Upload
others
View
71
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Profesor Zorica Mladenović 4.5.2018.
Ekonomski fakultet, Beograd, 2018. 1
Modeliranje sezonskih vremenskih serija
Zorica Mladenović
Struktura
1. Osnove
2. Ključni modeli
3. Modifikacija BJ strategije modeliranja
4. Primeri
Profesor Zorica Mladenović 4.5.2018.
Ekonomski fakultet, Beograd, 2018. 2
1. Osnove I
• Sezonske vremenske serije:
– Vremenske serije poseduju pravilnosti u svom kretanju koje se ispoljavaju u intervalu do godine dana.
– Period od godinu dana u ovom kontekstu predstavlja tzv. period sezone (oznaka: s, s=4 kod kvartalnih i s=12 kod mesečnih podataka).
– Sezonska docnja: trenutak na rastojanju s, 2s, 3s, itd.
4
Kvartalni BDP privrede Srbije (2001:q1 – 2017:q3)
450,000
500,000
550,000
600,000
650,000
700,000
750,000
800,000
850,000
900,000
2002 2004 2006 2008 2010 2012 2014 2016
Bruto domaći proizvod Srbije
(u milionima dinara, stalne cene iz 2010.)
Profesor Zorica Mladenović 4.5.2018.
Ekonomski fakultet, Beograd, 2018. 3
1. Osnove II
• Sezonske varijacije mogu biti determinističke ili stohastičke.
– Determinističke: uključujemo sezonske veštačke promenljive.
– Stohastička: koristimo posebnu klasu ARIMA modela, koji se nazivaju sezonski ARIMA modeli
• Aditivna sez. komponenta, ARIMA(p,d,q)+(P,D,Q)s
• Multiplikativna sez. komponenta, ARIMA(p,d,q)x(P,D,Q)s
1. Osnove III
• Često se koristi operator sezonske diference pojedinačno ili zajedno sa operatorom obične diference:
( )
( )( ) ( )1
1 1
Pojedinačno:
1
U interakciji sa operatorom obične diference:
1 1 1
s
s t t t t s
s s s
s t t t t t t s t s
X L X X X
X L L X L L L X X X X X
−
+
− − − −
= − = −
= − − = − − + = − − +
Profesor Zorica Mladenović 4.5.2018.
Ekonomski fakultet, Beograd, 2018. 4
1. Osnove IV
• Razlika između aditivne i multiplikativne sezonske komponente na primeru AR(1) modela i kvartalnih podataka (s=4)
• Svi parametri su po modulu strogo manji od jedan
( )
( )( )( )4
1 1
4
1 1 1 4 1 1
4 5
1 1 1 4 1 1 5 1 1 1 1
1 1
: 1
: 1
t t
t t t t t t
t t t t t t t
L L X e
A X X X e L L X e
M X X X X e L L L X e
− −
− − −
− − =
= + + − − =
= + − + − − + =
1. Osnove V• Razlika između aditivne i multiplikativne sezonske
komponente na primeru MA(1) modela i kvartalnih podataka (s=4)
• Svi parametri su po modulu strogo manji od jedan
( )
( )( )
4
1 1 1 4 1 1
4
1 1 1 4 1 1 5 1 1
: 1
: 1 1
t t t t t t
t t t t t t t
A X e e e X L L e
M X e e e e X L L e
− −
− − −
= − − = − −
= − − + = − −
Profesor Zorica Mladenović 4.5.2018.
Ekonomski fakultet, Beograd, 2018. 5
1. Osnove VI• Obična autokorelaciona funkcija za modele sa MA
komponentama:
( )
( )
( )
1 1 1 4
2 2
1 1 1
2 2
1 1 1 1
2 2
1 1 1
:
1 , k=1
1 , k=3
1 , k=4
0, k ostalo
t t t t
k
A X e e e
− −= − −
− + + + +
= − + +
( )
( )( )
( )
1 1 1 4 1 1 5
2
1 1
2 2
1 1 1 1
2
1 1
:
1 , k=1
1 1 , k=3,5
1 , k=4
0, k ostalo
t t t t t
k
M X e e e e
− − −= − − +
− + + +
= − +
2. Ključni modeli I
Model Oblik I Oblik II
Sezonski AR(1)
Sezonski slučajan hod
Sezonski MA(1)
“Vazduhoplovni”model
( ) tts eXL =− 11
( ) tts eXL =−1
( ) ts
t eLX 11 −=
( )( )( )( ) t
s
ts
eLL
XLL
11 11
11
−−
=−−
tstt eXX += −1
tstttts eXXeX +== −
sttt eeX −−= 1
111111 −−−− +−−
=
ststtt
ts
eeee
X
Profesor Zorica Mladenović 4.5.2018.
