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Mit Quantencomputern ins nächste Jahrtausend?
Eine Arbeit von Jens Weidemann
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Inhaltsverzeichnis
Einführung 3
Definition eines Quantencomputers 4
Aufbau und Messung eines Quantencomputers 6
Funktionen und Algorithmen für Quantencomputer 11
Die controlled NOT-Funktion 12
Die NOT-Funktion 13
Die Hadamard-Transformation 14
Die AND-Funktion 14
Der Funktionsaufruf 15
Der Faktorisierungsalgorithmus 18
Grover Search Algorithm 19
Vorteile und Anwendungen Quantencomputer 20
Realisierungsversuche und Probleme 22
Polarisierte Photonen 22
Ionenfallen 23
NMR 26
Forschungserfolge 29
Hintergrundinformationen 31
Parallele Universen 31
Heisenbergs Unschärferelation 32
Schrödingers Katze 32
Schlusswort 33
Quellenangaben 34
3
Einführung
In letzter Zeit erfährt man in Medienberichten immer wieder etwas über Quantencomputer.
Sie sollen schneller sein als alles Bestehende und unsere Computerwelt vollständig
revolutionieren.
Doch was steckt dahinter? Was ist das Besondere und Außergewöhnliche an der
Funktionsweise der Quantencomputer? Wie kann man die zu Grunde liegenden Mechanismen
verstehen?
Genau das versuche ich in dieser Arbeit zu klären. Ich habe dieses Thema gewählt, weil ich
selbst viel mit Computern zu tun und die aktuellen Forschungsergebnisse aus eigenem
Interesse verfolgt habe. Daher sind Quantencomputer für mich ein faszinierendes Gebiet. Ich
werde über den theoretischen Quantencomputer berichten, über bereits entwickelte
Algorithmen und über Realisierungsversuche und Probleme, die diese noch verhindern.
Woher kommt dieses Interesse an Quantencomputern?
In der heutigen Zeit stehen bei der Computerentwicklung die Miniaturisierung der Hardware,
ein geringerer Energieverbrauch, Mobilität und die Beschleunigung von Rechenoperationen
im Vordergrund. Würde der Miniaturisierungstrend weiter so fortgesetzt, würden wir bald in
Größenordnungen eines Atoms vorstoßen, was wohl kaum möglich ist. Auch wenn eine
konkrete Nutzanwendung für derartige Quantencomputer fehlt, so verbargen sich hinter
diesem faszinierenden Gebiet in den letzten Jahren für viele Physiker echte Überraschungen.
Bei verschiedenen Computerfirmen wie z.B. IBM, HP oder auch AT&T befassen sich seit
einigen Jahren eigene Forschungsgruppen mit den Möglichkeiten von Quantencomputern und
ihrer Realisierung.
Quantencomputer arbeiten auf den Grundlagen der Quantenphysik, deshalb ist nötig,
klassische Denkweisen und Erfahrungen aus der Physik in den Hintergrund zu stellen und
sich auf neue Auffassungen von Realität und Natur einzustellen die bei Quantenobjekten
anders sind als bei Gegenständen unseres Alltages.
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Definition eines Quantencomputers
Doch bevor wir weiter in die Materie vordringen, muss man sich bestimmten
Gesetzmäßigkeiten bewusst sein. Klassische Systeme sind unvorhersehbar, weil sie abhängig
von ihren Startbedingungen sind. Quantenmechanische Systeme dagegen sind aus einem
anderen Grund unvorhersehbar. Da sie in mehreren Universen gleichzeitig existieren (siehe
Everetts Theorie der parallelen Welten) und darin sich unterschiedlich Verhalten erscheint es
in jedem Universum zufällig. Man muss den newton’schen Determinismus abstreifen, denn
nach Heisenbergs Unschärferelation ist es unmöglich gleichzeitig Geschwindigkeit und
Position eines Teilchens genau zu bestimmen und offenbarte uns damit, dass
mikrophysikalische Systeme alles andere als deterministisch sind (siehe
Hintergrundinformationen).
Ein klassischer Computer arbeitet mit Bits die in ihrem Binärsystem nur 2 unterschiedliche
Zustände 1 und 0 haben können, wobei wir 1 für JA (ein Strom fließt) und 0 für NEIN (kein
Strom fließt) übersetzen können. Ein Quantencomputer besteht aus Q-Bits, Qu-Bits oder
auch Quantenbits genannt. Auf den Aufbau möglicher Q-Bits werde ich später eingehen.
Zustände betrachtet man in der Quantenphysik mithilfe von Vektoren. Also wäre der Vektor
(0,1) auf der x-Achse mit NEIN und (1,0) auf der z-Achse mit JA zu übersetzen und wobei
diese Vektoren in der Ebene liegen. Der eingeschlossene Raum wird Hilbertraum genannt.
Quantencomputer haben also zwei Basiszustände, einen Anfangszustand (0,1) und einen
Zustand der das Ergebnis der Rechnung in sich trägt (1,0). Quantendynamische Vorgänge
werden durch Drehungen beschrieben, wodurch Überlagerungen und Mischzustände
entstehen. Das Ergebnis erhält man also durch Drehung von der x-Achse zur z-Achse und was
dazwischen passiert bzw. welche Überlagerungen entstehen, bleibt uns teilweise verborgen.
Zur Veranschaulichung kann man das mit Schrödingers Katze vergleichen.
5
Zur weiteren Definition eines Quantencomputers gehört die Fähigkeit der absoluten
Reversibilität. Auch klassische Computer können reversibel rechnen indem sie
Zwischenergebnisse speichern und abrufen können, was aber keine echte Lösung ist. Bei
einer quantenmechanischen Berechnung kann man jede Drehung rückgängig machen. Der
Sachverhalt der reversiblen Rechnung wird noch an der AND-Funktion deutlich.
Quantencomputer nutzen den Interferenz-Effekt. Da Q-Bits wie Wellen Wechselwirken
können manche sich verstärken und manche sich auslöschen. Q-Bits können aber nicht nur
Wechselwirken, sie können sich vereinigen zu Überlagerungen mit sehr vielen Variablen und
sich wieder trennen.
Quantenphänomene können nicht innerhalb eines Universums simuliert werden, sondern
benötigen hierfür die Interferenz einer Vielzahl paralleler Universen. Hierbei werden die
Computerberechnungen in unterschiedlichen parallelen Universen durchgeführt und die
Ergebnisse durch Interferenz übermittelt (siehe Everetts Theorie der parallelen Welten).
