Seminário

M ODELAÇÃO MATEMÁTICA E SIMULAÇÃO NUMÉRICA NA

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS REAIS

Teresa Diogo

http://www.math.ist.utl.pt/ ∼tdiogo

Modelos matem aticos e simulac oes num ericas na resoluc ao de problemas reais

complexos: aplicac oes nas Bioci encias e Mec anica dos Fluidos.

IST, 7 Nov. 2012

– p. 1/33

Pode responder-se a cada vez mais perguntas como:

❋ Como vai estar o tempo nos pr oximos dias?

❋ Este avi ao consegue voar?

❋ Esta ponte suporta cami oes pesados?

❋ Como direccionar um foguet ao de modo a ele passar perto deSaturno?

❋ Como fazer o design dum carro ou avi ao? (optimizar consumode energia, ruıdo, velocidade, etc)

❋ Como encher uma caixa de margarina ou um frasco de mel?(uniforme, sem bolhas)

❋ Qual deve ser o angulo dum bypass com a car otida ?

❋ Qual a quantidade de vacinas a dispor, no caso de doencasinfecciosas?

Problemas da Engenharia e da Ci encia, Economia, Medicina...– p. 2/33

Esquema

– p. 3/33

Erros cometidos no processo

Erros inerentes : o modelo matem atico nao traduz exactamente a

realidade: simplificac oes do modelo ; erros nos dados

(medic oes)

Erros dos m etodos usados ,no tratamento do modelo

matem atico : uso de f ormulas que nos d ao valores aproximados

e nao exactos.

Erro computacional , na implementac ao do algoritmo no

computador : os numeros s ao representados no computador

usando um numero finito de dıgitos. Ex: π ≃ 3, 1415

– p. 4/33

Modelo matemático + simulação numérica

Aumento da capacidade de processamento dos computadoresmodernos ➜

❋ estudo de problemas complexos, como o clima,fenómenos populacionais, organismos vivos, oumesmo o ser humano (como doenças reagem amedicamentos–ex. insulina).

❋ Com programas computacionais adequadosfazer "simulac oes" do comportamento dos sistemasreaise ainda previs oes (aproximadas)

➜ Melhorar modelos, torná-los mais próximos darealidade.

Interdisciplinaridade: várias áreas envolvidas.

– p. 5/33

Um exemplo simples

Problema: Aproximar a area, A, duma figura plana

f(x) = e−x Sin(8x2/3) + 1

0.5 1 1.5 2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0.5 1 1.5 2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Ha uma relac ao com o integral:

∫ 2

0

f(x)dx

primitivar f ?– p. 6/33

O método dos trapézios

0.5 1 1.5 2

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

1.75

2

Aproxima-se a área abaixo do gráfico de f pela área do

trapézio: A ≃ (2− 0) f(0)+f(2)2 ≃ 2.01792

– p. 7/33

Consideram-se 2,3,...trapézios

0.5 1 1.5 2

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

1.75

2

Toma-se para aproximação a soma das áreas dos 2 trapézios.

0.5 1 1.5 2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0.5 1 1.5 2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Na simulação: subdivide-se a figura em N=2,3,4,... trapézios.

– p. 8/33

Começa-se comum modelo matemático

➜ = Representac ao aproximada da realidade

A area da figura exprimiu-se como um integral (modelo

matem atico) que foi aproximado pela soma das areas dos

sucessivos trap ezios ( metodo num erico: regra dos Trap ezios )

✮ Outros modelos matem aticos ?

Em geral: equac oes diferenciais, ordin arias ou com derivadas

parciais, equac oes integrais, integrodiferenciais ....

Relação entre grandezas e parâmetros relevantes doproblema ( reproduzir propriedades essenciais )

Ex. simples de eq. diferencial : F (t) = m d2

dt2x(t) 2a lei do

movimento de Newton. Qual a força, F , aplicada a x, conhecidas as

posições de x em vários instantes t ?– p. 9/33

Newton: a Matematização da Física

Ano 340 a. c. – Arist oteles : a Terra encontrava-se imóvel (centro do Universo) e o Sol, a Lua, os

planetas e as estrelas moviam-se em órbitas circulares em volta dela. Filósofos gregos e

teólogos cristãos: os objectos moviam-se porque tais acções provinham de desejos e

emoções semelhantes aos dos humanos. Os objectos em movimento acabavam por

diminuir de velocidade porque ficavam "cansados".

Em 1666, aos 23 anos de idade , Isaac Newton baniu os espíritosque assombravam o mundo aristotélico, ao criar uma novamecânica baseada em forças. Propôs 3 leis do movimento,segundo as quais os objectos se moviam porque estavam aser empurrados ou puxados por forças"Matematização da Física": toda afirmação física deveria serexprimível por meio de equações matemáticas e asconclusões seriam obtidas através da resolução dessas eq.

