MODELLI DIFFERENZIALI

Dobbiamo considerare lo stato presente dell’universo come effetto del suostato anteriore e come causa del suo stato futuro. Una intelligenza che,per un dato istante, conoscesse tutte le forze di cui e animata la natura ela situazione rispettiva degli esseri che la compongono, se per di piu fosseabbastanza grande da sottoporre i dati all’analisi, [...] l’avvenire come ilpassato sarebbe presente ai suoi occhi.

Pierre-Simon marquise de Laplace (1749-1827): ”Essai philosophique surles probabilites”.

Una causa piccolissima che sfugge alla nostra attenzione determina uneffetto considerevole che non possiamo mancare di vedere, ed allora diciamoche l’effetto e dovuto al caso. Se conoscessimo esattamente le leggi dellanatura e la situazione dell’universo all’istante iniziale,potremmo prevedereesattamente la situazione dello stesso universo in un istante successivo. Mase pure accadesse che le leggi naturali non avessero piu alcun segreto pernoi, anche in tal caso potremmo conoscere la situazione iniziale solo ap-prossimativamente. Se questo ci consentisse di prevedere la situazione finalecon la stessa approssimazione non occorrerebbe di piu e potremmo dire cheil fenomeno e stato previsto [...]. Ma non e sempre cosı: puo accadere chepiccole differenze nelle condizioni iniziali ne producano di grandissime neifenomeni finali. [...] La previsione diviene impossibile.

Jules Henri Poincare (1854-1912): ”Science et methode”

Date: March 19, 2014.

1

1. Successioni per ricorrenza (Ricorsioni)

1.1. Tre esempi semplici di dinamica di popolazioni.

Esempio 1.1. [Modello di Malthus] Consideriamo una popolazione iso-lata (es. batteri). Indichiamo con P (t) il numero di individui presenti altempo t e supponiamo che gli unici fattori che influenzano l’evoluzione dellapopolazione siano il tasso di fertilita λ ed il tasso di mortalita µ per unitadi popolazione e unita di tempo. Quindi la variazione della popolazione inun tempo h sara

P (t+ h)− P (t) = λhP (t)− µhP (t).

Supponiamo di studiare P (t) ad intervalli discreti di tempo: t = 0, 1, 2, . . .e supponiamo h = 1 si ha

P (n+ 1) = (1 + λ− µ)P (n), per n = 0, 1, 2, . . . .

Quale e l’andamento della funzione Pn al crescere di n? Dipende da:

• i valori dei coefficienti λ e µ. In particolare dal numero q := 1+λ−µ;• dalla consistenza iniziale della popolazione: P (0) := α.

Studiamo quindi in generale l’andamento di una successione definita dallalegge di ricorrenza Pn+1 = qPn e dalla condizione iniziale P0 = α.

{P0 = α,

Pn+1 = qPn, per n ≥ 0.

q > 0 e α sono numeri reali assegnati. In questo caso si possono calcolareesplicitamente i valori di Pn e si ottiene

Pn = αqn, per ogni n ≥ 0.

Una successione di questo tipo si dice successione esponenziale. Perquanto riguarda l’andamento asintotico si presentano tre casi a seconda cheq sia uguale a 1, maggiore o minore di 1.

q = 1: la successione e costante, cioe Pn = α, per ogni n.0 < q < 1: la successione si avvicina a 0, qualsiasi sia il valore iniziale

α. Cioe limn→+∞ Pn = 0 per ogni α reale.q > 1: i termini della successione diventano arbitrariamente grandi,

con segno positivo o negativo a seconda del segno di α. Cioe limn→+∞ Pn =+∞ se α > 0 e limn→+∞ Pn = −∞ se α < 0.

2

0 2 4 6 8 10

2

4

6

8

10

0 2 4 6 8 10

1

2

3

4

5

Figure 1. I primi termini di P1 = 0.5, Pn+1 = 1.5Pn e P1 =4, Pn+1 = 0.2Pn.

Osservazione 1. Le leggi di ricorrenze del tipo del primo esempio definis-cono, o meglio caratterizzano, successioni di tipo esponenziale. Una funzioneesponenziale, per esempio

t 7→ f(t) := 2t

e caratterizzata dalla proprieta

f(t+ 1) ≡ 2t+1 = 22t ≡ 2 f(t), per qualsiasi t.

Esempio 1.2. [Modello di Malthus modificato] Dinamica di una popo-lazione in presenza di un flusso migratorio costante in entrata o in uscita.

{P0 = α,

Pn+1 = qPn + b.

q > 0, b e α sono numeri reali assegnati.Allora, se q = 1 segue che Pn = nb; invece, se q 6= 1,

P1 = qα+ b,

P2 = q(qα+ b) + b = q2α+ b(q + 1),

P3 = q(q2α+ qb+ b) + b = q3α+ b(q2 + q + 1),

. . .

Pn = qnα+ b(qn−1 + qn−2 + · · · + q + 1) = qnα+ b1− qn

1− q.

Quindi, se q 6= 1,

Pn =(α− b

1− q

)qn +

b

1− q, per ogni n ≥ 0.

Si presentano due casi a seconda che q sia maggiore o minore di 1.Se 0 < q < 1 la successione si avvicina a b

1−q , qualsiasi sia il valore iniziale

α, in formula

limn→+∞

Pn =b

1− q, se 0 < q < 1, α qualsiasi.

Osservate che anche in questo caso il valore limite non dipende dal valoreiniziale α.

3

Se 1 < q i termini della successione possono diventare arbitrariamentegrandi, con segno positivo o negativo a seconda del segno di α− b

1−q .

Figure 2. sn+1 = (0, 95)sn + 1. I primi 80 termini di sn con s0 = 2

Alcune considerazioni generali su questi esempi.Ciascuno di questi esempi e costituito da

(1) una legge di ricorrenza o legge di evoluzione del sistema

sn+1 = f(sn)

che rappresenta la traduzione in linguaggio matematico della leggefisica o biologica o ... che governa l’evoluzione del sistema studiato;

(2) un dato iniziale,

s0 = α

cioe un’informazione completa sullo stato del sistema in un determi-nato istante.

Vari problemi possono essere naturali:

(1) Quale e lo stato del sistema in ogni istante successivo. Questo si-gnifica calcolare una formula che dia il valore sn come funzione es-plicita di n. E di solito molto difficile (e.g. impossibile).

(2) Quale e l’andamento asintotico del sistema: per esempio, se aspet-tiamo abbastanza tempo il sistema raggiunge una posizione di equili-brio o no?

(3) Studiare se e come l’andamento del sistema dipende dal dato ini-ziale. Infatti spesso il dato iniziale e un elemento su cui e possibileintervenire.

