MODELE MATEMATICE ^IN ARHITECTURA...Capitolul 1 Vectori liberi 1.1 Spat˘iul vectorilor liberi Consider am^ n spat˘iul geometric tridimensional E 3 un segment orientat AB. Punctul

Ciprian Deliu

MODELE MATEMATICE INARHITECTURA

2020

Cuprins

1 Vectori liberi 11.1 Spatiul vectorilor liberi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Coliniaritate si coplanaritate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Produse cu vectori liberi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Exercitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Conice 92.1 Dreapta ın plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Conice pe ecuatii reduse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3 Schimbari de repere carteziene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4 Reducerea conicelor la forma canonica . . . . . . . . . . . . . . 172.5 Concluzii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.6 Exercitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3 Curbe plane 293.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2 Tangenta si normala la o curba plana . . . . . . . . . . . . . . . 303.3 Curbura unei curbe plane. Infasuratoare . . . . . . . . . . . . . 313.4 Curbe plane remarcabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.5 Exercitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4 Integrale curbilinii si duble 374.1 Integrala curbilinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.2 Integrala dubla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.3 Exercitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5 Planul si dreapta ın spatiu 475.1 Planul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.2 Dreapta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.3 Unghiuri si distante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.4 Exercitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

i

ii CUPRINS

6 Cuadrice 596.1 Cuadrice pe ecuatii reduse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596.2 Suprafete riglate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696.3 Generari de suprafete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706.4 Exercitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

7 Suprafete 777.1 Generalitati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777.2 Plan tangent si normala la o suprafata . . . . . . . . . . . . . . 797.3 Prima forma fundamentala a unei suprafete . . . . . . . . . . . 817.4 Exercitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

8 Integrale de suprafata si triple 878.1 Integrala de suprafata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 878.2 Integrala tripla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 918.3 Exercitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

Capitolul 1

Vectori liberi

1.1 Spatiul vectorilor liberi

Consideram ın spatiul geometric tridimensional E3 un segment orientatÐ→AB.

Punctul A se numeste originea segmentului, iar B se numeste extremitateasegmentului. Daca A ≠ B, atunci dreapta determinata de cele doua punctese numeste dreapta suport a segmentului. In cazul ın care originea si extre-mitatea coincid, se obtine segmentul orientat nul. Doua segmente orientateau aceeasi directie daca dreptele lor suport coincid sau sunt paralele. Un

segment orientatÐ→AB determina ın mod unic pe dreapta AB un sens de

parcurgere a acesteia.Doua segmente orientate nenule, de aceeasi directie, au acelasi sens daca

extremitatile lor se afla ın acelasi semiplan determinat de dreapta care unesteoriginile segmentelor ın planul dreptelor suport paralele. In caz contrar,spunem ca cele doua segmente orientate (de aceeasi directie) au sensuri opuse.

Lungimea unui segment orientatÐ→AB se defineste ca fiind distanta dintre

punctele A si B, si se noteaza cu ∥Ð→AB∥. Un segment orientat are lungimea0 daca si numai daca este segmentul nul. Doua segmente orientate care auaceeasi directie, acelasi sens si aceeasi lungime se numesc echipolente. Relatiade echipolenta este o relatie de echivalenta, ale carei clase de echivalenta senumesc vectori liberi.

Asadar, prin vectorul liber corespunzator segmentului orientatÐ→AB ın-

telegem multimea tuturor segmentelor orientate care au aceeasi directie, sens

si lungime cuÐ→AB. Directia, sensul si lungimea comune reprezentantilor unui

vector liber Ð→v se vor numi directia, sensul si lungimea vectorului liberÐ→v . Vectorul liber de lungime 0 se numeste vectorul nul, iar un vector liberde lungime 1 se numeste versor. Doi vectori liberi se numesc coliniari dacaau aceeasi directie. Doi vectori liberi coliniari care au aceeasi lungime dar

1

2 CAPITOLUL 1. VECTORI LIBERI

sensuri opuse se numesc vectori opusi. Opusul vectorului Ð→v se noteaza cu−Ð→v .

Doi vectori liberi sunt egali daca reprezentantii lor sunt segmente orien-tate echipolente. Trei sau mai multi vectori liberi nenuli care au reprezentantiiparaleli cu acelasi plan se numesc vectori coplanari. Multimea tuturor vec-torilor liberi se noteaza cu V3. Sa consideram acum un punct oarecare O ∈ E3.Oricarui punct M ∈ E3 ıi corespunde un unic vector liber Ð→r ∈ V3 al carui re-

prezentant esteÐÐ→OM . Reciproc, oricarui vector liber Ð→r ıi corespunde un unic

punct M ∈ E3 astfel ıncatÐÐ→OM sa fie reprezentant al lui Ð→r . Vectorul liber

Ð→r =ÐÐ→OM se numeste vectorul de pozitie al punctului M fata de originea O.

Definitia 1.1. Fie Ð→a ,Ð→b ∈ V3,Ð→OA un reprezentant al lui Ð→a si

Ð→AB un re-

prezentant al luiÐ→b . Vectorul liber Ð→c care are ca reprezentant segmentul

orientatÐ→OB se numeste suma vectorilor Ð→a si

Ð→b .

Observatii:

� Vectorii Ð→a ,Ð→b si Ð→c =Ð→a +Ð→b sunt coplanari.

� Regula de mai sus pentru obtinerea sumei a doi vectori liberi se numesteregula triunghiului.

� De asemenea, suma a doi vectori liberi poate fi definita si folosind regulaparalelogramului, ca fiind diagonala paralelogramului determinat de doireprezentanti ai celor doi vectori avand aceeasi origine.

Definitia 1.2. Fie λ ∈ R si Ð→v ∈ V3. Prin ınmultirea vectorului Ð→v cuscalarul λ ıntelegem vectorul liber λÐ→v definit astfel:

� daca Ð→v ≠ Ð→0 si λ ≠ 0, atunci λÐ→v este vectorul care are aceeasi directiecu Ð→v , acelasi sens cu Ð→v daca λ > 0 si sens opus daca λ < 0, iarlungimea lui este ∥λÐ→v ∥ = ∣λ∣∥Ð→v ∥;

� daca Ð→v =Ð→0 sau λ = 0, atunci λÐ→v =Ð→0 .

Teorema 1.1. Multimea vectorilor liberi V3 ımpreuna cu operatiile de adu-nare si ınmultire cu scalari definite mai sus formeaza un spatiu vectorial real.

1.2 Coliniaritate si coplanaritate

Teorema 1.2. Fie Ð→a ,Ð→b ∈ V3 doi vectori liberi nenuli.

1.2. COLINIARITATE SI COPLANARITATE 3

1. Daca Ð→a siÐ→b sunt coliniari, atunci exista un unic λ ∈ R astfel ıncatÐ→

b = λÐ→a .

2. Multimea tuturor vectorilor coliniari cu Ð→a este un subspatiu vectorialde dimensiune 1, generat de Ð→a :

V1 = {Ð→v ∈ V3∣∃λ ∈ R,Ð→v = λÐ→a }.

3. Vectorii Ð→a siÐ→b sunt necoliniari daca si numai daca sunt liniar independenti.

Teorema 1.3. Fie Ð→a ,Ð→b ,Ð→c ∈ V3, cu Ð→a ,Ð→b necoliniari.

1. Daca Ð→a ,Ð→b ,Ð→c sunt coplanari, atunci exista α,β ∈ R unici astfel ıncatÐ→c = αÐ→a + βÐ→b .

2. Multimea tuturor vectorilor coplanari cu Ð→a ,Ð→b este un subspatiu vecto-

rial de dimensiune 2, generat de Ð→a siÐ→b :

V2 = {Ð→v ∈ V3∣∃α,β ∈ R,Ð→v = αÐ→a + βÐ→b }.

Teorema 1.4. Fie Ð→a ,Ð→b ,Ð→c ∈ V3 necoplanari si un vector oareacare v ∈ V3.Atunci exista α,β, γ ∈ R unici astfel ıncat

Ð→v = αÐ→a + βÐ→b + γÐ→c .

Fie versoriiÐ→i ,Ð→j ,Ð→k ∈ V3 necoplanari, ale caror directii sunt perpendi-

culare doua cate doua, siÐ→OA,

Ð→OB,

Ð→OC trei reprezentanti ai acestor versori

avand originea comuna O. Conform teoremei anterioare, orice vector liberÐ→v ∈ V3 poate fi scris ın mod unic ca o combinatie liniara de

Ð→i ,Ð→j ,Ð→k :

Ð→v = xÐ→i + yÐ→j + yÐ→k .

Expresia de mai sus se numeste expresia analitica a vectorului Ð→v , iar

scalarii x, y, z se numesc coordonatele euclidiene ale vectorului Ð→v . DacaÐÐ→OM

este un reprezentant al lui Ð→v cu originea ın O, atunci expresia anterioaradevine ÐÐ→

OM = xÐ→OA + yÐ→OB + zÐ→OC.

Sistemul {O;Ð→i ,Ð→j ,Ð→k } se numeste reper cartezian ortogonal ın V3, iar

x, y, z se numesc coordonatele carteziene ale punctuluiM ın reperul {O;Ð→i ,Ð→j ,Ð→k }.


Daca M,N ∈ E3 siÐÐ→OM = xM

Ð→i + yM

Ð→j + zM

Ð→k , iar

ÐÐ→ON = xN

Ð→i + yN

Ð→j + zN

Ð→k

atunci

ÐÐ→MN =ÐÐ→ON −ÐÐ→OM = (xN − xM)Ð→i + (yN − yM)Ð→j + (zN − zM)Ð→k

Fie Ð→a ,Ð→b ∈ V3 ∖ {Ð→0 }. Numarul ϕ ∈ [0, π] ce reprezinta unghiul dintre

dreptele suport ale vectorilor Ð→a siÐ→b se numeste unghiul dintre vectorii

Ð→a siÐ→b . Daca unghiul dintre doi vectori este π

2 , atunci vectorii se numescortogonali.

1.3 Produse cu vectori liberi

Definitia 1.3. Fie Ð→a ,Ð→b ∈ V3 si ϕ ∈ [0, π] unghiul dintre Ð→a siÐ→b daca

Ð→a ,Ð→b ∈ V3 ∖ {Ð→0 }. Se numeste produs scalar al vectorilor Ð→a ,Ð→b numarulreal definit prin:

Ð→a ⋅Ð→b =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

∥Ð→a ∥ ⋅ ∥Ð→b ∥ cosϕ, daca Ð→a ,Ð→b ≠Ð→00, daca Ð→a =Ð→0 sau

Ð→b =Ð→0

Proprietati ale produsului scalar:

1. Ð→a ⋅Ð→b =Ð→b ⋅Ð→a , ∀Ð→a ,Ð→b ∈ V3;

2. λ(Ð→a ⋅Ð→b ) = (λÐ→a ) ⋅Ð→b =Ð→a ⋅ (λÐ→b ), ∀Ð→a ,Ð→b ∈ V3, λ ∈ R;

3. Ð→a ⋅ (Ð→b +Ð→c ) =Ð→a ⋅Ð→b +Ð→a ⋅Ð→c , ∀Ð→a ,Ð→b ,Ð→c ∈ V3;

4. Ð→a ⋅Ð→a > 0, ∀Ð→a ∈ V3; Ð→a ⋅Ð→a = 0⇔Ð→a =Ð→0 ;

5. Ð→a ,Ð→b ∈ V3 sunt ortogonali ⇔Ð→a ⋅Ð→b = 0;

6. daca Ð→a = a1Ð→i + a2

Ð→j + a3

Ð→k si

Ð→b = b1

Ð→i + b2

Ð→j + b3

Ð→k , atunci expresia

analitica a produsului scalar este

Ð→a ⋅Ð→b = a1b1 + a2b2 + a3b3,

iar lungimea lui Ð→a este

∥Ð→a ∥ =√a2

1 + a22 + a2

3

1.3. PRODUSE CU VECTORI LIBERI 5

7. daca Ð→a ,Ð→b ∈ V3 ∖ {Ð→0 } si ϕ ∈ [0, π] unghiul dintre Ð→a siÐ→b , atunci

cosϕ =Ð→a ⋅Ð→b

∥Ð→a ∥ ⋅ ∥Ð→b ∥= a1b1 + a2b2 + a3b3√

a21 + a2

2 + a23 ⋅

√b2

1 + b22 + b2

3

Definitia 1.4. Fie Ð→a ,Ð→b ∈ V3 si ϕ ∈ [0, π] unghiul dintre Ð→a siÐ→b daca

Ð→a ,Ð→b ∈ V3∖{Ð→0 }. Se numeste produs vectorial al vectorilor Ð→a si

Ð→b vectorul

Ð→a ×Ð→b = ∥Ð→a ∥ ⋅ ∥Ð→b ∥ ⋅ sinϕ ⋅Ð→e

unde Ð→e este versorul perpendicular pe planul determinat de cei doi vectorisi orientat dupa regula burghiului , adica sensul de ınaintare a unui burghiu

cand Ð→a se roteste catreÐ→b printr-un unghi minim.

Daca Ð→a = a1Ð→i + a2

Ð→j + a3

Ð→k si

Ð→b = b1

Ð→i + b2

Ð→j + b3

Ð→k , atunci expresia

analitica a produsului vectorial este

Ð→a ×Ð→b = (a2b3 − a3b2)Ð→i + (a3b1 − a1b3)

Ð→j + (a1b2 − a2b1)

Ð→k =

RRRRRRRRRRRRRRRRR

Ð→iÐ→jÐ→k

a1 a2 a3

b1 b2 b3

RRRRRRRRRRRRRRRRRProprietati ale produsului vectorial:

1.Ð→b ×Ð→a = −(Ð→a ×Ð→b ), ∀Ð→a ,Ð→b ∈ V3;

2. (λÐ→a ) ×Ð→b = λ(Ð→a ×Ð→b ) =Ð→a × (λÐ→b ), ∀λ ∈ R,Ð→a ,Ð→b ∈ V3

3. (Ð→a +Ð→b ) ×Ð→c =Ð→a ×Ð→c +Ð→b ×Ð→c , ∀Ð→a ,Ð→b ,Ð→c ∈ V3

4. Ð→a ×Ð→a =Ð→0 , ∀Ð→a ∈ V3

5. ∥Ð→a ×Ð→b ∥2 = ∥Ð→a ∥2 ⋅ ∥Ð→b ∥2 − (Ð→a ⋅Ð→b )2, ∀Ð→a ,Ð→b ∈ V3

6. aria paralelogramului determinat de vectorii Ð→a siÐ→b este

Aparalelogram = ∥Ð→a ×Ð→b ∥

7. aria triunghiului determinat de vectorii Ð→a siÐ→b este

Atriunghi =1

2∥Ð→a ×Ð→b ∥


8. Ð→a ×Ð→b =Ð→0 daca Ð→a =Ð→0 sauÐ→b =Ð→0 sau Ð→a ,Ð→b sunt coliniari.

Definitia 1.5. Se numeste produs mixt al vectorilor Ð→a ,Ð→b ,Ð→c ∈ V3 numarul

real care este egal cu produsul scalar dintre vectorii Ð→a siÐ→b ×Ð→c :

(Ð→a ,Ð→b ,Ð→c ) =Ð→a ⋅ (Ð→b ×Ð→c )

Daca Ð→a = a1Ð→i +a2

Ð→j +a3

Ð→k ,Ð→b = b1

Ð→i +b2

Ð→j +b3

Ð→k si Ð→c = c1

Ð→i +c2

Ð→j +c3

Ð→k ,

atunci expresia analitica a produsului mixt este

(Ð→a ,Ð→b ,Ð→c ) =

RRRRRRRRRRRRRRRR

a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

RRRRRRRRRRRRRRRRProprietati ale produsului mixt:

1. (Ð→a ,Ð→b ,Ð→c ) = (Ð→b ,Ð→c ,Ð→a ) = (Ð→c ,Ð→a ,Ð→b )

2. (Ð→a ,Ð→b ,Ð→c ) = −(Ð→a ,Ð→c ,Ð→b ) = −(Ð→c ,Ð→b ,Ð→a ) = −(Ð→b ,Ð→a ,Ð→c )

3. (Ð→a ,Ð→b ,Ð→c ) = 0 daca cel putin unul dintre vectorii Ð→a ,Ð→b ,Ð→c esteÐ→0 sau

daca cei trei vectori sunt coplanari;

4. volumul paralelipipedului determinat de vectorii Ð→a ,Ð→b ,Ð→c este

Vparalelipiped = ∣(Ð→a ,Ð→b ,Ð→c )∣

5. volumul tetraedrului determinat de vectorii Ð→a ,Ð→b ,Ð→c este

Vtetraedru =1

6∣(Ð→a ,Ð→b ,Ð→c )∣

6. (αÐ→a + βÐ→b ,Ð→c ,Ð→d ) = α(Ð→a ,Ð→c ,Ð→d ) + β(Ð→b ,Ð→c ,Ð→d )

Definitia 1.6. Se numeste dublul produs vectorial al vectorilor Ð→a ,Ð→b ,Ð→c ∈V3 vectorul Ð→

d =Ð→a × (Ð→b ×Ð→c )Proprietati:

1. Ð→a × (Ð→b ×Ð→c ) este un vector coplanar cuÐ→b si Ð→c si avem

Ð→a × (Ð→b ×Ð→c ) = (Ð→a ⋅Ð→c )Ð→b − (Ð→a ⋅Ð→b )Ð→c =RRRRRRRRRRRR

Ð→b Ð→c

Ð→a ⋅Ð→b Ð→a ⋅Ð→c

RRRRRRRRRRRR

1.4. EXERCITII 7

2. Ð→a × (Ð→b ×Ð→c ) +Ð→b × (Ð→c ×Ð→a ) +Ð→c × (Ð→a ×Ð→b ) = 0

3. (Ð→a ×Ð→b ) ⋅ (Ð→c ×Ð→d ) =RRRRRRRRRRRR

Ð→a ⋅Ð→c Ð→a ⋅Ð→dÐ→b ⋅Ð→c Ð→

b ⋅Ð→d

RRRRRRRRRRRR

4. (Ð→a ×Ð→b ) ⋅ [Ð→a × (Ð→b ×Ð→c )] = −(Ð→a ⋅Ð→b )(Ð→a ,Ð→b ,Ð→c )

1.4 Exercitii

1. Se dau vectoriiÐ→OA = 12

Ð→i − 4

Ð→j + 3

Ð→k ,Ð→OB = 3

Ð→i + 12

Ð→j − 4

Ð→k ,Ð→OC =

2Ð→i + 3

Ð→j − 4

Ð→k .

(a) Demonstrati ca ∆AOB este isoscel, iar ∆AOC este dreptunghic;

(b) Calculati perimetrul triunghiului ABC si masura unghiului A.

2. Se dau vectoriiÐ→a = 2Ð→i −Ð→k ,

Ð→b = −Ð→j +2

Ð→k , Ð→c = −3

Ð→i +3

Ð→j . Determinati

numerele reale λ si µ astfel ıncat vectorul Ð→v =Ð→a + 2λÐ→b + 2µÐ→c sa fie:

(a) perpendicular pe planul yOz

(b) egal ınclinat fata de axele Ox, Oy, Oz.

3. Fie Ð→a =Ð→u − 3Ð→v , Ð→b = −Ð→u + 2Ð→v , ∥Ð→u ∥ = 3, ∥Ð→v ∥ =√

2 si unghiul dintre

vectorii Ð→u si Ð→v este θ = π4 . Sa se calculeze Ð→a ⋅Ð→b , lungimile diagonalelor

paralelogramului determinat de cei doi vectori, si unghiul dintre ele.

4. Se dau vectorii Ð→a siÐ→b despre care se stie ca ∥Ð→a ∥ = 3, ∥Ð→b ∥ = 2,

∠(Ð→a ,Ð→b ) = π3 . Se considera apoi vectorii Ð→c = 2Ð→a − 3

Ð→b si

Ð→d = Ð→a +Ð→b .

Calculati:

(a) Ð→a ⋅Ð→b , ∥Ð→c ∥, ∠(Ð→a ,Ð→c )

(b) aria paralelogramului determinat de vectorii Ð→c siÐ→d

5. Determinati scalarii λ,µ ∈ R astfel ıncat puncteleA(2, λ,1),B(3,7,5),C(µ,10,9)sa fie coliniare.

6. Se considera punctele:

(a) A(2,3,1),B(4,1,−2),C(6,3,7),D(−5,−4,8)(b) A(1,1,−3),B(2,−1,1),C(3,3,1),D(−1,4,2)


(c) A(2,−1,1),B(5,5,4),C(3,2,−1),D(4,1,3)

Pentru fiecare din cazurile de mai sus, calculati:

(a) Perimetrul si aria triunghiuluiABC, masura unghiuluiA si distantade la punctul C la dreapta AB

(b) Volumul tetraedrului ABCD si distanta de la punctul D la planulABC

7. Se dau vectorii Ð→a = 2Ð→i +(λ+2)Ð→j +3

Ð→k ,Ð→b =Ð→i +λÐ→j −Ð→k , Ð→c = 4

Ð→j +2

Ð→k

unde λ ∈ R.

