Modelisation de la propagation dans les fibres optiques

Optical and Quantum Electronics 9 (1977) 1 4 3 - 1 5 2

Modelisation de la propagation dans les fibres optiques

L. J E U N H O M M E , M. R O U S S E A U Laboratoires de Marcoussis, Centre de Recherches de la Compagnie Generale d'Electricite, Route de Nozay, 91460, Marcoussis, France

Received 22 September 1976

This paper presents a new method for investigating the effects of mode conversion due to microbends on the transmission characteristics (attenuation, frequency response...) of multimode optical fibres. The method applies to both step-index and graded-index fibres and takes into account any dependence of the mode coupling coefficient upon propagation angle. The general theory of propagation with mode coupling is developed and we introduce the concept of 0 modes. The propagation problem is then simplified by using hypotheses based on exerpimental results and the solution is obtained with the help of a computer. Practical results concerning the increase of attenuation due to microbends are presented, from which the precautions to be taken when cabling fibres are deduced. It is also shown that in every practical case encountered, the prediction of the total attenuation and of the frequency response of a given fibre, when the launching conditions are specified is obtained from analytical expressions which approximate well with the exact results obtained from the computer. All these results make the method powerful and very useful for system designers when evaluating the effect of introducing an optical fibre into a transmission system.

1. Introduction Un probt~me important soulev~ par les t616communications par fibres optiques est celui de la pr4diction des caract~ristiques de transmission (diagramme de rayonnement, att6nuation globale, r6ponse en fr6quence) d'une fibre donn6e, une fois pr~cis6es les conditions d'injection. Nous nous int6resserons ici aux fibres multimodes tant ~ 6chelon qu'fi gradient d'indice et nous prendrons en compte les divers param~tres influant sur la propagation: (a) att6nuation diff6rentielle des modes d'ordre ~lev6, (b) conversion de modes, (c) variation du temps de groupe avec l'ordre du mode. L'influence de ces param~tres a d~j~ 6t6 6tudi~e et des r~sultats pratiques ont ~t~ obtenus [1-4], mais les hypotheses faites sont toujours tr~s restrictives quant ~ la forme du coefficient de couplage de modes. Nous nous attachons ici ~ 6tudier ce ph6nom~ne dans sa g6n6ralit6 pour en d6gager le maximum d'informations puis nous utilisons des hypotheses sugg6r6es par les r6sultats exp6rimentaux obtenus afin d'6tablir des expressions simples permettant de disposer d'un module de la fibre facile ~ manier. L'influence des microcourbures introduites lors du gainage des fibres est plus sp6cialement 6tudi6 afin d'en d6duire les pr6cautions n6cessaires

ob server.

2. Equations generales de la propagation avec couplage de modes 2.1. Equivalence angulaire Pour caract~riser les modes d'une fibre multimode, nous utiliserons l'~quivalence angulaire. Si na et n2 sont les indices sur l'axe de la fibre et dans la gaine, respectivement, les constantes de propagation/3 des modes guid6s sont toujours comprises entre k l = 2rr (nl /X) et k~ = 2rr (n2/X) off X est la longueur d'onde de la lumi~re dans le vide, soit:

k : </3 < k ~ . (1)

�9 1977 Chapman and Hall Ltd. Printed in Great Britain. ] 43

L. Jeunhomme, M. Rousseau

Tousles modes ayant la m6me valeur de/3 ont le m~me temps de groupe et il est donc commode de les regrouper ensemble pour 6tudier les pMnom~nes de propagation.

I1 s'introduit alors une 6quivalence angulaire, en posant:

/3 = k l cos 0 . (2)

L'angle 0 repr6sente alors l'angle entre l'axe de la fibre et la direction de propagation des ondes planes dont le mode est la composition. Dans les fibres ~ ~chelon d'indice, cet angle est constant sur toute l'6tendue du coeur, et dans les fibres ~ gradient, 1' angle d6fini par Equation 2 est obtenu uniquement sur l'axe de la fibre.

