Model Pendekatan Kronig-Penney

7/26/2019 Model Pendekatan Kronig-Penney

1/20

NPTEL Electrical & Electronics Engineering Semiconductor Nanodevices

KronigPenney Model - Free-Electron / Quasifree-

Electron Approximation: Density of tates Function

!" #o$n %osco %alaguru Professor c$ool of Electrical & Electronics Engineering

A'!A (ni)ersity

%" *" #eyapra+as$ Assistant Professor c$ool of Electrical & Electronics Engineering

A'!A (ni)ersity


2/20


DAF'A! ,,

" Ele+tron %e.as dan Pende+atan Model Ele+tron %e.as &

Mem.aa Konsep Kepada Model Kronig-Penney1.1 Teori Elektron Bebas1.2 Model Elektron Bebas1.3 Gas Elektron di Dalam Kotak Satu Dimensi1.4 Interference1. Kesim!ulan1." Model Elektron #am!ir Bebas1.$ %lasan &ormasi 'ntuk Ener(i Ga!1.) *endekatan Konse! ke!ada Model Kroni(+*enne,

0" Ele+tron Pada ta.el Periodi+ dari se.ua$ Kristal 1Model

Kronig-Penney23" Apro+simasi Quesifree-Ele+tron : Densitas dari Fungsi

Keadaan3.1 Interference3.2 S!ektrum Ener(i3.3 -umla Kemun(kinan &un(si Gelomban( di Dalam /ela3.4 Densitas dari Keadaan Dasar

4" !eferensi


3/20


" Ele+tron .e.as dan model ele+tron $ampir .e.as & +onsep

yang mengara$ +e Kronig - Model Penney

1.1 Teori Elektron Bebas

*ada taun 10 Drude !ertamakali men(emukakan baa sebua kelistrikan dan

konduktiitas !anas !ada lo(am dan semikonduktor dikaitkan den(an keadiran suatu

elektron bebas . Drude dan 5orent6 kemudian men7elaskan sifat ini den(an men(andalkan

asumsi baa 8

1. Elektron bebas da!at !inda ,an( diakibatkan ole tumbukan antar atom2. Elektron bebas meru!akan !artikel bebas didalam (as ideal

3. Sein((a !artikel ini mematui aturan !ada Statistik Ma9ell+Bolt6man

Satu dari alasan diatas mendukun( diteriman,a teori klasik elektron bebas dimana teori

tersebut tela dise!akati sesuai den(an #ukum :iedmann+&rant6 ,an( berubun(an

den(an sifat kelistrikan dan konduktiitas !anas .

1.2 Model Elektron Bebas

*ada model ini sebua ba(ian terbesar dari s!esimen diasumsikan terdiri dari 2 ba(ian

ba(ian !ertama adala muatan !ositif dan ba(ian ,an( lain adala elektron bebas ,an( tak

bermuatan ,an( diisi den(an elekron alensi. *ada elektron ini diasumsikan baa mereka

bebas untuk menerima s!esimen dari ba(ian ,an( lain dan mereka memiiki efek untukmembatasi mereka diba(ian dalam.;lek karena itu berdasarkan model ini elektron

konduksi elektron bebas !inda kemana!un !ada conto dan 9>5 elektron bermassa m dire!resentasikan den(an sebua fun(si (elomban(

?


4/20


Seba(ai ener(i total dian((a! seba(ai ener(i kineti !ers.


5/20


n=Asin( nxL)(8)

1.4 Interference

1. -ika fun(si (elomban( an,a terda!at dari inte(ral nilai dari n maka n adala bilan(an

kuantum

2. Dari !ers.$ ener(i terdiri dari nilai disktrit den(an 7arak ,an( ber(antun( !ada ( n2

L2 )

leel ener(, ,an( mendekati 5 adala ener(i ,an( besar3. @ilai dari konstanta % !ada !ers.) ditentukan ole kondisi normalisasi < elektron ,an( ada di

suatu ba(ian ,an( masi ada didalam kotak = dan !robabilitas maksimum adala 1 .

