Mit dem Teilchenbeschleuniger zum Urknall

Der Large Hadron Collider (LHC) am CERN

Dr. rer. nat. Frank Morherr Justus-Liebig-Universität Giessen, 2011

Standardmodell der Teilchenphysik:

Die moderne Theorie der Materie

Quantenfeldtheorien

Alle Kräfte außer der Schwerkraft konnten bisher quantisiert

werden

• QFT der elektromagnetischen Kraft ist QED

zwei elektrische Ladungen spüren sich, da sie Photon als Botenteilchen austauschen

• QFT der starken Kraft (zwischen Quarks) ist die QCD

8 Botenteilchen, die Gluonen vermitteln starke Kraft zwischen sog. Farbladungen

• Schwache Kraft (verantwortlich für Radioaktivität, Betazerfall)

Vermittlung durch drei schwere Bosonen W+, W- und das elektrisch neutrale Z

W-Bosonen verwandeln Neutron in Proton bzw. umgekehrt, wobei Elektron,

Antielektronneutrino bzw. Positron und Elektronneutrino freiwerden

Austauschteilchen gehören zu Bosonen, haben ganzzahligen Spin.

Materieteilchen, zwischen denen Kräfte wirken, gehören zu

Fermionen, haben halbzahligen Spin

Austauschbosonenmerkmale entscheiden über Reichweite der Kraft

Je schwerer, desto weniger Reichweite.

Elementarteilchen und Wechselwirkung

Teilchenzoo

Es bedarf Theorie, die folgende Fragen schlüssig beantwortet:

• Weshalb haben sich die vier Grundkräfte aufgespalten?

• Wie sah die Urkraft aus, aus der sie entstanden?

• Weshalb existieren unterschiedlichste Arten von Teilchen?

• Weshalb haben Teilchen genau die beobachteten Eigenschaften?

• Weshalb leben wir in

Raumzeit-Kontinuum aus

vier Dimensionen?

• Weshalb gibt es drei Raum-

dimensionen und eine

Zeitdimension?

• Was sind Raumzeit und

Gravitation?

• Was geschah beim Urknall

• Woher kommt die Masse

• Wo ist die Antimaterie

• Woraus besteht das

Universum?

Weltmaschine LHC

• LHC gehört zum europäischen Kernforschungszentrum CERN

und ist der leistungsstärkste Teilchenbeschleuniger der Welt

• LHC liegt in etwa 100 Meter Tiefe im Grenzgebiet zwische

Frankreich und der Schweiz. Bauzeit : 14 Jahre

• Zwei gegenläufige Teilchenstrahlen mit nahezu Lichtgeschwindigkeit

rasen rund 11000 mal pro Sekunde durch den Beschleunigerring

• Starke Magnetfelder von supraleitenden Magneten , gekühlt mit

flüssigem Helium auf -271°C , halten Teilchenstrahlen auf

gekrümmter Bahn.

• An vier Stellen im LHC prallen Teilchenstrahlen aufeinander und

erzeugen Zustände wie unmittelbar nach dem Urknall

• Bei Zusammenstößen entstehen enorm viele Teilchen, die in alle

Richtungen auseinanderfliegen und mit Detektoren vermessen werden

Daten des LHC

Umfang des Hauptringes: 26658,883 m

Strahlrohrdurchmesser: 5,6 cm Anzahl

Beschleunigerkavitäten pro Strahlrohr: 8

Betriebsfrequenz Kavität: 400,8 MHz

Anzahl Quadrupolmagnete: 858

Anzahl Dipolmagnete: 1232

Länge Dipolmagnet: 14,3 m

Magnetfeld Dipolmagnet: 8,33 Tesla

Strahlrohrvakuum: 10-13 bar

max. Anzahl Protonenpakete: 2808

Anzahl Protonen pro Paket: 115Milliarden

Zeitlicher Paketabstand: 24.95 ns

max. kinetische Teilchenenergie: 7 TeV

%Lichtgeschwindigkeit: 99.9999991 %c

Lage des CERN und LHC

Das Higgs-Teilchen

• Das Higgs-Boson oder Higgs-Teilchen, ist hypothetisches

Elementarteilchen, das im Standardmodell der

Elementarteilchenphysik vorhergesagt wird.

• Danach ist träge Masse, der Widerstand gegen Beschleunigung

keine grundlegende Eigenschaft der Elementarteilchen, sondern

entsteht erst durch die Yukawa-Wechselwirkung mit dem Higgs-

Feld oder – im Falle der massiven Eichbosonen– durch den

Higgs-Mechanismus.

• Masse zusammengesetzter Teilchen wird durch Bindungsenergie

verändert; speziell Masse des Protons und Neutrons ist bei weitem

dominiert durch die Energie des Gluonfeldes, d.h. die kinetische

Energie der Gluonen.

• 1964 vorhergesagt.

Ladung neutral Masse >114000MeV/c²

Spin 0 Wechselwirkung schwach

• Masse wird als Nebeneffekt einer Wechselwirkung vorgestellt

• Higgs-Teilchen im Standardmodell trägt keine elektrische Ladung

• Mit ganzzahligen Spin Null, ist es ein Boson, genauer: Skalarboson

• Berechnungen Fermilab 2006: Masse wahrscheinlich zwischen 117

und 153 GeV/c² (aus Messungen der W-Boson-Masse). Vergleich:

Proton und Neutron haben je ca. 1 GeV/c².

• Falls bis 200 GeV kein Higgs-Teilchen gefunden wird, sagen einige

Theorien Higgs-Multiplett vorher, realisiert bei höheren Energien

• Stärke Yukawa-Kopplung, mit der Higgs-Feld an andere Teilchen

koppelt, proportional zur Masse, Yukawa-artig, kurzreichweitig

• Higgs-Boson für Teilchenphysik wichtig, weil einfachste bekannte

und experimentell konsistente Erklärung, wie Grundkräfte

vermittelnde Eichbosonen Masse haben können. Grundlegende

Theorie erfordert aus math. Gründen masselose Eichbosonen.

• Eichbosonen der schwachen Kraft, W- und Z-Bosonen, haben aber

sogar eine recht große Masse (≈ 80 bzw. ≈ 91 GeV/c²).

• Higgs-Mechanismus erklärt, wie eigentlich masselose Eichbosonen

Wechselwirkung mit Higgsfeld doch eine Masse erhalten können.

• Mit Higgs-Teilchen gelingt Vereinheitlichung elektromagnetischer

und schwacher Wechselwirkung, da beide auf eine, grundlegende

„elektroschwache“ Wechselwirkung mit (ursprünglich) lauter

masselosen Eichbosonen zurückgeführt werden kann

• Viele Eigenschaften elektroschwacher Wechselwirkung

experimentell sehr gut bestätigt, daher gilt Standardmodell mit

Higgs-Teilchen als plausibel.

• Higgs-Boson einziges Teilchen, des Standardmodells, das

experimentell noch nicht nachgewiesen werden konnte.

