Modelo Atomico de Bohr

Mamani velasquez, Deivit Frank

19 de octubre del 2009

Modelo Atomico de Bohr

Figura 1: Niels Hen-rik David Bohr (1885- 1962) Fısico danes au-tor del modelo del ato-mo de hidrogeno mas exi-toso hasta su epoca, tam-bien es autor del princi-pio de complementariedad,el cual postula que laspropiedades corpuscularesy ondulatorias de la ma-teria no pueden analizarseaisladamente una de otra.

Luego del fracaso del modelo atomico de Ruther-ford por explicar la estabilidad de las orbitas del elec-tron, debido a que segun su modelo, estas perderanenergıa en forma de radiacion y los electrones caerandespues de un tiempo hacia el nucleo, era necesario unnuevo modelo que explique la estabilidad de las orbitasdel electron.

En 1913, Niels Bohr (Fısico Danes) proporcion unmodelo del atomo que podıa explicar de manera satis-factoria la estabilidad de las orbitas de los electrones.

Antes de estudiar este modelo, es necesario com-prender los espectros de lınea de los atomos para luegover mas profundamente con la teorıa atomica de Bohr.

Lıneas o Series Espectrales

Recordemos que si un solido se calienta, esta emiteradiacion la cual contiene muchas longitudes de onda,ası, si hacemos pasar esta radiacion por un colimadory luego por un prisma observaremos, en una pelıculao en una pantalla negra, la distribucion continua decolores sobre la pantalla sin dejar vacıo, a este tipo dedistribucion se le conoce como espectro continuo, porejemplo, un arcoıris es un espectro continuo producidopor la dispersion de la luz solar mediante las gotas delluvia

Sin embargo no se observa esta misma distribucion para fuentes que consis-ten de gases monoatomicos a baja presion y cuyos atomos sean excitados pordescargas electricas (una fuente de este tipo son las luces de neon). Para estetipo de fuentes lo que se observa en la pantalla son lıneas definidas que poseencolores puros que corresponden a longitudes de ondas especificas. Uno de losespectros mas simples es el del hidrogeno. A este tipo de espectros se le conocencomo espectros de emision

1

2

Figura 2: Espectro continuo formado por el paso de radiacion visible colimada por un prisma

Al espectro visible del hidrogeno se le conoce como serie de Balmer puestoque en 1885, Johan Balmer presento una formula empırica para la cual se ajusta-ban muy bien las longitudes de onda observados en el espectro del hidrogeno.La formula presentada por Balmer fue

1

λ= R

(1

22− 1

n2

)(1)

Donde R es una constante y es conocida como la constante de Rydberg y suvalor es R = 1,0973732x107m−1.

Figura 3: No existen espectrosde lineas iguales para sustanciasdistintas

Cuando se analizan los espectros para distin-tos elementos, se encuentra que ninguno de elloscoincide con otro que no sea del mismo elemento,por tanto, la espectroscopia fue un metodo muypopular para reconocer elementos, de hecho, me-diante esta tecnica G.R. Kirchoff y R. Wilhelmvon Bunsen, descubrieron dos nuevos elementos,el rubidio y el cesio.

Otro descubrimiento que acontecio luego deldescubrimiento de espectro de emision; otro tipode espectros se obtenıa cuando la luz de un espec-tro continuo se hace pasar por un gas monoatomi-co tal como el hidrogeno, se produce un espectrode absorcion.

Figura 4: Espectro deabsorcion para distintosatomos de gases

En un espectro de absorcion se observa lıneasoscuras sobre un fondo blanco. Estas lıneas os-curas se corresponden a las lıneas espectrales de

emision del gas. En este caso el gas absorbe la radiacion correspondiente a taleslongitudes de onda.

Mediante los espectros de absorcion podemos obtener una manera de saberla composicion de ciertas sustancias, calentando tal sustancia y haciendo pasarla luz de su espectro continuo de la sustancia por el gas del cual se desea saber sies parte de tal sustancia. La aplicacion mas interesante es la demostracion de la

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presencia de helio en la atmosfera solar. Inicialmente se observa un espectro conmas de mil lıneas oscuras, luego se hace pasar la distribucion sobre gas helio,se observa en el espectro que las lıneas oscuras que corresponden al espectro dehelio se oscurecıan aun mas.

Figura 5: Diagrama deniveles de energıa dondese muestran algunas se-ries descubiertas cuandoel electron pasa de un es-tado a otro

Existen diversas series descubiertas en el atomo de hidrogeno, como porejemplo, en la region ultravioleta se observa la serie de lyman, en la region in-frarroja se observa la serie de Paschen (vea el cuadro 1)

Serie de Lyman (uv) nf = 1 ni = 2, 3, 4, . . .Serie de Balmer (vis-uv) nf = 2 ni = 3, 4, 5, . . .