(4) Studiare se e come l’andamento del sistema dipenda da parametripresenti nella legge di ricorrenza.

Nel prossimo esempio alcune di queste problematiche appaiono chiaramentee nella loro possibile complessita.

Esempio 1.3. [Modello logistico] Il modello di Malthus che implica peresempio una crescita esponenziale della popolazione e non realistico in tutti

4

quei casi in cui lo sviluppo della popolazione non avvenga in presenza di‘risorse infinite’. Certamente sia il tasso di natalita λ che il tasso di mortalitaµ dipendono da molti fattori fra cui le risorse a disposizione: e ragionevoleaspettarsi che all’avvicinarsi della popolazione ad una soglia ci sia unariduzione di λ ed un aumento di µ. Nel 1845 Verhulst propone il seguentemodello di evoluzione

Pn+1 − Pn = (λ− µ)Pn

(

1− Pn

M

)

.

In questa formulaM > 0 e un numero che rappresenta uno stato di equilibriodella popolazione. Infatti si vede che se per un certo n Pn = M allora lasuccessione rimane costante (in equilibrio) per tutti gli istanti successivi. SePn > M allora

(1− Pn

M

)< 0 e la popolazione all’istante successivo cala. Se

Pn < M allora(1− Pn

M

)> 0 e la popolazione all’istante successivo cresce.

Analogamente all’Esempio 1.1

Pn+1 = (1 + λ− µ)Pn

(

1− λ− µ

(1 + λ− µ)MPn

)

= qPn

(

1− q − 1

qMPn

)

dove abbiamo posto q := 1 + λ− µ. Per semplificare le costanti facciamo ilcambio di variabile

sn :=q − 1

qMPn

e otteniamo la legge di evoluzione{s0 = α,

sn+1 = qsn(1− sn), n ≥ 0.

Non e facile scrivere esplicitamente il valore della successione come funzionedi n. Se supponiamo che il valore iniziale α sia un numero nell’intervallo[0, 1] e che 0 < q < 4 allora continua ad essere vero che 0 ≤ sn ≤ 1.

E sempre vero che se α = 0 allora sn = 0 per ogni n. Per tutti glialtri valori iniziali il comportamento della successione dipende fortementedal valore del parametro q. Facciamo alcuni esempi.

Se 0 < q ≤ 1 allora per qualsiasi dato iniziale la successione sn convergea 0.

Figure 3. k = 0.2, s0 = 0.8

5

Se 1 < q ≤ 3 allora le successioni non hanno piu limite 0. Per qualsiasivalore iniziale α 6= 0 il limite dipende solo dal parametro q e si puo calcolareesplicitamente:

limn→+∞

sn = 1− 1

q.

5 10 15 20

0.2

0.4

0.6

0.8

5 10 15

0.2

0.4

0.6

0.8

Figure 4. Limiti 6= 0 per q = 1.5 e q = 2.5

Quando q si avvicina a 3 la successione impiega molto piu tempo perstabilizzarsi al valore limite e tipicamente si verificano oscillazioni smorzatenell’avvicinamento al valore limite.

Figure 5. q = 2.9, s0 = 0.9

Se 3 < q ≤ 1 +√6 = 3.449499 . . . allora le successioni non hanno piu

limite unico. Si presentano delle oscillazioni.6

5 10 15

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

5 10 15 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Figure 6. Oscillazioni di periodo 2 e di periodo 4 per q = 3.1 eq = 3.55.

Se 1 +√6 < q l’andamento delle oscillazioni puo essere completamente

caotico.

Figure 7. q = 3.65, s0 = 0.2

1.2. Calcolo di soluzioni approssimate di un’equazione. Se f : (a, b) →R e una funzione continua e se (e.g.) f(a) < 0 e f(b) > 0 allora esisteun’unica soluzione z ∈ (a, b) dell’equazione

f(x) = 0.

Il calcolo effettivo dell’esatto valore numerico di z potrebbe presentare gravidifficolta. Esistono vari metodi per ottenere valori approssimati di z. Inparticolare se f fosse derivabile e per esempio crescente e convessa in (a, b)un efficiente metodo per ottenere approssimazioni successive di z e il metododi Newton. Con questo metodo z e ottenuto come limite di una successionedefinita per ricorrenza nel modo seguente

(1) x0 e un punto arbitrario di (a, b);(2) noto xn il punto successivo xn+1 si ottiene come punto di intersezione

della retta tangente al grafico di f in (xn, f(xn)) con l’asse delleascisse. Poiche l’equazione della tangente e y = f ′(xn)(x − xn) +f(xn) allora

xn+1 = xn − f(xn)

f ′(xn).

7

Si puo dimostrare che, per esempio nelle ipotesi indicate sopra,

limn→+∞

xn = z.

Inoltre la convergenza e molto ‘veloce’, tipicamente, se si e sufficientementevicini, si raddoppiano le cifre decimali esatte ad ogni passo. Lo vediamo inconcreto nel prossimo esempio.

Esempio 1.4. Se x 7→ f(x) := x2 − 2 per 0 < x allora z =√2 e il metodo

di Newton produce la seguente successione approssimante

x0 > 0 arbitrario;

xn+1 =xn2

+1

xn.

Pur partendo da un valore iniziale x0 = 10 lontano dal valore di√2, otteni-

amo termini molto rapidamente vicini al valore, ‘esatto’ qui scritto fino allaventesima cifra decimale,

√2 = 1.4142135623730950488 . . .

x0 10x1 5.1x2 2.74608x3 1.73719x4 1.4442380948662321x5 1.4145256551487377x6 1.4142135968022693x7 1.414213562373095

1.3. Metodi grafici per lo studio dei punti limite. Gli esempi 1.1, 1.2,1.3 e anche i successivi 1.5, 1.6, sono tutti del tipo

{y0 = α, α e un numero assegnato,

yn+1 = f(yn), per n ≥ 0,

e f e una funzione continua. Per esempio nei primi casi era f(y) := qyoppure f(y) := qy + b e nell’ultimo f(y) := qy(1− y). Vedremo anche i casif(y) :=

√y, f(y) := 1√

y .

Un numero ℓ per cui vale

f(ℓ) = ℓ

si chiama punto fisso o punto di equilibrio della ricorsione. Infatti in questocaso, se scegliamo ℓ come valore iniziale la successione risultante e costantecioe

yn = ℓ per tutti gli n ≥ 0.

Geometricamente i punti di equilibrio sono i punti di intersezione fra ilgrafico di f ed il grafico della bisettrice del primo-terzo quadrante.

8

0.2 0.4 0.6 0.8

0.2

0.4

0.6

0.8

Figure 8. Il punto di equilibrio di yn+1 = 1

4(1− yn + (yn − 1)2)

e ℓ = 0.3.

Studiamo piu in dettaglio i due esempi seguenti.