(a) Determinati valoarea parametrului λ astfel ıncat vectorii sa fiecoplanari

(b) Pentru valoarea gasita anterior, descompuneti vectorul Ð→a dupa

directiile vectorilorÐ→b si Ð→c si calculati aria paralelogramului de-

terminat de vectoriiÐ→b si Ð→c .

Capitolul 2

Conice

2.1 Dreapta ın plan

Fie {O,Ð→i ,Ð→j } un reper cartezian ortogonal ın plan. Ecuatia canonicaa dreptei determinata de punctul M0(x0, y0) si de vectorul director Ð→v =lÐ→i +mÐ→j (cu l2 +m2 > 0) este

x − x0

l= y − y0

m

sau echivalentmx − ly −mx0 + ly0 = 0

Notand a =m, b = −l si c = −mx0 + ly0, obtinem ecuatia

ax + by + c = 0

cu a2+b2 > 0, ecuatie care se numeste ecuatia generala a dreptei ın plan.Daca egalam rapoartele din ecuatia dreptei cu λ:

x − x0

l= y − y0

m= λ

se obtin ecuatiile parametrice ale dreptei:

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = x0 + λly = y0 + λm

De asemenea ecuatia canonica a dreptei determinata de douapuncte M1(x1, y1) si M2(x2, y2) este:

x − x1

x2 − x1

= y − y1

y2 − y1

9

10 CAPITOLUL 2. CONICE

ecuatie care se poate rescrie

RRRRRRRRRRRRRRRR

x y 1

x1 y1 1

x2 y2 1

RRRRRRRRRRRRRRRR

= 0

Cazuri particulare:

� Ecuatia axei Ox: y = 0

� Ecuatia unei drepte paralele cu Ox: y = y0

� Ecuatia axei Oy: x = 0

� Ecuatia unei drepte paralele cu Oy: x = x0

� Ecuatia primei bisectoare: y = x

� Ecuatia celei de-a doua bisectoare: y = −x

� Ecuatia dreptei prin taieturi:Fie o dreapta care nu trece prin origine si nu este paralela cu axele decoordonate si fie A(a,0),B(0, b) punctele de intersectie ale dreptei cuaxele de coordonate, cu a ⋅ b ≠ 0. Obtinem:

x − a0 − a = y − 0

b − 0⇔ bx + ay − ab = 0⇔ x

a+ yb− 1 = 0.

Fie o dreapta d de ecuatie

ax + by + c = 0, a2 + b2 > 0.

Atunci si λax + λby + λc = 0, λ ∈ R∗ este o ecuatie a dreptei d, deci odreapta are o infinitate de ecuatii. Doua ecuatii reprezinta aceeasi dreaptadaca si numai daca au coeficientii proportionali.

Daca dreapta d nu este paralela cu Oy (deci b ≠ 0), ecuatia dreptei sepoate rescrie:

y = −abx − c

b

Notand m = −ab, n = −c

bobtinem

y =mx + n

care se numeste ecuatia explicita a dreptei d. Coeficientul m se numestepanta dreptei, iar n este ordonata intersectiei dreptei cu axa Oy.

2.2. CONICE PE ECUATII REDUSE 11

Fie A(xA, yA) si B(xB, yB) doua puncte distincte pe dreapta d. Dreaptanefiind paralela cu Oy, avem ca xA ≠ xB. Punand conditia ca cele douapuncte sa verifice ecuatia dreptei obtinem

yA =mxA + n si yB =mxB + n.Scazand cele doua ecuatii obtinem

yB − yA =m(xB − xA)⇒m = yB − yAxB − xA

= tg θ

unde θ este unghiul dintre semiaxa pozitiva a axei Ox si semidreapta de pedreapta d situata deasupra axei Ox. Avem:

� m > 0⇔ θ unghi ascutit

� m < 0⇔ θ unghi obtuz

� m = 0⇔ dreapta este paralela cu Ox

Observatii:

1. Dreapta d care are ecuatia explicita y = mx + n trece prin punctelede coordonate (0, n) si (1,m + n), deci ecuatia canonica a dreptei estex

1= y − n

m, asadar un vector director al dreptei este Ð→v = 1 ⋅Ð→i +m ⋅Ð→j

2. O dreapta este unic determinata de un punct M0(x0, y0) si de pantam. Pentru un punct oarecare M(x, y) de pe dreapta avem

m = y − y0

x − x0

⇔ y − y0 =m(x − x0)

3. Doua drepte d1 si d2 neparalele cu Oy avand pantele m1 si m2 suntparalele daca si numai daca m1 =m2.

4. Doua drepte d1 si d2 neparalele cu Oy avand pantele m1 si m2 suntperpendiculare daca si numai daca m1 ⋅m2 = −1.

2.2 Conice pe ecuatii reduse

Definitia 2.1. Se numeste conica o curba plana definita ın reperul cartezian

ortonormat {O;Ð→i ,Ð→j } printr-o ecuatie algebrica de gradul al doilea de forma

a11x2 + 2a12xy + a22y

2 + 2a13x + 2a23y + a33 = 0,

unde aij ∈ R, i, j ∈ {1,2,3}, a211 + a2

12 + a222 > 0 (adica cel putin unul din-

tre coeficientii termenilor de gradul al doilea este nenul) , iar (x, y) suntcoordonatele euclidiene ın reperul dat ale unui punct oarecare al conicei.


Conicele se mai numesc si curbe de gradul al doilea. Exemple de conice:cercul, elipsa, hiperbola, parabola.

Definitia 2.2. Fie un punct fixat C(a, b) si r > 0 un numar real fixat. Cer-cul de centru C si raza r este locul geometric al punctelor M(x, y) caresatisfac egalitatea

∥ÐÐ→CM∥ = r. (2.1)

AvemÐÐ→CM = (x − a)Ð→i + (y − b)Ð→j , deci (2.1) se rescrie

√(x − a)2 + (y − b)2 = r

sau echivalent(x − a)2 + (y − b)2 = r2 (2.2)

care se numeste ecuatia carteziana implicita a cercului de centru C(a, b)si raza r.

Efectuand calculele ın ecuatia (2.2) obtinem:

x2 + y2 − 2ax − 2by + a2 + b2 − r2 = 0.

Notand m = −a, n = −b si p = a2 + b2 − r2, ecuatia se rescrie

x2 + y2 + 2mx + 2ny + p = 0,

care se numeste ecuatia generala a cercului .Ecuatia (2.2) este de asemenea echivalenta cu ecuatiile

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = a + r cos t

y = b + r sin t, t ∈ [0,2π)

numite ecuatiile parametrice ale cercului.

Definitia 2.3. Fie F,F ′ doua puncte ın plan si a > 0. Locul geometric alpunctelor M din plan cu proprietatea

MF +MF ′ = 2a

se numeste elipsa.

� Punctele F,F ′ se numesc focarele elipsei

� Dreapta FF ′ se numeste axa focala.


� Distanta dintre focare se numeste distanta focala:

FF ′ = 2c < 2a

� Distantele MF si MF ′ se numesc raze focale.

Ecuatia carteziana implicita a elipsei cu focarele F (c,0) si F ′(−c,0) este

x2

a2+ y

2

b2= 1, unde b2 = a2 − c2.

Observatii:

1. Daca M(x, y) este un punct pe elipsa, atunci si simetricul lui fata deOx, punctul de coordonate (x,−y) verifica ecuatia elipsei, deci Ox esteaxa de simetrie a elipsei.

2. Simetricul lui M fata de Oy, punctul de coordonate (−x, y) verificaecuatia elipsei, deci Oy este axa de simetrie a elipsei.

3. Simetricul lui M fata de O, punctul de coordonate (−x,−y) verificaecuatia elipsei, deci O este centru de simetrie al elipsei.

4. Intersectiile elipsei cu axele de coordonate, punctele A(a,0), A′(−a,0),B(0, b), B′(0,−b) se numesc varfurile elipsei.

5. ∥Ð→OA∥ = a si ∥Ð→OB∥ = b se numesc semiaxa mare si respectiv semiaxamica a elipsei.

6. Raportul e = ca< 1 se numeste excentricitatea elipsei. Avem:

e2 = c2

a2= a

2 − b2

a2= 1 − ( b

a)

2

⇒ b

a=√

1 − e2

deci excentricitatea caracterizeaza forma elipsei.

7. Ecuatia carteziana a elipsei este echivalenta cu ecuatiile

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = a cos t

y = b sin t, t ∈ [0,2π)

numite ecuatiile parametrice ale elipsei.


8. Ecuatia tangentei la elipsa dusa printr-un punct M0(x0, y0) de pe elipsase obtine prin dedublare:

xx0

a2+ yy0

b2− 1 = 0.

Definitia 2.4. Fie F,F ′ doua puncte ın plan si a > 0. Locul geometric alpunctelor M din plan cu proprietatea

∣MF −MF ′∣ = 2a

se numeste hiperbola.

� Punctele F,F ′ se numesc focarele hiperbolei

� Dreapta FF ′ se numeste axa focala.

� Distanta dintre focare se numeste distanta focala:

FF ′ = 2c > 2a

� distantele MF si MF ′ se numesc raze focale

Ecuatia carteziana implicita a hiperbolei cu F (c,0) si F ′(−c,0) este

x2

a2− y

2

b2= 1, unde b2 = c2 − a2.

Observatii

1. Axele Ox si Oy sunt axe de simetrie ale hiperbolei;

2. Intersectiile hiperbolei cu axa Ox , punctele A(a,0), A′(−a,0), se nu-mesc varfurile hiperbolei, iar axa Ox se numeste axa transversa ahiperbolei;

3. Dreptele de ecuatii y = ± bax sunt asimptotele hiperbolei si se obtin ca

asimptote oblice ale functiilor

f1(x) =b

a

√x2 − a2 si f2(x) = −

b

a

√x2 − a2;

4. Daca a = b, hiperbola are ecuatia x2 − y2 = a2 si se numeste hiperbolaechilatera, iar asimptotele sunt bisectoarele axelor y = x si y = −x;


5. O ecuatie de forma xy = ±a2 reprezinta tot o hiperbola echilatera, avandca asimptote axele de coordonate, iar ca axe de simetrie bisectoareleaxelor.

6. Raportul e = ca> 1 se numeste excentricitatea hiperbolei . Avem:

e2 = c2

a2= a

2 + b2

a2= 1 + ( b

a)

2

⇒ b

a=√e2 − 1

deci excentricitatea caracterizeaza forma hiperbolei.

7. Ecuatia carteziana a elipsei este echivalenta cu ecuatiile

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = a ch t

y = b sh t, t ∈ R

numite ecuatiile parametrice ale hiperbolei.

8. Ecuatia tangentei la hiperbola dusa printr-un punct M0(x0, y0) de pehiperbola se obtine prin dedublare:

xx0

a2− yy0

b2− 1 = 0.

Definitia 2.5. Fie o dreapta fixa d ın plan si un punct fix F ∉ d. Loculgeometric al punctelor M din plan cu proprietatea ca distanta la punctul Feste egala cu distanta la dreapta d se numeste parabola.

� Punctul F se numeste focar;

� Dreapta d se numeste dreapta directoare;

� Distanta de la focar la dreapta directoare se numeste parametrul pa-rabolei si se noteaza cu p.

Ecuatia carteziana implicita a parabolei avand dreapta directoare d ∶ x =−p2 si focarul F (p

2 ,0) este

y2 = 2px.

Axa Ox se numeste axa parabolei (sau axa transversa a parabolei) sieste axa de simetrie pentru parabola, iar punctul O(0,0) se numeste varfulparabolei.

Observatii:


1. Ecuatia carteziana a parabolei este echivalenta cu ecuatiile

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

x = t2

2py = t

, t ∈ R

numite ecuatiile parametrice ale parabolei;

2. Ecuatia tangentei la parabola dusa printr-un punct M0(x0, y0) de peparabola se obtine prin dedublare:

yy0 = p(x + x0);

3. Ecuatia y2 = −2px, p > 0 reprezinta tot o parabola cu axa transversaOx, varful ın origine, dar situata ın semiplanul din stanga axei Oy;

4. Ecuatiile x2 = 2py si x2 = −2py, cu p > 0 reprezinta parabole avand axatransversa Oy si varful ın origine.

2.3 Schimbari de repere carteziene

Rotatia

Fie {O;Ð→i ′,Ð→j ′} un reper cartezian ortonormat obtinut prin rotirea reperului

{O;Ð→i ,Ð→j } cu un unghi θ ∈ [0, π). Notam cu (x, y) coordonatele unui punct

oarecare M din plan ın reperul initial si cu (x′, y′) coordonatele aceluiasipunct ın reperul rotit. Avem:

ÐÐ→OM = xÐ→i + yÐ→j = x′Ð→i ′ + y′Ð→j ′

Inmultind scalar aceasta egalitate cuÐ→i , respectiv

Ð→j , obtinem:

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

xÐ→i ⋅Ð→i + yÐ→j ⋅Ð→i = x′Ð→i ′ ⋅Ð→i + y′Ð→j ′ ⋅Ð→i

xÐ→i ⋅Ð→j + yÐ→j ⋅Ð→j = x′Ð→i ′ ⋅Ð→j + y′Ð→j ′ ⋅Ð→j

AvemÐ→i ⋅Ð→i =Ð→j ⋅Ð→j = 1 si

Ð→i ⋅Ð→j =Ð→j ⋅Ð→i = 0, deci

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = x′Ð→i ′ ⋅Ð→i + y′Ð→j ′ ⋅Ð→iy = x′Ð→i ′ ⋅Ð→j + y′Ð→j ′ ⋅Ð→j

(2.3)

2.4. REDUCEREA CONICELOR LA FORMA CANONICA 17

Avem

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

Ð→i ′ ⋅Ð→i = cos θ,

Ð→j ′ ⋅Ð→i = cos (θ + π

2) = − sin θ

Ð→i ′ ⋅Ð→j = cos (π2 − θ) = sin θ,

Ð→j ′ ⋅Ð→j = cos θ

si ınlocuind ın (2.3)

gasim⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = x′ cos θ − y′ sin θy = x′ sin θ + y′ cos θ

sau echivalent⎛⎝x

y

⎞⎠=⎛⎝

cos θ − sin θ

sin θ cos θ

⎞⎠⎛⎝x′

y′⎞⎠.

Matricea C =⎛⎝

cos θ − sin θ

sin θ cos θ

⎞⎠

este o matrice ortogonala (C−1 = CT ), deci

rotatia ın plan de unghi θ este o transformare ortogonala.

Translatia

Fie reperul {O;Ð→i ,Ð→j }, un punct A(x0, y0) si consideram reperul cartezian

ortonormat {A;Ð→i ,Ð→j }. Notam cu (x, y) coordonatele unui punct oarecare

M din plan ın reperul initial si cu (x′, y′) coordonatele aceluiasi punct ınreperul nou. Avem:

ÐÐ→OM =Ð→OA +ÐÐ→AM ⇔ x

Ð→i + yÐ→j = x0

Ð→i + y0

Ð→j + x′Ð→i + y′Ð→j

de unde obtinem⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = x0 + x′y = y0 + y′

.

Prin compunerea unei translatii cu o rotatie se obtine rototranslatia deecuatii

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = x0 +X cos θ − Y sin θ

y = y0 +X sin θ + Y cos θ.

unde (X,Y ) sunt coordonatele punctului M ın {A;Ð→i ′,Ð→j ′}.

2.4 Reducerea conicelor la forma canonica

Fie o conica definita ın reperul cartezian ortonormat {O;Ð→i ,Ð→j } prin ecuatia

algebrica de gradul al doilea

a11x2 + 2a12xy + a22y

2 + 2a13x + 2a23y + a33 = 0,


unde aij ∈ R, i, j ∈ {1,2,3}, a211 + a2

12 + a222 > 0 (adica cel putin unul dintre

coeficientii termenilor de gradul al doilea este nenul), iar (x, y) sunt coordo-natele euclidiene ın reperul dat ale unui punct oarecare al conicei.

Prin schimbarea reperului, se schimba si coordonatele punctelor de peconica, deci se schimba si ecuatia pe care o verifica acestea. Vom cautareperul ın care ecuatia conicei are o forma particulara (de elipsa, hiperbolasau parabola), numita forma canonica.

Definitia 2.6. Fie o conica de ecuatie

a11x2 + 2a12xy + a22y

2 + 2a13x + 2a23y + a33´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

f(x,y)

= 0, (2.4)

cu aij ∈ R, i, j ∈ {1,2,3}, a211 + a2

12 + a222 > 0. Numerele reale

I = a11 + a22, δ =RRRRRRRRRRR

a11 a12

a12 a22

RRRRRRRRRRR, ∆ =

RRRRRRRRRRRRRRRR

a11 a12 a13

a12 a22 a23

a13 a23 a33

RRRRRRRRRRRRRRRR

se numesc invariantii conicei.

Teorema 2.1. Invariantii I, δ,∆ nu se schimba la translatii sau rotatii.

Reducerea la forma canonica a conicelor cu centru

Fie conica de ecuatie

a11x2 + 2a12xy + a22y

2 + 2a13x + 2a23y + a33´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

f(x,y)

= 0, (2.5)

cu aij ∈ R, i, j ∈ {1,2,3}, a211 + a2

12 + a222 > 0. Cautam o translatie de ecuatii

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = x0 + x′

y = y0 + y′astfel ıncat ın noile coordonate ecuatia conicei

a11x′2 + 2a12x

′y′ + a22y′2 + 2a′13x

′ + 2a′23y′ + a′33 = 0, (2.6)

sa nu contina termeni de grad 1, adica

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

a′13 = a11x0 + a12y0 + a13 = 0

a′23 = a12x0 + a22y0 + a23 = 0.

Caz 1. Daca δ ≠ 0, sistemul anterior are solutie unica, iar ın reperul translatat cucentrul ın O′(x0, y0) ecuatia conicei este

a11x′2 + 2a12x

′y′ + a22y′2 + f(x0, y0) = 0, (2.7)


Daca punctul de coordonate (x′, y′) verifica (2.7), atunci si punctul de coor-donate (−x′,−y′) verifica (2.7), deci O′ este centru de simetrie pentru conica, iarcoordonatele lui sunt:

x0 =−RRRRRRRRRRR

a13 a12

a23 a22

RRRRRRRRRRRδ

, y0 =−RRRRRRRRRRR

a11 a13

a12 a23

RRRRRRRRRRRδ

(2.8)

Termenul liber f(x0, y0) din (2.7) se rescrie astfel:

f(x0, y0) = a11x20 + 2a12x0y0 + a22y

20 + 2a13x0 + 2a23y0 + a33

= (a11x0 + a12y0 + a13)x0 + (a12x0 + a22y0 + a23)y0 ++a13x0 + a23y0 + a33 = a13x0 + a23y0 + a33

Avem ∆ =

RRRRRRRRRRRRRRRRR

a11 a12 a13

a12 a22 a23

a13 a23 a33

RRRRRRRRRRRRRRRRR

= a13x0δ + a23y0δ + a33δ = δf(x0, y0).

Ecuatia (2.7) devine

a11x′2 + 2a12x

′y′ + a22y′2 + ∆

δ= 0, (2.9)

Daca a12 = 0, atunci (2.9) este forma canonica.Daca a12 ≠ 0, atunci exista o rotatie de unghi θ ∈ (0, π2 ) astfel ıncat ın noilecoordonate ecuatia conicei (2.9) este

λ1X2 + λ2Y

2 + ∆

δ= 0, (2.10)

deci are forma canonica. Coeficientii λ1 si λ2 sunt radacinile ecuatiei

λ2 − Iλ + δ = 0

cu λ1 ≠ λ2 si λ1 − λ2 are acelasi semn cu a12. Unghiul de rotatie θ este dat prin:

tg θ = λ1 − a11

a12= a12

a11 − λ2

Legatura ıntre coordonatele initiale x, y si coordonatele X,Y ın care avem formacanonica sunt: ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩



Coeficientii formei canonice λ1X2 + λ2Y

2 + ∆δ = 0 fiind radacinile ecuatiei ca-

racteristice λ2 − Iλ + δ = 0, distingem urmatoarele cazuri:

1. δ > 0, I > 0,∆ < 0⇒ λ1 > 0, λ2 > 0, ∆δ < 0⇒ elipsa


2. δ > 0, I > 0,∆ = 0⇒ λ1 > 0, λ2 > 0, ∆δ = 0⇒ un punct

3. δ > 0, I > 0,∆ > 0⇒ λ1 > 0, λ2 > 0, ∆δ > 0⇒ ∅

4. δ > 0, I < 0,∆ < 0⇒ λ1 < 0, λ2 < 0, ∆δ < 0⇒ ∅

5. δ > 0, I < 0,∆ = 0⇒ λ1 < 0, λ2 < 0, ∆δ = 0⇒ un punct

6. δ > 0, I < 0,∆ > 0⇒ λ1 < 0, λ2 < 0, ∆δ > 0⇒ elipsa

7. δ < 0,∆ ≠ 0⇒ hiperbola

8. δ < 0,∆ = 0⇒ doua drepte concurente

Daca ∆ ≠ 0 conica se numeste nedegenerata, iar daca ∆ = 0 conica se numestedegenerata.

