Model Sistem

EL372 Rekayasa Trafik Tutun Juhana – Lab. Telematika – EE Dept. ITB

1

Model Sistem

• Ada dua fasa dalam pemodelan– Pemodelan trafik yang masuk (incoming

traffic) model trafik– Pemodelan sistem model sistem

• Dua macam model sistem– Loss system – Queueing system (sistem antrian)


2Model teletraffic yang sederhana

• Pelanggan (panggilan) datang dengan laju (jumlah panggilan per satuan waktu)– 1/ = waktu antar-kedatangan panggilan rata-rata

• Panggilan dilayani oleh n pelayan (server) • Jika sedang melayani, server memberi layanan

dengan laju (panggilan per satuan waktu)– 1/ = waktu pelayanan rata-rata

• Terdapat sebanyak m tempat untuk menunggu (buffer)

• Diasumsikan bahwa panggilan yang datang pada saat sistem sedang penuh (blocked customer) akan dibuang (loss)


3

Sistem loss murni

• Tidak ada tempat menunggu (ukuran buffer = m = 0)– Jika panggilan datang pada saat sistem penuh (semua

server digunakan/sibuk) maka panggilan akan ditolak

• Dari sudut pandang pelanggan, mereka perlu tahu hal-hal berikut (misalnya) :– Berapa peluang sistem akan penuh bila panggilan datang

• Dari sudut pandang sistem, perlu diketahui (misalnya) :– Berapa faktor utilisasi server?


4

Sistem antrian murni

• Ukuran buffer tidak terbatas (m = )– Jika panggilan data saat semua server sibuk, maka

panggilan akan menunggu di buffer– Tidak ada panggilan yang hilang hanya ada sebagian yang

menunggu sebelum dilayani

• Dari sudut pandang pelanggan, mereka perlu tahu (misalnya) :– Berapa peluang mereka harus menunggu “terlalu lama”

• Dari sudut pandang sistem, perlu diketahui (misalnya)– Berapa faktor utilisasi server?


5

Mixed system

• Ukuran buffer terbatas (0 < m < )– Bila ada panggilan yang datang ketika semua

server sibuk, namun masih ada tempat yang kosong di buffer, maka panggilan akan menempatinya untuk menunggu dilayani

– Bila panggilan datang ketika buffer penuh dan semua server sibuk, panggilan tersebut akan dihilangkan


6

Distribusi Poisson

• Kondisi sistem :– Kedatangan panggilan acak (random arrival) dan

independent satu sama lain– Jumlah sumber panggilan tak terhingga– Laju rata-rata datangnya panggilan konstan (a=)

• Tak tergantung jumlah pendudukan yang sudah ada karena sumber panggilan tak terhingga

– Jumlah saluran yang melayani tak terhingga dan merupakan berkas sempurna

• Setiap panggilan yang datang selalu dapat dilayani

– Pola waktu pendudukan terdistribusi exponensial negatif

• Waktu pendudukan rata-rata = h = 1/– Harga rata-rata trafik sama dengan harga

variansinya


7

Distribusi Poisson (2)

• Persamaan kesetimbangan dan diagran transisi kondisi– Dalam kesetimbangan statistik, probabilitas

kondisi bukan merupakan fungsi waktu. Persamaan kesetimbangannya :

bn-1P(m) = dnP(n)– Kita tinjau koeffisien kelahiran dan

kematian• bi (koeffisien kelahiran)= a = • di (koeffisien kematian): bila waktu lamanya

pendudukan tersistribusi eksponensial negatif maka di akan sebanding dengan jumlah pendudukan yang ada

– Hal ini akan dijelaskan pada paparan berikutnya


8


– Kita tinjau berkas saluran yang diduduki sebanyak n; kita munculkan pertanyaan : berapa probabilitas sembarang satu pendudukan berakhir dalam waktu dt• Kita sudah tahu :

– Probabilitas suatu pendudukan di suatu saluran berakhir dalam waktu dt = dt (distribusi waktu pendudukan exponensial negatif)

– Probabilitas suatu pendudukan di suatu saluran tidak akan berakhir dalam waktu dt = 1- dt

1

2

n

.

.