Sein((a8 0

L

n

n (x ) dx=1

0

L

A2

sin2( nxL)=1 A2= 2Latau A=2L

Maka fun(si (elomban(n,a adalan (x )=

2

Lsin( nxL)

4. %!abila didalam kotak menam!un( @ bilan(an elektron !enem!atan elektron dii6inkan

masuk kedalam leel ener(i ,an( memenui !rinsi! 5aran(an *auli . Sein((a masin(+

masin( leel kuantum dari bilan(an kuantum n memenui *rinsi! *aula dan da!at

menam!un( dua elektron 8 satu s!in naik dan ,an( lainn,a den(an s!in turun

Men(in(at baa bilan(an elektron @ elektron tersebut men(isi secara konsekuen dari

leel ,an( !alin( baa 1= sam!ai enr(i ,an( !alin( atas nf

Ef=

2

2m(nf

L)2

=

2

2m (N

2L )2

Sekaran( ener(i total E da!at di!erole den(an men7umlakan ener(i sam!ai ke En

diantara n>1 dan nf>@A2


6/20


Maka

En=2

2

2m (

L )2

n=1

N/2

n2

E0=

n=1

N/2

Maka da!at disederanakan dan di!erole 8

E01

3NEf

1. Kesim!ulan

Model elektron bebas membantu kita untuk memaami lebi baik dari bebera!a kunci

!arameter dari lo(am se!erti ka!sitas !ans konduktiitas termal konduktiitas listrik

suse!tibilitas ma(net dan elektrodinamika

Ba(aimana!un ini (a(al bila men7elaskan nilai !ositif dari !en(amatan #all co+Efficient

(a(al membedakan baan insulator semikonduktor dan konduktor . Ini 7u(a (a(al untuk

men(ubun(kan konduksi elektron !ada lo(am den(an elektron alensi !ada atom bebasdan tidak da!at men7elaskan sifat !emindaan se!erti !er!indaan ma(net.

1." Model Elektron #am!ir Bebas

Konse! band ener(i di!erkenalkan untuk memiliki !emaaman ,an( lebi baik dari lo(am

dan kristal. Setia! !adat memiliki elektron. @amun untuk memaami !erbedaan !erilaku

elektron ini dalam isolator dan konduktor kita arus mem!eritun(kan keadiran kisi dalam

s!esimen. ;le karena itu elektron dari sekaran( tidak benar+benar (ratis sebalikn,a

mereka am!ir bebas karena keadiran kisi


7/20


Menurut model elektron am!ir bebas elektron adir dalam s!esimen ,an( sedikit

ter(an((u ole !otensi !eriodik ,an( lema ,an( diasilkan ole kisi+kisi. %nalisis kualitatif

tentan( lo(am dan kristal da!at dilakukan den(an mem!ela7ari struktur band mereka.

Kesen7an(an ener(i disebabkan ketika elektron men7alani refleksi Bra((. Dalam

kesen7an(an ini !ersamaan Scrodin(er ,an( men((ambarkan (elomban( se!erti sifatelektron tidak ada. Kesen7an(an ener(i ini terdeteksi memainkan !eran !entin( dalam

diskriminasi A men(identifikasi solid seba(ai isolator atau konduktor. Ener(i dari elektron

berdasarkan elektron bebas dan model elektron am!ir bebas ditun7ukkan !ada Gambar.

1a. dan Gambar. 1b masin(+masin(.

*am.ar "aKura Ener(i dari Elektron Bebas

*am.ar ".Kura Ener(idari Elektron den(an 5inear Kisi Monoatomik 8 a>kontantata kisi

,an( berefleksi !adaCAa

Gambar. 1b menun7ukkan cela ener(i !ada k > C A a di mana refleksi !ertama Bra((

diamati. Sesuai konse! Bra(( kesen7an(an lain ter7adi karena nilai+nilai inte(er n. %lasan

ter7adin,a refleksi !ada k >> C A a adala karena (elomban( ,an( di!antulkan dari satu

atom dalam kisi linear men((an((u konstruktif den(an !erbedaan fase 2.

1.$ %lasan untuk !embentukan cela ener(i

&un(si (elomban( !ada titik k > C A a tidak memiliki !er7alanan (elomban( bukan

(elomban( berdiri. Gelomban( berdiri terbentuk ketika (elomban( Bra(( tercermin aran,a

!er7alanan berlaanan den(an ara insiden dan refleksi selan7utn,a berbalik ara la(i ada

den(an mem!roduksi (elomban( berdiri se7ak (elomban( den(an sendirin,a arus aktu


8/20


inde!enden. Dua bentuk ,an( berbeda dari (elomban( berdiri dalam al be!er(ian

(elomban( eix/ a

dan eix/ a

.

