Modele de Asteptare Cu S Statii de Servire

8/16/2019 Modele de Asteptare Cu S Statii de Servire

1/7

Modele de aşteptare cu S staţii de servire

Modelele de aşteptare se pot studia f ¼acând analogie cu variaţia volumuluipopulaţiilor biologice care depinde de natalitate (intr¼ari) şi mortalitate (ieşiri).Intensitatea sosirilor k şi ieşirilor k depinde uneori de num¼arul k de clienţiexistenţi deja în sistem. De exemplu, când num¼arul elementelor colectivit¼a̧tiidin care pot proveni clienţii este …nit.Notând cu pk probabilitatea ca în sistem s¼a existe k clienţi se demonstreaz¼a c¼a:

p1 = 0

1:p0; p2 =

01

12 p0;:::;pk =

01:::k1

12::::k p0:

Din condi̧tia1Pk=0

pk = 1; se obţine p0. Dac¼a S 1 =1Pk=1

01:::k112::::k

< 1; atunci

p0 = 1

1 + S 1:

Model de aşteptare cu populaţia din care provin clienţii - …nit¼a

Clienţii provin dintr-o populaţie …nit¼a cu m elemente. Exist¼a S staţii deservire paralele. Dac¼a toate sta̧tiile de servire sunt ocupate, clientul trebuie s¼aaştepte pân¼a ce una din ele se elibereaz¼a. Clienţii sosesc independent unul faţ¼ade altul. Presupunem c¼a ‡uxul sosirilor este Poisson cu parametrul ; duratade servire a unui client este exponenţial¼a de parametru :Ordinea servirii este ordinea intr¼arii în sistem.

Dac¼a în sistem sunt k clienţi, atunci în afara sistemului au r¼amas m k.Intensitatea sosirilor k sau servirilor k depinde de num¼arul k de clienţi exis-tenţi deja în sistem. Modelul este un caz particular al procesului de varia̧tie avolumului populaţiilor biologice în care:

k =

(m k) ; 0 k < m0; k > m:

Dac¼a S = 1 şi durata de servire a unui client este o variabil¼a aleatoare expo-nenţial¼a cu parametrul ; atunci luând

k = ; 1 k m;

putem calcula probabilit¼atile pk (0 k m) ; ca în sistem s¼a existe k clienţi:

pk = 01:::k112:::k

p0 = m(m1):::(mk+1):k

k p0:

Probabilitatea p0 se calculeaz¼a din egalitateamPk=0

pk = 1:

Dac¼a avem S staţii de servire cu 1 < S < m atunci se ia

k =

8<:

k; 1 k < S S; S k m

0; k > m:

1


2/7

În acest caz probabilit¼a̧tile pk; (0 k m) ; ca în sistem s¼a existe k clienţise determin¼a cu formulele

pk =

C km

k p0 pentru 1 k < S k!

S !S kS:C km

k p0 pentru S k m

p0= 1S1P

k=0ckm

k+SS

S!

mP

k=1Akm( S )

k

:

unde =

:

Cu ajutorul acestora se poate calcula num ¼ arul mediu de clienţi din …rul de

aşteptare :

# =mX

k=S +1

(k S ) pk

şi num ¼ arul mediu de clienţi în sistemul de aşteptare :

n =mPk=0

kpk :

De asemenea, num ¼ arul mediu de staţii ocupate :

s0 =S 1Xk=1

kpk + S mX

k=S

pk

ne permite s¼a determin¼am timpul mediu cumulat cât staţiile se a‡¼a f ¼ar¼a între-rupere în serviciu :

tc = 1

s0

2


3/7

şi timpul mediu cumulat de lenevire al sta̧tiilor care este egal cu durata mediecât un client st¼a în afara sistemului, înmulţit¼a cu num¼arul mediu de staţii care

lenevesc:te =

1

(S so) :

Model de aşteptare cu o staţie, sosiri Poisson,

timp de servire exponeņtial, num¼ar limitat de clienţi admişi în

sistem

În sistem nu se admit decât cel mult N clienţi. Un client care g¼aseşte la sosireN clienţi în sistem este respins. Modelul este un caz particular al procesului devariaţie a volumului populaţiilor biologice în care

k = ; k 1

şi

k =

; k = 0; 1;:::;N 10; k N:

Rezult¼a

pk =

k p0; 0 k N 0; k > N;

unde

=

şiN Pk=0

pk = 1 = p0N Pk=0

k = p01N +1

1 )

p0 = 1

1 N +1:

Valoarea medie a num ¼ arului de clienţi din sistem este:

n =N Pk=0

kpk = 1 :

