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MODELAGEM MATEMÁTICA COMO ESTRATÉGIA DE ENSINO NO ESTUDO DE FUNÇÕES NO 9º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL
Autora: Profa Ms Rosni Troyner1
Orientadora: Profa. Dra. Mary Ângela Teixeira Brandalise2
RESUMO
O presente artigo apresenta os resultados da aplicação do projeto de intervenção pedagógica, que faz parte Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE, do Paraná. O trabalho desenvolvido na escola, optou pela modelagem matemática como metodologia para o ensino e aprendizagem dos conceitos matemáticos. Objetivou: a) identificar situações cotidianas que poderiam ser modeladas aplicando o conceito matemático de funções; b) utilizar a modelagem matemática no estudo das funções, afim e quadrática; c) criar seqüências de ensino para o estudo de funções a partir de situações reais; d) relacionar os resultados das situações de ensino estudadas com outros conteúdos da matemática ou outras áreas do conhecimento. O desenvolvimento do projeto se deu a partir da construção de uma unidade didática, com diversas situações de ensino. O trabalho desenvolvido está fundamentado nas Diretrizes Curriculares do Estado do Paraná, nos Parâmetros Curriculares Nacionais e estudiosos brasileiros de modelagem matemática. A implantação da intervenção pedagógica foi realizada na Escola Estadual Medalha Milagrosa- situada no município de Ponta Grossa – PR. O uso da modelagem matemática como metodologia para o ensino e aprendizagem de Matemática no desenvolvimento do projeto permitiu aos alunos vivenciarem as situações problemas descritas nas sequências de ensino da unidade didática e relacionar com situações do seu cotidiano. Os conteúdos matemáticos estudados na pesquisa permitiram interpretar os dados coletados e criar um modelo matemático para expressá-los. Fez com que os alunos se familiarizassem com o significado de função e comprendessem os conceitos matemáticos de função do primeiro e segundo graus, e suas aplicações.
Palavras-chave: Funções, Modelagem Matemática, Educação Matemática.
1 Professora de Matemática e Ciências Biológicas da Rede Pública do Estado do Paraná, especialista em Ciências Biológicas na área de reprodução humana, Mestre em Educação na área de Formação de Professores. Atua na Escola estadual Medalha Milagrosa e no Instituto de Educação Profº Cesar Prieto Martinez. Profª efetiva da FAFIT – Faculdades Integradas de Itararé e FASF- Faculdade Sagrada Família.
2 Profa. Dra. Mary Ângela Teixeira Brandalise, Universidade Estadual de Ponta Grossa, Departamento de Matemática e Estatística.Professora do Programa de Pós-Graduação em Educação da UEPG.
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1 INTRODUÇÃO
A matemática apresenta-se como disciplina obrigatória em todos os níveis da
Educação Básica da Educação Infantil ao Ensino Médio, porque ela é considerada
fundamental para a formação humana e profissional dos cidadãos.
Nas orientações curriculares nacionais para a área da Matemática é evidente
a preocupação em relacionar o ensino de matemática com a vida cotidiana, daí a
necessidade de abordagem dos conteúdos propostos na direção de uma formação
mais ampla do estudante, como indicam os Parâmetros Curriculares Nacionais e as
Diretrizes Curriculares para o Ensino da matemática do Estado do Paraná.
Entretanto, apesar do reconhecimento de sua importância para a formação
dos estudantes, o ensino de matemática em qualquer um dos níveis de
escolarização vem, há décadas, apresentando problemas, sendo responsável por
muitas das dificuldades enfrentadas pelos alunos em suas atividades curriculares.
Observando a realidade escolar, como professora de matemática no ensino
fundamental, foi possível perceber as dificuldades de muitos alunos na compreensão
de conceitos matemáticos e da sua aplicabilidade em situações reais da vida
cotidiana. Destaca-se entre eles o estudo de funções, especificamente a ideia
intuitiva de funções, função linear e a função quadrática, proposto para o nono ano
(9º) do Ensino fundamental, objeto da pesquisa que originou este artigo.
Geralmente o conteúdo matemático de função é apresentado pelos docentes
numa perspectiva de ensino tradicional, de forma mecânica e repetitiva a partir de
problemas e situações descontextualizadas, e, ao mesmo tempo com muitos
exercícios de fixação não relacionados às situações reais, somente com exemplos
oriundos do livros didáticos já experimentados. Nessa perspectiva, o aluno acaba se
desmotivando devido ao vazio de compreensão dos conceitos que a ele se
apresentam, pois o conteúdo torna-se finalidade em si mesmo, e não instrumento
capaz de facilitar o desenvolvimento do raciocínio matemático e tornar a
aprendizagem significativa.
A partir dessas constatações é que originou-se a proposta de trabalhar o
conteúdo matemático de funções que inicia no 9º ano do Ensino Fundamental com
função afim e a função quadrática, os quais se constituem pré-requisitos para as
séries iniciais do Ensino Médio, com a elaboração de uma unidade didática, que faz
parte do projeto de intervenção pedagógica na escola do PDE.