.

dt = Peluang pendudukan di saluran ini berakhir dalam dt

1-dt = Peluang pendudukan di saluran ini tdk berakhir dlm. dt

1-dt = Peluang pendudukan di saluran ini tdk berakhir dlm. dt

n saluran yang diduduki dari suatu berkas yang ditinjau


9


• Peluang bahwa sembarang satu pendudukan berakhir (dan yang lainnya tidak) dalam waktu dt adalah =( (n

1dt (1 – dt ) n-1

0 bila dt mendekati nol

= n.dt

Ingat distribusi binomial

= n.dt.(1- dt ) n-1


10


• Bila A = .h = / = trafik yang ditawarkan dan juga merupakan trafik yang dimuat karena trafik terdistribusi Poisson; dan dengan memperhatikan hasil yang terdapat pada slide no 9, kita memperoleh persamaan kesetimbangan sebagai berikut :

P(0) = 1P(1)A.P(0) = 1.P(1)A.P(1) = 2.P(2)A.P(2) = 3.P(3)

...A.P(n-1) = n.P(n)


11


• Dari persamaan kesetimbangan tersebut bisa kita peroleh

P(n) = P(n-1) = P(n-2)= P(n-3)= … = P(0)

• Jadi P(n) = P(0)

• Mencari P(0) :

– 1 = P(i) = P(0) { 1+A+ + + … } = P(0).eA

– Jadi P(0) = e-A, maka : P(n) = e-A untuk n = 0,1,2,3,…

A

n

A2

n(n-1)A3

n(n-1)(n-2)

An

n!

An

n!

i=0

A2

2!

A3

3!

An

n!


12


• Trafik yang memenuhi distribusi Poisson disebut juga Pure Chance Traffic atau Kedatangan Acak (Random Arrival)

• Ciri penting distribusi Poisson : Harga rata-rata sama dengan variansinya

• Diagram transisi kondisinya :

0 1 2 n

(n+1)

n32


13


• Bila trafik yang terdistribusi Poisson ditawarkan melalui elemen gandeng ke berkas keluar yang jumlah salurannya tak terhingga, maka seluruh trafik yang ditawarkan akan dapat diolah oleh berkas keluar; artinya tidak ada trafik yang hilang (ditolak)

• Oleh karena itu trafik yang ditawarkan akan sama dengan trafik yang dimuat oleh berkas keluar atau A = Y


14


• Harga rata-rata trafik yang dimuat di berkas keluar ( = harga rata-rata jumlah saluran yang diduduki)

• Diperoleh E[n] = M = A• Variansinya = V = A

E[n]= n.P(n) = n. e-A (dst. dapat anda lihat di diktat) n=0

An

n!

n=0


15

Distribusi Erlang

• Kondisi sistem :– Kedatangan panggilan acak (random arrival) dan

independent satu sama lain– Jumlah sumber panggilan tak terhingga– Laju rata-rata datangnya panggilan konstan (a=)

• Tak tergantung jumlah pendudukan yang sudah ada karena sumber panggilan tak terhingga

– Jumlah saluran yang melayani terbatas dan merupakan berkas sempurna

• Tidak setiap panggilan yang datang selalu dapat dilayani; panggilan yang datang pada saat semua saluran diduduki akan tidak dapat dilayani; panggilan-panggilan yang tidak dapat dilayani akan dihilangkan (ditolak) Sistem Rugi

– Pola waktu pendudukan terdistribusi exponensial negatif

• Waktu pendudukan rata-rata = h = 1/


16

Distribusi Erlang (2)

Rumus Rugi Erlang• Dapat digunakan untuk menghitung

prosentase panggilan yang hilang bila trafik yang ditawarkan dan jumlah saluran keluar yang menampung diketahui

• Penurunan rumus menggunakan diagram transisi kondisi dan persamaan kesetimbangan– Koefisien kelahiran = (konstan)– Koefisien kematian = n– A = /


17


P(0) = 1P(1)A.P(0) = 1.P(1)A.P(1) = 2.P(2)A.P(2) = 3.P(3)

...A.P(n-1) = n.P(n)

.

.

.

A.P(N-1) = N.P(N)

0 1 2

(N-1)32

N-1 N

N


18


• Dari persamaan kesetimbangan tersebut bisa kita peroleh

P(n) = P(n-1) = P(n-2)= P(n-3)= … = P(0)

• Jadi P(n) = P(0), dengan n = 0,1,2,…,N

• Mencari P(0) :

– 1 = P(n) = P(0) { 1+A+ + + … + }

– Jadi P(0) =

A

n

A2

n(n-1)A3

n(n-1)(n-2)

An

n!An

n!

n=0

NA2

2!

A3

3!

AN

N!

1

n=0

NAn

n!


19


• Sehingga

Untuk n = 0,1,2,3,…, N• P(N) = Probabilitas bahwa semua

saluran (di berkas keluar) sibuk; selama waktu ini semua panggilan yang datang ditolak (dihilangkan)

P(n) =

An

n!