Nous caract6riserons donc les modes par leur angle 0, celui-ci 6tant une grandeur directement mesurabte. Le mode ~ la coupure correspond alors ~ l'angle maximal de guidage 0M qui est obtenu pour /3 = k2 ou encore:

n2 cos OM -- (3)

n l

2.2. Equat ion de propagat ion Si nous appelons OZ la direction de propagation, le long de 1'axe de la fibre, l'6quation la plus g6n6rale de la propagation avec ~change d'6nergie entre les modes est [5, 6] :

dP(O,z,t) [~a(O)+IoS(O"O)2rrsinO'dO']P(O'z't)+~ MS(O'O')P(O''z't)27rsinO'dO'' (4)

off P(O, z, t) repr~sente la quantit6 d'6nergie contenue ~ l'abscisse z entre les c6nes d'angle au sommet 0 et 0 + dO ; aa(0 ) est la perte par absorption des modes correspondants ~ l'angle 0 ; S(O', O) est le coefficient d'6change d'6nergie du mode 0 vers le mode 0', par unit6 de longueur.

Le terme entre crochets peut alors se r6duire h la forme a(0) qui repr6sente la somme des pertes par absorption aa(0 ) et des pertes par diffusion: f~ S(O', 0) 2rr sin 0' dO' on obtient ainsi:

dP(O , Z , t) - a(o)e(o, z, t) + ySM S(O, O')P(O', z, t) 2rr sin O' dO'. (5)

dz

Ceci est l'6quation la plus g6n6rale de propagation lorsque les modes guid6s 6changent de l'6nergie entre eux et nous allons voir que certaines d6ductions peuvent en 6tre faites, sans particulariser davantage le probl~me.

2.3. Existence et propri~t~s de 0 modes Comme toute ~quation int~gro-diff~rentieUe, L'6quation 5 admet des solutions propres, ia solution la plus g6n6rale 6tant une combinaison lin6aire de ces solutions propres. Ces solutions propres s'6crivent Qn(O) e -~"z et toute solution de l'equation 5 peut s'6crire:

P(O, z) = ~ I.Q.(O) e -3"z. rl

Cette formulation signifie que tout diagramme de rayonnement ~mis par la fibre en un point Z est la superposition de diagrammes de rayonnements particuliers Qn(O) avec des coefficients In e -~"z ne d6pendant que du diagramme de rayonnement injectS.

Toutes ces solutions propres correspondent ~ des att6nuations diff6rentes, et nous pouvons les supposer rang~es par ordre d'att6nuation croissante. Dans ces conditions, au bout d'une grande longueur de fibre, seule QI(O) subsistera, ce qui signifie que quel que soit le diagramme de rayonnement inject6 l'entr6e de la fibre, au bout d'une certaine longueur le diagramme de rayonnement 6mis par la fibre sera toujours QI(O), diagramme de rayonnement d'6quilibre. Les Qn(O) 6rant les solutions propres d'une 6quation de propagation, suivant lesquelles toute r6partition d'~nergie inject6e darts la fibre peut se

144

Modelisation de la propagation clans les fibres optiques

d6composer, nous les appelons les 0 modes par analogie avec les modes classiques de la fibre. Ceci est une g6n6ralisation de la notion de 0 modes introduite pr6c~demment [4], pour les fibres ft 6chelon d'indice. En reportant dans l'equation 5, on obtient l'6quation dont les 0 modes sont solution:

[~(0) -- 3'n I Qn(O) = f 2 M S(O, 0') Qn(O') 2rr sin 0'd0'. (6)

Une propri6t6 int6ressante des 0 modes peut etre d6duite de cette derni~re 6quation. Supposons qu'un mode donn6 0 n'6change d'6nergie qu'avec des modes dont les angles sont compris entre 0 -- q~ et 0 + q~, ~b caract6risant la largeur angulaire du coefficient d'6change d'6nergie: S(O, 0 ') 4= 0 seulement si 10 -- 0'1 <~ O. Ceci est une hypoth~se tout ft fait r6aliste, que l'6change d'6nergie soit dfi fi de la diffusion par des particules allong6es, cas rencontr6 fr~quemment dans les fibres ou ft des microcourbures dont les fr6quences spatiales sont contennues dans un spectre limit6 [7].

