MKE - Cirilica

Грађевински факултет Универзитет у Београду

СЕМИНАРСКИ РАДиз предмета ВИШИ КУРС ИЗ МЕТОДА КОНАЧНИХ ЕЛЕМЕНАТА

ТЕМА:

РОТАЦИОНО-СИМЕТРИЧНЕ ЉУСКЕ СА РОТАЦИОНО-СИМЕТРИЧНИМ ОПТЕРЕЋЕЊЕМ,

ЗАРУБЉЕНА КОНУСНА ЉУСКА (ТРАПЕЗНИ КОНАЧНИ ЕЛЕМЕНТ)

Студенти:

Марина Ђурић 542/13

Грозда Ђорђевић 568/13

Јелена Васковић 563/13

Ана Пантелић 567/13

Предметни професор: Владимир Бошњаковић 575/13

Виши курс изМКЕ

др Бранислав Пујевић Никола Пудар 536/13

1


1. Љуске

Љуске представљају површинске носеће конструкције састављене од закривљених површи, чија је дебљина мала у односу на друге димензије и које прихватају оптерећење подужним (мембранским) силама и савијањем. Теорија плоча и теорија танких љуски представљају једну целину и заснивају се на истим претпоставкама, при чему треба истаћи да је теорија љуски знатно комплекснија.

За описивање стања напона и деформација љуски користе се диференцијалне једначине чија решења приказана преко класичних нумеричких метода, као што су диференцна метода и методе нумеричке интеграције, немају општи карактер, већ обично важе за одређен облик љуске, посебне услове ослањања или посебну врсту оптерећења. МКЕ је нашао велику примену у анализи и прорачуну љуски. Модели за прорачун љуски по МКЕ знатно су сложенији од одговарајућих модела за прорачун других конструктивних облика.

Први и најједноставнији модел МКЕ за решавање проблема љуски развијен је на основу апроксимације љуске системом равних коначних елемената. На овај начин одређивано је напонско-деформацијско стање код лучних брана помоћу равних троугаоних елемената. Матрице крутости елемената добијане су суперпозицијом одговарајућих матрица крутости за равно стање напона и савијање. Специјални случај равних коначних елемената представљају конусни прстенови, који се примењују код осносиметричних љуских.

У току последњих 15 година о примени МКЕ у области љуски објављен је велики број радова и формулисан знатан број елемената и модела за анализу и прорачун. Сви ови модели, зависно од начина на који се репрезентује геометрија љуске, могу се сврстати у три основне групе:

Равни елементи

Криви елементи танких љуски

Дегенерисани тродимензионални елементи.

Равни елементи представљају најједноставнији али истовремено и најгрубљи вид апроксимације љуски по МКЕ. Разматрања о овим елементима представљају генерализацију разматрања о равном стању напона и савијања плоча, односно просту суперпозицију ова два стања. Добра страна ових елемената је њихова једноставност, а недостатак је у слабој апроксимацији криве површи системом равних коначних елемената.

Криви елементи се формулишу на основу теорије танких љуски. Основне тешкоће код дефинисања ових елемената везане су за избор интерполационих функција од којих се захтева да обухвате померања елемената као крутог тела, стање константних деформација у елементу када његова величина постаје коначно мала, као и услове континуитета на границама између елемената. Због свега наведеног за произвољну средњу површ љуске обично се узимају елементи који су погодни за одређене облике љуски, као што су елементи цилиндричне љуске и елементи плитке љуске.

2


Дегенерисани тродимензионални елементи љуске се добијају као посебан случај просторних изопараметарских елемената, уз вођење рачуна да је дебљина љуске мала у односу на остале две димензије, као и уз увођење претпоставке о начину промене напона (деформација) по дебљини љуске. Ови елементи имају нарочиту примену код прорачуна дебелих љуски, као што су судови нуклеарних реактора.

Ми ћемо се у даљем излагању бавити са равним елементима.

1.1. Основне једначине линеарне теорије љуски

Основне једначине опште теорије танких љуски које представљају полазну основу за примену МКЕ у анализи љуски, овде су дате у њиховом коначном облику без поступног извођења и потребних доказа.

1.1.1. Геометријске зависности

Средња површ љуске одређена је вектором положаја r, који је фукција криволинијских координата и :

r(α, 𝛽) = fᵾ(α, 𝛽)ik, k=1,2,3. (1.1)За даља разматрања претпоставља се да су и линије главних кривина средње површи.

