Modelización matemática Modelización matemática como estrategia pedagógicacomo estrategia pedagógica

Mónica E. VillarrealCONICET – FaMAF (UNC)

Córdoba – 2008mvilla@famaf.unc.edu.ar

Algunas consideraciones…

Recomendación: … incorporar el aspecto empírico de las

ciencias en el aula y recuperar la idea de actividad de

modelización para la enseñanza de la matemática.

(2007, p. 11)

MINISTERIO DE EDUCACIÓN, CIENCIA Y TECNOLOGÍA DE LA NACIÓN

Comisión Nacional para el Mejoramiento de la Enseñanza de las Ciencias Naturales y la Matemática.

Algunas consideraciones…

DOCUMENTOS CURRICULARES DE LA PROV. DE CÓRDOBA

Este enfoque requiere considerar dos aspectos insoslayables: la cohesión interna de la disciplina y los procesos de modelización de la misma. La cohesión interna de la Matemática está estrechamente ligada a:

la comprensión conceptual; la habilidad de plantear problemas y resolverlos con una variedad de estrategias; la significación y la funcionalidad a través de su conexión con el mundo real, entre sus diversas ramas y con las otras ciencias y la potencia de la Matemática para modelizar problemas de otras disciplinas, a partir de su estructuración lógica y su lenguaje.

Diseño curricular para el Tercer Ciclo de EGB de la Provincia de Córdoba

Enseñar modelos matemáticos y sus

aplicaciones

Dos diferencias importantes…

Enseñar a generar modelos matemáticos

Enseñar matemática a través del proceso de modelización matemática

Dominar conceptos y procedimientos

Dominar competencias matemáticas

APLICACIÓN

TEMA

SOLUCIÓN ANALÍTICA O NUMÉRICA

RESOLUCIÓN MATEMÁTICA

PROBLEMAS PARA

ANALIZAR

VALIDACIÓN

EXPERIMENTACIÓN

DATOS EXPERIMENTALES

O EMPÍRICOS

MODELO

ABSTRACCIÓN

MODIFICACIÓN

BASSANEZI

¿En qué consiste el proceso de modelización matemática?

Perspectivas vinculadas al uso de modelos y la modelización

modelización

aplicación

MATEMÁTICAMUNDO REAL1. Aplicaciones de modelos matemáticos ya conocidos en la

resolución de problemas reales.

EJEMPLO:

Un pequeño negocio estima que el valor V(t) de una máquina

fotocopiadora se deprecia de acuerdo con la función

donde t es el número de años que han transcurrido desde que

se compró la máquina, V(t) está en dólares. a) ¿Cuál fue el valor

original de la máquina? b) ¿Cuál es el valor de la máquina 5

años después de la compra? c) ¿En cuánto tiempo la máquina

pierde la mitad de su valor original?

ttV 15.025000)(

Perspectivas vinculadas al uso de modelos y la modelización

2. Planteo, con fines motivadores, de un problema “real” que ilustra la aplicación del modelo matemático a estudiar.EJEMPLO:

Desde un barco que se halla en situación de emergencia se efectúa un disparo, en forma vertical, con una pistola de señales. El destello podrá verse desde la base naval más cercana únicamente mientras se encuentre a una altura no menor de 195 m sobre el nivel del mar. Los técnicos que integran la tripulación estiman que, de acuerdo con las características de la pistola de señales y con las condiciones en que se dispara, la altura del destello estará dada por la siguiente fórmula:

donde h es la altura sobre el nivel del mar, en metros, cuando hayan transcurrido t segundos desde el momento del disparo.Esta fórmula corresponde a una función cuadrática…

2580)( ttth

Perspectivas vinculadas al uso de modelos y la modelización

aplicación

MATEMÁTICAMUNDO REAL

1. Aplicaciones de modelos matemáticos en problemas reales.

2. Planteo, con fines motivadores, de un problema “real” que

ilustra la aplicación del modelo matemático a estudiar.

Problemas ficticios o semi-reales

Contexto real como disfraz para un problema matemático

El fin último es presentar un marco para la aplicación de un

contenido ya estudiado o motivar la presentación de un nuevo

tema.

Se muestra cómo una determinada función, ecuación

diferencial, etc. modela un fenómeno dado, pero no cómo ese

modelo es obtenido.