Dans ces conditions, pour les modes au delft de la coupure, c'est-fi-dire pour 0 > 0M, Equation 6 devient:

OM S(O, O')Qn(O')2rr sin O'dO'. (7) [a(0) -3 ,n]Qn(0) = o-~

Ceci montre ft l'6vidence que Qn(O) - 0 pour 0 t> 0M + q~. La conclusion pratique de ceci est que le diagramme de rayonnement d'6quilibre d'une fibre optique

s'annule pour l'angle 0M + q~ si la largeur angulaire du coefficient de couplage S(O, 0 ') est 2~. Si donc on peut mesurer 0M et le diagramme de rayonnement d'6quilibre, il est possible d'en d6duire ~ben comparant sa largeur ft la base ft 0M. Les mesures d'angle maximal de guidage [8] que nous avons pu faire, ainsi que les mesures de diagramme de rayonnement d'6quilibre montrent que pour la majorit6 des fibres essay6es, la valeur de ~ est trds faible et en g6n6ral n'est pas mesurable avec une pr6cision de mesure de +-0.2 ~

Certaines fibres toutefois montrent un diagramme d'6quilibre qui s'~tend au delft de 0M, mais ceci est toujours li6 ft la propagation de modes ft fuite dans la gaine, lorsque l'att~nuation a(0) conserve une valeur faible m6me pour des angles sup6rieurs ft 0M, ce qui est l'exception.

Cette constation exp6rimentale vient confirmer les consid6rations tMoriques [1 ], d'ofi il ressort qu'une exceUente hypoth~se de travail pour r6soudre le probl~me de la propagation avec conversion de modes est de supposer que le couplage de modes n'intervient qu'entre modes plus proches voisins. Avec cette hypoth~se, l'6quation de propagation (Equation 5) se simplifie grandement et la r6solution devient alors possible.

3. Propagation avec couplage de modes au plus proche voisin 3.1. Equation de propagation Pour 6tablir l'~quation de propagation avec cette hypoth~se, nous nous int~resserons aux fibres dont le profffl d'indice appartient ft la classe suivante:

n2(r) = n ~ [ 1 - - 2 A ( r / a ) c~] O ~ r < ~ a

n2(r) n~[1 - -2A] = n~ r>~a

off ,3 est la diff6rence d'indices relative, r est la distance radiale, a est le rayon de coeur de la fibre. Cette classe de profits a d6jft 6t6 6tudi6e [9] et elle pr6sente l'int~r~t d'englober les fibres ft 6chelon (~ -+ ~) aussi bien que les gradients fournissant la plus faible dispersion (a ~ 2).

On sait que les modes guid6s de telles fibres correspondent ft des valeurs discr~tes de 13 et donc de 0 et la s~paration A/3(0) entre le mode 0 et ses plus proches voisins est [3])

(8)

145


En particulier, darts les fibres ~ 6chelon A/3 "- 0, c'est-~-dire que l'espacement entre les modes d'ordre faible est plus faible que l'espacement entre les modes d'ordre 61ev6. Pour les fibres fi gradient quasi parabolique (a ~ 2). A ~ est ind~pendant de 0. En utilisant la Relation 2, on d6duit de A/3(0) la s~paration angulaire A 0 (0) des modes adjacents:

A/3(0) = --ka sinOA 0(0) ~--k~OA 0(0)

�9 compare ~ l'~quation 8, ceci montre qu e AO est constant darts les fibres ~ ~chelon et varie comme 1/0 darts les fibres ~ gradient quasi parabolique.