Ekonomski fakultet, Beograd, 2018. 6
2. Ključni modeli II
Model Obična autokorelaciona funkcija
SezonskiAR(1)
Opada po sezonskim docnjama s,2s,3s,... eksponencijalno ili eksponencijalno oscilatorno sa vrednostima:
Sezonski slučajan hod
Postepeno opada po sezonskim docnjama s,2s,3s,...sa vrednostima bliskim jedan
Sezonski MA(1) Jedina nenulta vrednost na docnji s:
“Vazduhoplovni“ model
Četiri nenulte vrednosti na docnjama 1, s-1,s,s+1
,...,, 3
1
2
11
( )211 1 +−
( )( )
( )( )21
2111
211
211
1111
1
11
+++−
+−
+−
:s,s
:s
:
12
Sezonski AR(1) model na kvartalnim podacima saparametrom 0.6 i obični korelogram
Korelogram
0 4 8 12 16
-0.75
-0.50
-0.25
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00Korelogram
1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010 2015
-2
0
2
40.6t t tX X e−= +
Profesor Zorica Mladenović 4.5.2018.
Ekonomski fakultet, Beograd, 2018. 7
13
1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010 2015
0
5
10
15
20
Korelogram
0 4 8 12 16
-0.5
0.0
0.5
1.0Korelogram
Sezonski slučajan hod (sezonski integrisana serija reda 1) na kvartalnim podacima i obični korelogram
14
Korelogram
0 4 8 12 16
-0.5
0.0
0.5
1.0Korelogram
1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010 2015
-2
0
2
4
Sezonski MA(1) model na kvartalnim podacima saparametrom -0.8 i obični korelogram
40.8t t tX e e −= +
Profesor Zorica Mladenović 4.5.2018.
Ekonomski fakultet, Beograd, 2018. 8
15
Vazduhoplovni model na kvartalnim podacima i obični korelogram
1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010 2015
-2
0
2
Korelogram
1 4 7 10 13 16
-0.5
0.0
0.5
1.0Korelogram
4 1 4 50.4 0.5 0.2t t t t tX e e e e− − − = − + −
2. Ključni modeli III
• Prikazani modeli su specijalni slučajevi opšteg modela
• Sezonski multiplikativni ARIMA(p,d,q)x(P,D,Q)s
• Vrednosti P, D i Q su retko veće od 1.
( )( )( ) ( )
( )( )
2 2
1 2 1 2
2 2
1 2 1 2
1 1 1 1
1 1
Ddp s s Ps s
p P t
q s s Qs
q Q t
L L L L L L L L X
L L L L L L e
− − − − − − − − − − =
− − − − − − − −
Profesor Zorica Mladenović 4.5.2018.
Ekonomski fakultet, Beograd, 2018. 9
2. Neki modeli: EVIEWS zapis
Model Oblik Zapis za s=4
Sezonski AR(1)
X AR(4)
AR(1) i AR(s) aditivno
X AR(1) AR(4)
AR(1) i AR(s) multiplikativno
X AR(1) SAR(4)
Sezonski MA(1) X MA(4)
MA(1) i MA(s) aditivno
X MA(1) MA(4)
MA(1) i MA(s) multiplikativno
X MA(1) SMA(4)
sttt eeX −−= 1
1 1 1t t t t sX e e e − −= − −
tstt eXX += −1
1 1 1 1 1 1t t t t s t sX e e e e − − − −= − − +
1 1 1t t t s tX X X e − −= + +
1 1 1 1 1 1t t t s t s tX X X X e − − − −= + − +
3. Modifikacija BJ strategije modeliranja
• Identifikacija:
1. Koliki je red obične (d) i sezonske integrisanosti (D)?
2. Da li je red sezonske autoregresione komponente (P) različit od nule?
3. Da li je red sezonske komponente pokretnih proseka (Q) različit od nule?
4. Da li je sezonska komponenta multiplikativna?
Profesor Zorica Mladenović 4.5.2018.