Caz 2. Daca δ = 0 si rang⎛⎝a11 a12 a13

a12 a22 a23

⎞⎠= 1, sistemul anterior are o infini-

tate de solutii, deci conica are o infinitate de centre.Daca (x0, y0) este o solutie a sistemului anterior, atunci ın reperul translatat

cu centrul ın O′(x0, y0) ecuatia conicei este

a11x′2 + 2a12x

′y′ + a22y′2 + f(x0, y0) = 0, (2.11)

unde f(x0, y0) = a13x0 + a23y0 + a33. Distingem cazurile:

1. Daca a12 = 0, cum a11a22 = a212 ⇒ a11 = 0 sau a22 = 0, deci conica degenereaza

ın doua drepte paralele sau multimea vida.

2. Daca a12 ≠ 0, cum a11a22 = a212 ⇒ a11 si a22 au acelasi semn. Inmultind

eventual ecuatia (2.11) cu −1, putem presupune ca a11 > 0 si a22 > 0, iar(2.11) devine

(√a11x′ ±√

a22y′)2 ± f(x0, y0) = 0

deci conica degenereaza ın doua drepte paralele sau confundate sau multimeavida.

Reducerea la forma canonica a conicelor fara centru

Caz 3. Daca δ = 0 si rang⎛⎝a11 a12 a13

a12 a22 a23

⎞⎠= 2, sistemul anterior este incompati-

bil.Daca a12 ≠ 0, atunci exista o rotatie de unghi θ ∈ (0, π2 ) astfel ıncat ın noile

coordonate x′, y′ ecuatia conicei devine

Iy′2 + 2a′13x′ + 2a′23y

′ + a33 = 0 (2.12)

unde a′13 ≠ 0 si tg θ = −a11

a12.


Grupand corespunzator termenii ın ecuatia anterioara obtinem

I (y′ + a′

23

I)

2

+ 2a′13 (x′ +c

a′23

) = 0

unde c = a33 −a′223

I. Efectuand translatia

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

X = x′ + ca′23

Y = y′ + a′23I

ecuatia conicei devine

IY 2 + 2a′13X = 0

Cum ∆ este invariant la rotatii si translatii, avem

∆ =

RRRRRRRRRRRRRRRRR

0 0 a′13

0 I 0

a′13 0 0

RRRRRRRRRRRRRRRRR

= −a′213I ⇒ a′213 = −∆

I

deci gasim forma canonica Y 2 = ±2pX, unde p =√−∆I3.

Semnul ± ın ecuatia anterioara se alege ın functie de pozitia parabolei fata deaxele de coordonate ale reperului initial, intersectand parabola cu aceste axe.

Ecuatia axei de simetrie a parabolei este

a11(a11x + a12y + a13) + a12(a12x + a22y + a23) = 0

iar coordonatele varfului parabolei se obtin intersectand parabola cu axa de si-metrie, deci rezolvand sistemul format din ecuatia anterioara si ecuatia initiala aconicei.

Daca a12 = 0, din δ = 0 ⇒ a11 = 0 sau a22 = 0. Pentru a11 = 0, ecuatia coniceidevine

a22y2 + 2a13x + 2a23y + a33 = 0

a13 = 0⇒ conica degenerata.a13 ≠ 0⇒ parabola (facand o translatie ca mai sus).

Exemplu Fie conica de ecuatie x2 − 4xy + 4y2 − 6x + 2y + 1 = 0.

� coeficientii a11 = 1, a22 = 4, a12 = −2, a13 = −3, a23 = 1, a33 = 1;

� invariantii I = 5, δ =RRRRRRRRRRR

1 −2

−2 4

RRRRRRRRRRR= 0,∆ =

RRRRRRRRRRRRRRRRR

1 −2 −3

−2 4 1

−3 1 1

RRRRRRRRRRRRRRRRR

= −25

deci conica este o parabola nedegenerata

� p =√

−∆

I3= 1√

5⇒ forma canonica Y 2 = ± 2√

5X


� axa de simetrie: a11(a11x + a12y + a13) + a12(a12x + a22y + a23) = 0⇒ x − 2y − 1 = 0

� varful

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x2 − 4xy + 4y2 − 6x + 2y + 1 = 0

x − 2y − 1 = 0⇒ V (1

5,−2

5)

� intersectia parabolei cu axa Ox:⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x2 − 4xy + 4y2 − 6x + 2y + 1 = 0

y = 0⇒ x1,2 =

6 ±√

32

2

x

y

parabola

−1 0 1 2 3 4 5 6

−2

−1

0

1

2

3

4

2.5 Concluzii

Pentru reducerea la forma canonica a unei conice de ecuatie generala

a11x2 + 2a12xy + a22y

2 + 2a13x + 2a23y + a33 = 0

se efectueaza urmatorii pasi:

Pas 1 Identificarea coeficientilor a11, a22, a12, a13, a23, a33;

Pas 2 Calculul invariantilor

I = a11 + a22, δ =RRRRRRRRRRR

a11 a12

a12 a22

RRRRRRRRRRR, ∆ =

RRRRRRRRRRRRRRRRR

a11 a12 a13

a12 a22 a23

a13 a23 a33

RRRRRRRRRRRRRRRRR

2.5. CONCLUZII 23

Pas 3 Tipul conicei

δ > 0 ⇒ tip elipsa

δ < 0 ⇒ tip hiperbola

δ = 0 ⇒ tip parabola

∆ ≠ 0 ⇒ conica nedegenerata

∆ = 0 ⇒ conica degenerata

In functie de tipul conicei obtinut la pasul 3, algoritmul de reducere la formacanonica se continua ın mod diferit de la caz la caz. Prezentam ın continuarealgoritmii pentru conice nedegenerate cu centru si conice nedegenerate fara centru:

Conice cu centru nedegenerate (elipse si hiperbole): δ ≠ 0,∆ ≠ 0.

Pas 4 Coordonatele centrului (x0, y0) sunt solutiile sistemului

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

a11x0 + a12y0 + a13 = 0

a12x0 + a22y0 + a23 = 0

Pas 5 Ecuatia caracteristica

λ2 − Iλ + δ = 0

Solutiile λ1, λ2 se aleg astfel ıncat λ1 − λ2 sa aiba acelasi semn cu a12.

Pas 6 Forma canonica

λ1X2 + λ2Y

2 + ∆

δ= 0.

Pas 7 Unghiul de rotatie

tg θ = λ1 − a11

a12

Pas 8 Legatura ıntre coordonatele initiale x, y si coordonatele X,Y ın care avemforma canonica: ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩



Conice fara centru nedegenerate (parabole): δ = 0,∆ ≠ 0.

Pas 4 Forma canonica

Y 2 = ±2pX, unde p =√

−∆

I3,

iar semnul ± ın ecuatia anterioara se alege ın functie de pozitia paraboleifata de axele de coordonate ale reperului initial, intersectand parabola cuaceste axe.


Pas 5 Ecuatia axei de simetrie a parabolei este

a11(a11x + a12y + a13) + a12(a12x + a22y + a23) = 0

Pas 6 Coordonatele varfului parabolei (x0, y0) se obtin intersectand parabola cuaxa de simetrie, deci rezolvand sistemul format din ecuatia gasita la pasulanterior si ecuatia initiala a conicei.

Pas 7 Unghiul de rotatie

tg θ = −a11

a12

Pas 8 Legatura ıntre coordonatele initiale x, y si coordonatele X,Y ın care avemforma canonica: ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩



In functie de semnul invariantilor distingem cazurile:

δ ∆ Forma canonica Tip

> 0≠ 0

X2

a2+ Y

2

b2− 1 = 0 elipsa

X2

a2+ Y

2

b2+ 1 = 0 ∅

= 0X2

a2+ Y

2

b2= 0 punct

< 0≠ 0

X2

a2− Y

2

b2− 1 = 0 hiperbola

= 0X2

a2− Y

2

b2= 0 doua drepte concurente

= 0

≠ 0 Y 2 − 2pX = 0 parabola

= 0

Y 2 − a2 = 0 doua drepte paralele

Y 2 = 0 doua drepte confundate

Y 2 + a2 = 0 ∅

2.6 Exercitii

1. Sa se scrie ecuatiile cercurilor determinate de:

(a) centrul ın C(2,−3) si raza r = 7

(b) centrul ın C(1,1) si o tangeta la cerc este dreapta 3x + 4y + 8 = 0

(c) extremitatile unui diametru sunt A(3,2) si B(−1,6)(d) trece prin punctele M1(−1,5), M2(−2,−2), M3(5,5)(e) trece prin origine si are centrul C(2,0)

2.6. EXERCITII 25

2. Sa se determine centrul si raza urmatoarelor cercuri; sa se scrie ecuatiileparametrice si sa se reprezinte grafic:

(a) x2 + y2 − 6x − 4y + 9 = 0

(b) x2 + y2 − 4x + 2y − 4 = 0

(c) x2 + y2 − 2x = 0

(d) x2 + y2 − y = 0

(e) x2 + y2 − 4x + 3 = 0

(f) x2 + y2 − 2x − 2y = 0

3. Sa se determine intersectia cercului cu dreapta:

(a) (C) ∶ x2 + y2 − 2y = 0, (d) ∶ x + y = 1

(b) (C) ∶ x2 + y2 − x = 0, (d) ∶ x = y

4. Sa se scrie ecuatiile elipselor date prin elementele:

(a) F ′(−1,0), F (1,0) si semiaxa mare 5

(b) axa mare 10 si distanta dintre focare 8

(c) axa mica 16 si F (3,0)(d) semiaxele 4 si 2

(e) distanta dintre focare 6 si semiaxa mare 5

(f) semiaxa mare 25 si excentricitatea 0,6

5. Sa se determine semiaxele, focarele si excentricitatea elipselor, si sa se scrieecuatiile lor parametrice:

(a) x2

9 + y2

4 − 1 = 0

(b) 9x2 + 25y2 = 225

(c) 3x2 + 4y2 = 12

(d) x2 + 2y2 − 6 = 0

(e) 25x2 + 169y2 = 225

6. Sa se afle punctele de intersectie ale elipsei cu dreapta:

(a) x2

4 + y2 − 1 = 0, 2x + 2y − 3 = 0

(b) 5x2 + 8y2 − 77 = 0, x + 2y − 7 = 0

7. Sa se scrie ecuatia tangentei la elipsa 2x2 + y2 − 6 = 0 ın punctul M(2,−3)de pe elipsa


8. Sa se scrie ecuatiile hiperbolelor avand focarele pe axa Ox si cunoscandurmatoarele elemente:

(a) semiaxele sunt 4 si 3

(b) distanta dintre varfuri 6 iar distanta ıntre focare 10

(c) semiaxa transversa este 12 si e = 54

(d) F ′(0,−10), F (0,10) si distanta ıntre varfuri 8

9. Sa se afle semiaxele, focarele, excentricitatea si asimptotele hiperbolelor

(a) 16x2 − 25y2 = 400

(b) x2

9 − y2

16 = 1

(c) 2x2 − 5y2 − 10 = 0

10. Sa se reprezinte hiperbolele si asimptotele lor:

(a) x2 − y2 = 1

(b) x2 − 4y2 − 4 = 0

(c) 4y2 − 9x2 − 36 = 0

(d) xy = 2; xy = −2

(e) x2

25 −y2

49 − 1 = 0

11. Sa se scrie ecuatia tangentei la hiperbola

x2

5− y

2

4= 1

ın punctul M0(5,−4)

12. Sa se scrie ecuatiile tangentelor duse din M0(2,−1) la hiperbola

x2 − 4y2 − 1 = 0

si sa se afle punctele de contact.

13. Sa se scrie ecuatia unei parabole cu varful ın originea reperului stiind ca:

(a) focarul este F (1,0)(b) focarul este F (0,2)(c) axa de simetrie este Ox, cu p = 0,5, situata ın semiplanul stang

(d) axa de simetrie este Oy, p = 3 si situata ın semiplanul inferior

14. Sa se determine focarul, axa de simetrie, si sa se reprezinte grafic parabolele:

2.6. EXERCITII 27

(a) y2 = 2x

(b) y2 = −4x

(c) x2 = −5y

(d) x2 = y

15. Sa se scrie ecuatia tangentei si ecuatia normalei la parabola y2 = 3x ınpunctul de abscisa x = 3.

16. Sa se recunoasca si sa se reprezinte grafic curbele:

(a) 4x2 − 5y2 = 20

(b) x2 + y2 − 9 = 0

(c) y2 − x = 0

(d) x2 + y2 − 2x = 0

(e) 2x2 + y2 − 4 = 0

(f)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = 2 cos t

y = sin t, t ∈ [0,2π]

(g) y + 2x2 = 20

(h) 16x2 − 9y2 + 144 = 0

(i) 2x2 + 2y2 − 1 = 0

(j)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = 1 + 2 cos t

y = 2 sin t, t ∈ [0,2π]

(k) y2 + 4x = 0

(l)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = 3 cos t

y = 2 sin t, t ∈ [0,2π]

17. Sa se reprezinte domeniile din plan marginite de curbele:

a)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

y2 = xx2 = y

b)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

y = x2

y = 1c)

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

y = xy = −xx = 2

18. Sa se reprezinte domeniile din plan determinate de:

a)

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x2 + y2 ≤ 2y

y ≤ x2

x ≥ 0

b)

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

x2 + y2 ≤ 4

x2 + y2

4 ≥ 1

x ≥ 0

c)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x2 + y2 ≤ 4

x2 + y2 ≥ 2xd)

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

x2 + y2 ≤ 2

x ≤ y2

x ≥ −y2

y ≤ 0

19. Sa se aduca la forma canonica si sa se reprezinte grafic conicele:

(a) 5x2 + 8xy + 5y2 − 18x − 18y + 9 = 0

R: X2

1 + Y 2

9 − 1 = 0, C(1,1), α = π4 .

(b) 5x2 − 8xy + 5y2 − 12x + 6y = 0

R: X2

9 + Y 2

1 − 1 = 0, C(2,1), α = π4 .


(c) 5x2 + 6xy + 5y2 − 16x − 16y − 16 = 0

R: X2

4 + Y 2

16 − 1 = 0, C(1,1), α = π4 .

(d) x2 − xy + y2 − 5x + y − 2 = 0

R: X2

18 + Y 2

6 − 1 = 0, C(3,1), α = π4 .

(e) 3x2 − 2xy + 3y2 − 4x − 4y − 36 = 0

R: X2

20 + Y 2

10 − 1 = 0, C(1,1), α = π4 .

(f) 3x2 + 10xy + 3y2 − 2x − 14y − 13 = 0

R: X2

1 − Y 2

4 − 1 = 0, C(2,−1), α = π4 .

(g) x2 − 8xy + 7y2 + 6x − 6y + 9 = 0

R: X2

9 − Y 2

1 − 1 = 0, C(1,1), α = arctg 12 .

(h) 3xy + 6x − y − 8 = 0

R: X2

4 − Y 2

4 − 1 = 0, C(13 ,−2), α = π

4 .

(i) 6xy + 8y2 − 12x − 26y + 11 = 0

R: X2

1 − Y 2

9 − 1 = 0, C(−1,2), α = arctg 3.

(j) 5x2 + 12xy − 22x − 12y − 19 = 0

R: X2

4 − Y 2

9 − 1 = 0, C(1,1), α = arctg 23 .

Capitolul 3

Curbe plane

3.1 Introducere

Definitia 3.1. Fie un interval de numere reale I = [a, b]. Se numeste curbaplana o multime de puncte din R2 ale caror coordonate sunt date prin

(Γ) ∶⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = x(t)y = y(t)

, t ∈ [a, b]; (3.1)

Ecuatiile (3.1) se numesc ecuatiile parametrice ale curbei, iar t se numesteparametrul curbei. Ecuatiile asociaza fiecarei valori a parametrului t ∈ [a, b] unpunct M(x(t), y(t)) de pe curba.

Reprezentarea parametrica poate fi scrisa sub forma vectoriala

Ð→r =Ð→r (t) = x(t)Ð→i + y(t)Ð→j (3.2)

Daca functiile x(t), y(t) sunt continue pe [a, b], atunci reprezentarile para-metrice de mai sus se numesc drumuri. O curba poate fi data prin mai multeparametrizari, deci poate fi imaginea mai multor drumuri echivalente. De exemplu,un cerc cu centrul ın origine si de raza R are reprezentarea parametrica

x = R cos t, y = R sin t, t ∈ [0,2π].

In acelasi timp, semicercul de deasupra axei Ox mai poate fi reprezentat si prin

x = t, y =√R2 − t2, t ∈ [−R,R].

Definitia 3.2. Fie r(t) = (x(t), y(t)), t ∈ [a, b] un drum ın plan. Spunem ca acestdrum este:

1. ınchis daca x(a) = x(b), y(a) = y(b);

2. simplu daca r(t) este o functie injectiva. Asadar curba corespunzatoare nuare puncte multiple, nu se autointersecteaza;

29

30 CAPITOLUL 3. CURBE PLANE

3. neted daca x(t), y(t) au derivata continua si nu exista nicio valoare t ∈ [a, b]pentru care x′(t) = y′(t) = 0.

In mod similar se pot defini notiunile de mai sus si pentru curbe ın spatiu. Unpunct corespunzator unei valori t0 ∈ [a, b] cu proprietatea ca x′(t0) = y′(t0) = 0 senumeste punct singular al curbei.

Pe langa ecuatiile parametrice din definitie, o curba plana mai poate fi repre-zentata astfel:

� ecuatie carteziana explicita

y = f(x), x ∈ [a, b] (3.3)

� ecuatie carteziana implicita

F (x, y) = 0, (x, y) ∈D ⊂ R2 (3.4)

� ecuatie polara explicita

ρ = f(θ), θ ∈ [θ1, θ2] (3.5)

unde ρ si θ sunt coordonatele polare ale unui punct de pe curba:

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = ρ cos θ

y = ρ sin θ, ρ > 0, θ ∈ [0,2π]

3.2 Tangenta si normala la o curba plana

Definitia 3.3. Fie o curba neteda Γ si un punct M0 ∈ Γ. Dreapta limita a secanteiM0M cand punctul M tinde catre M0 pe curba se numeste tangenta la curbaın punctul M0.

� Pentru ecuatii parametrice Γ ∶⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = x(t)y = y(t)

, ecuatia tangentei la curba ın

M0(x(t0), y(t0)) estex − x(t0)x′(t0)

= y − y(t0)y′(t0)

� Pentru ecuatie carteziana explicita Γ ∶ y = f(x), ecuatia tangentei ınM0(x0, f(x0))este:

y − f(x0) = f ′(x0)(x − x0)

� Pentru ecuatie carteziana implicita Γ ∶ F (x, y) = 0, ecuatia tangentei la curbaın M0(x0, y0) este

∂F

∂x(x0, y0) ⋅ (x − x0) +

∂F

∂y(x0, y0) ⋅ (y − y0) = 0.

3.3. CURBURA UNEI CURBE PLANE. INFASURATOARE 31

Definitia 3.4. Se numeste normala la curba Γ ın punctul M0 dreapta care treceprin M0 si este perpendiculara pe tangenta la curba ın M0.

� Pentru ecuatii parametrice Γ ∶⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = x(t)y = y(t)

, ecuatia normalei la curba ın

M0(t = t0) este

x′(t0)(x − x(t0)) + y′(t0)(y − y(t0)) = 0

� Pentru ecuatie carteziana explicita Γ ∶ y = f(x), ecuatia normalei la curbaın M0(x0, y0) este

x − x0 + f ′(x0)(y − y0) = 0

� Pentru ecuatie carteziana implicita Γ ∶ F (x, y) = 0, ecuatia normalei la curbaın M0(x0, y0) este

x − x0

∂F∂x (x0, y0)

= y − y0

∂F∂y (x0, y0)

Exemplu Sa se scrie ecuatia tangentei si ecuatia normalei la curba de ecuatii

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = t3 − 2t

y = t2 + 1, t ∈ [0,4]

ın punctul M0(t0 = 2).