• In Betrieb befindliche Teilchenbeschleuniger Tevatron am Fermilab

konnte Higgs-Boson bisher nicht nachweisen

• Elementarteilchenphysiker hoffen, mit ATLAS und CMS, großen

Teilchendetektoren am LHC-Beschleuniger das Higgs-Boson

nachweisen zu können (seit November 2009)

Kaluza-Klein-Teilchen • Kaluza-Klein-Theorie war erster Versuche der Vereinheitlichung

der fundamentalen Wechselwirkungen Gravitation und Elektromagnetismus.

• 1921 erweiterte Theodor Kaluza vierdimensionale Raumzeit der ART durch Hinzufügen einer weiteren, vierten raumartigen Dimension auf fünf Dimensionen. Sich ergebende Gleichungen separieren in die Einsteinschen Feldgleichungen und die Maxwell-Gleichungen.

• Minkowskiraum, Maxwellsche Gleichungen im Vakuum einbettbar

in 5-dimensionalen Riemannschen Krümmungstensor.

• Kaluzas Gleichungen quellenlos im Gegensatz zur Quelle des Energie-Impuls-Tensors bei Einstein.

• Oskar Klein argumentierte, dass zusätzliche vierte Raumdimension aufgerollt ist und deshalb nicht beobachtet wird (Stringtheorie)

Angenommen wird flache Raumzeit und skalares Feld mit Masse m in

fünf Dimensionen

Zusätzliche fünfte Dimension auf Größe R kompaktifiziert

Entwicklung der Funktion in Fourierreihe

Fourierkomponenten erfüllen Klein-Gordon-Gleichung für

vier Dimensionen

mit Masse

Aus fünf-dimensionalem Ansatz effektive vierdimensionale Theorie.

Stapel massiver Kaluza-Klein-Anregungen der Extradimension.

Masse der Anregungen antiproportional zu R, was illustriert, dass sehr

kleine zusätzliche Dimension nötig, um zu erklären, warum Teilchen

bisher nicht beobachtet wurden.

Teilchendetektoren

• Teilchendetektoren sind Messgeräte zum Nachweisen bewegter

Moleküle, Atome oder Elementarteilchen

• Viele Arten von Teilchendetektoren:

Gasgefüllte Ionisationsdetektoren

Ionisationskammer: ionisierende Strahlung erzeugt Strom

Geigerzähler

Halbleiterdetektoren

Szintillationsdetektoren

Spurdetektoren

Blasenkammern

Diffusionskammer

Nebelkammer

Tscherenkow-Detektoren

RICH (Ring Imaging

Cherenkov Detector)

Detektorsysteme • Photomultiplier

• Szintillator

Material, das von energiereichen

geladenen Teilchen/Photonen ange-

regt wird, Anregung als Licht abgibt

• Driftrohr ionisierendes Teilchen durch-

quert Detektorgas, erzeugt freie

Elektronen, die zu Draht be-

schleunigt werden und Gas

ionisieren

• TRD (Transition Radiation D.

Atlas

• Atlas (A Toroidal LHC ApparaturS“) größter bisher gebauter

Detektor

Länge: 45m

Breite: 22m

Höhe: 22m

Gewicht: 7000 Tonnen

• Atlas ist zum Nachweis des Higgs-Bosons ausgelegt

• Außerdem soll Zerfall von B-Mesonen und ihrer Antiteilchen

beobachtet werden. Unterschiede in den Zerfallskanälen zwischen

Teilchen und Antiteilchen wäre Verletzung der CP-Symmetrie

(mehr Materie als Antimaterie)

• Untersucht Prozesse aus Quantenchromodynamik und Teilchen mit

anormalen Quantenzahlen (Leptoquarks, Dileptonen usw.)

• Impulsmessung geladener Teilchen in Magnetfeld, Vermessung der

Gesamtenergie

Aufbau • Besteht aus drei Hauptdetektoren:

Innerer Detektor

Pixeldetektor

Siliziumstreifendetektor

Transition Radiation Detektor

Detektorlagen sind konzentrisch um

Strahlachse angeordnet, von

Solenoidmagneten umschlossen

Kalori-

meter

Myon-

system

• Nahe Wechselwirkungspunkt

• Von Solenoidmagnet erzeugtes

Magnetfeld rekonstruiert aus

Bahnkurve Teilchenimpuls

• Aufgrund relativistischer Zeit-

dilitation legen Mesonen Weg

von Millimetern zurück

• Kollidierende Strahlen

produzieren pro Sekunde und

pro Quadratmillimeter in inneren

Detektorlagen etwa 100000

Teilchen

• Zylindervolumen mit Radius

von 1,15m und Länge von 7m

Innerer Detektor

• Pixeldetektor: besteht aus 3 unter-

schiedlich großen Zylindern mit

segmentierten Halbleiterdetektoren.

140 Millionen Pixel 50 m *400 m

hohe Spurdichten, hohe Trennung

benachbarter Spuren

• Semi Conductor Tracker (SCT):

Besteht aus 8 Lagen Siliziumstreifen-

detektoren. Aufl. 16 m radial,

580 m in Strahlrichtung. 4088

Detektormodule, 768 Auslesestreifen

pro Modul. Genauigkeit 30 m Spur

• Transition Radiation Tracker:

Kombination Übergangsstrahl-

ungsdetektor und Driftkammer

Driftrohre 4 mm mit Xenongas

Röhren eingebettet Polyethylen-

Schaum, in dem Kollisions-

Elektronen Röntgenstrahlung

abgeben

• Elektromagnetisches Kalorimeter:

Absorbiert und misst Energien der

produzierten Elektronen und Photonen

• Hadronisches Kalorimeter:

Misst Energie der Hadronen

Alice • Name: Alice (A Large Ion

Collider Experiment)

Länge: 25 m

Breite: 16 m

Höhe: 16 m

Gewicht: 10000 t

• Alice für Nachweis und Untersuchung Quark-Gluon-Plasmen

• Kollision von Bleiionen, um hohe Kollisionsenergie zu erreichen

• Bleiionen kollidieren bei 5,5 TEV pro Kernbestandteil

• Entsteht Feuerball von 10 Billiarden Grad. Bei diesen

Temperaturen liegen Quarks und Gluonen nicht mehr im

hadronischen Zustand vor→ Quark-Gluon-Plasma. Bei

Temperaturunterschreitung Rehadronisierung bei der Mesonen und

Baryonen entstehen. Bis zu 20000 Spuren pro Ereignis.

• Alice Schlüsselexperiment zur Erforschung Quark-Gluon Plasmas

Detektoraufbau • Auch Alice besteht wie

Atlas aus einem

geschichteten Aufbau von

Detektoren

Inner Tracking System

am Kollisionspunkt

Time Projektion Chamber:

Wichtigster Unterdetektor von Alice

Dient Teilchenidentifikation, Impulsmessung,

Vertexbestimmung. Hohlzylinder von 5 m ist

mit 90% Neon und 10% Kohlendioxid gefüllt

Teilchen wandern mittels Hochspannungs-

elektroden zu Endkappen und werden detektiert

• Transition Radiation Detektor

(TRD)

Besteht aus 540 Detektormodulen Im TRD

aktive Fläche von 736m² mit 1,16 Mill.