Esempio 1.5.{y0 = α, α e un numero non negativo a scelta,

yn+1 =√yn, per n ≥ 0.

I valori yn della successione possono essere calcolati esplicitamente. Essisono

yn = α1/2n .

In questo caso 0 e 1 sono i due soli punti fissi o punti di equilibrio dellaricorsione. Infatti se α = 0 allora yn = 0 per ogni n. Se α = 1 allora yn = 1per ogni n. Non ci sono altri valori con questa proprieta infatti come si vededalla figura

0.5 1.0 1.5

0.5

1.0

1.5

Figure 9. La funzione y 7→ √y interseca la bisettrice nei punti

0 e 1.

Pero i due punti di equilibrio sono molto diversi, infatti per tutti gliα 6= 0 la successione si avvicina a 1, indipendentemente dalla scelta di α.Precisamente

se α > 0 allora limn→+∞

yn = 1

solo se α = 0 allora limn→+∞

yn = 0.

9

Figure 10. I primi 30 termini di yn+1 =√yncon y0 = 4

La seguente figura illustra un semplice metodo grafico che permette dicapire e prevedere l’andamento di una successione vicino ad un suo puntodi equilibrio.

0.5 1.0 1.5

0.5

1.0

1.5

Figure 11. Un semplice metodo grafico per intuire l’andamentodei termini di una successione per ricorrenza.

Esempio 1.6.

y0 = α > 0,

yn+1 =1√yn

, n ≥ 0.

10

0.5 1.0 1.5 2.0

0.5

1.0

1.5

2.0

Figure 12. La funzione y 7→ 1√y interseca la bisettrice solo

nel punto 1.

Se α = 1 allora yn = 1 per ogni n. In generale

yn = α− 1

2n se n e dispari,

yn = α1

2n se n e pari

Per tutti gli α la successione si avvicina a 1 oscillando eventualmente attornoal valore 1.

0.5 1.0 1.5 2.0

0.5

1.0

1.5

2.0

Figure 13. Costruzione grafica dei primi termini della successione.

0 5 10 15

0.5

1.0

1.5

2.0

Figure 14. I primi 15 termini della successione con dato inizialey0 = 1.9

11

Esercizio 1. Studiare ‘sperimentalmente’, utilizzando il metodo grafico in-dicato, il comportamento di una successione vicino ad un punto di equilibrio.In particolare osservate la differenza fra i casi in cui

(1) il grafico di f interseca la bisettrice passando da ‘sotto a sopra’ pi-uttosto che da ‘sopra a sotto’;

(2) la pendenza (i.e il valore della derivata prima) del grafico di f nelpunto di intersezione e in valore assoluto piccola piuttosto che grande.

Esercizio 2. Studiare il comportamento della successione logistica utiliz-zando il metodo grafico appena introdotto.

1.4. Limiti, punti fissi e stabilita.

Definizione 1.7. Un punto di equilibrio ℓ puo essere

stabile: se per tutti i dati iniziali ‘vicini’ ad ℓ la successione si ‘allon-tana poco’ dal valore ℓ;

asintoticamente stabile: se per tutti i dati iniziali ‘vicini’ ad ℓ lasuccessione non solo non si allontana dal valore ℓ, ma anzi si avvicinasempre di piu al valore ℓ;

instabile: se non e stabile, cioe se per dati iniziali anche ‘vicini’ ad ℓe possibile che la successione si allontani arbitrariamente dal valoreℓ.

La nozione di stabilita e fondamentale. Se un sistema dinamico nel suostato iniziale si trova vicino ad un punto di equilibrio instabile, e impossi-bile fare previsioni a lungo termine sul suo comportamento a meno che nonsi conosca lo stato iniziale con precisione infinita. La precisione infinita echiaramente una richiesta impossibile nelle applicazioni pratiche e, di con-seguenza, sistemi dinamici che presentano una eccessiva sensibilita rispettoalle condizioni iniziali sono difficilmente utilizzabili per fare previsioni sullarealta (almeno a lungo termine).

12

1.5. Successioni per ricorrenza lineari.

Esempio 1.8 (Successioni lineari del primo ordine). E una generalizzazionedell’esempio 1.2. Supponiamo che i coefficienti q e b possano variare. Nelprimo caso supponiamo che sia solo b variabile.

{y0 = α,

yn+1 = qyn + bn+1, per n > 1.

q > 0, α sono numeri reali assegnati e (bn)n e una successione assegnata.Allora,

y1 = qα+ b1,

y2 = q(qα+ b1) + b2 = q2α+ qb1 + b2,

y3 = q3α+ q2b1 + qb2 + b3,

. . .

yn = qnα+ qn−1b1 + qn−2b2 + · · ·+ qbn−1 + bn.

Quindi la legge di evoluzione individua la successione

n 7→ yn := qnα+n∑

j=1

qn−jbj , per n ≥ 0.

In questo caso e di solito impossibile avere una formula esplicita che dia illimite di yn quando n → +∞. Vediamo qualche esempio nel caso 0 < q < 1.

Nel caso piu generale anche q e variabile e lo indichiamo come qn.{y0 = α,

yn+1 = qn+1yn + bn+1, per n > 1.

Supporremo sempre 0 < qn.

Esercizio 3. Cosa succede se qn = 0 per qualche n?

Possiamo ancora ottenere una formula che ci dia il valore di yn. Proviamoa farlo con un ”cambiamento di variabile”. Prima di tutto chiamiamo

sn := q1q2 . . . qn

poi definiamo la nuova successione

un :=ynsn

, cioe yn = snun.

13

Allora

un+1 =yn+1

sn+1=

qn+1yn + bn+1

q1q2 . . . qn+1=

ynq1q2 . . . qn

+bn+1

q1q2 . . . qn

= un +bn+1

sn+1;

quindi un soddisfa la condizione di ricorrenza

u0 = y0 = α,

un+1 = yn +bn+1

sn+1, per n > 1.

e quindi

un = α+

n∑

j=1

bj+1

sj+1, per ogni n ≥ 0,

e infine

yn = snun = snα+ sn

n∑

j=1

bj+1

sj+1, per ogni n ≥ 0.

Esercizio 4. Cosa succede della successione{y0 = α,

yn+1 = qn+1yn, per n > 1

se 0 < qn < 1 pero limn→+∞ qn = 1? Studiate i casi qn = n−1n oppure

qn = n2−1n2 .

1.6. Successioni lineari del secondo ordine. In tutti gli esempi presen-tati precedentemente la legge di evoluzione richiede la conoscenza dello statodel sistema nel solo istante presente. Questo in molte situazioni non e re-alistico e la conoscenza di tutta o parte della storia precedente del sistemae necessaria. Nel prossimo esempio consideriamo un caso semplice in cui lalegge di evoluzione richiede la conoscenza del sistema all’istante n e n − 1.Vedi anche la costruzione dei numeri di Fibonacci nell’Esempio 3.4

Esempio 1.9.

