Model Simplektik

Anton Wiranata

0300020103

Universitas Indonesia

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Jurusan Fisika

Depok

2004

Model Simplektik

Skripsi diajukan sebagai salah satu syarat

memperoleh gelar Sarjana Sains

Oleh:

Anton Wiranata

0300020103

Universitas Indonesia

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Jurusan Fisika

Depok

2004

Halaman Persetujuan

Skripsi : Model SimplektikNama : Anton WiranataNPM : 0300020103

Skripsi ini telah diperiksa dan disetujui

Pembimbing I Pembimbing II

Dr. Chairul Bahri Dr. Terry Mart

Penguji I Penguji II

Dr. L.T.Handoko Dr. Anto Sulaksono

i

Persembahanku

Untuk Yang selalu memperhatikan kuWalau kadang aku melupakan NyaYang selalu membimbing kumenyelami dalam ilmu Nya

ii

Kata Pengantar

Semakin banyaknya fenomena-fenomena yang terjadi di dalam suatu nukleus, yang

mana tidak dapat dijelaskan lagi dengan menggunakan pemodelan yang ada saat

ini , maka menuntut adanya suatu pemodelan yang bersifat lebih umum lagi dari

model sebelumnya.

Dengan memperumum suatu teori maka akan muncul berberapa obsevable baru

yang tidak terlihat sebelumnya dengan menggunakan model yang lama. Model

baru ini akan berbasis pada Teori Grup, adapun grup yang digunakan disini adalah

grup Sp(3,R) yang merupakan grup dinamis.

Karena luasnya cakupan grup yang akan dibahas dan juga keterbatasan wak-

tu dan kemampuan yang dimiliki penulis , penulis hanya akan menentukan dua

operator dan juga relasi komutasi yang terjadi antara dua operator tersebut.

Penulis mengucapkan terima kasih kepada Dr. Chairul Bahri dan Dr. Terry

Mart yang sudah mau menjadi pembimbing skripsi. Penulis juga tak lupa akan

ide-ide, dorongan semagat, dan peminjaman buku, serta jawaban dari pertanyaan

yang saya tidak mengerti yang diberikan oleh Dr. LT Handoko dan juga Dr. Anto

Sulaksono. Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang

membantu yang namanya tidak bisa disebutkan satu-persatu.

Hasil karya ini tidaklah sempurna. Penulis menerima saran dan kritikan yang

membangun dari para pembaca.

Depok,

Anton Wiranata

iii

Intisari

Abstrak

Model Simplektik adalah suatu model mikroskopik yang berdasarkan atas Aljabar

Lie (Lie Algebra) sp(3,R) yang berasal dari group non-compact lengkap Symplec-

tic Group Sp(3,R). Salah satu kegunaan grup Sp(3,R) adalah sebagai suatu grup

dinamik untuk Model Kolektif (Collective Model). Model Simplektik diusulkan se-

bagai suatu model aljabar terkecil yang memiliki momen kuadrupol Qij dan energi

kinetik total. Karena Model Simplektik mampu menghubungkan model fenomo-

nologis dan formulasi secara teori, maka model ini merupakan suatu teori yang

penting dalam mempelajari struktur nuklir, dan model ini juga mampu menje-

laskan fenomonologis model kolektif secara mikroskopik. Hal ini bahkan lebih baik

lagi dijelaskan dengan menggunakan Model Shell Simplektik

Abstract

Symplectic model is a microscopic collective model whose basic observables be-

long to Lie Algebra sp(3,R) of the non-compact symplectic group Sp(3,R). The

Symplectic model can be used as a dynamical group for collective model. The

Symplectic model was proposed as the smallest algebraic model whose Lie Algebra

contains both the quadrupole moment Qij and total kinetic energy. It is because

of its relationships, both phenomenological models and microscopic theory, that

the symplectic model is important in the theory of Nuclear structure, and also can

interpret and defect the phenomenological collective model in microscopic terms.

This is even more true of the symplectic shell model.

iv

Daftar Isi

Halaman Persetujuan i

Kata Pengantar iii

Intisari iv

Daftar Isi v

Daftar Gambar vi

Daftar Tabel vii

1 Pendahuluan 1

1.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Metode Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.4 Sistematika Penulisan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Tinjauan Pustaka 4

2.1 Teori Grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1.1 Definisi Grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1.2 Subgrup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.3 Isomorpisme dan Homomorpisme . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.4 Grup Simpel dan Semi-Simpel . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1.5 Grup Simetri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Grup Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2.1 Generator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2.2 Kekompakan(Compactness) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

v

2.3 Grup Dinamis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4 Model ROT(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.5 Model SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.6 Model U(3)-Phonon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 Hasil dan Pembahasan 14

3.1 Simplektik Grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.2 Arti Fisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2.1 Limit Kontraksi dari Model Simplektik . . . . . . . . . . . . 19

4 Kesimpulan dan Saran 23

4.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

A Pembuktian Matematis 24

A.1 Relasi komutasi B dan A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

A.2 Relasi Komutasi C dan B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

A.3 Relasi Komutasi C dan A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

A.4 Relasi Komutasi Tambahan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

A.5 Komutasi X3 dan X4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

A.6 Beberapa Relasi Komutasi Tambahan . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

A.7 X3 dan X4 Pada Saat Kontraksi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Bibliografi 38

vi

Daftar Gambar

vii

Daftar Tabel

viii

Bab 1

Pendahuluan

Seperti kita ketahui di dalam Mekanika Kuantum, fungsi gelombang suatu par-

tikel mengandung semua informasi tentang partikel tersebut (misalnya kecepatan,

momentum, energi dan yang lainnya). Jadi apabila kita ingin mengetahui karak-

teristik suatu nukleus yang terdiri dari banyak nukleon-nukleon penyusun, kita

harus mengetahui fungsi gelombang dari masing-masing nukleon tersebut. Tapi

hal ini dapat dilakukan dengan baik hanya untuk nukleus ringan (jumlah nuk-

leonnya sedikit), sedangkan untuk nukleus berat, kita harus menggunakan berba-

gai pendekatan dan juga banyak asumsi yang dipakai, hal ini dikarenakan kita

harus mendefinisikan semua fungsi gelombang untuk masing-masing nukleon, hal

ini menyulitkan dikarenakan adanya interaksi banyak partikel.

Dalam hal inilah diperlukan adanya suatu pemodelan nukleus, yang akan men-

jelaskan tentang sifat-sifat dari nukleus dengan menganalogikan nukleus dengan

sesuatu yang sudah kita kenal dengan baik dan memiliki sifat menyerupai nukleus.

Dalam membuat suatu model, hampir tidak ada suatu model yang dapat menje-

laskan keseluruhan sifat nukleus, suatu model hanya dapat dengan baik menje-

laskan sebagian kecil dari sifat nukleus tersebut.

Dalam penjelasan tentang sifat dari nukleus tersebut, terdapat dua penjelasan

utama tentang model nuklir tersebut, ada model yang menganalogikan nukleon di

dalam nukleus menyerupai partikel bebas (independent partikel) sebagai contoh

Model Fermi dan Model Shell. Model yang kedua menganggap nukleon yang ter-

dapat di dalam nukleus memiliki sifat-sifat kolektif, sebagai contoh Model Tetes

Cairan, Model Rotasi, Model Vibrasi dan lain-lain. Tentu saja kedua cara pen-

dekatan ini memiliki kelemahan dan kelebihan masing-masing.

1

1.1 Latar Belakang

Dengan adanya kedua model yang menjelaskan nukleus dengan pendekatan yang

berbeda (dengan pemodelan partikel bebas dan dengan pemodelan sifat kolektip

nukleon), dimungkinkan adanya suatu model yang lebih umum, yang dapat men-

gakomodir kedua model tersebut sebagai submodelnya. Muncullah suatu model

yang disebut dengan Model Simplektik yang merupakan model gabungan (unified

model), yang berbasiskan grup Sp(3,R).

Dengan menggunakan model ini, dimungkinkan menjelaskan sifat-sifat suatu

nukleus dengan menggunakan aljabar. Aljabar didapat dengan menggunakan relasi

komutasi masing-masing elemen grup. Keuntungan menggunakan aljabar adalah

suatu model akan dapat menjelaskan permasalahan mikroskopis suatu nukleus

1.2 Metode Penelitian

Penelitian yang dikerjakan ini bersifat teoritis, sehingga kita memerlukan kerangka

teoritis yang sudah diakui kebenarannya, yaitu model-model standar yang telah

ada. Model-model standar ini yang merupakan submodel dari model simplek-

tik. Model Simplektik akan menjadi submodelnya apabila terjadi kontraksi dari

variabel-variabel tertentu.

Karena penelitian ini bersifat teoritis, maka diperlukan sumber informasi yang

langsung tepat mengenai sasaran topik penelitian. Sumber informasi ini diperoleh

dari buku dan jurnal.