– p. 10/33

Duas Aplicações Reais

O design dum teste de gravidez

S. Jones, B. Jumarhon, S. McKee and J.A. Scott,A mathematical model of a

biosensor, Journal of Engineering Mathematics, 30, 321-337 (1996)

O enchimento de moldes e de recipientes na industriaalimentar (caixas de margarina, frascos de mel)

M.F. Tomé and S. McKee, GENSMAC: a computational marker-and-cell methodfor free surface flows in general domains, Journal of Computational Physics, 110,171 (1994).

M.F. Tomé a, S. McKee, l. Barratt, D.A. Jarvis and A.J. Patrick An experimental

and numerical investigation of container filling with viscous liquids, International

Journal for Numerical Methods in Fluids, 31, 1333-1353 (1999)

– p. 11/33

A Matemática no design do teste de gravidez

Na mulher grávida, é produzida a hormona HCG (Gonadotrofina Coriónica Humana), que

pode ser detectada na urina utilizando um teste de gravidez. O ClearBlue (figura) contém

uma tira (faixa) onde, numa extremidade, foram fixados anticorpos. Introduz-se o dispositivo

num recipiente com urina e, se a hormona estiver presente, ela vai reagir com os anticorpos

na extremidade oposta. Ao estabilizar-se a reação, aparece a cor azul numa janela do teste.

Objectivo: obter um resultado no mínimo tempo

Qual o comprimento da tira, qual a concentração de anticorpo, etc... ?

Poderiam efectuar-se diversas experi encias...mas, dispendioso !

➜ criar modelo matema tico.

– p. 12/33

Esquema do teste

– p. 13/33

Início da reacção

Deslocação do latex azul (transportador) e hormona ao longo da tira...

– p. 14/33

Agregação com o anticorpo

O latex azul com a hormona agregam-se ao anticorpo na outra extremidade da tira...

– p. 15/33

Na ausência da hormona

– p. 16/33

Negativo

– p. 17/33

Modelo Matemático: eq. da difusão

Seja u(x, t) a concentração (densidade) da hormona;γ(t) a concentração do agregado [hormona-anticorpo].

∂u

∂t(x, t) = D

∂2u

∂x2(x, t), 0 < x < d, (eq. da difusão)(1)

com as condições (2) e (3):

u(x, 0) = a0,∂u

∂x(0, t) = 0(2)

D∂u

∂x(d, t) = k−1γ(t)− k1u(d, t) (c0 − γ(t))(3)

A quantidade de hormona na tira é:∫ d

0u(x, t)dx = γ(t) + a0d

a0, c0 concentrações iniciais da hormona e anticorpo;D coef. difusão; d comprim. da tira; k1, k−1 const. quim.

– p. 18/33

Modelo integrodiferencial

aplicando Transf. Laplace à eq. (1) obtém-se

γ′(t) = C − E γ(t)− Cm(1− γ(t))

∫ t

0

K(t− s) γ′(s)ds(4)

γ(0) = 0no instante inicial é zero(5)

L = k−1/k1a0, C = E/(1+L), E = (k1a0+k−1)d2/D, m = c0/(a0 d)

γ(t) e a inc ognita, concentrac ao do agregado e

K(t− s) certa função; E const. e outros paraâmetros jádefinidos.

➜Aplicar m et. num erico a (4) para obter aprox. para γ(t)

➜Variar parâmetros. Voltar a correr programa computacional.

– p. 19/33

Tratamento da eq. integrodiferencial

γ′(t) = C − E γ(t)− Cm(1− γ(t))

∫ t

0

K(t− s) γ′(s)ds(6)

γ(0) = 0, t ∈ [0, T ](7)

γ(t) e a inc ognita, concentrac ao do agregado - varia com t

Partic ao do intervalo [0, T ]: ti = ih, i = 0, 1, ..., N , h = T/N

e comprimento dos subintervalos:

[0 = t0, t1], [t1, t2], ..., [tj , tj+1], ...[tN−1, tN = T ]

Nao e possıvel express ao analıtica explıcita para γ(t). Metodos

num ericos aplicados a (6) permitem obter aproximac oes: γi para

γ(ti): com esses valores traca-se gr afico aproximado para γ(t)

(ver a frente).

– p. 20/33

Um método Numérico (ideias)

Substitui-se t pelo valor ti, i = 1, ..., N (tempo) na eq. integrodif.

γ′(ti) = C − E γ(ti)− C m(1− γ(ti))

∫ ti

0

K(ti − s) γ′(s)ds

= C − E γ(ti)− Cm(1− γ(ti))

i−1∑

j=0

∫ tj+1

tj

K(ti − s) γ′(s)ds

Em cada subintervalo [tj , tj+1] substitui-se derivada γ′ porexpressão aproximada, por ex.

