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Modellierung und Schätzung von Variogrammen
Vortrag im Rahmen des Seminars Extrapolationsmethoden für zufällige Felder,
Universität Ulm
Matthias Bühlmaier
Inhalt
1. Motivation
2. Grundlagen
3. Isotrope Modelle
4. Anisotropie
5. Mathematische Eigenschaften
6. Schätzer
1. Motivation
mRD RDz : )(xzx
Maß für den Unterschied zweier Werte:
2* )(2
1 zz
xxh 2* ))()((2
1)( xzhxZh
Regionales Variogramm:
hDDxDhxDx
DxhxD h :
hDDh
R dxxzhxzDD
h 2))()((2
1)(
Variogramm einer Stichprobe (Sample Variogram):
)(
2))()(()(2
1)(
hN
xzxzhN
h
hxxxxhN :),()(
2. Grundlagen
(,F,P) Wahrscheinlichkeitsraum. Zufälliges Feld:
,:);(:)()( DssZDssZZ
Z(·) intrinsisch stationär :
(i)
(ii)
γ wird dann Variogramm genannt.
0))()(( 21 sZsZE Dss 21,
)(2))()(( 2121 sssZsZVar Dss 21,
Z(·) stationär zweiter Ordnung :
(i)
(ii)
C wird dann Covariogramm genannt.
)(sEZ Ds
)())(),(( 2121 ssCsZsZCov Dss 21,
Correlogramm:)0(
)()(
C
hCh
Eigenschaften:
1) Z(·) stationär zweiter Ordnung Z(·) intrinsisch stationär
2) (h)= (-h), (h)0, (0)=0
3) C(h)=C(-h), |C(h) |C(0)=Var(Z(s))
4) Z(·) stat. 2. Ordnung (h)=C(0)-C(h)
5) Z(·) intr. stat., beschränkt Covariogramm C: (h)=C(0)-C(h)
6)
7) ist eine bedingt negativ semidefinite Funktion
8) C ist eine positiv semidefinite Funktion
0)(
2 h
hh
Zu 7):
Zu 8):
nn n
xZVarxx00 0
0))(()(
n
n0
0 0:),...,(
nn n
xZVarxxC00 0
0))(()(
),...,( 0 n
3. Isotrope Modelle
RRf m : isotrop : mRhhfhf )()(
3.1 Spärisches Modell
Spärisches Covariogramm (r=|h|, a>0):
1
2
12
1,0 )1()(1)(
a
r
n
nn
an duuvarrg
)2
(2 1
2
nn
vn
n
n
Für n=1,2,3 erhalten wir in der normalisierten Form das Dreiecks-, Kreis- und Spärische Modell:
3.2 Exponential-Modell (a>0):
)exp()(a
rrC
a
rrrC a 1)(1)( ,01
2
2
,02 1arccos2
)(1)(a
r
a
r
a
rrrC a
3
3
,03 22
31)(1)(
a
r
a
rrrC a
3.3 Gaussches Modell
)exp()(2
2
a
rrC
3.4 Modell2
h
rr )(
4. Anisotropie
RRf m : anisotrop : (f isotrop)
4.1 Range und Sill
Siehe „fraktionale Brownsche Bewegung“ im Anhang.
4.2 Geometrische Anisotropie
Variogramm geometrisch anisotrop :
isotropesVariogramm , mm pos. def. Matrix Q mit0RRm :
)()( 0 Qhhh t
Vorgehensweise: Hauptachesentransformation und anschließende Reskalierung. Erhalten dann für eine Matrix A.
Bsp. (m=2): Hier ist A eine Drehungs- und Streckungsmatrix von der Form
)()( 0 Ahh
cossin
sincos),( 21
bbdiagA
4.3 Zonale Anisotropie:
Def.: Das Variogramm hat ein kleineres Sill in einer bestimmten Richtung oder in mehreren Richtungen.
Vorgehensweise (hier im ):
Zerlegung von γ in , wobei isotrop und geometrisch anisotrop.
2R
)()()( 21 hhh 1 2
4.4 Andere Anisotropien:
)(),()( duuhh u
5. Mathematische Eigenschaften
5.1 Stetigkeit
Z(·) stetig im zweiten Mittel : 0)()(lim 2
0
xZhxZE
h
Verhalten des Variogramms im Ursprung und Stetigkeitseigenschaften von Z(·):
(i) γ stetig im Ursprung Z(·) stetig im 2. Mittel
(ii) für bzw. existiert nicht
Z(·) ist nicht stetig im zweiten Mittel und verhält sich
hochgradig irregulär.
Dieses Verhalten im Ursprung wird Nugget Effekt genannt.
0)( ch 0h )(lim0
hh
Im Folgenden sei das Variogramm bis auf den Ursprung stetig.
Dann gilt:
Z(·) stetig im zweiten Mittel mit Variogramm γ 0)(
lim 2 h
hh
nR
01 1
N
i
N
jjiji xxG
5.2 Definitheit
G(h) in bedingt positiv definit :
N
ii
1
0: .nN
(iii) (außer γ(0)=0 natürlich)
unkorreliert (insbes. auch dann,
wenn klein). Z(·) wird dann oft als weißes Rauschen
bezeichnet.
