Modelado de Sistemas dinámicos

Universidad Santo Tomás de Aquino. Velandia C. Cristian C., Nieto C. Johann A., Madero Z. Sandra M., Informe de

laboratorio N° 1

1

Resumen—A partir de las herramientas de matemática

simbólica que ofrece MatLab obtener el modelo y la función

de transferencia de diferentes sistemas físicos tales como

mecánicos y eléctricos; determinando por medio de la

simulación la respuesta en el tiempo analizando su estabilidad.

Índice de Términos— Función de Transferencia –

Matemática Simbólica - MatLab – Modelado de Sistemas

Físicos.

Abstract— From symbolic mathematical tools that MatLab

provides the model and obtain the transfer function of

different physical systems such as mechanical and electrical;

determining by simulation the analyzing time response

stability.

Index terms— Transfer Function - Symbolic Math - MatLab

- Modeling of Physical Systems.

I. INTRODUCCIÓN

Symbolic Math Toolbox proporciona un conjunto completo de

herramientas para la computación simbólica que aumenta las

capacidades numéricas de MATLAB. La caja de herramientas

incluye una amplia funcionalidad simbólica que se puede

acceder directamente desde la línea de comandos de

MATLAB.

La caja de herramientas también le permite traducir los

resultados simbólicos para su uso con MATLAB, Simulink y

Simscape.

Symbolic Math Toolbox permite realizar cálculos simbólicos

desde la línea de comandos de MATLAB mediante la

definición de expresiones matemáticas simbólicas y operar en

ellos. Las funciones se llaman utilizando la sintaxis MATLAB

familiar y están disponibles para la integración, la

diferenciación, la simplificación, la resolución de ecuaciones,

y otras tareas matemáticas.

II. MATERIALES Y MÉTODOS

1. Software de simulación MatLab.

Los pasos a seguir serán los siguientes:

a. Obtenga la función de transferencia del sistema

mecánico que aparece en la Figura 1.

Figura 1. Sistema Mecánico

Calcule la función de transferencia del circuito

eléctrico de la Figura 2.

Figura 2 Sistema Eléctrico

Demuestre que las funciones de transferencia de los

dos sistemas tienen una forma idéntica y por lo tanto

son sistemas análogos.

b. Halle la respuesta en el tiempo para una entrada

escalón, exprese si el sistema es estable o inestable

analizando la gráfica de salida.

Laboratorio N° 1 MODELADO DE SISTEMAS

Velandia Cardenas, Cristian Camilo., Nieto Camacho, Johann Andrés., Madero Zuluaga, Sandra Milena.

{cristianvelandia, johannnieto, sandramadero}@usantotomas.edu.co

Universidad Santo Tomás de Aquino


laboratorio N° 1

2

c. Considere el sistema mecánico mostrado en la figura

3.

Figura 3. Sistema Mecánico

Obtenga los modelos matemáticos para el sistema,

cuando:

F1 es la entrada y Y2 la salida.



F2 es la entrada y Y1 la salida

Encuentre la respuesta escalón de uno de los modelos

obtenidos cuando K1=K2=10, B1=5 y K3=20.

Adjunte una de las equivalencias eléctricas del

sistema de la figura 3.

III. RESULTADOS

Las ecuaciones que modelan el sistema mecánico de la figura

1 son:

𝑭 = 𝑭𝒃𝟏 + 𝑭𝒌𝟏

𝐹 = 𝑏1(𝑥𝑖̇ − 𝑥0̇) + 𝑘1(𝑥𝑖 − 𝑥0)

𝑭𝒃𝟐 = 𝑭𝒃𝟏 + 𝑭𝒌𝟏

𝑏2(𝑥0̇ − �̇�) = 𝑏1(𝑥𝑖̇ − 𝑥0̇) + 𝑘1(𝑥𝑖 − 𝑥0)

𝑭𝒃𝟐 = 𝑭𝒌𝟐

𝑏2(𝑥0̇ − �̇�) = 𝑘2𝑦

Se ingresan las ecuaciones anteriormente descritas a Matlab

obteniendo las siguientes funciones de transferencia:

Donde xy es el desplazamiento 1 y Y es la salida:

𝑥𝑦

𝑌= 1

Figura 4. Respuesta escalón función de transferencia xy/Y

Donde x0 es el desplazamiento 2 y Y es la salida:

Figura 5. Respuesta escalón función de transferencia x0/Y

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2Respuesta al escalón de y/Y

Time (seconds)A

mplit

ud

0 5 10 15 20 25 30 35 400

5

10

15

20

25

30

35

40

45Respuesta al escalón de x0/Y

Time (seconds)

Am

plit

ud


laboratorio N° 1

3

Donde xi es el desplazamiento 3 y Y es la salida:

Figura 6. Respuesta escalón función de transferencia xi/Y

Evaluando con 𝑏1 = 𝑘1 = 𝑏2 = 𝑘2 = 1 se obtiene:

X0/Y xy/Y xi/Y

Las ecuaciones que modelan el sistema eléctrico de la figura 2

son:

𝑽 = 𝑽𝑪𝟐 + 𝑽𝑹𝟏 + 𝑽𝑪𝟏

𝑉 =1

𝐶2𝑆(𝐼1 − 𝐼2) + 𝑅1 ∗ 𝐼1 +

1

𝐶1𝑆∗ 𝐼1

𝑽𝑪𝟐 = 𝑽𝑹𝟐

1

𝐶2𝑆(𝐼1 − 𝐼2) = 𝑅2(𝐼1 − 𝐼2)

𝑽𝟎 = 𝑽𝑹𝟏 + 𝑽𝑪𝟏

𝑉0 = 𝑅1 ∗ 𝐼1 +1

𝐶1𝑆∗ 𝐼1


obteniendo las siguientes funciones de transferencia:

Función de transferencia i1/V:

Figura 7. Respuesta escalón función de transferencia i1/V

Función de transferencia i2/V:

Figura 8. Respuesta escalón función de transferencia i2/V

0 50 100 150 200 250 300 350 4000

50

100

150

200

250

300

350

400

450Respuesta al escalón de xi/Y

Time (seconds)

Am

plit

ud

0 50 100 150 200 250 300 350 4000

50

100

150

200

250

300

350

400

450Respuesta al escalón de i1/V

Time (seconds)

Am

plit

ud

0 5 10 15 20 25 30 35 400

5

10

15

20

25

30

35

40

45Respuesta al escalón de i2/V

Time (seconds)

Am

plit

ud


laboratorio N° 1

4

Función de transferencia V0/V:

Figura 9. Respuesta escalón función de transferencia V0/V

Evaluando con 𝐶1 = 𝑅1 = 𝐶2 = 𝑅2 = 1 se obtiene:

Las ecuaciones que modelan el sistema mecánico de la figura

3 son:

𝐹1 = 𝐹𝑀1 + 𝐹𝑏1 + 𝐹𝑘1 + 𝐹𝑘2

𝐹1 = 𝑀1𝑦1̈ + 𝑏1𝑦1̇ + 𝑘1𝑦1 + 𝑘2(𝑦2 − 𝑦1)

𝐹2 = 𝐹𝑀2 + 𝐹𝑘2 + 𝐹𝑘3

𝐹2 = 𝑀2𝑦2̈ + 𝑘2(𝑦2 − 𝑦1) + 𝑘3𝑦2


para su despeje y se obtienen las siguientes funciones de

transferencia eliminando la fuerza 2 es decir 𝐹2 = 0.

Función de transferencia y1/F1:

Función de transferencia y2/F1:

Evaluando con 𝑘2 = 𝑘1 = 10 𝑀2 = 10 𝑀1 = 5 𝑏1 = 5 𝑘3 =20 se obtiene:

Figura 10. Respuesta escalón función de transferencia y1/F1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2Respuesta al escalón de V0/V

Time (seconds)

Am

plit

ud

0 5 10 15 20 25 30 35 40-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08Respuesta al escalón de y1/F1

Time (seconds)

Am

plit

ud


laboratorio N° 1

5

Figura 11 Respuesta escalón función de transferencia y2/F1

Se procede a calcular la función de transferencia teniendo en

cuenta 𝐹1 = 0 y se deja la fuerza 2 para ser analizada lo cual

da como resultado:

Se procede a encontrar una de las equivalencias eléctricas del

sistema mecánico de la figura 3:

Figura 12. Equivalencia eléctrica sistema mecánico figura 3

IV. ANÁLISIS DE RESULTADOS

Se comprobó que el sistema mecánico de la figura 1 y el

sistema eléctrico de la figura 2 son análogos ya que pueden

representarse mediante el mismo modelo matemático aun

cuando físicamente son distintos. Al analizar las gráficas de

salida se puede determinar que los sistemas son inestables.

En el caso del sistema mecánico de la Figura 3, la respuesta en

el tiempo es estable. Al tomar la salida y1 el sistema se

estabilizara en 0 y tomando la salida y2 el sistema se

estabilizara en 0.1.

V. CONCLUSIONES

A partir del desarrollo de este laboratorio pudimos encontrar

las ventajas que nos ofrece Matlab con la herramienta

matemática simbólica ya que podemos encontrar respuesta

ágil a sistemas de control analizando el comportamiento del

sistema a partir de las ecuaciones que representen el sistema

por más complejas que estás sean.

Por otro lado el conocimiento de la función de transferencia

permite el estudio de la respuesta del sistema a diversas

formas de entrada, sin embargo no brinda ninguna

información respecto a la estructura física del sistema.

Sistemas físicamente distintos pueden tener la misma función

de transferencia.

REFERENCIAS

[1] Ogata K. Ingeniería de Control Moderna. 3ª. Ed. Prentice

Hall.

[2] Dorf, C., Bishop, H., Modern Control Systems. Addison-

Wesley. Séptima Edición, 1995.

0 5 10 15 20 25 30 350

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12Respuesta al escalón de y2/F1

Time (seconds)

Am

plit

ud

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Modelado de Sistemas dinámicos