Mittelschule / Realschule / Gymnasium

Aufgaben zum Pythagoras, Kathetensatz, Höhensatz 1

- Lösungen -

GM_LU055 1 (16) www.mathe-physik-aufgaben.de

Hinweis:Die jeweilige Längeneinheit (z.B. mm) wird beim Rechnen nicht angegeben und erst demErgebnis hinzugefügt.Die Zeichnungen sind NICHT maßstäblich.

1. Pythagoras:∋ (2 2 2

2 2

45 21 52 x

x 66 52x 40,64 mm

∗ < ∗

< ,

<

2. Für die Berechnung ist das rechtwinklige Dreieck mit den Maßen a, b und s definiert:55 46a 4,5 mm2

b 70 16 54 mm

,< <

< , <

Pythagoras:2 2 2

2 2 2

s a b

s 4,5 54

s 2936,25s 54,19 mm

< ∗

< ∗

<

<

3. Für die Berechnung ist das rechtwinklige Dreieck mit den Maßen a, b und c definiert:d1 da 2,5 mm ; c 6 mm2 2< < < <

Pythagoras:2 2 2 2 2 2

2 2 2

c a b b c a

b 6 2,5

b 36 6,25 29,75b 5,45 mm

< ∗ ⇑ < ,

< ,

< , <

<

h 6 b 6 5,45h 0,55 mm

< , < ,

<

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GM_LU055 2 (16) www.mathe-physik-aufgaben.de

4. Für die Berechnung ist das rechtwinklige Dreieck mit den Maßen a, b und c definiert:d 60b 45 30 15 mm ; c 30 mm2 2< , < < < <

Pythagoras:2 2 2 2 2 2

2 2 2

c a b a c b

a 30 15

a 900 225 675a 25,98 mm

< ∗ ⇑ < ,

< ,

< , <

<

x 2ax 51,96 mm

<

<

5. Für die Berechnung ist das rechtwinklige Dreieck mit den Maßen a, b und c definiert:42 mm 50 mmda ; b 21mm ; c 25 mm2 2 2< < < < <

Pythagoras:2 2 2 2 2 2

2 2 2

c a b a c b

a 25 21

a 625 441 184a 13,56 mm

< ∗ ⇑ < ,

< ,

< , <

<

d 2ad 27,13 mm

<

<

6. Für die Berechnung ist das rechtwinklige Dreieck mit den Maßen a, b und c definiert:a 38 12 26 mm ; b 78 12 66 mm< , < < , <

Pythagoras:2 2 2

2 2 2

c a b

c 26 66

c 676 4356 5032c 70,94 mm

< ∗

< ∗

< , <

<

Kontrollmaß x:10 14x 70,94 2 2

x 58,94 mm

< , ,

<

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GM_LU055 3 (16) www.mathe-physik-aufgaben.de

7. Für die Berechnung ist das rechtwinklige Dreieck mit den Maßen a, x und c definiert:a R16 16 mm ; c R30 30 mm< < < <

Pythagoras:2 2 2 2 2 2

2 2 2

c a x x c a

x 30 16

x 900 256 644x 25,38 mm

< ∗ ⇑ < ,

< ,

< , <

<

8. Für die Berechnung ist das rechtwinklige Dreieck mit den Maßen x, 45 und 90 definiert:Pythagoras:∋ (2 2 2

2 2 2

45 45 45 x

x 90 45

x 8100 2025 6075x 77,94 mm

∗ < ∗

< ,

< , <

<

Gesamthöhe h:h x 2r 77,94 2 45h 167,94 mm

< ∗ < ∗ √

<

9. Berechnung von h – Pythagoras:

∋ (22 2

2 2 2

11 4 6 h

h 11 10

h 121 100 21h 4,58 cm

< ∗ ∗

< ,

< , <

<

Berechnung von x – Pythagoras:2 2 2

2 2

x 4 h

x 4 21

x 16 21 37x 6,08 cm

< ∗

< ∗

< ∗ <

<

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GM_LU055 4 (16) www.mathe-physik-aufgaben.de