γ′(s) ≃γ(tj+1)− γ(tj)

tj+1 − tje γ′(ti) ≃

γ(ti)− γ(ti−1)

ti − ti−1

Lembre que γ′(ti) = limti−1→ti do quociente acima à direita

– p. 21/33

Relação a escrever como algoritmo - implementar

γi − γi−1

h= C −E γi − (1− γi)h

i−1∑

j=0

wij

(

γj+1 − γj

h

)

Faz-se variar i = 1, ..., N, e obtem-se sucess. γ1, ..., γN

➜ γ0 = 0 (dado), γi é valor aproximado para γ(ti), i = 1, ..., N ,

e os valores wij dependem da expressão de K e resultam das

aproximações consideradas.

Quando o numero N de subintervalos tende para infinito (ou seja, o seu comprime nto h → 0) ,

prova-se que os γi tendem para o valores exactos γ(ti). Ou seja, o Método é

convergente ⇒ possível obter aproximações tão "próximas" quanto se queira dos

valores exactos, escolhendo N suff. grande ( h = T/N peq.) .

– p. 22/33

Alguns resultados e conclusões

Tomou-se d=1. A quantidade total de hormona na superfície da tira (de comprimentod) é dada por

∫ d

0u(x, t)dx, sendo função decrescente com o tempo (por se ir agregar

na extremidade com o anticorpo);

Ao contrário, γ(t), a concentração do agregado final, é crescente e acaba por seestabilizar em certo valor de tempo t. É quando aparece a coloração. Interessa queesse tempo t seja o menor possıvel .

1 2 3 4 5 6t

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ΓHtL

à0

1

uHx,tLâx

Clearblue- tamanho pequeno, podendo ser comprado em lotes g randes, o que e conveniente para os

hospitais. Os aparelhos tradicionais de medic ao s o podiam ser usados por t ecnicos: medic oes exactas

de cada reagente, tempo da resposta levava dias, etc

– p. 23/33

Escoamentos de fluidos

As equações de Navier-Stokes (1819-1903) são equaçõesdiferenciais com derivadas parciais que descrevem omovimento dos fluidos tais como líquidos e gases.

– p. 24/33

Modelo: Equações

∂u

∂x+

∂v

∂y+

∂w

∂z= 0

u = (u, v, w)T vector velocidade do fluido.

∂u

∂t+

∂u2

∂x+

∂(uv)

∂y+

∂(uw)

∂z= −

∂p

∂x+

1

Re

[

∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2+

∂2u

∂z2

]

+1

Fr2gx

∂v

∂t+

∂(uv)

∂x+

∂(v2)

∂y+

∂(vw)

∂z= −

∂p

∂y+

1

Re

[

∂2v

∂x2+

∂2v

∂y2+

∂2v

∂z2

]

+1

Fr2gy

∂w

∂t+

∂(uw)

∂x+

∂(vw)

∂y+

∂(w2)

∂z= −

∂p

∂z+

1

Re

[

∂2w

∂x2+

∂2w

∂y2+

∂2w

∂z2

]

+1

Fr2gz

+ condições de fronteira... permitem obter veloc. e pressão em cadaponto do fluido. Fluidos: Gases, água; sangue, mel,margarina (fluidos viscosos)

– p. 25/33

Outras aplicações industriais

A fase final da indústria alimentar em geral envolve oenchimento, com tubo injector, de recipientes ou moldes(ex. caixa da margarina, garrafa).

Para enchimento r apido, sem bolhas de ar, sem derrame, quais

devem ser a velocidade de enchimento, o di ametro do tubo e a

viscosidade do fluido ? Fazer experi encias e caro para a

empresa ➜ usar modelo matem atico!

– p. 26/33

Modelo matemático complicado

➜ aplicar método numérico (neste caso, diferenças finitas-aprox. das

derivadas) para resolver as equações de Navier-Stokes(Modelo) e elaborar código computacional(milhares de linhas)

➜ obter velocidade e pressão em pontos do fluido

➜ com técnicas de vizualização gráfica, obter imagem(capturando o movimento do fluido)➜ produzindo umasimulação.

No código computacional, GENSMAC: (ver J. Comput. Phys.,110, 171 (1994)) podem mudar-se os par ametros :

a velocidade do injector (U), largura do injector (L) e visco sidade

do fluido (nu).

Variar parâmetros e comparar nova vizualização. – p. 27/33

Problemas no enchimento

Correu-se o código com certos valores dos parâmetros.Vizualização:

– p. 28/33

Problemas no enchimento (cont.)

– p. 29/33

Problemas no enchimento (cont.)

Situação que pode ocorrer com líquido muito viscoso, como omel ("jet buckling"). A empresa decide reduzirviscosidade,etc..

– p. 30/33

Validação do código computacional

1. comparac ao com fotografias de experi encias realizadas em

laborat orio. (à esq.: fotografia; à direita: simulação numérica)

2. Que fen omenos ele e capaz de simular ?

– p. 31/33

Validação do código computacional(cont)

– p. 32/33

Simulações

São mostradas algumas simulações numéricas.

– p. 33/33