1(N +1)N +NN +1

1N +1 :

Valoarea medie a num ¼ arului de clienţi din …rul de aşteptare este:

# =N Pk=2

(k 1) pk =N Pk=2

kpkN Pk=2

pk = n p1 (1 p0 p1) = n + p0 1 =

= 2

1 :1NN 1+(N 1)N

1N +1 :

3. Capacitatea de reparare a unui atelier cu o sta̧tie de servire este înmedie de 12 transformatoare pe s¼apt¼amân¼a, iar ritmul mediu al sosirilor estede 10 transformatoare s¼apt¼amânal. Atelierul poate depozita simultan cel mult

4 transformatoare. S¼a se determine:1. Probabilitatea ca în atelier s¼a existe k =0,1,...,5 transformatoare;2. Probabilitatea ca un transformator s¼a nu intre imediat în reparaţie;3. Numarul mediu de transformatoare din atelier.Rezolvare:1.

3


4/7

N = 5;k = 12; k 1;

k =

10; k = 0; 1; 2; 3; 40; k 5:

=

= 1012 = 56

p0 = 116 = 0:25

pk =

k p0; 0 k 50; k > 5;

p1 = 0:217; p2 = 0:185; p3 = 0:153; p4 = 0:127; p5 = 0:105:2.

p=1- p0 = 0:75:3.

n =5P

k=0

kpk = 0:p0 + 1:p1 + 2:p2 + 3:p3 + 4: p4 + 5:p5 = 1:85:

Model de aşteptare cu S staţii paralele, sosiri Poisson,

timp de servire exponeņtial, num¼ar limitat de clienţi admişi în

sistem

Clienţii provin dintr-o populaţie in…nit¼a. În sistem nu se admit decât celmult N clienţi. Un client care g¼aseşte la sosire N clienţi în sistem este respins.Presupunem c¼a ‡uxul sosirilor este Poisson cu parametrul ; durata de servirea unui client este exponenţial¼a de parametru :Ordinea servirii este ordinea intr¼arii în sistem. Dac¼a la intrarea în sistem unclient g¼aseşte staţii libere, atunci ocup¼a instantaneu una dintre acestea. Dac¼atoate staţiile sunt ocupate, atunci se aşeaz¼a la coad¼a. Când se elibereaz¼a ostaţie, clientul de la coad¼a care urmeaz¼a, o ocup¼a instantaneu. Modelul esteun caz particular al procesului de varia̧tie a volumului populaţiilor biologice în

care:

k =

; k = 0; 1;:::;N 10; k N:

k =

k; 1 k S

S; S + 1 k N:

Atunci, pentru k S; avem pk =

01:::k112::::k

p0 = k

k!k:p0

şi pentru S + 1 k N; rezult¼a pk =

01:::k11:::ss+1:::k

p0 = k

S !S kSk:p0:

De asemenea pk = 0 pentru k > N:

Probabilitatea p0 se determin¼a din condi̧tiaN Pk=0

pk = 1: Se presupune S


5/7

Durata medie de aşteptare în şir este:tf = # :

Durata medie de timp pe care un client îl petrece în sistem este tf la care seadaug¼a durata medie a unui serviciu adic¼a:

ts = tf + 1

:

Probabilitatea ca un client s ¼ a aştepte este:

p (n S ) =N X

k=S

pk:

4. Într-o bibliotec¼a exist¼a 4 terminale pentru obţinerea de informaţii despre

c¼arţile disponibile. Dac¼a toate terminalele sunt ocupate, cititorul sosit p¼ar¼asȩstesala. Durata medie de ob̧tinere a informaţiei la …ecare terminal este de 2.5 minute. Sosirile sunt Poisson cu 72 cititori pe or¼a în medie.

a) S¼a se determine probabilitatea de a avea k = 0; 1; 2; 3; 4 terminale ocupate;b) Câte terminale ar … necesare astfel încât cel mult 5% dintre cititori s¼a

g¼aseasc¼a toate terminalele ocupate.Rezolvare a) Modelul are S = 4 staţii de servire şi num¼ar limitat de clienţi admişi în

sistem N = 4 unde: = 72 clienţi pe or¼a; = 12;5 clienţi pe minut=24 clienţi pe or¼a;

p0 = 14P

k=0

1k! ()

k= 8131 ;

pk = k

k!k:p0 ; p1 = 24131 ; p2 =

36131 ; p3 =

36131 ;

p4 = 27131 ;

Probabilitatea ca un cititor s¼a g¼aseasc¼a toate terminalele ocupate este p4 =27131 = 0:2061 adic¼a peste 20% dintre clienţi p¼ar¼asesc sala la sosire:

b) Pentru S = 5; p5 = 0:11005;S = 6; p6 = 0:05215;S = 7; p7 = 0:0219 < 0:05:R¼ aspuns : Sunt necesare cel puţin 7 terminale.