6
Aufbau und Messung von Quantencomputer
Wir haben nun schon gehört, dass Quantencomputer aus Q-Bits bestehen, die 2
Basiszustände und unendlich viele Mischzustände annehmen können. Sie besitzen den
Anfangszustand (0,1) und einen Zustand der das Ergebnis der Rechnung in sich trägt (1,0)
oder auch |0> und |1> als Ket-Vektoren, die die bevorzugte Darstellung der Zustände sein
wird. Die Überlagerungszustände, auch Superposition genannt (siehe Superpositionsprinzip),
kennzeichnet man mit der Formel:
a|0> + b|1>
Die Variablen a und b können alle positiven rationalen Zahlen annehmen solange a²+b²=1
gilt. Sie geben an ob sich der Vektor näher an der z-Achse oder näher an der x-Achse
befindet.
Ähnlich dem klassischen Computer müssen Q-Bits bestimmte Schaltungen durchlaufen, die
bestimmte Operationen durchführen. Damit ein klassischer Computer größere Mengen von
Informationen speichern und verarbeiten kann brauch er jede Menge Bits. Wenn er z.B. die
zahl 9 darstellen möchte so ergibt das Binärsystem die Ziffernfolge 1001. Er brauch also
genau 4 Bits, um sich die Zahl merken zu können, bei dem das erste Bit den Zustand 1, das
zweite Bit den Zustand 0, das dritte Bit den Zustand 0 und das vierte Bit den Zustand 1
besitzt.
Zum Vergleich betrachten wir einen Quantencomputer mit 2 Q-Bits. Man kann die Q-Bits
zunächst in einen Basiszustand halten, wobei das erste Q-Bit den Zustand 1, also |1>, und das
zweite Q-Bit erhält den Zustand 0, also |0>, erhält. Das Gesamtsystem beinhaltet folglich den
Zustand |ø> , den man als das Produkt der Teilzustände erhält:
|ø> = |1> |0>
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Man kann also einen Quantencomputer mit 4 Q-Bits bauen der aber mit einem Binärsystem
arbeitet, was schon realisiert wurde. So ein Quantencomputer würde natürlich nicht schneller
als ein klassischer Computer arbeiten, da er die Vorteile der Interferenz und Überlagerung
nicht nutzt.
Es müssen schlussfolgernd auch beliebige Überlagerungen bzw. Superpositionen
angenommen werden können. Der allgemeinste Zustand eines 2-Q-Bit-System lässt sich
durch folgende Summe schreiben:
|ø> = a |0>|0> + b |0>|1> + c |1>|0> + d |1>|1>
Es muss wieder a² + b² + c² + d² = 1 gelten, da die Variablen, zum Quadrat, die
Wahrscheinlichkeit beschreiben, mit der dieser Zustand bei einer Messung auftritt, und die
Summe dieser Wahrscheinlichkeiten in der Quantenphysik 1 ergeben muss.
Befindet sich nur ein Q-Bit in einer Superposition und das zweite in einem Basiszustand,
kann man das Gesamtsystem wieder in ein Produkt |ø> schreiben:
|0>|0> + |0>|1> = ( |0> + |1>) |0>
Die beiden Q-Bits bilden 2 unabhängige Teilsysteme.
Wenn man aber 2 Q-Bits in Superposition hat dann wird die Schranke zwischen den
Teilsystemen verschwinden und man hat einen Überlagerungszustand, in dem man nicht
erkennen kann, welche Zustände jedes einzelne Q-Bit besitzt. Sie verschmelzen zu einem
System und sie können nicht mehr unabhängig voneinander betrachtet werden. Eine
Produktbildung ist nicht möglich, deswegen nennt man den Zustand auch „verschränkter
Zustand".
ø> = |0>|0> + |1>|1>
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Erst eine Messung veranlasst das System sich für einen Zustand zu entscheiden. Der
Indeterminismus der Quantenphysik verhindert eine Aussage, wie die Entscheidung ausfällt,
jedoch kann man Wahrscheinlichkeiten ausrechnen, welchen Zustand das System annimmt,
wenn man eine Zwischenmessung vornehmen würde.
In einem Q-Bit gilt: a|0> + b|1>. Die Variablen a und b geben uns Auskunft über die
Wahrscheinlichkeit mit der der Zustand 0 bzw. 1 auftreten wird. Diese Wahrscheinlichkeit
berechnet sich aus: a² bzw. b². Es ist zu beachten das der Zustand, den man durch die
Messung erhält, erst durch die Messung vom Q-Bit angenommen wurde. Die Superposition
wurde damit aufgehoben.
In der folgenden Tabelle erkennt man Zustände, die ein Messgerät für verschiedene Fälle in
den 2 Q-Bits wahrnimmt.
Bei dem ersten Zustand befinden sich beide Q-Bits im Basiszustand 0 weshalb die Messung
ebenfalls 0 ergibt.
Beim zweiten Zustand liegen wieder beide Q-Bits in einem Basiszustand, die Messung
bestätigt die Zustände.
Beim dritten Zustand befindet sich das erste Q-Bit wieder im Basiszustand 1 und das zweite
Q-Bit in einer Superposition, deren Messung ein zufälliges Ergebnis ausgibt, dessen
Wahrscheinlichkeiten berechnet werden können (siehe oben).
Der vierte Zustand ähnelt dem dritten, mit dem Unterschied, dass sich das erste Q-Bit diesmal
in der Superposition befindet und das zweite definitiv 0 ergibt.
Beim Letzten handelt es sich um einen verschränkten Zustand, indem sich beide Q-Bits in
Superposition befinden und voneinander abhängig sind.
Zustand Messung im Q-Bit 1 Messung im Q-Bit 2
|0>|0> 0 0
|1>|0> 1 0
|1>|0> − |1>|1> 1 0 oder 1
|0>|0> + |1>|0> 0 oder 1 0
|0>|0> + |1>|1> 0 oder 1 0 oder 1
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Um die Wahrscheinlichkeit in einem 2-Q-Bit-System zu berechnen, betrachtet man wieder
den allgemeinsten Fall:
|ø> = a |0>|0> + b |0>|1> + c |1>|0> + d |1>|1>
für den wieder a² + b² + c² + d² = 1 gelten muss, um den Wahrscheinlichkeitsgesetzten der
Quantenphysik gerecht zu werden. Folgende Fälle sind zu betrachten:
- steht im ersten Q-Bits jedes Summanden |0>, so ergibt die Messung ebenfalls 0 da sich
das erste Q-Bit im Basiszustand 0 befindet und z.B. das andere in Überlagerung.
