimensionalmente omogenea conuna potenza, ottenuta come conseguenza della caduta di tensione su di una pura reattanza e che,perciò. non da alcun contributo alla potenza attiva. Dalla Fig. 3, è possibile dedurre larelazione esistente tra potenza apparente, potenza attiva e potenza reattiva:

PA =.Jp2 +Q2 ~.. (15)

I wattmetri costmiti per operare in circuiti in a.c. sono progettati per poter integrare lapotenza istantanea secondo la (9). Gli errori di inserzione possono essere derivati in manieraanaloga al caso in continua. Tuttavia in a.c., nasce un errore di fase dovuto alla caratteristicanon puramente resistiva dell'avvolgimento voltmetrico. In regime puramente sinusoidale, se Ewè la fase della impedenza dell'avvolgimento e cos(q» il fattore di potenza del carico, l'errorerelativo nella misura di potenza attiva risulta pari ad Ewtg(q».

Nel caso piÙ generale di grandezze deformate, la rappresentazione simbo1ica sin quiutilizzata non può più essere utilizzata. In ogni caso, la potenza attiva è sempre definita come lapotenza media dissipata in un intervallo di tempo.

Per quanto"t;iguarda i metodi e gli strumenti per le misure di potenza in a.c., è utile fare unaclassificazione tra i circuiti. Infatti nascono problemi differenti al crescere della frequenzadell'alimentazione. Perciò è possibile suddividere i circuiti in a.c. in (i) circuiti alla frequenzaindustriale, (ii) circuiti a media e bassa frequenza (fino ad alcuni MHz) e (iii) circuiti in altafrequenza (fmo ai GHz). I circuiti a frequenza industriale sono esaminati separatamente daquelli a bassa frequenza principalmente perché esistono alcune peculiarità legate a misure sucircuiti trifase. ] circuiti di tipo (iii) non verranno qui approfonditi.

2.2. Misure di potenza a media e bassa frequenza.

Fig.4

4

2.2.1 Metocl.o dei tre voltmetri

La potenza dissipata su un carico L può essere misurata utilizzando un resistoreanti-induttivo R e misurando tre tensioni come mostrato in Fig. 5. Sebbene uno di questi trevoltmetri può sembrare in prima battuta ridondante, in realtà servono tre misure indipendentiper valutare la potenza dall'eq. (12). In particolare, dalle cadute di tensione VAB e VBC, possonoessere valutate direttamente la COlTente e la tensione; v AC è necessario per ottenereinformazioni sulla 1oro fase relativa.

Trascurando le correnti derivate dai voltmetri e detta k la corrente sul carico L. si ha:VAC = VL +RiL

VAC2 = R2k2 + VL 2 + 2RvdL (16)

dove le lettere minuscole indicano i valori istantanei. Calcolando i valori efficaci (indicatile lettere maiuscole) si ottiene la potenza PL;

La (17) è la stessa anche in continua, sostituendo i valori efficaci con quelli in continua.Poiché il risultato è stato ottenuto come differenza, nascono problemi quando i tre terminihanno una somma quasi nulla, in quanto l'errore relativo tende aWinfinito.

2.2.2 Wattmetri tem1ici

Il principio del wattmetro termico è nell 'uso di due termocoppie gemelle. La potenza attivap è ottenuta tramite una misura della tensione continua e tra le due tennocoppie. Uno strumentobasato su questo principio può raggiungere incertezze fino alI'] % sino ad 1 MHz.

Adottando soluzioni basate su tecniche di retroazione. non sono necessarie correzioni percompensare la non linearità delle termocoppie, e, utilizzando due tennocoppie gemelle sìottiene un notevole miglioramento delle prestazioni. .

Si ottengono infatti incertezze minime di lO pprn e campi di frequenza fino ad 1 kHz.

2.2.3 Wattmetri basati su moltiplicatori

I processi di moltiplicazione e mediaessere svolti da componenti elettronici.

Fig. 5.

T T T T

..;.. f VAc2dt ~..;.. f R2iL 2c!t +~ f VL 2c!t +~ J 2RVLiLdt. O O .2 2 ( RIL 2)V,.,C -VL =2R PL+T

V"C2 _R2j2L - VL2PL = 2R

(17)

(Fig. 6) coinvoJtj nella l11ìsura di potenza possono

5

~

,

kJ v(t)kp(.)

Condizionamen. ~j(t' MoltipUcator Media

kP

Display

I wattmetri elettronici possono essere suddivisi in due categorie a seconda se le operazionidì moltiplìcazione e di media siano effettuate in maniera discreta o continua.