5. O companie de închiriat maşini dispune de 6 maşini. Costul întreţinerii(asigurare, defecţiuni, etc.) este de 60 u.m pentru o maşin¼a pe zi. Clieņtiisosesc dup¼a o distribuţie Poisson cu o medie de 5 pe zi. Un client închiriaz¼a

maşina pe o durat¼a exponenţial¼a cu media de 1,5 zile. Închirierea unei maşinicost¼a 110 u.m pe zi. Clienţii care la sosire nu g¼asesc nici o maşin¼a disponibil¼amerg la alt¼a companie.

i) S¼a se determine procentul de clienţi pentru care nu este disponibil¼a nici oma̧sin¼a.

ii) S¼a se determine pro…tul mediu pe zi.

5


6/7

iii) Compania îşi propune s¼a mai cumpere maşini. Câte maşini trebuie s¼acumpere pentru a maximiza pro…tul mediu pe zi?

Rezolvare i) Modelul are S = 6 staţii de servire şi num¼ar limitat de clienţi admişi în

sistem N = 6 unde: = 5 clienţi pe zi; = 11;5 clienţi pe zi=

23 clienţi pe zi

p0 = 16P

k=0

1k! ()

k;

pk = k

k!k:p0 ;

Probabilitatea ca un client s¼a g¼aseasc¼a toate maşinile închiriate este p6 =0; 3615 adic¼a peste 36% dintre clienţi merg la alt¼a companie.

ii) Num ¼ arul mediu de maşini închiriate este:

n =6P

k=0

kpk =6P

k=1

k k

k!k:p0 =

6

Pk=1

k1

(k1)!k1 p0 =

5Pi=0

i

i!i:p0 =

(1 p6) = 4; 7887:Pro…tul mediu pe zi = n:110 6:60 = 166; 7 u:m:iii) Dac¼a compania are S maşini pro…tul mediu pe zi = (1 pS ):110S:60:Pentru S =7 maşini pro…tul mediu pe zi este 174; 7 u:m . Pentru S =8,

pro…tul mediu pe zi este 173; 8 u:m, iar pentru S =9 maşini pro…tul mediu pezi este 163; 4 u:m:

R¼ aspuns : Este necesar¼a înc¼a o maşin¼a pentru a obţine cel mai mare pro…tmediu pe zi.

6. Serviciu proporţional cu num¼arul clienţilor

Num¼arul mediu al clieņtilor care sosesc într-un sistem este de 20 pe or¼a.Timpul mediu de servire al unui client este de 6 minute. Sosirile sunt de tipPoisson şi serviciile de tip exponenţial.

10. Câte staţii de servire sunt necesare pentru evitarea aglomer¼arii în sistem?20: Se studiaz¼a punerea unui serviciu proporţional cu num¼arul clienţilor.

Care este probabilitatea pk de a avea k clienţi în sistem?30: Num¼arul de staţii care execut¼a serviciul proporţional cu num¼arul clienţilor

este limitat la 4. Care este probabilitatea ca s¼a …e nevoie de suplimentarea cuînc¼a o sta̧tie de servire pe lâng¼a cele patru?

Rezolvare 10. Avem = 20; 1

= 110 ore deci = 10:

Este necesar S < 1 adic¼a S > 2. Deci pentru evitarea aglomeraţiei în sistemsunt necesare cel puţin dou¼a staţii.

20. Modelul este un caz particular al procesului de varia̧tie a volumuluipopulaţiilor biologice în care:

k = ; k = 0; 1; 2;:::

6


7/7

k = k; k 1:

Rezult¼a; pk =

1k!

k p0

unde p0 se obţine din relaţia1Pk=0

pk = 1; deci

p0 + p01Pk=1

()k

k! = 1 ) p0 + p0

e 1

= 1 ) p0 = e

şi

pk =

ke

k! :

Pentru

= 2 se obţine pk = 1k!2ke2 = 0; 1352k

k!

30:1Pk=5

pk = 1 p0 p1 p2 p3 p4 = 0; 055:

7

Documents

Modele de Asteptare Cu S Statii de Servire