(1)

{y0 = α, y1 = β

yn+2 = 2q yn+1 + p yn, n ≥ 1,

dove α, β, p, q sono numeri reali assegnati.E possibile calcolare in modo esplicito i valori della successione (1). A

questo scopo osserviamo cheProprieta 1: Se cn e dn sono due successioni che verificano la ricorsione

precedente (a parte i valori iniziali) allora anche la nuova successione acn +bdn verifica la ricorsione, qualsiasi siano i numeri reali a, b.

Proprieta 2: Se λn1 verifica la ricorsione precedente allora λ1 e una radice

dell’equazione di secondo grado

λ2 − 2q λ− p = 0.

Questa equazione si chiama equazione caratteristica della ricorsione.14

• Se l’equazione caratteristica ha due radici reali distinte λ1 e λ2 al-lora si puo risolvere esplicitamente la ricorsione. Precisamente lasoluzione e data da:

yn = aλn1 + bλn

2

e le costanti a, b vanno scelte in modo che{

a+ b = α

λ1a+ λ2b = β.

Esercizio 5. Studiate quale e il limite della ricorsione in funzionedel fatto che le radici dell’equazione caratteristica siano maggiori di1, comprese fra -1 e 1 o minori di 1.

• Se l’equazione caratteristica ha discriminante nullo allora ha una solaradice reale. In questo caso p = −q2, l’equazione caratteristica e

λ2 − 2qλ+ q2 = 0

e l’unica radice reale e λ1 = q. Le soluzioni della ricorsione sono

yn = (a+ bn)qn, per n ≥ 0 e a, b qualsiasi.

Possiamo ricavare a, b utilizzando le due condizioni iniziali

y0 ≡ a = α, y1 ≡ (a+ b)q = β

che danno

a = α e b =β

q− α.

Quindi la soluzione della ricorsione iniziale e

yn =

(

α+

(β

q− α

)

n

)

qn, per n ≥ 0.

• Se l’equazione caratteristica ha discriminante negativo e quindi dueradici complesse coniugate λ = σ+iµ e λ = σ−iµ allora l’andamentodella successione puo essere molto irregolare.

15

2. Equazioni Differenziali

2.1. Tre esempi semplici di dinamica delle popolazioni. Riprendiamoqui i tre esempi iniziali. Consideriamo pero lo stato del sistema in ogniistante di tempo, non solo per tempi discreti. Derivate delle funzioni inesame sostituiranno le differenze sn+1 − sn.

Esempio 2.1. [Modello di Malthus] Torniamo all’esempio 1.1. Indi-chiamo con N(t) il numero di individui di una popolazione presenti al tempot, ma questa volta supporremo t un parametro continuo. Supponiamo ancorache gli unici fattori che influenzano l’evoluzione della popolazione siano iltasso di fertilita λ ed il tasso di mortalita µ per unita di popolazione e unitadi tempo. La variazione della popolazione in un tempo h sara

N(t+ h)−N(t) = λhN(t)− µhN(t).

Dividendo per h

N(t+ h)−N(t)

h= (λ− µ)N(t)

e facendo il limite per h → 0, (supponendo che questo limite esista, cioe chela funzione N(t) sia derivabile)

limh→0

N(t+ h)−N(t)

h≡ N ′(t) = (λ− µ)N(t).

L’ equazione

(2) N ′(t) = (λ− µ)N(t)

esprime una relazione fra la funzione (incognita) N(t) e la sua derivata prima

N ′(t). E un esempio di equazione differenziale.Una funzione N(t) si dice soluzione dell’equazione differenziale se sosti-

tuita nell’equazione da un’identita. Per esempio

t 7→ N(t) := e(λ−µ)t t ∈ R

e una soluzione, infatti

N ′(t) ≡ (λ− µ)e(λ−µ)t = (λ− µ)N(t), per ogni t ∈ R.

Le soluzioni di una singola equazione differenziale sono di solito infinite. Inquesto caso, tutte le infinite funzioni del tipo

t 7→ Ce(λ−µ)t t ∈ R

al variare di C in R sono soluzioni.16

-1.0 -0.5 0.5 1.0

1

2

3

4

Figure 15. Esempi di curve soluzioni di y′ = y. Sonomostrate le funzioni t 7→ Cet per C = 1, C = 1.5, C =0.5, C = −0.3

Se conosciamo il valore della funzione incognita N(t) in preciso istanteallora possiamo individuare un’unica soluzione. Se per esempio N(0) = 100allora l’unica soluzione di

N ′(t) = (λ− µ)N(t), con la condizione N(0) = 100 e

t 7→ N(t) = 100e(λ−µ)t t ∈ R.

In generale un problema formato dall’accoppiamento di una equazione dif-ferenziale e da un valore assegnato in un punto (condizione iniziale)

(3)

{

N ′(t) = (λ− µ)N(t)

N(t0) = N0,

viene chiamato Problema di Cauchy.

Esempio 2.2. Riprendiamo il modello di evoluzione di una popolazione inpresenza di un flusso migratorio costante b. Indichiamo con σ la differenzaλ− µ.

(i) N ′(t) = σN(t) + b

Tutte le soluzioni di (i) sono del tipo

t 7→ Ceσt − b

σper t ∈ R.

Analogamente al caso discreto, se σ > 0 tutte le soluzioni sono illimitate pert → +∞ (tranne che la soluzione costante t 7→ − b

σ ). Invece se σ ≤ 0

limt→+∞

N(t) = − b

σ17

per qualsiasi C.Nel caso in cui il ’flusso migratorio‘ sia una funzione dipendente dal

tempo, non possiamo ragionevolmente aspettarci un comportamento costanteper t → +∞. Per esempio tutte le soluzioni di (ii)

(ii) N ′(t) = σN(t) + b(t)

sono del tipo

t 7→ Ceσt + eσt∫

b(t)e−σt dt per t ∈ R

per C ∈ R.

Esempio 2.3. [Modello logistico] Con considerazioni analoghe a quelleproposte nell’esempio 1.3 si perviene all’equazione

(iii) N ′(t) = σN(t)

(

1− N(t)

M

)

Tutte le soluzioni di (iii) sono della forma

t 7→ CMeσt

M − C + Ceσtper t ∈ R

e per C ∈ R. Osserviamo che C = N(0); C ha quindi il significato di datoiniziale dell’evoluzione.