Auslesekanälen. Jedes ionisierte Teiilchen

schlägt 275 Elektronen pro cm aus Gasatomen

in Driftkammer, die detektiert werden

• Flugzeitdetektor (TOF) besitzt 1,4 Mill Auslese-

kanäle 6 Schichten radial

um Zentralbereich

angeordnet Zeitauflösung

150 Picosekunden

• Photon Spektrometer

3584 Blei-Wofram-Kristalle a

als Szintillatoren, 8m² Fläche

Bestimmt Kollisionsenergie über

abgegebene Wärmestrahlung

High Momentum Particle

Identification Detektor

Soll hochenergetische Teilchen

identifizieren: Pionen, Kaonen, Protonen

von 1 bis 5GeV/c. Aus Öffnungswinkel der

Cherenkov-Photonen wird Geschwindigkeit

der Teilchen ermittelt. Mit bekanntem

Impuls wird Masse berechnet

Myonen-Spektrometer Soll Myon-Paare nachweisen, die aus

Quarkzerfällen stammen. Myonen setzen in

Driftröhren Elektronen durch Ionisation frei.

Durch Dipolmagnet werden Sie abgelenkt.

L3 Magnet Umgibt Detektoren und lenkt Teilchen ab

Durch Stärke der Ablenkung kann bei

bekanntem Impuls auf Teilchenmasse

geschlossen werden. Feldstärke 0,5 Tesla

Funktionsweise von Teilchen(ring)beschleunigern Verschiedene Arten von Beschleunigern

• Gleichspannungsbeschleuniger

• HF-Beschleuniger

• Linearbeschleuniger

• Zyklotron

• Synchrotron (Kreisringbeschleuniger)

LHC am CERN

CNGS: Neutrinos nach Grand Sasso am CERN

FAIR an der GSI (in Planung)

• Speicherring

• Linearbeschleuniger für Teilchenphysik: ILC und CLIC

• Medizinische Anwendungen von Beschleunigern: HIT

Therapiebeschleuniger Heidelberg

• Spallation Neutron Sources

Tevatron am Fermilab • Tevatron ist Teilchenbeschleuniger

am Fermilab (Illinois) Umfang: 6 km

Schwerpunktsenergie 1,96 TeV

Vier Vorbeschleuniger

• Lässt Protonen und Antiprotonen

kollidieren • Antiprotonen erzeugt, indem Protonen auf Nickelblock geschossen

werden. Entstehende Antiprotonen werden gespeichert und später mit

Protonen zur Kollision gebracht. Erzeugung eines Antiprotons erfordert

Protonen. Antiprotonenerzeugung stärkster limitierender Faktor

• 1995 am Tevatron Top-Quark-Paare nachgewiesen

• Bis zur Inbetriebnahme LHC weltweit stärkster Teilchenbeschleuniger

• Laufzeit verlängert, weil man 50:50 Chance sah, Higgs Boson im

leichten Massebereich zu finden.

• April 2011 Gerüchte, dass am Tevatron Higgs-Signal gefunden wurde:

Bei Energien zwischen 120 Milliarden und 160 Milliarden Elektronenvolt

unerwarteten Spitze: 250 mehr Ereignisse als Standardmodell voraussagt

Hochspannungserzeugung Der Cockroft-Walton-Kaskadengenerator

Anfang der 30er Jahre entwickelten Cockroft und Walten einen

Hochspannungsgenerator für 400 kV (Greinacker-Schaltung)

Cockroft-Walton-Generator am Fermilab • Erste Stufe der Beschleunigung

von Protonen am Fermilab

• Erzeugung von H¯-Ionen aus

Wasserstoffgas

• Beschleunigung auf 750 keV

Gleichspannungsbeschleuniger

Der Van de Graaff-Beschleuniger

1930 begann Van de Graaff mit der Entwicklung eines

Hochspannungsgenerators.

Linearbeschleuniger (LINAC)

• Teilchen treten aus der Quelle aus und werden vom Potential

der ersten Driftröhre beschleunigt

• Während die Teilchen durch die erste Driftröhre laufen, kehrt

sich das Vorzeichen des Potentials um

• Teilchen treten aus der ersten Driftröhre aus und werden durch

das Potential der zweiten Driftröhre beschleunigt.

• Da die Geschwindigkeit der Teilchen steigt, werden die

Abstände zwischen den Röhren länger.

• Energie eines Elektrons nach

der Röhre i:

dabei ist die maximale

Spannung des HF Senders,

und die mittlere Phase, mit

der das Teilchen die Strecke

zwischen den Röhren passiert.

Nach Durchlaufen der

Driftstrecke ist die halbe

Periodendauer der

Wechselspannung vergangen.

Linearbeschleuniger am Fermilab

Beschleunigung der H¯ Ionen

auf 400 MeV

Am Ende des Linac werden

die Ionen durch eine

Kohlenstofffolie geschossen,

so dass die Elektronen entfernt

werden →Protonenstrahl

Das Zyklotron

Das Betatron

Prinzip: Beschleunigung durch ein zeitlich veränderliches

Magnetfeld

Frei bewegliche Elektronen werden vom induzierten elektrischen

Feld beschleunigt.

Induktionsgesetz

Erstes Betatron: 1935, Max Steenberg, Forschungslabor der Siemens-

Schuckert-Werke in Berlin

Unabhängig: Donald William Kerst, Universität von Illinois

Kreisbeschleuniger: Synchrotron • Mit einem Zyklotron oder Betatron ist die Energie der Teilchen

begrenzt

Man kann keine beliebig großen Magnete bauen

Das Magnetfeld ist auf 1-2 Tesla (Magnet mit normalleitender

Spule), 5-10 Tesla (Magnet mit supraleitender Spule) begrenzt

Im Betatron kann die Beschleunigung nur über einen Teil eines

Magnetzyklus erfolgen

• Um hohe Energien zu erreichen, wurde das Synchrotron

entwickelt

• Das Synchrotron ist der am meisten verbreitete Beschleuniger

• Das Synchrotron ist ein Kreisbeschleuniger, in dem die

Teilchen viele Umläufe machen

• Im Synchrotron wird das Magnetfeld erhöht und gleichzeitig

wird der Strahl beschleunigt → Magnetfeld wird synchrotron

zur Energie erhöht

• Die Teilchenbahn bleibt ungefähr konstant

Aufbau des Synchrotrons

Komponenten eines

Synchrotrons

• Ablenkmagnete

• Magnete zur Fokussierung

• Injektionsmagnete (gepulst)

• Extraktionsmagnete (gepulst)

• Beschleunigungsstrecke

• Vakuumsystem

• Diagnostik

• Kontrollsystem

• Netzgeräte

Schema eines Teilchenbeschleunigers

Beschleunigung in Kavitäten

• Zur Beschleunigung der Teilchen im LHC werden Hohlraumresonatoren eingesetzt.