� coordonatele carteziene: M0(4,5);

�

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x′ = 3t2 − 2

y′ = 2t⇒

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x′(2) = 10

y′(2) = 4

� tangenta:x − 4

10= y − 5

4⇔ 2x − 5y + 17 = 0

� normala: 10(x − 4) + 4(y − 5) = 0⇔ 5x + 2y − 30 = 0

3.3 Curbura unei curbe plane. Infasuratoare

Fie M0 un punct ordinar al unei curbe plane Γ si M un punct arbitrar al curbei ınvecinatatea lui M0. Notam cu ∆ω unghiul dintre tangentele ın M0 si M la curbasi cu ∆s lungimea arcului de curba M0M .

Definitia 3.5. Curbura curbei Γ ın punctul M0 este prin definitie

1

R= lim

∆s→0∣∆ω∆s

∣

R se numeste raza de curbura a curbei Γ ın punctul M0.


Observatii

1. Daca limita din definitia curburii este 0, atunci raza de curbura este ∞.

2. Cand curba Γ este data parametric prin

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = x(t)y = y(t)

, obtinem

1

R= ∣x′y′′ − x′′y′∣√

((x′)2 + (y′)2)3

3. Cand curba Γ este data explicit prin y = f(x), obtinem

1

R= ∣f ′′(x)∣√

(1 + (f ′(x))2)3

4. Cand curba Γ este data prin reprezentarea polara explicita ρ = ρ(θ), obtinem

1

R= ∣ρ2 + 2(ρ′)2 − ρρ′′∣√

(ρ2 + (ρ′)2)3

Fie o ecuatie de formaf(x, y,α) = 0 (3.6)

unde α este un parametru real. Pentru fiecare valoare a parametrului α, ecuatia(3.6) reprezinta o curba plana Γα. Cand α variaza ın mod continuu ın R (sauıntr-un interval I ⊂ R), spunem ca ecuatia (3.6) reprezinta o familie de curbeindexata dupa parametrul α.

Definitia 3.6. O curba Γ tangenta la toate curbele familiei (3.6) se numesteınfasuratoarea familiei (3.6).

Ecuatiile parametrice ale ınfasuratoarei se obtin rezolvand sistemul

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

f(x, y,α) = 0∂f∂α(x, y,α) = 0

ın necunoscutele x, y. Eliminand parametrul α din cele doua ecuatii se obtineecuatia carteziana implicita a ınfasuratoarei.

3.4 Curbe plane remarcabile

1. Cicloida este curba descrisa de un punct de pe circumferinta unui cerc careruleaza, fara sa alunece pe o dreapta fixa. Ecuatiile parametrice sunt:

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = a(t − sin t)y = a(1 − cos t)

, t ∈ [0,2π].

3.4. CURBE PLANE REMARCABILE 33

2. Epicicloida este curba descrisa de un punct de pe circumferinta unui cerccare ruleaza, fara sa alunece pe un alt cerc exterior, fix. Ecuatiile parame-trice sunt: ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = (a + b) cos t − b cos a+bb t

y = (a + b) sin t − b sin a+bb t

, t ∈ [0,2π].

3. Cardioida este epicicloida ın care cele doua cercuri au raze egale. Ecuatiacarteziana implicita:

x2 + y2 + 2ax = 2a√x2 + y2

Ecuatia ın coordonate polare:

ρ = 2a(1 − cos θ)

4. Hipocicloida este curba descrisa de un punct de pe circumferinta unui cerccare ruleaza, fara sa alunece pe un alt cerc fix, cercurile fiind interioare.Ecuatiile parametrice sunt:

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = (a − b) cos t + b cos a−bb t

y = (a − b) sin t − b sin a−bb t

, t ∈ [0,2π].

5. Astroida este hipocicloida cu patru ramuri simetrice. In acest caz razacercului mobil este a patra parte din raza cercului fix. Ecuatiile parametricesunt: ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = a cos3 t

y = a sin3 t, t ∈ [0,2π].

Ecuatia implicita:

x23 + y

23 = a

23

6. Spirala lui Arhimede este curba descrisa de un punct care se deplaseazacu o viteza uniforma pe o semidreapta, ın timp ce semidreapta se rotesteın jurul unei extremitati fixe cu o viteza unghiulara constanta. Ecuatia ıncoordonate polare este:

ρ = kθ, k > 0.

7. Lemniscata este locul geometric al punctelor care au produsul distantelorla doua puncte fixe egal cu patratul jumatatii distantei dintre cele 2 punctefixe. Ecuatia ın coordonate polare:

ρ2 = 2a2 cos 2θ, θ ∈ [0,2π].

Ecuatia implicita:(x2 + y2)2 = 2a2(x2 − y2)


8. Foliul lui DescartesEcuatiile parametrice:

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = 3at1+t3

y = 3at2

1+t3

, t ∈ R, a > 0.

Ecuatia implicita:

x3 + y3 − 3axy = 0.

9. LantisorulEcuatia explicita este

y = a2(e

xa + e−

xa ) sau y = a ch

x

a, a > 0.

10. Curba lui GaussEcuatia explicita este

y = e−x2 , x ∈ R

11. StrofoidaEcuatia carteziana este

y2 = x2a + xa − x

3.5 Exercitii

1. Fie curba C ∶ Ð→r (t) = (t2 + 3t)Ð→i + (t2 + 2t)Ð→j . Sa se afle:

(a) intersectiile curbei cu axele de coordonate

(b) intersectiile curbei cu prima bisectoare

(c) ecuatia carteziana implicita a curbei

(d) ecuatia tangentei ın punctul M0(t0 = −2)

2. Sa se scrie ecuatia tangentei si normalei la curba data ın punctul indicat:

(a)

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = t3

1 − t2y = 1 + t2

1 − t2, A(t0 = 2)

(b)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = t3 − 2t

y = t2 + 1, A(t0 = 2)

(c) y = x3 + 2x2 − 4x + 3, M0(−2,5)(d) y = x lnx + 1, M0(x = 1)

3.5. EXERCITII 35

(e) x3 + 3x2y − y2 − 2x + 9 = 0, A(2,−1)(f) x3 − xy2 + 2x + y − 3 = 0, A(y = 0)

3. Sa se scrie ecuatiile tangentei si normalei la elipsa

x2

4+ y2 − 1 = 0

ın punctul M0 (√

3, 12)

4. Sa se calculeze curbura urmatoarelor curbe ın punctele indicate:

(a) Ð→r (t) = t2Ð→i + t3Ð→j , A(1,1)R: 6

13√

13

(b)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = sin t

y = t cos t, M (t = π

2)

R: 4π2

(c) y = x3 − x2 + 2x − 2, A(1,0)R: 2

5√

10

(d) y = x2 − 1, M(1,0)R: 2

5√

5

(e) ρ = a sin 2θ, M (θ = π4)

5. Sa se determine ınfasuratoarea urmatoarelor familii de curbe:

(a) αx − α2y − 1 = 0R: x2 = 4y

(b) α2x − (α − 1)y + 2 = 0R: y2 − 4xy − 8x = 0

(c) (α2 − 1)x − 2αy + 2α2 − 1 = 0R: x3 + xy2 + 4x2 + 3y2 + 4x + 4y+ = 0

(d) (x − α)2 + y2 = 4αR: y2 + 4x + 4 = 0


Capitolul 4

Integrale curbilinii si duble

4.1 Integrala curbilinie

Definitia 4.1. Fie un interval de numere reale I = [a, b].

1. Se numeste curba plana o multime de puncte din R2 ale caror coordonatesunt date parametric prin

(C) ∶⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = x(t)y = y(t)

, t ∈ [a, b];

2. Se numeste curba ın spatiu o multime de puncte din R3 ale caror coordo-nate sunt date parametric prin

(C) ∶⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = x(t)y = y(t)z = z(t)

, t ∈ [a, b].

Definitia 4.2. 1. Fie C1 si C2 doua curbe date prin reprezentarile parametrice

(C1) ∶ r1(t) = (x1(t), y1(t)) , t ∈ [a, b]

(C2) ∶ r2(t) = (x2(t), y2(t)) , t ∈ [b, c]cu proprietatea ca r1(b) = r2(b). Se numeste juxtapunerea curbelor C1 siC2 urmatoarea curba:

C1 ∪C2 ∶ r(t) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

r1(t), daca t ∈ [a, b]r2(t), daca t ∈ [b, c]

.

2. Un drum se numeste neted pe portiuni daca este juxtapunerea unui numarfinit de drumuri netede.

37

38 CAPITOLUL 4. INTEGRALE CURBILINII SI DUBLE

Teorema 4.1. Fie o curba neteda data prin (C) ∶⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = x(t)y = y(t)

, t ∈ [a, b]. Atunci

lungimea acestei curbe este

L = ∫b

a

√x′(t)2 + y′(t)2dt.

Cantitateads =

√x′(t)2 + y′(t)2dt

se numeste elementul de arc pe curba C.In mod similar se definesc lungimea unei curbe si elementul de arc pentru curbe

ın spatiu:

L = ∫b

a

√x′(t)2 + y′(t)2 + z′(t)2dt

ds =√x′(t)2 + y′(t)2 + z′(t)2dt

Teorema 4.2. Fie o curba neteda C data parametric prin

(C) ∶⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = x(t)y = y(t)

, t ∈ [a, b]

si o functie f ∶ D → R, unde domeniul D include curba C. Daca functia compusaf(x(t), y(t)) este integrabila pe [a, b], atunci f este integrabila pe C si integralacurbilinie de prima speta a functiei f pe curba C este

∫Cf(x, y)ds = ∫

b

af(x(t), y(t))

√x′(t)2 + y′(t)2dt.

Teorema 4.3. Fie C = C1 ∪C2 ∪ . . .Cp un drum neted pe portiuni si f o functieintegrabila pe fiecare Ci, i = 1, . . . , p. Atunci f este integrabila pe C si avem

∫Cf(x, y)ds =

p

∑i=1∫Ci

f(x, y)ds.

In mod similar se defineste integrala curbilinie de prima speta a unei functiide trei variabile pe o curba neteda ın spatiu, si avem:

∫Cf(x, y, z)ds = ∫

b

af(x(t), y(t), z(t))

√x′(t)2 + y′(t)2 + z′(t)2dt.

Aplicatii

� Masa unui corp filiform:

m(C) = ∫Cρ(x, y, z)ds

unde ρ este densitatea de masa.

4.1. INTEGRALA CURBILINIE 39

� Coordonatele centrului de greutate al unui corp filiform:

xG = ∫Cxρds

∫C ρds, yG = ∫C

yρds

∫C ρds, zG = ∫C

zρds

∫C ρds


Teorema 4.4. Fie o curba neteda orientata C ∶⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = x(t)y = y(t)

, t ∈ [a, b] si P,Q ∶

D ⊂ R2 → R, unde D include curba C. Daca functiile compuse P (x(t), y(t)) siQ(x(t), y(t)) sunt continue pe [a, b], atunci integrala curbilinie de speta adoua (sub forma generala) a functiilor P si Q pe curba C este

∫CP (x, y)dx +Q(x, y)dy = ∫

b

a[P (x(t), y(t))x′(t) +Q(x(t), y(t))y′(t)]dt.

In mod similar se defineste integrala curbilinie de speta a doua pentru curbeın spatiu, iar teorema de mai sus se transcrie:

∫CP (x, y, z)dx +Q(x, y, z)dy +R(x, y, z)dz =

= ∫b

a[P (x(t), y(t), z(t))x′(t) +Q(x(t), y(t), z(t))y′(t) + P (x(t), y(t), z(t))z′(t)]dt.

Daca C = C1 ∪C2 este o curba neteda pe portiuni, atunci avem:

∫CPdx +Qdy +Rdz = ∫

C1

Pdx +Qdy +Rdz + ∫C2

Pdx +Qdy +Rdz

Aplicatii

� Aria unui domeniu plan:

A(D) = 1

2∫Cxdy − ydx

unde D este domeniul plan delimitat de curba ınchisa neteda (sau netedape portiuni) C.

� Lucrul mecanic al unui camp de forte:

L = ∫C

Ð→F dÐ→r = ∫

CPdx +Qdy +Rdz

unde P, Q si R sunt componentele forteiÐ→F care actioneaza asupra unui

corp care se deplaseaza de-a lungul curbei C.


4.2 Integrala dubla

Teorema 4.5. Fie o functie f integrabila pe domeniul dreptunghiular

D = {(x, y) ∈ R2∣a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}

astfel ıncat pentru orice x ∈ [a, b] exista integrala

I(x) = ∫d

cf(x, y)dy.

Atunci exista si integrala ∫b

aI(x)dx si avem

∬Df(x, y)dxdy = ∫

b

a[∫

d

cf(x, y)dy]dx.

Teorema 4.6. Fie o functie f integrabila pe domeniul dreptunghiular

D = {(x, y) ∈ R2∣a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}

astfel ıncat pentru orice y ∈ [c, d] exista integrala

I(y) = ∫b

af(x, y)dx.

Atunci exista si integrala ∫d

cI(y)dy si avem


d

c[∫

b

af(x, y)dx]dy.

Definitia 4.3. Un domeniu plan marginit de doua drepte verticale x = a si x = bsi de graficele a doua functii continue y = g1(x) si y = g2(x)

D = {(x, y) ∈ R2∣a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x)}

se numeste simplu ın raport cu axa Oy.

Teorema 4.7. Fie o functie f integrabila pe domeniul D simplu ın raport cu Oy

astfel ıncat pentru orice x ∈ [a, b] exista integrala F (x) = ∫g2(x)

g1(x)f(x, y)dy. Atunci

exista si ∫b

aF (x)dx si avem


b

a[∫

g2(x)

g1(x)f(x, y)dy]dx.

4.2. INTEGRALA DUBLA 41

Definitia 4.4. Un domeniu plan marginit de doua drepte orizontale y = c si y = dsi de graficele a doua functii continue x = h1(y) si x = h2(y)

D = {(x, y) ∈ R2∣c ≤ y ≤ d, h1(y) ≤ x ≤ h2(y)}

se numeste simplu ın raport cu axa Ox.

Teorema 4.8. Fie o functie f integrabila pe domeniul simplu ın raport cu Ox

astfel ıncat pentru orice y ∈ [c, d] exista integrala G(y) = ∫h2(y)h1(y)

f(x, y)dx. Atunci

exista si integrala ∫ dc G(y)dy si avem


d

c[∫

h2(y)

h1(y)f(x, y)dx]dy.

Teorema 4.9 (Formula lui Green). Fie D un domeniu plan ınchis, marginit deo curba C ınchisa si neteda (pe portiuni), si astfel ıncat atat paralelele la axaOx cat si paralelele la axa Oy intersecteaza curba C numai ın doua puncte. FieP,Q ∶ D → R doua functii de 2 variabile, continue, astfel ıncat P are derivatapartiala continua ın raport cu y si Q are derivata partiala continua ın raport cux. Atunci avem:

∫CP (x, y)dx +Q(x, y)dy =∬

D(∂Q∂x

− ∂P∂y

)dxdy

unde sensul de parcurgere al curbei C este ales astfel ıncat domeniul D sa ramanaın stanga.

Teorema 4.10. Fie doua domenii plane D si D′ marginite de curbe ınchise netede(eventual pe portiuni), si o functie vectoriala bijectiva

ϕ ∶D′ →D, ϕ(u, v) = (x(u, v), y(u, v)), ∀(u, v) ∈D′

ale carei componente admit derivate partiale continue ın raport cu x si y. Atunciaria domeniului D este

A(D) =∬D′

∣D(x, y)D(u, v)∣dudv

undeD(x,y)D(u,v) =

RRRRRRRRRRR

∂x∂u

∂x∂v

∂y∂u

∂y∂v

RRRRRRRRRRReste jacobianul transformarii ϕ.

Teorema 4.11 (Schimbare de variabila). Fie f ∶D → R continua si transformareaϕ definita mai sus. Atunci avem:

∬Df(x, y)dxdy =∬

D′f(x(u, v), y(u, v)) ∣D(x, y)

D(u, v)∣dudv.


Aplicatii ale integralei duble

� Masa unei placi plane:

m(D) =∬Dρ(x, y)dxdy


� Coordonatele centrului de greutate al unei placi plane:

xG = ∬Dxρdxdy

∬D ρdxdy, yG = ∬D

yρdxdy

∬D ρdxdy


� Momente de inertie

– Momentul de inertie fata de origine:

IO =∬D(x2 + y2)ρ(x, y)dxdy

– Momentul de inertie fata de axele de coordonate:

IOx =∬Dy2ρ(x, y)dxdy; IOy =∬

Dx2ρ(x, y)dxdy


4.3 Exercitii

1. Sa se calculeze urmatoarele integrale curbilinii de primul tip:

(a) ∫(C)

(x + y)ds, unde (C) ∶⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = cos t

y = sin t, t ∈ [0, π2 ]

R: 2

(b) ∫(C)

(x2 + y2)ds, unde (C) ∶ y = 2x + 1, x ∈ [0,2]

R: 70√

53

(c) ∫(C)

xyds, unde (C) ∶ y = x2, x ∈ [−1,1];

R: 0;

(d) ∫(C)

y5ds, unde (C) ∶ x = y4

4 , y ∈ [0,2];

R: 19 (65

32 − 1).

4.3. EXERCITII 43

(e) ∫(C)

xyds, C fiind portiunea din primul cadran a elipsei x2

a2+ y2

b2= 1.

R:ab(a2+ab+b2)

3(a+b) .

(f) ∫(C)

yds, unde (C) este segmentul parabolei y2 = 2px de la originea

coordonatelor pana la A (a, b) , a > 0, b > 0.

R: 13p [(b

2 + p2) 32 − p3]

2. Sa se calculeze urmatoarele integrale curbilinii de al doilea tip:

(a) ∫(C)

(x2 − y2)dx; (C) ∶ y = x2, x ∈ [0,2]

R: −5615

(b) ∫(C)

(x2 − y2)dy; (C) ∶ y = x2, x ∈ [0,2]

R: −403

(c) ∫(Ci)

2xydx + x2dy; (C1) y = x, x ∈ [0,1](C2) y = x2, x ∈ [0,1](C3) x = y2, y ∈ [0,1](C4) y = x3, x ∈ [0,1]

R: 1

3. Sa se calculeze urmatoarele integrale duble:

(a) ∬D

(5x2y − 2y3)dxdy, unde D = {(x, y) ∈ R2∣2 ≤ x ≤ 5, 1 ≤ y ≤ 3}

R: 660

(b) ∬D

x2

1 + y2dxdy, unde D = {(x, y) ∈ R2∣0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}

R: π12

(c) ∬D

xex+ydxdy, unde D = {(x, y) ∈ R2∣0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}

R: e − 1

(d) ∬D

(1 − x)(1 − xy)dxdy, unde D = {(x, y) ∈ R2∣1 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 1}

R: 13

4. Sa se calculeze urmatoarele integrale duble:

(a) ∬D

xydxdy unde D este triunghiul determinat de punctele O(0,0),

A(1,0), B(1,2).


(b) ∬D

(2x+y)dxdy, unde D este triunghiul marginit de axele de coordonate

si dreapta x + y = 3R: 27

2

(c) ∬D

x2

y2dxdy, unde D este domeniul marginit de dreptele x = 2, y = x si

hiperbola xy = 1R: 9

4

(d) ∬D

(x+6y)dxdy, unde D este domeniul marginit de x = 1, y = x, y = 5x.

R: 763

(e) ∬D

xydxdy, unde D este domeniul marginit de parabola y = x2 si de

dreapta y = 2x + 3R: 53 + 1

3

5. Folosind o schimbare de variabile convenabila, sa se calculeze urmatoareleintegrale duble:

(a) ∬D

y2dxdy, unde D = {(x, y) ∈ R2∣x2 + y2 ≤ 4, y ≥ 0}R: 2π

(b) ∬D

xydxdy, unde D = {(x, y) ∈ R2∣1 ≤ x2 + y2 ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0}

(c) ∬D

ydxdy, unde D = {(x, y) ∈ R2∣x2 + y2 − 2x ≤ 0, y > 0}

R: 16

(d) ∬D

(x2 + y2)dxdy, unde D = {(x, y) ∈ R2∣x ≤ x2 + y2 ≤ 2x}

R: 45π32

(e) ∬D

dxdy1+xy , unde D = {(x, y) ∈ R2∣1 ≤ xy ≤ 2, x ≤ y ≤ 3x}

R: ln 32 ln 3

2

(f) ∬D

e−(

x2

a2+

y2

b2)

dxdy unde D este exteriorul elipsei x2

a2+ y2

b2− 1 = 0

R: πabe

6. Sa se calculeze aria interiorului elipsei de semiaxe a si b.R: πab

7. Sa se afle aria domeniului plan marginit de curbele

xy = 6, x2 + y − 7 = 0 situat ın primul cadran

R: 143 − 6 ln 2

4.3. EXERCITII 45

8. Sa se calculeze aria domeniului marginit de curba x23 + y 2

3 = a 23 (astroida).