0 2 4 6 8 10

20

40

60

80

100

Figure 16. Alcune soluzioni di (iii) per M = 50 e datoiniziale C = 1, C = 40, C = 90

Si vede, dal grafico e dalla forma analitica delle soluzioni, che tutti ifenomeni di oscillazione e transizione a stati caotici del modello discreto nonsi presentano affatto in questo modello di evoluzione continua.

2.2. Esempi e alcune definizioni.

Esempio 2.4.y′(t) = ty(t)

Si verifica direttamente che, per qualsiasi c ∈ R, le funzioni del tipo

t 7→ y(t) = cet2/2, definite per t ∈ R

18

sono soluzioni. Infatti

y′(t) ≡ d

dtcet

2/2 = tcet2/2 ≡ ty(t), per ogni t ∈ R.

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-0.5

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

Figure 17. Esempi di curve soluzioni di y′ = ty. Sono

mostrate le funzioni t 7→ Cet2/2 per C = 1, C = 1.5, C =

0.5, C = −0.3

Il prossimo esempio mostra due fatti:

(1) le costanti che individuano le varie (infinite) soluzioni non sono nec-essariamente costanti moltiplicative;

(2) il dominio di definizione delle soluzioni non e necessariamente tuttoR, anzi puo variare da soluzione a soluzione.

Esempio 2.5.

y′(t) = y2(t)

oppure piu in breve

y′ = y2.

Si verifica direttamente che, per qualsiasi c ∈ R, le funzioni del tipo

t 7→ y(t) =1

c− t, per t < c

Oppure

t 7→ y(t) =1

c− t, per c < t

sono soluzioni. Infatti

y′(t) ≡ d

dt

(1

c− t

)

=1

(c− t)2≡ y2(t), per t < c oppure per t > c.

Inoltre anche la funzione

t 7→ y(t) = 0, per qualsiasi t ∈ R,

e una soluzione.19

I grafici delle soluzioni sono rami di iperboli; nessuna soluzione, trannequella costante t 7→ 0, e definita su tutto R, ma sono definite su semirette;il dominio di definizione varia da soluzione a soluzione.

-4 -2 2 4

-2

-1

1

2

Figure 18. Esempi di curve soluzioni di y′ = y2. Ciascunasoluzione e definita al piu su una semiretta.

Possiamo raccogliere quanto detto in alcune definizioni piu formali.

Definizione 2.6. In generale un’equazione differenziale del primo ordine eun’espressione del tipo

(i) y′ = f(t, y)

oppure piu in generale del tipo

(ii) F (t, y, y′) = 0.

Una funzione y = y(t), definita e derivabile in un intervallo I ⊆ R, si dicesoluzione dell’equazione (i) in I, oppure di (ii) in I, se

y′(t) = f(t, y(t)), per ogni t ∈ I,

oppure rispettivamente se

F (t, y(t), y′(t)) = 0, per ogni t ∈ I.

Un problema di Cauchy per una equazione differenziale del primo ordinee l’accoppiamento fra una equazione differenziale solitamente nella forma(i) e una cosiddetta condizione iniziale cioe l’assegnazione del valore dellasoluzione in un punto assegnato.

(iii)

{

y′ = f(t, y)

y(t0) = α.

La soluzione del problema (iii) e una funzione derivabile, definita in unintervallo I contenente il punto t0, e tale che

{

y′(t) = f(t, y(t)), per ogni t ∈ I,

y(t0) = α.

20

2.3. Studio qualitativo di un’equazione differenziale. Dal punto divista geometrico un’equazione differenziale esprime una relazione fra la derivata(oppure le derivate) della funzione incognita nei punti di un intervallo e ilvalore della funzione e della variabile indipendente nel medesimo punto. Inparticolare un’equazione del tipo

y′ = f(t, y)

puo essere interpretata come l’assegnazione di un campo di direzioni nel pi-ano (t, y) e la ricerca delle sue soluzioni consiste nella ricerca delle funzionio, meglio, delle curve nel piano che sono in ciascun punto tangenti al campodi direzioni assegnato. Risolvere il problema di Cauchy (iii) puo essere in-terpretato come cercare la (unica in molti casi) curva tangente al campo didirezioni assegnato dall’equazione e passante per il punto (t0, α).

Le seguenti figure illustrano gli esempi precedenti da questo punto di vista.

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

Figure 19. Campo di direzioni e curve integrali y′ = y

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

Figure 20. Campo di direzioni e curve integrali y′ = xy

21

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

Figure 21. Campo di direzioni e curve integrali y′ = y2

Questo metodo consente di ‘intuire’ l’andamento delle linee integrali an-che in situazioni in cui il calcolo analitico delle soluzioni dell’equazione dif-ferenziale possa essere troppo difficile.

Negli esempi seguenti tentate di individuare le zone di crescita/ decrescitadelle soluzioni, le linee dove si trovano massimi e minimi delle soluzioni.

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

0

1

2

3

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

Figure 22. Curve integrali di y′ = x2

1+y2e di y′ = xy(y− 1).

Osservate l’esistenza di due soluzioni costanti: t 7→ 0 e t 7→ 1.

22

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

0

1

2

3

Figure 23. Curve integrali di y′ = 2y2 + 2x2 − 1 e di y′ =2x2y2 − 1

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

Figure 24. Curve integrali di y′ = sin(πx) sin(πy) e di y′ =sin(πx+ πy)

2.4. Ricerca di integrali di equazioni del primo ordine. Risolvereun’equazione differenziale puo avere molti significati. Un obiettivo, spessosfortunatamente troppo ambizioso, e ottenere un integrale generale cioe unaformula costruita a partire da funzioni elementari e da loro funzioni integraliche, al variare di un parametro arbitrario dia tutte (o quasi tutte) le soluzionidell’equazione differenziale.Esempi di integrali generali sono espressioni come le seguenti, dove il parametroarbitrario e sempre indicato come c,

t 7→ ceλt per l’equazione y′ = λy

oppure

t 7→ 1

c− t, per y′ = y2

oppure

t 7→ cex2

+ ex2

∫ x

0e−s2 sin s ds, per y′ = 2xy + sinx.

23

2.4.1. Metodo di separazione delle variabili. Si applica ad equazioni dellaforma

(i) y′ = f(y)g(t)

dove f e g dove sono funzioni continue. Il metodo si basa sulla seguenteosservazione:

se t 7→ y(t) per t ∈ I e una soluzione di (i) per la quale f(y(t) 6= 0 in Iallora

y′(t) = f(y(t))g(t) e equivalente ay′(t)

f(y(t))= g(t)

e quindi

(ii)

∫y′(t)

f(y(t))dt =

∫

g(t) dt.

Se si e in grado di calcolare esplicitamente una primitiva di y 7→ 1f(y) puo

essere possibile essere poi in grado di ottenere un integrale generale.