Dabei werden in den Hohlräumen des Resonators, stehende elektromagnetische

Wellen in Resonanz versetzt. Blasinstrumente

• Beschleunigung geladener Teilchen in stehenden Mikrowellen nutzt Prinzip der

Resonanzüberhöhung elektromagnetischer Wellen in dafür abgestimmten Kavitäten.

• Passt Resonanzfrequenz der Kavität exakt zur anregenden Frequenz, entstehen durch

Resonanzüberhöhung weit höhere Feldstärken, als die anregende

Mikrowellenstrahlung allein besitzt.

• Das Teilchen erfährt durch diese Potentialdifferenz innerhalb der stehenden

Mikrowelle eine Beschleunigung Surfer welcher durch Wasserwelle beschleunigt

wird.

• Zur Beschleunigung der Protonen im LHC, dienen 16 supraleitende Hochfrequenz-

Hohlraumresonatoren (je 8 pro Strahlrohr).

• Die LHC Kavitäten erreichen nach diesem Prinzip einen Beschleunigungsgradient

von bis zu 5.5 MV pro Meter. Betriebsfrequenz der Kavitäten liegt bei 400.8 Mhz.

• Feld ändert in Zeit, die Teilchen benötigt, um die Kavität zu durchqueren, einmal

sein Vorzeichen. So sieht das Teilchen immer eine beschleunigende

Potentialdifferenz.

Radio Frequency Quadrupole (RFQ) - Protonen • RFQ ist im Prinzip ein kurzer (1.75 Meter) Linearbeschleuniger.

• RFQ hat 3 Aufgaben. Er fokussiert, beschleunigt und unterteilt den Teilchenstrom in

einzelne Pakete (Bunches). Dabei kommen Quadrupole zum Einsatz.

• Quadrupolstruktur des RFQ besteht aus sinuswellenförmig geformten Polen.Mit

dieser besonderen Polstruktur, nimmt die Feldstärke entlang der Flugrichtung der

Protonen ständig zu und ab. Folglich entstehen dadurch Bereiche in denen die

Protonen gebremst oder beschleunigt werden. Die Protonen rücken daher immer

mehr zu Teilchenpaketen zusammen – den Bunches.

• Bunching ist wichtig, da verwendete Magnetstrukturen und Experimente am LHC,

genau auf die Anzahl und den zeitlichen Abstand dieser Pakete ausgelegt sind.

• RFQ zerlegt den kontinuierlichen Strahl in 6 Packete. Protonenpackete verlassen

den RFQ mit einer kinetischen Energie von 750000 eV oder 750 keV und werden

dann in den LINAC 2 eingespeist.

Prinzip der Phasenfokussierung im Linac

grünen

Phasenfokussierung auf der ansteigenden

Flanke

Phasenfokussierung-Synchrotronschwingung

Phasen“de“fokussierung auf der fallenden

Flanke

Wechselwirkungen von Teilchen mit Materie

• Elastische Streuung: Umlaufendes Teilchen wird durch Zusammenstoß mit Restgasatomen/Molekül oder Teilchen in der Atomhülle von Bahn abgelenkt. Energie des Teilchens bleibt erhalten. Bei zu großer Ablenkung geht Teilchen verloren.

• Inelastische Streuung: Das umlaufende Teilchen trifft auf einen Kern oder ein Hüllenelektron. Durch Zusammenstoß werden andere Teilchen erzeugt. Das ursprüngliche Teilchen geht verloren.

• Protonen

Elastische und inelastische

Streuung

Vielfachstreuung

• Elektronen

Bremsstrahlung

Elastische Streuung

Warum läuft das Teilchen nicht geradlinig ? • Ablenkung des Teilchens durch elektrische oder magnetische

Felder

Teilchenenergie bleibt erhalten mit der Ausnahme eines elektrischen Feldes in Bewegungsrichtung

• Ablenkung des Teilchens durch Zusammenstoß mit Materie Teilchenenergie kann sich stark ändern

• Ablenkung des Teilchens durch Abstrahlung eines Photons Teilchenenergie ändert sich

Ablenkung des geladenen Teilchens durch

Abstrahlung von Synchrotronstrahlung Stöße mit Gasmolekülen

Koordinatensystem Ein einzelnes Teilchen wird mit den Koordinaten

und dem Impuls beschrieben.

Für Berechnung der Bewegung muss Ladung und Masse bekannt

sein. Für einige wenige Anwendungen muss der Spinzustand

berücksichtigt werden.

Für Teilchen in

Beschleuniger ist es

unhandlich,

Koordinatensystem

mit festen Koordinaten

zu wählen. Daher wird

Teilchen in Bezug auf

Sollteilchen beschrieben.

Sollteilchen mit Soll-

impuls bewegt sich auf

Sollbahn oder Idealbahn

Einzelteilchensystem-Vielteilchensystem • Für jedes Teilchen lassen sich Bewegungsgleichungen lösen

• Ein Strahl im Beschleuniger ist Beispiel für Vielteichensystem-Anzahl der Teilchen liegt zwischen und mehr als

• Werden Größenordnungen eingeführt, die kollektive Beschreibung des Vielteilchensystems möglich machen, Information über ein einzelnes Teilchen reicht nicht aus.

• Wechselwirkung einzelner Teilchen lässt sich für wenige Teilchen völlig vernachlässigen, bei zunehmender Teilchenanzahl Wechselwirkungen zwischen einzelnem Teilchen und Kollektiv von entscheidender Bedeutung

Warum Strahloptik und Fokussierung

• Teilchen haben unterschiedliche Anfangsparameter (Position,

Winkel) und laufen mit der Zeit auseinander

Mit der Annahme, dass zwei Teilchen eine Winkeldifferenz von rad

haben, würden Teilchen nach Strecke von um 1 m auseinanderlaufen.

Beim LHC, mit einer Länge von 26860 m, wäre das nach 50 Umläufen

(5ms !)

• Teilchen würden durch die Gravitation herunterfallen

• An verschiedenen Stellen des Beschleunigers soll der Strahl eine

definierte Dimension haben

Am Kollisionspunkt im Speicherring sollen die Strahlen klein sein

• Teilchen mit unterschiedlicher Energie sollen nicht

auseinanderlaufen

Magnetostatik

Magnetische Induktion oder Magnetische Flussdichte - gemessen in

Tesla – vielfach auch mit Magnetfeld bezeichnet

]/[ mAH

][][2m

sV oder Tesla

BB

Am

Vs104 mit 7

00

HB

Magnetfeld gemessen in A/m

Im Vakuum sind magnetische Induktion und Magnetfeld

gleichwertig:

In einem isotropen Material mit der Permeabilität gilt :

HB

0

Im allgemeinen ist etwa 1, doch für ferromagnetische Materialien ist

in der Grössenordung von einigen tausend.