Mögliche Zustände sind: |ø> = |0>|0>; |ø> = |0>|1>; |ø> = c (|0>|0> + |0>|1>), wobei
c die Normierungskonstante für quantenphysikalische Wahrscheinlichkeits-
berechnungen ist: c=1/�2. Das System behält den Zustand während der Messung bei.
- steht im ersten Q-Bit jedes Summanden |1>, so ergibt die Messung ebenfalls 1 da sich
das erste Q-Bit im Basiszustand 1 befindet und z.B. das andere in Überlagerung.
Mögliche Zustände sind: |ø> = |1>|1>; |ø> = |1>|0>; |ø> = c (|1>|0> + |1>|1>) mit
c=1/�2. Das System behält den Zustand während der Messung bei.
- besitzt das erste Q-Bit die Superposition |0>|1> (es steht im ersten Q-Bit eines
Summanden |0> und in einem zweiten |1>), so sind beide Messergebnisse möglich. Es
gilt:
- 0 wird mit der Wahrscheinlichkeit a²+b² gemessen. Nach der Messung befindet sich
das Gesamtsystem im Zustand |ø> = C(a|0>|0> + b|0>|1>) wobei C=1/(�(a²+b²)) gilt.
b|1>|1> wurde somit in b|0>|1> geändert, so dass keine Superposition beider Q-Bits
mehr vorliegt bzw. das erste Q-Bit liegt im Basiszustand 0 vor, weswegen das
Messergebnis 0 beträgt.
- 1 wird mit der Wahrscheinlichkeit c²+d² gemessen. Nach der Messung befindet sich
das Gesamtsys tem im Zustand |ø> = C(c|1>|0> + d|1>|1>) wobei C=1/(�(c²+d²)) gilt.
c|0>|0> wurde somit in c|1>|0> geändert, so dass keine Superposition beider Q-Bits
mehr vorliegt bzw. das erste Q-Bit liegt im Basiszustand 1 vor, weswegen das
Messergebnis 1 beträgt.
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Nach der Messung werden die Superpositionen zumindest für das erste Q-Bit aufgehoben
(und wenn man die Messprozedur beim zweiten Q-Bit ansetzt, alle Superpositionen) und es
gehen Daten unwiederbringlich verloren.
Wenn man nun im Fall ø> = |0>|0> + |1>|1> (also beide Q-Bits in Superposition) eine
gleichzeitige Messung vornimmt, d.h. die oben erwähnte Messung für beide Q-Bits
gleichzeitig anwendet, so erhält man entweder das Ergebnis 00 oder 11. Welcher Fall eintritt
ist unbestimmt, jedoch ergibt die Messung niemals 10 oder 01. Beide Q-Bit sind also nicht
völlig voneinander unabhängig, man sagt, dass sie korreliert sind.
Q-Bits enthalten mehr Informationen als klassische Bits. Der Zustand ø> = |0>|0> + |1>|1>
enthält folglich die Zahlenpaare 00 und 11. Auch wenn wir nach der Messung nur auf eines
dieser Zahlenpaare treffen so sind sie trotzdem gespeichert und können zur Berechnung
benutzt werden.
Diese Effekte nehmen mit wachsender Zahl von Q-Bits expotenziell zu und steigern so die
Leistung von Quantencomputer erheblich.
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Funktionen und Algorithmen für Quantencomputer
Es gibt nur sehr wenige Algorithmen die für den Quantencomputer entwickelt worden, denn
sie sind größtenteils Gegenstand derzeitiger Forschung. Lov Grover gelang es einen
Suchalgorithmus zu entwickeln, der aus einer Datenbank einen bestimmten Namen
heraussuchte. Ich stelle aber auch viele theoretische Funktionen vor, die die Vorteile
Quantencomputer verdeutlichen und die den Unterschied zum klassischen Computer
verdeutlichen.
Die NOT-Funktion klassischer Computer
Jegliche Eingabe in einen klassischen Computer wird in Bits mit den Werten 0 oder 1
dargestellt. Mithilfe der NOT-Funktion kann man zwischen den Zuständen hin- und
herschalten, d.h. aus 1 wird 0 und aus 0 wird 1.
Eingang Ausgang
0 1
1 0
Die klassischen Bits 0 und 1 lassen sich in Q-Bits |0> = (0,1) und |1> = (1,0) gemäß der Ket-
Vektoren übersetzen. Doch bei Q-Bits gibt es, wie schon oben erwähnt, Überlagerungen, die
man mit folgender Schreibweise ausdrücken kann:
a|0> + b|1>
Mit a²+b²=1, da a² und b² die Wahrscheinlichkeit des Zustandes 1 oder 0 beschreiben
zusammen 1 ergeben müssen. Wäre a=b, dann hätten wir quasi einen Mittelzustand, den wir
mit JEIN übersetzen könnten, da es eine 50% Wahrscheinlichkeit für die beiden Zustände
gibt.
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Die controlled NOT-Funktion:
In einem 2-Q-Bit-System hat das erste Q-Bit die Aufgabe, zu entscheiden ob eine Änderung
vorgenommen wird oder nicht. Ist der Zustand des ersten Q-Bits also |0>, so wird der Zustand
des zweiten Q-Bits nicht geändert. Ist er jedoch |1>, so werden die Zustände im zweiten Q-
Bit vertauscht. Da folglich das zweite Q-Bit vom Ersten abhängt, spricht man von
Wechselwirkung, ohne die kein Computer etwas berechnen könnte.
Das erste Q-Bit veranlasst die cNOT-Funktion (hier kurz cN = controlled NOT) den Zustand
des zweiten zu ändern und verändert den eigenen Zustand nicht.
Liegt eine Superposition vor, so werden diese Formeln linear kombiniert. Jeder Summand
verhält sich wie in den oben geschriebenen Formeln. So wird beispielsweise aus:
cN (|0>|0> +|1>|0>) = |0>|0> + |1>|1>
aus cN |1>|0> wird |1>|1> �
Eingang Ausgang
cN |0>|0> |0>|0>
cN |1>|0> |1>|1>
cN |0>|1> |0>|1>
cN |1>|1> |1>|0>
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Die NOT-Funktion
Jedoch gibt es auch die NOT-Funktion N, die nur mit einem Q-Bit arbeitet und den Zustand
immer ändert: und.
