Modelo de Leontief

24/05/2008

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Modelo de Leontief:Modelo de Leontief:Matriz insumoMatriz insumo--produtoproduto

FUNDAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DE RONDÔNIA (UNIR)NÚCLEO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA

DEPARTEMENTO DE ENGENHARIA E FÍSICACURSO DE LICENCIATUARA EM FÍSCIA

DISCIPLINA ALGEBRA LINEARDOCENTE: CARLOS TENÓRIO

Marcos André Alves BritoMarcos André Alves Brito

Islândio Dantas Chaves Islândio Dantas Chaves

PORTO VELHO-RO, 2007

IntroduçãoIntrodução

I.I. ConceitosConceitos básicosbásicos

II.II. OO modelomodelo comocomo ferramentaferramenta dede

programaçãoprogramação econômicaeconômica

III.III. AA MatrizMatriz InsumoInsumo--ProdutoProduto

IV.IV. DeterminaçãoDeterminação dosdos coeficientescoeficientes técnicostécnicos

V.V. EquaçãoEquação dede insumoinsumo dodo ProdutoProduto

VI.VI. AplicaçãoAplicação teóricateórica

Conceitos básicosConceitos básicos

DemandaDemanda finalfinal (Y)(Y):: A demanda final, compõe-se do consumo(C) das familiares, do governo e a formação bruta de capitalfixo (I) . E pode ser representado algebricamente pelaseguinte relação; C + I = YY..

DemandaDemanda intermediáriaintermediária:: representa os fornecimentos eaquisições de cada setor em relação a si próprio e aosdemais.

ValorValor BrutoBruto dada ProduçãoProdução (VBP)(VBP);; é a soma da demandaintermediária (DI) e da demanda final (DF). Expressomatematicamente por; VBP = DI + DF

ValorValor AgregadoAgregado BrutoBruto (VAB)(VAB);; é soma do total de salários,juros, aluguéis, e lucros, mais o total dos tributos indiretos e adepreciação gerados durante o processamento da produção.

O modelo como ferramenta de O modelo como ferramenta de programação econômicaprogramação econômica

A abordagem de programação econômica apóia-sena noção de interdependência econômica entre os setoresprodutivos, esta interdependência resulta da interaçãoentre as unidades produtoras que repassam seus bens aoutras unidades para serem processados.

O modelo de Wassily W. Leontief proporciona a baseconceitual para a análise das conexões entre relaçõesintersetoriais, possibilitando programar o sistemaeconômico em consonância com os objetivo que se queriaatingir .

A importância deste instrumental, decorre de se saberse determinada meta é consistente ou não, de acordo coma disponibilidade de recursos, no sentido de evitar pontosde estrangulamento ou gargalos, que posso comprometeras metas almejadas.

Matriz insumoMatriz insumo--ProdutoProduto

Cada setor é relacionado duas vezes. Em linha (o quecada setor vende); Em coluna (o que cada setor compra);VetoresVetores--linhalinhaXX1111 definedefine aa vendavenda dodo setorsetor 11 p/p/ oo setorsetor 11XX1212 definedefine aa vendavenda dodo setorsetor 11 p/p/ oo setorsetor 22XX1313 definedefine aa vendavenda dodo setorsetor 11 p/p/ oo setorsetor 33∑∑XX11JJ definedefine aa demandademanda intermediáriaintermediária totaltotal atendidaatendida pelopelosetorsetor jj..CC11 aa vendasvendas dodo setorsetor 11 parapara oo consumoconsumo finalfinal..II11 osos investimentoinvestimento realizadorealizado pelopelo setorsetor 11YY11 éé oo totaltotal dada demandademanda finalfinal atendidaatendida pelopelo setorsetor 11(consumo(consumo ++ investimentos)investimentos)


VetoresVetores--colunacoluna

XX1111 definedefine aa compracompra dodo setorsetor 11 recebidarecebida dodo setorsetor 11



∑∑XXii11 definedefine asas aquisiçõesaquisições feitasfeitas pelopelo setorsetor 11

recebidarecebida deledele própriopróprio ee dosdos demaisdemais setoressetores

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Setores compradores

Demanda Intermediária Demanda Final

VBP

Setores vendedoresPrimário Secundário Terciário Subtotal consumo investimento Total

Primário X11 X12 X13 ∑ X1J C1 I1

Y1 V1

Secundário

X21 X22 X23 ∑ X2J C2 I2

Y2 V3

TerciárioX31 X32 X33 ∑X3J C3 I3

Y3 V4

Total∑Xi1 ∑Xi2 ∑Xi3 ∑XIJ ∑C ∑I

∑Y ∑V

VABVA1 VA2 VA3 ∑VA

VBPV1 V2 V3 ∑VIJ

Determinação dos Coeficientes Técnicos de Produção

O cálculo do coeficiente técnico de produção (Aij), expressa quanto o

setor j necessita do produto do setor i. Os coeficientes técnicos de umamatriz insumo-produto genérica é dado por Aij = Xij / Vj, assim, a matriz

dos coeficientes é;