0)( const
)(),( 21 sZsZ 21 ss
21 ss
C positiv definit C ist ein Covariogramm
γ bedingt negativ semidefinit γ ist ein Variogramm
Stabilitätseigenschaften:
(i) Covariogramm ,
ist ein Covariogramm.
(ii) C(h;t) Covariogramm tAR, μ pos. Maß auf A,
ist ein Covariogramm
(iii) Covariogramme Covariogramm
kC Nk )(lim hCRh kk
n
)(lim)( hChC kk
)();( dtthCh
)();()( dtthChC
21,CC 21 CC
5.3 Spektrale Darstellung
μ endliches Borel-Maß auf . Dann heißt Fourier-Transformierte von μ :
Dann gilt: gleichmäßig stetig und positiv definit.
Umgekehrt gilt (Satz von Bochner):
stetig, pos. definit endl. Borel-Maß μ mit f
Daraus folgt: Für stetige gilt:
C ist Variogramm und
F pos., beschränktes, symmetrisches Maß:
nR CRn:
)()(ˆ , dyex yxi
CRf n:
RRC n:
)(),2exp()( duFhuihC
)(duF
γ stetig und γ(0)=0. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent:
(i) γ ist ein Variogramm
(ii) ist ein Covariogramm t>0
(iii) , wobei
Q(h) eine pos. definite quadrat. Form ,
χ pos. Symmetrisches Maß mit keinem Atom im Ursprung,
und
te
)()(||4
).2cos(1)(
22hQdu
u
huh
)(||41
122
duu
6. Schätzer
In diesem Abschnitt setzen wir voraus, daß Z(·) intrinsisch stationär ist.
6.1 Schätzer von Matheron
,)()(|)(|2
1)(ˆ
)(
2 hN
ji sZsZhN
h hsssshN jiji :),()(
Glättung des Schätzers, falls Daten unregelmäßig verteilt:
wobei T(h(l)) eine Toleranzregion in um h(l), l=1,...,k, und ave{·} ein gewichteter Durchschnitt über die Elemente in {·}.
Dieser Schätzer ist erwartungstreu und konsistent, jedoch nicht robust.
))((),(),(:))()(())((2 2 lhThhNjisZsZavelh ji nR nR
6.2 Schätzer von Cressie-Hawkins
|)(|494,0
457,0
)|()(||)(|
1
)(2
4
)(
2
1
hN
sZsZhN
hhN
ji
)(
)(),(:)|()(|
)(~2
4
2
1
hB
hNsssZsZmed
hjiji
B(h) ist eine Funktion, die den Bias korrigiert. Asymptotisch ist B(h)=0,457.
Diese Schätzer sind robust, aber nicht erwartungstreu.
Simulation i.d.R. ist als Schätzer vor vorzuziehen ~
Fraktionale Brownsche Bewegung und
Power-Modell hh )(
Anhang
Def.: Ein Zufallsvektor ist n-dimensional
normalverteilt mit Parametern , falls für
gilt:
Dann ist
die symmetrische, positiv semidefinite Kovarianzmatrix, und
X hat die Dichte
Bezeichnung:
),...,( 1 nXXX dRa ddRK
XtiEet ,:)(
tKtatit ,
2
1,exp)(
,, ,...,1,,...,1, djijijidjiji aaXEXXXCovK
axaxK
K
xf n ),(2
1exp
det2
1)( 1
2
XPKaN :),(
ii aEX di ,...,1
Def.: Sei X(·) ein stochastischer Prozeß.
X(·) wird Gauß-Prozess genannt, falls jeder Zufallsvektor
normalverteilt ist.
Def.: ist eine Brownsche Bewegung, falls X(·)
ein Gauß-Prozeß ist mit folgenden Eigenschaften:
EX(t)=0 und
Bem.: X(·) Brownsche Bewegung Var(X(t))=t
))(),...,(( 1 ktXtX
vuvuvuvXuXCov 2
1,min)(),(
0),( ttX
Def.: Ein stochastischer Prozeß heißt
fraktionale Brownsche Bewegung, falls X(·) ein
Gauß-Prozeß ist mit EX(t)=0 und
0:)( ttX
,2
1)(),(
vuvuvXuXCov 2,0
Satz: Für jede symmetrische positiv definite Funktion
existiert ein Gauß-Prozeß X(·)
auf einem W-Raum (Ω, F, P) mit
EX(t)=0 und
RRRC dd :
)(),(, vXuXCovvuC
Def.: X(t), heißt fraktionale Brownsche Bewegung
(in ), falls X(·) ein Gauß-Feld ist mit EX(t)=0 und
dRt
,2
1)(),(
vuvuvXuXCov
dR
ttXtXCovtXVar ))(),(())(( und
0)0( X f.s., da EX(0)=0 und Var(X(0))=0
Dann ist
,2,0 dRvu ,
Die Stationarität der Zuwächse rechtfertigt die Definition des Variogramms γ als
huXhuXEh 2)()(:)(2
Zuwächse von X(·) sind im allgemeinen nicht unabhängig wie bei
der Brownschen Bewegung, sondern nur stationär:
haben für je endlich viele und die gleiche
mehrdimensionale Verteilung.
)()(),...,()(),()( 13221 nn tXtXtXtXtXtX
)()(),...,()(),()( 13221 htXhtXhtXhtXhtXhtX nn
und
dn Rtt 11,...,
dRh