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Misure statistiche sulle particelle
“Un elettrone si muove in una regione di spazio…”
In realtà, negli esperimenti reali, abbiamo sempre a che fare con fasci di particelle
A questo scopo, gli elementi An di un insieme A ⊆ Ωsono soggetti a un’operazione di misura di una o più
grandezze fisiche (osservabili).
1.c Misure statistiche sulle particelle
E1
E2E4
E5
E6
A
Ω
E3
La statistica analizza sperimentalmente le proprietà di un insieme di oggetti
Definizione Esempio
Ω = En Popolazione statistica Insieme di tutti gli Italiani
En Unità statistica un Italiano
A = An Campione statistico Un gruppo di ItalianiMisura di x Osservazione o rilevamento Misura dell’altezza
x Variabile aleatoria Altezza
Risultato del campionamento An → xn Tabella con l’altezza
di ciascun soggetto
x
Cn
I risultati del campionamento sono descritti
da un istogramma
a b
bin
a = min An
b = max An
L’intervallo [ a, b ] è diviso in parti uguali. Ciascuna parte è detta bin.
Cn è il numero di misure che cadono nel bin n-mo.
Il numero totale di misure N è dato da
La frequenza statistica del bin n-moè data da
∑=n
nCN
1.c Misure statistiche sulle particelle
N
Cf nn =
osservaticasiditotaleNumero
favorevolicasidiNumerofn =
1.c Misure statistiche sulle particelle
Campionamento statistico del
peso di alcuni oggetti.
Effetto del binning.
La scelta del binning è arbitraria
Binning troppo largo: si perdono dettagli sulla distribuzione dei valori
Bining troppo stretto: in ciascun bin cadono pochi valori, o addirittura nessuno
Valore atteso
Gli stimatori statistici danno la migliore possibile valutazione sperimentale dei parametri teorici di una distribuzione
di probabilità.
nn
N
1n
px∑=
=µParametro ( ) n
2
n
N
1n
2 pxx −=σ ∑=N
npn =
( ) n
2
n
N
1n
2fxx
1N
Ns −
+= ∑
=nn
N
1n
fxm ∑=
=Stimatore
statistico N
Cf nn =
n
N
1n
xN
1m ∑
=
= ( )2n
N
1n
2xx
1N
1s −
+= ∑
=
Stimatore con
binning minimo
media varianza campionaria
Binning minimo: partizione per la quale n1fn ∀≤ Fattore correttivo statistico
1.c Misure statistiche sulle particelle
1.c Misure statistiche sulle particelle
Le misure statistiche
Esistono due diversi modi di eseguire un campionamento statistico di una grandezza fisica:
1. Si analizza ripetute volte lo stesso sistema fisico, ottenendo una misura per ciascun ciclo ;
2. Si analizzano varie copie dello stesso sistema fisico, ottenendo contemporaneamente tutte le misure.
L’insieme delle copie del sistema è detto “ensamble” (francese).
x1, t1
x2, t2
xN, tN
x1
x2
xN
In Fisica l’analisi statistica di ensamble è molto vantaggiosa perché spesso si è in grado di avere copie
intrinsecamente uguali del sistema (copie di atomi, di molecole, ecc.).
L’assunzione di base della Meccanica Statistica è che esistano molte situazioni in cui i due diversi metodi
portano esattamente lo stesso risultato.
Esempio:la velocità media (temporale) di una molecola di gas è uguale alla velocità media (statistica) delle molecole del gas.
1.c Misure statistiche sulle particelle
I fasci di particelle
In molte situazioni sperimentali si ha a che fare con un insieme di particelle che si muovono insieme all’interno di
una superficie geometrica ideale, detta tubo di flusso.
Nel caso più semplice il tubo di flusso è un cilindro, ma più in generale non è necessario né che abbia sezione
circolare, né che l’area della sezione sia uniforme.
Similmente, nel caso più semplice le particelle sono distribuite uniformemente e hanno velocità uguali, ma più in
generale questi parametri possono variare e può essere conveniente introdurre la densità media e la velocità
media delle particelle:
N
v
v;V
Nn i
i∑==
r
r
I fasci di particelle sono un esempio di ensamble statistico.
E’ perciò possibile (ed è anche frequente) che si effettuino misure sui fasci per determinare le proprietà statistiche
delle particelle.
I parametri di un fascio di particelle cariche (elettroni, protoni, ioni, ecc.)