R: 38πa

2

9. Sa se calculeze coordonatele centrului de greutate al unui dreptunghi delaturi a si b daca densitatea variaza direct proportional cu patratul distanteide la punct la unul din varfurile dreptunghiului.

R: xG = a(3a2+2b2)4(a2+b2)

, yG = a(2a2+3b2)4(a2+b2)

10. Sa se calculeze momentele de inertie ın raport cu axele de coordonate aledomeniului plan determinat de

x + y ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0

de densitate ρ = 1 + xy.R: Ix = Iy = 11

120


Capitolul 5

Planul si dreapta ın spatiu

5.1 Planul

Fie {O;Ð→i ,Ð→j ,Ð→k } un reper cartezian ortogonal ın V3 si un plan p ın spatiul geo-

metric tridimensional E3.

Definitia 5.1. Un vector nenulÐ→N se numeste vector normal la planul p daca

dreapta suport a unui reprezentant al sau este perpendiculara pe planul p.

DacaÐ→N este un vectori normal la planul p, atunci si λ

Ð→N , λ ∈ R∗ este tot un

vector normal la planul p.

Definitia 5.2. Doi vectori necoliniari Ð→a siÐ→b ai caror reprezentanti au dreptele

suport paralele cu planul p se numesc vectori directori ai planului p.

Planul determinat de un punct si un vector normal

Fie un plan p, un punct M0(x0, y0, z0) ın acest plan, siÐ→N = AÐ→i +BÐ→j + CÐ→k un

vector normal la planul p. DeoareceÐ→N este un vector nenul, rezulta ca A,B,C nu

sunt simultan nuli, adica A2 +B2 +C2 > 0.

Un punct oarecare M(x, y, z) ∈ p⇔ÐÐÐ→M0M ⊥ Ð→N ⇔ÐÐÐ→

M0M ⋅Ð→N = 0

CumÐÐÐ→M0M = (x − x0)

Ð→i + (y − y0)

Ð→j + (z − z0)

Ð→k , folosind expresia analitica a

produsului scalar obtinem

A(x − x0) +B(y − y0) +C(z − z0) = 0 (5.1)

asadar coordonatele oricarui punct din planul p verifica ecuatia anterioara, care senumeste ecuatia normala a planului.

Ecuatia (5.1) se rescrie

Ax +By +Cz −Ax0 −By0 −Cz0 = 0

47

48 CAPITOLUL 5. PLANUL SI DREAPTA IN SPATIU

iar notand cu D = −Ax0 −By0 −Cz0 obtinem

Ax +By +Cz +D = 0 (5.2)

care se numeste ecuatia generala a planului.Ecuatia unui plan nu este unica. Daca ınmultim (5.2) cu λ ∈ R∗ obtinem

λAx + λBy + λCz + λD = 0

ecuatie care este de asemenea verificata de coordonatele oricarui punct din planulp. Orice alta ecuatie a planului p are coeficientii proportionali cu A,B,C,D.

Planul determinat de un punct si doi vectori directori

Fie un plan p, punctul M0(x0, y0, z0) ∈ p si Ð→v 1 = l1Ð→i +m1

Ð→j + n1

Ð→k , Ð→v 2 = l2

Ð→i +

m2Ð→j + n2

Ð→k doi vectori directori (deci necoliniari) ai planului p.

Un punct oarecare M(x, y, z) ∈ p ⇔ vectoriiÐÐÐ→M0M,Ð→v 1,

Ð→v 2 sunt coplanari,

adica daca si numai daca produsul mixt (ÐÐÐ→M0M,Ð→v 1,Ð→v 2) = 0.


Ð→i + (y − y0)

Ð→j + (z − z0)

Ð→k , folosind expresia analitica a

produsului mixt obtinem

RRRRRRRRRRRRRRRRR

x − x0 y − y0 z − z0

l1 m1 n1

l2 m2 n2

RRRRRRRRRRRRRRRRR

= 0 (5.3)

asadar coordonatele oricarui punct din planul p verifica ecuatia anterioara, care senumeste ecuatia planului determinat de un punct si doi vectori directori.

Planul determinat de doua puncte si un vector director

Fie un plan p, punctele M1(x1, y1, z1),M2(x2, y2, z2) ∈ p si Ð→v = lÐ→i +mÐ→j +nÐ→k unvector cu dreapta suport paralela cu p.

Un punct oarecare M(x, y, z) ∈ p⇔ vectoriiÐÐÐ→M1M,

ÐÐÐ→M1M2,

Ð→v sunt coplanari,adica daca si numai daca produsul mixt

(ÐÐÐ→M0M,ÐÐÐ→M1M2,

Ð→v ) = 0.

Folosind expresia analitica a produsului mixt obtinem

RRRRRRRRRRRRRRRRR

x − x1 y − y1 z − z1

x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1

l m n

RRRRRRRRRRRRRRRRR

= 0 (5.4)

asadar coordonatele oricarui punct din planul p verifica ecuatia anterioara, carese numeste ecuatia planului determinat de doua puncte si un vectoridirector.

5.2. DREAPTA 49

Planul determinat de trei puncte

Fie un plan p si punctele M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) ın planul p.

Un punct oarecare M(x, y, z) ∈ p⇔ vectoriiÐÐÐ→M1M,

ÐÐÐ→M1M2,

ÐÐÐ→M1M3 sunt copla-

nari, adica daca si numai daca produsul mixt

(ÐÐÐ→M0M,ÐÐÐ→M1M2,

ÐÐÐ→M1M3) = 0.

Folosind expresia analitica a produsului mixt obtinem

RRRRRRRRRRRRRRRRR

x − x1 y − y1 z − z1

x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1

x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1

RRRRRRRRRRRRRRRRR

= 0 (5.5)

asadar coordonatele oricarui punct din planul p verifica ecuatia anterioara, care senumeste ecuatia planului determinat de trei puncte.

Observatii

� Ecuatia planului xOy este z = 0, iar ecuatia unui plan paralel cu xOy estez = z0;

� Ecuatia planului xOz este y = 0, iar ecuatia unui plan paralel cu xOz estey = y0;

� Ecuatia planului yOz este x = 0, iar ecuatia unui plan paralel cu yOz estex = x0;

� Proiectiile punctului M0(x0, y0, z0) pe planele de coordonate sunt punctelede coordonate

(x0, y0,0), (x0,0, z0), (0, y0, z0)

� Simetricele punctului M0(x0, y0, z0) fata de planele de coordonate sunt punc-tele de coordonate

(x0, y0,−z0), (x0,−y0, z0), (−x0, y0, z0)

5.2 Dreapta

Fie d o dreapta ın spatiul geometric tridimensional E3.

Definitia 5.3. � Vectorul nenul Ð→v = lÐ→i +mÐ→j +nÐ→k ai carui reprezentanti audreapta suport paralela cu dreapta d, se numeste vector director al drepteid;

� Numerele reale l,m,n se numesc parametrii directori ai dreptei d;


�Ð→v 0 = 1

∥Ð→v ∥⋅Ð→v se numeste versor director al dreptei d.

� Numerele cosα, cosβ, cosγ, unde α,β, γ sunt unghiurile facute de vectorulÐ→v cu versorii

Ð→i ,Ð→j si

Ð→k , se numesc cosinusuri directoare ale dreptei d.

Cosinusurile directoare se calculeaza ın functie de parametrii directori astfel:

cosα =Ð→v ⋅Ð→i

∥Ð→v ∥ ⋅ ∥Ð→i ∥= l√

l2 +m2 + n2

cosβ =Ð→v ⋅Ð→j

∥Ð→v ∥ ⋅ ∥Ð→j ∥= m√

l2 +m2 + n2

cosγ =Ð→v ⋅Ð→k

∥Ð→v ∥ ⋅ ∥Ð→k ∥= n√

l2 +m2 + n2

Parametrii directori l,m,n ai unei drepte nu sunt unici. Pentru orice λ ≠ 0,numerele λl, λm,λn sunt de asemenea parametri directori deoarece vectorul λÐ→veste coliniar cu Ð→v deci este de asemenea vector director al dreptei d.

Dreapta determinata de un punct si un vector director

Fie o dreapta d, un punct M0(x0, y0, z0) pe aceasta dreapta, si Ð→v = lÐ→i +mÐ→j +nÐ→kun vector director al dreptei d.

Un punct oarecare M(x, y, z) ∈ d⇔ÐÐÐ→M0M,Ð→v coliniari

⇔ ∃λ ∈ R astfel ıncatÐÐÐ→M0M = λÐ→v .


Ð→i + (y − y0)

Ð→j + (z − z0)

Ð→k , obtinem

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x − x0 = λly − y0 = λmz − z0 = λn

⇔⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = x0 + λly = y0 + λmz = z0 + λn

(5.6)

care se numesc ecuatiile parametrice ale dreptei, sau echivalent

x − x0

l= y − y0

n= z − z0

n(5.7)

care se numesc ecuatiile canonice ale dreptei.

Dreapta determinata de doua puncte

Fie o dreapta d si punctele M1(x1, y1, z1),M2(x2, y2, z2) pe dreapta d. VectorulÐÐÐ→M1M2 este un vector director al dreptei d si avem

Ð→v =ÐÐÐ→M1M2 = (x2 − x1)Ð→i + (y2 − y1)

Ð→j + (z2 − z1)

Ð→k

5.2. DREAPTA 51

Inlocuind ın (5.7) coordonatele punctului M1 si componentele vectorului directorÐ→v obtinem:

x − x1

x2 − x1= y − y1

y2 − y1= z − z1

z2 − z1(5.8)

ecuatii care sunt verificate de fiecare punct de pe dreapta d si se numesc ecuatiiledreptei prin doua puncte.

Dreapta determinata de doua plane

Teorema 5.1. Fie planele neparalele p1 si p2 avand ecuatiile

(p1) ∶ A1x +B1y +C1z +D1 = 0

(p2) ∶ A2x +B2y +C2z +D2 = 0

Atunci ecuatiile canonice ale dreptei de intersectie a celor doua plane sunt

x − x0

l= y − y0

n= z − z0

n

unde (x0, y0, z0) este o solutie a sistemului format din ecuatiile celor doua plane,iar parametrii directori sunt

l =RRRRRRRRRRR

B1 C1

B2 C2

RRRRRRRRRRR, m =

RRRRRRRRRRR

C1 A1

C2 A2

RRRRRRRRRRR, n =

RRRRRRRRRRR

A1 B1

A2 B2

RRRRRRRRRRR.

Demonstratie: Deoarece planele p1 si p2 sunt neparalele, vectorii normali

Ð→N 1 = A1

Ð→i +B1

Ð→j +C1

Ð→k

Ð→N 2 = A2

Ð→i +B2

Ð→j +C2

Ð→k

sunt necoliniari, deci matricea⎛⎝A1 B1 C1

A2 B2 C2

⎞⎠

are rangul 2, asadar sistemul for-

mat din ecuatiile celor doua plane este compatibil.

Dreapta de intersectie este perpendiculara pe vectorii normaliÐ→N 1 si

Ð→N 2, deci

un vector director al acestei drepte poate fi ales Ð→v = Ð→N 1 ×Ð→N 2 =

RRRRRRRRRRRRRRRRR

Ð→i

Ð→j

Ð→k

A1 B1 C1

A2 B2 C2

RRRRRRRRRRRRRRRRR

,

de unde obtinem parametrii directori din enunt.Observatii

� Ecuatiile axei Ox sunt

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

y = 0

z = 0;

� Ecuatiile axei Oy sunt

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = 0

z = 0;


� Ecuatiile axei Oz sunt

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = 0

y = 0;

� Proiectiile punctului M0(x0, y0, z0) pe axele de coordonate sunt punctele decoordonate

(x0,0,0), (0, y0,0), (0,0, z0)

� Simetricele punctului M0(x0, y0, z0) fata de axele de coordonate sunt punc-tele de coordonate

(x0,−y0,−z0), (−x0, y0,−z0), (−x0,−y0, z0)

5.3 Unghiuri si distante

Unghiul a doua drepte

Fie dreptele d1, d2 date prin ecuatiile:

d1 ∶x − x1

l1= y − y1

m1= z − z1

n1

d2 ∶x − x2

l2= y − y2

m2= z − z2

n2

Atunci unghiul θ dintre cele doua drepte este dat de unghiul dintre vectorii directori

ai celor doua drepte Ð→v 1 = l1Ð→i +m1

Ð→j + n1

Ð→k si Ð→v 2 = l2

Ð→i +m2

Ð→j + n2

Ð→k :

cos θ =Ð→v 1 ⋅Ð→v 2

∥Ð→v 1∥ ⋅ ∥Ð→v 2∥= l1l2 +m1m2 + n1n2√

l21 +m21 + n2

1 ⋅√l22 +m2

2 + n22

Unghiul a doua plane

Fie planele p1, p2 date prin ecuatiile:

p1 ∶ A1x +B1y +C1z +D1 = 0

p2 ∶ A2x +B2y +C2z +D2 = 0

Presupunem ca planele nu coincid si nu sunt nici paralele (cazuri ın care unghiuldintre plane este 0). Unghiul diedru dintre cele doua plane este egal cu unghiulplan obtinut prin sectionarea planelor cu un plan perpendicular pe dreapta deintersectie a celor doua plane, care este egal cu unghiul dintre normalele la cele

doua planeÐ→N 1 = A1

Ð→i +B1

Ð→j +C1

Ð→k si

Ð→N 2 = A2

Ð→i +B2

Ð→j +C2

Ð→k :

cos θ =Ð→N 1 ⋅

Ð→N 2

∥Ð→N 1∥ ⋅ ∥Ð→N 2∥

= A1A2 +B1B2 +C1C2√A2

1 +B21 +C2

1 ⋅√A2

2 +B22 +C2

2

5.3. UNGHIURI SI DISTANTE 53

Unghiul dintre o dreapta si un plan

Fie dreapta d si planul p date prin ecuatiile:

d ∶ x − x0

l= y − y0

m= z − z0

n

p ∶ Ax +By +Cz +D = 0

Fie Ð→v = lÐ→i +mÐ→j + nÐ→k un vector director al dreptei d siÐ→N = AÐ→i + BÐ→j + CÐ→k

un vector normal la planul p. Unghiul θ dintre dreapta d si planul p este prindefinitie unghiul dintre dreapta d si proiectia acesteia pe planul p, care este egalcu complementul unghiului dintre dreapta d si normala la planul p:

sin θ = cos(π2− θ) =

Ð→N ⋅Ð→v

∥Ð→N ∥ ⋅ ∥Ð→v ∥= Al +Bm +Cn√

A2 +B2 +C2 ⋅√l2 +m2 + n2

Distanta de la un punct la un plan

Teorema 5.2. Fie punctul M0(x0, y0, z0) si planul p dat prin ecuatia

p ∶ Ax +By +Cz +D = 0

Atunci distanta de la punctul M0 la planul p este

dist(M0, p) =∣Ax0 +By0 +Cz0 +D∣√

A2 +B2 +C2

Demonstratie: Scriem ecuatiile perpendicularei din M0 pe planul p:

d ∶ x − x0

A= y − y0

B= z − z0

C

Fie {M1} = d∩p. Atunci distanta de la M0 la p este lungimea segmentului M0M1.Aflam coordonatele proiectiei M1 intersectand dreapta d cu planul p. Ecuatiile

parametrice ale lui d sunt

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = x0 + λAy = y0 + λBz = z0 + λC

. Inlocuind ın ecuatia planului p obtinem

A(x0 + λA) +B(y0 + λB) +C(z0 + λC) +D = 0

Ax0 +By0 +Cz0 +D + λ(A2 +B2 +C2) = 0

λ1 = −Ax0 +By0 +Cz0 +D

A2 +B2 +C2

VectorulÐÐÐ→M0M1 = λ1A

Ð→i + λ1B

Ð→j + λ1C

Ð→k are lungimea

∥ÐÐÐ→M0M1∥ =√λ2

1(A2 +B2 +C2) = ∣λ1∣√A2 +B2 +C2

= ∣Ax0 +By0 +Cz0 +D∣√A2 +B2 +C2


Distanta de la un punct la o dreapta

Teorema 5.3. Fie punctul M0(x0, y0, z0) si dreapta d data prin ecuatiile

d ∶ x − x1

l= y − y1

m= z − z1

n

Atunci distanta de la punctul M0 la dreapta d este

dist(M0, d) =∥ÐÐÐ→M1M0 ×Ð→v ∥

∥Ð→v ∥

unde M1(x1, y1, z1) ∈ d, iar Ð→v = lÐ→i +mÐ→j + nÐ→k .

Demonstratie: Fie M proiectia lui M0 pe d si θ unghiul dintreÐÐÐ→M1M0 si Ð→v .

Avem dist(M0, d) = ∥ÐÐÐ→M0M∥ = ∥ÐÐÐ→M1M0∥ sin θ = ∥ÐÐÐ→M1M0∥∥Ð→v ∥ sin θ

∥Ð→v ∥= ∥ÐÐÐ→M1M0 ×Ð→v ∥

∥Ð→v ∥

Perpendiculara comuna. Distanta dintre doua drepte

Fie doua drepte necoplanare date prin ecuatiile

d1 ∶x − x1

l1= y − y1

m1= z − z1

n1

d2 ∶x − x2

l2= y − y2

m2= z − z2

n2

Exista o dreapta unica d perpendiculara pe d1 si d2 care si intersecteaza cele douadrepte, numita perpendiculara comuna. Notam cuM1(x1, y1, z1) ∈ d1, M2(x2, y2, z2) ∈d2 iar Ð→v 1 = l1

Ð→i +m1

Ð→j + n1

Ð→k , Ð→v 2 = l2

Ð→i +m2

Ð→j + n2

Ð→k vectori directori ai celor

doua drepte. Atunci un vector director al perpendicularei comune este vectorul

Ð→v =Ð→v 1 ×Ð→v 2 = lÐ→i +mÐ→j + nÐ→k ,

iar ecuatiile perpendicularei comune sunt obtinute prin intersectarea planelor p1

care contine d1 si d, si p2 care contine d2 si d.

p1 ∶

RRRRRRRRRRRRRRRRR

x − x1 y − y1 z − z1

l1 m1 n1

l m n

RRRRRRRRRRRRRRRRR

= 0

p2 ∶

RRRRRRRRRRRRRRRRR

x − x2 y − y2 z − z2

l2 m2 n2

l m n

RRRRRRRRRRRRRRRRR

= 0

5.4. EXERCITII 55

Avem d = p1∩p2, iar distanta dintre cele doua drepte este lungimea perpendiculareicomune, care este egala cu ınaltimea paralelipipedului construit pe vectorii Ð→v 1,Ð→v 2 si

ÐÐÐ→M1M2, considerand ca baza paralelogramul construit pe vectorii Ð→v 1 si Ð→v 2:

dist(d1, d2) =∣(ÐÐÐ→M1M2,

Ð→v 1,Ð→v 2)∣

∥Ð→v 1 ×Ð→v 2∥

5.4 Exercitii

1. Se considera punctul A(−1,2,4) dreapta (d) ∶ x2 = y−1−1 = z+1

3 si planul (p) ∶x + 2y − 2z = 4. Se cer:

(a) vectorulÐ→OA, un vector director al dreptei d notat cu Ð→v si un vec-

tor normal la planul p notat cuÐ→N ; analizati daca

Ð→OA,Ð→v si

Ð→N sunt

coplanari.

(b) ecuatiile dreptei prin A paralela cu d

(c) ecuatia planului prin A paralel cu planul p

(d) ecuatia planului prin d care este perpendicular pe xOz

(e) simetricele punctului A fata de planele si axele de coordonate

(f) ecuatiile canonice ale dreptei de intersectie dintre planele p si xOy

2. Fie punctele A(1,0,−2),B(0,1,3) si planul (p) ∶ 2x − y + 3z − 5 = 0. Sa sedetermine

(a) vectorulÐ→AB, normala planului

Ð→N si produsul vectorial dintre

Ð→AB si

Ð→N

(b) ecuatiile dreptei prin A, paralela cu Ox

(c) ecuatia planului prin B si paralel cu p

(d) ecuatiile dreptei AB

(e) ecuatia planului prin A si B, care este ortogonal pe p

(f) simetricul lui B fata de Oz, xOy si p

3. Se considera punctele A(1,0,1),B(0,1,2) si vectorul Ð→v = Ð→i + Ð→k . Sa sedetermine

(a) ecuatia planului prin A si perpendicular pe Ð→v(b) ecuatiile dreptei AB

(c) proiectia lui B ın planul xOz si simetricul lui B fata de Oz

(d) dist (A, yOz)


(e) ecuatiile dreptei prin A paralela cu Ox

(f) ecuatia planului ce contine axa Ox si punctul B

4. Se considera punctul A(0,1,3) , dreapta (d) ∶⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x + y − z = 1

2x + z − 5 = 0si planul

(p) ∶ x−y+3z = 1. Notam cu Ð→v vectorul director al dreptei si cuÐ→N normala

planului. Se cer:

(a) ecuatiile canonice ale dreptei d

(b) determinati un vector ortogonal peÐ→OA si

Ð→N si stabiliti daca vectorii

Ð→OA,Ð→v si

Ð→N sunt coplanari.