Magnetfeld in den Koordinaten des

Beschleunigers

),,(

)),,(),,,(),,,((),,(

),,(

)),,(),,,(),,,((),,(

ds

d

dx

d

dx

d

dz

d

dz

d

ds

d

zsxzsxzsxzsx

:gilt gerBeschleuni den für nsystemKoordinate- sz, x,Im

dy

d

dx

d

dx

d

dz

d

dz

d

dy

d

zyxzyxzyxzyx

:gilt nsystemKoordinate - zy, x,Im

xszxsz

szx

xyzxy

zyx

BBBBBBB

BBBBB

BBBBBBB

BBBBB

z

z

x

s

v

B

F

ngVerschiebu chedielektris mC

eStromdichtmAj

tj :Gesetz esMaxwellsch 1.

2

2

]/[

]/[

D

DHrotH

sgesetz)(Induktion t

Gesetz ches2.Maxwells BErotE

hteLadungsdic mC

tik)Elektrosta der tz(Grundgese Gesetz ches3.Maxwells3

el

el

]/[

DdivD

tik)Magnetosta der tz(Grundgese 0 Gesetz ches4.Maxwells BdivB

Maxwellgleichungen für Magnetostatik im

Vakuum

.

.

Maxwellgleichungen: Zeitlich konstant,

im Vakuum

: ung Verschiebchedielektris keine

0 : Material) esmagnetisch (kein rungMagnetisie keine

0 : )Elektronen für Leiter (keine Strom erelektrisch kein

0ED

M

j

HB

0 :gilt daher

0 Gesetz ches4.Maxwells

0 Gesetz ches3.Maxwells

0 Gesetz ches2.Maxwells

0 Gesetz esMaxwellsch 1.

BdivB

DdivD

ErotE

HrotH

.

.

0 :folgt

und

0 :Gesetz enMaxwellsch ersten dem Aus

0 : Gesetz enMaxwellsch vierten dem Aus

0

B

HB

HrotH

BdivB

• Dipolmagnet – konstantes Feld in Apertur

• Quadrupolmagnet – Feld im Zentrum Null, linear ansteigend

(entspricht einer Linse in Lichtoptik)

• Sextupolmagnet - Feld im Zentrum Null, quadratisch ansteigend

Magnettypen

z

x

z

x

Feldlinien für Dipolmagnetfeld Feldlinien für Quadrupolmagnetfeld

Eisenjoch

Parallele

Eisenpole

Spule

N

S

Vakuum-

kammer

Dipolmagnet

Hyperbolische

Polflächen

Spulen Eisenjoch

N

N

S

S

x

z

x

z

S N

N S

Quadrupolmagnet

N

S

Vakuum-

kammer

Bz

Dipolmagnet

Dipolmagnet und Quadrupolmagnet:

Realisierung

Magnet

für SNS Beam’s eye view of an SNS

half cell. From front to back:

corrector, quad polefaces,

sextupole faces, and last the

dipole

60

Quadrupol: Fokussierung in einer Ebene,

Defokussierung in der anderen Ebene 0rot BB

Annahme im 2-dimensionalem Fall (keine Feldkomponente

in Richtung der Teilchenbewegung) :

0 : wirdangenommen da ),0,( sz BBBB x

00dz

d

dx

d0 xz ),,(

BBB

und daher:

dz

d

dx

d xz BB

z-Komponente des Quadrupolmagnetfeld

auf der x-Achse

Typischer Wert:

x

z

mT20dx

dz /

B

61

Teilchenablenkung im Quadrupolmagnet

Annahme: Teilchen mit positiver Ladung läuft in s-Richtung in

die Tafelebene hinein

z

x

zconstz

xconstx

x

z

)(

)(

B

B

x

z

s

z

s

x Sicht von der

Seite

fokussierend

Sicht entlang

der Teilchenbahn

Sicht von oben

defokussierend

Quadrupolmagnet

Magnetfeld

Hyperbolische Fläche

x · y = constant

Fokusierung Verschiedene Arten von

Magneten kommen in einem

Beschleunigersystem zum

Einsatz. Man unterscheidet

hierbei vier Arten von

Magneten:

Dipolmagnete, um die

Flugrichtung eines

Teilchenstrahls zu verändern

Quadrupol- und

Sextupolmagnete zur

Fokussierung eines

Teilchenstrahls

Kickermagnete, um

Teilchenpakete aus dem

Beschleunigungssystem zu

lenken

Wiggler-Magnete, um

Synchrotronstrahlung zu

erzeugen

Kräfte auf den Teilchenstrahl-Dipol

• Positives Ion fliegt in Ebene hinein

• Kraftwirkung gemäß der UVM (Ursache-Vermittlung-Wirkung) –Regel der rechten Hand

• Bewegungsrichtung eines positiven Ions ist identisch mit technischer Stromrichtung

• Konstantes Feld, also konstante Kraft

Kräfte auf den Teilchenstrahl-Quadrupol • Feld wächst linear zum

Achsabstand → Kraft wächst

linear

• Ionenstrahl

Horizontal defokussierend

Vertikal fokussierend

• Benennung nach horizontaler

Ebene

→Defokussierender Quadrupol

Kräfte auf den Teilchenstrahl-Sextupol

• Feld wächst quadratisch

zum Achsabstand →

Kraft wächst quadratisch

• Kraft ist beiderseits der

Achse gleich gerichtet

• Benennung nach

horizontaler Ebene →

Fokussierend wenn Kraft

zum Zentrum des Ringes

wirkt

The focal length of a two lense system is: 1

F =

1

f1

1

f2

d

f1 f2

Fokussierung eines Linsensystems in

einer Ebene d

f1 f2 F

Für die Brennweite des Linsensystems gilt:

68

Fokussierung eines Linsensystems in beiden

Ebenen

d = 50 m

Horizontale Ebene

Vertikale Ebene

f1 100m

f2 100 m

d 50m

F1

f1

1

f2

d

f1 f2

1

F 200m

69

Transformationsmatrizen

Annahme: Ein Teilchen hat die Koordinaten: Position x0 und Winkel x0’

Wie in der Lichtoptik lässt sich die Teilchenbahn mit Transformationsmatrizen

berechnen

s

L

f

s0 … beim Eintritt in die dünne Linse s1 … beim Austritt aus der dünnen Linse

s2 … nach einer Strecke L

0

0

1

1

x

x

x

x

''M

s1 s0 s2

70

Transformationsmatrix für eine dünne

Linse

s

f

f

x

x

x

x

x

x

dc

ba

x

x

0

0

1

1

0

0

1

1

'

''001

001

xdxcx

xbxax

''

'

001

01

xxf

1x

xx

''

1f1

01M

/

s1 s0

71

Transformationsmatrix für eine feldfreie

Strecke: „Driftstrecke“

s

L f

1

11

2

2

1

1

2

2

x

xLx

x

x

x

x

dc

ba

x

x

'

'

'

''

12

112

xx

xLxx

''

'