Esercizio 6. Calcolare gli integrali generali di

(1) y′ = y, y′ = xy, y′ = x2y, ...(2) y′ = y2, y′ = xy(y − 1) , y′ = (y − 1)(y − 2), y′ = x2(y −

1)(y − 2), ...

(3) y′ = yx2+1

, y′ = y2

x2+1, y′ = 1

y2(x2+1), ...

(4) ci si puo ridurre a (i) anche per: xyy′ = 1 − x2, xy′ − y = y3,y′ = (x+ y)2, ...

(5) e via complicando...

Osservate che le difficolta analitiche non sono solo nella ricerca di primitiveelementari di y 7→ 1

f(y) ma anche nella ricerca di una funzione inversa per

eventualmente esplicitare t 7→ y(t).

2.4.2. Formula risolutiva per equazioni lineari del primo ordine. Si applicaad equazioni della forma

(i) y′ = f(x)y + g(x)

dove f e g sono funzioni continue definite sul medesimo intervallo I.Questo e uno dei pochissimi casi in cui e possibile scrivere una formula

generale esplicita che dia l’integrale generale. Le soluzioni di (i) sono dellaforma

(ii) x 7→ y(x) := e∫f(x)dx + e

∫f(x)dx

∫

g(x)e−∫f(x)dx dx.

Osserviamo che le costanti arbitrarie sono ‘nascoste’ e sono semplicementele costanti arbitrarie di integrazione.

Una equivalente espressione di (ii) puo essere scritta in termini di integralidefiniti invece che di primitive. Fissiamo un punto x0 ∈ I allora

x 7→ y(x) := ce∫x

x0f(s)ds

+ e∫x

x0f(s)ds

∫ x

x0

g(s)e−

∫s

x0f(t)dt

ds

= ce∫x

x0f(s)ds

+

∫ x

x0

g(s)e−∫x

sf(t)dt ds, x ∈ I

(iii)

e per qualsiasi c ∈ R.24

In particolare la soluzione del problema di Cauchy

(iv)

{

y′ = f(x)y + g(x)

y(x0) = y0.

e

x 7→ y0e∫x

x0f(s)ds

+

∫ x

x0

g(s)e−∫x

sf(t)dt ds, per x ∈ I.

Osservazione Nella formula (iii) il primo addendo cioe la funzione x 7→ce

∫x

x0f(s)ds

e l’integrale generale dell’equazione omogenea

y′ = f(x)y,

mentre il secondo addendo x 7→∫ xx0

g(s)e−∫x

sf(t)dt ds e una soluzione dell’equazione

(i). Quindi vediamo che l’integrale generale dell’equazione (i) e la sommadell’integrale generale dell’equazione omogenea e di una soluzione partico-lare dell’equazione completa. Un ulteriore esempio di questo fatto, tipicodelle equazioni differenziali lineari, si presenta nel paragrafo 2.5.1.

Esercizio 7. Calcolare gli integrali generali o le soluzioni dei problemi avalore iniziale assegnato

(1) y′ = y + x, y′ = y + x2, y′ = y + sinx, ...(2) y′ = xy + x, y′ = xy + x2, y′ = xy + x3, ...

(3) y′ = tan(x)y + cos x, y′ = yx + x, y′ + 2y

x = x3, ...(4) ci si puo ridurre a (i) anche per i seguenti problemi: xy′+y−ex = 0

con y(1) = a, y′ − y1−x2 − 1− x = 0 con y(0) = 0, ...

(5) e via complicando...

2.5. Equazioni differenziali del secondo ordine.

Esempio 2.7. [Caduta di un grave] Supponiamo che y(t) rappresentil’altezza rispetto al suolo di un grave. Se l’oggetto e sottoposto solo allaforza di gravita la funzione t 7→ y(t) soddisfa l’equazione

y′′ = −g

dove g > 0 e l’accelerazione gravitazionale (che supponiamo costante inquesto modello semplificato). Tutte le soluzioni sono del tipo

t 7→ y(t) = −g

2t2 + c1t+ c0 per t ∈ R

dove c1 e c0 sono costanti arbitrarie. Questo due costanti hanno un chiarosignificato fisico: c0 = y(0) e la posizione all’istante iniziale 0 e c1 = y′(0) ela velocita nel medesimo istante. La funzione

t 7→ y(t) = −g

2t2 + v0t+ h0 per t ∈ R

e l’unica soluzione del problema di Cauchy

(i)

{

y′′ = −g

y(0) = h0, y′(0) = v0.

25

Studiamo ora lo stesso modello tenendo conto della resistenza dell’aria.Supponiamo che la resistenza sia proporzionale alla velocita attraverso uncoefficiente di proporzionalita β > 0. Otteniamo l’equazione

y′′ = −g − βy′.

L’equazione non dipende esplicitamente da y. Con il cambio di variabile

p(t) := y′(t)

la funzione t 7→ p(t) soddisfa l’equazione differenziale

p′ = −g − βp

le cui soluzioni (usando il metodo di separazione delle variabili) sono

t 7→ p(t) = − g

β+

c1βe−βt per t ∈ R

e dipendono dal parametro reale c1. Integrando in t otteniamo un’espressioneper t 7→ y(t) cioe

t 7→ y(t) = c0 −g

βt+

c1β2

(

e−βt − 1)

per t ∈ R

la quale dipende dai due parametri c0 e c1.Se imponiamo le due condizioni iniziali su posizione h0 e velocita v0

all’istante t = 0 possiamo determinare univocamente c0 e c1 ottenendo

c0 = h0 e c1 = −g − βv0.

Quindi la funzione

t 7→ y(t) = h0 −g

βt+

g − βv0β2

(

e−βt − 1)

per t ∈ R

e l’unica soluzione del problema di Cauchy per l’equazione del secondoordine y′′ = −g − βy

(ii)

{

y′′ = −g − βy

y(0) = h0, y′(0) = v0.

26

0 50 100 150 2000

500

1000

1500

2000

Figure 25. Il grafico della soluzione di (i) (un arco diparabola) e di due soluzioni di (ii) (curve asintoticamentelineari) per diversi valori di β. In tutti casi H0 = 2000 e v0 = 0.

0.0 0.5 1.0 1.5 2.01995

1996

1997

1998

1999

2000

Figure 26. Le tre curve precedenti sono vicine, anzi tan-genti per t = 0, perche quando la velocita y′(t) e piccola laresistenza dell’aria e trascurabile.

Esempio 2.8. [Vibrazioni meccaniche: libere e con resistenza] Con-sideriamo il movimento di un punto materiale P vincolato a muoversi su

27

una retta e soggetto ad una forza elastica attrattiva, cioe proporzionale alladistanza del punto materiale P da un centro fisso che identifichiamo conl’origine O. Indichiamo con t 7→ x(t) la posizione del punto P sulla retta esupponiamo che O coincida con il punto di coordinata x = 0. L’equazionedel moto e data da

mx′′(t) = −ky(t)

dove m e la massa di P e k > 0 e una costante caratteristica della forza elas-tica (per esempio potrebbe essere il coefficiente di elasticita di una molla). Se

poniamo ω :=√

km otteniamo l’equazione differenziale (lineare del secondo

ordine)

(i) x′′ = −ω2x.