Слика 1.1

Основни триједар базних вектора eα , eβ , n дефинише се преко извода вектора положаја:

eα = = (1.2)

3


eβ = =

n = eα eβ = (r,α r,ᵦ0)

где су A и B Lame-ови параметри површи S који су одређени изразима:

A² = r,ᵨ r,ᵨ (1.3)

B² = r,ᵦ r,ᵦ

Вектори eα , eβ , n представљају триједар међусобно независних ортонормираних вектора, у коме се може приказати било који вектор. Изводи фундаменталног триједра по координатама алфа и бета су вектори, који су у односу на основни триједар одређени изразом:

eᵨ,ᵨ 0 -A,ᵦ/B -A/Rₒ eᵨ

eᵨ,ᵦ 0 -B,ᵨ/A 0 eᵦ (1.4)

eᵦ,ᵨ A,ᵦ/A 0 0 n

eᵦ,ᵦ = -B,ᵨ/A 0 B/Rᵦ

n,ᵨ A/Rᵨ 0 0

n,ᵦ 0 B/Rs 0

где су Rᵨ i Rᵦ полупречници α и β линија. Lame- овим параметрима А и B и полупречницима кривина Rᵨ и Rᵦ потпуно је одређена средња површ љуске, осим њеног положаја у простору. Међутим, ове четири величине не могу бити међусобно независне. Да би величине A, B, Rᵨ i Rᵦ, као непрекидне функције координата α и β представљале глатку површ, оне морају испуњавати услове интеграбилности Gauss-Codazzi-а:

(A/Rᵨ),ᵦ=Aᵦ/Rᵦ

(B/Rᵦ),ᵨ=Bᵨ/Rₒ (1.5)

(B,ᵨ/A),ᵨ (A,ᵦ/B),bᵦ=AB/RᵨRᵦ.

Дужина ds и површина dF диференцијално малих елемената површи S, одређени су помоћу метричких параметара А и B, изразима:

ds²=A²dα²+B²dβ² (1.6)

dF=ABdαdβ.

4


Основне геометријске величине у еквидистантној површи, која је на одстојању z од

средње површи љуске, уз претпоставку (z/R)² 1, могу да се прикажу следећим изразима:

r*=r+zn

A*=A(a+ ) eᵨ*=eᵨ, eᵦ*=eᵦ, n*=n (1.7)

B*=B(1+z/Rᵦ) Rᵨ*=Rᵨ+z, Rᵦ*=Rᵦ+z.

У изразима горе, звездица уз основне ознаке указује да се ради о величини која се односи на еквидистантну површ.

1.1.2. Компоненте деформације

Компоненте вектора померања y, у правцу оса фундаменталног триједра eα , eβ , n су u, v, w, са конвенцијом о позитивном знаку као на слици. Ако се компоненте тангенцијалне

деформације обележе са , и , а компоненте деформације савијања са , χᵨ и , тада су

везе између деформација и померања дате следећим изразима:

= u,ᵨ + v + w

== v,ᵦ + u + w

= + ( ),ᵦ + ( ),ᵨ (1.8)

χᵨ = - -

= - -

= - + + - + +

где су:

= -

5


= - (1.9)

= - u

= - v

Компоненте деформације у еквидистантној површи дате су у зависности од компонената деформације средње површи следећим изразима:

* =

* = (1.10)

* = 2z

Компоненете деформације εᵨ,εᵦ,ω,χᵨ , χᵦ и τ нису међусобно независне, већ морају испуњавати услове компатибилности деформација:

(Bχᵦ),ᵨ+A,ᵦτᵨ - (Aτᵨ),ᵦ- B,ᵨχᵨ - =0

(Bτᵦ),ᵨ-A,ᵦχᵦ+(Aχᵨ),ᵦ-B,ᵨτᵨ+ [ (Bω),ᵨ+A,ᵦεᵦ - (Aεᵨ),ᵦ+B,ᵨω]=0

AB( + )- { [ },ᵦ + { [(Bεᵦ,ᵨ - A,ᵦω - (Aω0,ᵦ -

-B,ᵨεᵨ =0 (1.11)

1.1.3. Силе у пресецима и услови равнотеже

Компоненте напона и силе у пресецима љуске, са конвенцијама о њиховим позитивним смеровима, приказане су на слици.

6


Силе у пресецима, као резултанте одговарајућих компонената напона по дебљини љуске на јединицу дужине, дефинишу се следећим изразима:

Nᵨ σᵨᵨ

Nᵨᵦ=

σᵨᵦ(1+ ) dz

Tᵨ σσ

Nᵦ σᵨᵨ

Nᵦᵨ=

σᵨᵦ(1+ ) dz

Tᵦ σᵨᶇ

Mᵨ -σᵦᵦ

= (1+ ) dz(1.12)

Mᵨᵦ σᵦᵨ

Mᵨ -σᵦᵦ

Nᵨᵦ= (1+ ) dz

Tᵨ σᵨᵦ

7


Слика 1.2

Услови равнотеже спољашњих и унутрашњих сила за диференцијално мали елеменат љуске, могу да се прикажу помоћу следећих шест скаларних једначина:

(BNᵨ),ᵨ+A,ᵦNᵨᵦ+(ANᵦᵨ),ᵦ- B,ᵨNᵦ+ Tᵨ+ABX=0

(BNᵨᵦ),ᵨ+A,ᵦNᵨ+(ANᵦ),ᵦ- B,ᵨNᵦᵨ+ Tᵦ+ABY=0

(BTᵨ),ᵨ+ (ATᵦ),ᵦ- Nᵨ - Nᵨ - Nᵦ+ABZ=0 (1.13)