Serie de Paschen (IR) nf = 3 ni = 4, 5, 6, . . .Serie de Brackett (IR) nf = 4 ni = 5, 6, 7, . . .Serie de Pfund (IR) nf = 5 ni = 6, 7, 8, . . .

Cuadro 1: Algunas series espectrales para el atomo de hidrogeno

En todos los casos se encontro una formula parecida a la ec.(1)

1

λ= R

(1

n2f− 1

n2i

)(2)

Volviendo al espectro de emision del hidrogeno y la formula empırica deBalmer, veremos que podemos deducir esta formula mediante la teorıa atomicade Bohr.

Teorıa Atomica de Bohr

Figura 6: perdida de en-ergıa de un electron en unaorbita (Prediccion clasica)

Los fenomenos relacionados con los atomos de gas-es como los espectros de emision y absorcion y la es-tabilidad del radio orbital del electron no podıan serexplicados con el modelo atomico de Rutherford (figu-ra 6). En 1913, el fısico danes Niels Bohr, estudiantede la universidad de Cambridge publico un artıculo entres partes en donde propuso un nuevo modelo atomi-co la cual fue muy exitosa y a la vez revolucionariapor las ideas expuestas para fundamentar su mode-lo, estas entraban en contradiccion con la teorıa elec-tromagnetica de Maxwell. En el modelo del atomo de

Bohr se supera facilmente la observacion de las orbitas estables y tambien ex-plica satisfactoriamente la formacion de los espectros de las moleculas de gasescon un solo electron. Las ideas o suposiciones que hace Bohr para sustentar sumodelo atomico fueron las siguientes:

1. El electron y el nucleo recorren orbitas circunferenciales alrededor de sucentro de masa. Debido a que la masa del nucleo es mucho mayor quela masa del electron, podemos aproximar el centro de masa al centro delnucleo (figura 7) y ademas, la fuerza de interaccion entre el nucleo y elesta dado por la ley de Coulomb.

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Figura 7: aproximacion de la trayectoria del electron en un atomo con un electron

2. A diferencia de las predicciones clasicas, las trayectorias circunferencialesno pueden ser cualquiera, sino que estas son tal que el radio orbital cumplela relacion

mevrn = n~ Condicion de Bohr para

las orbitas permitidas

3. Cuando un electron se encuentra en una orbita permitida, este electronposee una energıa estable, es decir, no irradia energıa, y por tanto su orbitaes estable.

4. Un electron con una energıa dada puede saltar de su orbita a otra orbitaen la que poseera menor energıa, durante este proceso, el electron emi-tira radiacion cuya frecuencia esta dada por

ν =Ef − Ei

h(3)

Donde Ef y Ei son las energıas del electron cuando este se encuentra en laorbita final e inicial respectivamente y ~ = h/2π. El proceso inverso tambien esfactible, en este caso el electron absorbe radiacion de frecuencia segun la relacion(3)

Del tercer postulado podemos ver inmediatamente que se resuelve el prob-lema de las orbitas estables que existıa en el modelo atomico de Rutherford yaque en este modelo el electron no irradia energıa.

El segundo postulado puede ser derivado del comportamiento ondulatoriodel electron, ya que un electron en una orbita circular recorrera un numeroentero de su longitud de onda (ver figura 8) , ası

2πr = nλ (4)

Donde λ = h/mev es la longitud de onda de De Broglie del electron. Reem-plazando este valor en la ec.(4) obtenemos la condicion de Bohr para las orbitaspermitidas

Ahora podemos estudiar al electron dentro del atomo y su interaccion conel nucleo. Debido a la forma circular de la traectoria del electron alrededor delnucleo, la fuerza centripeta debe ser igual a la fuerza de interaccion entre elelectron y el nucleo

Fc = Fe

mev2

r=

e2

4πε0r2(5)

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Figura 8: La orbita del electron debe ser tal que la longitud de la circunferencia descritadebe ser igual a un numero entero de longitudes de onda del electron

La energia total de un electron viene dado por E = K + U

E =1

2mev

2 − e2

4πε0r(6)

De la ec. (5) y la ec.(6) obtenemos

E = − e2

8πε0r(7)

De la condicion Condicion de Bohr para las orbitas permitidas y de (5)podemos obtener facilmente

rn =4πε0h

2n2

mee2Radio de orbita permitido

para un electron

Al radio mas pequeno posible, es decir cuando n = 1, se le denomina radiode Bohr

r1 =4πε0h

2

mee2= 0,529A Radio de Bohr

Podemos reemplazar el radio de orbita ya encontrado, sobre la ec. (7) en-contrando

En = − e2

8πε0r1

(1

n2

)Niveles de energıa del

hidrogeno

Vemos de esta ultima relacion que la energıa de un electron esta cuantificada,es decir, la energıa de un electron no puede tomar cualquier valor sino, mas bien,valores discretos.

