MODELADOCALIBRACIÓN

Modelado

en química se construyen modelos para:

describir relaciones entre respuestas y factores (métodos

de superficie de respuesta)

calibrar los métodos analíticos

métodos de superficie de respuesta y calibración son las

aplicaciones más importantes de los métodos de regresión en

química analítica

Calibración

Calibración instrumental:

técnica con la cual el analista se asegura que un instrumento

y/o aparato funciona correctamente

objetivo: corregir la respuesta instrumental hasta que

alcance el valor considerado como verdadero según el patrón

de comparación utilizado

Calibración

Calibración metodológica analítica:

es una técnica para caracterizar la señal que proporciona un

instrumento en función de las propiedades de un analito o de

un grupo de ellos

objetivo: establecer una relación inequívoca entre la señal

instrumental y la concentración del analito

Modelos lineales

se pueden aplicar a la mayoría de los problemas

el más sencillo:modelo de la línea recta

y = b0 + b1x

y= variable dependientex= variable independienteb0= ordenada en el origen

b1= pendiente

Modelos lineales

una dependencia cuadrática de una variable también se puede representar por un modelo lineal:

y = b0 + b1x + b2x2

todos los parámetros se pueden estimar por métodos de álgebra lineal

Modelo de la línea recta

para asegurar la calidad de la calibración se combinan distintas características:

sensibilidad del método analítico: corresponde a la pendiente de la curva de calibración

b1 =∆ y∆ x

Modelo de la línea recta

para asegurar la calidad de la calibración:

rango dinámico: rango válido de la dependencia lineal entre la señal y la concentración

rango de trabajo: intervalo entre la menor y la mayor concentración para la cual se realizaron mediciones precisas que permiten evaluar errores sistemáticos y aleatorios

Modelo de la línea recta

límite de detección: describe la mínima concentración que puede ser determinada por el método (señal distinta de la señal del blanco)

se calcula a partir de la media del blanco y la desviación estándar

yLD = yB + 3sB

límite de cuantificación: es la menor concentración de analito que puede ser determinada con suficiente precisión yLc = yB + 10sB

Modelo de la línea recta

límite de detección

límite de decisión

distribución normal de la señal del blanco

Regresión lineal univariada

Ejemplo:

b1 =∆ y∆ x

∆y

∆x

b0

Coeficiente de correlación momento-producto

r (coeficiente de correlación)

describe la bondad de un ajuste lineal

Regresión lineal univariada

Ejemplo:

-1 ≤ r ≤ +1

Coeficiente de correlación momento-producto

r cercano a 1, pero los puntos representan una curva

siempre se deben graficar los puntos experimentales

r = 0

los puntos están correlacionados

no están linealmente correlacionados

Recta de regresión y versus x

se estiman los parámetros b0 y b1 a partir de la regresión lineal de n mediciones de los pares (xi, yi)

b0 = y + b1x

b1 =∑

i{(xi�x)(yi�y )}

∑i

(xi�x )2

x =1n ∑i=1

n

xi

y =1n ∑i=1

n

yi

Errores en la recta de regresión se debe calcular la varianza de los residuales que estima el error aleatorio en la dirección y

se calcula como diferencia entre los valores medidos (y) y los valores ajustados por el modelo (ŷ)

p = 2

n - 2: grados de libertad

(a partir de dos puntos sólo se obtiene una recta)

sy2 =

∑i=1

n

(y i�y )2

n�p

Errores en la recta de regresión

se deben calcular los errores en b0 y b1

desviación estándar de la ordenada en el origen

desviación estándar (error estándar) de la pendiente

sb0

2 =

sy2 ∑

i=1

n

xi2

n∑i=1

n

(xi�x)2

sb1

2 =sy

2

∑i=1

n

(xi�x )2

Cálculo de la concentración

se puede hacer la predicción de un valor de x a partir de un valor de y

x0 =y0�b0

b1

Error en la determinación de la concentración

la desviación estándar de los valores ajustados de concentración se calcula a partir del modelo de la línea recta llevando a cabo m medidas paralelas con una muestra

s0 =sy

b1 √ 1m

+1n+

( y0�y)2

b12∑

i=1

n

(xi�x )2

Método de las adiciones estándar

cuando se realiza una recta de calibración con soluciones puras no se considera el efecto de matriz

aumento o disminución de la señal debido a la presencia de otros componentes de la solución a estudiar

una solución es agregar a la curva de calibración la propia muestra a estudiar

método de la adición de patrones (estándares)