1.3 Tujuan Penelitian

Karena grup yang dipakai disini adalah bukanlah grup simetri tetapi adalah grup

dinamis Sp(3,R) yang bersifat tidak kompak.

Adapun permasalahan yang akan dibahas adalah sebagai berikut. Kita men-

cari a complete set of commuting operators (CSCO) dari struktur grup yang kita

minati. Proyek ini sendiri tentu akan memakan waktu yang lama, oleh karena itu

kita mencari sekurang-kurangnya dua dari CSCO (jadi nggak complete lagi) yang

tidak trivial dari model simplektik. Lebih khususnya akan dibuktikan bahwa

[X4, X3] = 0

2

setelah mengetahui relasi komutasi antara kedua operator tersebut, akan dicari

pengertian fisis dari kedua operator tersebut.

1.4 Sistematika Penulisan

Tulisan ini terbagi menjadi empat bab. Bab 1 berisikan latar belakang penelitian

ini serta metode penelitian yang digunakan. Tinjauan pustaka terdapat pada Bab

2. Pada bab ini berisi tentang apa itu Teori grup, grup simetri dan grup dinamis,

disini juga akan dijelaskan beberapa model aljabar yang terdahulu. Pada bab

3 dibahas mengenai hasil dan pembahasan, akan terdapat perhitungan komutasi

antara operator X3 dan X4, serta bagaimana batasan-batasan yang berlaku pada

keduanya. Pada bab 4, diberikan mengenai kesimpulan dari perhitungan yang

didapat dan saran untuk penelitian lebih lanjut.

3

Bab 2

Tinjauan Pustaka

2.1 Teori Grup

Teori Grup adalah suatu cabang dalam fisika yang mempelajari tentang simetri.

Simetri adalah sifat alami yang ada dalam fisika. Sifat simetri yang dimiliki suatu

sistem fisika dapat diketahui dari invarian tidak nya lagrangian dan hamiltonian

nya terhadap suatu transformasi. Ketika tranformasi yang digunakan membentuk

suatu grup, maka akan lebih menguntungkan mempelajari sistem tersebut dengan

menggunakan Teori Grup.

2.1.1 Definisi Grup

Suatu himpunan G dari transformasi g akan membentuk suatu grup, apabila

memenuhi ketentuan sebagai berikut :

1. Terdapat relasi tertutup (closure)

g1 εG, g2 εG

g1g2 = g εG (2.1)

2. Terdapat relasi associative; untuk semua g1, g2, g3 εG,

(g1g2)g3 = g1(g2g3) (2.2)

3. Memiliki elemen identitas e, yang juga merupakan anggota dari grup itu juga

g e = e g = g (2.3)

4

4. Memiliki elemen inverse g−1 yang juga merupakan anggota dari grup itu juga

gg−1 = g−1g = e (2.4)

Sifat komutative bukanlah suatu keharusan dalam grup, tapi apabila ada suatu

grup yang memiliki sifat komutatip dengan ab = ba (dengan a, b merupakan

elemen dari grup) maka grup tersebut adalah grup abelian, sedangkan suatu grup

yang memenuhi persyaratan 1 sampai 4 disebut sebagai grup abstract

2.1.2 Subgrup

Elemen dari grup diskrit atau kontinu G dapat diambil suatu subset H yang dapat

ditulis dengan

H ⊂ G atau G ⊃ H (2.5)

yang menunjukan bahwa H adalah subset yang berada dalam G. Jika H itu juga

membentuk grup maka H disebut sebagai subgrup dari G.

Setiap grup memiliki dua subgrup yang disebut dengan subgrup Improper,

pertama adalah elemen identitas, dan yang kedua adalah grup itu sendiri secara

keseluruhan. Subgrup yang lain disebut dengan grup proper. Secara umum, suatu

grup terhingga G yang berorde N memiliki subgrup H yang berorde Nh maka

N = hNh (2.6)

dengan h adalah suatu bilangan bulat positip yang disebut dengan index dari

subgrup H.

2.1.3 Isomorpisme dan Homomorpisme

Dua buah grup G dan G′ dikatakan Isomorfisme jika terdapat relasi satu-satu

antara elemen-elemen kedua grup tersebut. Grup-grup yang isomorfisme memiliki

struktur yang sama satu sama lain.

Sedangkan suatu grup G dikatan homomorpisme dengan grup G′ jika untuk

setiap g ∈ G terdapat sebuah g′ ∈ G′, dan untuk setiap G′ terdapat paling

sedikit satu g sehingga untuk g1g2 = g terdapat relasi g′1g′2 = g′. Lambang yang

dipakai adalah G −→ G′.

5

2.1.4 Grup Simpel dan Semi-Simpel

Jika H adalah subgrup dari G, H ⊂ G. Maka H adalah subgrup invariant dari

G jika memiliki semua elemen konjugasi berada dalam H

ghg− ∈ H untuk semua g ∈ G dan h ∈ H (2.7)

hal ini sama, jika dituliskan dalam bentuk

gH = Hg (2.8)

nama lain yang dapat dipakai untuk H adalah self-conjugate subgrup, normal

subgrup, atau normal divisor. Salah satu sifat suatu subgrup invarian adalah

elemen-elemennya menjadi juga elemen dari satu atau beberapa kelas yang lenkap

(kelas adalah sekumpulan dari konjugasi elemen untuk suatu elemen tertentu dari

suatu grup, yang mana setiap elemen dari kelas saling konjugate satu sama lain).

Dengan kata lain kelas-kelas dari gabungan

G = C1 ∪ C2 ∪ . . . ∪ CK (2.9)

yang membentuk suatu grup yang akan memberikan suatu subgrup yang invarian

H dari G.

Suatu grup dikatakan simpel jika grup tersebut bukan abelian dan tidak memi-

liki proper invarian subgrup . Karena setiap grup abelian adalah invarian, suatu

grup abelian dikatakan simpel jika dan hanya jika tidak memiliki subgrup proper.

Suatu grup dikatakan semi-simpel jika tidak satupun dari invarian subgrupnya

yang abelian. Jadi dapat dilihat bahwa suatu grup yang simpel juga merupakan

grup semi-simpel.

2.1.5 Grup Simetri

Sifat simetri dari suatu sistem fisika dapat diketahui dari sifat lagrangian atau

hamiltonian atau bisa juga dibilang persamaan gerak dari sistem tersebut terhadap

suatu transformasi. Apabila hamiltonian dari sistem tersebut ternyata invarian

terhadap suatu transformasi dan transformasi tersebut ternyata membentuk grup

maka grupnya disebut dengan grup simetri.

Perlu dibedakan bahwa grup simetri berbeda dengan grup simetrik. grup

simetrik ini digunakan untuk membahas partikel yang identik, tidak bisa dibedakan.

6

Hal ini dikarenakan dalam mekanika kuantum, partikel identik , ini berarti harga

ekspektasi dari sistem tidak berubah apabila terjadi pertukaran partikel. Per-

tukaran partikel ini dilambangkan dengan permutasi dari partikel. Semua kemu-

ngkinan permutasi partikel yang bisa terjadi membentuk suatu grup yang disebut

dengan grup simetrik.

2.2 Grup Lie

Grup kontinu memainkan peranan penting dalam fisika. Mereka memilki elemen

grup yang tak berhingga, berbeda halnya dengan grup terbatas (finite grup)

Grup yang memiliki elemen tak berhingga dibagi menjadi dua jenis : diskrit

dan kontinu. Pada jenis yang pertama, elemen grupnya dapat dihitung. Sedangkan

jenis yang kedua, elemen grupnya tidak dapat dihitung.

Untuk dapat memahami jenis yang kedua, maka perlu dikaitkan dengan grup

diskrit, karena yang aljabarnya diketahui dengan baik adalah grup diskrit. Un-

tuk keperluan tersebut maka diperkenalkanlah suatu konsep ruang abstrak (grup

manifold), dimana setiap titik a berhubungan tepat dengan satu elemen grup ga

a↔ ga (2.10)

atau dapat dikatakan bahwa perkalian gc = gagb akan mendefinisikan suatu fungsi

phi dari ruang abstrak, dengan

c = φ(a; b) (2.11)

dengan nilai a, b, c, ... memiliki nilai yang diskrit

Suatu grup kontinu dimana elemen-elemen grupnya dapat dilabelkan sebagai

suatu kumpulan parameter real terhingga yang secara kontinu bervariasi maka

grup tersebut adalah Grup Lie.

Ide dasar dari Shopus Lie adalah dengan menganggap suatu transformasi ter-

hingga dapat terjadi dari suatu urutan transformasi yang tak berhingga. Karena

adanya transformasi dengang tetangga terdekat, maka grup kontinu dapat dipela-

jari secara keseluruhan dapat dilakukan dengan menggunakan transformasi in-

finitesimal, dimana struktur dari seluruh grup dapat ditentukan dengan mempela-

jari struktur lokal dekat elemen identitas.