Ekonomski fakultet, Beograd, 2018. 10
1. Koliko je d i D?
Metodološki okvir:
1.1. Analiza ocene varijanse pojedinih transformacija vremenske serije
1.2. Test jediničnog korena
1.3. Analiza korelograma
1. 1. Koliko je d i D?Analiza ocene varijanse pojedinih transformacija
• Transformacija sa najmanjom ocenom varijanse sugeriše nivo obične i sezonske integrisanosti
• Obazriva upotreba JE NEOPHODNA.Serija D d
0 0
0 1
1 0
1 1
ts X
tX
ts X
tX
Profesor Zorica Mladenović 4.5.2018.
Ekonomski fakultet, Beograd, 2018. 11
1. 2. Koliko je d i D?
Test jediničnog korena
• Ishod testiranja primene ADF testa i mogući zaključci:
• Testovi sezonskog jediničnog korena
Broj j. korena D d
0 0 0
1 0 1
1 0
2 1 1
0 2
1. 3. Koliko je d i D?Analiza korelograma
Korelogram nivoa v.s.
Prvi zaključak
Korelogram Konačan zaključak
Sporo opada od
vrednosti 1
d=1 Prve diference
Sporo opada po sezonskim
docnjama, D=1
d=1D=1
Nema laganog opadanja po sez.docnjama, D=0
d=1D=0
Ne opada sporo od
vrednosti 1
d=0 Nivoa Sporo opada po sezonskim
docnjama, D=1
d=0D=1
Nema laganog opadanja po
sez.docnjama, D=0
d=0D=0
Profesor Zorica Mladenović 4.5.2018.
Ekonomski fakultet, Beograd, 2018. 12
2.+3.+ 4. Ostala pitanja
Pitanja (za vremensku seriju koja je prethodno transformisana shodno izabranoj kombinaciji d i D)
Metodološki okvirAnaliza običnog korelograma
2. Da li je red sezonske autoregresione komponente različit od nule?
DA, ako su koeficijenti značajni na docnjama s,2s,3s,...
3. Da li je red sezonske komponente pokretnih proseka različit od nule?
DA, ako je značajan samo koeficijent na docnji s
4. Da li je sezonska komponenta multiplikativna?
DA, ako je “primetna” korelacija na docnjama oko sezonskih istog ili sličnog obima (s-1,s+1;s-2,s+2;2s-1,2s+1,itd.)
Primer I: Broj noćenja turista u CG(2001:m1-2009:m3, 99 mesečnih podataka)
Grafički prikaz podataka (log vrednosti) i relevantnih transformacija
Profesor Zorica Mladenović 4.5.2018.
Ekonomski fakultet, Beograd, 2018. 13
Identifikacija 1.1:Analiza ocene varijanse pojedinih transformacija
• Ocene su dobijene prema transformaciji kojom se gubi najviše podataka (99-13=86)
Serija Ocena standardne devijacije
1.427860
0.852239
0.251094
0.228516
tX12
tX
tX12
tX
Identifikacija 1.2:Test jediničnog korena
• Postoji tačno jedan jedinični koren.
• Korišćena je ADF test-statistika. – ADF(12) u I iteraciji.
– ADF(11) u II iteraciji.
• KPSS sa redom 12 i 11 korektivnih elemenata daje identičan zaključak.
Profesor Zorica Mladenović 4.5.2018.
Ekonomski fakultet, Beograd, 2018. 14
Identifikacija 1.3:Analiza ocene obične autokorelacione funkcije
Identifikacija 1:Zaključak: D=1, d=0
Profesor Zorica Mladenović 4.5.2018.