10. Berechnung von s (allgemein) – Pythagoras:

∋ (

∋ (

2 2 2

2 2

2 2 2

2

h r r s

s h r r

s h 2hr r r

s h 2hr

∗ < ∗

< ∗ ,

< ∗ ∗ ,

< ∗

Einsetzen der gegebenen Zahlenwerte:2s 12 2 12 380

s 9264s 96,25 cm

< ∗ √ √

<

<

11. Konstruktionsbeschreibung:∂ p q AB 6 cm∗ < < antragen.

∂ Thaleskreis um AB .∂ Senkrechte durch den Berührpunkt D schneidet den Thaleskreis in C.∂ A mit C und B mit C verbinden ergibt ABCΧ ,

Berechnung der Dreieckshöhe h Dreiecksfläche:Höhensatz:

2h p q

h 3,5 2,5 8,75h 2,96 cm

< √

< √ <

<

12. Für die Berechnung ist das rechtwinklige Dreieck mit den Maßen a, b und c definiert:12 20b 6 mm ; c 10 mm2 2

⊕< < < <

Pythagoras:2 2 2 2 2 2

2 2 2

c a b a c b

a 10 6

a 100 36 64a 8 mm

< ∗ ⇑ < ,

< ,

< , <

<

Länge x:

2

1A AB h21A 6 cm 2,96 cm2

A 8,88 cm

Χ

Χ

Χ

< √ √

< √ √

<

x 50 ax 42 mm

< ,

<

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GM_LU055 5 (16) www.mathe-physik-aufgaben.de

13. Für die Berechnung ist das rechtwinklige Dreieck mit den Maßen a, b und r definiert:da 24 cm ; r 25 cm2< < <

Pythagoras:2 2 2 2 2 2

2 2 2

r a b b r a

b 25 24

b 625 576 49b 7 cm

< ∗ ⇑ < ,

< ,

< , <

<

Länge x:

14. Für die Berechnung ist das rechtwinklige Dreieck MBP mit den Maßen a, b und rdefiniert:

1,5rDBb 0,75 r2 2< < <

Pythagoras:

∋ (

2 2 2 2 2 2

22 2

2 2 2

2 2

r a b a r b

a r 0,75r

a r 0,5625 r

a 0,4375 r

a 0,66 r

< ∗ ⇑ < ,

< ,

< , √

< √

<

15. a) Dreieckseite BC - Flächenformel für das ABCΧ :

ABC a

2ABC

a

1A BC h22 A 2 38 cmBC h 8 cm

BC 9,5 cm

Χ

Χ

< √ √

√ √< <

<

Teilstrecke HM - Pythagoras im AMHΧ : Teilstrecke CH :2 2 2

2 2

2 2

AM AH HM

HM AM AH

HM 8,5 8 8,25

HM 2,87 cm

< ∗

< ,

< , <

<

CH CM HM

BCCH HM 4,75 2,872CH 1,88 cm

< ,

< , < ,

<

x r b 25 7x 18 cm

< , < ,

<

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GM_LU055 6 (16) www.mathe-physik-aufgaben.de

Dreieckseite AC - Pythagoras im AHCΧ :2 2 2

2 2

AC AH CH

AC 8 1,88 67,5344

AC 8,22 cm

< ∗

< ∗ <

<

b) Teilstrecke FC - Kathetensatz im AHCΧ :2

2 2

CH AC FC

1,88CHFC 8,22ACFC 0,43 cm

< √

< <

<

Teilstrecke AF : Senkrechte (Lot) auf AC - Höhensatz im AHCΧ :