Maka dapat dituliskan

x = f(x0; a) dan x = f(x; 0) (2.12)

7

jika terdapat suatu transformasi

x+ dx = f(x0; a+ da) (2.13)

diperkenalkan suatu parameter transformasi δa maka persamaan diatas dapat di-

tuliskan

x + dx = f(x; δa) (2.14)

kemudian dapat dituliskan persamaan

dx =

(∂f(x; a)

∂aσ

)

a=0

∂aσ (2.15)

akan diperkenalkan suatu notasi baru

uiσ(x) =

(∂f(x; a)

∂aσ

)

a=0

(2.16)

maka kita dapat menuliskan persamaan (2.15) dengan

dxi = uiσ(x)∂aσ (2.17)

2.2.1 Generator

Generator adalah suatu elemen yang sangat penting dari Grup Lie. Misalnya

terdapat suatu fungsi F dari koordinat xi, yang memiliki transformasi infinitesimal

xi → xi + dxi akan mengubah F menjadi

dF =∂F

∂xidxi = δaσuiσ

∂F

∂xi= δaσXσF (2.18)

dengan

Xσ = uiσ∂

∂xi(2.19)

parameter inilah yang disebut dengan operator infinitesimal atau generator dari

transformasi grup

Generator dari grup memenuhi relasi komutasi sebagai berikut

[Xκ, Xδ] = cτκδXτ (2.20)

dengan cτκδ adalah struktur konstan dari grup.

8

2.2.2 Kekompakan(Compactness)

Transformasi infinitesimal yang memparameterisasi elemen grup tetangga dengan

elemen identitas merupakan sifat lokal dari grup. Terdapat juga sifat global dari

grup yang juga sangat penting adalah kekompakan(compactness).

Untuk mengetahui jenis dari Grup Lie berdasarkan sifat ini, maka digunakan

teori Heine-Bowel, yang mengatakan bahwa suatu subset dari titik-titik yang be-

rada dalam suatu dimensi ruang Euclidian adalah kompak jika dan hanya jika ini

tertutup dan terikat.

Suatu himpunan dikatakan terikat jika himpunan tersebut berada dalam suatu

bagian terhingga dari suatu ruang. Sehingga dalam ruang Euclidian setiap him-

punan yang memiliki daerah terbatas adalah kompak, dan yang memiliki daerah

yang tak terbatas adalah tidak kompak.

Suatu himpunan titik yang berada dalam suatu interval [a, b] dikatakan tertut-

up jika dan hanya jika kedua ujung dari inteval (a, b) dapat dicapai.

Dengan menggunakan bahasa grup teori suatu grup terhubung (connected

grup) berarti bahwa kita dapat mencapai elemen identitas dari grup tersebut den-

gan menggunakan parameterisasai dari parameter real.

Kesimpulannya suatu grup Lie dikatakan kompak jika parameter-parameternya

a1, a2, a3, ..., ar terrentang pada daerah atau interval yang terbatas. Kebanyakan

grup dalam fisika adalah grup yang kompak.

Suatu grup Lie dikatakan tidak kompak karena grup tersebut memiliki him-

punan dari parameter-parameter yang terrentang pada interval yang tak terbatas

dan makanya dia tak terikat.

Perbedaan sifat grup Lie berdasarkan kompak dan tidak kompaknya ini akan

menimbulkan perbedaan teori pada representasi dari kedua grup tersebut. Suatu

grup Lie yang kompak akan memiliki sifat yang hampir sama dengan grup terhing-

ga, sehingga representasi dari grup Lie yang kompak akan memiliki representasi

yang berdimensi berhingga dan besifat unitary, sedangkan untuk grup Lie yang

tidak kompak akan memiliki representasi yang berdimensi tak berhingga dan tidak

lagi bersifat unitary.

9

2.3 Grup Dinamis

Grup dinamis berbeda dengan grup simetri dalam hal yang mana mengalami in-

variant apabila dilakukan suatu transformasi. Jika pada grup simetri yang in-

variant adalah hamiltonian dari sistemnya, sedangkan pada grup dinamis yang

invarian adalah casimir operator dari sistem tersebut.

Grup dinamis juga mempunyai aljabar Lie yang disebut dengan spectrum gen-

erating algebra atau aljabar dinamis. Suatu aljabar Lie g dapat dikatakan sebagai

suatu spektrum generating aljabar untuk suatu hamiltonian H jika H dinyatakan

dalam suatu polynomial elemen grup g. Terdapat beberapa keuntungan alasan

mengapa digunakan grup dinamis dan aljabar dinamis adalah karena model ini

mudah dihitung, dapat menentukan fungsi basis, dan menghitung elemen ma-

triknya.

Sifat-sifat fisika suatu sistem dapat ditentukan dengan menggunakan Grup Di-

namis G. Sering juga G merupakan grup Lie berdimensi terhingga, yang mana Al-

jabar Lie dibentuk oleh sekumpulan operator Xi dengan i = 1, 2, . . . , n, = dim(G),

yang merupakan generator dari G. Sifat dinamis dari suatu sistem ditentukan den-

gan menentukan suatu hamiltonian. Hamiltonian tersebut merupakan fungsi X,

yang mana hamiltonian tersebut dapat dinyatakan dalam

H(X) = A(0)I + A(1)i Xi +

1

2!A

(2)ij XiXj +

1

3!A

(3)ijkXiXjXk + . . . (2.21)

Jika suatu sistem memiliki grup simetri H ⊂ G maka hamiltoniannya akan

simetri jika dilakukan transformasi dengan menggunakan H. Hamiltonian haruslah

merupakan penjumlahan skalar-skalar H dari U(G);yaitu adalah operator yang

bertransformasi oleh operator identitas γe(H) dari H. penentuan skalar H dalam

U(G) dapat ditentukan dengan menggunakan algoritma sederhana :

1. Tentukan Γd(G), representasi G yang ada dalam U(G).

2. Tentukan jumlah berapa kali γe(H) terjadi dalam Γd(G) dengan pembatasan

dari G ke H.

3. Operator basis untuk setiap γe(H) adalah skalar H dalam U(G).

Jika suatu subgrup dari grup dinamis memiliki simetri grup di dalamnya

(H ⊆ Gi ⊆ G), operator invarian Gi (casimir invariant) adalah skalar H

yang berada dalam U(G).

10

Algoritma yang digunakan di dalam perhitungan grup dinamis sangat susah

untuk dilakukan dalam kenyataannya, maka diperlukan beberapa penyederhanaan

dan pendekatan

2.4 Model ROT(3)

Salah satu keuntungan menyatakan model kollektip dengan menggunakan suku-

suku aljabar adalah untuk mendapatkan interpretasi mikroskopiknya. Hal inilah

yang tidak dapat dipenuhi oleh model sebelumnya, karena terdapat beberapa pa-

rameter yang tidak memiliki gambaran mikroskopiknya.

Dalam model phenomonologis permasalahan tersebut dapat diatas dengan mu-

dah, karena parameter yang tidak diketahui diberlakukan sebagai suatu suku yang

dapat disesuaikan. Sedangkan untuk mendapatkan gambaran mikroskopisnyan,

perlu diketahui fungsi gelombangnya, untuk mengetahui fungsi gelombangnya diper-

lukan gambaran parameter tersebut sebagai operator.

Adapun operator yang membentuk aljabar dari model rot(3) adalah operator

momentum angular dan operator quadrupole, yang memenuhi relasi komutasi

[L̂k, L̂k′ ] =√

2(1k, 1k′|1k + 1k

′)L1k+1k

′ (2.22)

[L̂k, Q̂2ν ] =√

2(1k, 2ν|2ν + k)Qν+k (2.23)

[Q̂2ν , Q̂2ν ] = 0 (2.24)

2.5 Model SU(3)

Model ini merupakan model nuklir pertama yang dijelaskan dengan aljabar, dan

menggunakan grup dinamis. Model SU(3) merupakan salah satu dari tiga model

mikroskopik model rotor, dimana yang lainnya adalah model ROT(3) oleh Ui, dan

Model SL(3,R) oleh Wiever dan Biedenharn. Sebenarnya spektrum generating

aljabarnya dari ketiga model tersebut sama, masing-masing dibentuk oleh operator

momemtum angular{Lk; k = 0,±1} dan operator quadrupole {Q2ν ; ν = 0,±1,±2}dan semua memenuhi relasi komutasi sebagai berikut

[L̂k, L̂k′ ] =√

2(1k, 1k′|1k + 1k

′)L1k+1k

′ (2.25)

[L̂k, Q̂2ν ] =√

2(1k, 2ν|2ν + k)Qν+k (2.26)

11

yang membedakan hanyalah relasi komutasi pada

[Q̂2ν , Q̂2ν ] = 3√

3α2(2µ, 2ν|1µ+ ν)Lµ+ν (2.27)

dimana

[Q̂2ν , Q̂2ν ] = 0 untuk rot(3) (2.28)

sedangkan

[Q̂2ν , Q̂2ν ] = 3√

3α2(2µ, 2ν|1µ+ ν)Lµ+ν untuk su(3) (2.29)

sedangkan

[Q̂2ν , Q̂2ν ] = 3√

3α2(2µ, 2ν|1µ+ ν)Lµ+ν untuk sl(3,r) (2.30)

dan juga su(3) bersifat compact, tapi rot(3) dan sl(3,R) bersifat noncompact,

hal ini berarti bahwa representasi dari su(3) berdimensi berhingga, sedangkan

untuk rot(3) dan sl(3,R) berdimensi tak berhingga.