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De acordo com as Diretrizes Curriculares da Educação Básica do Estado do
Paraná (PARANÁ, 2008, p.59), as funções estão presentes de diferentes formas e
em todas as áreas do conhecimento. Tais situações se modeladas matematicamente
podem ser resolvidas e auxiliar o homem em suas atividades do dia a dia. Dessa
forma é necessário estabelecer uma metodologia de ensino adequada para análise
dessas situações, e que identifique os diversos conceitos contidos nos conteúdos
matemáticos que envolvem a aprendizagem de funções. Cada conteúdo matemático
está impregnado de conceitos básicos e quando articulados com novas definições
que se pretende estudar, possibilitam a construção de novos conhecimentos.
Para o desenvolvimento da intervenção pedagógica na escola, optou-se pela
modelagem matemática como estratégia metodológica, pois ela apresenta condições
de inovação e criação, procurando trabalhar o conteúdo unido à realidade do aluno a
partir da construção de modelos matemáticos, ou seja, a matemática e a realidade
podem ser conectadas por meio da modelagem. Essa vinculação pode ser feita
mediante o uso dos processos matemáticos conhecidos, com a finalidade de
estudar, analisar, explicar e prever situações da vida cotidiana que nos cercam.
A preocupação inicial para a criação da proposta de intervenção pedagógica
foi à escolha de um tema. Bienbengut e Hein (2005 p.19), defendem que para
desenvolver um conteúdo programado, neste caso específico o de funções, é
necessário a utilização de um tema para ser transformado em modelo matemático, o
qual possibilite: incentivar o aluno a pesquisar; promover a sua habilidade em
resolver problemas; inseri-lo em temas de interesse; aplicar os conteúdos
matemáticos em situações cotidianas; e, por fim, propiciar o desenvolvimento de sua
criatividade. Como a modelagem matemática desenvolve a capacidade de ler,
interpretar, compreender, prever e simular situações, o tema escolhido em estudo é
orindo de investigações feitas com os próprios alunos do 9º ano do Ensino
Fundamental.
Determinado a temática para estudo, foi elencado os objetivos que são:
a) identificar situações que possam ser modeladas aplicando o conceito
matemático de funções;
b) utilizar a modelagem matemática no estudo das funções, afim e
quadrática, no Ensino Fundamentalutilizar a modelagem matemática no
estudo das funções, afim e quadrática, no Ensino Fundamental;
d) criar seqüências de ensino para o estudo de funções a partir de situações
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reais;
e) relacionar os resultados das situações de ensino estudadas com outros
conteúdos da matemática ou outras áreas do conhecimento.
Delineados os objetivos para o desenvolvimento da intervenção pedagógica
na escola partiu-se para a sua implantação, realizada na Escola Estadual Medalha
Milagrosa - Ensino Fundamental, situada no município de Ponta Grossa – PR, na
região central da cidade, com aproximadamente 652 alunos matriculados nos
períodos matutino e vespertino.
Os alunos participantes do grupo de estudos para a aplicação da proposta de
intervenção pedagógica foram selecionados da seguinte forma: uma visita da
pesquisadora nas turmas de 9º ano ofertadas no turno matutino, convidando-os a
participarem do grupo de estudos no contraturno; além do convite verbal foi entregue
para cada aluno uma carta, relatando o propósito do trabalho e também a solicitação
de uma autorização dos pais à participação dos estudantes, atendendo assim as
normas da escola e de ética na pesquisa. Dos 70 (setenta) alunos matriculados no
9º ano, aceitaram participar 35 ( trinta e cinco), porém, por motivos de espaço físico
havia somente 18 (dezoito) vagas. Por esta razão optou-se pela realização de um
sorteio aleatório para composição dos elementos do grupo de estudos. Os alunos do
9º ano selecionados ingressaram na escola no 6º ano do Ensino Fundamental,
oriundos das Escolas Municipais de Ponta Grossa, sendo que a maioria pertencente
a classe média, com bom desenpenho escolar e que demonstram grande interesse
pelas atividades diversificadas da escola.
Os pais dos alunos selecionados foram convidados para uma reunião na
escola na qual lhes foi apresentado os objetivos e a metodologia do projeto de
intervenção pedagógica proposto, além de definidos alguns procedimentos e normas
para a participação e permanência dos alunos no grupo de estudos.
2 Modelagem Matemática no Ensino da Matemática: fundamentação téorica
A educação tem um papel fundamental no desenvolvimento das sociedades e
das pessoas, principalmente neste milênio, que requer a construção de uma escola
voltada para a cidadania. Entende-se que a escola, hoje, deve ir além de garantir
que os alunos aprendam a ler, a escrever e a contar. Ela deve ser um espaço que
permite pensar, aprender e agir para enfrentar e resolver problemas que se colocam
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diante das mudanças que ocorrem fora e dentrodela . Reforçando a idéia, as
Diretrizes Curriculares da Educação Básica do Estado do Paraná (PARANÁ, 2008,
p.21), afirmam que “entende-se a escola como o espaço de confronto e diálogo entre
os conhecimentos sistematizados e os conhecimentos do cotidiano popular”.
Consideramos que a finalidade do ensino é contribuir para a formação integral das
pessoas para que sejam capazes de compreender a sociedade e intervir nela com o
objetivo de melhorá-la.