Ekonomski fakultet, Beograd, 2018. 15
Identifikacija 2:Analiza ocene obične i parcijalne
autokorelacione funkcije diference reda 12 sugeriše model: ARIMA(3,0,0)x(0,1,0)12
Dependent Variable: D12X
Method: Least Squares
Sample (adjusted): 2002M04 2009M03
Included observations: 84 after adjustments
Convergence achieved after 3 iterations
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C 0.095577 0.068294 1.399491 0.1655
AR(1) 0.635838 0.107954 5.889890 0.0000
AR(2) -0.238941 0.126404 -1.890291 0.0623
AR(3) 0.282252 0.107649 2.621961 0.0105
R-squared 0.385885 Mean dependent var 0.098356
Adjusted R-squared 0.362856 S.D. dependent var 0.251545
S.E. of regression 0.200786 Akaike info criterion -0.326705
Sum squared resid 3.225207 Schwarz criterion -0.210951
Log likelihood 17.72160 Hannan-Quinn criter. -0.280173
F-statistic 16.75627 Durbin-Watson stat 1.900921
Prob(F-statistic) 0.000000
Inverted AR Roots .79 -.08+.59i -.08-.59i
Ocenjeni modelARIMA(3,0,0)x(0,1,0)12
( )
( )( )( ) ( ) ( ) ( )
. . . .s.g.
e.XL-1L.L.L.
modela ocenjenog zapis niAlternativ
).(.), JB.(.)), Q(.(.)Q(
). () . (- .) .t-odn. (
eX.X.X..X
tt12
ttttt
070110130110
09602802406401
070315360792224160091312
622891895401
2820239063600960
32
31221211212
+=−+−
===
++−+= −−−
Profesor Zorica Mladenović 4.5.2018.
Ekonomski fakultet, Beograd, 2018. 16
Primer II: Indeks proizvodnje električne energije u Srbiji
(2001:m1-2014:m1, 157 mesečnih podataka)Grafički prikaz podataka i relevantnih transformacija
X
2005 2010
75
100
125
150 X DX
2005 2010
-40
-20
0
20DX
D12X
2005 2010
-20
0
20
D12X DD12X
2005 2010
-20
0
20
DD12X
Identifikacija 1.1:Analiza ocene varijanse pojedinih transformacija
• Ocene su dobijene prema transformaciji kojom se gubi najviše podataka (157-13=144)
Serija Ocena standardne devijacije
18.824
12.574
10.189
10.505
tX12
tX
tX12
tX
Profesor Zorica Mladenović 4.5.2018.
Ekonomski fakultet, Beograd, 2018. 17
Identifikacija 1.2:Test jediničnog korena
• Postoji tačno jedan jedinični koren.
• Korišćena je ADF test-statistika. – ADF(12) u I iteraciji.
– ADF(11) u II iteraciji.
• KPSS test daje identičan zaključak (sa obe varijante broja korektivnih faktora).
Identifikacija 1.3:Analiza ocene obične autokorelacione funkcije
ACF-X
0 10 20 30
-0.5
0.0
0.5
1.0 ACF-X ACF-DX
0 10 20 30
-0.5
0.0
0.5
1.0ACF-DX
ACF-D12X
0 10 20 30
-0.5
0.0
0.5
1.0ACF-D12X ACF-DD12X
0 10 20 30
-0.5
0.0
0.5
1.0ACF-DD12X
Profesor Zorica Mladenović 4.5.2018.
Ekonomski fakultet, Beograd, 2018. 18
Podaci grupisani po istim mesecima
X
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
80
90
100
110
120
130
140
150X
Podaci grupisani po istim mesecima II
D12X
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
-20
-10
0
10
20
30D12X
Profesor Zorica Mladenović 4.5.2018.
Ekonomski fakultet, Beograd, 2018. 19
Identifikacija 1:Zaključak: D=1, d=0
D12X
2005 2010
-25
0
25D12X
ACF-D12X
0 5 10 15 20 25 30 35
-0.5
0.0
0.5
1.0ACF-D12X
Identifikacija 2:Analiza ocene obične autokorelacione funkcije diference
reda 12 sugeriše model: ARIMA(0,0,2)x(0,1,1)12
Dependent Variable: D12X
Method: Least Squares
Sample (adjusted): 2002M01 2014M01
Included observations: 145 after adjustments
Convergence achieved after 7 iterations
MA Backcast: OFF
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C 1.943461 0.474546 4.095409 0.0001
MA(1) 0.502916 0.080788 6.225101 0.0000
MA(2) 0.306395 0.081197 3.773457 0.0002
SMA(12) -0.636135 0.068090 -9.342570 0.0000
R-squared 0.446522 Mean dependent var 1.977241
Adjusted R-squared 0.434746 S.D. dependent var 10.15923
S.E. of regression 7.638055 Akaike info criterion 6.931362
Sum squared resid 8225.924 Schwarz criterion 7.013478
Log likelihood -498.5237 Hannan-Quinn criter. 6.964729
F-statistic 37.91751 Durbin-Watson stat 1.987395
Prob(F-statistic) 0.000000
Inverted MA Roots .96 .83-.48i .83+.48i .48+.83i
.48-.83i .00+.96i -.00-.96i -.25-.49i
-.25+.49i -.48+.83i -.48-.83i -.83-.48i
-.83+.48i -.96
Profesor Zorica Mladenović 4.5.2018.