ROT(3) adalah model yang memiliki hubungan paling dekat dengan model phe-

nomonologis, secara prinsip model ini menyediakan suatu mekanisme unuk meng-

gabungkan model rotor phenomonologis dengan fungsi gelombang mikroskopik,

sehingga nantinya akan didapat parameter-parameter dari teori mikroskopiknya.

Karena ROT(3) bersifat non-compact jadi memiliki dimensi tak berhingga, ma-

ka bisa dilakukan pendekatan dengan memotong model perhitungannya menjadi

dimensi terhingga. Hal ini dapat dilakukan dengan melakukan proyeksi ROT(3)

→ SU(3)

2.6 Model U(3)-Phonon

Model U(3)phonon merupakan model aljabar yang juga menggunakan grup di-

namis yang sama yang digunakan oleh model Bohr ([HW(6)]U(3)), tapi model ini

memiliki representasi yang lebih umum

Peredaannya dengan model Bohr adalah pada penggunaan fungsi keadaan

dasarnya. Jika pada model Bohr fungsi keadaan dasarnya adalah |0〉, maka pada

model U(3) menggunakan |σα〉 dengan σ adalah bilangan quantum U(3), yang

terdiri dari σ = {σ1, σ2, σ3}Fungsi keadaan dasar akan sama dengan nol, jika dikerjakan padanya operator

pemusnah

alm|σα〉 = 0 (2.31)

12

Dalam model U(3)-phonon terdapat operator pemusnah dan pencipta monopole

(s, s†), serta juga terdapat operator pemusnah dan pencipta qudropole (d2ν , d†2ν).

Kedua operator tersebut memenuhi relasi komutasi sebagai berikut

[s, s†] = 1 (2.32)

dan

[d2ν , d†2µ] = δνµ (2.33)

operator pencipta dan pemusnah quadrupole didefinisikan sebagai berikut

d†2µ =

√Bω

2h̄(q̂µ −

i

Bωπ̂µ) (2.34)

d2µ =

√Bω

2h̄(q̂µ +

i

Bωπ̂µ) (2.35)

dengan q̂µ adalah operator koordinat kolektip, dan π̂µ adalah operator momentum,

yang didefinisikan sebagai

q̂µ = qµ, π̂µ = −i ∂∂qµ

(2.36)

yang memenuhi relasi komutasi

[q̂µ, π̂ν] = ih̄δµν (2.37)

sedangkan B adalah parameter inertia yang kalau diperhatikan menyerupai suku

massa pada osilator harmonik, dan nilai B adalah

B =ρmR5

0

λ(2.38)

13

Bab 3

Hasil dan Pembahasan

3.1 Simplektik Grup

Grup Simplektik Sp(3,R) adalah suatu grup non-compact. Kegunaan dari Sp(3,R)

sebagai suatu grup dinamik dari kolektip model susah diselidiki dikarenakan berk-

erja dengan representasi ruang yang memiliki dimensi yang tak berhingga dan juga

karena ini merupakan grup yang non-compact.

Dalam bentuk sederhana, Model Simplektik adalah suatu model kolektip den-

gan sembilan derajat kebebasan yang terdiri dari enam vibrasi giant monopole-

quadrupole ditambah dengan tiga derajat kebebasan vortek spin. Di dalam Model

simplektik terdapat model irrotational-flow sebagai suatu submodelnya, berbeda

halnya dengan Bohr-Mottelson-Frankfurt yang memiliki lima derajat kebebasan

vibrasi quadrupole yang digunakan untuk menjelaskan rotasi dan vibrasi beta dan

gamma. Untuk menjelaskan vibrasi beta dan gamma di dalam model simplek-

tik, harus diperhatikan beberapa pita dari berbagai keadaan dan membiarkannya

becampur.

Model simplektik adalah memiliki kemampuan untuk menghubungkan model

penomenologis dengan perhitungan mikroskopik, model simplektik adalah suatu

teori yang penting dalam mempelajari Struktur Nuklir, dan juga model ini mampu

menjelaskan penomonologis model kolektip secara mikroskopik , hal ini bahkan

lebih baik lagi dijelaskan dengan menggunakan Simplectic Shell Model

Dengan menggunakan Model Shell Simplectic terdapat banyak keuntungan,

diantaranya kita dapat secara kasar memfaktorkan enam derajat kebebasan dari

kolektip model dan mendefinisikan ruang intrinsik dari Shell Model tanpa harus

memperkenalkan banyak variabel lain,dan juga ini dapat memberikan interpretasi

14

fisika secara lansung sifat-sifat kolektip pada Shell Model, secara khusus ini men-

jelaskan stuktur dari Shell Model yang disebut dengan vibrasi beta dan gamma

dari inti deformasi

Seperti diketahui bahwa Simplektik grup memiliki memiliki beberapa opera-

tor sebagai elemen grupnya. Yang akan dibahas disini hanya dua operator saja,

yaitu X3 dan X4. Dua operator tersebur disusun oleh generator-generator grup

simplektik Aij, Bij, Cij, akan ditentukan relasi komutasi antara kedua operator

tersebut apakah keduanya saling ”commute”,hal ini perlu dilakukan untuk menge-

tahui apakah kedua operator tersebut termasuk dalam ”Complete Set Comuting

Operator”

[X3, X4] = 0 (3.1)

dengan

X3 =∑

ijk

BijCjkAki (3.2)

dan

X4 =∑

ijkl

(αBijCjkCklAli + βBijCjkCilAlk) (3.3)

dengan α dan β adalah konstanta tertentu dan A,B, C adalah

Aij =

n∑

s=1

b†sib†sj operator peningkat (3.4)

Bij =n∑

s=1

bsibsj operator penurun (3.5)

Cij =1

2

n∑

s=1

(b†sibsj + bsjb†si) operator u(3) (3.6)

yang mana seperti kita ketahui bahwa b† dan b adalah operator peningkat dan

pemusnah yang ada didalam representasi Heisenberg-Weyl serupa dengan yang

ada pada osilator harmonik, dimana seperti yang telah diketahui bahwa

[xsi, ptj] = ih̄δstδij (3.7)

dari hamiltonian osilator harmonik

H =p2

2m+

1

2mω2x2 (3.8)

15

maka dari persamaan di atas akan didapat operator peningkat b+ dan operator

pemusnah b

H0 =1

2h̄ω∑

si

(b†sibsi + bsib†si) (3.9)

maka akan didapat definisi untuk b†si dan bsi

b†si =

√mω

2h̄

(xsi −

ipsimω

)

bsl =

√mω

2h̄

(xsi +

ipsimω

)(3.10)

yang mana akan memenuhi relasi komutasi sebagai berikut

[bsi, b†tj] = δstδij (3.11)

dan dengan menggunakan hasil eksperimen dan grafik percobaan, maka hasil yang

didapat dari percobaan tersebut juga menunjukan bahwa hamiltonian tersebut

juga dapat dituliskan sebagai

H0 = h̄ω(N0 + 2s†s+ 2d†νdν

)(3.12)

dengan d†ν, dν adalah quadropole operator pencipta dan pemusnah.

Dengan menggunakan relasi komutasi persamaan (3.11) maka akan didapat

persamaan

[Akl, Bij] = −(bsib†si + δjkbsib

†sl + δilb

†skbsj + δikb

†slbsj) (3.13)

juga untuk

[Bij, Akl] = bsib†si + δjkbsib

†sl + δilb

†skbsj + δikb

†slbsj (3.14)

serta

[Cij, Blk] = −(δikBjl + δilBjk) (3.15)

dan

[Blk, Cij] = δikBjl + δilBjk (3.16)

sedangkan untuk

[Cij, Alk] = δjlAik + δjkAil (3.17)

jika dibalik

[Alk, Cij] = −(δjlAik + δjkAil) (3.18)

16

akan ditentukan hubungan antara α dan β dengan menggunakan relasi komutasi

X3 dan X4, dimana relasi komutasinya adalah

[X3, X4] = 0 (3.19)

maka apabila relasi komutasi ini diuraikan akan didapatkan

[X3, X4] =∑

ijk

∑

mnop

[BijCjkAki, (αBmnCnoCopApm + βBmnCnoCmpApo)

]