1+A+ + … +A2

2!AN

N!


20


• Simbol untuk menyatakan P(N)– E1,N(A)

– EN(A)

– B (Blocking)– Rumus Rugi Erlang– Rumus Erlang-B– B(N,A)– Grade of Service (GOS)

• Dari segi nilai, GOS = Blocking• Dari segi pengertian, GOS merupakan

komplemen dari Blocking


21


• Jadi

P(N) = E1,N(A) = EN(A) = B =

AN

N!

1+A+ + … +A2

2!AN

N!

Ditabelkan


22


Kongesti Waktu dan Kongesti Panggilan• Probabilitas kondisi adalah lamanya waktu

suatu kondisi berlangsung dalam jam per jam (jam sibuk), maka

• P(N) dapat diartikan sebagai lamanya waktu dimana semua saluran (=N) sibuk berlangsung dalam jam per jamnya (jam sibuk) sehingga

• P(N) disebut pula sebagai Kongesti Waktu (Time Congestion)

• Dapat pula dikatakan :P(N) adalah bagian waktu dimana N saluran sibuk


23


• Pengertian Kongesti Panggilan = R(N)

• Atau dengan kata lain :R(N) adalah bagian panggilan yang ditolak

• Untuk kedatangan yang acak dan berkas sempurna : P(N) = R(N)– Kongesti panggilan = P(N)./.1 = P(N) =

Kongesti waktu

R(N) = Jumlah panggilan yang ditolak

Jumlah panggilan selama 1 jam


24


Efisiensi dan Kepekaan• Efisiensi (= A/N)

– Untuk B tertentu, dengan bertambahnya A, akan diperlukan N yang lebih besar pula

– Makin besar A, makin besar (baik) efisiensinya

B = 1%

N A A/N

2 0,15 0,075

4 0,87 0,215

10 4,46 0,440

50 37,90 0,760


25


• Kepekaan– Seberapa besar pengaruh perubahan A terhadap

perubahan B untuk N tetap– Makin besar A, makin besar kepekaaannya

(perubahan B-nya)

B = 1%

N A 1,1A (A naik 1%) Trafik 1,1A dan dengan N tetap; B berubah menjadi

2 0,15 0,165 0,012 (=1,2 %)

4 0,87 0,957 0,013 (=1,3 %)

10 4,46 4,906 0,015 (=1,5 %)

50 37,90 41,690 0,030 (=3,0 %)


26


• Membandingkan kepekaan Jaringan mata jala dengan jaringan bintangContohJaringan yang terdiri dari empat sentral. Antar sentral dihubungkan dengan berkas saluran dua arah (bothway). Diasumsikan trafik antar sentral (=A) sama dan pendimensian di setiap berkas saluran menggunakan kriteria B = 1 % (tanpa ruting alternatif)

D

A B

C

mesh

D

A B

C

star


27


• Pada jaringan star– A = 1 Erlang, maka setiap berkas ditawari

2 Erlang, dengan B = 1%, maka dibutuhkan jumlah saluran untuk setiap berkas sebanyak N = 6 saluran

– Bila A dinaikkan menjadi 2 (2 kali lipat), maka tiap berkas akan mengolah trafik 4 Erlang. Bila jumlah saluran pada tiap berkas tetap (N=6), maka B 12%


28


• Pada jaringan mata jala– A = 1 Erlang, maka setiap berkas ditawari

6 Erlang, dengan B = 1%, maka dibutuhkan jumlah saluran dalam setiap berkas sebanyak N = 12 saluran

– Bila A dinaikkan menjadi 2 (2 kali lipat), maka tiap berkas akan mengolah trafik 12 Erlang. Bila jumlah saluran pada tiap berkas tetap (N=12), maka B 20%

• Jaringan mata jala lebih peka daripada jaringan bintang


29


• Harga rata-rata trafik yang dimuat oleh berkas saluran (pada rumus Erlang)– Merupakan jumlah saluran rata-rata yang

diduduki (selama waktu 1 jam sibuk)– Y = trafik yang dimuat =

– Y = A [ -B + 1]

n=0

N

n.P(n)=n=1

N An/(n-1)!

j=0

NAj/j!

= An=1

N An-1/(n-1)!

j=0

NAj/j!

= AAN/N!

j=0

NAj/j!

+n=0

N An/n!

j=0

NAj/j!