N |0> = |1>
N |1> = |0>
Eine Superposition wird folgendermaßen geändert:
a|0> + b|1> = b|0> + a|1>
Es werden einfach die Wahrscheinlichkeiten vertauscht mit dem jeder Zustand auftreten kann,
oder anders erklärt wird wieder jeder Summand differenziert betrachtet: aus a|0> wird a|1>
und aus b|1> wird b|0>.
Die N-Funktion ändert bei dem Zustand |0> - |1> lediglich die Vorzeichen:
|0> - |1> = -(0,1) + (1,0)
da der Vektor -(0,1) + (1,0) der umgekehrte Vektor von (0,1) – (1,0) ist.
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Die Hadamard-Transformation
Die Hadamard-Transformation ist durch den Buchstaben H gekennzeichnet und durch
folgende Formeln definiert:
H |0> = c ( |0> + |1> )
H |1> = c ( |0> - |1> )
Wobei c wieder die Normierungskonstante c=1/�2 ist.
Die Hadamard-Transformation stellt aus den Basiszuständen Superpositionen her. Die
Bestandteile sind weiterhin enthalten und wird die Hadamard-Transformation zweimal
angewendet, so erhält man wieder den Ausgangszustand. Aus einer Superposition entsteht
also ein Basiszustand, wenn man die Formel einfach umdreht.
Die AND-Funktion
Für die AND-Funktion benötigt ein klassischer Rechner 2 Bits:
Eingang 1 Eingang 2 Ausgang
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Die AND-Funktion ist nicht reversibel. Ein klassischer Computer kann aus den Zuständen 0
und 1 nicht schließen, um welche Eingaben es sich handelte. Die AND-Funktion birgt also ein
irreversibles Element.
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Quantencomputer können nur aber vollständig reversibel rechnen und kommen somit ohne
AND-Funktion aus. In einem 2-Q-Bit-System in Basiszuständen gibt es die möglichen
Zustände |0> und |0>, |0> und |1>, |1> und |0> und |1> und |1> in denen das UND schon
vorhanden ist. Somit ist die AND-Funktion schon in der Konzeption eines Quantencomputers
enthalten und man kann die Ausgangszustände erkennen.
Funktionsaufruf
Für den Aufruf einer Funktion betrachten wir wieder unser 2-Q-Bit-System mit dem man
einfache Funktionen berechnen kann. Sie haben die Form:
f: {0,1} à {0,1
Es gibt also vier mögliche Funktionen:
f (0) = 0, f (1) = 0 (konstant 0)
f (0) = 1, f (1) = 1 (konstant 1)
f (0) = 0, f (1) = 1 (Identität)
f (0) = 1, f (1) = 0 (Vertauschung)
Dafür definiert man die Operation U der Funktionen f:
U |m> |n> = |m> |n + f(m)>
|m> und |n> steht jeweils für ein Q-Bit und sie können die Werte |0> und |1> annehmen. Das
Pluszeichen veranlasst die „Addition modulo 2“ vom Funktionswert von |m> und dem
Zustand von |n>. Dafür gilt: 1+1=0; 1+0=1; und 0+0=0. Die Q-Bits Wechselwirken wieder,
sind korreliert.
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In der folgenden Tabelle sehen wir die Auswirkung der Operation U auf die konstante
Funktion f{0,1}=1.
Eingang Ausgang
U |0>|0> |0>|1>
U |1>|0> |1>|1>
U |0>|1> |0>|0>
U |1>|1> |1>|0>
Der Zustand des ersten Q-Bits bleibt unverändert, während der Zustand des zweiten Q-Bits
immer mit 1 addiert wird (modulo 2).
Liegt eine Superposition vor, so werden die Formeln linear kombiniert, d.h. in diesem Fall
wird jeder Summand nach den oberen Formeln einzeln betrachtet.
U ( |0>|0> + |1>|0> ) = |0>|1> + |1>|1>
oder auch
U ( |0>|f(0)> + |1>|0> ) = |0>|1> + |1>|f(1)>
Es liegt also ein Zustand vor, indem alle Paare m, f(m) der Funktionen f: {0,1} à {0,1}
enthalten sind. Sofern wir aber keine Kopie des Systems haben (was aber durch Teleportation
realisierbar ist), ist uns eine Messung verboten, da wir sonst wieder Superpositionen zerstören
würden und Informationen verloren gingen.
Die Operation U lässt sich für jeder der vier Funktionen f: {0,1} à {0,1} realisieren, indem
man zusätzlich NOT-Funktionen mit in Reihe schaltet.
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Schlussfolgernd ist es möglich durch einen Aufruf einen Quantenzustand zu erzeugen, in dem
Informationen über alle Funktionswerte enthalten sind. Derartiges ist mit klassischen
Computern nicht möglich.
Durch verschieden Schaltpläne kann man mit den Funktionen arbeiten, z.B. die Konstanz der
Funktionen bestimmen (auch als Deutsch’s Problem bekannt) oder Funktionswerte modulo 2
addieren. Der revolutionäre Vorteil ist, dass Quantencomputer dafür nur einen Aufruf der
Funktion benötigen, weil sie alle nötigen Informationen in einer Superposition gleichzeitig
speichern können. Während ein klassischer Computer die gestellte Aufgabe für 2
Funktionswerte durchführen muss. Dies spart die Hälfte der notwendigen Funktionsaufrufe.
Das klingt zwar auf den ersten Blick nicht sonderlich großartig, führt aber mit komplexeren
Aufgaben zur einer Einsparung der Rechzeit, die ins Milliardenfache geht.
Wenn wir einen komplexen Quantencomputer mit wesentlich mehr Q-Bits haben, kann man
Funktionen mit sehr vielen Werten gleichzeitig auswerten. Man bezeichnet diese Fähigkeit als
den massiven Parallelismus von Quantencomputern. Das ist einer der wichtigen Fähigkeiten,
damit Quantencomputer in Sachen Geschwindigkeit unsere Computerwelt revolutionieren.