(BMᵨᵦ),ᵨ+A,ᵦMᵨᵦ - (AMᵦ),ᵦ+B,ᵨMᵦᵨ - ABTᵦ=0

(BMᵨ),ᵨ+A,ᵦMᵨᵦ - (AMᵦᵨ),ᵨ+B,ᵨMᵦ + ABTᵨ=0

Nᵨᵦ - Nᵦᵨ - + =0

1.1.4. Везе сила у пресецима и компонената деформација

Полазећи од израза (1.12) и израза за везе напона и деформација:

8


σᵨ=σᵨᵨ= (εᵨ*+νεᵦ*)

σᵨ=σᵦᵦ= (εᵦ*+νεᵨ*) (1.14)

τᵨᵦ=σᵨᵦ= (εᵨ*+ν)ω*

Уз вођење рачуна о (1.10), после извршене интеграције по дебљини љуске, уз занемарење величине h/R као малих величина према јединици, добијају се следеће везе између сила идеформација:

Nᵨ=D(εᵨ + νεᵦ)

Nᵦ=D(εᵦ + νεᵨ)

Nᵨᵦ=Nᵦᵨ= Dω (1.15)

Mᵨ= - K(χᵨ+νχᵦ)

Mᵦ= - K(χᵦ+νχᵨ)

Mᵨᵦ=Mᵦᵨ=(1 – ν) Kτ

Где су:

D=

K=

Тангенцијална (мембранска) крутост љуске и крутост љуске на савијање, респективно. Ови изрази су веома једноставни. Међутим, мана им је што не задовољавају шести услов равнотеже, осим у случају сферне љуске, плоча и ротационо симетричних љуски при осносиметричним утицајима. Због тога се често користи други, нешто сложенији облик ових веза, који је увео Новожилов. На место смичућих сила и торзионих момената уводе се две нове генералисане силе S и H:

S=Nᵨᵦ - = Nᵦᵨ - (1.17)

H= (Mᵨᵦ + Mᵦᵨ

које одговарају деформацијама ω и τ. Са нормалним силама Nᵨ и Nᵦ и моментима савијања Mᵨ и Mᵦ, ове силе у потпуности описују стање напона љуске. На овај начин везе између

9


генералисаних сила и деформација формално остају исте као (1.15) и могу да се прикажу у следећем матричном облику:

N=Ds Є

M=Db χ (1.18)

Где су:

Ds

Db=

(1.19)

Nᵨ -Mᵨ εᵨ χᵨ

N= Nᵦ M= -Mᵦ Є= εᵦ χ= χᵦ

S H ω τ

Полазећи од (1.17) уз вођење рачуна о (1.18) и коришћење услова Mᵨᵦ=Mᵦᵨ, добијају се изрази за везу између смичућих сила и момената торзије се деформацијама:

Nᵨᵦ= D ( ω + τ )

Nᵦᵨ= D (ω + τ) (1.20)

Mᵨᵦ=Mᵦᵨ= ( 1- ν) Kτ

који идентички задовољавају шести услов равнотеже.

10

1 ν 0

Ν 1 0

0 0

1 ν 0

ν 1 0

0 0


1.1.5. Потенцијална енергија љуске

Потенцијална енергија деформације, односно деформациони рад танке љуске, дата је изразом:

A= )ABαdβ (1.21)

Када на место ε*alfa, ε*beta и ω* у изразу ( ) смене њихове вредности према ( ), уз вођење рачуна о дефиницији сила у пресецима (), за потенцијалну енергију деформације добија се:

A= (1.22)

Односно у матричном облику:

A= (1.23)

Сменом (1.18) у (1.23) добија се:

A= (1.24)

Укупна потенцијална енергија љуске једнака је збиру потенцијалне енергије деформације и раду спољашњих сила:

П= - Ѳn)ds (1.25)

где је p вектор површинског оптерећења

pᵀ=

а Nn и Mn (Nn, Sn, Mn и Tn) задате силе на контури Sσ. (1.26)

1.2. Ротационо симетричне љуске

У оквиру опште теорије љуски, ротационо-симетричне љуске представљају посебно поглавље због своје геометријске особености и због широке примене у инжењерским конструкцијама. Основне зависности помоћу којих се описује стање напона и стање деформација ових љуски, знатно су једноставније него у случају опште теорије љуски. Међутим, оне су још увек такве, да у општем случају, не омогућавају добијање решења у затвореном облику. Због тога, метода коначних елемената у анализи ротационо-симетричних љуски има велику примену.

11


Основне једначине

Средња површ љуске у систему Descartes-ових координата x, y, z, описана је параметарским једначинама:

X = R

Y = R (1.27)

Z = Z(φ)

Где су φ и θ Gauss-ове координате средње површи, полупречник меридијана је R1(φ), а полупречник паралелног круга Rₒ(φ) (слика).