Nei metodi "continui", le moltiplicazioni sono effettuate da moltiplicatori analogici. Neimetodi "discreti", wattmetri a campionamento prelevano contemporaneamente campioni delleforme d'onda di tensione e corrente, li digitalizzano ed effettuano quindi le operazioninecessarie utilizzando tecniche digitali.

2.2.3. I Wattmetri basati su moltiplicatori analogici

I principali moltiplicatori analogici sono Ci) a quattro quadranti. (H) a divisione di tempo(TDM), e (iii) ad effetto Hall.

Wattmetro basato sul moltiplicatore a Quattro quadranti'°'0

Il più semplice dei wattmetri a moltiplicatore analogico è mostrato in Fig. 7. Esso consistein due sezioni di condizionamento, un moltiplicatore a quattro quadranti che processa tensionee corrente e dà la potenza istantanea ed un integratore che fornisce la potenza media

~"

Fig. 6

6

,

~

Wattmetro basato su un TDM

".

<'"

Lo schema a blocchi di un wattmetro a divisione di tempo è mostrato in Fig. 8. Vienegenerata un'onda quadra Vm (Fig. 9a) di periodo costante Tg, e duty cycle ed ampiezzadeterminate da i(t} e v(t), rispettivamente. Se Tg è molto piÙ piccolo del periodo dei misurandiv,Jt) e Vy(t), tali tensioni possono essere considerate costanti durante tale intervallo di tempo.

Il duty cycle di Vn1 è fissato da un circuito modulatore della durata degli impulsi (Fig. 8). Latensione triangolare Vg(t) (Fig. 9b) viene confrontata con la tensione vy(t) proporzionale a i(t)ed viene così determinato un intervallo di tempo ~ la cui durata è proporzionale a Vy(t). Se

da semplici considerazioni geometriche, si ottieneTg v)'Tg Tgt2=2(---) e ti -t? =-Vy. (19)4 4Vgo - fI:~o

L'ampiezza di vm(t) è fissata da un circuito modulatore dell'ampiezza dell'impulso. L'ondaquadra in uscita del modlliatore deIla durata dell'impulso pilota l'uscita vm(t) dell'interruttoreSW in modo elle sia uguale a +vx durante l'intervallo di tempo ti, ed a -vxdurante !intervallo ditempo Ì2 (Fig. 9a).

Quindi la tensione VO~lt(t) in uscita al filtro passa basso è pari al valor medio di vm(t):

VI:b)

':l~

-VX

Vg( t) = 4Vgo t

Tg

O::; t ::; Tg

4dove ( 18)

7

~~

l iTg (ru rIlHZ )VOU! = - Yn,(t}dt = K1 JI y,,(t)dt - J, vx(t)dt = K'v,,{tl- t2) = KvxYy.Tg o o Il

Il limite in alta frequenza di questo wattmetro è dete11l1inato dal filtro e deve essere inferiorea metà del frequenza del segnale Y g(t). Il limite in frequenza è generalmente tra 200 Hz e20 kHz, e puq.,~lTivare sino a 100 kHz. L'incertezza tipica e di 0.01-0.02%.

Wattmetri ad effetto Hall

IlIv

Ili ~

Y V B

L l

Rv

Rv

Fig. 10a Fig.lOb

Come noto, in un trasduttore ad effetto Hall la tensione VH(t) è proporzionale al prodotto didue grandezzé-Yempo varianti:

VH(t) = RH. i(t). B(t), (21 >-dove ~ è la costante di Hall, i(t) è la corrente che passa attraverso il traduttore, e Bet) è

La potenza P è determinata misurando VH(t) attraverso un voltmetro aconsiderando che vx(t) = a. jet) e

1 rT 1lT

p:::: T Jov~t). j,(t)dt::: abT oi(t) .B(t)dt:::: RH, Vii (22)

dove T è ìl periodo del misurando.Nella configurazione abituale il moltiplicatore di Hall, mostrato in Fig. lOa, l'induzione

magnetica è proporzionale alla corrente sul carico e la corrente di polarizzazione ottimale iv èfissata da un resistore R". Per valori di frequenza superiori al GHz, la piastrina di Hallposizionata direttamente nella guida d'onda in modo da sentire

l'induzione magnetica.valor medio con alta impedenza di ingresso eix ( t) = b . B( t) ) dove a e b sono fattori di proporzionalità:

il campo magnetico.Considerando la variabilità della costante di Hall col tempo e con la temperatura, è spessonecessario un calibrazione del dispositivo.