(c) ecuatia planului prin A perpendicular pe dreapta d

(d) proiectia lui A ın planul xOz , simetricul lui A fata de Oz

(e) ecuatiile dreptei prin A paralela cu Ox si ecuatia planului prin A paralelcu xOy

(f) ecuatia planului ce contine dreapta d si este perpendicular pe planul p

5. Sa se afle coordonatele simetricului punctului M(4,1,6) fata de dreapta

(d)⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x − y − 4z + 12 = 0

2x + y − 2z + 3 = 0

6. Se dau dreapta

(d) x − 1

2= y − 1

3= z

1

si planul(p) x + y + z + 1 = 0.

Sa se determine:

(a) ecuatiile proiectiei dreptei d pe planul p;

(b) ecuatiile simetricei dreptei d fata de planul p.

7. Fie planele(p1) 2x − y − z − 2 = 0

(p2) x + 2y + 2z + 1 = 0,

dreptele

(d1)x − 9

4= y + 2

−3= z

1

(d2)x

−2= y + 7

9= z − 2

2

si punctul M(5,−1,1). Sa se gaseasca:

5.4. EXERCITII 57

(a) unghiul dintre planele p1 si p2

(b) unghiul dintre dreptele d1 si d2

(c) unghiul dintre dreapta d2 si planul p1

(d) distanta de la M la planul p2

(e) distanta de la M la dreapta d1

(f) ecuatiile perpendicularei comune dreptelor d1 si d2

(g) distanta dintre dreptele d1 si d2


Capitolul 6

Cuadrice

Definitia 6.1 (Forma generala a unei cuadrice). Se numeste cuadrica o suprafata

ın spatiu definita ın reperul cartezian ortonormat {O;Ð→i ,Ð→j ,Ð→k } printr-o ecuatie

algebrica de gradul al doilea de forma

a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz + 2a14x + 2a24y + 2a34z + a44 = 0,

unde aij ∈ R, i, j ∈ {1,2,3,4}, j ≥ i, iar coeficientii termenilor de gradul aldoilea a11, a22, a33, a12, a13, a23 nu sunt toti nuli.

Asadar o cuadrica este o multime de puncte ın spatiu ale caror coordonate(x, y, z) verifica o ecuatie de gradul al doilea de forma celei de mai sus.

� cuadricele se mai numesc si suprafete algebrice de ordinul al doilea

� exemple de cuadrice: sfera, elipsoid, hiperboloizi, paraboloizi

6.1 Cuadrice pe ecuatii reduse

Definitia 6.2. Fie un punct fixat C(a, b, c) si R > 0 un numar real fixat. Sferade centru C si raza R este locul geometric al punctelor M(x, y, z) care satisfacegalitatea

∥ÐÐ→CM∥ = R. (6.1)

AvemÐÐ→CM = (x − a)Ð→i + (y − b)Ð→j + (z − c)Ð→k , deci (6.1) se rescrie

√(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R

sau echivalent(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 (6.2)

care se numeste ecuatia carteziana implicita a sferei de centru C(a, b, c) si razaR.

59

60 CAPITOLUL 6. CUADRICE

Efectuand calculele ın ecuatia (6.2) obtinem:

x2 + y2 + z2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0, (6.3)

unde d = a2 + b2 + c2 − R2. Se pune problema daca orice ecuatie de forma (6.3)reprezinta ecuatia unei sfere. Cum (6.3) este echivalenta cu

(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = a2 + b2 + c2 − d,

distingem urmatoarele cazuri:

1. daca a2+b2+c2−d > 0 atunci multimea punctelor care satisfac (6.3) reprezintasfera cu centrul C(a, b, c) si raza R =

√a2 + b2 + c2 − d;

2. daca a2+b2+c2−d = 0 atunci multimea punctelor care satisfac (6.3) se reducela punctul de coordonate (a, b, c);

3. daca a2 + b2 + c2 − d < 0 atunci multimea punctelor care satisfac (6.3) estemultimea vida.

Ecuatia (6.3) ın care a2 + b2 + c2 − d > 0 se numeste ecuatia generala a sferei.Fie M(x, y, z) un punct din spatiu si M ′(x, y,0) proiectia lui M pe planul xOy.

Introducem notatiile:

� ρ = ∥ÐÐ→OM∥ - distanta de la M la origine

� ϕ ∈ [0, π] - unghiul dintre Oz siÐÐ→OM

� θ ∈ [0,2π) - unghiul dintre Ox siÐÐ→OM ′

Numerele reale ρ,ϕ, θ se numesc coordonatele sferice ale lui M .Relatiile de legatura ıntre coordonatele carteziene si coordonatele sferice ale punc-tului M sunt:

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = ρ sinϕ cos θ

y = ρ sinϕ sin θ

z = ρ cosϕ

, ρ ≥ 0, ϕ ∈ [0, π], θ ∈ [0,2π).

Considerand coordonatele sferice ale punctelor din sistemul de coordonate cucentrul ın C(a, b, c) si axele paralele cu cele initiale, obtinem ecuatiile parame-trice ale sferei cu centrul ın C si raza R:

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = a +R sinϕ cos θ

y = b +R sinϕ sin θ

z = c +R cosϕ

, ϕ ∈ [0, π], θ ∈ [0,2π).

Consideram un plan (p) si notam cu d distanta de la C la acest plan. Avemurmatoarele situatii posibile:

6.1. CUADRICE PE ECUATII REDUSE 61

� d > R ⇒ intersectia dintre plan si sfera este vida, deci planul este exteriorsferei;

� d = R⇒ intersectia dintre plan si sfera este un punct, deci planul este tangentla sfera;

� d < R⇒ intersectia dintre plan si sfera este un cerc, deci planul este secantla sfera.

Definitia 6.3. Se numeste elipsoid o cuadrica pentru care exista un reper orto-gonal ın spatiu ın raport cu care suprafata are ecuatia canonica

x2

a2+ y

2

b2+ z

2

c2− 1 = 0,

unde a > 0, b > 0, c > 0.

Fie M(x0, y0, z0) un punct pe elipsoid. Atunci:

� punctele de coordonate (x0, y0,−z0), (x0,−y0, z0), (−x0, y0, z0) apartin elip-soidului, deci planele xOy,xOz, yOz sunt plane de simetrie ale elipsoidului

� punctele de coordonate (x0,−y0,−z0), (−x0, y0,−z0), (−x0,−y0, z0) apartinelipsoidului, deci axele Ox,Oy,Oz sunt axe de simetrie ale elipsoidului

� punctul de coordonate (−x0,−y0,−z0) apartine elipsoidului, deci O este cen-tru de simetrie al elipsoidului

Intersectiile elipsoidului de ecuatie x2

a2+ y2

b2+ z2

c2− 1 = 0 cu planele si axele de

coordonate sunt:


� intersectia cu xOy(z = 0): x2

a2+ y2

b2− 1 = 0⇒ elipsa

� intersectia cu xOz(y = 0): x2

a2+ z2

c2− 1 = 0⇒ elipsa

� intersectia cu yOz(x = 0): y2

b2+ z2

c2− 1 = 0⇒ elipsa

� intersectia cu Ox(y = z = 0): x2

a2− 1 = 0⇒ A(a,0,0),A′(−a,0,0)

� intersectia cu Oy(x = z = 0): y2

b2− 1 = 0⇒ B(0, b,0),B′(0,−b,0)

� intersectia cu Oz(x = y = 0): z2

c2− 1 = 0⇒ C(0,0, c),C ′(0,0,−c)

Numerele a, b, c se numesc semiaxele elipsoidului. Daca a = b = c, elipsoidul este osfera. Ecuatiile parametrice ale elipsoidului sunt:

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = a sin θ cosϕ

y = b sin θ sinϕ

z = c cos θ

, θ ∈ [0, π], ϕ ∈ [0,2π).

Definitia 6.4. Se numeste hiperboloid cu o panza o cuadrica pentru care existaun reper ortogonal ın spatiu ın raport cu care suprafata are ecuatia canonica

x2

a2+ y

2

b2− z

2

c2− 1 = 0,

unde a > 0, b > 0, c > 0.

Ca si ın cazul elipsoidului, avem:


� planele de coordonate sunt plane de simetrie

� axele de coordonate sunt axe de simetrie

� originea este centru de simetrie

Tot hiperboloizi cu o panza sunt si cuadricele de ecuatii

x2

a2− y

2

b2+ z

2

c2− 1 = 0 sau

x2

a2− y

2

b2− z

2

c2+ 1 = 0.

Intersectiile hiperboloidului cu o panza de ecuatie x2

a2+ y2

b2− z2

c2−1 = 0 cu planele

si axele de coordonate sunt:


a2+ y2

b2− 1 = 0⇒ elipsa


a2− z2

c2− 1 = 0⇒ hiperbola


b2− z2

c2− 1 = 0⇒ hiperbola


a2− 1 = 0⇒ A(a,0,0),A′(−a,0,0)


b2− 1 = 0⇒ B(0, b,0),B′(0,−b,0)

� intersectia cu Oz(x = y = 0): − z2c2− 1 = 0⇒ ∅

� intersectia cu plane paralele cu xOy(z = z0): x2

a2+ y2

b2− z20c2+ 1 = 0⇒ elipsa

Definitia 6.5. Se numeste hiperboloid cu doua panze o cuadrica pentru careexista un reper ortogonal ın spatiu ın raport cu care suprafata are ecuatia canonica

x2

a2+ y

2

b2− z

2

c2+ 1 = 0,

unde a > 0, b > 0, c > 0.

Ca si ın cazurile anterioare, avem:




Tot hiperboloizi cu doua panze sunt si cuadricele de ecuatii

x2

a2− y

2

b2+ z

2

c2+ 1 = 0 sau

x2

a2− y

2

b2− z

2

c2− 1 = 0.


Definitia 6.6. Se numeste con o cuadrica pentru care exista un reper ortogonalın spatiu ın raport cu care suprafata are ecuatia canonica

x2

a2+ y

2

b2− z

2

c2= 0,

unde a > 0, b > 0, c > 0.

Ca si ın cazurile anterioare, avem:




Tot conuri sunt si cuadricele de ecuatii

x2

a2− y

2

b2+ z

2

c2= 0 sau

x2

a2− y

2

b2− z

2

c2= 0.

Intersectiile conului de ecuatie x2

a2+ y2

b2− z2

c2= 0 cu planele si axele de coordonate

sunt:


a2+ y2

b2= 0⇒ O(0,0,0)


a2− z2

c2= 0⇒ doua drepte


b2− z2

c2= 0⇒ doua drepte



a2= 0⇒ O(0,0,0)


b2= 0⇒ O(0,0,0)

� intersectia cu Oz(x = y = 0): − z2c2

= 0⇒ O(0,0,0)

� intersectia cu plane paralele cu xOy(z = z0): x2

a2+ y2

b2− z20c2

= 0⇒ elipsa

Definitia 6.7. Se numeste paraboloid eliptic o cuadrica pentru care exista unreper ortogonal ın spatiu ın raport cu care suprafata are ecuatia canonica

x2

a2+ y

2

b2= 2z,

unde a > 0, b > 0.

Avem:

� planele xOz si yOz sunt plane de simetrie

� axa Oz este axa de simetrie

Tot paraboloizi eliptici sunt si cuadricele de ecuatii

x2

a2+ z

2

c2= 2y sau

y2

b2+ z

2

c2= 2x.


Intersectiile paraboloidului eliptic de ecuatie x2

a2+ y2

b2= 2z cu planele si axele de

coordonate sunt:


a2+ y2

b2= 0⇒ O(0,0,0)


a2= 2z ⇒ parabola


b2= 2z ⇒ parabola


a2= 0⇒ O(0,0,0)


b2= 0⇒ O(0,0,0)

� intersectia cu Oz(x = y = 0): 2z = 0⇒ O(0,0,0)

� intersectia cu plane paralele cu xOy(z = z0):x2

a2+ y2

b2= 2z0 ⇒ elipsa (pentru z0 > 0)

Definitia 6.8. Se numeste paraboloid hiperbolic o cuadrica pentru care existaun reper ortogonal ın spatiu ın raport cu care suprafata are ecuatia canonica

x2

a2− y

2

b2= 2z,

unde a > 0, b > 0.

Avem:

� planele xOz si yOz sunt plane de simetrie

� axa Oz este axa de simetrie


Tot paraboloizi eliptici sunt si cuadricele de ecuatii

x2

a2− z

2

c2= 2y sau

y2

b2− z

2

c2= 2x.

Intersectiile paraboloidului hiperbolic de ecuatie x2

a2− y2

b2= 2z cu planele si axele

de coordonate sunt:


a2− y2

b2= 0⇒ doua drepte


a2= 2z ⇒ parabola

� intersectia cu yOz(x = 0): −y2

b2= 2z ⇒ parabola


a2= 0⇒ O(0,0,0)


b2= 0⇒ O(0,0,0)

� intersectia cu Oz(x = y = 0): 2z = 0⇒ O(0,0,0)

� intersectia cu plane paralele cu xOy(z = z0):x2

a2− y2

b2= 2z0 ⇒ hiperbola

Definitia 6.9. 1. Se numeste cilindru eliptic o cuadrica pentru care existaun reper ortogonal ın spatiu ın raport cu care suprafata are ecuatia canonica

x2

a2+ y

2

b2− 1 = 0, unde a > 0, b > 0.


2. Se numeste cilindru hiperbolic o cuadrica pentru care exista un reperortogonal ın spatiu ın raport cu care suprafata are ecuatia canonica

x2

a2− y

2

b2− 1 = 0, unde a > 0, b > 0.

3. Se numeste cilindru parabolic o cuadrica pentru care exista un reper or-togonal ın spatiu ın raport cu care suprafata are ecuatia canonica

y2 = 2px, unde p ∈ R.

6.2. SUPRAFETE RIGLATE 69

6.2 Suprafete riglate

Conul si cilindrii sunt suprafete riglate, adica pot fi scrise ca reuniunea unei familiide drepte. In afara de acestea, hiperboloidul cu o panza si paraboloidul hiperbolicsunt de asemenea suprafete riglate.

Ecuatia hiperboloidului cu o panza

x2

a2+ y

2

b2− z

2

c2− 1 = 0

se poate rescrie sub forma

x2

a2− z

2

c2= 1 − y

2

b2⇔ (x

a+ zc) ⋅ (x

a− zc) = (1 + y

b) ⋅ (1 − y

b) (6.4)

Consideram familia de drepte dα,β ∶⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

α(xa+ zc) = β (1 + y

b)

β (xa− zc) = α(1 − y

b)

unde α si β nu sunt

simultan nuli. Reuniunea acestei familii de drepte este chiar hiperboloidul cu opanza anterior.

Fie M0(x0, y0, z0) ∈ dα,β, deci

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

α(x0

a+ z0

c) = β (1 + y0

b)

β (x0

a− z0

c) = α(1 − y0

b)

.

� daca αβ ≠ 0, atunci ınmultind ecuatiile anterioare si ımpartind prin αβ

obtinemx20a2+ y20b2− z20c2− 1 = 0 deci M0 este pe hiperboloid;

� daca α = 0, β ≠ 0⇒ 1+ y0b = 0, x0

a −z0c = 0, asadar ın (6.4) ambii membri sunt

nuli, deci M0 verifica ecuatia hiperboloidului;

� daca α ≠ 0, β = 0⇒ 1− y0b = 0, x0

a +z0c = 0, asadar ın (6.4) ambii membri sunt

nuli, deci M0 verifica ecuatia hiperboloidului;

Asadar orice dreapta din familia dα,β este inclusa ın hiperboloid.Reciproc, se poate arata ca petru orice punct M0(x0, y0, z0) de pe hiperboloid

exista α,β ∈ R astfel ıncat

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

α(x0

a+ z0

c) = β (1 + y0

b)

β (x0

a− z0

c) = α(1 − y0

b)

asadar M0 ∈ dα,β.

Dreptele din familia dα,β se numesc generatoare rectilinii ale hiperboloiduluicu o panza.

O alta familie de generatoare rectilinii ale hiperboloidului cu o panza x2

a2+ y2

b2−

z2

c2− 1 = 0 este

dλ,µ ∶⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

λ(xa+ zc) = µ(1 − y

b)

µ(xa− zc) = λ(1 + y

b)

.


In mod analog gasim pentru paraboloidul hiperbolic x2

a2− y2

b2= 2z urmatoarele

familii de generatoare rectilinii:

dα,β ∶⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

α(xa+ yb) = 2βz

β (xa− yb) = α

si dλ,µ ∶⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

λ(xa+ yb) = µ

µ(xa− yb) = 2λz

.

6.3 Generari de suprafete

Prin ecuatia unei suprafete ın spatiu se ıntelege o ecuatie ın 3 variabile de forma

F (x, y, z) = 0, unde F ∶D ⊂ R3 → R,

ecuatie care este satisfacuta de coordonatele tuturor punctelor de pe suprafata ınraport cu un reper fixat, dar nu este satisfacuta de coordonatele nici unui alt punctdin afara suprafetei.

Orice curba ın spatiu poate fi privita ca intersectia a doua suprafete care continacea curba si care nu mai au alte puncte comune. Asadar o curba ın spatiu poatefi definita prin doua ecuatii de forma

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

F (x, y, z) = 0

G(x, y, z) = 0.

Exemple: o dreapta este intersectia dintre doua plane, un cerc este intersectiadintre o sfera si un plan, etc.

Definitia 6.10. Fie Ð→v = lÐ→i +mÐ→j + nÐ→k ≠ 0 si o curba (C) ∶⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

F (x, y, z) = 0

G(x, y, z) = 0.

Se numeste suprafata cilindrica o suprafata generata prin miscarea unei dreptede directie Ð→v , numita generatoare, care se sprijina pe curba C, numita curbadirectoare a suprafetei.

Ecuatiile unei drepte oarecare de directie Ð→v

x − x0

l= y − y0

m= z − z0

n

pot fi rescrise sub forma de intersectie de plane

dλ,µ ∶⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

nx − lz = λny −mz = µ

,λ,µ ∈ R. (6.5)

Suprafata cilindrica este generata de acele drepte din familia dλ,µ care se spri-jina pe curba C (deci intersecteaza aceasta curba). Asadar cautam acele valori ale

6.3. GENERARI DE SUPRAFETE 71

lui λ si µ pentru care sistemul

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

nx − lz = λny −mz = µF (x, y, z) = 0

G(x, y, z) = 0

(6.6)

este compatibil. Eliminand x, y, z din acest sistem, obtinem o relatie ıntre λ si µ

Φ(λ,µ) = 0 (6.7)

numita conditie de compatibilitate. Suprafata cilindrica este formata din toatedreptele dλ,µ corespunzatoare valorilor lui λ si µ care satisfac conditia de compa-tibilitate (6.7), asadar coordonatele punctelor acestei suprafete satisfac ecuatia

Φ(nx − lz, ny −mz) = 0

Exemplu Sa se gaseasca ecuatia cilindrului avand curba directoare de ecuatii⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x2 − y2 = zx + y + z = 0

iar generatoarele sunt perpendiculare pe planul curbei.

�Ð→v =Ð→i +Ð→j +Ð→k ⇒ generatoarele

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x − z = λy − z = µ

� sistemul

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

x − z = λy − z = µx2 − y2 = zx + y + z = 0

este compatibil

� conditia de compatibilitate (2λ − µ)2 − (2µ − λ)2 + 3(µ + λ) = 0

� ecuatia suprafetei cilindrice

x2 − y2 − 2xz + 2yz + x + y − 2z = 0

Definitia 6.11. Fie V (x0, y0, z0) si o curba (C) ∶⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

F (x, y, z) = 0

G(x, y, z) = 0. Se numeste

suprafata conica o suprafata generata prin miscarea unei drepte, numita gene-ratoare, care trece prin punctul fix V si se sprijina pe curba C, numita curbadirectoare a suprafetei.