Вектор померања y приказан је помоћу компонената u, v, w у правцу тангенте на меридијан, тангенте на паралелни круг и нормале на средњу површ љуске, респективно. Конвенције о позитивним смеровима померања и сила у пресецима приказане су на слици 1.3.

Веза између компонената тангенцијалне деформације εᵩ, εθ, ω, компонената деформације савијања χᵩ, χθ, τ и компонената померања u, v, w, дате су изразима:

Слика 1.3

12


εᵩ= (u,ᵩ + w)

εθ= (v,θ + u cosφ wsinφ)

ω= ( ),ᵩ + u,ₒ

χᵩ= γᵩ,ᵩ

χθ= - (γθ,θ+γᵩcosφ) (1.28)

τ= (γᵩ,θ + γθcosφ + sinφν,ᵩ)= γᵩ,θ + ( ),ᵩ

где су:

γᵩ= - ( u - w,ᵩ ) (1.29)

γθ= - ( vsinφ - w,ᵩ )

Ако се у изразима (1.29) и (1.29), према слици 1.4 стави R₁ :

φ= – α (1.30)

R₂= s tgαR₀= s sinα

(...),ᵩ= ( …),s

13


Слика 1.4

добијају се одговарајући изрази који важе за конусне љуске:

εᵩ=u,s

εθ= ( u sinα + v,θ +wcos α )

ω=v,s + u.ₒ - v

χᵩ= -ω,ss (1.31)

χθ= w,θθ + v,ₒ - w,s

τ= w,θs - v + w,θ + v,s

(γᵩ=w,s, γθ= )

Када су спољашњи утицаји и услови ослањања осно симетрични, изрази (1.31) се редукују, пошто чланови који садрже v и (...), θ постају нула, тако да се уместо (1.31) добија:

εᵩ= u,s

14


εθ= u + w

ω=0 (1.32)

χᵩ= - w,ss

χθ= - w,s

τ=0.

Везе између сила у пресецима и компонената деформација, тада су дате изразима:

Nᵩ= D (εᵩ + νεθ)

Nθ= D (εθ + νεᵩ)

Nᵩᵦ= Nθᵦ= Dω =0 (1.33)

Mᵩ=-K (χᵩ+νχθ)

Mθ= - K (χθ+νχᵩ)

Mᵩθ=Mθᵩ= (1-ν) Kτ=0

(D= , K= ..)

1.2.1. Коначни елемент облика конусног прстена

Коначни елементи помоћу којих се апроксимира средња површ осносиметричних љуски могу бити различитог облика. У општем случају, када спољашњи утицаји и услови на контури нису симетрични, примењују се двоструко закривљени елементи који су развијени на основу теорије ротационо-симетричних љуски. Међутим с обзиром на осну симетрију у геометрији, могу се примењивати елементи облика прстенастих сегмената, као знатно једноставнији. Најпростији такав елемент је конусни прстен са шест степени слободе, који је приказан на слици1.5.

15


Слика 1.5

Као основне непознате, усвајају се померања u и w и обртања бета у чворовима 1 и 2 на горњем и доњем рубу конусног прстена. Померања u и w су у правцу оса глобалног координатног система Z и R0. Поред глобалног координатног система уводи се и локални систем, тако да му се осе поклапају са изводницом конуса s и нормалом на конус n. Вектори параметара померања у чвору обима 1 и 2 су q1 и q2:

q₁ = и q₂ = (1.34)

А вектор параметара померања елемена:

q = (1.35)

Компонента померања у правцу изводнице конуса обележена је са у, а у правцу нормале на површ конуса са w (слика1.5). Промена померања u и w у зависности од s представља се у облику полинома. Пошто елемент има 6 степени слободе, по три у чворовима 1 и 2, то је могуће усвојити полиноме са укупно 6 непознатих коефицијената. За

16


компоненту померања у, претпостављају се да је линеарна функција s, а за компоненту w, да је полином трећег реда по s, тј.:

u= α₁+α₂sw= α₃ +α₄s+α₅s²+α₆s³ (1.36)Из (1.36) непосредно следи:W,s=α₄+2α₅+3α₆s² (1.37)

Зависности (1.36) и (1.37) могу да се прикажу у матричном облику:

u 1 S 0 0 0 0 α₁

w = 0 0 1 S s² s³ α₂

w,s 0 0 0 1 2s 3s² α₃

α₄

α₅

α₆

(1.38)

Односно:

u = A α (1.39)

Ако се израз (1.38) прикаже за тачке 1 и 2, стављајући s₁=0 i s₂=l, добија се:

u₁ 1 0 0 0 0 0 α₁

w₂ 0 0 1 0 0 0 α₂

W,s₁ 0 0 0 1 0 0 α₃

u₂ = 1 l 0 0 0 0 α₄ (1.40)

w₂ 0 0 1 l l² l³ α₅

W,s₂ 0 0 0 1 2 l 3l² α₆

Односно:

q =C α (1.41)

одакле је:

α= C-1 q (1.42)

где је:

17

1 0 0 0 0 0

-1/l 0 0 1/l 0 0

0 0 0 0 0 0 (1.43)