Dans l'hypoth~se retenue ici, du couplage au plus proche voisin, S(0, 0') est non nul seulement lorsque ! 0 - 0'[ ~< A 0(0), et dans ce cas, L'6quation 4 tend vers une 6quation de diffusion [6] dont l'expression pour les fibres ~ gradient a 6t6 6tablie pr6c~demment en partant directemenet de l'hypoth~se du couplage au plus proche voisin [3]. Cette 6quation s'6crit:

l O_-{O'+4/(~+2)D(o)OP ] dP(O,dzZ, t) _ aa(O)P(O , z, t) + ~ O0 \ O0 ] (9)

off D(O) est obtenu comme 6tant ([3], Equations 90 et 85):

= g~l" 0~/(~+2) ~- dz eiA#(~ (10)

off f(z) est l'~quation de la d6form6e de la fibre, par rapport ~ la ligne droite qu'elle occuperait en l'absence de microcourbures.

Cette ~quation s'explicite en tenant compte de la d~pendance angulaire du temps de groupe: si r(0) est le temps de groupe du mode 0, pour la classe de proffis choisis ici, on a [9]:

z ( 0 ) - n x 1 [ l c cos0 a+22 sin20]" (11)

I1 faut alors remplacer dans Equation 9 dP(O, z, t)/dz par:

dP(O, z, t) OP(O, z, t) 3P(O, z, t) - + z ( 0 ) ( 1 2 )

dz 3z ~t

les Equations 9-12 ont d6ja 6t6 r~solues dans quelques cas particuliers: (a) Gloge [2] a suppos6 que la loi aa(0) ~tait du type: aa(0 ) = AO 2 que le coefficient de couplage

D(O) ~tait constant et enfin que la fibre ~tait fi 6chelon d'indice (a -+ ~). Dans ces conditions, la r6solution est analytique et fournit des formules simples et particuli~rement int6ressantes, que nous comparerons plus loin aux r6sultats obtenus par notre m6thode. En effet, il s'est av~rd que la loi d'att6nuation parabolique choisie dans cette tMorie 6tait rarement observ6e en pratique et qu'il 6tait souhaitable de consid6rer des coefficients D(O) variables.

(b) Olshansky [3] a fait l'hypoth~se, 6tay6e par des r~sultats exp~rimentaux que la loi aa(0) 6tait du

type: ~ = ao 0 ~ 0 ~<0M

~a(0) = ~ 0>0M

De plus, DO) 6tait choisi tel que: D(O) ~ I/([A/3(0)] 2o). Ces hypotMses sont proches des observations exp~rimentales et donc r6alistes mais la solution

obtenue est assez lourde ~ manier. Qualitativement ces deux approches ont f0urni des r~suttats g6n~raux qui restent vrais tant que le couplage de modes est pris en compte, ~ savoir: au bout d'une certaine iongueur le diagramme de rayonnement devient stable et ind6pendant des conditions d'injection (0 mode fondamental) et ~ partir de cette distance, la r6ponse impulsionnelle s'~largit comme x/z:

Nous allons r6soudre L'~quation 9 en ne Iimitant pas la forme de D(0), ce qui permettra d'approcher au mieux les r~sultats exp~rimentaux.

146


3.2. R6solution de I'dquation de propagation La seule hypoth~se suppl~mentaire que nous ferons pour utiliser notre m~thode de r6solution est fond~e sur les r6sultats exp6rimentaux que nous avons obtenus et sur ceux obser%s par ailleurs, ce qui amine fi conserver la loi de %(0) utilis6e en [3]:

aa(O) = ao 0 ~< 0 ~< OM (13)

a . (0 ) = co 0 > 0M.

Nous ne ferons pas d'hypoth~se a priori sur la forme du coefficient D(O), mais il faut remarquer au passage que dans les fibres fi gradient quasi parabolique (a ~ 2), les Relations 9 et 10 montrent que D(O) est une constante ind6pendante de 0.

Le terme -- aoP(O, z, t) qui s'introduit dans L'6quation 9 lorsque l'on y reporte [13] est un terme de pertes commun ~ tousles angles et pour en tenir compte, il suffit de multiplier la solution obtenue par e -~xo z.