A matemática contribui para a formação do cidadão, pois possibilita a
compreensão do mundo que o rodeia, uma vez que o conhecimento matemático
permeia muitas linguagens e práticas cotidianas. A educação matemática envolve as
múltiplas relações e determinações entre ensino, aprendizagem e conhecimento
matemático. Para o estudo dos conteúdos matemáticos na perspectiva proposta pela
Educação Matemática existem as tendências da educação matemática: história da
matemática, jogos matemáticos, etnomatemática, resolução de problemas mídia
tecnológicas e modelagem matemática. Neste trabalho a modelagem matemática foi
a metodologia norteadora do processo investigativo.
A modelagem é estudada e defendida por diversos autores. Biembengut
(1996, p. 1-14), afirma que a modelagem “é um processo que emerge da própria
razão e participa da nossa vida como forma de constituição e de expressão do
conhecimento”. Então, a modelagem pode ser expressa posterior a sentimentos
internos das observações e situações do cotidiano.
Já Bassanezi (1994, p. 57-61), tem a modelagem como uma arte a ser
desenvolvida transformando os problemas da vida real em problemas matemáticos
com a condição de resolvê-los e interpretá-los dentro das expectativas do mundo
real. O autor enfatiza a importância dos conhecimentos prévios do aluno que podem
ser valorizados e integrados a compreenssão dos conteúdos matemáticos Bassanezi
(2002, p. 24), também afirma que a modelagem só se torna eficiente a partir do
momento que temos consciência que ela é trabalhada com a aproximação da
realidade, isto é, que estamos elaborando sobre representações de um sistema ou
parte dele.
Na mesma linha de pensamento D' AMBRÓSIO, argumenta:
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O indivíduo é parte integrante e ao mesmo tempo, observador da realidade. Sendo que ele recebe informações sobre determinada situação e busca através da reflexão a representação dessa situação em grau de complexidade. Para se chegar ao modelo é necessário que o indivíduo faca uma análise global da realidade na qual tem sua ação, onde define estratégias para criar o mesmo, sendo esse processo caracterizado de modelagem. (D'AMBRÓSIO, 1986, p. 65).
A partir das posições epistemológicas desses estudiosos, é possível entender
a concepção de modelagem de duas formas:
a) como metodologia para o processo ensino e aprendizagem;
b) ferramenta para resolução de problemas.
O trabalho desenvolvido na escola ,que originou este artigo, fundamentou-se
na modelagem como metodologia para o ensino e aprendizagem da matemática.
Cabe ressaltar que as demais tendências da educação matemática foram integradas
a modelagem, o que poderá ser verificado nas sequências de ensino propostas.
Esse procedimento vem ao encontro das Diretrizes Curriculares da Educação
Básica do Estado do Paraná que explicitam “a abordagem dos conteúdos
específicos podem transitar por todas as tendências da educação matemática”.
(PARANÁ, 2008, p.68).
Na utilização da modelagem matemática no estudo das funções, o aluno
resolve os problemas propostos, articulando-os com situações reais. Portanto, a
modelagem a partir de situações envolvendo dados coletados pelo aluno torna-se
um desafio para o mesmo, pois ele buscará esses dados no ambiente em que vive.
Nessa direção, BARBOSA (2002, p. 06), coloca a modelagem como ambiente de
aprendizagem no qual a articulação da investigação com outras áreas do
conhecimento se dá naturalmente.
Pensando dessa forma como seria o ensino da matemática?
De acordo com D'Ambrósio (1989, p.2), existem diversas linhas e propostas
de trabalho enfatizando como ensinar matemática. A autora argumenta que o aluno
deve ser o centro do processo educacional, um ser ativo no processo de construção
do conhecimento, já o professor tem o papel de orientador e mediador das
atividades propostas aos alunos e por eles realizadas. Observa-se que a proposta
parte do princípio que o aluno é interprete do mundo e de suas experiências e essas
interpretações acontecem inclusive quando se trata de um fenômeno matemático
caracterizando o verdadeiro “saber matemático”.
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Bassanezi (2002, p.174) afirma que “um modelo matemático é um conjunto
consistente de equações ou estruturas matemáticas, elaborado para corresponder a
algum fenômeno – este pode ser físico, biológico, social ou psicológico”.
O autor defende que a modelagem matemática pode ser aplicada em diversos
conteúdos matemáticos, no caso específico desta pesquisa o conteúdo funções. A
idéia que se tem atualmente de funções está relacionada diretamente a teoria dos
conjuntos, desenvolvida a partir do século XX. Quando se relacionam grandezas
variáveis surge o conceito de função que é muito utilizado nas diversas áreas do
conhecimento. De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais o estudo das
funções “Permite ao aluno adquirir a linguagem algébrica como a linguagem das
ciências, necessária para expressar a relação entre grandezas e modelar situações-
problema, construindo modelos descritivos de fenômenos e permitindo várias
conexões dentro e fora da própria matemática“. (BRASIL, 1998, p.121).
A matemática tem como objetivo compreender a realidade por meio do
conhecimento, utilizando-se de instrumentos que permitam a interpretação, a criação
de significados, o desenvolvimento de raciocínio lógico para a resolução de
problemas, aproximando o aluno da realidade, contextualizando as informações
recebidas com os conteúdos propostos no currículo escolar para que o mesmo tenha
condições de participar no meio em que vive e nele interferir. A matemática, nessa
perspectiva, deve assumir um compromisso educacional e social com a formação
do aluno e sua inserção na sociedade.