Perspectivas vinculadas al uso de modelos y la modelización

3.Trabajo con proyectos donde el tema y problemas asociados con el mismo son propuestos por el profesor.

EJEMPLO:

El texto de una campaña de seguridad vial dice:

Un auto conducido a 60 km/h se adelanta a otro auto que circula a 50 km/h. Cuando los autos están uno al lado del otro una niña aparece algunos metros más adelante. Los conductores reaccionan al mismo tiempo y los autos tienen frenos de igual calidad. El auto que va a 50 km/h se detiene justo al frente de la niña, mientras que el otro auto, con velocidad de 60 km/h, atropella a la niña a 44 km/h. Siete de cada diez personas mueren en un accidente como ese.

¿Puede esto ser cierto?

Perspectivas vinculadas al uso de modelos y la modelización

4. Trabajo con proyectos donde los estudiantes son invitados a elegir el tema y, con la ayuda del profesor, a plantear problemas para ser resueltos. No se restringe el contenido o contenidos matemáticos a trabajar. Es difícil determinarlos a priori.

MODELIZACIÓN MATEMÁTICA COMO ESTRATEGIA PEDAGÓGICA

Modelización con alumnos de 1er año

“Si van a estudiar las raquetas adecuadas al crecimiento del niño, allí falta la variable edad”

PROBLEMAS PARA

ANALIZAR

EXPERIMENTACIÓN

DATOS EXPERIMENTALE

SO EMPÍRICOS

MODELO

MODIFICACIÓN

VALIDACIÓN

ABSTRACCIÓN

TEMA

Mina, M.; Esteley, C.; Marguet, I. & Cristante, A., 2006

Ajuste de curvas

Marcos: “¡La recta 1 es la que pasa por la mayor cantidad de puntos!”.

“La recta 1 se debe quebrar acá”

Perspectivas vinculadas al uso de modelos y la modelización

Los alumnos pasan por el proceso de generar un modelo.

Posibilidad de los estudiantes de intervenir y participar del

diseño del currículo al manifestar sus propios intereses.

Estas perspectivas implican un desafío importante tanto para

estudiantes como para profesores

3. Trabajo con proyectos donde el tema y problemas asociados con el mismo son propuestos por el profesor.

4. Trabajo con proyectos donde los estudiantes son invitados a elegir el tema.

modelización MATEMÁTICAMUNDO REAL

Modelización matemática como estrategia pedagógica

Supone la creación de un ambiente de aprendizaje que

promueva y de de soporte a un trabajo de investigación

Se opone a la educación matemática que se encuadra en el

paradigma del ejercicio.

Procura que en las aulas los alumnos adquieran la competencia

de modelización.

Lleva al aprendizaje de contenidos matemáticos conectados a

otras formas de conocimiento, superando una visión internalista

de la Matemática.

Plantea un trabajo interdisciplinario.

Escenarios para la investigación

Modelización matemática como estrategia pedagógica

Tiene en cuenta la realidad específica de cada región y los

intereses de los estudiantes procurando una mayor motivación

y una participación efectiva de los estudiantes en sus

comunidades.

Permite interrelacionar factores teóricos y prácticos.

conocimiento matemático conocimiento tecnológico conocimiento reflexivo conocimiento extramatemático

Modelización y Currículo

“La mayor dificultad que hemos observado en la adopción del

proceso de modelización en los cursos que hemos conducido es

el quiebre de la barrera colocada por el sistema educacional

tradicional, cuyo objetivo es casi siempre claramente esbozado

siguiendo una secuencia de requisitos previos y previendo

resultados definitivos. En la modelización el comienzo es

meramente un tópico en el cual la Matemática que será usada

todavía es desconocida.” (Bassanezi, 1994)

TENSIONES

¿Qué puede hacerse ahora, para que mañana se haga lo que hoy no se puede hacer?

REVISAR LOS

PROBLEMAS

Bruno y Alicia van a la misma escuela. Bruno vive a 17 km de

la escuela y Alicia a 8 km. ¿A qué distancia viven entre ellos?

Carlos tiene 5 amigos y Jorge tiene 6 amigos. Deciden hacer

una fiesta juntos e invitan a todos sus amigos. Todos los amigos

están presentes. ¿Cuántos amigos hay en la fiesta?

E

A

B

E

A

B

E

A

BE

A

B

¿Cómo podrían compararse los precios de diferentes contratos

de telefonía móvil dependiendo de los hábitos del cliente?