D'autre part, il est utile d'effectuer la transform6e de Fourier de L'6quation 9 en posant:

il vient alors:

Op (0, z, co)

3z

p(O,z, co) =~+-2 P(O'z' t) ei~t dt

l a {ol+41(a+2)D(O)~O] pourO~<O~<OM + ico'c(O)p(O,z, CO) = 0 aO

p(O, Z, CO) = 0 pour 0 > OM. (14)

Les conditions aux limites sont tr~s simples: p(OM, z, co) = 0, pour la continuit6 en OM;

01 + 4/(~ + Z)D(O)--I~O[O= o = 0 c a r in n 'y a pas d'6change d',nergie avec des angles 0 < 0, qui ne caract6r- �9 % i

isent pas de modes. La r6solution de l'6quation 14 avec les conditions aux limites ci-dessus est effectu6e de proche en

proche par calculateur. Apr~s d6coupage des axes 0 et z en un nombre fini de segments, L'6quation 14 est remplac~e par une 6quation aux diff6rences. La m~thode num6rique utitis~e est expos6e en d~tails par ailleurs [ 10] et nous n'y reviendrons pas. Son avantage est de limiter au maximum les hypotheses et de pouvoir prendre en compte toutes les valeurs de a pour des fibres ~ gradient et toutes les formes souhaitables de coefficient de couplage de modes. De plus, tousles types d'injection sont simulables, le choix de P(O, 0) 6tant libre.

Les param~tres obtenus apr~s calcul sont: (a) le diagramme de rayonnement en statique, P(O, z), et notamment sa valeur d'6quilibre obtenue

pour z tr~s grand. (b) l'att~nuation totale de la longueur z de fibre, soit:

9(z, 0) A(z) - (15)

9(0,0) a v e c

9(z , co) = 27r~: M sin Op(O,z, co)d0 (16)

(c) l'att~nuation lin6ique en fonction de la longueur:

1 dA(z) r (z ) -

A(z) dz (d) la r6ponse en fr6quence:

H(co, z) = 9(z, co) (17) 9/(z, o)

147


(e) la largeur effective du diagramme de rayonnement, Oeff(z) d6fini comme le 1/2 angle all sommet du c6ne dans lequel est contenu 90% de l'6nergie 6raise par la fibre soit:

2rr f ~ sin 0 p(O, z, O) dO = 0.9. (18) 9(z, o)

La m6thode utilis6e permet alors d'&udier l'influence de formes particuli~res du coefficient D(O), par exemple dues ~ des d6fauts introduits lors du gainage ou d'optimiser la valeur du param&re a en tenant compte de l'att6nuation ajout6e et de la r6ponse en fr6quence. Les quelques r6sultats pr6sent6s ici con- cement l'influence des microcourbures introduites au gainage de fibres ~ 6chelon d'indice.

Type 2:

4. Resultats e t a p p r o x i m a t i o n ana ly t ique I1 a ~t6 observ6 exp6rimentalement [11 ] que, pour de telles fibres la forme du coefficient de couplage de modes D(O) est en g6n6ral une fonction d6croissante ~ partir de a = 0 ~ qui se stabilise ensuite.

Afin d'6tudier 1"influence de tels coefficients, nous avons retenu deux types repr&entaat assez bien les formes observ6es exp6rimentalement.

I - - / \ 7

T y p e l : DI(O) = Do /l + h cos ( 2 ~ ) ] 0 < 0 < ~ < 0 M L t t J

= Do ~b~<O ~<OM

= Do ~ < 0 ~<OM

l+h

D(e)JD,

T y p e 2 Type1

I I

1 i I I

O M

8 Figure 1 Types de coefficients de couplage de modes pour les fibres fi 6chelon d'indice gain6es.

Ces coefficients sont repr6sent6s Fig. 1. Les Figs. 2 et 3 montrent l'6volution de la perte lin6ique ajout6e par le couplage de modes, en r6gime d'6quilibre, soit 71 (qui est le coefficient d'att6nuation du 0 mode fondamentale). Pour ce calcul, 0M a 6t~ choisi 6gal ~ 0.13 radians, ce qui correspond h une fibre d'ouver- ture num~rique 0.19 avec un indice de coeur de 1.46. La valeur de Do a 6t6 ajust~e de telle faqon que, pour h = 0, 71 = 4.34 riB/kin. Pour toute autre valeur de Do et OM, une analyse simple de l'equatlon (le propagation (Equation 9) montre que 3'1 est proportionnel ~ Do/Oh (voir par exemple [3,4, 10]).