Ecuatiile unei drepte oarecare care trece prin V

x − x0

l= y − y0

m= z − z0

n


pot fi rescrise sub forma

dλ,µ ∶x − x0

λ= y − y0

µ= z − z0

1, λ = l

n, µ = m

n∈ R. (6.8)

Suprafata conica este generata de acele drepte din familia dλ,µ care se sprijinape curba C (deci intersecteaza aceasta curba). Asadar cautam acele valori ale luiλ si µ pentru care sistemul

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

x − x0

λ= y − y0

µ= z − z0

1F (x, y, z) = 0

G(x, y, z) = 0

(6.9)


Φ(λ,µ) = 0 (6.10)

numita conditie de compatibilitate. Suprafata conica este formata din toate drep-tele dλ,µ corespunzatoare valorilor lui λ si µ care satisfac conditia de compatibilitate(6.13), asadar coordonatele punctelor acestei suprafete satisfac ecuatia

Φ(x − x0

z − z0,y − y0

z − z0) = 0

Exemplu Sa se gaseasca ecuatia conului cu varful ın origine si curba directoare

de ecuatii

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x2 + y2 = 1

z = 1.

� generatoarelex

λ= yµ= z

1

� sistemul

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

x

λ= yµ= z

1x2 + y2 = 1

z = 1

este compatibil

� conditia de compatibilitate λ2 + µ2 = 1

� ecuatia suprafetei conice

(xz)

2

+ (yz)

2

= 1⇔ x2 + y2 = z2

Definitia 6.12. Fie o curba (C) ∶⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

F (x, y, z) = 0

G(x, y, z) = 0. Se numeste suprafata de

rotatie o suprafata generata prin rotirea curbei C ın jurul unei drepte d, numitaaxa de rotatie.

6.3. GENERARI DE SUPRAFETE 73

Presupunem ca axa de rotatie are ecuatiile

d ∶ x − x0

l= y − y0

m= z − z0

n.

Prin rotirea ın jurul lui d, fiecare punct de pe curba C va descrie un cerc (numitcerc generator) care se afla ıntr-un plan perpendicular pe d si are centrul pe d. Unastfel de cerc poate fi scris ca intersectia dintre o sfera cu centrul pe d si un planperpendicular pe d:

Cλ,µ ∶⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

(x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = λ2

lx +my + nz = µ(6.11)

Suprafata de rotatie este generata de acele cercuri din familia Cλ,µ care sesprijina pe curba C (deci intersecteaza aceasta curba). Asadar cautam acele valoriale lui λ si µ pentru care sistemul

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

(x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = λ2

lx +my + nz = µF (x, y, z) = 0

G(x, y, z) = 0

(6.12)


Φ(λ2, µ) = 0 (6.13)

numita conditie de compatibilitate. Suprafata de rotatie este formata din toatecercurile Cλ,µ corespunzatoare valorilor lui λ si µ care satisfac conditia de compa-tibilitate (6.13), asadar coordonatele punctelor acestei suprafete satisfac ecuatia

Φ ((x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2, lx +my + nz) = 0

Exemplu Sa se gaseasca ecuatia suprafetei obtinute prin rotirea dreptei de

ecuatii

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x + z = 2

y = 0ın jurul dreptei de ecuatii

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x − 2 = 0

y − 2 = 0.

� cercurile generatoare

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

(x − 2)2 + (y − 2)2 + z2 = λ2

z = µ

� sistemul

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

(x − 2)2 + (y − 2)2 + z2 = λ2

z = µx + z = 2

y = 0

este compatibil

� conditia de compatibilitate 2µ2 − λ2 + 4 = 0

� ecuatia suprafetei de rotatie

(x − 2)2 + (y − 2)2 − z2 = 4


6.4 Exercitii

1. Sa se determine centrul si raza sferelor:

(a) x2 + y2 + z2 − 2x − 4y − 6z + 5 = 0

(b) x2 + y2 + z2 − 8x − 4y + 2z + 17 = 0

(c) x2 + y2 + z2 + 2x − 6y + 4z − 11 = 0

(d) x2 + y2 + z2 − x + 3y − 4z + 1 = 0

(e) 2(x2 + y2 + z2) + 4x − y + 2z − 5 = 0

2. Fie sfera de ecuatie

(S) ∶ x2 + y2 + z2 − 6x + 4y − 2z − 86 = 0

si planul (p) ∶ 2x − 2y − z + 9 = 0.

(a) Sa se afle centrul si raza sferei

(b) Sa se arate ca S ∩ p ≠ ∅(c) Sa se afle centrul si raza cercului de intersectie a sferei S cu planul p

R: C(3,−2,1),R = 10,C1(−1,2,3), r = 8Aceleasi cerinte pentru:

(a) (S) ∶ x2 + y2 + z2 − 4x − 2y + 6z + 1 = 0, (p) ∶ x + 2y − z − 3 = 0

(b) (S) ∶ (x − 4)2 + (y − 7)2 + (z + 1)2 − 36 = 0, (p) ∶ 3x + y − z − 9 = 0

3. Sa se scrie ecuatiile generatoarelor rectilinii ale suprafetei S care trec prinpunctul M ın urmatoarele cazuri:

(a) S ∶ x2 + y2 − z2 = 1, M(1,1,1)(b) S ∶ 16x2 + 36y2 − 9z2 − 144 = 0, M(6,2,8)(c) S ∶ 4x2 + 9y2 − 36z2 − 36 = 0, M(6,−2,2)

(d) S ∶ x2

9 − y2

4 + z2

5 − 1 = 0, M(3,2,√

5)(e) S ∶ 4x2 − 9y2 = 36z, M(3,0,1)(f) S ∶ 4x2 − z2 = y, M(1,3,−1)(g) S ∶ 4y2 − z2 = 2x, M(6,2,2)

4. Sa se recunoasca urmatoarele cuadrice:

(a) x2 + 2y2 + 3z2 − 4 = 0

(b) x2 + 2y2 − 3z2 − 4 = 0

(c) x2 − 2y2 − 3z2 − 4 = 0

6.4. EXERCITII 75

(d) x2 − 2y2 − 3z2 = 0

(e) x2 − 2y − 3z2 = 0

(f) x2 − 2y + 3z2 = 0

(g) x2 − 2y = 0

(h) x2 − 2y2 − 4 = 0

(i) x2 + 3z2 − 4 = 0

5. Sa se scrie ecuatia suprafetei cilindrice avand generatoarea paralela cu dreapta(d) si curba directoare (C) ın urmatoarele cazuri:

(a) (d) ∶ x = y = z; (C) ∶⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x2 + y2 = R2

z = 0

R: (x − z)2 + (y − z)2 = R2

(b) (d) ∶⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x + y + z = 0

x + 2y + 3z = 0; (C) ∶

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x2 + z2 − 2 = 0

y = 0

R: 2x2 + y2 + 2z2 + 2xy + 4xz + 2yz − 4 = 0

(c) (d) ∶ x3 = y2 = z

1 ; (C) ∶⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

2x2 + y2 − 2z = 0

x + y − 4 = 0

(d) Ð→v = (2,3,4); (C) ∶⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

(x − 1)2 + (y + 3)2 + (z − 2)2 = 25

x + y − z + 2 = 0

6. Sa se scrie ecuatia suprafetei conice avand varful ın V si curba directoare(C) ın urmatoarele cazuri:

(a) V (0,0,1); (C) ∶⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x2 + y2 − 4 = 0

z = 0

R: x2 + y2 − 4(z − 1)2 = 0

(b) V (0,0,0); (C) ∶⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x2 + y2 + z2 − 4 = 0

x2 − y2 − 1 = 0

R: −3x2 + 5y2 + z2 = 0

(c) V (1,1,1); (C) ∶⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x2 + y2 − 4 = 0

z = 0

(d) V (−2,0,0); (C) ∶⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

3x2 + 6y2 − z = 0

x + y + z − 1 = 0

7. Sa se scrie ecuatia suprafetei de rotatie obtinuta prin rotirea curbei (C) ınjurul dreptei (d) ın urmatoarele cazuri:


(a) (C) ∶⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

y2

b2− z2

c2− 1 = 0

x = 0; (d) ∶ Oy

R: x2

c2+ z2

c2− y2

b2+ 1 = 0

(b) (C) ∶⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x3 − x2 − y2 = 0

z = 0; (d) ∶ Ox

(c) (C) ∶⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x2

a2− y2

b2− 1 = 0

z = 0; (d) ∶ Ox

(d) (C) ∶⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x + z = 2

y = 0; (d) ∶

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x − 2 = 0

y − 2 = 0

R: (x − 2)2 + (y − 2)2 − z2 − 4 = 0

Capitolul 7

Suprafete

7.1 Generalitati

O suprafata S poate fi data prin una din urmatoarele reprezentari:

1. Reprezentare parametrica:

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = x(u, v)y = y(u, v)z = z(u, v)

, (u, v) ∈D ⊂ R2. (7.1)

2. Reprezentare vectoriala:

Ð→r =Ð→r (u, v) = x(u, v)Ð→i + y(u, v)Ð→j + z(u, v)Ð→k , (u, v) ∈D ⊂ R2. (7.2)

3. Reprezentare carteziana explicita:

z = f(x, y), (x, y) ∈D ⊂ R2. (7.3)

4. Reprezentare carteziana implicita:

F (x, y, z) = 0. (7.4)

Definitia 7.1. Spunem ca functia vectoriala

Ð→r (u, v) = x(u, v)Ð→i + y(u, v)Ð→j + z(u, v)Ð→k

este de clasa Ck daca are derivate partiale continue pana la ordinul k inclusiv.

� functia vectoriala Ð→r (u, v) este de clasa Ck daca toate componentele salesunt de clasa Ck;

77

78 CAPITOLUL 7. SUPRAFETE

� u si v se numesc parametri sau coordonate curbilinii pe suprafata;

� un punct M0 ∈ S este unic determinat de coordonatele sale curbilinii u = u0

si v = v0.

Definitia 7.2. Spunem ca o suprafata S data prin reprezentarea vectoriala (7.2)este o suprafata elementara daca sunt satisfacute conditiile:

1. suprafata este de clasa C1

2. ecuatia Ð→r = Ð→r (u, v) realizeaza o corespondenta biunivoca ıntre multimeapunctelor de pe suprafata si multimea perechilor (u, v) ∈D

3. Ð→r ′u ×Ð→r ′v ≠Ð→0 , ∀(u, v) ∈D

Definitia 7.3. Punctul M0(u0, v0) se numeste punct ordinar al unei suprafete

S de clasa C1 daca Ð→r ′u ×Ð→r ′v(M0) ≠Ð→0 . In caz contrar, punctul M0 se numeste

punct singular al suprafetei S.

Fie o suprafata elementara S de ecuatie

Ð→r =Ð→r (u, v), (u, v) ∈D ⊂ R2.

O curba pe suprafata S este reprezentata ın mod analog curbelor plane, dar folo-sind coordonatele curbilinii u si v ın locul coordonatelor carteziene x, y:

1. parametric:

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

u = u(t)v = v(t)

, t ∈ [a, b];

2. explicit: u = ϕ(v) sau v = ψ(u);

3. implicit: g(u, v) = 0.

Pentru o curba Γ de pe suprafata S reprezentata parametric,

Ð→r =Ð→r (u(t), v(t)) , t ∈ [a, b]

reprezinta ecuatia vectoriala a curbei Γ ın spatiu.O curba Γ de pe suprafata S data prin ecuatia explicita u = ϕ(v) sau v = ψ(u)

are ecuatia ın spatiu Ð→r = Ð→r (ϕ(v), v) sau Ð→r = Ð→r (u,ψ(u)). In particular, dacafunctia ϕ (sau ψ) este constanta, pe curbele corespunzatoare de pe suprafata Svariaza doar v (respectiv u).

Notam cu Γ0u curba de pe suprafata S corespunzatoare lui v = v0 si avand

ecuatia ın spatiu Ð→r = Ð→r (u, v0), respectiv cu Γ0v curba de pe suprafata S cores-

punzatoare lui u = u0 si avand ecuatia ın spatiu Ð→r = Ð→r (u0, v). Curbele Γ0u si

Γ0v se numesc curbe de coordonate sau curbe caracteristice pe suprafata S.

Fiecare punct M0 (Ð→r (u0, v0)) este intersectia a doua curbe de coordonate.

7.2. PLAN TANGENT SI NORMALA LA O SUPRAFATA 79

7.2 Plan tangent si normala la o suprafata

In continuare vom presupune ca suprafata S precum si curbele de pe a aceastasuprafata sunt de clasa C1.

Fie suprafata S de ecuatie

Ð→r =Ð→r (u, v), (u, v) ∈D ⊂ R2,

punctul M0 ∈ S si Γ o curba arbitrara pe S care trece prin M0. Pentru o parame-trizare u = u(t), v = v(t) a curbei Γ, obtinem ecuatia vectoriala ın spatiu a curbeiΓ:

Ð→r =Ð→r (u(t), v(t))

Notam cu t0 valoarea parametrului t care corespunde punctului M0 pe curba Γ sicu u0 = u(t0), v0 = v(t0) coordonatele curbilinii ale punctului M0 pe suprafata S.

Tangenta ın M0 la curba Γ are directia data de vectorul

Ð→r ′(t0) =∂Ð→r∂u

(u0, v0) ⋅ u′(t0) +∂Ð→r∂v

(u0, v0) ⋅ v′(t0).

Vectorii Ð→r 0u =

∂Ð→r∂u

(u0, v0) si Ð→r 0v =

∂Ð→r∂v

(u0, v0) depind doar de suprafata S si

de punctul M0 ∈ S, iar vectorul director al tangentei la orice curba de pe S caretrece prin M0 este o combinatie liniara de acesti doi vectori.

Definitia 7.4. Se numeste plan tangent la suprafata S ın punctul M0 planuldeterminat de vectorii Ð→r 0

u si Ð→r 0v.

Observatie: Vectorii Ð→r 0u si Ð→r 0

v sunt chiar vectorii directori ai tangentelor lacurbele de coordonate de pe S care trec prin M0.

Ecuatia planului tangent ın M0 este

RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR

x − x(u0, v0) y − y(u0, v0) z − z(u0, v0)∂x

∂u(u0, v0)

∂y

∂u(u0, v0)

∂z

∂u(u0, v0)

∂x

∂v(u0, v0)

∂y

∂v(u0, v0)

∂z

∂v(u0, v0)

RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR

= 0

sau echivalent

A(x − x0) +B(y − y0) +C(z − z0) = 0

unde

A =RRRRRRRRRRR

∂y∂u

∂z∂u

∂y∂v

∂z∂v

RRRRRRRRRRR(M0), B =

RRRRRRRRRRR

∂z∂u

∂x∂u

∂z∂v

∂x∂v

RRRRRRRRRRR(M0), C =

RRRRRRRRRRR

∂x∂u

∂y∂u

∂x∂v

∂y∂v

RRRRRRRRRRR(M0)

iar (x0, y0, z0) sunt coordonatele carteziene ale lui M0.


Daca suprafata S este data prin ecuatia explicita z = f(x, y), folosind parame-trizarea

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = uy = vz = f(u, v)

obtinem ecuatia planului tangent

p(x − x0) + q(y − y0) − (z − z0) = 0

unde p = ∂f∂x(x0, y0) si q = ∂f

∂y (x0, y0).Daca suprafata S este data prin ecuatia implicita F (x, y, z) = 0, obtinem

ecuatia planului tangent

∂F

∂x(M0)(x − x0) +

∂F

∂y(M0)(y − y0) +

∂F

∂z(M0)(z − z0) = 0

Definitia 7.5. Se numeste normala la suprafata S ın punctul M0(x0, y0, z0) ∈ Sdreapta perpendiculara pe planul tangent la S ın M0.

In functie de tipul reprezentarii suprafetei S, ecuatia normalei este:

1. parametric x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v):x − x0

A= y − y0

B= z − z0

C

2. explicit z = f(x, y):x − x0

p= y − y0

q= z − z0

−1

3. implicit F (x, y, z) = 0:

x − x0

F ′

x

= y − y0

F ′

y

= z − z0

F ′

z

Exemplu 1 Sa se scrie ecuatia planului tangent si ecuatiile normalei la suprafata

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = u cos v

y = u sin v

z = u + vın punctul M0(u0 = 1, v0 = 0).

Coordonatele carteziene: M0(1,0,1). Derivatele partiale:

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x′u = cos v

y′u = sin v

z′u = 1

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x′u(1,0) = 1

y′u(1,0) = 0

z′u(1,0) = 1

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x′v = −u sin v

y′v = u cos v

z′v = 1

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x′v(1,0) = 0

y′v(1,0) = 1

z′v(1,0) = 1

Planul tangent:

RRRRRRRRRRRRRRRRR

x − 1 y z − 1

1 0 1

0 1 1

RRRRRRRRRRRRRRRRR

= 0⇔ −x − y + z = 0

Normala:x − 1

−1= y

−1= z − 1

1

7.3. PRIMA FORMA FUNDAMENTALA A UNEI SUPRAFETE 81

Exemplu 2 Sa se scrie ecuatia planului tangent si ecuatiile normalei la suprafata

z(x2 + y2) − 1 = 0 ın punctul M0 (1,1,1

2) .

Derivatele partiale:⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

∂F∂x = 2xz∂F∂y = 2yz∂F∂z = x2 + y2

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

∂F∂x (M0) = 1∂F∂y (M0) = 1∂F∂z (M0) = 2

Planul tangent:

1 ⋅ (x − 1) + 1 ⋅ (y − 1) + 2 ⋅ (z − 1

2) = 0⇔ x + y + 2z − 3 = 0

Normala:x − 1

1= y − 1

1=z − 1

2

2

7.3 Prima forma fundamentala a unei suprafete

Fie suprafata S data prin ecuatia vectoriala

Ð→r =Ð→r (u, v) = x(u, v)Ð→i + y(u, v)Ð→j + z(u, v)Ð→k , (u, v) ∈D ⊂ R2

sau prin ecuatii parametrice

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = x(u, v)y = y(u, v)z = z(u, v)

, (u, v) ∈D ⊂ R2

si o curba oarecare Γ pe S de ecuatii parametrice

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

u = u(t)v = v(t)

.

Definitia 7.6. Se numeste prima forma fundamentala a suprafetei S patratulelementului de arc (ds2) al curbei Γ de pe suprafata S.

Ecuatia vectoriala a curbei Γ este Ð→r =Ð→r (u(t), v(t)). Avem:

∥dÐ→rds

∥ = 1⇔ ds = ∥dÐ→r ∥⇔ ds2 = dÐ→r ⋅ dÐ→r

InlocuinddÐ→r =Ð→r ′udu +Ð→r ′vdv

obtinemdÐ→r ⋅ dÐ→r = ∥Ð→r ′u∥2du2 + 2Ð→r ′uÐ→r ′vdudv + ∥Ð→r ′v∥2dv2


asadar prima forma fundamentala este forma patratica

ds2 = Edu2 + 2Fdudv +Gdv2

unde

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

E = ∥Ð→r ′u∥2 =Ð→r ′u ⋅Ð→r ′uF =Ð→r ′u ⋅Ð→r ′vG = ∥Ð→r ′v∥2 =Ð→r ′v ⋅Ð→r ′v

E, F siG se numesc coeficientii primei forme fundamentale sau coeficientiilui Gauss.

Scriind vectorii Ð→r ′u si Ð→r ′v pe componente si calculand produsele scalare gasim

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

E = (x′u)2 + (y′u)2 + (z′u)2

F = x′ux′v + y′uy′v + z′uz′vG = (x′v)2 + (y′v)2 + (z′v)2

Pentru o suprafata S data prin ecuatia explicita

z = f(x, y)

coeficientii primei forme fundamentale sunt

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

E = 1 + p2

F = pqG = 1 + q2

Pentru o suprafata S data prin ecuatia implicita

F (x, y, z) = 0

coeficientii primei forme fundamentale sunt

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

E = (F ′

x)2 + (F ′

z)2

(F ′

z)2

F =F ′

x ⋅ F ′

y

(F ′

z)2

G =(F ′

y)2 + (F ′

z)2

(F ′

z)2

Lungimea unui arc de curba Γ ⊂ S cuprins ıntre punctele M1(t1) si M2(t2) este

t2

∫t1

ds =t2

∫t1

¿ÁÁÀE (du

dt)

2

+ 2Fdu

dt⋅ dvdt

+G(dvdt

)2

dt

Definitia 7.7. Fie Γ1 si Γ2 doua curbe pe suprafata S care se intersecteaza ınpunctul M de pe suprafata. Unghiul θ dintre tangentele duse la cele doua curbe ınM se numeste unghiul dintre curbele Γ1 si Γ2 pe suprafata S.