A11= X11 /V1 A12= X12/ V2 A13= X13 /V3

A= A21= X21 /V1 A22= X22 /V2 A23= X23 /V3

A31= X31/ V1 A32= X32 /V2 A33= X33/ V3

Equações Insumo-Produto

Vimos que:

X11 + X12 + X13 + Y1 = V1

X21 + X22 + X23 + Y2 = V2

X31 + X32 + X33 + Y3 = V3

Como:

Aij = Xij / Vj Xij = Aij . Vj

Podemos reescrever as três primeiras

equações como:

A11 V1 + A12 V2 + A13 V3 + Y1 = V1

A21 V1 + A22 V2 + A23 V3 + Y2 = V2

A31 V1 + A32 V2 + A33 V3 + Y3 = V3


Isolando-se a demanda final Y do lado direito das equações:(1 - A11 ) V1 - A12 V2 - A13 V3 = Y1

-A21 V1 + (1 - A22) V2 - A23 V3 = Y2

-A31 V1 - A32 V2 + (1 - A33) V3 = Y3

Temos, portanto, um sistema matricial do tipo: (I – A)V = Y, pois:

1 - A11 - A12 - A13 V1 = Y 1- A21 +(1 - A22) -A23 . V2 = Y2

- A31 - A32 +(1 - A33) V3 = Y3


Com está interessado em saber como VBPdecorrente de efeito direto e indireto devemosisolar V, resolvendo a expressão matricial, temos;

(I – A) (I – A)-1 V = (I – A)-1 YOnde (I – A) (I – A)-1 = I, portanto

IV = (I – A)-1 YEm que, IV=V, de modo que: V = (I – A)-1 Y.

Assim é possível determinar o impacto naprodução dos setores quando há uma variação nademanda final. A matriz (I – A)-1 é matriz docoeficiente diretos mais o indiretos.

Esta expressão é a matriz dos requisitos

direto e indireto por unidade de demandafinal;

1 - A11 - A12 -A13-1 Y1 = V1

- A21 +(1 - A22) -A23 . Y2 = V2

-A31 - A32 +(1 - A33) Y3 = V3


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Aplicação Teórica do ModeloAplicação Teórica do ModeloVamosVamos suporsupor umum economiaeconomia fechadafechada comcom apenasapenas trêstrês setoressetores e,e, quequefixadofixado porpor decisãodecisão políticapolítica osos objetivosobjetivos dede crescimentocrescimento sejamsejam ososdescritosdescritos nana tabelatabela abaixoabaixo;;

Objetivo de expansão da demanda final

SetoresTotais da demanda final (Y)

Taxa de expansão

Níveis atuais Níveis Programados

Primário 400 600 50%

Secundário 350 560 60%

Terciário 500 900 80%

Total 1250 2060 65%

Aplicação Teórica do ModeloAplicação Teórica do Modelo

DadoDado queque oo objetivoobjetivo éé dede expansão,expansão, ee conhecendoconhecendo aa relaçõesrelações intersetoriaisintersetoriaisexpostoexposto nana tabelatabela abaixoabaixo.. Pergunta,Pergunta, qualqual oo crescimentocrescimento dede cadacada setorsetor ee dosdosinsumosinsumos parapara queque nãonão ocorraocorra pontoponto dede estrangulamento?estrangulamento?

Modelo de três setores para um economia fechada

Demanda IntermediáriaDemanda final VBP

Primário Secundário Terciário Subtotal

Primário 100 400 250 750 400 1150

Secundário 150 100 400 650 350 1000

Terciário 600 200 300 1100 500 1600

Total 850 700 950 2500 1250 3750

VAB 300 300 650 1250

VBP 1150 1000 1600 3750

ResoluçãoResolução

11°°passo acha a matriz dos coeficiente técnicos passo acha a matriz dos coeficiente técnicos ((Aij = Xij / Vj )

0,0870 0,4000 0,1563

A = 0,1304 0,1000 0,2500

05217 0,2000 0,1875

22°°passo solucionar a equação matricial, passo solucionar a equação matricial, V = (I – A)-1 Y, para encontra

a demanda intermediária e o VBP. Achar a matriz inversa (I – A)-1 , resolvendo;

(1 - 0,0870) - 0,4000 -0,1563

(I – A) = -0,1304 (1 - 0,1000) - 0,2500

-05217 -0,2000 (1 - 0,1875)

Aplicação Teórica do ModeloAplicação Teórica do Modelo Aplicação Teórica do ModeloAplicação Teórica do Modelo

Resolvendo temos a seguinte matriz;Resolvendo temos a seguinte matriz;

0,91300,9130 - 0,4000 -0,1563

(I – A)= -0,1304 0,90000,9000 - 0,2500

-0,5217 -0,2000 0,81250,8125

PeloPelo teorema,teorema, temostemos;; (I – A)-1 = [Adjunta da matriz(I – A)] / [Determinante da Matriz (I–A)]

3°passo achar a matriz cofatora de (I – A) para encontrara matriz adjunta de (I – A), considerando que a matrizadjunta é igual a transposta da matriz cofatora.