Tutte le soluzioni di (i) sono della forma

t 7→ ϕ(t) := c1 cos(ωt = +c2 sin(ωt) per t ∈ R

e per arbitrarie costanti reali c1, c2. Le costanti c1 e c2 possono essere poideterminate univocamente se noi conosciamo lo stato del moto di P in unistante, cosiddetto iniziale.

Esercizio 8. Scrivere, usando le solite formule trigonometriche, le soluzionidi (i) nella forma

t 7→ ϕ(t) = A cos(ωt+ ω0)

e dare un’interpretazione fisica delle costanti A > 0 (ampiezza del moto) eω0 (fase iniziale).

Se sul punto materiale P agisce anche una resistenza di tipo viscoso, comenell’esempio 2.7, allora l’equazione del moto e

mx′′(t) = −kx(t)− βx′(t)

e ponendo ω :=√

km e γ := 1

2βm si ottiene

(ii) x′′ + 2γx′ + ω2x = 0.

Da considerazioni fisiche sappiamo che il moto di P ha caratteristiche moltodiverse a seconda della relativa grandezza delle costanti fisiche γ e ω. Peresempio se γ << ω, cioe se la resistenza viscosa fosse molto piccola rispettoalla forza elastica, ci possiamo aspettare un moto ancora oscillante e (quasi)periodico. Al contrario se la resistenza viscosa fosse molto grande (γ >>ω) ci possiamo aspettare una scomparsa totale del moto oscillatorio. Seabbiamo fiducia che l’equazione (ii) sia un buon modello per la descrizionedel moto del punto materiale P ci dobbiamo aspettare che queste differenzedi comportamento appaiano nelle soluzioni di (ii). In realta questo e quelloche avviene e le differenze di comportamento appaiono nella differente formaanalitica delle soluzioni.

Se γ > ω : allora le soluzioni sono

t 7→ c1eλ1t + c2e

λ2t

dove λ1 = −γ−√

γ2 − δ2 < 0 e λ2 = −γ+√

γ2 − δ2 < 0. (Come ve-dremo nel successivo paragrafo, λ1, λ2 sono le soluzioni dell’equazionecaratteristica λ2 + 2δλ + ω2 = 0.) Per qualsiasi scelta dei valori c1

28

e c2 le soluzioni hanno limite 0 per t → +∞ e ogni comportamentooscillatorio e (quasi ) completamente scomparso.

Se ω < γ : allora le soluzioni sono del tipo

t 7→ Ae−γt cos(νt+ ν0)

dove ν =√

ω2 − γ2; A e ν0 sono costanti arbitrarieSe ω = γ :

t 7→ (c1 + c2t) e−γt

Andamenti tipici sono i seguenti

1 2 3 4 5 6

-2

-1

1

2

1 2 3 4 5 6

-2

-1

1

2

Figure 27. γ > ω

1 2 3 4 5 6

-2

-1

1

2

1 2 3 4 5 6

-2

-1

1

2

Figure 28. γ > ω

29

1 2 3 4 5 6

-2

-1

1

2

1 2 3 4 5 6

-2

-1

1

2

Figure 29. ω > γ

2.5.1. Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti. Ci limiti-amo qui ad un breve cenno sul calcolo dell’integrale generale.

Innanzi tutto osserviamo che e ben conosciuta la struttura dell’integralegenerale di equazioni del tipo

(i) y′′ +Ay′ +By = f(t).

Infatti, poiche l’operatore differenziale y′′ + Ay′ + By e lineare l’integralegenerale t 7→ y(t, c1, c2) di (i) e la somma di due parti

y(t, c1, c2) = w(t, c1, c2) + ϕ(t)

dove

t 7→ w(t, c1, c2) e l’ integrale generale di y′′ +Ay′ +By = 0

e

t 7→ ϕ(t) e una soluzione di y′′ +Ay′ +By = f(t).

Quindi il problema di trovare l’integrale generale di (i) si spezza nei dueproblemi ‘piu semplici’

(1) trovare l’integrale generale dell’equazione omogenea

y′′ +Ay′ +By = 0,

(2) trovare una cosiddetta soluzione particolare cioe almeno una soluzionedell’equazione completa (i).

(1) Per la ricerca dell’integrale dell’equazione omogenea ci si riconduce allaricerca delle soluzioni dell’equazione caratteristica

(ii) λ2 +Aλ+B = 0.

Si presentano tre casi

se A2 − 4B > 0: allora (ii) ha due soluzioni reali distinte, siano esseλ1 e λ2. In questo caso l’integrale generale e

t 7→ w(t, c1, c2) = c1eλ1t + c2e

λ2t.

30

se A2 − 4B = 0: allora (ii) ha la sola soluzione λ = −B/2. In questocaso l’integrale generale e

t 7→ w(t, c1, c2) = (c1 + tc2)e−Bt/2.

se A2 − 4B < 0: allora (ii) ha due soluzioni complesse coniugate. Po-

nendo ω :=√4B −A2/2, l’integrale generale e

t 7→ w(t, c1, c2) = e−Bt/2 (c1 cos(ωt) + c2 sin(ωt)) .

(2) Per la ricerca della soluzione particolare esistono tecniche di applicazionegenerale, per esempio il cosiddetto metodo di variazione delle costanti arbi-trarie ed altre, piu semplici, ma di applicabilita molto piu limitata, come ilmetodo di similarita. Seguendo questo secondo metodo, se il termine notof in (i) ha una forma algebrica particolare e possibile trovare la soluzioneparticolare ϕ della stessa forma algebrica. Per esempio se f fosse un poli-nomio di grado n nella variabile t allora e possibile trovare (tranne che incasi molto particolari) una soluzione particolare che sia anche essa un poli-nomio di grado n. Analogamente se f fosse un esponenziale o una funzionetrigonometrica.

31

3. Esempi vari e complementi

Esempio 3.1 (Gioco).

y0 = un numero intero positivo a scelta,

yn+1 =

{yn/2, se yn e pari,

3yn + 1 se yn e dispari.

La successione si ferma quando si raggiunge 1.

y0 = 5 → {5, 16, 8, 4, 2, 1}y0 = 7 → {7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1}

Problema aperto: Non si sa quale sia il limite di questa successione:si congettura che il limite sia 1 qualsiasi sia il numero intero iniziale, manessuno e mai riuscito a provarlo.

