Modelo Probabilisticos Clase 5 (1)

8/17/2019 Modelo Probabilisticos Clase 5 (1)

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Tema 5: Modelos probabilísticos 1

Bioestadística

Tema 5: Modelos probabilísticos


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Variable aleatoria

El resultado de un experimento aleatorio puede serdescrito en ocasiones como una cantidad numérica .

En estos casos aparece la noción de variable aleatoriaFunción ue asi!na a cada suceso un n"mero.

#as variables aleatorias pueden ser discretas ocontinuas $como en el primer tema del curso%.

En las si!uientes transparencias vamos a recordarconceptos de temas anteriores& 'unto con su nuevadesi!nación. #os nombres son nuevos. #os conceptosno.


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Tema 5: Modelos probabilísticos (

Función de probabilidad $V. )iscretas%Función de Cuantía

Asigna a cada posible valor deuna variable discreta suprobabilidad .

*ecuerda los conceptos de+recuencia relativa , dia!rama debarras.-$x% o&/umatoria p$x%01

Ejemplo

"mero de caras al lan3ar ( monedas.

∑∈

=rec x

x p 1)(∑∈

=rec x

x p 1)(∑∈

=rec x

x p 1)(∑∈

=rec x

x p 1)(


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Función de densidad $V. ontinuas%

)e+iniciónEs una +unción no ne!ativa de inte!ral 1.

-iénsalo como la !enerali3ación del6isto!rama con +recuencias relativaspara variables continuas.+$x% 7#a inte!ral de +$x%01

8-ara ué lo vo, a usar9unca lo vas a usar directamente.

/us valores no representan probabilidades.


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8-ara ué sirve la +. densidad9Muc6os procesos aleatorios vienen descritos por variables de +orma

ue son conocidas las probabilidades en intervalos.

#a inte!ral de+inida de la +unción de densidad en dic6os intervaloscoincide con la probabilidad de los mismos.

Es decir& identi+icamos la probabilidad de un intervalo con el área ba'ola +unción de densidad.


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Tema 5: Modelos probabilísticos

Función de distribución

Es la +unción ue asocia a cada valor de unavariable& la probabilidad acumulada de los valores in+eriores o i!uales.

-iénsalo como la !enerali3ación de las+recuencias acumuladas. )ia!rama inte!ral .

; los valores extremadamente ba'os les correspondenvalores de la +unción de distribución cercanos a cero.

; los valores extremadamente altos les correspondenvalores de la +unción de distribución cercanos a uno.

#o encontraremos en los artículos , aplicaciones en +ormade & si!ni+icación&?


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Tema 5: Modelos probabilísticos @

8-ara ué sirve la +. distribución9ontrastar lo anómalo de una observación concreta.

/é ue una persona de altura 217cm es < anómala > por ue la +unción dedistribución en 217 es mu, alta ./é ue una persona adulta ue mida menos de 147cm es < anómala > por uela +unción de distribución es mu, ba'a para 147cm.

/é ue una persona ue mida 1@7cm no posee una altura nada extraAa puessu +unción de distribución es aproximadamente 7&5.

*elaciónalo con la idea de cuantil .

En otro contexto $contrastes de 6ipótesis% podremos observar unosresultados experimentales , contrastar lo ue son encon'unto con respecto a una 6ipótesis de terminada.

ntenta comprender la explicación de clase si puedes. /i no& i!nora estode momento. *evisita este punto cuando 6a,amos visto el tema decontrastes de 6ipótesis.


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Tema 5: Modelos probabilísticos I

;l!unos modelos de v.a.

Ja, v.a. ue aparecen con +recuencia en las iencias dela /alud.Experimentos dicotómicos.

Bernoulli

ontar éxitos en experimentos dicotómicos repetidos:Binomial-oisson $sucesos raros%

K en otras muc6as ocasiones?)istribución normal $!aussiana& campana&?%

El resto del tema estL dedicado a estudiar estasdistribuciones especiales.


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)istribución de Bernoulli

Tenemos un experimento de Bernoulli si al reali3ar un

experimentos sólo son posibles dos resultados:D01 $éxito & con probabilidad p%D07 $fracaso & con probabilidad 01=p%

#an3ar una moneda , ue sal!a cara.p01 2

Ele!ir una persona de la población , ue esté en+ermo.p01 1777 0 prevalencia de la en+ermedad

;plicar un tratamiento a un en+ermo , ue éste se cure.p0I5N& probabilidad de ue el individuo se cure

omo se aprecia& en experimentos donde el resultado esdicotómico& la variable ueda per+ectamente determinadaconociendo el parLmetro p .