+


9/20


Dalam kristal n,ata elektron ber(erak dalam kisi rutin diselen((arakan ion !ositif. Elektron

memiliki !otensi nol di lokasi ion !ositif dan memiliki nilai maksimum !ada titik+titik kisi

menen(a.

#al ini da!at secara skematis di(ambarkan se!erti ditun7ukkan !ada Gambar. 2 *am.ar 0. Distribusi *otensial Secara *eriodik dalam Satu Dimensi !ada Kristal

0" E5EK'!67 DA5AM %,DA7* %E!KA5A DA!, 8!9'A5 1Kronig -

Penney M6DE52

'ntuk !erlakuan masala kita !en(ulan(an berkala sumur !otensial Gbr.3 ,aitu

!en(aturan !eriodik sumur !otensial dan ambatan !otensial ,an( !alin( mun(kin san(at

dekat den(an realitas dan 7u(a !alin( cocok untuk !eritun(an. *otensi !eriodik se!erti

ditun7ukkan !ada Gambar. 3 untuk kasus satu dimensi.


10/20


*am.ar 3. Sumur *otensial dalam *ulsa Kotak secara *eriodik men((unakan Model

Kroni(+*enne,

Meski!un model ini san(at artifisial namun men((ambarkan ban,ak fitur karakteristik dari

!erilaku elektron dalam kisi !eriodik. &un(si (elomban( ,an( terkait den(an model ini da!at

diitun( den(an memecakan !ersamaan Scrodin(er untuk dua ila,a I dan II.

*ersamaan Scrodin(er aktu inde!enden men(ambil bentuk seba(ai berikut untuk dua

daera

d2

dx2+

8 2

m

!2

E=0untuk0


11/20


Solusi akan te!at ba(i kedua !ersamaan ,an( diusukan ole Bloc den(an bentuk 8

(x )='K(x ) eiKx (17)

Den(an mendiferensialkan !ersamaan tersebut akan di!erole 8

d

dx=ei(x

du(

dx +u(iK e i(x

dand

2

dx2=e i(x

d2

u(

dx2+ i K e i(x

du(

dx +i K e i(x

du(

dxK2 ei(x u(

i ) e ) ,d

2

dx2=K2ei(x u(+2 i K e i(x

du(

dx+ei(x

d2

u(

dx2

-ika nilai disubstitusi maka kita akan menda!atkan

d2

u1

dx2+2iK

d u1

dx+( #%2K%2 )u&1=0;untuk0


12/20


m=iKi#

m1=iK+i#=i(#K)

danm2=iKi#=i(#+K)

Sein((a solusi umumn,a adala

u1=Aem1x+Bem2x

u1=Aei (#K)x+Bei (#+K)x (20)

Dimana % dan B adala konstanta se!erti !ersamaan 10 da!at ditulis 8

m2+ 2iKm($ 2+K2 )=0

m=( 2 iK (4K24 (($2K2 )))2

)m=iKi$

m1=iK+$=($iK)

danm2=iK$=($iK)

Sein((a

u2=*em1x++em2x

u2=*e($iK)x

++e($+iK)x

(21)

Den(an / dan D adala konstanta . @ilai dari konstanta %B/dan Dda!at di!erole den(an

memasukan kondisi batas.

[[ u ]1(x )]x=0=[[u ]2(x )]x=0; [ du1(x )dx ]x=0=[du2(x)

dx ]x=0dan [[ u ]1(x )]x=a= [[u ]2 (x )]x=";

[du1(x)

dx

]x=a

=

[du2(x)

dx

]x="


13/20


Den(an kondisi diatas dida!atkan 8


14/20


0

$2#2=

8 2

m

!2

Den(an mensubstitusi !ersamaan tersebut maka dida!at 8

(8 2

m

!2 )$"sin#a+-s#a=-sK#

DimanaP=

m0

a"

!2

(m0 a"

!2 )

msinaaaa

+-s#a=-sK#

-adiP

msinaa

aa +-s#a =-sK#(27)

Istila

0"

disebut kekuatan !en(alan(. IstilaP=

m0

a"

!2 di En.


15/20


Gambar 4 . *lot dariP

sin aa

aa +-s#a=cosKa

den(an P=

3

2

3"Apro+simasi Quasi free-Ele+tron : Kerapatan Fungsi Keadaan

3.1 Interference

1. Batas ,an( di!erbolekan istilaP

sin aa

aa +-s#a

terletak di antara 1 sam!ai +1.