Los valores n son numeros naturales y estos valores son los denominadosnumeros cuanticos.

Del cuarto postulado de Bohr, podemos obtener la frecuencia de radiacionsi reemplazamos el valor de la energıa encontrada en (3) y teniendo en cuentaque ν = c/λ obtenemos

1

λ=

e2

8πε0hcr1

(1

n2f− 1

n2i

)

6

1

λ= R

(1

n2f− 1

n2i

)Niveles de energıa del

hidrogeno

Donde R = 1,0973732×107m−1 es la llamada constante de Rydberg. Vemosque esta ultima ecuacion tiene la forma de la ec.(2)

Experimento de Franck-Hertz

Este experimento confirma la existencia de estados estacionarios. Veamos eldiagrama de niveles de energıa del atomo de Mercurio (figura 9)

Figura 9: Niveles de e-nergıa para el electron devalencia del 202

80 Hg

Los atomos de mercurio son pesados y Los electrones interiores dentro delatomo del hidrogeno son muy difıciles de desalojar. Cuando un haz de electronescon una cierta energıa atraviesan vapor de mercurio se daran colisiones entre loselectrones y atomos de mercurio. Si la energıa de los electrones es menor que 4.88eV, la colision sera elastica, ası, la energıa cinetica del electron no sera transferidoal atomo del mercurio, sin embargo por ser las colisiones elasticas, se perdera algode energıa del electron en cada choque, esta energıa perdida sera muy pequenay por tanto el electron colisionara muchas veces antes de detenerse(figura 10).

Figura 10: Colisioneselasticas que se dan entreel electron y los atomos demercurio cuando la energıacinetica del electron esmenor que 4.88 eV

Si la energıa del electron es mayor que 4.88 eV,entonces las colisiones que se dan entre el electron yel atomo seran inelasticas, si el electron posee una en-ergıa un poco mayor que 4.88 eV el electron cedera suenergıa y solamente un choque sera inelastico y luegotodos los choques seran elasticos y el proceso sera elya descrito anteriormente. Durante la transferencia deenergıa entre el electron y el atomo se da una tran-sicion entre el estado G y el estado I del atomo demercurio(Linea 1 de la figura 9) el tiempo de vidade un estado excitado es cercano a 10−8s para luegoregresar al estado G emitiendo un foton de energıaEH −EG = 4,88eV y longitud de onda λ = 2536A. En

el caso en que el electron posee una energıa mucho mayor que 4.8 eV, se darana lugar mas de una colision inelastica.

Figura 11: Esquema experimental del experimento de Franck - Hertz

Ahora pasemos a ver el experimento realizado por Franck y Hertz en en

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1914. Se muestra el esquema experimental en la figura 11Este esquema consta de un filamento el cual se encuentra calentado y emite

electrones (F), tambien hay una placa (P) la cual es receptora de electrones yesta conectado a un electrometro sensible (D), la placa y el filamento se encuen-tra dentro de un tubo el cual contiene vapor de mercurio a baja presion, entre laplaca P y el filamento F se encuentra un filtro (G). Entre F y G hay un voltajeacelerador Va, entre G y P hay un potencial retardador Vr ≈ 0,5V . Como esde esperarse cuando el potencia acelerador Va aumenta, la corriente electricaen la placa P aumenta. Sin embargo, cuando el potencial acelerador aumentaaproximadamente 0.5 V, Los electrones que poseıan una energıa un poco mayorque 4.88 eV experimentaran una colision inelastica mas y quedaran con pocaenergıa como para que el pequeno potencial retardador impida la llegada de loselectrones a la placa P, debido a esto, se observa un valle en la grafica de lacorriente en la placa contra el potencial acelerador (figura 12)

Figura 12: Corriente deplaca vs. el potencial acel-erador

Mediante tecnicas espectroscopicas, se encontro que la longitud de onda dela radiacion procedente del tubo era de 2536 A, correspondiente a transicionesdel primer estado excitado del mercurio al estado base. Este resultado, y elhecho de que la diferencia de energıa entre valles es 4,9 V, muestra de formamuy convincente la existencia de los estados estacionarios.