=∑

ijk

∑

mnop

{[BijCjkAki, αBmnCnoCopApm

]+

[BijCjkAki, βBmnCnoCmpApo

]}

=∑

ijk

∑

mnop

{αBij

[CjkAki, BmnCnoCopApm

]+ α

[Bij, BmnCnoCopApm

]CjkAki

+βBij

[CjkAki, BmnCnoCmpApo

]+ β

[Bij, BmnCnoCmpApo

]CjkAki

}(3.20)

setelah melalui perhitungan panjang dengan menggunakan hubungan relasi komu-

tasi pada apendiks maka akan didapat

[X3, X4] = α {−BijBmnCnoCjkAoiAkm − BijBmnCnoCjkAokAim

+BijBmnCnoCopAjmApi +BijBmnCnoCopAjpAmi

−BijCjkBmnAniCkpApm −BijCjkBmnAnkCipApm

−BinBkmCnoAkiCopApm − BimBknCnoAkiCopApm

+CnjBpiCjkAki +BpjCipCjkAki −BijCjk

(δnibsmb

†sk

+δnkbsmb†si + δmib

†skbsn + δmkb

†sibsn

)CnoCopApm+

BmnCnoCop(δjmbsib†sp + δjpbsib

†sm + δimb

†spbsj + δipb

†smbsj)CjkAki

}+

β {−BijBmnCnoCjkAmiAko −BijBmnCnoCjkAmkAio

+BijBmnCnoCmpAjoApi +BijBmnCnoCmpAjpAoi

−BijCjkBmnAniCmpApk −BijCjkBmnAnkCmpApi

−BinBkmCnoAkiCmpApo − BimBknCnoAkiCmpApo

+CnoBpiCjkAki +BpjCmpCjkAki −BijCjk

(δnibsmb

†sk

+δnkbsmb†si + δmib

†skbsn + δmkb

†sibsn

)CnoCmpApo +BmnCnoCmp

(δjobsib

†sp + δjpbsib

†so + δiob

†spbsj + δipb

†sobsj

)CjkAki

}(3.21)

untuk hasil yang lebih lengkap dapat dilihat di Appendiks

17

Jika dikerjakan diambil suku kedua dari α dan suku pertama dari β, maka akan

didapat

−αBijBmnCnoCjkAoiAkm − βBijBmnCnoCjkAmkAio = 0

BijBmnCnoCjk(−αAoiAkm − βAmkAio) = 0

−αAoiAkm − βAmkAio = 0 (3.22)

untuk mempertukarkan indeks suatu operator perlu diketahui apakah operator

tersebut bersifat simetri ataukah anti simetri, jika suatu operator bersifat simetri

maka

Akm = Amk (3.23)

sedangkan jika suatu operator bersifat anti-simetri maka

Akm = −Amk (3.24)

Jika diperhatikan persamaan diatas, nampaknya dalam penentuan sifat α dan

β, tidak perlu diketahui apakah operator tersebut bersifat simetri ataukah anti-

simetri, karena akan memberikan hasil yang sama, jadi akan didapatkan

αAioAmk + βAmkAio = 0 (3.25)

nah jika diperhatikan lagi, nampak persamaan diatas membutuhkan relasi α = β

atau α = −β, tapi karena tidak diketahui sebelumnya relasi mereka berdua, jadi

dapat digunakan sifat dari Amk yang bersifat ”comute” dengan Aio, jadi posisinya

dapat dipertukarkan, sehingga akan didapat persamaan

AioAmk(α + β) = 0 (3.26)

sehingga akan didapat relasi

α = −β (3.27)

3.2 Arti Fisis

Setelah diketahui bahwa kedua operator X3 dan X4 ternyata saling ”comute”,

perlu diketahui kedua operator tersebut menunjukan apa ?

Simplektik grup merupakan rangkaian grup yang bersifat umum, yang dibentuk

dari grup-grup lain

Sp(3,R) ⊃ U(3) ⊃ U(1)× SU(3) (3.28)

18

maka dalam menjelaskan model suatu nukleus model ini bersifat lebih umum jika

dibanding dengan model-model sebelumnya

Untuk mengetahui arti fisisnya, dapat dilakukan dengan dua cara

1. Dengan menggunakan ”Vector Coherent States Theory”

2. Dengan menggunakan representasi kontraksi limit

Adapun metode yang akan digunakan disini adalah dengan menggunakan rep-

resentasi kontraksi limit.

3.2.1 Limit Kontraksi dari Model Simplektik

Bilangan quantum yang melambangkan representasi dari Sp(3,R) adalahN0(λ0µ0),

dimana N0, λ0, µ0 adalah bilangan quantum dari U(1)×SU(3) dalam notasi Elliot,

yang didefinisikan sebagai

N0 = σ1 + σ2 + σ3

λ0 = σ1 − σ2

µ0 = σ2 − σ3 (3.29)

dan jika diingat kembali bahwa σ adalah bilangan quantum untuk U(3) yang memi-

liki tiga komponen.

Untuk nilai N0 dan λ0 yang besar maka aljabar dari grup simplektik akan

berkontraksi menjadi dua kontraksi limit. Kontraksi yang pertama terjadi ketika

nilai N0 → ∞, di sini model simplektik akan berkontraksi menjadi model U(3)-

phonon. Sedangkan kontraksi yang kedua terjadi pada saat 2λ0 + µ → ∞, pada

limit kontraksi ini model su(3) berkontraksi menjadi model rot(3) sehingga model

simplektik akan berkontraksi menjadi model koupel rotor-vibrator.

Pada kontraksi pertama (model simplektik menjadi model U(3)-phonon mod-

el). Pada saat L = 0(monopole), maka

Ao =1√6

∑

i

Aii Bo =1√6

∑

i

Bii Co =1√6

∑

i

Cii (3.30)

dengan masing-masing persamaan hampir sama dengan persamaan (3.4)-(3.6) ke-

cuali pada indeks nya saja, dan ketiganya memenuhi persamaan

[B0, A0] =2

3C0 (3.31)

19

dimana operator C0 dapat dianggap memiliki nilai

C0 ≡ N0I + 2n̂0 + 2n̂d (3.32)

dengan

n̂0 = s†s dan n̂d = d†2νd2ν (3.33)

jika dilakukan sedikit modifikasi pada persamaan (3.31) maka persamaan (3.31)

tersebut dapat dituliskan kembali dalam bentuk

[√3

2N0B0,

√3

2N0A0

]= I +

2

N0(n̂0 + n̂d) (3.34)

apabila nilai N0 →∞ maka nilai relasi komutasi persamaan (3.34), akan menjadi

[√3

2N0B0,

√3

2N0A0

]= I (3.35)

jika diingat kembali pada model U(3)-phonon model terdapat relasi komutasi

[s, s†] = I (3.36)

maka dapat dianggap untuk nilai N0 →∞, akan didapat

A0 →√

2N0

3s†, B0 →

√2N0

3s (3.37)

sedangkan untuk yang quadrupole (L = 2), maka akan didapat hal yang sama,

dengan operatornya adalah

A20 =1√12

(2A33 − A11 − A22) (3.38)

B20 =1√12

(2B33 − B11 −B22) (3.39)

C20 =1√12

(2C33 − C11 − C22) (3.40)

dimana relasi komutasi untuk U(3) adalah

[d2ν , d†2µ] = δνµ (3.41)

yang akan memenuhi relasi komutasi yang sama

[B0, A0] ≡ C0 (3.42)

20

dengan melakukan hal sama seperti diatas, maka akan didapatkan juga untuk

N0 →∞A0 →

√2N0

3d†20, B0 →

√2N0

3d20 (3.43)

Kontraksi yang dilakukan ini adalah kontraksi orde kenolnya, jika ingin meingkatkan

ketelitian lagi dalam perhitungan, maka dapat dilakukan lagi dengan menggunakan

teori VCS, dengan mengekspansikan hamiltonian dari sistem yang dimaksud.

Sedangkan limit kontraksi yang kedua adalah model simplektik menjadi model

kopel rotor-vibrator. Sebenarnya yang berkontraksi disini adalah su(3) menjadi

rot(3), karena su(3) adalah subgrup dari sp(3,R) maka model simplektik juga ikut

berkontraksi menjadi kopel model rotor-vibrator

Seperti diketahui bahwa SU(3) adalah grup yang compact, yang memiliki rep-

resentasi berdimensi berhingga, berbeda dengan rot(3) model yang bersifat non-

compat. Tapi ketika nilai 2λ0 + µ0 → ∞ maka su(3) model akan menjadi model

rot(3)

Aljaar SU(3) dibentuk oleh dua operator utama, yaitu Q̂2ν(operator quadropole)

dan L̂k (operator momentum angular). Operator quadropole mimiliki nilai ekspek-

tasi

〈Q2ν〉 ∼√

Λ (3.44)

dengan Λ adalah kasimir ivariant dari grup SU(3), dengan bentuk

Λ = 2λ0 + µ0 + 3 (3.45)

maka ketika nilai 2λ0 + µ0 → ∞ maka nilai Λ→ ∞, maka jika dilakukan definisi

baru operator, dengan bentuk

q2ν = Λ−12Q2ν (3.46)

dan dilakukan kembali relasi komutasi maka akan didapatkan

[q̂2ν , q̂2ν ] = Λ−1[Q̂2ν , Q̂2ν ]

= 3√

3α2(2µ, 2ν|1µ+ ν)Λ−1Lµ+ν (3.47)

maka apabila nilai

Λ =∞ (3.48)

maka relasi komutasi akan menjadi

[q̂2ν , q̂2ν ] = 0 (3.49)

21

maka akan terjadi kontraksi dari su(3) menjadi rot(3), apabila nilai

λ0 →∞ (3.50)

dengan batasan tersebut SU(3)→ ROT(3)

Pada saat terjadi kontraksi pada model simplektik, maka operator X3 dan

X4 juga mengalami kontraksi menjadi bentuk baru, namun setelah melalui perhi-

tungan yang mudah, ternyata kedua operator tersebut tetap saling komute satu

dengan yang lain.