Fino al GHz, è possibile un arrangiamento alternativo, riportato in Fig. 10b, in cui lacorrente del ..carico IL scorre direttamente nella piastrina di Hall, fungendo da corrente dipolarizzazione, ed il campo magnetico è generato dalla tensione v. In questo modo, perapplicazioni a frequenza industriale, con tensione di ampiezza costante e conente variabile,],inflllenza della temperatura è minore. Con tale soluzione si possono raggiungere incertezzefino allo 0.1 %.

(20)

è

8

~~

.'

2.2.3.2 Wattmetri basati su moltiplicatori digitali

Wattmetri a campionamento

~"

Il wattmetro più importante di quelli che operano su campioni discreti è quello acampionamento. E' composto essenzialmente da due canali analogico-digitali, costituiti da uncondizionamento (C), un sample and hoJd (StH) ed un convertitore analogico-digitale (ADC),da un moltiplicatore digitale (MUL), un sommatore (SUM), un divisore (DIV), ed una unità divisualizzazione (DISP). L'intero strumento è gestito da un opportuno processore,

Se i campioni sono equispaziati, la potenza attiva è valutata come media delle sequenze deicampioni di potenza istantanea p(k):

l N'-I l N'-!P = N.Lk.Op(k)=N.Lk80 v(k}.i(k) (23)

dove N* rappresenta il numero di campioni in un periodo del segnale di ingresso, Una stimapreventiva del periodo della fondamentale è effettuata per aggiustare )'intervallo dellasommatoria dell'eq.(23) eJo il periodo di campionamento al fine di effettuare uncampionamento sincrono. n periodo di campionamento può essere variato utilizzando unoscillatore controllato in tensione pilotato dal segnale di ingresso. In alternativa, il contributodell'errore di campionamento può essere ridotto effettuando la media su un elevato numero di

~(k)=.LVI +c k=l,2,...,N (24)i~1

Una strada alternativa per ottenere la potenza media consiste nel considerare le componentiarmoniche di tensione e CO1Tente nel dominio della frequenza utilizzando la FFT.

't.

9

. .

2.3. Misure di'potenza a frequenza industriale

Per applicazìoni a frequenza industriale dove la potenza viene direttamente fornita dalla retedi alimentazione. l'assunzione che la sorgente sia a potenza infinita è lecita così come almenouna delle due grandezze, tensione o cocrente, può essere considerata come sinusoidale. In talcaso, la definizìone di potenza come prodotto tra tensione e corrente implica che può esseereesaminata solo la potenza connessa con la fondamentale.

2.3.1 Misure in circuiti monofase

Le misure di potenza in drcuiti monofase a frequenza industriale sono effettuate seguendo imetodi ed utilizzando gli strumenti precedentemente descritti. In applicazioni pratiche, hanotevole interesse il caso di tensioni superiori ai 1000 V; le misure vengono effettuateutilizzando TA e TV come nell'esempio di Fig. 12. L'incertezza relativa vale:

~ = (17.,. + 71 + 1JJ + (Ew + Eu + ~,)tg~ (25)

dove T\w e-;tw sono le incertezze strumentali e di fase del wattmetro, T\a e T\v sono gli errori

'.,.

Fig.12Se la corrente su) carico supera i 5A deve essere usato un T A anche per basse tensioni.

2.3.2 Misure in circuiti Dolifase

I circuiti trifase sono i circuiti polifase più diffusi nelle applicazioni industriali di interessepratico. Nel seguito verranno analizzati i seguenti casi: (i) sistemi simmetrici ed equilibrati,(ii) sistemi a tre fili, (iii) misure basate su due wattmetri, (iv) sistemi squilibrati, (v) misurebasate su tre wattmetri, e (vi) sìstemi a media tensione.

lO

~

. ,-

2.3.2.1 Misure su sistemi a piÙ fili

Si consideri una rete con tensione e corrente sinusoidale avente n fili.

"I)i =0

0°'. l (26)La rete può essere vista come composta da n-l sistemi monofase indipendenti, con un

ritorno comune su un qualunque filo (ad esempio rs-mo filo). Di conseguenza, la potenzaassorbita può essere misurata come somma delle letture di n-l wattmetri, ognuno inserito conl'amperometrica SlI un filo differente e con il circuito voltmetrico tra tale filo e l's-mo(Fig. 13):

ti-I

p = I,(Ji;s xii)l,

La potenza assorbìta può essere anche misurata con riferimento ad un qualuninterno od esterno alla rete. In tale caso, la potenza assorbita sarà la somma delle lwattmetri ognuno inserito con l'amperometrica su di un filo differente evoltmetrico tra tale filo ed il punto O:

Il

p = L(~o x i;))

O.h

L

2

3

L

.