7.4. EXERCITII 83

Vom nota cu d deplasarea de-a lungul curbei Γ1 si cu δ deplasarea de-a lungulcurbei Γ2. Vectorii dÐ→r si δÐ→r dau directiile tangentelor la cele doua curbe ınpunctul M , asadar avem:

cos θ = dÐ→r ⋅ δÐ→r∥dÐ→r ∥ ⋅ ∥δÐ→r ∥

InlocuinddÐ→r =Ð→r ′udu +Ð→r ′vdv si δÐ→r =Ð→r ′uδu +Ð→r ′vδv

obtinem:

dÐ→r ⋅ δÐ→r = (Ð→r ′u)2duδu +Ð→r ′uÐ→r ′v(duδv + δudv) + (Ð→r ′v)2dvδv

= Eduδu + F (duδv + δudv) +Gdvδv∥dÐ→r ∥2 = ds2 = Edu2 + 2Fdudv +Gdv2

∥δÐ→r ∥2 = δs2 = Eδu2 + 2Fδuδv +Gδv2

cos θ = Eduδu + F (duδv + δudv) +Gdvδv√Edu2 + 2Fdudv +Gdv2 ⋅

√Eδu2 + 2Fδuδv +Gδv2

unde E,F,G sunt coeficientii primei forme fundamentale calculati ın punctul Mcomun celor doua curbe.

In particular pentru curbele de coordonate Γ1 ∶ u = u0 si Γ2 ∶ v = v0, gasimdu = 0 si δv = 0, iar cosinusul unghiului dintre cele doua curbe devine

cos θ = F√E ⋅G

.

Definitia 7.8. Se numeste element de arie pe suprafata S ın punctul M ∈S, notat cu dσ, aria paralelogramului construit pe vectorii Ð→r ′udu si Ð→r ′vdv candcresterile parametrilor du si dv au acelasi semn.

Avem:

dσ = ∥Ð→r ′udu ×Ð→r ′vdv∥ = ∥Ð→r ′u ×Ð→r ′v∥dudv=

√A2 +B2 +C2dudv

=√EG − F 2dudv

Daca suprafata este data prin ecuatie carteziana explicita z = f(x, y), elementulde arie este

dσ =√

1 + p2 + q2dxdy

7.4 Exercitii

1. Sa se scrie ecuatia planului tangent si ecuatiile normalei la suprafata S ınpunctul specificat:


(a) (S) ∶ Ð→r (u, v) = (u2 + v + 1)Ð→i + (u2 − v + 1)Ð→j + (uv + 2)Ð→k ,M0(u = 1, v = −1)

(b) (S) ∶⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = 1 + uvy = u + u2v

z = u2 + u3v

, M0(3,3,3)

(c) (S) ∶ z = x2 + y2, M0(1,−2,5)(d) (S) ∶ x2 + y2 + z2 + 2xy + 4xz + 2x + 4y − 6z + 8 = 0, M0(0,0,2)

(e) (S) ∶ Ð→r (u, v) = (u−v)2Ð→i +(u2−3v2)Ð→j +v(u−2v)Ð→k2 , M0(u = 1, v = 0)

(f) (S) ∶ z = x3 + y3, M1(1,2,9), M2(1,1,2)

(g) (S) ∶ x2

16 +y2

9 − z2

8 = 0, M0(4,3,4)

2. Sa se scrie prima forma fundamentala a urmatoarelor suprafete:

(a) (S) ∶⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = u cos v

y = u sin v

z = u2

(b) (S) ∶ Ð→r (u, v) = (u2 + v)Ð→i + (u + v2)Ð→j + (u + v)Ð→k(c) (S) ∶ z = xy2

(d) (S) ∶ x2

a2+ y2

b2+ z2

c2− 1 = 0

(e) (S) ∶⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = u cos v

y = u sin v

z = a ⋅ v

(f) (S) ∶ x2 + y2 + z2 − a2 = 0

3. Fie suprafata

Ð→r (u, v) = (u2 + v2)Ð→i + (u2 − v2)Ð→j + uvÐ→k .

(a) Sa se scrie prima forma fundamentala a suprafetei S;

(b) Sa se scrie elementul de arc pentru curbele (C1) ∶ u = 2, (C2) ∶ v = 1 si(C3) ∶ v = au;

(c) Sa se calculeze lungimea arcului curbei C3 cuprins ıntre punctele co-respunzatoare lui u = 1 si u = 2.

4. Sa se calculeze elementul de arie pentru suprafetele:

(a) Ð→r (u, v) = u + v2

Ð→i + u − v

2

Ð→j + uv

2

Ð→k ;

7.4. EXERCITII 85

(b) Ð→r (u, v) = u cos vÐ→i + u sin v

Ð→j + u2Ð→k ;

(c) xyz = 2.

5. Se considera suprafata

Ð→r (u, v) = u cos vÐ→i + u sin v

Ð→j + (u + v)Ð→k

Sa se calculeze unghiul dintre curbele de coordonate pe aceasta suprafata.Pentru ce curbe de coordonate este acest unghi de 600?

6. Fie suprafata

(S) ∶Ð→r (u, v) = u cos vÐ→i + u sin v

Ð→j + u2Ð→k

si pe aceasta suprafata curbele (C1) ∶ u = 1, (C2) ∶ v = u si (C3) ∶ v = −u. Sase calculeze perimetrul si unghiurile triunghiului curbiliniu determinat pesuprafata S de aceste curbe.

7. Fie suprafata

Ð→r (u, v) = (u2 + v2)Ð→i + (u2 − v2)Ð→j + uvÐ→k

si pe aceasta suprafata curbele (C1) ∶ u = 2, (C2) ∶ v = 1 si (C3) ∶ u = v. Sase calculeze perimetrul si unghiurile triunghiului curbiliniu determinat pesuprafata S de aceste curbe.


Capitolul 8

Integrale de suprafata si triple

8.1 Integrala de suprafata

Fie D un domeniu marginit si ınchis din R2 si functia

F ∶D → R3, F (u, v) = (f(u, v), g(u, v), h(u, v))

Multimea S = {M(f(u, v), g(u, v), h(u, v)); (u, v) ∈D} se numeste suprafata dataprin reprezentarea parametrica

(S) ∶⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = f(u, v)y = g(u, v)z = h(u, v)

Daca functiile f, g, h sunt continue cu derivate partiale de ordinul ıntai continuepe D si daca determinantii functionali

D(g, h)D(u, v) ,

D(h, f)D(u, v) ,

D(f, g)D(u, v)

nu se anuleaza simultan pe D, suprafata se numeste neteda.Parametrii u si v se numesc coordonate curbilinii ale unui punct de pe

suprafata S. Curbele de pe suprafata S date prin u = u0 si v = v0 se numesc curbede coordonate.

Parametrii directori ai tangentei la curba u = u0 ın P0 sunt

∂f

∂v(u0, v0),

∂g

∂v(u0, v0),

∂h

∂v(u0, v0)

iar ai tangentei la curba v = v0 ın P0 sunt

∂f

∂u(u0, v0),

∂g

∂u(u0, v0),

∂h

∂u(u0, v0)

87

88 CAPITOLUL 8. INTEGRALE DE SUPRAFATA SI TRIPLE

Cosinusii directori ai tangentelor corespunzatoare sunt

f ′v

±√G,g′v

±√G,h′v

±√G

sif ′u

±√E,g′u

±√E,h′u

±√E

unde

E = (f ′u)2 + (g′u)2 + (h′u)2

G = (f ′v)2 + (g′v)2 + (h′v)2

toate derivatele fiind calculate ın P0.Unghiul θ dintre cele doua curbe de coordonate este dat de

cos θ = ±f′

uf′

v + g′ug′v + h′uh′v√EG

= ± F√EG

unde F = f ′uf ′v + g′ug′v + h′uh′v.Elementul lungime de arc al unei curbe oarecare de pe suprafata S este

ds2 = dx2 + dy2 + dz2 = Edu2 + 2Fdudv +Gdv2

expresie numita si prima forma fundamentala a suprafetei S.Cosinusii directori ai normalei Ð→n la suprafata ın punctul P0 sunt

cosα = ± A√A2 +B2 +C2

, cosβ = ± B√A2 +B2 +C2

, cosγ = ± C√A2 +B2 +C2

unde

A = D(g, h)D(u, v) ,B = D(h, f)

D(u, v) ,C = D(f, g)D(u, v)

� In fiecare punct al suprafetei S avem doi versori normali la suprafata,de sensuri opuse. O astfel de suprafata se spune ca are doua fete.

� Intre A,B,C si E,F,G avem identitatea:

A2 +B2 +C2 = EG − F 2

� Pentru vectorii tangenti Ð→r u si Ð→r v la curbele de coordonate ın P0 avem:

Ð→r 2u = E, Ð→r 2

v = G, (Ð→r u,Ð→r v) = F

� Pentru versorul normalei Ð→n la suprafata avem

Ð→n = ±Ð→r u ×Ð→r v

∥Ð→r u ×Ð→r v∥

8.1. INTEGRALA DE SUPRAFATA 89

� Ecuatia planului tangent la suprafata ın P0 este

A(x − x0) +B(y − y0) +C(z − z0) = 0

unde x0, y0, z0 sunt coordonatele carteziene ale lui P0.

Definitia 8.1. 1. Spunem ca suprafata S are arie daca integrala dubla

∬D√EG − F 2dudv exista si este finita. Valoarea acestei integrale duble

reprezinta aria suprafetei S.

2. Forma diferentiala

dS =√EG − F 2dudv =

√A2 +B2 +C2dudv

se numeste elementul de arie al suprafetei S.

Daca suprafata S este data prin ecuatia carteziana z = f(x, y), (x, y) ∈D,folosind parametrizarea

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = uy = vz = f(u, v)

, (u, v) ∈D

gasimE = 1 + p2, G = 1 + q2, F = pq

unde p = ∂f∂x , q =

∂f∂y . Elementul de arie va fi

dS =√

1 + p2 + q2dudv

iar aria suprafetei este

A =∬D

√1 + p2 + q2dudv

Teorema 8.1 (Integrala de suprafata de primul tip). Daca suprafata S estesimpla, neteda si neınchisa, iar functia f ∶ S → R este marginita, atunciavem

∬Sf(x, y, z)dS =∬

Df(x(u, v), y(u, v), z(u, v))

√EG − F 2dudv

ın ipoteza ca cel putin una din aceste integrale exista.

Daca suprafata S este data prin ecuatia carteziana explicita z = z(x, y)atunci avem

∬Sf(x, y, z)dS =∬

Df(x, y, z(x, y))

√1 + p2 + q2dxdy

unde D este proiectia suprafetei S pe planul xOy.


Aplicatii

1. Aria unei suprafete S:

A(S) =∬SdS =∬

D

√EG − F 2dudv =∬

D

√1 + p2 + q2dxdy

dupa cum suprafata este data parametric sau explicit.

2. Masa unei suprafete:

m =∬Sρ(x, y, z)dS


3. Coordonatele centrului de greutate al unei suprafete:

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

xG = 1m ∬S xρdS

yG = 1m ∬S yρdS

zG = 1m ∬S zρdS

4. Momentele de inertie ale unei suprafete:

a) ın raport cu planele de coordonate:

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

Iyz = ∬S x2ρdS

Izx = ∬S y2ρdS

Ixy = ∬S z2ρdS

b) ın raport cu axele de coordonate:

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

Ix = ∬S(y2 + z2)ρdSIy = ∬S(x2 + z2)ρdSIz = ∬S(x2 + y2)ρdS

c) ın raport cu originea:

IO =∬S(x2 + y2 + z2)ρdS

8.2. INTEGRALA TRIPLA 91

8.2 Integrala tripla

Teorema 8.2 (Integrarea pe un paralelipiped). Fie o functie f integrabilape paralelipipedul

D = {(x, y, z) ∈ R3∣a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, s ≤ z ≤ t}astfel ıncat pentru orice x ∈ [a, b] exista integrala I(x) = ∬

R

f(x, y, z)dydz,

unde R = [c, d] × [s, t]. Atunci exista si integrala ∫b

aI(x)dx si avem

∭D

f(x, y, z)dxdydz = ∫b

a

⎡⎢⎢⎢⎢⎣∬R

f(x, y, z)dydz⎤⎥⎥⎥⎥⎦dx.

Daca se mai presupune si existenta integralei simple ∫t

s f(x, y, z)dz pentruorice x ∈ [a, b] si orice y ∈ [c, d], se poate ınlocui integrala dubla din enunt cuo integrala iterata si se obtine

∭Df(x, y, z)dxdydz = ∫

b

adx∫

d

cdy∫

t

sf(x, y, z)dz

Fie acum un domeniu cilindric D cu generatoarele paralele cu Oz simarginit de doua suprafete z = g1(x, y) si z = g2(x, y) definite pentru (x, y) ∈D ⊂ R2:

D = {(x, y, z) ∈ R3∣g1(x, y) ≤ z ≤ g2(x, y), (x, y) ∈ D}Teorema 8.3 (Integrarea pe domenii cilindrice). Fie o functie f integra-bila pe D astfel ıncat pentru orice (x, y) ∈ D exista integrala F (x, y) =

∫g2(x,y)

g1(x,y)f(x, y, z)dz. Atunci exista si integrala ∬

DF (x, y)dxdy si avem

∭Df(x, y, z)dxdydz =∬

Ddxdy∫

g2(x,y)

g1(x,y)f(x, y, z)dz.

In mod similar se pot calcula integralele triple pe domenii cilindrice cugeneratoarele paralele cu Ox, respectiv Oy.

Schimbarea de variabile la integrale triple

Fie D si ∆ doua domenii din R3, ınchise si marginite de suprafete netede peportiuni. Consideram o functie continua si bijectiva de la ∆ la D, data prin

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = x(u, v,w)y = y(u, v,w)z = z(u, v,w)

, (u, v,w) ∈ ∆ (8.1)


Daca functiile de mai sus admit derivate partiale de ordinul ıntai continuepe ∆, atunci jacobianul transformarii este

J(u, v,w) = D(x, y, z)D(u, v,w) =

RRRRRRRRRRRRRRRR

∂x∂u

∂x∂v

∂x∂w

∂y∂u

∂y∂v

∂y∂w

∂z∂u

∂z∂v

∂z∂w

RRRRRRRRRRRRRRRR

Exemplu: Coordonatele sferice ale unui punct M(x, y, z) sunt ρ,ϕ, θ, undeρ este lungimea segmentului OM , ϕ este unghiul facut de OM cu axa Oz iarθ este unghiul facut de OM0 cu axa Ox, M0 fiind proiectia lui M pe planulxOy. Avem:

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = ρ sinϕ cos θ

y = ρ sinϕ sin θ

z = ρ cosϕ

, ρ ∈ [0,∞), ϕ ∈ [0, π], θ ∈ [0,2π)

Jacobianul transformarii este

J(ρ,ϕ, θ) = ρ2 sinϕ.

Teorema 8.4. Fie transformarea (8.1) ıntre domeniile ∆ si D cu jacobia-nul J(u, v,w) nenul pe ∆. Presupunem ca functiile x, y, z admit si derivatepartiale de ordinul 2 continue pe ∆. Atunci volumul domeniului D este

V(D) =∭∆∣J(u, v,w)∣dudvdw.

Teorema 8.5. Fie transformarea (8.1) ıntre domeniile ∆ si D cu jacobia-nul J(u, v,w) nenul pe ∆. Presupunem ca functiile x, y, z admit si derivatepartiale de ordinul 2 continue pe ∆. Consideram functia f ∶D → R continua.Atunci avem:

∭Df(x, y, z)dxdydz =∭

∆f(x(u, v,w), y(u, v,w), z(u, v,w)) ⋅

⋅∣J(u, v,w)∣dudvdw

Aplicatii

1. Masa unui corp:

m(D) =∭Dρ(x, y, z)dxdydz


8.3. EXERCITII 93

2. Coordonatele centrului de greutate al unui corp:

xG = ∭D xρdxdydz

∭D ρdxdydz, yG = ∭D yρdxdydz

∭D ρdxdydz, zG = ∭D zρdxdydz

∭D ρdxdydz


3. Momentele de inertie ale unui corp:

(a) ın raport cu planele de coordonate:

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

Iyz =∭D x2ρdxdydz

Izx =∭D y2ρdxdydz

Ixy =∭D z2ρdxdydz

(b) ın raport cu axele de coordonate:

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

Ix =∭D(y2 + z2)ρdxdydzIy =∭D(x2 + z2)ρdxdydzIz =∭D(x2 + y2)ρdxdydz

(c) ın raport cu originea:

IO =∭D(x2 + y2 + z2)ρdxdydz

8.3 Exercitii

1. Sa se calculeze urmatoarele integrale de suprafata de primul tip:

(a) I = ∬(S)

(x+y+z)dS, unde (S) este suprafata x2+y2+z2 = R2, z ≥ 0.

R: πR3

(b) I = ∬(S)

(x+y+z)−1dS, unde (S) este portiunea din planul x+y+z = a

decupata de planele de coordonate;

R: a√

32

(c) I = ∬(S)

zdS, unde (S) este portiunea din paraboloidul z = x2+y2

2

decupata de cilindrul x2 + y2 = 8.R: 596

15 π


2. Sa se afle aria partilor sferei x2+y2+z2 = R2 decupate din ea de cilindrulx2 + y2 = RxR: 4R2 (π

2 − 1)

3. Sa se afle masa suprafetei unei emisfere, daca densitatea sa superficialaın fiecare punct este egala cu distanta de la acest punct la diametrulvertical.R: π2R3

2

4. Sa se calculeze coordonatele centrului de greutate al unei portiuni omo-gene din suprafata sferei x2 + y2 + z2 = a2, pentru x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0.R: G (a

2 ,a2 ,

a2)

5. Suprafata materiala 2z = x2 + y2, 0 ≤ z ≤ 2, are densitatea ρ(x, y, z) =1 + 2z.

(a) Sa se calculeze aria suprafetei;R: 2π

3 (5√

5 − 1)(b) Sa se calculeze momentul de inertie al suprafetei ın raport cu pla-

nul xOz;R: 2π

35 (1 + 225√

5)(c) Sa se calculeze momentul de inertie ın raport cu axa Oz;

R: 4π35 (1 + 225

√5)

(d) Sa se calculeze momentul de inertie ın raport cu originea.R: π

315(14200√

5 + 32)

6. Sa se calculeze urmatoarele integrale triple:

(a) ∭D

(xy2 + z3)dxdydz, D = {(x, y, z)∣0 ≤ x ≤ a,0 ≤ y ≤ b,0 ≤ z ≤ c}

(b) ∭D

(1 + 2x − 3y)dxdydz, D = {(x, y, z)∣∣x∣ ≤ a, ∣y∣ ≤ b, ∣z∣ ≤ c}

(c) ∭D

xyzdxdydz, D = {(x, y, z)∣0 ≤ x ≤ 1,−2 ≤ y ≤ 0,1 ≤ z ≤ 4}

7. Sa se calculeze integrala∭(V )

dxdydz(1+x+y+z)3 , unde (V ) este tetraedrul marginit

de planele x = 0, y = 0, z = 0 si x + y + z = 1.R: 1

2(ln 2 − 5

8)

8. Sa se calculeze integrala∭(V )

zdxdydz, unde (V ) este corpul marginit de

suprafata conicaz2 = h2

R2 (x2 + y2) si de planul z = h.

R: πR2h2

4

8.3. EXERCITII 95

9. Sa se calculeze integrala tripla:

∭(D)

(x2 + y2 + z2)dxdydz

unde D este interiorul sferei x2 + y2 + z2 = a2.R: 4πa5

5

10. Sa se determine masa si coordonatele centrului de greutate ale segmen-tului cilindric definit de

x2 + y2 ≤ a2, z ≤ by, z ≥ 0(b > 0)

de densitate constanta ρ0.

R: m = 2ρ0a3b

3 , G (0, 3π16a,

3π32ab)

11. Sa se calculeze momentul de inertie fata de planul xOz al soliduluiomogen

x2

a2+ y

2

b2+ z

2

c2≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0

R: π30ab

3c

12. Sa se determine momentul de inertie ın raport cu axa Oz a corpuluiomogen marginit de suprafetele

z = x2 + y2, x + y = ±1, x − y = ±1, z = 0

R: 1445

13. Sa se calculeze momentul de inertie ın raport cu originea pentru portiuneade sfera

(V ) ∶ x2 + y2 + z2 ≤ a2, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0,

densitatea de masa fiind ρ(x, y, z) = z.R: π

24a6

Documents

MODELE MATEMATICE ^IN ARHITECTURA...Capitolul 1 Vectori liberi 1.1 Spat˘iul vectorilor liberi Consider am^ n spat˘iul geometric tridimensional E 3 un segment orientat AB. Punctul