22

Bab 4

Kesimpulan dan Saran

4.1 Kesimpulan

Grup simplektik memiliki elemen X3 dan X4, kedua operator tersebut merupakan

anggota dari suatu CSCO(Complete Set Comuting Operator). Hal ini diketahui

dari relasi komutasi keduanya yang ternyata sama dengan nol, dan apabila suatu

operator berada dalam suatu CSCO maka dia akan memiliki nilai eigen yang tidak

tergenerasi dan masing masing memiliki fungsi keadaan yang unik. Adapun yang

paling penting di sini adalah untuk menunjukan adanya suatu bilangan yang kekal

dalam suatu CSCO tersebut.

Model simplektik adalah model yang lebih umum dan elegan, karena dengan

batasan-batasan tertentu akan dapat berubah menjadi submodel-submodelnya.

Untuk memodelkan inti yang berat maka model simplektik akan berkontraksi

menjadi dua model, yaitu model u(3)-phonon (ketika N0 → ∞), dan menjadi

model kopel rotor-vibrator (ketika nilai λ0 →∞)

X3 dan X4 akan tetap saling komute satu dengan yang lain, meskipun keduanya

mengalami kontraksi

4.2 Saran

Untuk meningkatkan ketelitian hasil yang didapat maka perlu digunakan perhi-

tungan yang melibatkan orde yang lebih tinggi lagi

23

Lampiran A

Pembuktian Matematis

A.1 Relasi komutasi B dan A

Seperti diketahui definisi dari operator A dan B adalah

Aij =

n∑

s=1

b†sib†sj operator peningkat (A.1)

Bij =

n∑

s=1

bsibsj operator penurun (A.2)

maka jika dilakukan komutasi pada keduanya akan dihasilkan

[Bij, Akl] =n∑

s=1

n∑

t=1

[bsibsj, b†tkb†tl]

=n∑

s=1

n∑

t=1

(bsi[bsj, b

†tkb†tl] + [bsi, b

†tkb†tl]bsj

)

=

n∑

s=1

n∑

t=1

(bsib

†tk[bsj, b

†tl] + bsi[bsj, b

†tk]b†tl

)

+

n∑

s=1

n∑

t=1

(b†tk[bsi, b†tl]bsj + [bsi, b

†tk]b†tlbsj) (A.3)

jika digunakan relasi komutasi pada persamaan (3.11) maka akan didapat

=

n∑

s=1

n∑

t=1

(δstδjlbsib†tk + δstδjkbsib

†tl)

+n∑

s=1

n∑

t=1

(δstδilb†tkbsj + δstδikb

†tlbsj)

= δjlbsib†sk + δjkbsib

†sl + δilb

†skbsj + δikb

†slbsj (A.4)

24

A.2 Relasi Komutasi C dan B

Telah diketahui definisi untuk operator B, sedangkan definisi untuk operator C

adalah

Cij =1

2

n∑

s=1

(b†sibsj + bsjb†si) operator u(3) (A.5)

[Cij, Blk] =

[1

2

n∑

s=1

(b†sibsj + bsjb†si) ,

n∑

t=1

btlbtk

]

=1

2

n∑

s=1

n∑

t=1

[(b†sibsj + bsjb

†si) , btlbtk

]

=1

2

n∑

s=1

n∑

t=1

[b†sibsj , btlbtk

]+

[bsjb

†si , btlbtk

]

=1

2

n∑

s=1

n∑

t=1

b†si

[bsj , btlbtk

]+

[b†si , btlbtk

]bsj

+bsj

[b†si , btlbtk

]+

[bsj , btlbtk

]b†si

=1

2

n∑

s=1

n∑

t=1

btl

[b†si , btk

]bsj +

[b†si , btl

]btkbsj

+bsjbtl

[b†si , btk

]+ bsj

[b†si , btl

]btk (A.6)

dan dengan menggunakan relasi yang sama akan didapat

[Cij, Blk] = −1

2

n∑

s=1

n∑

t=1

(δstδikbtlbsj + δstδilbtkbsj + δstδikbsjbtl + δstδilbsjbtk)

= −1

2(δikbtlbtj + δilbtkbtj + δikbtjbtl + δilbtjbtk)

= − (δikbtjbtl + δilbtjbtk)

= − (δikBjl + δilBjk) (A.7)

25

A.3 Relasi Komutasi C dan A

Relasi komutasi nya adalah

[Cij, Alk] =

[1

2

n∑

s=1

(b†sibsj + bsjb†si) ,

n∑

t=1

b†tlb†tk

]

=1

2

n∑

s=1

n∑

t=1

[(b†sibsj + bsjb

†si) , b

†tlb†tk

]

=1

2

n∑

s=1

n∑

t=1

[b†sibsj , b

†tlb†tk

]+

[bsjb

†si , b

†tlb†tk

]

=1

2

n∑

s=1

n∑

t=1

b†si

[bsj , b

†tlb†tk

]+

[bsj , btlbtk

]b†si

+bsj

[b†si , b

†tlb†tk

]+

[bsj , b

†tlb†tk

]b†si

=1

2

n∑

s=1

n∑

t=1

{b†sib

†tl

[bsj, b

†tk

]+ b†si

[bsj, b

†tl

]b†tk

}

+1

2

n∑

s=1

n∑

t=1

{b†tl

[bsj , b

†tk

]b†si +

[bsj , b

†tl

]b†tkb

†si

}(A.8)

dan dengan menggunakan relasi yang sama akan didapat

[Cij, Alk] =1

2

n∑

s=1

n∑

t=1

(δstδjkb†sib†tl + δstδjlb

†sib†tk + δstδjkb

†tlb†si + δstδjlb

†tkb†si)

=1

2(δjkb

†sib†sl + δjlb

†sib†sk + δjkb

†slb†si + δjlb

†skb†si)

= δjkAil + δjlAik (A.9)

26

A.4 Relasi Komutasi Tambahan

ini adalah relasi komutasi tambahan yang diperlukan dalam perhintungan untuk

relasi komutasi tambahan∑

ijk

∑

mnop

[CjkAki, CopApm

]=

∑

ijk

∑

mnop

{Cjk

[Aki, CopApm

]+

[Cjk, CopApm

]Aki

}

=∑

ijk

∑

mnop

{CjkCop

[Aki, Apm

]+ Cjk

[Aki, Cop

]Apm

+Cop

[Cjk, Apm

]Aki +

[Cjk, Cop

]ApmAki

}

=∑

ijk

∑

mnop

{Cjk

[Aki, Cop

]Apm + Cop

[Cjk, Apm

]Aki

}

=∑

ijk

∑

mnop

{Cjk(−δpkAoi − δpiAok)Apm + Cop(δkpAjm

+δkmAjp)Aki}=

∑

ijk

∑

mnop

{−δpkCjkAoiApm − δpiCjkAokApm + δkpCopAjmAki

+δkmCopAjpAki} (A.10)

dan∑

ijk

∑

mnop

[Bij, CnoCop

]=

∑

ijk

∑

mnop

{Cno

[Bij, Cop

]+

[Bij, Cno

]Cop

}

=∑

ijk

∑

mnop

{δojCnoBpi + δoiBpjCop}

= δojCnoBpi + δoiBpjCop

= CnjBpi +BpjCip (A.11)

dan[CjkAki, BmnCno

]=

{Cjk

[Aki, BmnCno

]+

[Cjk, BmnCno

]Aki

}

=

{Cjk

(Bmn

[Aki, Cno

]+

[Aki, Bmn

]Cno

)

+

[Cjk, Bmn

]CnoAki

}

= {−δokCjkBmnAni − δoiCjkBmnAnk}+{−Cjk(δnibsmb†sk + δnkbsmb

†si + δmib

†skbsn + δmkb

†sibsn)Cno}

−{δjnBkmCnoAki + δjmBknCnoAki} (A.12)

27

A.5 Komutasi X3 dan X4

[X3, X4] =∑

ijk

∑

mnop

[BijCjkAki, (αBmnCnoCopApm + βBmnCnoCmpApo)

]