Pour les deux types de coefficients de couplage, il s'av~re que 3'1 varie tr~s peu avec h, tant que ~b est inf6rieur ~ 0M/2, mais qu'il y devient tr~s sensible, d~s que ~b d~passe 0M/2. Si l'on suppose que le couplage de modes est dO aux microcourbures al6atoires introduites lors du gainage, ceci implique, en se r~ferrant ~t l'6quation 10 que la longueur de eorr61ation des d6fauts doit ~tre sup~rieure ~ 3 mm afro

148


15

10

~'da B/K m)

T y p e 1

7 5

__ ~ / e ~ = o . 5 q0/e M = 0 . 2 5

h I >

5 10

15

10

~.i( d B / K rn )

Type 2

.__ qo/O, = 0 .75 ~ / G M = 0 . 5 ~p/e M -.=0.25

h I I >

5 10

Figure 2 Perte ajoute!e par le couplage de modes, en fonc- t ion de h pour le type 1.

Figure 3 Perte ajout~e par le couplage de modes, en fonc-

t ion de h pour le type 2.

de ne pas trop augmenter les pertes. On observe d'autre part que lorsque des d6fauts fi longueur de corr& lation plus faible sont introduits (~ > 0M/2), l'att6nuation ajout~e tend fi saturer lorsque h devient tr~s grand. Enfin, la comparaison des Figs. 2 et 3 indique que les coefficients de couplage du type 2 sont moins d6favorables que ceux du type 1.

La cons6quence de ces r~sultats est que, lots du gainage des fibres, il faut autant que possible supprimer les d6fauts ~ faible longueur d'onde m6canique afin de rester dans la zone o3 ~ ~< 0M/2 (ce qui donne pour la fibre choisie ici une longueur d'onde minimum de 3 mm). De plus une r~partition de d~fauts conduisant fi un coefficient de couplage du type 2 est plus favorable que celles conduisant au type 1.

Un autre param&re int~ressant obtenu est l'att~nuation totale de la fibre, A(z), en fonction des conditions d'injection. La Fig. 4 illustre ce 15oint, avec l'injection d'un faisceau Gaussien de largeur variable et un coefficient de couplage de modes constant, de m~me valeur que pr~c~demment. Nous avons ~galement repr6sent~ la courbe obtenue lorsque le diagramme d'~quilibre est inject8 d~s l'entr~e de la fibre. I1 ressort clairement de ces r~sultats que les conditions &injection sont tr~s critiques lorsque

-1

- 2

- 3

-4

- 5

-6

o.5 1 Z (Km)

' ' ' I i

. . . . . _ _ _ 6 , . , / 5

A ( Z ) dB M

Figure 4 Attenuat ion totale de la f ibre pour des injections du type exp [ - - (O/(9M/C)) = ] et pour I ' injection du diagramme d'~quil ibre.

149


0.5

%/o.

/ r ,I-w

' _ _ h=O x ~oo - 3 K m "t �9 -.~.e § [ = , "- 4 .15 Km.~

_ _ h_-lO ~0= e, . ) '0. = 1 0 . 5 K m

, , , , I , , , , I

0 0 . 5 1

Z ( K m )

1 0 0

5 0 0

0.1 1 5 10 ' ' ' I ' ' ' ' l ' ' I �9

Z ( K m ) ' ~ = 3

+ ~ ' 0 . : 4 . 15 K m -'t

o l O 5

~ , , , ~ : ~ ' / s a n s CoM.

/ / h= lO / .

/ oq~(0): o.3~ o.