Na intervenção pedagógica realizada na escola o estudo de funções foi
desenvolvido por meio de uma unidade didática, contendo diversas ssituações de
ensino que são atividades conduzidas pelo professor, em etapas propostas em
conjunto com os alunos, caracterizando-se por diferentes formas de apresentação
do conteúdo. Para a elaboração das situações de ensino foram definidos os
seguintes conteúdos:
• Noção intuitiva de função
• Conceito de função
• Formação de uma função
• Aplicação da lei de formação de uma função
• Função afim
• Função Polinomial do 2º grau (quadrática)
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A partir da definição dos conteúdos foram elaboradas as situações de ensino,
as quais serão discutidas na sequência.
SITUAÇÃO DE ENSINO 1 – Introdução ao estudo das funções
O objetivo desta situação de ensino foi possibilitar ao aluno a compreensão
da idéia intuitiva de funções e estabelecer dependências entre variáveis. Nela foram
propostas duas atividades:
Atividade 1 - Conceituando Funções:Inicialmente foi mostrado a imagem de paraquedistas, utilizando o
multimídias.
Imagem 1 - ParaquedistasFonte: http://www.google.com.br/images
Questionado aos alunos se eles já tinham visto uma apresentação de
paraquedismo e quais foram as impressões e sensações com a experiência, os
comentários foram diversos incluindo o momento do salto, a velocidade do
paraquedista, o tempo de duração do salto, os equipamentos e as normas de
segurança.
No diálogo com os estudantes procurou-se estabelecer relações entre os
comentários e foi observado que na linguagem comum, eles relacionaram
velocidade e tempo, e, ainda, explicaram como seria uma salto com paraquedas e
outro sem paraquedas. Complementando essa etapa de estudo foi distribuído um
texto, para leitura e reflexão e uma possível associação com a imagem mostrada, no
qual está explicitado os vários fatores que influenciam a velocidade do paraquedista.
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No texto há a relação da velocidade com os conceitos de queda livre, ação da
gravidade, tempo e resistência do ar.
Neste momento vários alunos compreenderam a intenção da imagem
apresentada e do texto estudado, quando questionados a respeito do que é ação da
gravidade e quando um corpo está queda livre, tiveram condições de responder
sem grandes dificuldades.
Em seguida foram feitos outros questionamentos: é possível afirmar que a
velocidade do paraquedista depende do tempo? Em caso afirmativo explique. Na
explicações os alunos afirmaram que sim, também relataram outras situações do
cotidiano que uma coisa depende da outra, foi refletido se o termo depende poderia
ser substituído por outro sem prejudicar o sentido da frase e após diversas
substituições chegou a palavra função, explicado pela professora que a velocidade
do salto esta em função do tempo, e se o tempo aumentar ou diminuir, a velocidade
também vai variar.
Finalizando a atividade com os alunos os comentários, exemplos e reflexões
desencadeados possibilitaram a compreensão da idéia de funções como intuitiva,
ainda não relacionada com dados e cálculos matemáticos.
Atividade 2 – Ampliando o conceito de funções e suas representações
Esta atividade foi iniciada com a leitura de um texto, que fala sobre a prática
de corrida, velocidade do corredor, e as vantagens de praticar o esporte. Feita a
leitura os alunos comentaram sobre outros esportes que trazem benefícios a quem
pratica. Relacionando com a atividade 1, também expressaram que a distância
percorrida depende da velocidade do corredor.
Como já haviam compreendido a idéia intuitiva de funções, conseguiram fazer
a associação do conceito ao texto lido. Complementando a discussão com os
estudantes outros exemplos de funções observadas na vida cotidiana foram por
eles citadas.
Em seguida foi apresentada uma situação cotidiana para a análise dos
alunos:
Uma pessoa com 60Kg que pratica corrida com uma velocidade de
9,6km/h gasta aproximadamente, 10kcal por minuto de exercício.
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Ao analisarem o problema os alunos imediatamente o associaram ao texto
lido. Com manifestações verbais, foram aumentando o tempo para verificação da
quantidade de calorias gastas, e anotando em seus cadernos. Foi sugerido que os
valores fossem organizados de forma mais clara e objetiva, surgindo a idéia de
colocar os dados obtidos em uma tabela. A figura 1 ilustra a atividade realizada:
Fig. 1 – tabela 1Fonte: atividade feita pelos alunos
Na mesma atividade referiu-se a tempo e a quantidade de calorias como
grandezas, e percebeu-se que os alunos não tinham conhecimento que tempo e
quantidade de calorias eram grandezas, foi explicado pela professora que se
referiam a grandezas físicas escalares. Para melhor esclarecer foi citado outros
exemplos de grandezas bastante usadas nas diferentes áreas do conhecimento,
como: temperatura, massa, comprimento entre outras. Em seguida questionou-se se
havia relação entre uma grandeza e outra, tempo e quantidade de calorias, e os
mesmos afirmaram que sim, a medida que aumenta o tempo de corrida também
aumenta a quantidade de calorias gastas, concluindo que uma depende da outra.