=∑

ijk

∑

mnop

{[BijCjkAki, αBmnCnoCopApm

]+

[BijCjkAki, βBmnCnoCmpApo

]}

=∑

ijk

∑

mnop

{αBij

[CjkAki, BmnCnoCopApm

]+ α

[Bij, BmnCnoCopApm

]CjkAki

+βBij

[CjkAki, BmnCnoCmpApo

]+ β

[Bij, BmnCnoCmpApo

]CjkAki

}(A.13)

agar lebih sederhana, dikerjakan persuku, dimulai dari suku pertama, tapi yang

dikerjakan hanya yang ada dalam relasi komutasi saja

∑

ijk

∑

mnop

[CjkAki, BmnCnoCopApm

]=

∑

ijk

∑

mnop

{BmnCno

[CjkAki, CopApm

]

+

[CjkAki, BmnCno

]CopApm

}

=∑

ijk

∑

mnop

BmnCno (−δpkCjkAoiApm − δpiCjkAokApm

+δkpCopAjmAki + δkmCopAjpAki) +∑

ijk

∑

mnop

{−δokCjkBmnAniCopApm

−δoiCjkBmnAnkCopApm}+∑

ijk

∑

mnop

{−Cjk

(δnibsmb

†sk + δnkbsmb

†si

+δmib†skbsn + δmkb

†sibsn

)CnoCopApm

}+

∑

ijk

∑

mnop

−{δjnBkmCnoAkiCopApm+

δjmBknCnoAkiCopApm} (A.14)

28

sedangkan untuk suku yang keduanya adalah

∑

ijk

∑

mnop

[Bij, BmnCnoCopApm

]=

∑

ijk

∑

mnop

Bmn

[Bij, CnoCopApm

]

=∑

ijk

∑

mnop

Bmn

{CnoCop

[Bij, Apm

]+

[Bij, CnoCop

]Apm

}

=∑

ijk

∑

mnop

BmnCnoCop{δjmbsib

†sp + δjpbsib

†sm + δimb

†spbsj+

δipb†smbsj

}+∑

ijk

∑

mnop

{δojCnoBpi + δoiBpjCop} (A.15)

sedangkan untuk relasi komutasi suku ketiga dan keempat memiliki kesamaan

dengan suku kedua dan pertama, berbeda hanya pada indeks jadi ini tidak akan

susah untuk dilakukan lagi

∑

ijk

∑

mnop

[CjkAki, BmnCnoCmpApo

]=

∑

ijk

∑

mnop

{BmnCno

[CjkAki, CmpApo

]

+

[CjkAki, BmnCno

]CmpApo

}

=∑

ijk

∑

mnop

BmnCno (−δpkCjkAmiApo − δpiCjkAmkApo

+δkpCmpAjoAki + δkoCmpAjpAki) +∑

ijk

∑

mnop

{−δokCjkBmnAniCmpApo

−δoiCjkBmnAnkCmpApo}+∑

ijk

∑

mnop

{−Cjk

(δnibsmb

†sk + δnkbsmb

†si + δmib

†skbsn+

δmkb†sibsn

)CnoCmpApo

}+

∑

ijk

∑

mnop

−{δjnBkmCnoAkiCmpApo+

δjmBknCnoAkiCmpApo} (A.16)

29

sedangkan untuk suku terakhirnya adalah

∑

ijk

∑

mnop

[Bij, BmnCnoCmpApo

]=

∑

ijk

∑

mnop

Bmn

[Bij, CnoCmpApo

]

=∑

ijk

∑

mnop

Bmn

{CnoCmp

[Bij, Apo

]+

[Bij, CnoCmp

]Apm

}

=∑

ijk

∑

mnop

BmnCnoCmp{δjobsib

†sp + δjpbsib

†so + δiob

†spbsj+

δipb†sobsj

}+∑

ijk

∑

mnop

{δmjCnoBpi + δoiBpjCmp} (A.17)

30

[X3, X4] = α∑

ijk

∑

mnop

BijBmnCno (−δpkCjkAoiApm − δpiCjkAokApm + δkpCopAjmAki+

δkmCopAjpAki) +

α∑

ijk

∑

mnop

{−δokBijCjkBmnAniCopApm − δoiBijCjkBmnAnkCopApm}+

α∑

ijk

∑

mnop

{−BijCjk(δnibsmb

†sk + δnkbsmb

†si + δmib

†skbsn + δmkb

†sibsn)

CnoCopApm}+ α∑

ijk

∑

mnop

−{δjnBijBkmCnoAkiCopApm+

δjmBijBknCnoAkiCopApm}+

α∑

ijk

∑

mnop

BmnCnoCop{δjmbsib

†sp + δjpbsib

†sm + δimb

†spbsj + δipb

†smbsj

}CjkAki +

α∑

ijk

∑

mnop

{δojCnoBpiCjkAki + δoiBpjCopCjkAki}+

β∑

ijk

∑

mnop

BijBmnCno (−δpkCjkAmiApo − δpiCjkAmkApo

+δkpCmpAjoAki + δkoCmpAjpAki) +

β∑

ijk

∑

mnop

{−δokBijCjkBmnAniCmpApo − δoiBijCjkBmnAnkCmpApo}+

β∑

ijk

∑

mnop

{−BijCjk(δnibsmb

†sk + δnkbsmb

†si + δmib

†skbsn + δmkb

†sibsn)

CnoCmpApo}+ β∑

ijk

∑

mnop

−{δjnBijBkmCnoAkiCmpApo+

δjmBijBknCnoAkiCmpApo}+

β∑

ijk

∑

mnop

BmnCnoCmp{δjobsib

†sp + δjpbsib

†so + δiob

†spbsj + δipb

†sobsj

}CjkAki +

β∑

ijk

∑

mnop

{δmjCnoBpiCjkAki + δoiBpjCmpCjkAki} (A.18)

Alhamdulillah nah sekarang tinggal menghilangkan somasinya untuk menen-

31

tukan nilai α dan β

[X3, X4] = α {−δpkBijBmnCnoCjkAoiApm − δpiBijBmnCnoCjkAokApm+

δkpBijBmnCnoCopAjmAki + δkmBijBmnCnoCopAjpAki−δokBijCjkBmnAniCopApm − δoiBijCjkBmnAnkCopApm−δjnBijBkmCnoAkiCopApm − δjmBijBknCnoAkiCopApm+

δojCnoBpiCjkAki + δoiBpjCopCjkAki−BijCjk(δnibsmb

†sk + δnkbsmb

†si + δmib

†skbsn + δmkb

†sibsn)CnoCopApm+

BmnCnoCop(δjmbsib†sp + δjpbsib

†sm + δimb

†spbsj + δipb

†smbsj)CjkAki

}+

β {−δpkBijBmnCnoCjkAmiApo − δpiBijBmnCnoCjkAmkApo+

δkpBijBmnCnoCmpAjoAki + δkoBijBmnCnoCmpAjpAki−δokBijCjkBmnAniCmpApo − δoiBijCjkBmnAnkCmpApo−δjnBijBkmCnoAkiCmpApo − δjmBijBknCnoAkiCmpApo+

δmjCnoBpiCjkAki + δoiBpjCmpCjkAki−BijCjk(δnibsmb

†sk + δnkbsmb

†si + δmib

†skbsn + δmkb

†sibsn)CnoCmpApo+

BmnCnoCmp(δjobsib

†sp + δjpbsib

†so + δiob

†spbsj + δipb

†sobsj

)CjkAki

}(A.19)

maka

[X3, X4] =∑

ijk

∑

mnop

[BijCjkAki, (αBmnCnoCopApm + βBmnCnoCmpApo)

]

=∑

ijk

∑

mnop

{[BijCjkAki, αBmnCnoCopApm

]+

[BijCjkAki, βBmnCnoCmpApo

]}

=∑

ijk

∑

mnop

{αBij

[CjkAki, BmnCnoCopApm

]+ α

[Bij, BmnCnoCopApm

]CjkAki

+βBij

[CjkAki, BmnCnoCmpApo

]+ β

[Bij, BmnCnoCmpApo

]CjkAki

}(A.20)

setelah melalui perhitungan panjang dengan menggunakan hubungan relasi komu-

32

tasi pada persamaan diatas maka akan didapat

[X3, X4] = α {−BijBmnCnoCjkAoiAkm − BijBmnCnoCjkAokAim

+BijBmnCnoCopAjmApi +BijBmnCnoCopAjpAmi

−BijCjkBmnAniCkpApm −BijCjkBmnAnkCipApm

−BinBkmCnoAkiCopApm − BimBknCnoAkiCopApm

+CnjBpiCjkAki +BpjCipCjkAki −BijCjk

(δnibsmb

†sk

+δnkbsmb†si + δmib

†skbsn + δmkb

†sibsn

)CnoCopApm+

BmnCnoCop(δjmbsib†sp + δjpbsib

†sm + δimb

†spbsj + δipb

†smbsj)CjkAki

}+

β {−BijBmnCnoCjkAmiAko −BijBmnCnoCjkAmkAio

+BijBmnCnoCmpAjoApi +BijBmnCnoCmpAjpAoi

−BijCjkBmnAniCmpApk −BijCjkBmnAnkCmpApi

−BinBkmCnoAkiCmpApo − BimBknCnoAkiCmpApo

+CnoBpiCjkAki +BpjCmpCjkAki −BijCjk

(δnibsmb

†sk

+δnkbsmb†si + δmib

†skbsn + δmkb

†sibsn

)CnoCmpApo +BmnCnoCmp

(δjobsib

†sp + δjpbsib

†so + δiob

†spbsj + δipb

†sobsj

)CjkAki

}(A.21)