F ( M H z ) - 6 d B

Figure 6 Fr~quence ~ - - 6 dB en f o n c t i o n de la d istance Figure 5 Evo lu t i on de la largeur e f fec t i ve en f o n c t i o n de la pou r une in jec t ion exp [ - - (8/(eM5))=]. Calcul exac t et Iongueur : Calcul exac t et Fo rmu le 19. F o r m u l e 20.

l'on d6sire mesurer l'att6nuation lin6ique de la fibre et en particulier, il est nScessaire d'injecter un diagramme aussi proche que possible du diagramme d'6quilibre.

Retenant alors les coefficients de couplage du type 2, nous examinons le comportement de la largeur effective Oef~(z). Pour cela, nous avons choisi une injection tr~s fine, avec 0elf(0) = 0.31 O M de faqon ~t observer une 6volution importante. La Fig. 5 montre alors cette ~volution, pour diffSrentes valeurs de h et ~b. L'6volution est 6videmment plus rapide lorsque h e t ~b sont 61ev6s et de plus, lar largeur effective d'~quilibre 0elf(oo) augmente 16#rement lorsque h et ~ deviennent tr~s grands. I1 est int6ressant de comparer ces r6sultats ~ un r6sultat analytique obtenu pr~c~demment [1 ], moyennant des hypotheses tr~s diff6rentes de ceUes faites ici. En se r6f6rant ~ ces travaux, on obtient une formule assez simple:

O~ff(z) = a= t=, 0e2ff(0_____~ ) + Oe~ff(=______~ ) tanh ('r~z__________~) (19) Vefft ) 0e2ff(~176 -1- 02ff (0) tanh (7=z)

off 0el f (oo) est la largeur effective d'6quilibre; 0elf (0) est la largeur effective initiale; 3% est un para- m6tre mesurant la rapidit6 d'6volution de la r@artition initiale vers le diagramme d'6quilibre, directement proportionnel ~ Do, donc ~ 71- La Fig. 5 montre donc aussi les points obtenus par la Formule 19, en ayant ajust6 le param&re 7~ pour obtenir un bon accord. Les valeurs de 3% sont:

pourh = O, 3'| = 3km -1 soit3'~ = 371

pourh = 10etch = 0M/2,7| = 4,15km -1 soitT~ = 3,963q(h = 10,~b = 0M/2)

pourh = l O e t $ = 0M 7= = 10,55kin -1 soit3% = 5,423q(h = 10,~ = 0M).

Ces valeurs montrent done que, lorsque h et ~b augmentent, la rapidit6 d'6volution augmente plus vite que l'att6nuation ajout6e. Nous nous int6ressons ensuite ~ la r@onse en fr6quence de la fibre, d6finie par L'fiquation 17. La Fig. 6 repr6sente la fr~quence ~ -- 6 dB 61ectriques en fonction de la longueur, pour diff6rentes valeurs de h et ~b avec l'injection fine d6j~ utilis6e, soit 0elf(0) = 0.31 0M.

La Fig. 7 repr~sente les courbes obtenues pour une autre injection, correspondant approximativement une DEL, c'est-~-dire tousles modes guid6s 6galement excites, ce qui donne: 0elf(0) = 0.92 0~. I1 est remarquer que, pour les grandes longueurs (z > 2 kin), la fr6quence ~ -- 6 dB varie eomme (x/z) -ae t

150

Modelisation de la propagation dans les fibres optiques

0,1 1 5 ,o ' ' /

s a n s C . M . / ~ h = O ~ X + ~ ~-'_ e~ ..I . .- ~0_~. h=O

.'" "~1

. 7

I + ~'=~=4,15 K m - t

5 0 0 o ~'=,= 10,5 9=fF(0)=0.92 9

F6d 8 (MHz)

100

Figure 7 Fr~quence ~ -- 6 dB en fonction de la distance pour une injection exp [-- (e/lOOSM)2]. Calcul exact et formule 20.