10

L1M

s1

s2

Bewegung geladener Teilchen im Magnetfeld

Rechteckmodell für einen Quadrupolmagnet

dx

sd

p

esk z0 )(

)(B

s

z

s

k(s)

k0

0

Quadrupolmagnet mit k = k0

innerhalb des Magneten,

und k = 0 ausserhalb

Ableitung der Bewegungsgleichung für die

vertikale Bewegung

Teilchenbewegung im Ablenkmagneten

Ablenkmagnet mit dem Ablenkradius

)cos()sin(

)sin()cos(

s1

s11

s1

s1

MB

Fokussierender Quadrupol mit der

Stärke k 0sxsk(s)' x' )()(

0sxs

1(s)'x'

2

)(

)(

)(s

1 k(s)- :entspricht Es

2

Lösung für Ablenkmagnet ähnelt

Lösung für Quadrupole

Ein Ablenkmagnet bewirkt in der

horizontalen Ebene eine schwache

Fokussierung

Teilchentransport durch eine komplexe Struktur: F0D0 Zelle

lD=2.60 m

lq=0.40 m

QF QD QF Dipol Dipol

F0D0 Zelle

MQF MQD MQF MQD MD MD

lD=2.60 m

lq=0.20 m lq=0.20 m

Definitionen

Anzahl der F0D0 Zellen in einem Kreisbeschleuniger: NF0D0 8

Quadrupolstärken: horizontal: kf 1.2m2

vertikal: kd 1.2m2

Länge eines Quadrupol: lq 0.4m

Länge der Driftstrecke: ld 2.6m

Länge einer Zelle: LF0D0 2 lq 2 ld

Länge des Beschleunigers mit 8 Zellen: LB 8 LF0D0

LF0D0 6 m und LB 48 m

Beispiel

MQF

0.976

0.238

0.198

0.976

MQD

1.024

0.242

0.202

1.024

MD

1

0

2.6

1

Es ergibt sich für die Transformationsgleichung einer F0D0 Zelle:

Mzelle MQF MD MQD MQD MD MQF

Mzelle

0.056

0.1

9.966

0.056

Beispiel der Teilchentransformation durch eine Zelle :

Annahme:

x0

xp0

1

0

Daraus ergibt sich :

x1

xp1

Mzelle

x0

xp0

=>

x1

xp1

0.056

0.1

X‘

X‘ XX‘ ‘

X‘ X‘

Vor- und Nachteile der Bahnberechnung mit

Matrizen

• Für jedes Teilchen lässt sich die Bahn mit Matrizen berechnen

• Diese Methode ist notwendig, und mit Hilfe von Computerprogrammen prinzipiell "relativ" einfach

• Für viele Fragenstellungen ist diese Methode zu komplex

– Was passiert, wenn ein Teilchen im Magneten 122 um einen Winkel von 0.01 mrad abgelenkt wird?

• Über die Bewegung eines Vielteilchensystems lässt sich nur wenig aussagen

• Daher wird ein neuer Formalismus eingeführt:

Betatronfunktion und Betatronschwingung, optische Parameter

Differentialgleichung im Beschleuniger

0k : sonst

0k : Quadrupol nderFokussiere

0k : Quadrupol renderDefokussie

konstantdx

sd

p

ekmit0sxk(s)' x' z0

:

)()(

B

• Es werden nur Quadrupolfelder betrachtet

• Das Quadrupolfeld in einer Ebene ist in der Regel

stückweise konstant (entweder 0, oder konstant mit einem

Wert k)

Differentialgleichung der Teilchenbewegung

p

p

s

1sxsk

s

1(s)'x'

2

)()()(

)(

0sxsk(s)'x'

: Typ schenHill' vom galgleichunDifferenti die gilt etAblenkmagn ohne

Strecken für und ichung,Impulsabwe ohne Teilchen Für

)()(

0uu2AuskuuA

:folgt Einsetzen mit

su(s)Ax(s)

: atzLösungsans

2

)sin('''')cos()('''

))(cos(

Lösungsweg

0usku

1-'u'

: weiterman erhält Damit

du

1(s)

:man erhält nIntegratio Durch

0u

u2

0usk'u -'u'

:folgt daher sein, richtig 0A für und Phasen alle für muss Gleichung Diese

3

s

02

2

)(

)(

'

'''

)(

Betatronfunktion und Betatronschwingungen

d1

(s) :aseBetatronph die für gilt Ausserdem

s(s)x(s)

:hnTeilchenba die für sich ergibt

Teilchens einzelnen eines Emittanz der und

su:(s)

:Funktion- der Einführung Mit

s

0

i

i

2

)(

))(cos(

)(

Es ist noch keine Aussage gemacht worden, wie man

Betatronfunktion und Betatronphase ausrechnet

)cos(

)sin(

)cos(

)(

))(cos(

)(

saa(s)'z'

saa(s)z'

saz(s)

:folgt sas und (s) : Ansatzdem Mit

s(s)z(s) : AnsatzGenereller

0szk(s)'z'

:betrachtet Ebene vertikalen der in Bewegung

die nur wirdes ,k konstantk(s) : Annahme

2

0i

0i

0i

0

i

0

0

Zur Illustration ein Beispiel: „kontinuierliches“

Quadrupolfeld z

)cos(:

))(cos(

skk

1z(s)ergibt

s(s)z(s)

:in Einsetzen

0

0

i

i

0

s

0

0

00

2

0i0

2

0i

k

1s

s

1(s)d

1(s)

sks

ka 0ka

:sich ergibt daraus

0saksaa

:folgt galgleichunDifferenti die in Einsetzten mit

)()(

')(

)(

)cos()cos(

Betafunktion für die Teilchenbewegung im

"kontinuierlichen" Quadrupolfeld

(Bewegung nur in einer Ebene stabil!)

Ein Beschleuniger für Elektronen mit dem Impuls p0 1.6GeV

c mit einer

Vakuumkammer mit dem Radius dr 0.05m , und einem Magnetfeld an der

Eisenoberfläche von Bx 0.1T

Quadrupolstärke k0

e0

p0

Bx

dr => k0 0.375

1

m2

Die Ablage eines Teilchens ist durch: z s( )= i1

k0

cos k0 s i( ) gegeben

Betafunktion: => z1

k0

=> z 1.634 m

Emittanz des Teilchen : i 106m und Phase des Teilchen: i

2

0 4 8 12 16 20 240.002

0.001

0

0.001

0.002

z pos( )

pos

Annahme: Der Beschleuniger hat eine Länge von Lacc 24m

Die Länge für eine volle Schwingung ist : s22

k0

=> s2 10.264 m

Die Anzahl der Schwingungen pro Umlauf ist : Qz

Lacc

s2 =

0

Lacc

s1

s( )

óôôõ

d =>

Qz 2.338

Die maximale Teilchenamplitude ist: zs2

4

1.278 103

m

Vergleich mit dem harmonischen Oszillator

x 0

x

F(x)

Bei gegebener Energie des

Teilchens

ist die maximale Auslenkung

umgekehrt

proportional zur Rückstellkraft

(Federkonstante).