Foi possível estabelecer o conceito de função de forma simples, é uma grandeza
variável que depende de outras grandezas.
Analisando a situação de ensino 1, percebeu-se que após as explicações, e
revisões necessárias sobre os termos encontrados no texto as relações entre texto e
imagem foram compreendidas e associadas a situações do cotidiano do aluno e os
objetivos propostos para essa situação alcançados.
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SITUAÇÃO DE ENSINO 2 – Lei de formação de uma função
Aplicar a relação de grandezas dependentes e independentes na formação
de uma função e determinar simbolicamente a lei de formação de uma função foram
os objetivos propostos na situação de ensino 2, composta por três atividades, cujo
desenvolvimento está apresentados na sequência.
Atividade 1 - Formando e representando funções algebricamente
Na atividade foram utilizados os dados da tabela da atividade 2 da situação de
ensino 1. Foi proposto aos alunos que representassem utilizando letras os dados
não numéricos da tabela, momento em que houve muitas sugestões por parte deles,
uma vez que já haviam estudado as equações pelo fato de estarem no 9º ano. A
maioria deles disse que poderia ser utilizada as letras x ou y, até que um aluno
sugeriu utilizar a letra “t“ para representar o tempo e após a discussão coletiva a
letra ´Q´ para simbolizar quantidade.
Continuando com a atividade o objetivo era relacionar as variáveis, mas,
surgiram dúvidas quando a professora mencionou a palavra variável, cujo conceito
foi explicado detalhadamente. Os alunos evidenciaram saber o que é uma "equação"
e tentaram fazer analogias para representar a relação entre as variáveis, mas
perceberam que não era a mesma situação e após as explicações exemplificadas
da diferença entre o conceito matemático de equação e de função os alunos
compreenderam a lei de formação e a representação algébrica da função. Alguns
conceitos matemáticos básicos foram revistos nesta etapa, necessários ao
desenvolvimento da atividade proposta e os de variável dependente e independente
foram introduzidos.
Atividade 2 – Formando e apresentando funções por meio de diagrama
Como na atividade 1 os alunos já haviam compreendido a lei de formação de
uma função, na atividade 2 foi apresentado para eles a função y = x2 , para atribuir
valores a x e encontrar os valores para y. Imediatamente alguns alunos sugeriram
colocar em uma tabela como feito anteriomente na atividade 2 da situação de
ensino 1. Surgiram algumas dificuldades, tais como: que valores atribuir? pode -se
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usar números negativos, zero, decimais? Em conjunto com os estudantes foram
testados os valores da forma mencionada e verificado que é possível atribuir aos
mesmos diversos valores no campo dos números reais.
Fig. 2 – tabela 2Fonte: atividade feita pelos alunos
Após o preenchimento da tabela, a mesma passou a ser explorada pela
professora e alunos com indagações sobre o que representava os valores atribuidos
a x e a y, para se encontrar o par ordenado. Houve dificuldades nesse momento,
sendo necessária a revisão de conceitos de conjuntos numéricos repesentados por
conjunto A e conjunto B, atribuindo os valores de x os elementos do conjunto A e y aos elementos do conjunto B, destacando a relação de correspondência entre os
elementos do conjunto A aos do conjunto B, de acordo com a lei de formação da
função y = x2. . Finalmente, formaram-se os pares ordenados, os quais podem ser
representados de diferentes formas sendo uma delas o diagrama de flechas, que foi
explicado pela professora e realizada a representação pelos alunos.
Fig. 3 - Diagrama Fonte: construido pelos alunos, através da definição de função
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Sintetizando os conceitos matemáticos estudados retomou-se com os alunos
as formas de determinação de uma função concluindo-se que pode ser por fórmulas
matemáticas, regras ou Leis de Formação. Campiteli (2006, p. 22), expressa que
esse modo de definição “consiste em apresentar um conjunto de operações de tal
modo que por meio delas, se possa fazer corresponder a cada valor de A um valor
em B”.
Atividade 3 – Gráfico de uma função
A atividade 3 foi realizada como tarefa em pares de alunos. Eles realizaram
pesquisas em jornais, revistas e alguns livros buscando gráficos e tabelas que
representassem situações do dia a dia. Realizado o trabalho as duplas
apresentaram os resultados da pesquisa para a professora e colegas. Na discussão
foi refletido a importância da representação de situações do cotidiano
matematicamente por meio de tabelas e gráficos. Também foram retomadas as
atividades realizadas anteriormente e analisada a possibilidade de representá-las
gráficamente.
Foi sugerido uma nova situação-problema para os alunos, na qual os mesmos
inseriram os dados em uma tabela, fizeram os cálculos e construiram o gráfico no
papel milimetrado, orientados pela professora. Essa atividade despertou grande
interesse nos alunos principalmente na construção de tabelas e gráficos.
Maria Helena costuma abastecer seu carro no posto “Roda Viva”.
Da última vez em que abasteceu, o litro de gasolina custava R$ 2,70.
Fig. 3 – Gráfico 1Fonte: atividade feita pelos alunos
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A análise feita da situação de ensino 2, refere-se a lei de formação de uma
função, os alunos encontram algumas dificuldades, pois, inicia-se o conhecimento de
novos termos que até o momento não haviam visto, porém conseguiram realizar as
atividades propostas e outras complementares reforçando os conhecimentos
adquiridos.