AF AC FC

AF 8,22 0,43

AF 7,79 cm

< ,

< ,

<

2FH FC AF

FH 0,43 7,79

FH 1,83 cm

< √

< √

<

16. Berechnung von h – Pythagoras:2 2 2

2 2

2 2

a q h

h a q

h 8 6 28h 5,29 cm

< ∗

< ,

< , <

<

Berechnung von p – Pythagoras:2 2 2

2 2 2 2 2 2

c a b(q p) a b (1) b h p (2)

< ∗

∗ < ∗ < ∗

(2) in (1):2 2 2 2

2 2 2

2 2

(q p) a h p

(6 p) 8 28 p

36 12p p 92 p12p 56

p 4,67 cm

∗ < ∗ ∗

∗ < ∗ ∗

∗ ∗ < ∗

<

<

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GM_LU055 7 (16) www.mathe-physik-aufgaben.de

Berechnung von b – Pythagoras: Berechnung von c:2 2 2

2 2

b h p

b 5,29 4,67b 7,06 cm

< ∗

< ∗

<

Berechnung von s – Pythagoras:2 2 2

2 2 2

r b s (1)(a s) c r (2)

< ∗

∗ < ∗

(1) in (2):2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

(a s) c b s

a 2as s c b s

2as c b a b h p einsetzen

c h p as2a

10,67 5,29 4,67 8s2 8

s 6,23 cm

∗ < ∗ ∗

∗ ∗ < ∗ ∗

< ∗ , < ∗

∗ ∗ ,<

∗ ∗ ,<

√<

17. Berechnung von r – Pythagoras im MPQΧ :

∋ ( ∋ (

∋ (

222

22 2 2 2

2

2

ar a r2

ar a 2ar r r45 40 a 2ar4 5

80 a ar58 80 a a r a 0 oder a r 05 5

8a r55r a8

< ∗ ,

< ∗ , ∗ ,

< , √

< ,

< , ⇑ < , <

<

<

Berechnung von x: Berechnung von s – Pythagoras im ABCΧ :

∋ (x a 2 a r

x a 2a 2rx 2r a

< , ,

< , ∗

< ,

∋ (∋ ( ∋ (

22 2

222

as x 2

as 2r a 2

< ∗

< , ∗

c q pc 6 4,67c 10,67 cm

< ∗

< ∗

<

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GM_LU055 8 (16) www.mathe-physik-aufgaben.de

Berechnung von s (Fortsetzung):

∋ (

22 2 2

2 2 2

22 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2

as 4r 4ar a 45 5s 4r 4ar a r a4 8

5 5 5s 4 a 4a a a8 8 4100 10 5s a a a64 4 425 5 25 20s a a a a16 4 16 165s a16as 54

< , ∗ ∗

< , ∗ <

< √ , √ ∗

< , ∗

< , < ,

<

<

18. Berechnung von c Berechnung von p und qPythagoras im ABCΧ : Kathetensatz:

2 2 2

2 2 2

c a b

c 7 24

c 625c 25 cm

< ∗

< ∗

<

<

2 2

2 2

a c p (oder b c q)

a 7p c 25p 1,96 cm q c p

q 23,04 cm

< √ < √

< <

< ⇑ < ,

<

Berechnung von Ch Eine alternative Berechnungsmethode mitHöhensatz im ABCΧ Hilfe des Flächeninhalts des ABCΧ :

2C

2C

C

C

h p q

h 1,96 23,04

h 45,1584

h 6,72 cm

< √

< √

<

<

19. Länge u – Pythagoras im CDEΧ :2 2 2

2 2 2

2 2

d u e

u d e

u 12 9,6 51,84

u 7,20 cm

< ∗

< ,

< , <

<

ABC C

C

C

C

1 1A c h a b2 2c h a b

a b 7 24h c 25h 6,72 cm

Χ < √ √ < √ √

√ < √

√ √< <

<

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GM_LU055 9 (16) www.mathe-physik-aufgaben.de