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Der Faktorisierungsalgorithmus
1994 entdeckte Peter Shor in den AT-T Bell Labs den ersten praktisch verwendbaren
Algorithmus, mit dem eine Zahl in ihre Primfaktoren zerlegen kann.
An der zu zerlegenden Zahl erkennt der Quantencomputer alle möglichen Werte und
errechnet daraus eine Superposition. Das Ergebnis kann nicht gemessen werden, da sonst die
Superposition verloren geht und das System sich, gemäß Schrödingers Katze, für einen
Zustand entscheidet, also nur einen zufälligen Wert zurückliefert. Jedoch kann man mithilfe
der „Diskreten Fourier-Transformation“ das richtige Ergebnis ermitteln.
Ein klassischer Computer muss alle Werte von 1 bis zur Wurzel der zu zerlegenden Zahl
ausprobieren. Gehen wir von einem Computer mit 10^10 Teilungen/Sekunde aus, so brauch
er länger als die geschätzte Dauer des Universums. Die Methode ist also praktisch nicht
anwendbar.
Von diesem Phänomen macht die Verschlüsselung durch den RSA-Algorithmus gebrauch. Er
geht davon aus, dass es klassisch unmöglich ist, größere Zahlen in ihre Primfaktoren zu
zerlegen. Ein Quantencomputer könnte dies aber und wäre damit eine große Gefahr für die
Datensicherheit.
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GSA (Grover Search Algorithm)
Geht man von einer Datenbank mit N Namen, in unserem Beispiel 1.000.000 Namen, aus, so
muss ein klassischer Computer alle nacheinander durcharbeiten, was zu einem Aufwand von
500.000 Schritten führt, also N/2 Schritte. Lov Grovers Suchalgorithmus braucht nur 1.000
Schritte, also �N.
Dies funktioniert durch die so genannte „Grover-Iteration“ im Quantenregister, die die
Wahrscheinlichkeit für das richtige Ergebnis erhöht und für die Falschen verringert. So stößt
man durch einfaches Auslesen schneller auf das richtige Ergebnis. Dieser Algorithmus konnte
schon erfolgreich in einen Quantencomputer implementiert werden.
Brauchte man für diesen Algorithmus noch den genauen Namen der gesuchten Person, so
kann Grovers neuester Algorithmus auch Personen durch ungenaue Angaben finden. Leider
waren dazu keine wissenschaftlichen Informationen zu finden, da er erst im Sommer 2000
vorgestellt wurde.
Hierzu ein Beispiel von Grover selbst:
"Vielleicht erinnern sie sich nur noch an den Vornamen John, aber nicht an den Nachnamen,
ausgenommen, dass er etwas wie Smith, Jones oder Miller war", so Grover. "Sie denken, die
Wahrscheinlichkeit, dass der Nachname Smith war, liegt bei etwa 50 Prozent, 30 Prozent,
dass es sich um Jones handelt und 20 Prozent, dass es Miller war. Zudem erinnern sie sich,
dass er in der Nähe des Lincoln Center in New York City lebt und von seinem Apartment auf
den Broadway sehen kann. Außerdem wissen sie zufällig, dass die letzten vier Ziffern die
gleichen waren wie die ihres Arztes."
Auch wenn dieses Beispiel konstruiert klinge, sei diese Art von Problemen in der Informatik
und Statistik alltäglich, so Grover, und mit seinem Algorithmus drastisch schneller zu lösen
als mit jedem heute konventionellen Computer.
20
Vorteile und Anwendungen der Quantencomputer
Quantencomputer können wesentlich schneller Daten verarbeiten als alle bisherigen
klassischen Computer, weil sie nicht, wie klassische Computer alles nacheinander Berechnen,
sondern Berechnungen parallel simulieren. Ein rein quantenmechanischer Prozess ist zeitlos,
in ihm gibt es weder Vergangenheit noch Zukunft.
Sie sind sehr wahrscheinlich in der Lage Bewusstsein zu erzeugen, die fähig wären hinter die
Gödelgrenze des Menschen zu schauen, d.h. der Quantencomputer kann Wahrheiten
erkennen, die wir nicht erkennen können, weil wir trotz Vorstellungskraft nicht in der Lage
sind aus der 3.Person auf uns und unsere Umwelt zu schauen. Quantencomputer würden uns
in Intelligenz um Längen schlagen. Sie wären fähig jede Gödelgrenze zu überschreiten, indem
sie ein Bewusstsein erzeugen, das dazu in der Lage ist.
Ein universeller Quantencomputer könnte alle Berechnungen durchführen, die jeder beliebige
Quantencomputer oder jede Turing-Maschine durchführen kann, und er könnte jede endliche
physikalisch mögliche virtuelle Realität konstruieren und wäre damit die Lösung aller „Hard
Problems“ und Problemen, die mit Turing-Maschinen gar nicht zu lösen sind. Auch könnten
mit Hilfe von Quantencomputer Tests zur Nichtlokalität und zu anderen Quanteneffekten
durchgeführt werden. Er wäre auch die Lösung für Berechnungen, die wir nicht anstellen,
weil sie länger dauern, als das für uns Menschen akzeptabel ist.
Eine weitere wichtige Anwendung Quantencomputer ist die Kryptografie. Da die
Berechnungen zur Ver- und Entschlüsselung nahe zu in Echtzeit durchgeführt werden,
könnten Quantencomputer eine entscheidende Rolle für Datensicherung in unserer
Wissensgesellschaft spielen (siehe Faktorisierungsalgorithmus).
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Quantencomputer würden einen echten Zufallsgenerator simulieren können. Selbst auf einem
klassischen Rechner werden Zahlen aus einem Zufallsgenerator letztendlich berechnet, sind
also keineswegs richtige Zufallszahlen. Für viele Anwendungen kann das durchaus zu
falschen Ergebnissen führen, wenn man nicht aufpasst. Die Quantentheorie liefert mit dem
Indeterminismus die passende Eigenschaft die es erlaubt echte Zufallszahlen zu erzeugen
(siehe Funktionen für Quantencomputer).
Mit dem Suchalgorithmus von Lov Grover wäre es in Zukunft möglich Suchaufgaben in
unendlich kleiner Zeit zu lösen, weil nicht wie bisher die gesamte Datenbank durchsucht und
mit dem gewünschten Objekt verglichen wird, sondern ein Quantencomputer wie ein Mensch
reagiert und das richtige Objekt erkennt und herausnimmt. (siehe Funktionen für
Quantencomputer).