Esempio 3.2. [Algoritmo di Euclide] a, b sono numeri interi positivi esupponiamo che 0 < b < a. Cerchiamo il massimo comun divisore di a eb, indicato di solito come mcd(a, b). Si puo utilizzare la seguente proceduraper ricorrenza.

r0 = a, r1 = b,

rn+2 =il resto della divisione di rn per rn+1,

cioe rn+2 e tale che rn = qnrn+1 + rn+2.

Segue dalla definizione che

r0 > r1 > r2 > r3 > · · ·Poiche sono tutti numeri interi positivi, dopo un numero finito di passitroveremo un resto rn+2 = 0, cioe rn+1|rn. Allora

mcd(a, b) = rn+1.

Esercizio 9. Utilizzate l’algoritmo di Euclide per calcolare mcd(20, 15).

Esempio 3.3. [Il gioco ‘Life’ di John Conway] L’ambiente e una grigliainfinita. Ciascuna cella della griglia si trova, in ogni istante in uno di duepossibili stati ”viva” oppure ”morta”.Viene stabilito uno stato iniziale in cui un numero (finito, ma non neces-sariamente) di celle sono vive.Il sistema poi si evolve secondo tre regole:

• Per una cella che e viva:(1) Ogni cella con 0, oppure 1 vicino vivo muore (per isolamento).(2) Ogni cella con 4 o piu vicini vivi muore (per sovrappopolazione).(3) Ogni cella con 2 o 3 vicini vivi rimane viva.

• Per una cella che e morta,(1) Se ha esattamente 3 vicini vivi diventa viva (nasce).(2) Se ha un numero di vicini vivi 6= 3 rimane morta.

Potete vedere per esempio sul sito http://www.bitstorm.org/gameoflife/ qualie quanti complessi fenomeni evolutivi si possono presentare anche a partireda regole di evoluzione cosı elementari.

32

Esempio 3.4 (Numeri di Fibonacci).{F0 = 1, F1 = 1

Fn+2 = Fn+1 + Fn, n ≥ 0.

Sappiamo che si ottiene la successione

(Fn)n = {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, . . . }Cerchiamo una formula (chiusa) che ci dia i valori della successione. L’equazionecaratteristica e

λ2 − λ− 1 = 0

che ha le due soluzioni

λ1,2 =1

2

(

1∓√5)

.

Le soluzioni della ricorsione, senza tener conto dei valori iniziali, sono

Fn = a

(

1−√5

2

)n

+ b

(

1 +√5

2

)n

con a, b numeri reali qualsiasi. Le condizioni iniziali ci consentono di calco-lare a e b. Otteniamo il sistema

F0 ≡ a+ b = 1

F1 ≡ a1−

√5

2+ b

1 +√5

2= 1.

Risolvendo il sistema otteniamo

a =

√5− 1

2√5

b =

√5 + 1

2√5

e quindi la formula chiusa che ci da i numeri di Fibonacci in funzionedell’indice n e

Fn =

√5− 1

2√5

(

1−√5

2

)n

+

√5 + 1

2√5

(

1 +√5

2

)n

=1√5

(√5 + 1

2

)n+1

−(

1−√5

2

)n+1

.

Osservate che√5+12 > 1 mentre 0 <

√5−12 < 1, quindi per n molto grande

Fn ≃ 1√5

(√5 + 1

2

)n+1

.

Esercizio 10. Verificate che per n = 0, 1, 2 ottenete i primi tre numeri diFibonacci.

Dimostrate poi che la formula precedente definisce sempre dei numeri in-teri (anche se non sembra!).

Esercizio 11. Trovate la formula che da i numeri di Fibonacci quandoy0 = 1, y1 = 0 e quando y0 = 0, y1 = 1. Spiegate perche la somma di questedue successioni da i soliti numeri di Fibonacci.

33

Osservazione 2. Il numero √5 + 1

2≃ 1.61803

si chiama Rapporto Aureo. Diciamo che due numeri a, b, a > b > 0, sono inrapporto aureo se

a

b=

b

a− b.

In questo caso

a

b=

√5 + 1

2.

C’e una stretta relazione fra i numeri di Fibonacci ed il Rapporto aureo.Infatti

Fn+1

Fn→

√5 + 1

2per n → +∞.

Cerchiamo adesso una stima dal basso di Fn che sia piu semplice dautilizzare:

Fn =1√5

(√5 + 1

2

)n+1

−(

1−√5

2

)n+1

=1√5

(√5 + 1

2

)2

︸ ︷︷ ︸

=1.17>1

(√5 + 1

2

)n−1

− 1√5

(

1−√5

2

)n+1

︸ ︷︷ ︸

<<1 per n grande

>

(√5 + 1

2

)n−1

>

(8

5

)n−1

=

(8

5

)5n−1

5

> 10n−1

5 .

Le ultime due disuguaglianze sono giustificate dal fatto che√5 + 1

2= 1.61803 · · · > 1.6 =

8

5e che

(8

5

)5

= 10.48 · · · > 10.

La stima

Fn > 10n−1

5

ci dice, per esempio, che F100 e un numero con almeno 19 cifre.

Corollario 1. Se a > b > 0 sono interi, il numero di passi necessari pertrovare il massimo comun divisore mcd(a, b), utilizzando l’algoritmo di Eu-clide, e minore di 5 volte il numero di cifre di b.

Prova: L’osservazione che ci consente di provare il Corollario e la seguente:se l’algoritmo di Euclide termina in n passi allora

(4) b ≥ Fn+1.

Supponiamo di aver provato (4). Se b ha k cifre allora 10k > b e quindi

10k > b ≥ Fn+1 > 10n−1

5 ,34

da cui

k >n− 1

5e quindi n < 5k + 1.

Ci resta quindi da provare la disuguaglianza (4). Poniamo per comoditaa = rn+2 e b = rn+1. La successione di passi dell’algoritmo di Euclide e:

a = rn+2 = q1rn+1 + rn

b = rn+1 = q2rn + rn−1

...

r3 = qnr2 + r1

r2 = qn+1r1

Osserviamo ora cher1 ≥ 1 e r2 ≥ 2

e cheqn+1, qn, . . . , q2 ≥ 1.

Ne segue che

r3 ≥ r2 + r1 ≥ 2 + 1 = F3

r4 ≥ r3 + r2 ≥ F3 + F2 = F4

...

b = rn+1 ≥ rn + rn−1 ≥ Fn + Fn−1 = Fn+1.

References

[BPS] M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa: Analisi Matematica 1 e Analisi Matem-

atica 2; Zanichelli, Bologna, 2008.[GM] M. Giaquinta, G. Modica: Analisi Matematica. 2. Approssimazione e Processi

Discreti; Pitagora Editrice, Bologna, 1999.

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