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E'emplo de distribución de Bernoulli.

/e 6a observado estudiando 2777 accidentes de trL+icocon impacto +rontal , cu,os conductores no teníancinturón de se!uridad & ue (77 individuos uedaron consecuelas. )escriba el experimento usando conceptos dev.a.

/olución.#a noc. +recuentista de prob. nos permite aproximar la probabilidad detener secuelas mediante (77 277707&15015N

D0 es variable de Bernoulli

D01 tiene probabilidad p O 7&15D07 tiene probabilidad O 7&C5


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E'emplo de distribución de Bernoulli.

/e 6a observado estudiando 2777 accidentes de trL+icocon impacto +rontal , cu,os conductores sí teníancinturón de se!uridad & ue 17 individuos uedaron consecuelas. )escriba el experimento usando conceptos dev.a.

/olución.#a noc. +recuentista de prob. nos permite aproximar la probabilidad de

uedar con secuelas por 17 277707&77507&5N

D0 es variable de

BernoulliD01 tiene probabilidad p O 7&775D07 tiene probabilidad O 7&II5


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Tema 5: Modelos probabilísticos 1(

PbservaciónEn los dos e'emplos anteriores 6emos visto cómo enunciar losresultados de un experimento en +orma de estimación deparLmetros en distribuciones de Bernoulli.

/in cinturón: p O 15Non cinturón: p O 7&5N

En realidad no sabemos en este punto si ambas cantidades sonmu, di+erentes o aproximadamente i!uales& pues en otros estudiossobre accidentes& las cantidades de individuos con secuelas6ubieran sido con se!uridad di+erentes.

-ara decidir si entre ambas cantidades existen di+erenciasestadísticamente si!ni+icativas necesitamos introducir conceptosde estadística in+erencial $extrapolar resultados de una muestra atoda la población%.

Es mu, pronto para resolver este cuestionamiento a6ora.Esperemos a las pruebas de D 2 .


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)istribución binomial

Función de probabilidad

-roblemas de cLlculo si n es !rande , o p cercano a 7 o 1.

Media: G 0n p

Varian3a: H 2 0 n p

nk q pk

nk X P k nk ≤≤

== − 0 ,][


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)istribución Binomial/i se repite un n"mero +i'o de veces& n & un experimento deBernoulli con parLmetro p & el n"mero de éxitos si!ue unadistribución binomial de parLmetros $n&p%.

#an3ar una moneda 17 veces , contar las caras.Bin$n017&p01 2%

#an3ar una moneda 177 veces , contar las caras.Bin$n0177&p01 2%)i+ícil 6acer cLlculos con esas cantidades. El modelo normal serL mLs adecuado.

El n"mero de personas ue en+ermarL $en una población de 577.777personas% de una en+ermedad ue desarrolla una de cada 2777personas.

Bin$n0577.777& p01 2777%

)i+ícil 6acer cLlculos con esas cantidades. El modelo de -oisson serL mLsadecuado.


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;"n no conoces la

distribución normal& ni de-oisson.

)e cual uier +orma a uítienes la comparación entre

valores de p no mu, extremos , una normal de misma media, desviación típica& paratamaAos de n !randes $n (7%.

uando p es mu, pe ueAo esme'or usar la aproximacióndel modelo de -oisson .


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Tema 5: Modelos probabilísticos 1@

)istribución de -oisson

También se denomina de sucesos raros ./e obtiene como aproximación de unadistribución binomial con la misma media& paraQn !rande R $n (7% , Qp pe ueAo R $pS7&1%.

ueda caracteri3ada por un "nico parLmetro G$ ue es a su ve3 su media , varian3a .%Función de probabilidad:

,...2,1,0 ,!

][ === − k k

ek X P k

µ µ


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Tema 5: Modelos probabilísticos 1C

E'emplos de variables de -oissonEl n"mero de individuos ue serL atendido un día cual uiera en elservicio de ur!encias del 6ospital clínico universitario.

En MLla!a 6a, 577.777 6abitantes $n !rande%#a probabilidad de ue cual uier persona ten!a un accidente es pe ueAa&pero no nula. /upon!amos ue es 1 17.777Bin $n0577.777&p01 17.777% ≈ oisson $G0np057%

/ospec6amos ue di+erentes 6ospitales pueden tener servicios detraumatolo!ía de di+erente $al!unos presentan pocos& perocreemos ue a"n demasiados& en+ermos con secuelas tras laintervención%. Es di+icil compararlos pues cada 6ospital atiendepoblaciones de tamaAos di+erentes $ciudades& pueblos&?%

Tenemos en cada 6ospital n& nU de pacientes atendidos o nU individuos de lapoblación ue cubre el 6ospital.