Je grösser die Kraft, desto kleiner

die Auslenkung

Betatronfunktion und Betatronschwingungen

2

s(s) :mit

ssss

(s)x'

s(s)x(s)

:sitionTeilchenpo der Ableitung der aus sich ergibt nkelTeilchenwi Der

i

i

)('

))(sin())(cos()()(

))(cos(

)(

)(

)(')()(')()()()(

)(

s

s1(s) :mit

sxssxsxs2sxs

: wirdeliminiert nGleichunge den

auss Phase die indem man, erhält sPhasenraum des

onKonstrukti zur (s)x' und x(s) zwischen Beziehung Eine

2

i

22

Phasenellipse – allgemeiner Fall

i

22 )s('x)s()s('x)s(x)s(2)s(x)s(

x

x’

imax

x

i

i

imax

'x

i

i

iF

Phasenellipse – im Zentrum eines Quadrupols

oder im Fokus

i

22 xx1

:folgt 0s d.h. ,0ds

d mit

')(

x

x’

i

xmax

ix

max'

iF

Betatronschwingungen für viele Teilchen

))(cos( s(s)x(s)i

(s)sxi

)(max

Maximale Amplitude

eines Teilchens

an einer Position s

Eigenschaft der Teilchen

Eigenschaft des Beschleunigers

Eigenschaft der Teilchen

Betatronschwingungen für viele Teilchen

(s)s und (s)szzzxxx

)()(

Strahlgrösse an

der Position s:

Die Strahlemittanzen x und z sind statistische Grössen

Beispiel für Teilchenverteilung im Strahl

In einem Strahl sind die Teilchen in guter Näherung gaussförmig verteilt. Die

transversalen Dimensionen sind durch z 1 mm und x 1 mm gegeben. Die

Anzahl der Teilchen im Bunch ist N 1011

Die transversale Teilchendichte ist: x z,( )N

2 x ze

x2

2 x2

z

2

2 z2

Zur Kontrolle: Gesamtanzahl der Teilchen:

N5

5

z5

5

x x z,( )óôõ

dóôõ

d N 9.99999 1010

Teilchendichteverteilung im Strahl

Optische Funktionen entlang einer Zelle

B2 B2 B2 B2 B1 B1 B1 B1 QF QD QD

Beispiel: Niedrige Beta Insertion (z.B. für

hohe Luminosität im Beschleuniger)

Quadrupol Quadrupol Fokus

Beta-Funktion

Gespiegelte

Beta-Funktion

Auslegung des Einbaus für ATLAS und CMS

200 m

inner quadrupole

triplet

separation

dipole (warm)recombination

dipole

quadrupole

Q4

quadrupole

Q5

ATLAS

or CMS

inner quadrupole

tripletseparation

dipole

recombination

dipole

quadrupole

Q4

quadrupole

Q5

collision point

beam I

Example for an LHC insertion with ATLAS or CMS

24 m

beam

distance

194 mm

beam II

distance about 100 m

Interaction point

QD QD QF QD QF QD

Experiment

Fokussierender Quadrupol für Strahl 1, defokussierender for Strahl 2

Stark veränderliche Quadrupolmagneten mit großer Apertur (US-JAPAN)

Totaler Kreuzungswinkel von 300 mrad

Strahlgrüße am Interaktionspunkt 16 mm, in Bögen über 1 mm

Kreuzungswinkel für Multi-Bunch Stöße

Distanz 100 m

QF

Quadrupolaufstellfehler und Teilchenbahnen

fehlaufgestellter Quadrupolmagnet

und Einfluss auf die Teilchenbahn

Idealbahn

gestörte

Bahn

Teilchenschwingungen und geschlossene Orbits

Ringbeschleuniger

Idealbahn Kick und Betatronschwingungen

Ringbeschleuniger

Idealbahn Magnetfehler und geschlossener Orbit

Transformationsmatrix für Teilchenkoordinaten

General case for a transformation of particle coordinates from s0 to s1 (with phase

advance in between )

M

1

0

cos ( ) 0 sin ( )( )

0 1( ) cos ( ) 1 0 1( ) sin ( )

1 0

1 0 sin ( )

0

1

cos ( ) 1 sin ( )( )

The transfer matrix around the ring for a position where = 0

M

cos 2Q( )

sin 2Q( )

sin 2Q( )

cos 2Q( )

Allgemeiner Fall Transformation Teilchenkoordinaten von (Phasen- zu

änderung ψ

Transformationsmatrix rund um Ring für Position mit

Berechnung des geschlossenen Orbits ( = 0)

x1 cos 2Q( ) x0 sin 2Q( ) xp0

xp1sin 2Q( )

x0 cos 2Q( ) xp0

Assume an additional dipole distortion that changes the angle of the particle:

x1 cos 2Q( ) x0 0 sin 2Q( ) xp0

xp1sin 2Q( )

0

x0 cos 2Q( ) xp0 d

The closed orbit is the trajectory that closes itself after one turn, that is:

x1= x0 = x and xp1= xp0 = xp

x0

2

sin 2 Q( )

1 cos 2 Q( ) d x

0

2

1

tan Q( ) d

xp1

2d

Betrachten zusätzlichen Dipolmagneten, der Winkel des Teilchens ändert

Geschlossener Orbit ist die Trajektorie, die sich nach Umrundung schließt

Geschlossener Orbit für einen Ringbeschleuniger

Wenn an einer Stelle des Beschleunigers der Strahl zusätzlich

abgelenkt wird, und der Ablenkwinkel:

d

Q)(2

s)sx( 0

0tan

)(

lBp

e

z

0 d

ist der geschlossene Orbit:

Horizontaler und vertikaler Orbit

bei LHC

Orbit Swiss Light

Source, PSI

Einfluss der Impulsabweichung: Dispersion

Verschiedene Teilchen haben einen unterschiedlichen Impuls.

Die Impulsabweichung liegen im allgemeinen bei 10-4 – 10-2

vom Sollipuls.

p

p

s

1sx

s

1(s)'x'

:folgt dann

0s

1 Quadrupole im daher und Quadrupol, im AblenkungKeine

p

p

s

1sxsk

s

1(s)' x'

2

2

)()(

)(

)(

)()()(

)(

24 1010p

p

...