1.c Misure statistiche sulle particelle
L’intensità è l’energia media che attraversa l’unità di superficie nell’unità di tempo
oppure
L’intensità è la potenza media che attraversa l’unità di superficie
∆Σ∆
Σ=
Σ=
mecEt
N
ViP
I
Corrente e tensione del fascio sono parametri macroscopici
Numero di particelle ed energia meccanica di ciascuna
particella sono parametri microscopici
La Fluenza è pari al numero medio di particelle per unità di superficie
Il Flusso è pari al numero medio di particelle per unità di superficie e di tempo
[ ] 12 smt
N −−=Φ⇒∆Σ
∆=Φ
[ ] 2mFN
F −=⇒Σ
=
Σfascio
Mappe di fluenza e distribuzioni di probabilità
1.c Misure statistiche sulle particelle
La probabilità che una particella incida sulla superficie di area ∆Α è:
( )
totN
AN
possibilicasideiNumero
favorevolicasideiNumerop
∆==∆
( )
totN
AAF
totalenell'areaparticellediNumero
Anell'areaparticellediNumero ∆=
∆
Sperimentalmente si può determinare una frequenza statistica:
La stima sperimentale della distribuzione di probabilità è quindi data da: ( )( )
AN
AFAAp
tot
∆=∆
∆A
ΣQuesta mappa in falsi colori rappresenta la fluenza di
particelle su una superficie Σ.
La mappa della distribuzione di probabilità differisce
totN
1solo per la costante moltiplicativa
Sperimentalmente, si può ottenere una mappa di
fluenza con un rivelatore a pixel.
In questo caso, ∆A è l’area di un pixel e Ntot il numero
totale di particelle incidenti sull’intero rivelatore.
Esempio di confronto tra aspettative teoriche e valutazioni inferenziali
N = “somma dei punteggi nel lancio di 3 dadi”
Confronto tra Distribuzione di Probabilità e Inferenza statistica dopo 50 lanci di 3 dadi
1
1.d Misure statistiche sulle particelle.
Esercizi e complementi.
Esempio di confronto tra aspettative teoriche e valutazioni inferenziali
N = “somma dei punteggi nel lancio di 3 dadi”
2
1.d Misure statistiche sulle particelle.
Esercizi e complementi.
I fasci di elettroni di bassa energia vengono generalmente prodotti da versioni più o meno sofisticate del cannone
elettronico inventato da Thompson
Caratteristiche misurabili del fascio:
Tensione di fascio V (voltmetro V)
Corrente di fascio i (amperometro A)
Area dello spot Σ
1.d Misure statistiche sulle particelle.
Esercizi e complementi.
1
Fasci di elettroni e protoni
I fasci di elettroni e protoni di alta energia sono prodotti dagli acceleratori.
Esistono vari tipi di acceleratori, che si differenziano per le proprietà dei fasci che è possibile ottenere.
Acceleratori LINAC
Gli elettroni sono accelerati da una serie di
elementi disposti in linea retta
Anelli di accelerazione
Gli elettroni sono accelerati da una serie di elementi
disposti su una circonferenza. Sono necessari magneti
di deflessione per tenere gli elettroni sull’orbita corretta.
Spesso gli anelli usano un LINAC come primario per
l’iniezione degli elettroni nell’anello.
1.d Misure statistiche sulle particelle.
Esercizi e complementi.
2
Fasci di elettroni e protoni
Gli elementi di accelerazione sono detti
“cavità risonanti”.
Nelle cavità è attivato un campo elettrico a radiofrequenza, sincronizzato in modo tale che gli elettroni di
passaggio trovino sempre un campo accelerante.
Per la necessità di sincronizzare il tempo di passaggio degli elettroni alla frequenza di oscillazione del
campo elettrico, tali acceleratori sono detti sincrotroni.
La prima cavità risonante fu realizzata da Lawrence nel
1930. Il ciclotrone di Lawrence era adatto ad accelerare
protoni e ioni; l’energia tipica di un protone è ≈100 MeV.
I ciclotroni continuano a essere usati negli ospedali per
la produzione di fasci a fini terapeutici.
1.d Misure statistiche sulle particelle.
Esercizi e complementi.
3
Fasci di elettroni e protoni
Gli acceleratori di altissima energia sono utilizzati per lo studio
della Fisica delle particelle subnucleari.
Per esempio, il LEP del CERN (disattivato dal 2000)
permetteva di accelerare elettroni fino all’energia E ≈ 200 GeV
Gli acceleratori di alta energia sono utilizzati per lo
studio della Fisica della Materia.
Il principale motivo è legato allo sfruttamento della
“Luce di Sincrotrone”, cioè alla radiazione EM emessa
dagli elettroni accelerati. La radiazione di sincrotrone
ha il vantaggio di avere intensità elevatissima; inoltre, è
facile ottenere radiazione monocromatica in un
larghissimo intervallo di frequenze, dall’IR agli X duri.
In foto, il Sincrotrone Elettra (Trieste).
1.d Misure statistiche sulle particelle.
Esercizi e complementi.
4
Fasci di elettroni e protoni
In base ai dati del problema si ha:
220
223
m/elettroni105tF
sm/elettroni10e
J
e
i
t
N
×=∆Φ=
==Σ
=∆Σ
∆=Φ
Esercizio
Un fascio di elettroni ( i = 15 mA) è collimato su uno schermo per un tempo ∆t = 5 ms.
L’area dello spot è Σ = 1 mm2 .
Determinare la Fluenza media e il Flusso medio di elettroni sulla superficie.
Intensità, flusso, fluenza
1.d Misure statistiche sulle particelle.
Esercizi e complementi.