Tenemos p pe ueAo calculado como +recuencia relativa de secuelas conrespecto al total de pacientes ue trata el 6ospital& o el tamaAo de lapoblación&?/e puede modelar mediante -oisson $G0np%


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Tema 5: Modelos probabilísticos 1I

)istribución normal o de auss

;parece de manera natural:Errores de medida.)istancia de +renado. ;ltura& peso& propensión al crimen?

)istribuciones binomiales con n !rande $n (7% , Qp nipe ueAoR $np 5% Qni !randeR $n 5%.

EstL caracteri3ada por dos parLmetros : #a media & G

, la desviación típica & H.

/u +unción de densidad es:

2

21

2

1)(

−−

= σ µ

π σ

x

e x f


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$G& H%: nterpretación!eométrica

-odemos interpretarla media como un+actor de traslación .

K la desviación típica como un +actor de

escala & !rado dedispersión&?


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$G& H%: nterpretación probabilista

Entre la media , unadesviación típicatenemos siempre lamisma probabilidad :

aprox. CN

Entre la media , dos

desviaciones típicasaprox. I5N


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;l!unas características#a +unción de densidad es simétrica& mesoc"rtica , unimodal .

Media& mediana , moda coinciden.

#os puntos de in+lexión de la +un. de densidad estLn a distancia ! de G.

/i tomamos intervalos centrados en G& , cu,os extremos estLn?a distancia ! & tenemos probabilidad "#$a distancia % ! & tenemos probabilidad &'$

a distancia %(' ! tenemos probabilidad &&$

o es posible calcular la probabilidad de un intervalo simplementeusando la primitiva de la +unción de densidad& ,a ue no tiene primitivaexpresable en términos de +unciones QcomunesR.

Todas las distribuciones normales $G& H%& pueden ponerse mediante unatraslación G& , un cambio de escala H& como )*+,-. . Esta distribuciónespecial se llama normal tipificada .

Wusti+ica la técnica de tipi+icación& cuando intentamos comparar individuosdi+erentes obtenidos de sendas poblaciones normales.


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Tema 5: Modelos probabilísticos 2(

Tipi+icación)ada una variable de media G , desviación típica H& se denominavalor tipi+icado &3& de una observación x& a la distancia $con si!no% conrespecto a la media& medido en desviaciones típicas & es decir

En el caso de variable D normal & la interpretación es clara: ;si!na atodo valor de $G& H%& un valor de $7&1% ue de'a exáctamente lamisma probabilidad por deba'o.

os permite así comparar entre dos valores de dos distribucionesnormales di+erentes& para saber cuLl de los dos es mLs extremo.

σ

µ −= x z


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E'emplo/e uiere dar una beca a uno de dos estudiantes de sistemas educativosdi+erentes. /e asi!narL al ue ten!a me'or expediente académico.

El estudiante ; tiene una cali+icación de C en un sistema donde la cali+icación de los

alumnos se comporta como $ &1%.El estudiante B tiene una cali+icación de C7 en un sistema donde la cali+icación de losalumnos se comporta como $@7&17%.

/olucióno podemos comparar directamente C puntos de ; +rente a los C7 de B& pero como

ambas poblaciones se comportan de modo normal& podemos tipi+icar , observar laspuntuaciones sobre una distribución de re+erencia $7&1%

omo X ; XB& podemos decir ue el porcenta'e de compaAeros del mismo sistema deestudios ue 6a superado en cali+icación el estudiante ; es ma,or ue el ue 6asuperado B. -odríamos pensar en principio ue ; es me'or candidato para la beca.

110

7080

21

68

=−=−=

=−=−=

B x

z

x z

B B B

A

A A A

σ

µ

σ

µ


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8-or ué es importante la distribución normal9

#as propiedades ue tiene la distribución normal son

interesantes& pero todavía no 6emos 6ablado de por uées una distribución especialmente importante .

#a ra3ón es ue aun ue una v.a. no posea distribuciónnormal & ciertos estadísticos estimadores calculados

sobre muestras ele!idas al a3ar sí ue poseen unadistribución normal .

Es decir& ten!an las distribución ue ten!an nuestrosdatos& los Qob'etosR ue resumen la in+ormación de una

muestra& posiblemente ten!an distribución normal $oasociada%.