"

Fig. 13

2.3.2.2 Misure di potenza su circuiti a tre fili

La potenza ' attiva in un sistema trifase può essere in generale valutata tramite tre wattmetriconnessi come in Fig. 14.

Per ognuno dei wattmetri. il circuito amperometrico è connesso su una fase ed il circuitoyoItmetrico è connesso tra lo stesso conduttore ed lIn centro stella a11ificiale O, la cui posizioneè fissata dalle impedenze delle voltmetriche dei wattmetri o tramite opportune impedenze

condizioni, la potenza assorbita sarà data dalle somma delle indicazioni dei tre

scorrono in tali fili sussiste la relazione:

esterne.In tali

wattmetri:

.".

Tra le correnti che

(27)quefunto Oettbre di n

con il circuito

(28)

(29)p=

11

~

. ..

'"

Se il sistema trifase è a quattro fili (trifase con neutro), il neutro può essere utilizzato comeconduttore comune.

2.3.2.3 Sistemi simmetrici ed equilibrati

In Fig. 15 sono mostrate le tre possibile inserzioni di uno strumento S (sia wattmetro sìavarmetro). La prima (Fig. l5a) è stata descritta nel paragrafo precedente; se S è un wattmetro,Ha potenza attiva totale è pari a tre volte la sua indicazione, analogamente per la potenzareattiva se è un vam1etro.

~"

Le altre due inserzioni sono caratterizzate dalle seguenti convenzioni: SUk indica una letturadi un wattmetro la cui amperometrica è connessa alla linea 'i' e la cui voltmetrica è connessatra le fasi T e 'k'. Se 'i' è uguale a ~', una delle due viene omessa (per esempio, la notazione Pt2di Fig. l5b). La potenza attiva assorbita da una singola fase è di solita indicata come p l'

La lettura d.~l wattmetro di Fig. 15c è uguale alla potenza reattiva Q I della fase l> a meno di

un fattore .J3. Di conseguenza, in caso di sistema simmetrico ed equilibrato, l'intera potenzareattiva è data da:

Infatti abbiamo. Q == 3. QI = 3. P1I231/ Jj = f3 . p. 1(23)

(30)

12

~~

~"

ma:

\112+'\123+\131=0\113 = -\131

{ il X vI:! = ~:!. . ~ P1(23) = PI3 - P12/, X vI.! = ~J

In maniera analoga, possono essere dimostrate le seguenti relazioni,tipo di sistema:

Se il sistema è simmetrico si ha

Infatti, par.t~ndo dalle relazioni:

dove ~ = 90° -q> l ' si ha

In maniera analoga, possono essere ricavate espressioni simili per

particolare, dnilque:

'.,.

Pl{23J = il X \123 (32)

~(23) = il X (- Vn - V.H)

P1(23) = -il X "12 + il x "13

~

~

valide per qualunque

PJ(Z31 = P13 - P1Z

PZ(311 = P21 - P23

P3O21 = P32 - P31 (33)

P1(23) = J3 .Ql

(34)Pl{23} = il X \/23 = Il V23 cos~PJ(23} =.J3 o El . I, osinq>l =.J3 .Ql

PZ(31) e P3(12)- In

P1C23} = J3 . Ql == Pl3 - PI2

P213J} =.J3.Q2 =P21-P23P3C12) ==.f3. Q3 = P32 - P31 (35)

13

2.3.2.4 Misure di potenza con due wattmetri

L'intera potenza assorbita da un sistema a tre fili può essere misurata utilizzando solo due

In manieravannetri:

Q= Q12 + Q32

Q=~+~3 D~Q = Q31 +QZl

Il teorema di Aron è applicabile per ogni tipo di alimentazione e carico. purché il sistemasia a tre fili. In caso di sistemi simmetrici ed equilibrati esso cons.ente anche una misura dellaDotenza reattiva totale:.