SITUAÇÃO DE ENSINO 3 – Função polinomial do 1º grau
Na situação de ensino 3 os objetivos foram identificar função afim e seus
elementos, representá-las e interpretá-las graficamente. A atividade desta situação
está descrita abaixo
Atividade 1 – Identificando e Representando Função Afim
Foi apresentada aos alunos a situação problema que algumas empresas
prestadoras de serviços oferecem carros para aluguel, determinando um preço diário
mais acrescimo por quilometro rodado.
Carro popular: R$ 60,00 por dia mais R$ 0,60 por quilometro rodado.
Carro de luxo R$ 120,00 por dia mais R$ 1,10 por quilometro rodado.
Foi proposto que os alunos analisassem as possibilidades de expressar os
dados da situação em linguagem matemática. A partir das informações do problema
eles deveriam modelar os dados possibilitando a criação de uma fórmula que
permitisse calcular a quantidade a ser paga pela locação de um carro popular ou de
um carro de luxo, por dia, em função dos quilômetros rodados.
Para a realização da atividade retomou-se o conceito de função e várias
tentativas foram realizadas para expressar a situação problema apresentada. Na
tentativa de criação de um modelo matemático para representá-las os alunos
identificaram a variável dependente e a independente, concluindo que y era a
quantidade a ser paga e x os quilômetros rodados. Foram substituindo os valores e
ao mesmo tempo se deparando com situações desconhecidas, por isso várias
fórmulas foram criadas.
Neste momento foi explicado que a função do tipo estudado na situação
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problema é denominda de função polinomial do 1º Grau ou função afim e que é
expressa matematicamente nas formas:
f(x) = ax + b ou y= ax + b,
Identificadas as variáveis dependentes e independentes passou-se à
construção manual do gráfico para representá-la, no papel milimetrado. Os alunos
substituiram os dados na fórmula criada, utilizando 50 km rodado em um dia,
chegando ao seguinte valor:
preço da diária
↑
Quantidade a ser paga → y = 0,60x + 60 ↑
Preço do quilometro rodado
Para o valor de x = 50, substituindo temos:
y = 0,6. 50 + 60
logo y = 90
O valor a ser pago será de R$ 90,00.
Finalizando a situação de ensino 3 e analisando o comportamento dos alunos
com relação a atividade proposta percebeu-se que houve um avanço na
aprendizagem do conceito de função e suas aplicações, pois a cada conhecimento
novo a ser construído sempre se retomava os conhecimentos prévios necessários.
Como os alunos construíram os gráficos no papel milimetrado com facilidade foram
convidados para ir ao laboratório de informática conhecer o Sofware Geogebra,
chamado Programa Dinâmico para o estudo da Matemática, o qual agrega o estudo
da Geometria, Álgebra e Cálculo. Os alunos foram orientados para utilizá-lo na
construção de gráficos de funções, estratégia metodológica usada para
potencializar a aprendizagem. A atividade desenvolvida com o Software Geogebra
despertou o interesse dos alunos motivando-os à realização das tarefas
propostas. Como afirma Gaudêncio (2000, p.76) os recursos tecnológicos
apresentam vantagens "para o desenvolvimento do conceito de funções seriam,
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além do impacto positivo na motivação dos alunos, sua eficiência como ferramenta
de manipulação simbólica, no traçado de gráficos e como instrumento facilitador nas
tarefas de resolução de problemas.''
Fig. 4 – gráfico 2
Fonte: construido pelos alunos pela definição do geogebra
SITUAÇÃO DE ENSINO 4 – Função polinomial do 2º grau
Os objetivos propostos para esta situação foram: identificar função quadrática
e seus elementos; representar graficamente a função quadrática, analisar e
interpretar gráficos de funções quadráticas.
Atividade 1 – Definindo e representando função polinomial de 2º grau (quadrática)
Para essa atividade a primeira participação dos alunos foi a observação das
construções próximas a escola, casas, edifícos comerciais e residenciais, clube,
igreja, construções históricas e até a construção da própria escola e relatar as
observações feitas ao grupo no retorno a escola. O grupo de alunos deslocou-se
juntamente com a professora até a parte externa da escola, onde foram observadas
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diversas edificações, Cada aluno fez suas anotações, não seguindo orientação
prévia. No relato das anotações os alunos mencionaram altura, espaço ocupado
número de andares, detalhes arquitetónicos entre outros. Neste momento houve a
interação do grupo com o assunto estudado. Em outras reflexões foi discutido o
aproveitamento de pequenos espaços para edificações, mostrando que as
construções arquitetônicas de hoje priorizam a qualidade de vida de seus
moradores. Essa habilidade de arquitetura em racionalizar espaços, substituindo
casas por edifícios é considerada uma valiosa competência matemática.
Percebeu-se que os alunos familiarizaram-se com a pesquisa por eles
realizada, que se tornou o modelo pesquisado. Questionou-se onde os
conhecimentos matemáticos estavam inseridos na pesquisa? Imediatamente, surgiu
a questão do espaço ocupado pela construção, que foi lembrado que seria a área
onde esta localizado as edificações pesquisadas, a forma das mesmas lembraram
figuras geométricas planas, na qual poderia ser calculado a área das edficações.