0,6813 0,2364 0,4956

cofatora (I – A)= 0,3563 0,6603 0,3913

0,2407 0,2487 0,7695

A matriz adjunta é igual a transporta de matriz cofatora, A matriz adjunta é igual a transporta de matriz cofatora, então temos;então temos;

0,6813 0,3563 0,2407

adjunta (I – A)= 0,2364 0,6603 0,2487

0,4956 0,3913 0,7695


Agora encontrando o determinante da matriz Agora encontrando o determinante da matriz (I–A);

0,91300,9130 - 0,4000 -0,1563

Det. (I – A)= -0,1304 0,90000,9000 - 0,2500 = 0,4498

-0,5217 -0,2000 0,81250,8125

Dividindo todos os elementos da matriz adjunta Dividindo todos os elementos da matriz adjunta (I–A) pelo pelo determinantes de determinantes de (I– A).

0,6813

0,4498

0,3563

0,4498

0,2407

0,4498

Adj. (I – A) =

Det (I – A)

0,2364

0,4498

0,6603

0,4498

0,2487

0,4498

0,4956

0,4498

0,3913

0,4498

0,7695

0,4498

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4 passo resolvendo o teorema, 4 passo resolvendo o teorema, (I – A)-1 = [Adjunta da matriz (I – A)] / [Determinante da Matriz (I – A)], temos;

1,5147 0,7921 0,5351

(I – A)-1 = 0,5256 1,4680 0,5529

1,1018 0,8699 1,7108

Com isso, pode-se calcular os VBP´s, resolvendo a seguinte equação matricial; (I – A)-1 Y = V

1,5147 0,7921 0,5351 600 = V1

0,5256 1,4680 0,5529 . 560 = V2

1018 0,8699 1,7108 900 = V3


Pela resolução das equação matricial, o novos Pela resolução das equação matricial, o novos VBP de cada um do setores;VBP de cada um do setores;

VBP do PrimárioVBP do Primário

VV11== (1,5147*600) + (1,5147*600) + (0,7921*560) +(0,7921*560) + (0,5351*900) =(0,5351*900) = 1.8341.834

VBP do SecundárioVBP do Secundário

VV22== (0,5256*600) +(0,5256*600) + (1,4680*560) +(1,4680*560) + (0,5529*900) =(0,5529*900) = 1.6351.635

VBP do TerciárioVBP do Terciário

VV33== (1,1018*600) +(1,1018*600) + (0,8699*560) +(0,8699*560) + (1,7108*900) =(1,7108*900) = 2.6882.688

Aplicação Teórica do ModeloAplicação Teórica do ModeloConhecidoConhecido oo VBPVBP podepode sese determinardeterminar aa novanova estruturaestrutura dadamatrizmatriz insumoinsumo--produto,produto, atravésatravés dodo fórmulafórmula dodo coeficientecoeficiente

técnicostécnicos.. Aij = Xij / Vj => Xij = Aij . Vj

X11= 0,0870 * 1.834 =0,0870 * 1.834 = 160160

X21 = 0,1304 * 1.834 =0,1304 * 1.834 = 239239

X31 = 0,5217 * 1.834 =0,5217 * 1.834 = 957957

∑∑ XXi1 i1 = 1.3561.356

X12 = 0,4000 * 1.635 =0,4000 * 1.635 = 654654

X22 = 0,1000 * 1.635 =0,1000 * 1.635 = 164164

X32 = 0,2000 * 1.635 =0,2000 * 1.635 = 327327

∑∑ XXi2 i2 == 1.1451.145

X13 = 0,1563 * 2.688 =0,1563 * 2.688 = 420420

X23 = 0,2500 * 2.688 =0,2500 * 2.688 = 672672

X33 = 0,1875 * 2.688 =0,1875 * 2.688 = 504504

∑∑ XXi3 i3 == 1.5961.596


ComCom oo VBPVBP conhecidoconhecido ee aa novanova estruturaestruturaintersetorial,intersetorial, obtémobtém--sese facilmentefacilmente oo VAB,VAB, viaviaresidual,residual, dadodado queque;;

VAB do PrimárioVAB do Primário

VAVA11== VBPVBP1 1 -- ∑∑ XXi1i1 == 1.834 1.834 -- 1.356 =1.356 = 478478

VAB do SecundárioVAB do Secundário

VAVA22== VBPVBP2 2 -- ∑∑ XXi2 i2 == 1.635 1.635 -- 1.145 =1.145 = 490490

VAB do TerciárioVAB do Terciário

VAVA33== VBPVBP3 3 -- ∑∑ XXi3 i3 == 2.688 2.688 -- 1.596 =1.596 = 1.0921.092

AssimAssim aa novanova matrizmatriz ficafica dada seguinteseguinte formaforma;;


Projeções VBP, DI, VAB

Demanda IntermediáriaDemanda final VBP

Primário Secundário Terciário Subtotal

Primário 160 654 420 1234

600 1834

Secundário239 164 672 1075

560 1635

Terciário957 327 504 1788

900 2688

Total1356 1145 1596 4097

2060 6157

VAB478 490 1092 2060

VBP1834 1635 2688 6157

FimFim

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