Länge f – Höhensatz im DBCΧ : Länge r – Kathetensatz im DBCΧ :2

22

u e f

7,2uf e 9,6

f 5,4 cm CB e f 15 cm

< √

< <

< ⇑ < ∗ <

∋ (2r f e f

r 5,4 15 81r 9 cm

< √ ∗

< √ <

<

Länge s – Pythagoras im ADCΧ : Länge v – Flächenformel für das ADCΧ :2 2 2

2 2 2

2 2

b s d

s b d

s 13 12 25s 5 cm

< ∗

< ,

< , <

<

20. Länge AD – Pythagoras im AFDΧ :2 2 2

2 2 2

AD u v

AD 3 4

AD 25

AD 5 cm

< ∗

< ∗

<

<

Länge FB – Höhensatz im ABDΧ :2

2 2

v u FB

v 4FB u 3FB 5,33 cm AB u FB

AB 8,33 cm

< √

< <

< ⇑ < ∗

<

Länge EC – Höhensatz im ADCΧ : Länge BC – Pythagoras im ABCΧ :2

2 2

u v EC

u 3EC v 4EC 2,25 cm AC v EC

AC 6,25 cm

< √

< <

< ⇑ < ∗

<

Dreiecksumfang: Dreiecksfläche:U AB AC BC 8,33 6,25 10,42U 25 cm

< ∗ ∗ < ∗ ∗

<

ADC1 1A s d b v2 2

s d b vs d 5 12v b 13

v 4,62 cm

Χ < √ √ < √ √

√ < √

√ √< <

<

2 2 2

2 2

BC AB AC

BC 8,33 6,25 108,4514

BC 10,42 cm

< ∗

< ∗ <

<

ABC

2ABC

1 1A AB AC 8,33 6,252 2A 26,03 cm

Χ

Χ

< √ √ < √ √

<

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GM_LU055 10 (16) www.mathe-physik-aufgaben.de

21. Der Schnittpunkt D liegt auf dem Thaleskreis über [BC].Daraus folgt:

BDC 90< ↓Ρ undBD ist Höhe im ABCΧ

Strecke AC - Kathetensatz im ABCΧ :2

2 2

AB AD AC

AB 12AC 9ADAC 16 cm

< √

< <

<

Strecke BC - Pythagoras im ABCΧ :2 2 2

2 2 2

2 2

AC AB BC

BC AC AB

BC 16 12 112

BC 10,58 cm

< ∗

< ,

< , <

<

BCRadius r 2r 5,29 cm

<

<

22. Jeweils Pythagoras in den Dreiecken I und II:

∋ (

2 2 2

22 2

a 50 x (I)

a 40 60 x (II)

(I) (II) :

< ∗

< ∗ ,

<

∋ (22 2 2

2 2 2

50 x 40 60 x

2500 x 1600 3600 120x x x

2500 5200 120x120x 2700

x 22,5 m

∗ < ∗ ,

∗ < ∗ , ∗ ,

< ,

<

<

Der Brunnen ist vom höheren Turm 22,5 m und vom niedrigeren Turm 37,5 mentfernt.

23. Das A4-Blatt hat folgende Abmessungen: a 297 mm, b 210 mm< <Der Berührpunkt B und ein Kreismittelpunkt M sind zwei Punkte eines gedachtenrechtwinkligen Dreiecks (siehe Seite 11).

Die längere Kathete hat das Maß a r2 , ; die kürzere Kathete hat das Maß b r2 ,

Daraus folgt nun für das Dreieck:

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GM_LU055 11 (16) www.mathe-physik-aufgaben.de

Pythagoras:

∋ ( ∋ (

∋ ( ∋ (

∋ ( ∋ (

∋ ( ∋ (

∋ (

2 22

2 22 2 2

2 22 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2

2

1/2

1/2

a br r r2 2

a br ar r br r4 4a br 2r ar br4 410 a b r r a b4

10 r r a b a b4a 297; b 210

10 r r 297 210 297 21040 r 507 r 33077,25

507 507 4 1 33077,25r 2 1

1r 253,5 257049 132302

< , ∗ ,

< , ∗ ∗ , ∗

< ∗ ∗ , ,

< ∗ ∗ , ∗

< , ∗ ∗ ∗

< <

< , ∗ ∗ ∗

< , √ ∗

° , , √ √<

√

< ° ,

∋ (1/2

1 2

9

1r 253,5 1247402r 76,91 r 430,1 keine Lösung

< °

< <

Kreisdurchmesser: d 153,8 mm<

24. Pythagoras: Axialschnitt des Kegels

∋ (∋ (

22 2

22 2

2 2 2

ds h 2

dh s 2

h 18 11

h 203h 14,25 cm

< ∗

< ,

< ,

<

<

- Lösungen -

GM_LU055 12 (16) www.mathe-physik-aufgaben.de

25. Flächendiagonale d:2 2 2d b< ∗κ

Raumdiagonale D:2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

D d h

D b h

D 42 28 16 2804D 52,95 cm

< ∗

< ∗ ∗

< ∗ ∗ <

<

κ

26. Das Dreieck EBG ist gleichseitig, denn BE BG EG< < sind jeweils Flächen-diagonalen des Würfels.Für die Länge dieser Diagonalen gilt: Höhe h – Pythagoras:

2 2 2

2 2 2

BE AB AE

BE 8 8

BE 128

BE 8 2 cm

< ∗

< ∗

<

<

∋ ( ∋ (2 22

2

h 8 2 4 2

h 128 32

h 96

h 4 6 cm

< ,

< ,

<

<

Flächeninhalt EBGΧ :

27. a) Zunächst sind die Längen der Dreieckseiten zu bestimmen: (Zeichnung siehe Seite 13)

∋ ( ∋ ( ∋ ( ∋ (

∋ ( ∋ ( ∋ ( ∋ (

∋ ( ∋ ( ∋ ( ∋ (

2 2 2 2B A B A

2 2 2 2C A C A

2 2 2 2B C C B

AB x x y y 19 2 9 3 325 5 13 LE

AC x x y y 11 2 15 3 225 15 LE

BC x x y y 19 11 15 9 100 10 LE

< , ∗ , < , ∗ , < <

< , ∗ , < , ∗ , < <

< , ∗ , < , ∗ , < <

EBG

EBG

EBG

2EBG

1A EB h21A 8 2 4 62

A 16 12

A 32 3 cm

Χ

Χ

Χ

Χ

< √ √

< √ √

<

<

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Zur Überprüfung des Dreiecks ABC auf Rechtwinkligkeit wird der Satz desPythagoras angewendet. Ist bei einem Dreieck die Aussage 2 2 2c a b< ∗ wahr,dann ist dieses Dreieck rechtwinklig. Für unser gegebenes Dreieck gilt:

∋ (

2 2 2

22 2

AB AC BC

5 13 15 10

325 325 wahr

< ∗

< ∗

<

Für die Zeichnung: Längeneinheit 0,5 cm

b) Der senkrechte Abstand des Punktes C auf [AB] entspricht der Höhe hC imDreieck ABC. Man kann die Höhe hC über den Flächeninhalt des Dreiecksbestimmen:

ABC C

C

C

C

1 1A BC AC AB h2 2BC AC AB h

BC AC 10 15 30h LEAB 5 13 13

h 8,32 LE

Χ < √ √ < √ √

√ < √

√ √< < <

<

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28. Höhe der Wand = Leiterlänge xNebenstehende Skizze zeigt, dass im rechtwinkligenDreieck die Leiterlänge x (Hypotenuse) mit Hilfe desSatzes von Pythagoras berechnet werden kann:

∋ (

2 2 2

22 2

2 2

c a b Pythagoras allgemein

x 1,2 x 0,2

x 1,44 x 0,4x 0,040,4x 1,48

x 3,7 m

< ∗

< ∗ ,

< ∗ , ∗

<

<

29. Das Dreieck 1 2M M Q wird durch diehalbe Sehne x in zwei rechtwinkligeTeildreiecke zerlegt:

1M PQΧ und 2PM QΧ

Lösungsansatz

1M PQΧ - Pythagoras:2 2 2

1 1

2 2 2

M Q q x M Q 4 cm

x 4 q (1)

< ∗ <

< ,

2PM QΧ - Pythagoras:2 2 2

2 2

2 2 2

M Q p x M Q 6 cm

x 6 p (2)

< ∗ <

< ,

p q 8 cmp 8 q (3)

∗ <

< ,

(1) (2) (3) :< ∗

∋ (

2 2 2 2

22 2 2

2 2

4 q 6 p

4 q 6 8 q

16 q 36 64 16q q16q 44

q 2,75 cm

, < ,

, < , ,

, < , ∗ ∗

<

<

q 2,75 cm< einsetzen in (1):2 2 2x 4 2,75

x 8,4375x 2,905 cm

< ,

<

<

Länge der Sehne: 2x 5,81cm< <κ

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GM_LU055 15 (16) www.mathe-physik-aufgaben.de

30. Die Strecken (Lote) 1M P und 2M Qstehen senkrecht auf der Tangente t. Verschiebt man die Tangente parallel bis sie durch 1M verläuft, ergibt sich das farbig markierte rechtwinkligeDreieck in der nebenstehendenZeichnung.Nach Pythagoras erhält man:

∋ (∋ (

∋ ( ∋ (

∋ ( ∋ (

22 2

1 2 2 1

22 2

1 2 2 1

2 2

1 2 2 1

2 2

M M PQ r r

PQ M M r r

PQ r r r r

PQ 2 6 6 2 64 16 48

PQ 6,93 cm

< ∗ ,

< , ,

< ∗ , ,

< ∗ , , < , <

<

31. Nach dem Satz des Pythagoras gilt im:

∋ ( ∋ (

2 2 2

2 22

AED : s a x (1)

EBF : s a x a x (2)

Χ < ∗

Χ < , ∗ ,

(1) (2) :< ∋ ( ∋ (2 22 2a x a x a x∗ < , ∗ ,

∋ (

∋ (

22 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2

1/2

1/2

1/2

1 2

a x 2 a x

a x 2a 4ax 2x

x 4ax a 0

( 4a) 16a 4 1 a 4a 12a 4a 2a 3x 2 1 2 2x 2a a 3 a 10

x 20 10 3

x 20 10 3 x 20 10 3 keine Lösung

x 2,68 cm

∗ < ,

∗ < , ∗

, ∗ <

, , ° , √ √ ° °< < <

√

< ° <

< °

< , < ∗

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Seitenlänge s des Dreiecks:2 2 2

2 2 2 2

s a x

s a x 10 2,68s 10,35 cm

< ∗

< ∗ < ∗

<

- Lösungen -

GM_LU055 16 (16) www.mathe-physik-aufgaben.de

32. Die Tangente t steht senkrecht auf dem Kreis kmit Radius MC r< .Der Schnittpunkt D auf der Sekante AB liegt aufdem Thaleskreis über [BC]. Damit ist dasDreieck BCD bei D senkrecht.

Strecke BC - Kathetensatz im Dreieck ABC:

∋ (∋ ( ∋ (

2

2

2

2

2

BC BD AB

BC AB AD AB

2r 14 4 14

4r 140

r 35r 5,92 cm

< √

< , √

< , √

<

<

<

Flächeninhalt ABCΧ : Nebenrechnung:

ABC

ABC

2ABC

1A AB CD21A 14 6,322

A 44,24 cm

Χ

Χ

Χ

< √ √

< √ √

<

∋ (

2 2 2

2 2 2 2

CD BC BD

CD 2r 10 11,83 10 40

CD 6,32 cm

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