Retomando o conteúdo de áreas de figuras planas foi explicado pela professora
como calcular área de superfícies retangulares e quadrangulares, e proposto a
seguinte situação:
Para delimitar uma superfície, que deverá ser da forma retangular, dispõem-
se de 60 metros de cerca. Sendo que será aproveitada uma parede de
40 metros. Observe a figura:
Fig. 5- região retangularFonte: construção feita no software geogebra
18
Analisando a situação proposta estableceu-se um intenso diálogo com os
alunos para se chegar ao reconhecimento da situação problema e a possível
resolução. Neste momento foram desencadeados alguns questionamentos: se a
área poderia ser determinada em função das dimensões da superfície? também se
era possível determinar uma fórmula que represente a área da superfície em função
do comprimento e da largura? Os alunos passaram a modelar os dados oferecidos
para criar uma fórmula ou lei de formação que respondesse as questões. Para
facilitar o desenvolvimento a figura foi representada com mais detalhes.
Fig. 6- região retangularFonte: construção feita no software geogebra
Determinando a fórmula (lei de formação) da função, foi questionado com os
alunos se havia semelhança com as fórmulas determinadas nas funções anteriores,
e um aluno mencionou que era do 2º grau. Mencionando que o expoente 2
caracteriza uma equação do 2º grau, neste caso uma função do 2º grau. Após a
manifestação do aluno foi explicado a função polinomial de 2º grau (função
quadrática), em que o maior expoente da variável x é 2, que pela definição da lei de
formação pode ser representada por:
f(x) = ax2+ bx + c ou y = ax2 + bx + c
Atividade 2 – Representando função quadrática por meio de gráfico.
Como já havia sido feita a representação de uma função quadrática, foi
sugerido a função : y = x2 – 4x + 3, para que os mesmos representassem por meio
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de um gráfico. Da mesma forma que já havia sido feito na função polinomial do
1ºgrau os alunos logo reconheceram as variáves, pois neste caso os dados já
estavam modelados, prontos para a resolução. Com os conhecimentos prévios
adquiridos elaboraram a tabela, substituiram os valores em x para a obtenção dos
valores em y. Com os dados tabelados foi esboçado um gráfico que não representou
uma reta como nas funções do 1º grau, pois, os pontos não se encontravam
alinhados, conclui-se que estavam construido um outro tipo de gráfico em forma de
curva que foi explicado denominar-se parábola. Complementou-se a atividade com
exemplos relacionados a outras ciências onde se encontram situações problemas
que podem ser representadas graficamente por meio de uma curva denominada
parábola, como o movimento de uma bola, detalhes arquitetônicos observados nas
construções da atividade 1 da situação de ensino 4, as quais os alunos chamaram
de arcos
Fig. 7 – gráfico 3
fonte: construído pelos alunos através da definição, no geogebra
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Analisando as atividades da situação de ensino 4 percebeu-se que os alunos
mostraram grande interesse, pelas atividades realizadas, principalmente quando a
proposta é uma atividade extraclasse, que dá sentido a aprendizagem, e que permite
concordar com a afirmação de Biembengut e Hein (2005, p. 13), que
“genericamente, pode se dizer que matemática e realidade são dois conjuntos
disjuntos e a modelagem é um meio de fazê-los interagir”.
Atividade 3 - Pesquisa de Campo
Para concluir a intervenção pedagógica proposta foi realizado um trabalho
extraclasse com os alunos: uma visita a três operadoras de telefonia da cidade. As
orientações para a realização da atividade foram: divisão dos 18 alunos em três
grupo de seis, leitura prévia de um texto antes da saída a campo que abordava os
diversos planos de contas oferecidos pelas operadoras de celulares, as suas
vantagens em relação a custos e duração de ligações, para atrair cada vez mais
clientes.
Considerando o conceito de modelagem proposto por BIEMBENGUT (1996),
neste momento da atividade foi feito a interação dos alunos com o tema da
pesquisa, o reconhecimento da situação problema e a familiarização com o assunto,
para posteriormente definir um modleo matemático.
Para organizar a pesquisa as operadoras foram identificadas com as cores
vermelha, verde e azul e cada grupo pesquisou uma operadora, questionando o
custo fixo de dois planos oferecidos, o custo adicional dos planos por minuto e
fizeram a comparação dos planos pesquisados escolhendo um para apresentá-lo a
todos os participante do grupo de estudo. A preocupação inicial de alguns alunos foi
a elaboração da tabela para o preenchimento dos dados. Os grupos ficaram livres
para fazer uma pesquisa bem detalhada sobre o tema informações que foram
utilizados no processo da modelagem matemática
As três operadoras apresentaram diversos planos, mas os grupos optaram
por dois apenas, concsiderando na escolha o interesse pessoal dos alunos do
grupo. Foi dado a oportunidade de o aluno pesquisar a situação problema num
contexto real, o que tornou a aprendizagem mais significativa.