0 0 1 0 0 0

0 -3/l² -2/l 0 3/l² -1/l

0 2/l³ 1/l² 0 -2/l² 1/l²


C-1=

Веза између параметара померања q у локалном систему координата и параметара померања q у глобалном систему кордината на основу (Слика1.6.) може да се прикаже у следећем облику:

U1=ū1 cosα+ŵ1sinα

W1= -ū1 sinα+ŵ1cosα (1.44)

w¸ᶳ=-β1

Слика1.6. Параметри померања у локалном и глобалном координатном систему

Ако се једначине (1.44) прикажу за оба чвора, добија се:

u₁ cosα sinα 0 0 0 0 û₁

18


w₁ -sinα cosα 0 0 0 0 ẃ₁

w,s₁ = 0 0 -1 0 0 0 β₁

u₂ 0 0 0 cosα sinα 0 û₂ (1.45)

w₂ 0 0 0 -sinα cosα 0 ẃ₂

w,s₂ 0 0 0 0 0 -1 β₂

Односно:

q = Tq. (1.46)

Сменом (1.44) и (1.42) у (1.39), добија се:

u = Nq (1.47)

где је:

(1-ξ)cosα (1-ξ)sinα 0 ξcosα ξsinα 0

-(1-3ξ²+2ξ³)sinα (1-3ξ²+2ξ³)cosα -1(ξ-2ξ²+ξ³) -(3ξ²-2ξ³)sinα (3ξ²-2ξ³)cosα -1(-ξ²+ξ³) ξ= s/l (1.48)

N=AC ¹T=ˉ

=

Изрази (1.32) помоћу којих се успоставља веза између компонената деформација и конпонената померања, могу да се покажу у матричном облику:

ϵ=Lu (1.49)

где су:

L=

d/ds 0

sinα/Rₒ Cosα/Rₒ

0 -d²/ds² U=

u

v

(1.50)

19


0 -sinαd/Rₒds

ϵ=

Сменом (1.47) у (1.49), добија се:

ϵ=Bq (1.51)

где је:

-1/Ɩcosα -1/Ɩsinα 0 1cosα/Ɩ 1/Ɩsinα 0

(-ξ+3ξ²-2ξ²)sinα/2Rₒ (1-ξ)sin²α/Rₒ+

(1+3ξ2+2ξ2)cos²α/Rₒ

-Ɩ(ξ-2ξ²+ξ³)cosα/ϰ -(-ξ+3ξ²-2ξ³)sin2α/Rₒ ξsin²α/Rₒ+

+(3ξ²-2ξ³)cos²α/Rₒ

Ɩ(ξ²-ξ³)cosα/Rₒ

-6/l²(1-2ξ)sinα 6/Ɩ²(1-2ξ)cosα 1/Ɩ(-4+6 6/Ɩ(Ɩ-2ξ)sinα -6/Ɩ²(1-2ξ)cosα 1/Ɩ(2+6ξ)

-6/Ɩ(ξ-ξ²)sin²α/Rₒ 6/Ɩ(ξ-ξ²)sin2α/2Rₒ (1-4ξ+3ξ²)sinα/Rₒ 6/Ɩ(ξ-ξ²)sin²α/Rₒ -6/Ɩ(ξ-ξ²)sin2α/2Rₒ (-2ξ+3ξ²)sinα/Rₒ

B=LN=

(1.52)

Када су познате конпоненте деформација, силе у пресецима се могу одредити помоћу израза:

20

Nφ Eh 1 υ 0 0 ɛφ

Nө = ------- υ 1 0 0 ɛө

-Mφ 1 - υ 0 0 h²/12 υh²/12 ϰφ (1.53)

Mө 0 0 υh²/12 h²/12 ϰө


N=

Односно после смене (1.51) у (1.53):

N=Dϵ=DBq=Hq (1.54)

Где је:

Eh

D= ------

1-υ²

Полазећи од општег израза за матрицу крутости елемената:

K=

Уз вођење рачуна да је површина конусног прстена dF:

dF=2πRₒds=2πRₒƖdξ (1.56)

као и да је h садржано у матрици D, уз матрицу крутости елемента, добија се: k=

(1.57)

Одређивање којефицијената Kij (i, j=1,2 .....6) врши се нумеричким путем. Вектор силе у чворовима елемената услед подељеног оптерећења p по површини елемента одређује се према изразу:

Q= (1.58)

21

1 υ 0 0

υ 1 0 0 (1.55)

0 0 h²/12 υh²/12

0 0 υh²/12 h²/12


1.2.1. Цилиндрична љуска

У случају цилиндричне љуске слика 1.7, претходно изведени изрази се знатно поједностављују, пошто је угао α=0 i Rₒ = a = const.