L’intensità del fascio vale:
21218mecmec mWatt42smeV1015EE
t
NI −−− =×=Φ=
∆Σ∆
= .
La potenza media è:
Esercizio
Un fascio di elettroni di 15 keV e flusso Φ = 1015 elettroni/ m2 s-1 è collimato su uno schermo in uno spot di area
Σ = 1 mm2 .
Determinare la potenza media dissipata.
Watt1042IP 6−×=Σ= .
Intensità, flusso, fluenza
1.d Misure statistiche sulle particelle.
Esercizi e complementi.
CCD, Mappe di intensità e distribuzioni di probabilità
La CCD di una macchina fotografica è una matrice rettangolare di pixel. Ogni pixel è un trasduttore: la risposta
elettrica è proporzionale alla fluenza di fotoni che riceve.
Esistono tre tipi di pixel: uno sensibile al rosso (R), uno al verde (G) uno al blu (B). Nella riproduzione delle foto su
un monitor, un pixel R determina l’accensione di un led rosso, ecc., con intensità luminosa proporzionale al
segnale elettrico letto.
Questa mappa di intensità è proporzionale a una
mappa di fluenza e, quindi, a una mappa di probabilità:
( ) ( ) ( ) ( )ApNt
EAF
t
EE
tA
ANAI
tot
mecmecmec ∆
=∆
=∆∆
∆=
Ciò è vero perché Emec è l’energia del fotone, e tutti i
fotoni “rossi” hanno la stessa energia.
R G B
1.d Misure statistiche sulle particelle.
Esercizi e complementi.
Il segnale r(x) è proporzionale al numero ∆N di elettroni che incidono sul tratto ∆x. Infatti:
( ) NrEt
N
xa
1xIr mec ∆∝⇒
∆∆
∆=∝
La distribuzione di probabilità p(x) è stimata dalla frequenza statistica:
Esercizio
Un fascio di elettroni è collimato su una sottile striscia di uno schermo, di
dimensioni a × L.
Lo schermo è dotato di un rivelatore suddiviso in pixel di dimensioni a × ∆x.
Ciascun pixel è sensibile all’intensità locale I(x) del fascio.
La risposta r del rivelatore risulta ben descritta dalla relazione:
Stima della probabilità
1.d Misure statistiche sulle particelle.
Esercizi e complementi.
2
2
2
x
eAr σ−
=
( ) ( ) 2
2
2
x
exprN
Nxxp σ
−
∝⇒∝∆
=∆
Determinare la probabilità p che un elettrone del fascio incida nella regione x ∈ [-σ , σ]
Imponendo poi la condizione di normalizzazione: ( ) 2
2
2
x
2e
2
1xp σ
−
σπ=
p(x) è una Gaussiana. La condizione richiesta si verifica nel 68% dei casi.
Esercizio
No particelle di un fascio entrano in una regione di spazio in
cui sono presenti n bersagli per unità di volume, ciascuno di
sezione trasversale σ. Se una particella colpisce il
bersaglio, scompare dal fascio.
Introdurre e risolvere l’equazione differenziale che descrive
il numero di proiettili in funzione della profondità di
penetrazione x.
S
Consideriamo uno strato del materiale, di spessore ∆x e area
trasversale S. In questo strato si trovano n S ∆x bersagli.
L’area totale coperta dai bersagli è quindi:
xSnS ∆σ=∆
La probabilità che un proiettile colpisca un bersaglio è pari al
rapporto tra l’area utile e l’area totale:
xnS
Sp ∆σ=
∆=∆
Alla profondità x ci sono N(x) proiettili superstiti. Dopo il tratto ∆x, il numero diminuisce ulteriormente, di una
quantità pari al numero di particelle per la probabilità che una particella colpisca il bersaglio. La variazione
∆N è negativa, sicché si ha:
xnNN ∆σ−=∆1
σ
1.d Misure statistiche sulle particelle.
Esercizi e complementi.
Vista frontale
Vista laterale
nσ
eNnσeN
eNxd
Nd;eNN
Nnσxd
Nd;∆xNnσN∆
to
xo
xo
xo
=γ
−=γ−
γ−==
−==−
γ−γ−
γ−γ−
Equazione differenziale del sistema dinamico
Funzione di prova e derivata
σ prende il nome di sezione d’urto. Nei processi che
coinvolgono particelle elementari, è un valore non
esattamente riconducibile all’area di una sezione, quanto
piuttosto a un parametro medio caratteristico del processo.2
Esercizio
No particelle di un fascio entrano in una regione di spazio in
cui sono presenti n bersagli per unità di volume, ciascuno di
sezione trasversale σ. Se una particella colpisce il
bersaglio, scompare dal fascio.
Introdurre e risolvere l’equazione differenziale che descrive
il numero di proiettili in funzione della profondità di
penetrazione x.
Passando al limite per ∆x → 0 :
Infine:
xnσo eNN −=
Sostituendo
No
N
xnσ
1
e
oN
1.d Misure statistiche sulle particelle.
Esercizi e complementi.
Vista laterale