Método de las adiciones estándar

es un método de extrapolación

Aplicaciones de las rectas de regresión

comparación de métodos analíticos

Comparación de métodos analíticos empleando rectas de regresión

suposiciones en el cálculo de la recta de regresión y versus x:

los errores de los valores de x son despreciables

datos homoscedásticos: los errores en y son constantes

en muchos análisis los datos son heteroscedásticos: la desviación estándar de los valores de y aumenta con la concentración del analito

Rectas de regresión ponderadas

se deben utilizar cuando se sospecha que los datos son heteroscedásticos

Generalización del modelo de la línea recta

el modelo de regresión lineal se puede escribir en notación matricial:

y1 1 x1

y2 1 x2 b0

. = . b1

. .y3 1 x3

y = 1 b0

+ b1 x

Generalización del modelo de la línea recta

el modelo de regresión lineal se puede escribir en notación matricial:

y = Xb

número de filas del vector de la variable dependiente y y de la matriz de variables independientes X= número de medidas nlos parámetros del vector b (consiste en este caso de solo 2 elementos) se estiman a partir de la inversa:

b = (XT X)-1 XT y

Exactitud de un método analítico

procedimiento:preparar una serie de patrones de concentración conocida, incluyendo réplicas, n =3medir las respuestas estimar la concentración a partir de cada respuesta (yij)promediar los valores para cada nivel (yi)calcular la desviación estándar:

syi

2 =∑j=1

n

(yi j�y i)2

n�1

Exactitud de métodos analíticos

procedimiento:

se realiza una regresión lineal de los promedios en función de las concentraciones nominales (x) de cada nivel q

suposiciones: el ruido instrumental es constante a lo largo del rango de calibraciónla varianza de la variable y es prácticamente constante (homoscedástica)

Análisis de residuos en regresión lineal

residuos homocesdásticos

residuos heteroscedásticos

Exactitud de métodos analíticos

Región de confianza:caso homoscedástico

tradicionalmente: teniendo valores ajustados de b0 y b1 (y sus desviaciones estándar): verificar si sus valores ideales (0 y 1) están contenidos dentro de los correspondientes intervalos de confianza para la pendiente y ordenada al origen ajustadas

problema: b0 y b1 son variables con cierto grado de correlación

Exactitud de métodos analíticos

prueba estadística correcta consiste en investigar si el punto (1,0) está contenido en la región elíptica de confianza conjunta de la pendiente y la ordenada al origen (EJCR, elliptical joint confidence region)

EJCR descripta por la siguiente ecuación:

q(β�b1)2 + 2(α�b0)(β�b1)∑

i=1

q

xi + (α�b0)2 ∑

i=1

q

x i2 = 2s y / x

2 F2,q�2

Región de confianza:caso homoscedástico

Prueba de homoscedasticidad

punto ideal (1,0)

método:

exacto inexacto

Prueba de homoscedasticidad

tipos de elipses:

exacta y precisa

exacta e imprecisa

inexacta e imprecisa

inexacta y precisa

punto ideal

Calibración clásica

generalmente y (intensidad espectroscópica o altura de un pico cromatográfico) se relaciona con x (concentración).

muchos revierten esta conversión:variable y: concentración ► bloque cvariable x: espectros ► bloque x

x= b0 + b1c (regresión clásica)

desventajas: implica obtener un modelo de x a partir de cmayor fuente de error en preparación de muestras

Calibración clásica

Asume que todos los errores en el bloque x

Calibración inversa

alternativa: asumir que los errores están el el bloque c, dando una ecuación de la forma:

Calibración inversa

si los datos de calibración se comportan adecuadamente y no hay datos atípicos:

ambas formas de calibración deben ser similares

Regresión ponderada (weighted regression)

empleada si los datos son heteroscedásticos

el ajuste empleado suele depender del criterio del analista:

si el error relativo es constante, los pesos o ponderaciones (wi) se pueden calcular como:

wi = 1/xi

si las varianzas cambian con los puntos xi:

wi = 1

s y i

2

Regresión ponderada (weighted regression)

la ordenada en el origen y la pendiente se calculan minimizando la siguiente suma ponderada de cuadrados (SC):

Regresión robusta (robust regression)

se basa en la iteración de las ponderaciones w de las observaciones

se comienza con una regresión convencional y se determinan los residuos y ponderaciones

se continua hasta que los parámetros cambien solamente por una cantidad pequeña previamente definida