Слика 1.7

На тај начин, изрази (1.48) и (1.52) за матрице N и B, постају:

N =

22

1-ξ 0 0 0 ξ 0

0 1-3ξ²+2ξ³ -Ɩ(ξ-2ξ²+ξ³) 0 3ξ²-2ξ³ Ɩ(ξ²-ξ³)


(1.59)

B =

(1.60)

Сменом (1.60) у (1.57) после интеграције за матрицу крутости елемената се добија:

K =

1. Пример

За илустрацију поступка прорачуна узета је цилиндрична љуска која је оптерећена хидростатичким оптерећењем ( л.1.8.). Љуска је подељена на четири коначна елемента (прстена) константе висине l.

Пошто су услед овог оптерећења померања u у правцу изводнице цилиндра једнака нули, у чворовима се јављају само по два непозната, померања w и обртање β.

23

-1/Ɩ 0 0 1/Ɩ 0 0

0 1/a(1-3ξ²+2ξ³ -Ɩ/a(ξ-2ξ²+ξ³) 0 1/a(3ξ²-2ξ³) Ɩ/a(ξ²-ξ³)

0 6/Ɩ(1-2ξ) 1/Ɩ(-4+6ξ) 0 -6/Ɩ(1-2ξ) 1/Ɩ(-2+6ξ)

0 0 0 0 0 0

a/Ɩ -υ/2 υl/12 -a/Ɩ -υ/2 -υƖ/12

+ - - -

+ - - + - +

(1.61)

+ +

симетрично +


Слика1.8.

На тај начин, матрица интерполационих функција (1.59) и матрица крутости

елемената (1.60) се редукује и постају: N=

] (1.62)

K =

Сменом у (1.62) на место a = l = 1 и h = 0,1, за матрицу крутости елемената се добија:

K = Eh

Промена хидростатичког оптерећења по висини цилиндра, за поједине прстенове, може се приказати на следеци начин:

p= -𝛾[4l-l(n+ξ)] = -𝛾l(4-n-ξ), n=0,1,2,3 (1.63)

полазећи од израза (1.58) уз вођење рачуна о (1.62) и (1.63), за векторе оптерећења у чворовима за поједине елементе, после интеграције, добија се:

24

+ - - -

+ - - + - +

+ +

симетрично +

2.397 -0.361 0.745 0.163

0.081 -0.163 -0.034

2.397 0.361

симетрично 0.071


Qn = 2π

n=0,1,2,3

Помоћу матрице крутости и вектора оптерећења за поједине елементе, на познати начин, формирају се

матрице крутости и вектор оптерећења за систем од четири елемента:

2.397 -0.361 0.745 0.163 0 0 0 0 0 0 wₒ 1.850

0.081 -0.163 -0.034 0 0 0 0 0 0 βₒ 0.300

4.794 0 0.745 0.163 0 0 0 0 w2 3

0.162 -0.163 -0.034 0 0 0 0 β1 -0.067

4.794 0 0745 0.163 0 0 w3 = 2π/Eh 2

0.162 -0.163 -0.034 0 0 β2 -0.067

4.794 0 0.735 0.163 w3 1

симетрично 0.162 -0.163 -0.034 β3 -0.067

2.397 0.361 w4 0.150

0.081 βₒ -0.033

У овом систему од 10 алгебарских једначина позната су померања wₒ и обртања βₒ, тако да остаје да се реши систем од осам једначина са осам непознатих, који је у претходној схеми одвојен цртама, као доњи дијагонални блок матрице k oдносно доњи блок вектора Q. Решењем овог система једначина добију се вредности напона тих параметара у чворовима, радијалних померања w и обртања β:

25

1.85 -

0.30 -

1.65 -

- 0.283+

2π/Eh MKE Tačno rešenje

w 1 0,568 0,491

β1 -0,783 -0,228

w 2 0,325 0,318

β2 -0,200 -0,160

w3 0,160 0,159

β3 -0,161 -0,160

w4 0,002 0

β4 0,143 -0,160


Слика 1.9 Дијаграм померања w

1.2.1. Кружна плоча

Ако је α = 90° конусна љуска прелази у кружну плочу, па се помоћу израза који су изведени за конусну љуску, једноставно добијају одговарајући изрази за кружну односно прстенасту плочу (слика 1.10).

26


Када се изразима (1.48) и (1.52) стави sinα = 1 и cosα = 0, добијају се матрице N и B за кружну плочу:

N =

(1.64)

B =

(1.65)

Ако су компоненте оптерећења у равни плоче једнаке нули, долази до редукције предходно изведених израза. У вектору генералисаних померања у чворовима елемената, тада су компоненте померања једнака нули, а у вектору сила остају различити од нуле само моменти савијања Мr и Мφ, тј.:

q=

(1.66)

27

0 1-ξ 0 0 ξ 0

-(1-3ξ²+ξ³) 0 -Ɩ(ξ-2ξ²+ξ³) -(3ξ²-2ξ³) 0 -Ɩ(-ξ²+ξ³)

0

-0 0 0

0 0 0 0

- (1-2ξ)0

(-4+6ξ) (1-2ξ)0

ξ+2

(ξ-

ξ²)

0(1-4ξ+3ξ²) (ξ-ξ²)