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Realisierungsversuche und Probleme
Es gibt mehrere Methoden, um Quantencomputer bzw. Q-Bits zu realisieren. Grundsätzlich
braucht man Objekte, bei denen sich die lineare Grundstruktur der Quantentheorie einfügen
lässt und die zwei Basiszustände besitzen, die man entsprechend mit JA oder NEIN
übersetzen kann, sowie es möglich sein muss Superpositionen herzustellen. Die dargestellten
Q-Bits müssen fähig sein zu interferieren bzw. zu wechselwirken.
Dazu die drei wichtigsten Realisierungsversuche, die ich vorstellen werde:
- Polarisierte Photonen
- Ionenfallen
- Kernspinresonanz (NMR)
Es gibt auch neue Methoden der Realisierung, die allerdings noch nicht erfolgreich
demonstriert worden und Gegenstand aktueller Forschung sind:
- Quantenoptische Systeme
- Polymere
Polarisierte Photonen
Wenn wir den Spin von polarisierten Photonen messen können wir uns unseren Basiszustand
0 als horizontal polarisiert bzw. parallel zur Messrichtung polarisiert und den Zustand 1 als
vertikal polarisiert bzw. orthogonal zur Messrichtung polarisiert wieder finden. Man kann
sich dazu Licht vorstellen mit jeweils einem einzelnen Photon auf dem Weg. Man weiß
darüber hinaus aus Experimenten mit einem Polarisationsfilter, dass auch beliebige
Überlagerungen auftreten können. Aber auch aus polarisiertem Licht lassen sich
Überlagerungen leicht herstellen.
23
Ionenfallen
Bei diesem Konzept werden Q-Bits durch Energiezustände von Ionen repräsentiert, wobei
sich die Ionen aufgereiht in einer Ionenfalle befinden. Man nutzt das Prinzip, dass geladene
Teilchen in Magnetfeldern eingeschlossen werden können. Dazu baut man ein inhomogenes
elektromagnetisches Feld auf à Paulfalle. Die Paulfalle besteht aus einer Ringelektrode und
2 Kappenelektroden im Abstand von etwa 1mm. Das alles wird in einem Vakuum aufgebaut:
Das Ion bzw. die Ionen sind nun im Magnetfeld der Paulfalle eingeschlossen:
24
Das Ion wird nun von einem Laser bis auf Tausendstel über dem absoluten Nullpunkt
abgekühlt. Es befindet sich nun also in praktischer Ruhelage. Man kann das Ion nun
wochenlang in der Fall isoliert speichern und Experimente daran verüben, da ungewünschte
Störungen, wie z.B. Atomstöße, nicht auftreten. Durch die Streuung des Lichtes kann man das
Ion sogar unter einem Mikroskop als leuchtenden Punkt beobachten. Hier Bilder von einem
bzw. mehreren gefangenen Ionen:
Für unsere Quantencomputer betrachtet man das Energieniveau eines Ions. Dazu wählt man
die zwei Basiszustände 0e (Grundzustand) und 1e (bei angeregtem Zustand), wobei e für den
Energiezustand des äußersten Elektrons steht.
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Jedem Ion ist ein Laserstrahl zugeordnet, mit dessen Hilfe Operationen auf ein einzelnes
Teilchen durchgeführt werden können. Der durch die gegenseitige, magnetische Abstoßung
zwischen den Ionen entstandene Abstand genügt dabei, um jedes einzeln zu betrachten. Jedes
Ion kann nun, durch eine geeignete Wahl der Frequenz, in den energetischen Grundzustand
|0> bzw. 0e und in einen angeregten Zustand |1> bzw. 1e gebracht werden. Genauso können
Superpositionen erhalten bzw. hergestellt werden.
Um allerdings ein 2-Q-Bit-System umzusetzen, muss eine weitere Eigenschaft der Ionen
ausgenutzt werden. Die Ionen führen in der Ionenfalle ihre Bewegung entlang einer
bestimmten Achse immer gemeinsam aus, d.h. wenn eines der Ionen einen Impuls erhält,
würden sich die anderen Ionen ebenfalls mitbewegen.
Um nun eine controlled NOT-Funktion zu realisieren, wird das erste Ion einem Laserpuls
ausgesetzt. Nun besitzt das Ion aber abhängig von seinem Zustand verschiedene
Resonanzfrequenzen und wird nur in einem Fall das Photon absorbieren. Dadurch erhält es
einen Impuls, der zwar sehr gering ist, jedoch genügt, um das Ion und damit die ganze
Ionenkette in Bewegung zu versetzen. Befindet sich das Ion im anderem Basiszustand, so
wird der Laser keinen Einfluss verüben. Nun setzt man das zweite Ion ebenfalls einem
Laserstrahl aus, der es in den anderen Grundzustand versetzt. Die Frequenz des Laserstrahls
ist allerdings so gewählt, dass das Ion ihn nur absorbiert, wenn es sich bewegt. Da wir das
erste Ion in Bewegung und damit in den Zustand |1> gesetzt haben wird das zweite Ion den
Laserstrahl absorbieren und wir haben damit die gewünschte Zustandsänderung im zweiten
Ion erreicht.
Viele Experimente zu Quanteneffekten wie z.B. zur Teleportation wurden erfolgreich mithilfe
von Ionenfallen durchgeführt. Teleportation steht für das Übertragen von einem
Quantenzustand auf ein anderes System bzw. ein anderes Ion. So könnte man beim
Quantencomputer Kopien von Berechnungen anfertigen und Zwischenergebnisse messen.
Wir wissen ja bereits, dass Messungen die Rechnung bzw. die Superpositionen zerstören,
weswegen Kopien der Zustände äußerst nützlich wären.
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Es ist des Weiteren möglich die innere Schwingung eines Ions pro Sekunde zu bestimmen
und damit Uhren darzustellen, die um ein Vielfaches genauer wären wie Atomuhren und ihr
Anwendung in der Weltraum-Navigation, zur Berechnung des Kontinentaldrifts oder auch zur
Synchronisation für z.B. ISDN finden würden.
Das Problem der Ionenfallen stellt die ständige Kühlung der Ionen auf fast 0 Kelvin und die
zufällig auftretende Dekohärenz dar. Deshalb kann kein größerer Quantencomputer mit Hilfe
von Ionenfallen gebaut werden. Des Weiteren ist es noch nicht möglich die Laserbestrahlung
mit absoluter Präzision durchzuführen.