Differentialgleichung für die Dispersion

)()(

)()()(

)( s

1sD

s

1(s)''D

s

1sx

s

1(s)''x

:D(s) sbahnDispersion die für galgleichunDifferenti die folgt damit

1p

p :atzLösungsans

22

Lösung der Dispersionsbahn

• Die Lösung für die Dispersion ergibt sich aus drei Termen:

Im Unterschied zur Betatronmatrix ergibt sich eine Dispersion,

wenn ein Teilchen ohne Dispersion und Dispersionsableitung in

einen Ablenkmagneten läuft

)sin()cos()sin()('

))cos(()sin()cos()(

ss'D

sDsD

s1

s'D

sDsD

0

0

00

Matrix für die Dispersion

1

D

D

100

sss1

s1

ss

1

sD

sD

0

0

')sin()cos()sin(

))cos(()sin()cos(

)('

)(

Um die Dispersionbahn mit einer Matrix zu beschreiben,

sind 3 Terme notwendig:

Dispersionsbahn in einem Ablenkmagneten

0p

p 210

p

p

x0 = 0

x’0 = 0 x1 = 2.91 mm

x’1 = 3.83 mrad

Beispiel für einen Ablenkmagneten mit einer Länge von 1.5 m und einem

Ablenkradius von = 3.82 m

Die Bahnabweichung nach einer Strecke von s 1.5m wird berechnet

D1

Dp1

dummy

coss

1m

sin

s

0

msin

s

coss

0

m1 cos

s

sins

1

D0

Dp0

dummy

D1

Dp1

dummy

0.291

0.383

1

Für ein Teilchen mit Impulsabweichung p= p

p0, mit p 10

2 gilt:

x1 D1 p 1m( ) xp1 Dp1 p

xp1 3.827 103

x1 2.908mm

Dispersionsfunktion am LHC bei 1.18 TeV,

Strahl 1

Bahnverlängerung – Momentum Compaction

p

p

L

L

/

• Ein Teilchen mit Impulsabweichung läuft auf einer anderen Bahn um,

• deren Länge im allgemeinen unterschiedlich von der Länge der Sollbahn ist.

• Der momentum compaction factor (Impuls Kompaktifizierungs-

faktor) wird als relative Längenänderung für

Teilchen mit Impulsabweichung definiert:

dss

sD

)(

)(

L

1

0

Es lässt sich zeigen, dass für den momentum compaction factor gilt:

Die Bahnlänge für eine Teilchen mit

Impulsabweichung ist : p

p

L

L

Transformation der Betatronfunktion

wurdeneingeführt mationhntransforTeilchenba

die für die zen,tionsmatriTransforma die sind

und

:gilt s nach s von Matrix-Beta der

tionTransforma die für dass (K.Wille), zeigen kann Man

:s Position der an Matrix-Beta

:s Position der an Matrix-Beta der Definition

11TT

T

01

10

11

11

11

00

00

00

M

1MM1MM

MBMB

B

B

)(

Transformation der Betatronfunktion durch eine

Driftstrecke Beispiel: Transformation der Beta Matrix in einer Driftstrecke

M1

0

0

0

1

0

0

MD

1

0

L

1

MD

1

0

L

1

M2 MD M1 MDT

MD

M2

0L

2

0

L

0

L

0

1

0

MDT

MDT

1

1

0

0

1

und MD MD1

1

0

0

1

Betatronfunktion für Kreisbeschleuniger

2212

2111

00

00

2221

1211

00

00

T

ring0ring0

T

0110

00

00

0

0

mm

mm

mm

mm

:ausserdem gilt

leunigerKreisbesch im ätPeriodizit der Aufgrund

:gilt s nach s

von Matrix-Beta der tionTransforma die Für

:s Position der an Matrix-Beta der Definition

MBMB

MBMB

Bs0 s1

)s()Ls(

)s()Ls(

k(s)L)k(s

:ngenätsbedinguPeriodizit

Berechnung der optischen Funktionen

0mmm2m2

:gilt wennLösung, eine dann nur gibt Es

1

m2

mm

mmm2m2

m2

:berechnen Funktionen optischen die sich lassen Damit

2

222112

2

11

0

2

0

0

0

12

2211

0

2

222112

2

11

12

0

Zusammenfassung: Lösungsweg

• Differentialgleichung für die Teilchenbahn

• Ansatz von neuen Funktionen, der Betafunktion und der

Phase

• Ein Teilchen macht harmonische Schwingungen in einem

neuen Koordinatensystem

• Man kann die Betamatrix mit Hilfe der bekannten

Übertragunsmatrizen transformieren, dadurch kann man die

Betamatrix um den ganzen Kreisbeschleuniger

transformieren

• Man berücksichtigt die Periodizitätsbedingung nach einem

Umlauf

• Damit kann man die Betafunktion errechnen

Neue Resultate des LHC Aktuelle Teilchenart: Protonen

Höchste Paketanzahl pro Stahrrohr: 1380 Pakete

Fokkusierung (Squezze): 1.5 Meter

Paketabstand im LHC Strahlrohr: 50 Nanosekunden

Anzahl Pakete pro Injektion: 144 Pakete

Luminosität: 1.25 x 1033 cm-2s-1

Bisher gesammelte Datenmenge: 1.33 Femtobarn 09.07.2011 – Higgsbereich

Physik: Der Enerigebereich für die Entdeckung oder den Ausschluss des Higgsbosons

wurden weiter eingegrenzt. Sollte das Higgsteilchen existieren, so müsste es innerhalb

der nächsten 18 Monate durch den LHC entdeckt werden. Die untere Grenze der

Higgsmasse wurde durch den Vorgänger des LHC, dem LEP auf mindestens 114

Gigaelektronenvolt begrenzt, während dessen theoretische Obergrenze bei 600 GeV

liegt.

Da die Aussagekraft der Kollisionsereignisse auf Statistik beruht, wird die Sicherheit

dazu in der sog. Sigma-Signifikanz (σ) angegeben, welche von der gesammelten

Datenmenge abhängt. Ein Ergebnis von 3 Sigma gilt zu 0.27% als zufälliger Effekt.

Wirklich interessant werden Ereignisse ab einem Level von Sigma 4. Ab einem Sigma 5

Level gilt dies als eine neue Entdeckung. Sollte der LHC bei einer gesammelten

Datenmenge von 10 Femtobarn immer noch keine Hinweise auf das Higgsteilchen

gefunden haben, so kann damit die Existenz des Higgsbosons ausgeschlossen werden.

Literaturverzeichnis

[1] Schmidt, Rüdiger: Einführung in die Physik der Teilchenbeschleuniger,

Kompaktveranstaltung an der TU Darmstadt 2011

[2] Morherr, Frank: Stringtheorie, Vortrag an der JLU Giessen 2010

[3] Morherr, Frank: AdS/CFT-Korrespondenz, Vortrag an der JLU Giessen

2011

[4] Naumann, Thomas: Physik mit HERA, Powerpoint DESY Zeuthen

[5] http://home.web.cern.ch/

[6] http://www.physicsmasterclasses.org/exercises/unischule/exp/lorentzkr.htm

[7] http://www.lhc-facts.ch/index.php?page=atlas

[8] http://de.wikipedia.org/wiki/ATLAS_(Detektor)

[9] http://blogs.nature.com/news/2010/12/giant_frozen_nuetrino_telescop_1.

html

[10] http://de.academic.ru/dic.nsf/dewiki/1106110

[11] http://physik.uni-graz.at/~cbl/C+P/contents/Stud-WS01/ schoengassner/

index.htm

[12] http://erlangen.physicsmasterclasses.org/exp_besch/exp_besch_12.html

[13] http://www.fnal.gov/

[14] Nelles, Anna: Kaluza-Klein Dark Matter, Seminarausarbeitung 2007

[15] Wikipedia