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Veamos aparecer la distribución normal

omo ilustraciónmostramos una variableue presenta valores

distribuidos mLs o menosuni+ormemente sobre elintervalo 157=1I7.

omo es de esperar lamedia es cercana a [email protected] 6isto!rama no separece en nada a una

distribución normal con lamisma media ,desviación típica.


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Tema 5: Modelos probabilísticos 2@

; continuación ele!imosaleatoriamente !rupos de 17 observaciones de las anteriores ,calculamos el promedio.

-ara cada !rupo de 17 obtenemosentonces una nueva medición& uevamos a llamar promedio muestral .

Pbserva ue las nuevas cantidadesestLn mLs o menos cerca de lamedia de la variable ori!inal.

*epitamos el proceso un n"meroelevado de veces . En la si!uientetransparencia estudiamos ladistribución de la nueva variable.

Muestra

1Y 2Y (Y1C5 1I7 1@I1@4 1 I 1 (

1 @ 1@7 1 @

1 7 15I 152

1@2 1@I 1@C

1C( 1@5 1C(1CC 15I 155

1@C 152 1 5

152 1C5 1C5

1@5 152 152

-01 -"& -"# 2


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Tema 5: Modelos probabilísticos 2C

#a distribución de los promediosmuestrales sí ue tiene distribuciónaproximadamente normal .

#a media de esta nueva variable$promedio muestral% es mu, parecida a lade la variable ori!inal.

#as observaciones de la nueva variableestLn menos dispersas . Pbserva elran!o. -ero no sólo eso. #a desviacióntípica es aproximadamente Qrai3 de 17Rveces mLs pe ueAa. #lamamos errorestLndar a la desviación típica de estanueva variable.

)ada de lo anterior es casualidad .


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Tema 5: Modelos probabilísticos 2I

Teorema central del límite)ada una v.a. cual3uiera & si extraemos muestras detamaAo n& , calculamos los promedios muestrales & entonces:

dic6os promedios tienen distribución aproximadamente normal Z

#a media de los promedios muestrales es la misma ue la de la variableori!inal.

#a desviación típica de los promedios disminu,e en un +actor < raí3 de n >$error estLndar %.

#as aproximaciones anteriores se 6acen exactas cuando n tiende a in+inito.

Este teorema 'usti+ica la importancia de la distribución normal.

/ea lo ue sea lo ue midamos& cuando se promedie sobre una muestra!rande $ n41+ % nos va a aparecer de manera natural la distribución normal.


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Tema 5: Modelos probabilísticos (7

)istribuciones asociadas a la normaluando ueramos 6acer in+erencia estadística 6emos visto ue la

distribución normal aparece de +orma casi inevitable.

)ependiendo del problema& podemos encontrar otras $asociadas%:D2 $c6i cuadrado%t= studentF=/nedecor

Estas distribuciones resultan directamente de operar con distribucionesnormales. Típicamente aparecen como distribuciones de ciertosestadísticos.

Veamos al!unas propiedades ue tienen $super+icialmente%.

/obre todo nos interesa saber ué valores de dic6as distribuciones son./i!ni+icación& p=valores&?


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6i cuadrado

Tiene un sólo parLmetrodenominado !rados de libertad .

#a +unción de densidad esasimétrica positiva. /ólo tienendensidad los valores positivos.

#a +unción de densidad se 6acemLs simétrica incluso casi!ausiana cuando aumenta eln"mero de !rados de libertad.

ormalmente consideraremosanómalos a uellos valores de lavariable de la .


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T de student

Tiene un parLmetro denominado!rados de libertad.

uando aumentan los !rados delibertad& mLs se acerca a $7&1%.

Es simétrica con respecto al cero.

/e consideran valores anómalos losue se ale'an de cero $positivos o

ne!ativos%.


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Tema 5: Modelos probabilísticos ((

F de /nedecor

Tiene dos parLmetrosdenominados !rados delibertad.

/ólo toma valorespositivos. Es asimétrica.

ormalmente se consideran

valores anómalos los de lacola de la derec6a.


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8 ué 6emos visto9En v.a. 6a, conceptos e uivalentes a los de temasanteriores

Función de probabilidad Frec. *elativa.Función de densidad 6isto!ramaFunción de distribución dia!r. nte!ral.Valor esperado media& ?

Ja, modelos de v.a. de especial importancia:BernoulliBinomial-oisson

ormal-ropiedades !eométricasTipi+icación

;parece tanto en problemas con variables cualitativas $dicotómicas&Bernoulli% como numéricas)istribuciones asociadas

T=studentD2F de /nedecor

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