NMR
Die derzeit erfolgreichste Methode, Quantencomputer zu realisieren basiert auf nuklearer
magnetischer Resonanz (NMR). Sie steht für die Kernspinresonanz und ist bereits aus der
Medizin unter dem Begriff der Kernspintomografie bekannt.
Man wählt eine geeignete Flüssigkeit aus, deren Moleküle aus Atomen mit den gewünschten
Kernspins bestehen. Da Moleküle an sich nicht geändert werden können, stellt jedes Molekül
einen einzelnen Quantencomputer dar, der mit genau so vielen Q-Bits arbeitet, wie das
Molekül Atome besitzt.
Die Q-Bits entsprechen dabei dem Spin der Atomkerne des Moleküls in einem magnetischen
Feld. Jedes dieser Spins wirkt wie ein winziger Stabmagnet und kann entweder in die gleiche
oder in die entgegengesetzte Richtung in Bezug auf das magnetische Feld ausgerichtet sein.
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Ist der Spin des Atoms genauso wie das Feld ausgerichtet, so hat es einen niedrigeren
Energiezustand und repräsentiert daher Basiszustand |0>. Ist er entgegengesetzt den
magnetischen Feldlinien ausgerichtet, so befindet sich das Q-Bit im Zustand |1>. Es ist nun
möglich diese winzigen Energiezustände zu messen, um den Zustand zu ermitteln. Die
Kernspins werden nun mithilfe von gezielten Radiowellen beeinflusst bzw. manipuliert, dass
sie veranlasst zu rotieren.
Will man beispielsweise die Protonen eines Wasserstoffkerns in eine Superposition zu
bringen, setzt man den Spin einige Mikrosekunden lang Radiowellen aus, deren Richtung in
einem rechten Winkel zum Magnetfeld steht. Die Spins werden so um 90° gedreht und das
Teilchen befindet sich in einer ausgewogenen Superposition, bei der a=b gelten würde.
Verdoppelt man die Bestrahlungszeit, so dreht sich das Spin um weitere 90° und liegt damit
im jeweils anderen Basiszustand vor, was einer NOT-Funktion gleich käme.
Wenn man wieder die controlled NOT-Funktionen betrachtet, muss man sich das Phänomen
der Spin-Spin Kopplung zu nutzte machen. Je nach Ausrichtung des einen Spins wird das
andere unterschiedlich beeinflusst. Unser erstes Spin, das Kontroll-Spin, liegt in einem
unbekannten Basiszustand vor. Das zweite Spin liegt in unserem Beispiel im Basiszustand |0>
vor und wird nun per Radiowelle um 90° gedreht und erhält damit wieder eine ausgewogene
Superposition. Die Spin-Spin Kopplung bewirkt, dass das zweite Spin sich vertikal zu drehen
beginnt, wobei die Drehgeschwindigkeit von dem Zustand des Kontroll-Spins abhängt. Nach
der Drehung wird es wieder um 90° in einen Basiszustand gedreht. Hat es sich schnell
gedreht, so befand sich das Kontroll-Spin im Zustand |1> und das zweite Spin wurde in den
Zustand |1> geändert. Bewegte es sich allerdings langsam, so hat seinen Zustand |0>
beibehalten, denn das Kontroll-Spin ist im Zustand |0>.
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Damit sind die Bedingungen für eine cNOT-Funktion erfüllt.
Für das Auslesen misst man das Absorptionsverhalten der Moleküle, wodurch man
Rückschlüsse auf die Ausrichtung der Kernspins ziehen kann und damit das Ergebnis der
Rechnung erhält.
Quantencomputer, die auf dieser Methode basieren, haben drei Vorteile:
- sie arbeiten bei Normaltemperatur und brauchen damit keine komplizierte
Laserkühlung, wie das bei Ionenfallen der Fall ist
- es steht aus der Medizin bereits eine ausgereifte Technik zur Verfügung, die nur noch
weiterentwickelt werden muss
- es lassen sich Quantencomputer mit sehr vielen Q-Bits realisieren
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Forschungserfolge
Zu den Forschungserfolgen gehören natürlich auch die Algorithmen von Shor und Grover, die
ich allerdings schon erläutert habe.
Hier eine Tabelle, die den Fortschritt der Forschung zeigt:
Errungenschaft Benötigte Anzahl
an Q-Bits
Nötige
Operartionen Status
Quantenkryptographie 1 1 Verwirklicht
Quantenkryptographie
auf 2-Q-Bit-Basis 2 1 Demonstriert
Controlled NOT-Gate 2 1 Demonstriert
Kombination 2er Gatter 2 2 Demonstriert
Grovers Algorithmus 2 3 Demonstriert
Simulation von
Quantensystemen Einige wenige
Einige
wenige
Einfache Beispiele
demonstriert
Shors Algorithmus 16 aufwäts Hunderte ?
Faktorisierungs-Computer Hunderte Hunderte ??
Universeller Quantencomputer Tausende Tausende ???
Vor 2 Jahren ist es der Technischen Universität München gelungen einen Quantencomputer
mit 5 Q-Bits zu bauen. Die Wissenschaftler, unter anderem Prof. Dr. Steffen Glaser,
Extraordinarius für organische Chemie der TUM in Garching, und Raimund Marx, Doktorand
von Professor Dr. Christian Griesinger am Institut für organische Chemie der Universität
Frankfurt, nutzten die NMR-Spektroskopie und eine extra für diesen Zweck synthetisierte
chemische Verbindung mit 5 gekoppelten Kernspins.
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Um weitere Quantencomputer zu bauen und schließlich wirtschaftlich zu machen haben sich
Hewlett-Packard und das Massachusetts Institute of Technology (MIT) zusammengetan. Die
Zusammenarbeit soll mit 2,5Millionen US-Dollar über die nächsten viereinhalb Jahre
finanziert werden. Hierzu eine Stellungnahme von Phil Kuekes:
"Wie die Brüder Wright sind Ike und Neil Pioniere - zwei der wenigen Experimentatoren,
denen es bisher ge lungen ist, einen Quantencomputer zu betreiben", so Phil Kuekes,
Computer Architekt und Senior Wissenschaftler an den HP Labs. "Hinzu kommen Leute wie
Seth, Tim Spiller und Sandu Popescu von den HP Labs aus Bristol, die internationale
Reputation auf dem Gebiet der Quanten-Computer-Theorie in das Projekt einbringen." So
habe das Projekt das Potenzial, neue innovative Technologien, wie z.B. ein theoretisch
absolut sicheres Kommunikations-Netzwerk, zu bauen.