A.6 Beberapa Relasi Komutasi Tambahan

Berikut adalah beberapa hasil komutasi yang lainnya

[B0, A0] =

[1√6

∑

i

Bii,1√6

∑

j

Ajj

]

=1

6

∑

i

∑

j

[Bii, Ajj

](A.22)

[Bii, Ajj] =n∑

s=1

n∑

t=1

(δstδijbsib

†tj + δstδijbsib

†tj

)

+

n∑

s=1

n∑

t=1

(δstδijb†tjbsi + δstδijb

†tjbsi)

= (δijbsib†sj + δijbsib

†sj + δijb

†sjbsi + δijb

†sjbsi)

= δij(bsib†sj + bsib

†sj + b†sjbsi + b†sjbsi) (A.23)

33

[B0, A0] =

[1√6

∑

i

Bii,1√6

∑

j

Ajj

]

=1

6

∑

i

∑

j

[Bii, Ajj

]

=1

6

∑

i

∑

j

(δij(bsib†sj + bsib

†sj + b†sjbsi + b†sjbsi))

=1

6(bsib

†si + bsib

†si + b†sibsi + b†sibsi)

=1

3(b†sibsi + bsib

†si) (A.24)

sedangkan untuk operator Cij

Cij =1

2

∑

s=1

(b†sibsj + bsjb†si) (A.25)

jadi untuk Cii

Cii =1

2

n∑

s=1

(b†sibsi + bsib†si) (A.26)

[B0, A0] =1

3(b†sibsi + bsib

†si)

=2

3C0 (A.27)

sedangkan untuk yang quadrupole maka

A20 =1√12

(2A33 − A11 − A22), B20 =1√12

(2B33 −B11 − B22) (A.28)

C20 =1√12

(2C33 − C11 − C22) (A.29)

jika dilakukan relasi komutasi

[B20, A20] = [(2B33 −B11 − B22), (2A33 − A11 − A22)]

= [(2B33 −B11 − B22), 2A33]− [(2B33 −B11 − B22), A11]

−[(2B33 − B11 −B22), A22]

= [2B33, 2A33]− [B11, 2A33]− [B22, 2A33]− [2B33, A11]

−[B11, A11]− [B22, A11]− [2B33, A22]− [B11, A22]

−[B22, A22] (A.30)

34

dengan menggunakan relasi komutasi yang telah ada di atas maka

Bij =n∑

s=1

bsibsj (A.31)

Akl =

n∑

t=1

b†tkb†tl (A.32)

maka relasi komutasinya

[B33, A33] =

n∑

s=1

n∑

t=1

[bs3bs3, b†t3b†t3]

=

n∑

s=1

n∑

t=1

(bs3[bs3, b†t3b†t3] + [bs3, b

†t3b†t3]bs3)

=

n∑

s=1

n∑

t=1

(bs3b†t3[bs3, b

†t3] + bs3[bs3, b

†t3]b†t3)

+n∑

s=1

n∑

t=1

(b†t3[bs3, b†t3]bs3 + [bs3, b

†t3]b†t3bs3)

= bs3b†s3 + bs3b

†s3 + b†s3bs3 + b†s3bs3 (A.33)

[B33, A11] =n∑

s=1

n∑

t=1

[bs3bs3, b†t1b†t1]

=

n∑

s=1

n∑

t=1

(bs3[bs3, b†t1b†t1] + [bs3, b

†t1b†t1]bs3)

=

n∑

s=1

n∑

t=1

(bs3b†t1[bs3, b

†t1] + bs3[bs3, b

†t1]b†t1)

+

n∑

s=1

n∑

t=1

(b†t1[bs3, b†t1]bs3 + [bs3, b

†t1]b†t1bs3)

= 0 (A.34)

A.7 X3 dan X4 Pada Saat Kontraksi

Jika terjadi kontraksi apa yang terjadi pada operator tersebut. Seperti yang dike-

tahui pada L = 0 operator A,B,C menjadi seperti berikut

Ao =1√6

∑

i

Aii Bo =1√6

∑

i

Bii Co =1√6

∑

i

Cii (A.35)

35

maka operator X3 dan X4 akan menjadi dua operator baru yang bentuk nya men-

jadi

Xn =∑

Bij[Aij, Bkl]n−2Akl (A.36)

apakah setelah terjadi kontraksi, kedua operator tersebut akan tetap berada dalam

suatu CSCO

Untuk L = 0, maka

Ao =1√6

∑

i

Aii Bo =1√6

∑

i

Bii Co =1√6

∑

i

Cii (A.37)

yang masing masing operator memenuhi relasi komutasi

[B0, A0] ≡ C0 (A.38)

sedangkan jika diabaikan angka-angka didepannya, maka akan didapat

[B0, C0] =

[1√6

∑

i

Bii,1√6

∑

j

Cjj

]

=∑

i

∑

j

[Bii, Cjj]

(A.39)

maka akan didapatkan hasil

[Bii, Cjj] =1

2

n∑

s=1

n∑

t=1

[bsibsi, (b†tjbtj + btjb

†tj)]

=1

2

n∑

s=1

n∑

t=1

bsi[bsi, (b†tjbtj + btjb

†tj)] + [bsi, (b

†tjbtj + btjb

†tj)]bsi

=1

2

n∑

s=1

n∑

t=1

bsi

([bsi, b

†tjbtj ] + [bsi, btjb

†tj])

+

1

2

n∑

s=1

n∑

t=1

([bsi, b

†tjbtj] + [bsi, btjb

†tj])bsi

=1

2

n∑

s=1

n∑

t=1

{(bsi[bsi, b

†tj]btj + bsibtj [bsi, b

†tj])

+

[bsi, b†tj]btjbsi + btj[bsi, b

†tj]bsi

}(A.40)

36

dengan menggunakan relasi komutasi (3.11) maka akan didapat

[Bii, Cjj] =1

2(bsibsi + bsibsi + bsibsi + bsibsi)

= 2bsibsi

= 2Bii (A.41)

sedangkan untuk relasi komutasi

[Cii, Ajj] =1

2

n∑

s=1

n∑

t=1

[(b†sibsi + bsib†si), b

†tjb†tj]

=1

2

n∑

s=1

n∑

t=1

([b†sibsi, b

†tjb†tj ] + [bsib

†si, b

†tjb†tj])

=1

2

n∑

s=1

n∑

t=1

{(b†sib

†tj[bsi, b

†tj] + b†si[bsi, b

†tj]b†tj

)+

(b†tj[bsi, b

†tj]b†si + [bsi, b

†tj]b†tjb†si

)}(A.42)

dengan menggunakan relasi komutasi (3.11), maka akan didapat

[Cii, Ajj] = 2Ajj (A.43)

selanjutnya operator

X3 =∑

B0C0A0 dan X4 =∑

(αB02C0A0 + βB02C0A0) (A.44)

relasi komutasinya setelah di kontraksi adalah

[X3, X4] =∑

[B0C0A0, (αB02C0A0 + βB02C0A0)]

=∑

([B0C0A0, αB02C0A0] + [B0C0A0, βB02C0A0])

=∑

(2α[B0C0A0, B0C0A0] + 2β[B0C0A0, B0C0A0]) (A.45)

jika kita melihat pada persamaan (3.27) maka persama diatas akan menghasilkan

relasi komutasi yang

[X3, X4] = 0 (A.46)

37

Daftar Acuan

D.J. Rowe, Dynamical Symmetries of Nuclear Collective Models ,

Prog.Part.Nucl.Phys, Vol 37,pp.256-348,1996.

D.J. Rowe, Microscopic Theory of The Nuclear Collective Model,

Rep.Prog.Nucl.Phys. 48, 1985

R. Gilmore and J.P.Draayer, Dynamical Grup Chains and Integrity

Basis,J. Math. Phys. 26, December 1985

D.J. Rowe , Resolution of Missing Label Problems;a New Prespective

on K-matrik Theory, J. Math. Phys. 36, March 1995

Fl.Stancu, Grup Theory in Subnuclear Physics, Oxford,1996.

J.P. Elliot and P.G. Dawber, Simmetry in Physics, Great Britain, 1979.

M Hamemesh, Group Theory and Its Application to Physical

Problems, NewYork,1989

Peter Ring and Peter Schuck, The Nuclear Many Body Problem,

NewYork,2000

38