¿Es posible calentar el agua requerida en un determinado

poblado a través de paneles solares ubicados en los techos

de las casas?

¿Qué puede hacerse ahora, para que mañana se haga lo que hoy no se puede hacer?

PLANTEAR

PROBLEMAS

ABIERTOS

¿Cómo se vería Barbie si tuviera la altura promedio de una

mujer?

Modelización, el profesor y los alumnos

Inseguridad de no tener todos los pasos previstos y

programados.

Importancia del trabajo colaborativo.

Abordaje que insume tiempo. Búsqueda de equilibrio.

La experiencia previa del profesor en actividades de

modelización es deseable.

Actitudes de los estudiantes.

¿Cómo ser educador sin tener una utopía? (D’Ambrosio, 2001)

BARBOSA, J.C. (2001) Modelagem matemática: concepções e experiências de futuros professores. Río Claro: UNESP. Tesis de Doctorado en Educación Matemática.

BASSANEZI, R. (1994) Modelling as a Teaching – Learning Strategy. For the learning of Mathematics, v. 14, n.2, p. 31 – 35. FLM Publishing Association, Vancouver, Canada.

BASSANEZI, R. (2002) Ensino-aprendizagem com modelagem matemática: uma nova estratégia. São Paulo: Editora Contexto.

BIEMBENGUT, M. & HEIN, N. (2000) Modelagem matemática no ensino. São Paulo: Editora Contexto.BLOMHØJ, M. (2004) Mathematical modelling - A theory for practice. En: Clarke, B.; Clarke, D. Emanuelsson,

G.; Johnansson, B.; Lambdin, D.; Lester, F. Walby, A. & Walby, K. (Eds.) International Perspectives on Learning and Teaching Mathematics. National Center for Mathematics Education. Suecia, p. 145-159.

BLOMHØJ, M. HØJGAARD JENSEN, T. (2003) Developing mathematical modelling competence: conceptual clarification and educational planning. Teaching Mathematics and its Applications, 22 (3), 123-139.

BLUM, W. ET AL. (2002) ICMI Study 4: Applications and modelling in mathematics education – Discussion Document. Educational Studies in Mathematics. 51. 149-171.

BORBA, M. & VILLARREAL, M. (2005) Humans-with-media and the reorganization of mathematical thinking: information and communication technologies, modeling, experimentation and visualization . V. 39. 232 páginas. Springer Science+Business Media. New York.

DAVIS, P. & HERSH, D. (1989) Experiencia Matemática. Barcelona: Editorial Labor.FOUREZ, G. (1995) A construção das ciências. Introdução à Filosofia e à Ética das Ciências. Trad. L. P.

Rouanet. São Paulo: Editora UNESP 319 p. Traducción de: La construction des sciences. Introduction à la philosophie et à l'éthique des sciences.

GAZZETTA, M. (1989) A modelagem como estratégia de aprendizagem da Matemática em cursos de aperfeiçoamento de professores. Tesis de maestría. Universidade Estadual Paulista. São Paulo.

GYSIN, L. (1997) ¿Por qué?...¿Cómo?...¿Cuál? Hacia una mejor comprensión de los CBC de Matemática para la EGB (II). En Iaies, G. Los CBC y la enseñanza de la Matemática. A-Z Editora. p. 41 - 61.

SKOVSMOSE, O. (2000) Cenários para Investigação. Bolema - Boletim de Educação Matemática, Rio Claro, n.14,p. 66-91.

Bibliografía

Manolo es tambero. En su tambo se fabrica queso. La olla de la foto, en la que se lo ve tomando sus medidas, tiene adosada en su parte inferior un mechero. Para la fabricación del queso debe ponerse a hervir en la olla cierta cantidad de leche que, al cabo de algunas horas de hervor, reducirá su volumen. Cuando la leche ha hervido lo suficiente se agregan distintos tipos de ácidos que intervienen en el proceso de fabricación del queso. La cantidad de estos ácidos debe ser proporcional al volumen de leche que contiene la olla y por ello el tambero nos solicitó una tabla que le permitiera conocer la cantidad de litros de leche contenida en la olla con sólo medir la altura que alcanza el líquido en dicho recipiente.

Torroba, Etcheverry, Reid, Evangelista - UNLP

Tabla realizado por Manolo

EJEMPLO:

72 cm

50 cm

75 cm68 cm

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