-

B 1


30


• Jadi : – Y = A[1-B] atau– A = Y + AB

• A = Trafik yang ditawarkan (rata-rata)• Y = Trafik yang dimuat (rata-rata)• AB = R = Trafik yang ditolak (hilang)


31


• Variansi trafik yang dimuat

i=0

N

Vd = (i-Y)2P(i) = i=2

N

i(i-1)P(i) + Y – Y2 (^)

K

i=2

N

K = A2Ai-2/(i-2)!

j=0

NAj/j!

= A2

j=0

NAj/j!

1+A+A2/2!+…+AN-1/(N-1)!+AN/N!-AN-1/(N-1)!-AN/N!

K = A2 {1-(N/A)EN(A)-EN(A)}= A2-N.A.EN(A)-A2.EN(A)K = A(A-A.EN(A))-Nm = AY – Nm = (m+Y).Y-Nm = mY+Y2-Nm(^^)


32


• Bila persamaan (^^) dimasukkan ke (^)Vd = mY + Y2 – Nm + Y – Y2 = Y – m(N-Y)

Vd = Y – m(N-Y)

– m = trafik yang tak dapat dimuat (hilang atau meluap) = A.EN(A)


33

Distribusi Erlang (19)Selektor homing dan non homing

• Selektor homing : proses pencarian jalan keluar selalu diawali dari jalur satu – Muatan trafik pada jalan-jalan keluar permulaan selalu

lebih besar daripada jalan-jalan keluar terkahir

• Selektor non-homing : Pengetesan jalan keluar diawali pada saluran dimana saat terakhir kali suatu jalan keluar dipakai– Muatan trafik tebagi merata pada setiap jalur keluar

A1

2

3

4

R1

R2

R3

R4


34


Perhitungan muatan pada selektro homing• Kita lihat contoh gambar pada slide no 33

– Selektor dengan 4 jalan keluar– Pada berkas masuk ditawarkan trafik sebesar A– R1,R2,R3, dan R4 dihitung menggunakan rumus

rugi Erlang, sehingga trafik yang dimuat dapat dihitung dengan cara sbb :

• Y1 = A – R1• Y2 = R1 – R2• Y3 = R2 – R3• Y4 = R3 – R4

• Misalkan A = 2 Erlang, maka dapat dihitung Y1,Y2,Y3,dan Y4


35


• R1=A.A/(1+A)=A2/(1+A)=4/(1+2)=4/3=1,33 Erlang– Y1 = A-R1=2-1,33=0,67 Erlang

• R2=A{(A2/2!)/(1+A+(A2/2!))}=0,8 Erlang– Y2=R1-R2=1,33-0,8=0,53 Erlang

• R3=A{(A3/3!)/(1+A+(A2/2!)+(A3/3!))}=0,421 Erlang– Y3=R2-R3=0,8-0,421=0,379 Erlang

• R4=A{(A4/4!)/(1+A+(A2/2!)+(A3/3!)+(A4/4!))=0,19 Erlang– Y4=R3-R4=0,189 Erlang


36


• Perhitungan muatan pada selekor non-homing– Y1=Y2=Y3=Y4=(A-R4)/4=2-

0,19/4=0,4525 Erlang


37Distribusi Engset dan Binomial

• Bila S > N, didapat distribusi Engset• Bila S N, didapat distribusi Binomial• Waktu antara datangnya panggilan untuk setiap satu sumber panggilan

yang bebas mempunyai distribusi eksponensial negatif dengan harga rata-rata=1/p

– Laju datanganya panggilan dari satu sumber panggilan yang bebas= p

• Karena jumlah sumber terbatas, maka laju datangnya panggialn rata-rata pada kondisi n = (S-n)p (ada sejumlah S-n sumber panggilan yang masih bebas).Ini merupakan koefisien kelahiran pada diagram transisi kondisi

• Kedatangan panggilan ini dianggap seperti acak (quasi-random input)

gBerkas masuk

Sumber panggilan (S) terbatas Jumlah saluran keluar (N) terbatas

Berkas keluar (berkas sempurna)


38Distribusi Engset dan Binomial (2)

• Diagram transisi kondisi

0 1 2

Sp (S-1)p (S-2)p (S-N+2)p

(N-1)32

N-1 N

(S-N+1)p

N

Berakhir pada kondisi Natau S bila S < N



• Persamaan kesetimbangan– (S-n)p.P(n)=(n+1)..P(n+1), untuk n=0,1,2,…,(N-

1) atau S-1)– Untuk n=0 : Sp.P(0)=.P(1)

• P(1)=S.(p/).P(0)

– Untuk n=1 : (S-1)p.P(1)=2..P(2)• P(2)=S(S-1)(p/)2.(1/2).P(0)