Ekonomski fakultet, Beograd, 2018. 20
Poredjenje sa ARIMA(0,0,2)+(0,1,1)12
Dependent Variable: D12X
Method: Least Squares
Sample (adjusted): 2002M01 2014M01
Included observations: 145 after adjustments
Convergence achieved after 7 iterations
MA Backcast: OFF
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C 1.943461 0.474546 4.095409 0.0001
MA(1) 0.502916 0.080788 6.225101 0.0000
MA(2) 0.306395 0.081197 3.773457 0.0002
SMA(12) -0.636135 0.068090 -9.342570 0.0000
R-squared 0.446522 Mean dependent var 1.977241
Adjusted R-squared 0.434746 S.D. dependent var 10.15923
S.E. of regression 7.638055 Akaike info criterion 6.931362
Sum squared resid 8225.924 Schwarz criterion 7.013478
Log likelihood -498.5237 Hannan-Quinn criter. 6.964729
F-statistic 37.91751 Durbin-Watson stat 1.987395
Prob(F-statistic) 0.000000
Inverted MA Roots .96 .83-.48i .83+.48i .48+.83i
.48-.83i .00+.96i -.00-.96i -.25-.49i
-.25+.49i -.48+.83i -.48-.83i -.83-.48i
-.83+.48i -.96
Dependent Variable: D12X
Method: Least Squares
Sample (adjusted): 2002M01 2014M01
Included observations: 145 after adjustments
Convergence achieved after 19 iterations
MA Backcast: OFF
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C 1.911821 0.893905 2.138728 0.0342
MA(1) 0.505008 0.067076 7.528919 0.0000
MA(2) 0.317463 0.067696 4.689557 0.0000
MA(12) -0.456967 0.063873 -7.154291 0.0000
R-squared 0.430711 Mean dependent var 1.977241
Adjusted R-squared 0.418598 S.D. dependent var 10.15923
S.E. of regression 7.746385 Akaike info criterion 6.959528
Sum squared resid 8460.913 Schwarz criterion 7.041645
Log likelihood -500.5658 Hannan-Quinn criter. 6.992895
F-statistic 35.55906 Durbin-Watson stat 1.899008
Prob(F-statistic) 0.000000
Inverted MA Roots .89 .76+.47i .76-.47i .41-.82i
.41+.82i -.05-.95i -.05+.95i -.51-.84i
-.51+.84i -.83+.48i -.83-.48i -.95
Poredjenje sa ARIMA(0,0,2)+(0,1,1)12 II
ACF-Reziduali iz aditivnog modela
0 5 10 15 20 25 30 35
-0.5
0.0
0.5
1.0ACF-Reziduali iz aditivnog modela
ACF-Reziduali iz multiplikativnog modela
0 5 10 15 20 25 30 35
-0.5
0.0
0.5
1.0ACF-Reziduali iz multiplikativnog modela
Profesor Zorica Mladenović 4.5.2018.
Ekonomski fakultet, Beograd, 2018. 21
Ocenjeni modelARIMA(0,0,2)x(0,1,1)12
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )349773236104
64013105001941
349773236104
200320640310500941
122
1413122112
.- . . . odn.-t
eL.L.L..XL-1
modela ocenjenog zapis niAlternativ
4.93(0.09)JB ),26.60(0.19Q(24) ,3.97(0.91)Q(12)
.- . . . t-odn.
e.e.e.e.e.e.X
tt12
ttttttt
−+++=
===
−−−+++= −−−−−