Es gibt also noch nicht viel zu berichten, was sich jedoch in den nächsten Jahren ändern wird,
wie das letzte Beispiel zeigt.
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Hintergrundinformationen
Bei so vielen Theorien auf denen Quantencomputer war es für mich nötig sehr viel in
verwandten Gebieten nachzuschlagen. Deshalb habe ich mich entschlossen diese
Hintergrundinformationen hier mit einzubringen, weil es hilft den Quantencomputer zu
verstehen und damit manche Zusammenhänge besser veranschaulicht werden können.
Parallele Universen
Im Jahre 1926 stellte der österreichische Physiker Erwin Schrödinger eine der grundlegenden
Theorien der Quantenphysik auf. Danach besitzt jedes Partikel eine eigene Wellenfunktion, in
der sämtliche Zustände festgelegt sind, in denen sich ein solches Partikel befinden kann.
Auf dieser Idee basiert die Theorie der parallelen Universen. Diese Theorie, 1957 erstmals
von Hugh Everett III vorgestellt, besagt, dass immer, wenn sich verschiedene Zustandsformen
eines Systems mit der Wellenfunktion beschreiben lassen, dann existieren sie alle
nebeneinander in Universen. Hierzu verzweigt sich das Universum immer weiter, so dass jede
Zustandsform in einem anderen Universum existiert. Danach gibt es inzwischen unendlich
viele parallele Universen, in denen Raum für sämtliche möglichen Zustände aller
existierenden Partikel ist. Einige dieser parallelen Universen würden dem unseren ähneln,
andere wären uns vollkommen fremd.
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Heisenbergs Unschärferelation
Werner Heisenberg versuchte die genaue Position und Geschwind igkeit eines Teilchens
genau zu messen, um zukünftige Positionen und Geschwindigkeiten zu berechnen. Dazu
bestrahlte er ein Teilchen mit Licht, welches vom Teilchen gestreut wurde und die Position,
abhängig von der Wellenlänge, nur undeutlich erkennbar machte. Also musste er die
Wellenlänge erheblich verringern, womit jedoch ein weiteres Problem auftrat. Das Licht hatte
nach der Formel W=h*f (also abhängig von der Frequenz) sehr viel Energie und beim
Auftreffen wurde das Teilchen weggeschleudert. Daraus entwickelte er seine
Unschärferelation:
Je genauer man die Position eines Teilchens zu messen versucht, desto ungenauer lässt sich
seine Geschwindigkeit messen und umgekehrt. Das Produkt der ungewissen Geschwindigkeit
mal seines ungewissen Ortes kann niemals den Wert des planckschen Wirkungsquantum
unterschreiten.
Schrödingers Katze
Ein Katze in einem abgeschlossen System kann tot oder lebendig sein. Da wir nicht wissen,
in welchem Zustand sich die Katze befindet, kann man gemäß der Quantentheorie aussagen,
dass sich diese in einem Überlagerungszustand befindet, bei dem sie sowohl tot als auch
lebendig ist. Dies gilt solange, bis man dem System beitritt und die Katze sich für einen
Zustand entscheidet. Diesen Entscheidungsvorgang nennt man Dekohärenz.
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Schlusswort
Das Thema war komplizierter als ich zunächst dachte und bedurfte Genaues studieren der
Informationen sowie Hintergrundwissen, dass ich mir größtenteils erst erarbeiten musste,
bevor ich mit der eigentlichen Arbeit anfangen konnte. Ich habe nur das in dieser Arbeit
niedergeschrieben, was ich auch selber zu 100% verstanden habe, auch wenn es ein bisschen
gedauert hat. Daher eignet sich dieser Arbeit zur Fortführung, da ich mitzunehmendem
Wissen im Bereich der Fachinformatik und Quantenphysik mehr Informationen verstehen und
einordnen kann und sich die Arbeit somit erweitern lässt.
Die Informationssuche beschränkte sich auf das Internet, da das Gebiet zu aktuell ist um nach
Veröffentlichungen in Büchern zu suchen. Jedoch für Hintergrundwissen gebrauchte ich auch
Lexika und sogar das Physik-Lehrbuch, um einen Einstieg in die Quantenphysik zu gewinnen,
die mir bis dahin unbekannt war.
Es war kein ausgesprochen anschauliches Thema, wodurch ich sehr viel so erklären musste,
wie ich es selbst verstanden habe. Man muss also genau lesen und den Beschreibungen
folgen, um nicht durcheinander zu kommen. Die Arbeit bedurfter deswegen auch eine genaue
und klare Sprache, um dem Thema folgen zu können, was mir wohl die größten Probleme
bereitet hatte.
Zum Thema ist klar geworden das der Quantencomputer unseren Heimcomputer vorerst nicht
ersetzen kann. Bis zur wirtschaftlichen Nutzung werden wohl noch mindestens weitere 20 bis
30 Jahre vergehen. Im Moment sieht es aus als müsste man für jeden Zweck einen eigenen
spezialisierten Quantencomputer bauen, da die Realisierung eines universellen
Quantencomputers derzeit nahezu unmöglich ist.
Das lässt sich allerdings alles nur sehr schwer einschätzen, wer hat denn schließlich vor 100
Jahren an den Computer oder Raumfahrt gedacht?
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Quellenangaben
- Bertelsmann Lexikon
- Microsoft Encarta 1999
- Stephen Hawking: Eine Kurze Geschichte der Zeit
Internet:
http://www.bnbt.de/mb/quantencomputer/text_frame.html
http://www.heise.de/tp/deutsch/inhalt/co/2360/1.html
http://www.ap.univie.ac.at/users/fe/Quantencomputer/
http://www.rz.uni- frankfurt.de/~pospiech/q_comp.html
http://www.heise.de/newsticker/data/jr-05.07.00-000/
http://www.golem.de/0112/17521.html
http://www.wetterstation.kolleg-st-blasien.de/physik/unschaerferelation/
pdf-Veröffentlichungen:
- „Der Quantencomputer“
- „Die Paulfalle“
- „Paulfalle als Schulversuch“