– Untuk n=2 : (S-2)p.P(2)=3..P(3)• P(3)=S(S-1)(S-2)(p/)3.(1/3.2.1).P(0)

– Akhirnya diperoleh :

P(n)={(S!/n!(S-n)!).(p/)n.P(0)}

Rumus ini berlaku untuk Engset maupun Binomial



Rumus Engset (S > N)

P(n)= [p/]nP(0)

• P(0) dicari dengan cara yang sudah kita bahas sebelumnya (lihat diktat)

• Maka diperoleh

( ) Sn

P(n)=( ) S

n[p/]n

j=0

N

( ) S

j[p/]j



• Bila n=N , maka P(N) merupakan probabilitas semua saluran sibuk (Kongesti waktu) = Probabilitas kondisi N

• Kongesti panggilan : jumlah panggilan yang ditolak dibagi dengan jumlah seluruh panggilan yang datang

• Jumlah panggilan yang ditolak (dlm. 1 jam) : (S-N)p.P(N)

• Jumlah seluruh panggilan yang datang (dalam 1 jam) :

j=0

N

(S-j)p.P(j)



• Jadi Kongesti panggilan :

R(N)=

• Bila sumber tak berhingga, P(n) akan sama dengan rumus Erlang

j=0

N

[p/]N(S-N)[S!/(S-N)!N!]

(S-j!)[S!/(S-j)!j!] [p/]j

( ) S-1

N[p/]N

i=0

N

( ) S-1

i[p/]i

=



• Modifikasi rumus Engset R(N) agar mengandung parameter trafik yang ditawarkan (A) dan B (=kongesti panggilan=R(N))

• Mencari A:– Asumsi : trafik merata pada semua sumber

panggilan S, maka bila • a=trafik yang ditawarkan per sumber panggilan• A=trafik total dari sumber panggilan yang berjumlah S.

Jadi A = aS• p=trafik yang dimuat di berkas keluar yang berasal dari

satu sumber panggilan (bagian waktu dimana sumber panggilan termaksud sibuk atau menduduki saluran)

• (1-p) = bagian waktu dimana suatu sumber panggilan bebas (dan yang hanya dalam waktu ini saja sumber panggilan termaksud dapat memberikan kecepatan kedatangan panggilan sebesar p)



• Akan terdapat hubungan p=a(1-B), dimana B=kongesti panggilan ($)

• Tiap sumber panggilan akan memberikan penawaran trafik sebesar : (1-p).p/=a ($$)

• Dari ($) dan ($$) diperoleh p/=a/(1-p)=a/(1-a(1-B)) ($$$)

• Dari trafik total sebesar A=aS, diperoleh a=A/S, kita masukkan ke persamaan ($$$), akan diperoleh p/=(A/S)/{1-(A/S)(1-B)}=A/(S-A(1-B)), ekspresi ini kita masukkan ke rumus R(N)



• Kita lihat di suku kiri ada R(N) dan di suku kanan ada B, padahal R(N)=B, maka perhitungan harus dilakukan secara iterasi

• Ada 4 besaran : A,S,N, dan B (=R(N))– Bila A,S,N diketahui, B dapat dihitung (iterasi)– Bila A,S,B diketahui, N dapat dihitung (iterasi)

• Sudah ditabelkan

( ) S-1

N[p/]N

i=0

N

( ) S-1

i[p/]j

R(N)= =( ) S-1

[A/(S-A(1-B))]N

N

i=0

N

( ) S-1

i[A/(S-A(1-B))]i



Rumus binomial• Jumlah panggilan,S, lebih kecil atau sama

dengan jumlah saluran keluar,N• Karena S N

– Tidak akan ada trafik yang hilang– Kondisi akhir hanya sampai dengan S

• Rumus P(n) menjadi :

( ) S

n[p/]n

j=0

N

( ) S

j[p/]j

P(n)= =( ) S

n[p/]n

j=0

S

( ) S

j[p/]j

=( ) S

n[p/]n

[1+(p/)]S



• Dimana = (p/)/(1+(p/))• Rumus P(n) di atas dapat dianggap sebagai

rumus umum– Dapat menjadi Erlang,Engset ataupun Binomial,

tergantung besarnya S

• Pada rumus binomial di atas tidak ada trafik yang ditolak, tetapi ada yang menggunakan rumus binomial untuk kasus S > N sehingga akan ada trafik yang ditolak– Bisa dilakukan bila S tidak begitu besar dibandingkan

N

( ) S

nn(1-)S-nP(n)=

Documents

Model Sistem