Q=-fj.(PJ1-~2) (38)Usando le equazioni (36) e (38) è possibile valutare il fattore di potenza:

L'inserzione Aron non può essere utilizzata quando il fattore di potenza è basso. Infa tti,considerando le funzioni (Fig. 17):

si può affermare che: (i) per <p S 60°, P12 e P32 sono entrambi maggiori di zero; (il) per

~ > 60°, CO~ <p- 30) è ancora maggiore di zero mentre co~ <p+ 30) è minore di zero.L'errore assoluto nella misura di potenza attiva vale:

(36)

reattiva può essere misurata utilizzando solo due

(39)

P'2co~q>+30) = VI(40)

Pj2CO~ c'p- 30) = Ti]

14

: 000 00

~,o,::::>,o:.:..:~:.oo:

P- Ò(P12 + P32) "p + Ò(P,2 + P32) LlP = LlP + LlP (41)Li - '" t2 ~ 32 12 32

aP12 32

Il corrispondente errore relativo cresce quando Pl2 e P32 hanno valori prossimi l'un J'altro esegno opposto; in particolare per cosq> == O (q> == 90°) l'errore è infinito.

Se ilw e E:w sono gli errori di ampiezza e fase del wattmetro, l'errore nella misura dellapotenza:

", ..1P = (17w+Ewtg9'12)P12+(1Jw+E:wtg9'32)P32 =1Jw+Ew Q (42)P P12 +P32 p

Se si hanno due wattmetri con valori nominali Va, lo, cosl'po> e classe c, il massimo erroreassoluto in una lettura è:

~ cVolo COS% cVoIo COS% )- == == 1.11 (44P .[jVI cos<p VI cos <P

circa pari all'errore che si avrebbe utilizzando un solo wattmetro per una misura su di uncircuito monofase con gli stessi valori di I, V e cosq>. Di conseguenza, nelle stesse condizioni,l'uso di due wattmetri è caratterizzato da un'incertezza significativamente minore rispettoall'uso di tre wattmetri. Tuttavia, in circuiti a basso cosq>, è necessario utilizzare tre wattmetria basso cos<p.

Se l'inserzione Aron è effettuata insieme all'uso di TA e TV, caratterizzatì da errori dirapporto t'\a e l1v, e di fase Ea ed Ev, l'errore nella misura della potenza attiva vale:~..

.1P - (17TOT +8TOTtg9'12)P12 + (11TOT + ETOTtg9'32)P32 = n + p- Q = 17TOT + erOi . tg4>ç (45)

-- - "'TOT ""TOT P

P P'Z+P32

dove:cos<l>c è il fattore dì potenza, e'11TOT = llw + 11a + l1vETOT = Ew + ea + Ey

con T\w Ew gli errori del wattmetro.

2.3.2.5 Sistemi simmetrici e squilibrati

Se il carico e squilibrato, le ampiezze delle correnti sono diverse ed esse non sono sfasatetra loro di 1200.

Possono essere utilizzati, in questo caso, due wattmetri ed un voltmetro connessi comeproposto dal Barbagelata (Fig. 18). Il primo wattmetro misura P]2 e P13; il secondo P31 e P32'

Dal teorema di Aron:

(43)

15

Quindi, si ottengono potenza attiva e reattiva con solo quattro misure di potenza.I maggiori svantaggi di questo metodo sono nel fatto che le quattro misure non

contemporanee; conseguentemente eventuali variazioni del carico causano perditaprecisione. ~"

E' possibile utilizzare in alternativa una connessione proposta dal Righi (Fig. 19).

I tre wattmetri connessi come in figura danno simultaneamente P12, P32' e P2{31)' E' possibile

dimostrare che la potenza reattiva vale:

Per sistemi'.simmetrici e squilibrati è possibile un'ulteriore inserzione con due wattmetri(Fig. 20).

I wattmetrì danno:

p., .

La potenza reattìva totale vale dunque:

2.3.2.6 Inserzione con tre wattmetri

(46)

(47)

sonoIII

lQ = J3 [~3 - ~2 + ~I - ~3 + P32 - P31 J (48)

. . -. \112 X i == - QI2Pl(30) ::: E3 xII - J 13 l J3

(49)

v . Q32. . - .~xI =-

P3(1O) == EI X 13 - J 13 3 J3

Q = Q12 +Q32 =.J3[ -PI(30) + P3(1O)] (50)

16

~

2.3.2.7 Inserzione di tre wattmetri in circuiti in media tensione

In maniera analoga a quanto mostrato per circuiti monofase, in media tensione l'iserzione ditre watt metri i:,modificata come mostrato in Fig. 22.

".2.3.2.8 Guida alla scelta del metodo

Per sistemi a tre fili. è possibile seguire il grafo di flusso di Fig. 23 per essere guidati nellascelta del metodo più adatto alle caratteristiche del sistema.

Fig. 22

17

.'.,,-,... .' """'.';" "

"'.

'" 18

~~

Fig. 23