No grupo da operadora vermelha foram escolhidos os planos R$ 0,21
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ilimitado por chamada para todo o Brasil e o fixo mensal de R$ 35,00, mais adicional
de R$ 0,21 por minuto ilimitado. No grupo que representou a operadora azul os
planos pesquisados foram R$ 39,00, mais R$ 0,50 por minuto, e o plano R$ 35,00
mais R$ 0,25 ilimitado. O grupo verde optou pelo plano fixo de R$ 49,00 mensais e
pelo deR$ 36,00 mensais mais R$ 1,21 ilimitado.
Retornando a escola os dados foram organizados, discutidos e analisados
com o objetivo de transformá-los em linguagem matemática, momento este de
modelar matematicamente os dados pesquisados para chegar a fórmulas ou lei de
formação e encontrar a solução da situação problema pesquisada.
Após a análise feita, os planos escolhidos por cada grupo foram tabelados:
Operadoras Custo fixo mensal do plano Custo adicional por minuto em cada plano
Vermelha R$ 35,00 R$ 0,21 por minuto
Azul R$ 35,00 R$ 0,25 ilimitado
Verde R$ 36,00 R$ 1,21 ilimitado
Fig. 8 – Tabela 3Fonte: representanção da pesquisa feita nas operadoras de telefonia
Os grupos representando as operadoras expressaram os seus modelos
matemáticamente criando as seguintes funções:
Operadora vermelha : y = 35 + 0,21x
Operadora azul : C = 35 + 0,25t
Operadora verde: y = 36 + 1,21x
Para averiguar se os alunos haviam comprendido a situação de ensino
proposta foi retomado o conceito de função polinomial do 1º grau, a partir das
funções por eles modeladas.
Como atividade final os alunos fizeram alguns cálculos variando o tempo de
uso e verificaram quanto pagariam no plano escolhido de cada operadora.
Analisando a aplicação da situação de ensino percebe-se que os alunos
desenvolveram a capacidade de pesquisar, observar e interpretar os dados reais
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presentes na vida cotidiana, e transformá-los em situações que podem ser
resolvidas por meio da modelagem matemática.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
É possível afirmar que após descrever e analisar as atividades propostas no
projeto de intervenção pedagógica ´Modelagem matemática como estratégia de
ensino no estudo de funções no 9º ano do ensino fundamental´ os objetivos
inicialmente propostos de: identificação situações que possam ser modeladas
aplicando o conceito matemático de funções e a utilização da modelagem
matemática para a compreensão significativa de funções afins e quadrática foram
plenamente atingidos.
O uso da modelagem matemática como metodologia para o ensino e
aprendizagem de Matemática no desenvolvimento do projeto permitiu ao aluno
vivenciar as situações problemas descritas nas sequências de ensino da unidade
didática e relacionar com situações do seu cotidiano. Os conteúdos matemáticos
estudados na pesquisa permitiram interpretar os dados coletados e criar um
modelo matemático para expressá-los. Fez com que os alunos se familiarizassem
com o significado de função e comprendessem os conceitos matemáticos de função
do primeiro e segundo graus e suas aplicações.
A questão norteadora deste trabalho foi investigar em que medida a
modelagem matemática empregada no estudo de funções no 9º Ano do Ensino
Fundamental pode contribuir para tornar mais significativa a aprendizagem dos
alunos? Ao concluí-lo pode-se afirmar que apesar do pouco tempo dedicado a
realização das atividades o trabalho revelou a modelagem matemática como
Metodologia de ensino e aprendizagem de matemática que fornece aos alunos a
oportunidade de produzir seus próprios dados, investigar, analisar, discutir, criticar,
tornado-os assim coresponsáveis pelo seu proprio aprendizado. Ela também
promove nos alunos a habilidade de tomar a responsabilidade de resolver seus
problemas, preparando-os a vida futura. Dito de outro modo, os alunos estudarão
matemática porque terão interesse em resolver, interpretar, questionar e propor
soluções para os problemas que, de alguma forma lhes dizem respeito.
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REFERÊNCIAS
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BASSANESI, R.C. Modelagem matemática. Dynamus, Blumenau, v. 1, n. 7, p. 55-83, abr./jun. 1994._____________. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática: uma nova estratégia. São Paulo: Contexto, 2002.
BIEMBENGUT, Maria Salett. Modelagem matemática: implicações para o ensino-aprendizagem de matemática. Blumenau: FURB, 1996.
BIEMBENGUT, Maria Salett & HEIN, Nelson. Modelagem matemática no ensino. São Paulo: Contexto, 2005. 127 p.
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CAMPITELI, Heliana Ciocia & CAMPITELI, Vicente Coney. Funções: Ponta Grossa: UEPG, 2006. 129p.
D’AMBRÓSIO, Ubiratan. Da realidade à ação: reflexões sobre educação e matemática. São Paulo: Summus; Campinas: Ed. da Universidade Estadual de Campinas, 1986.
D’AMBROSIO, Beatriz S. Como ensinar matemática hoje? Temas e Debates. SBEM. Ano II. N2. Brasilia. 1989. P. 15-19.
GAUDÊNCIO, R. Um estudo sobre a construção do conceito de função. Natal:Universidade Federal UFRN, 2000. (Tese de Doutorado).
PARANÁ, Secretaria do Estado da Educação. Superintendência de Educação. Departamento de Educação Básica. Diretrizes curriculares da educação básica: matemática. Curitiba: 2008.