0(3ξ²-2ξ)

u₁

β₁ -M𝑟u₂ M= -Mᵩ

β₂


Слика1.10 Кружна плоча као специјалан случај осносиметричне љуске

Матрица B и D које су дате изразима (1.65) и (1.55) се редукују и постају:

B =

(1.67)

D =

(1.68)

Производ матрица BТDB, према (1.67) и (1.68) постаје:

BТDB =

(1.69)

Где су:

28

(12ξ - 6) (6ξ – 4) - - (6ξ – 2)

(6ξ²- 6ξ) (1 - 4ξ + 3ξ²) (6ξ - 6ξ²) (3ξ² - 2ξ)

1 Υ

υ 1

b₁₁ b₁₂ b₁₃ b₁₄

b₂₂ b₂₃ b₂₄

симетрично

b₃₃ b₃₄

b₄₄


b₁₁= (36-144ξ + 144ξ²) + (36ξ²-72ξ³+36ξ⁴) + (36ξ - 108ξ² 72ξ³)

b₁₂= (24-84ξ + 72ξ²) + (-6ξ + 30 ξ² - 42ξ³ + 18ξ⁴) + (-6+60ξ-126ξ²+72ξ³)

b₁₃=- b₁₁

b₁₄= (12 - 60ξ + 72ξ²)+ (12ξ²-30ξ³+18ξ⁴)+ (24ξ-90ξ²+72ξ³) (1.70)

b₂₂= (16-48ξ+36ξ²)+ (1-8ξ+22ξ²-24ξ³+9ξ⁴)+ (4-22ξ+36ξ²-18ξ³)

b₂₃=- b₁₂

b₂₄= (8-36ξ+36ξ²)+ (-2ξ+11ξ²-18ξ³+9ξ⁴)+ (-2+22ξ-54ξ²+36ξ³)

b₃₃=b₁₁, b₃₄=b₁₄

b₄₄= (4-24ξ+36ξ²)+ (4ξ²-12ξ³+9ξ⁴)+ (4ξ-18ξ²+18ξ³).

Елементи матрице крутости срачунавају се према изразу:

K= Rₒldξ = ᵢᴊ(Rᵢ+lξ)dξ= ᵢᴊ (1.71)

(i,j=1, 2, 3, 4), R0(ξ)=R₁+lξ.

После смене (1.70) у (1.71) и извршене интеграције, за елементе матрице крутости елемената, добија се:

ќ₁₁= (-9+18 - 39 +36 )

ќ₁₂= - R₁+ l -5.5 - 1+5 +3R₁³) R₁ ]

ќ₁₃= ќ₁₁

ќ₁₄= +3 -2l -18 + 6R₁²

29


ќ₂₂=- - - 39 - 9 + (1+ 8 + 22 +24 +9 ) (1.71)

ќ₂₃=- ќ₂₄

ќ₂₄=0.75- - 13.5 - 9 +(2 + 11 +18 +9 )

ќ₃₃= ќ₁₁ќ₃₄=- ќ₁₄

ќ₄₄=3.25+3 – 7.5 -9 + (4 + 12 +9 )

Изрази (1.71) изведени су уз претпоставку да је ν=0. Генералисане силе у чворовима услед спољнег оптрећења по плочи одређује се према изразу (1.58). Тако нпр. за случај равномерно подељеног оптерећења p0, добија се:

QТ= -2πlpₒ [1-3ξ²+ξ³ l(ξ-2ξ²+ξ³) 3ξ+2ξ³ l(ξ³-ξ²)]dξ=2πlpₒ[Q₁₁ Q₁₂ Q₁₃ Q₁₄]

Q₁₁= R₁+ l (1.74)

Q₁₂= R₁L+ l²

Q₁₃= R₁+ l

Q₁₄= R₁l+ l₂

Моменти савијања Mᵣ и Mᵩ, према (1.54) i (1.67) постају:

M= =Hq

Где је:

H =

(1.75)

30

(12ξ–6)+ (6ξ²-6ξ) (6ξ – 4)+ (1-4ξ+3ξ) - (12ξ – 6)+ (6ξ-6ξ²) (12ξ–2)+ (3ξ²-2ξ)

(12ξ–6ξ)+ (12ξ²-6) (1–4ξ+3ξ²)+ (6ξ-4) (6ξ – 6ξ²)+ (12ξ-6) (3ξ²-2ξ)+ (6ξ-2)


Сменом у (1.75) ξ=0 и ξ=1 добија се матрица H помоћу које се одређује моменат на крајевима елемената:

H =

(1.76)

2. Пример

За нумерички пример узета је прстенаста плоча која је по унутрашњој контури укљештена, а по спољашњој слободна (Слика1.11)

Слика 1.11: Прстенаста плоча укљештена по унутрашњој контури

а) два коначна елемента

Матрица крутости и вектори генералисаних сила у чворовима:

Kˡ=

31

-

- + -

- + - -

- +

4.70330 4.02106 -4.70330 5.04442 -26/20

49.47284 -4.70330 2.9759 Qˡ 28/60 2πlpₒ-4.70330 -5.04442 34/20

7.07868 -32/60


k²=

Матрица крутости и вектор сила у чворовима 2 коначна елемента:

4.70330 4.02106 -4.70330 50442 0 0 26/5

49.47284 -4.02106 2.97589 0 0 Q²

28/15 πpₒ

12.32399 1.97139 -7.62069 8.02394 1616.13878 -7.01580 4.9827 16/15

7.62069 -8.02394 54/511.04906 -52/15

K=

Систем једначина:

32

7.62069 7.01580 -7.62069 8.02394 46/20

9.06010 -7.01580 4.98627 Q² 28/60 2πlpₒ7.62069 -8.02394 54/20

11.04906 -52/60

12.3299 1.97139 -7.62069 8.02394 ū₁ 8,016.13878 -7.01580 4.98627 ₁𝛽 = 0,532 pₒ

7.62069 -8.02394 ū₂ 5,400Симетрично 11.04906 𝛽₂ -1,732


Решење система једначина:

Моменти савијања на крајевима елемената 1 (према (1.76) за ν = 0, l = 2, R₁ = 2, R₂ = 4)

Mᵣ₁ 1.5 2 -1.5 1. 0 -11.248Mᵩ₁ = 0 -1.5 0 0 0 Pₒ= 0 pₒMᵣ₂ -1.5 -1 1.5 -2. 15.1357 -0.208Mᵩ₂ 0 0 0 -0.25 11.4558 -2.864

Моменти савијања на крајевима елемената 2 (l = 2, R₁ = 4, R₂ = 6):

Mᵣ₂ 1.5 2 -1.5 1. 15.1357 0.922Mᵩ₂ = 0 -0.25 0 0 11.4558 Pₒ= -2.864 pₒMᵣ₃ -1.5 -1. 1.5 -2. 39.1252 0.439Mᵩ₃ 0 0 0 -0.167 12.0947 -2.016

b) четири коначна елемента

Матрице крутости и вектори оптерећења у чворовима елемената:

Kˡ=

K²=

k³=

33

ū₂ -w 15.1357𝛽₂ = ₂𝛽 = 11.4558ū₃ -w₃ 39.1252𝛽₃ ₃𝛽 12.0947

30.48276 14.03161 -30.48276 16.04789 23/209.06010 -14.03161 4.98627 Qˡ= 12/60 2πpₒ

30.48276 -16.04789 27/20

Симетрично 11.04906 -13/60

42,34370 20,02440 -42,34370 22,03266 33/2013,04136 -20,02440 6,99037 Qˡ= 17/60 2πpₒ

42,34370 -22,03266 37/20

Симетрично 15,03580 -18/60

54,26640 26,01960 -54,26640 28,02450 43/2017,03145 -26,01960 8,99248 Qˡ= 22/60 2πpₒ

54,26640 -28,02450 47/20

Симетрично 19,02814 -23/60


k⁴=

Матрица крутости и вектор оптерећења система елемената:

Qᵀ=2πpₒ[23/20 1/5 3. 1/15 4. 1/15 5. 1/15 57/20 -7/15]

30.4828 14.0316 -30.4828 16.0479 0 0 0 0 0 09.0601 -14.0316 4.0863 0 0 0 0

72.8265 3.9765 -42.3437 22.0327 0 024.0905 -20.0244 6.9904 0 0

96.6101 3.9869 -56.266 25.024532.0673 -26.0196 8.925

120.4846 3.9919 -66.2182 34.019740.0535 -32.0164 10.9958

Симетрично 66.2182 38.019723.0231

K=

Решење система једначина k₂₂q₂=Q₂ добијају се померања и обртања у чворовима плоче која су упоређена са тачним решењима:

34

66.21820 32.01636 -66.21820 34.0197 53/2021.02540 -32.01636 10.99380 Qˡ= 27/60 2πpₒ

66.21820 -34.01970 57/20

Симетрично 23.02310 -28/60

Пом. МКЕ Тачноū₁ 4.990 5,0095

₁𝛽 8.5702 8,5712ū₂ 15.3122 15,3250

₂𝛽 11.4936 11,4894ū₃ 27.2452 27,2579

₃𝛽 12.1555 12,1542ū₄ 39.4005 39,4123

₄𝛽 12.1365 12,1350мултипликатор 12pₒ/Eh³


A

потом моменти савијања:

35

елемент КрајpₒˉˡMᵣ pₒˉˡMᵩ

МКЕ Тачно МКЕ Тачно1 1 12,8536 13,7975 0 0

2 4,2868 4,8921 2,8567 2,85702 1 4,6112 2,8567

2 1,2356 1,4476 2,8736 2,87233 1 1,3126 2,8736

2 0,0112 0,1234 2,4308 2,43084 1 0,0748 2,408

1 -0,0748 0 2,0228 2,025


Слика 1.12 Приказани су дијаграми радијалних момената који се добијају помоћу једног, два и четири коначна елемента, као и линија момената која одговара тачном решењу.

36

Documents

MKE - Cirilica