10

10 . . . . , t . . . . i

0,~f *

H](d B)

20t-C~(ns)10

0 ' " " ~' o

100

1

) F(MHz )

Figure 8 R~ponse en fr~quence de 1 km de fibre: Calcul exact pour h = 10, ~b = eM(OO). Formule 20 pour 3'= = 10,5 km -1 ( - - ) injection exp [-- (e/lOOeM)2].

que, ~ coefficient de couplage identique, eUe est ind6pendante du type d'injection. On constate que lorsqu'une injection fine est utilis6e, la r6ponse en fr6quence serait meilleure en l'absence de conversion de modes que lorsqu'eUe est pr6sente, du moins pour les longueurs d'int6r6t pratique. La situation est invers6e pour l'injection de type DEE

I1 est de nouveau int6ressant de se r6f6rer a la th6orie exacte 6tablie avec d'autres hypotheses [2] et de comparer la formule analytique aux r6sultats obtenus ici:

cosh (3' z) + 0ezff(0) sinh (3'=z) = 0e .(oo)

z ) = ( 2 0 ) cosh (o3'| + Oe2ft(O-----) a sinh (a3' z)

avec 2 1I/2 a = 1 + i~ -~cog0a f (~176 (21)

3'= J "

Ces formules sont d~duites de la pr6c6dente th6orie en y introduisant les largeurs effectives, et le facteur K apparait ici comme un param~tre ~ ajuster pour tenir compte du fait que les diagrammes de rayonnement d'6quilibre obtenus ici sont diff~rents de la forme Gaussienne correspondant fi la pr6c6dente th~orie. En utilisant les vnteurs de Oat(O ) correspondant aux dfff6rentes injections, et de 0~t(o~ ) et 7~6tablies auparavant, il S'av&e que l'accord obtenu est assez bon pourK = 0.66 (Figs. 6 et 7). Ce point est trds important car il signifie que, tout au moins pour des longueurs telles que 3 ' z 1> 2, les Formules 20 et 21 repr6sentent bien le comportement exact de la fibre.

Elles ont l'avantage d'6tre faciles h utiliser et permettent d'6tudier par exemple l'influence de l'injection sur la r6ponse en fr6quence et elles peuvent entrer directement dans des calculs de rapport signal/ bruit par exemple. La Fig. 8 repr6sente les r6ponses en fr6quence, amplitude et temps de group6 (d6riv6e de la phase par rapport ~ la fr6quence) obtenues par le calculateur et par la Formule 20 pour

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L. J e u n h o m m e , M. Rousseau

l'injection DEL, une 1ongueur de 1 km et un coefficient de couplage correspondant ~ h = 10 et q~ = 0M. L'accord est bon pour les amplitudes; pour le temps de groupe, on peut seulement conclure que la Formule 20 fournit approximativement la valeur moyenne des valeurs r6elles. I1 faut toutefois noter que ce param~tre est trbs sensible ~ de petites fluctuations et par cons6quent l 'accord peut 6tre consider6 comme raisonnable.

5. Conclusion L'utilisation d 'une m~thode num6rique trait6e par calculateur pour r6soudre le probl~me de la propagation avec couplage de modes permet d'aborder tousles types de gradient de fibres et de coefficients de couplage de modes moyennant seulement deux hypotheses, d'ailleurs bien v6rifi6es exp6rimentale- ment. Nous avons pr6sent6 ici les r~sultats obtenus pour une fibre ~ 6chelon d'indice et divers coefficients de couplage de modes typiques de ceux obtenus apr~s gainage d'une fibre. Nous avons pu d6gager l'influence des microcourbures introduites lors du gainage sur les pertes ajout6es et l'6volution de la r6ponse en fr6quence.

D'autre part, des formules analytiques simples d6duites d'une pr6c6dente th6orie fournissent une bonne approximation du comportement exact obtenu ici et elles peuvent alors ~tre utflis~es afin de calculer les effets de l ' introduction d'une fibre optique dans une liaison. Notamment, elles sont actuelle- ment utilis6es pour optimiser les caract~ristiques de la fibre en 6gard au rapport signal/bruit.

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Documents

Modelisation de la propagation dans les fibres optiques