Den(an memariasikan a sifat mekanik (elomban( da!at di!lot se!erti ditun7ukkan !ada

Gambar. ba(ian ,an( diarsir (elomban( menun7ukkan band di!erbolekan ener(i den(an

daera terlaran( ba(ian tidak berba,an(.

*am.ar "Ba(ian Sam!in( *ers.2)

2. Den(an !enin(katan a keadaan ener(i ,an( dii6inkan untuk elektron menin(kat di sana

den(an menin(katkan lebar band band ,aitu kekuatan !en(alan( !otensial berkuran(.

#al ini 7u(a men,ebabkan !enin(katan 7arak antara elektron dan ener(i total ,an( dimiliki

ole elektron indiidu.

3./onersel, 7ika misalkan efek !otensial !en(alan( mendominasi ,aitu 7ika * besar

(elomban( ,an( diasilkan di!erole dalam alP

sin aa

aa +-s#a

menun7ukkan ariasi

ste!!er di ila,a ini terletak di antara 1 sam!ai +1. #al ini men,ebabkan !enurunan

di!erbolekan ener(i dan !enin(katan dilaran( cela ener(i. -adi !ada ekstremitas


16/20


Kasus 1i2 +eti+a P 0 keadaan ener(i di!erbolekan dikom!resi untuk s!ektrum

(aris.


17/20


Kasus1ii2 :Ketika 10 , den(an men((unakan !ersamaan ,an( sama cos# a>

-sk a #=k

-ika kita substitusi nilai k2

=#2

=2 mE

2 atau da!at sisusun ulan(

E=( 2

2 m)k2= !2

8 2

m (2

/)2

= !

2

2m /2(30)

Den(an Q meru!akan !an7an( (elomban( ,an( ada !ada sebua elektron ,an( disamakan

dari !an7an( (elomban( de Bro(lie

E= !

2

2 m

P2

!2

=P

2

2 m=

m2

22

2 m=

1

2m2

2(31)

Ener(idi!erole dari ubun(an ener(i dari !artikel bebas dan da!at dilukisakan dalam

Gambar $

*am.ar


18/20


(x )=uk(x ) eikx

dan

(x +L )=uk(x +L ) eik(x+L)

Den(an memasukan kondisi batas ,an( !eriodik maka dida!at

uk(x )eikx=uk(x+L ) e

ik(x+L)(32)

Kita tela meliat modulasi dari fun(siuk(x) ,an( memiliki sifat !eriodik !ada kisi

uk(x )=uk(x+ a )=uk(x +2 a )=u k(x +Na )

Dimana Na meru!akan !an7an( L !ada kristal . Substitusi ini !ada !ers.


19/20


n= L

2 [K]a

a

=L

a

na=L(34)

den(an " 0 a F b a 7u(a !an7an( kristal 5 > @ @a. Membandin(kan

den(an Es." kita menda!atkan n > @ dimana @ adala 7umla sel satuan. Den(an

demikian 7umla total kemun(kinan ne(ara dalam sebua band adala 7umla sel satuan.

Den(an mem!ertimban(kan s!in elektron dan !rinsi! eksklusi *auli masin(+masin( ne(ara

bisa ditem!ati !alin( ban,ak ole dua elektron dan karenan,a 7umla elektron dalam

sebua band adala 2@.

3.4 Densitas


20/20


1

me=1

2

d2E

dk2( nL) :n=0,1,2,3, (38)

Kemudian !ersamaan dis!ersi den(an massa efektif da!at ditulis seba(ai

me=$ m0

$=1

L ( 2

2 mE )1/ 2

[P( sin #L( #L)2 -s#L#L )+sin#L]x (-skL )1

Dimana k=n/L dan E adala ener(i !ada keadaan renda dan cela tertin((i

k=n/L

4"!eferensi

1. ;mar M. %. Elementar, Solid State *,sics8 *rinci!les and %!!lications. "ted. Deli8*earson Education 2. *rint.

2. Kittel /arles. Introduction to Solid State *,sics. $ ted. Deli8 -on :ile, Sons10)". *rint.

3. *illai S.;. Solid State *,sics. t ed. Deli8 @e %(e International

Documents

Model Pendekatan Kronig-Penney